西北大学2007年数学分析硕士学位研究生试题+
西北大学数学分析考研试题
西北大学2010年招收攻读硕士学位研究生试题科目名称：数学分析 科目代号：622 适用专业：数学系各专业1.证明：若函数()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上必有最大值和最小值.（15分）证：因为函数()f x 在[],a b 上连续 所以()f x 在[],a b 上有界于是由确界原理知，()f x 在[],a b 上有上确界，记之为M下证：存在[],a b ξ∈，使得()f M ξ=，否则，对一切[],x a b ∈，都有()f x M < 令[]1(),,()g x x a b M f x =∈-则()g x 为[],a b 上的连续函数于是()g x 在[],a b 上有上界，不妨设G 为()g x 在[],a b 上的一个上界 则对任意的[],x a b ∈，都有10()()g x G M f x <=≤- []1(),,f x M x a b G⇒≤-∈1M G∴-为()f x 在[],a b 上的一个上界，而这显然与上述推得的M 为()f x 在[],a b 上的上确界（最小上界）矛盾 ∴假设不成立故必存在[],a b ξ∈，使得()f M ξ=，即()f x 在[],a b 上必有最大值 同理可证：()f x 在[],a b 上必有最小值2.讨论函数222222()sin 0(,)0,0x y x y z f x y x y ⎧++≠⎪==⎨⎪+=⎩在坐标原点处： （1）是否连续？（2）是否存在偏导数？（3）是否可微？ （18分） 解：（1）因为22(,)(0,0)lim ()0,sin1x y x y →+=≤所以22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim (0(0,0)x y x y f x y x y f →→=+==∴函数(,)f x y 在点(0,0)处连续（2）由偏导数的定义知，000(0,0)(0,0)1(0,0)lim limlim sin0x x x x f x f f x xx∆→∆→∆→+∆-===∆=∆∆，00(0,0)(0,0)1(0,0)limlim lim sin0y y y y f y f f y yy∆→∆→∆→+∆-===∆=∆∆ ∴函数(,)f x y 在点(0,0)处关于x 和y 的偏导数都存在且都为零（3）因为2222(0,0)(0,0)(0,0)(0(f f x y f x y x y ∆=+∆+∆-=∆+∆=∆+∆(0,0)(0,0)0x y f x f y ∆+∆=所以(0,0)((0,0)(0,0))0(0)x y f f x f y ρρ∆-∆+∆==≤=→(0,0)(0,0)(0,0)x y f f x f y∴∆=∆+∆∴函数(,)f x y 在点(0,0)处可微3.设级数1n n a ∞=∑收敛，0n a >，且数列{}n a 单调递减.试证：lim 0n n na →+∞=.（15分）证：因为正项级数1n n a ∞=∑收敛所以由级数收敛的柯西准则可知，对任给的0ε>，总存在正整数N ，使得当n N >时，有120N N a a ++<++ (2)n a ε+<又因为数列{}n a 单调递减所以当n N >时，12N N a a ++≥≥…n a ≥于是当n N >时，有120()n N N n N a a a ++<-≤++ (2)n a ε+<取2n N >，则有0()2n n n a n N a <<-12N N a a ++≤++ (2)n a ε+< 即0n na ε<<（当2n N >时） 故lim 0n n na →+∞=4.确定函数22(,)4f x y x xy y =++在圆形区域221x y +≤上的最大值和最小值.（12分）解：（ⅰ）先求函数(,)f x y 在区域22:1D x y +≤内部221x y +<的可疑极值点； 因为2(,)40x f x y y =+>所以函数(,)f x y 在区域22:1D x y +≤内部221x y +<没有极值点因为函数(,)f x y 的最大值、最小值只能在区域D 的边界221x y +=上取得 （ⅱ）再求函数(,)f x y 在区域22:1D x y +≤边界221x y +=上的可疑极值点； 为此作拉格朗日函数2222(,,)4(1)L x y x xy y x y λλ=++++- 对L 求一阶偏导数，并令它们都为零则有222420222010x y L y x L xy y y L x y λλλ⎧=++=⎪=++=⎨⎪=+-=⎩解得：102x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩或102x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以函数(,)f x y 在区域22:1D x y +≤边界221x y +=上的最大值为(1,0)4f =， 最小值为(1,0)4f -=-.故函数22(,)4f x y x xy y =++在圆形区域221x y +≤上的最大值为4，最小值为-4. 5.设()0f x >且在[]0,1上连续.研究函数122()()yf x g y dx x y=+⎰的连续性.（15分） 证：对任意的00y >，取0δ>，使00y δ->则被积函数22()yf x x y+在矩形区域[][]000,1,D y y δδ=⨯-+内连续 于是由含参量正常积分的连续性定理知，函数122()()yf x g y dx x y =+⎰在[]00,y y δδ-+上连续再由0y 的任意性可知，函数()g y 在()0,+∞上连续又因为11222200()()()()yf x yf x g y dx dx g y x y x y --==-=-++⎰⎰ 所以()g y 为奇函数 ∴函数()g y 在(),0-∞上也连续 于是函数()g y 在()(),00,-∞⋃+∞上连续 在0y =处，()(0)0g y g ==又函数()f x 为[]0,1上的正值连续函数所以函数()f x 在[]0,1上存在最小值m ，且0m > 于是当0y >时，111222222000()()yf x my yg y dx dx m dx x y x y x y =≥=+++⎰⎰⎰ 102111()arctan arctan 01()x x m d m m x yy y y===+⎰1lim ()lim arctan02y y g y m m y π++→→∴==⋅>，而(0)0g = ∴函数()g y 在0y =处不连续故函数122()()yf x g y dx x y =+⎰在()(),00,-∞⋃+∞上连续，而在0y =处不连续. 6.设函数()f x 在[]0,1上可微，且当()0,1x ∈时，0()1,(0)0f x f '<<=.试证：()2113()()f x dx f x dx >⎰⎰. （15分）证：令()230()()()xxF x f t dtf t dt =-⎰⎰则320()2()()()()[2()()],(0)0xxF x f t dt f x f x f x f t dt f x F '=⋅-=-=⎰⎰且再令20(2()()x G x f t dt f x =-⎰）则2(2()2()()2()[1()],(0)0(0)0G x f x f x f x f x f x G f '''=-=-=-=）且 因为当()0,1x ∈时，0()1f x '<< 所以函数()f x 在()0,1内严格单调递增()(0)0,1()0f x f f x '∴>=->而 (0G x '∴>）(G x ∴函数）在()0,1内也严格单调递增()(0)0G x G ∴>= ()0F x '∴> ()F x ∴函数在()0,1内严格单调递增又函数()F x 在[]0,1上连续 故(1)(0)0F F >= 即()21130()()f x dxf x dx >⎰⎰7.计算曲面积分323232()()()I x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑=+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =. （15分） 解：补充圆面2221:,0x y a z ∑+≤=，并取下侧为正向 则它与曲面∑构成封闭曲面这里，32(,,)P x y z x az =+，32(,,)Q x y z y ax =+,32(,,)R x y z z ay =+ 则2223,3,3P Q R x y z x y z∂∂∂===∂∂∂ 于是由高斯公式，有1323232()()()()VP Q Rx az dydz y ax dzdx z ay dxdy dxdydz x y z∑+∑∂∂∂+++++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 222222(333)3()VVx y z dxdydz x y z dxdydz =++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰令sin cos :sin sin cos x r T y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，则在球坐标变换T 的作用下，xyz空间中的有界闭区域{(,,)0V x y z z =≤≤与r ϕθ空间中的闭区域(,,)0,0,022V r r a πϕθϕθπ⎧⎫'=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭对应，变换T 的函数行列式为2(,,)sin J r r ϕθϕ=于是2222243()3sin 3sin VV V x y z dxdydz r r drd d r drd d ϕϕθϕϕθ''++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰245552001663sin 32(cos )(0)(01)20555aa d r dr d r a a πππθϕϕπϕππ=⋅⋅=⋅⋅⋅-=---=⎰⎰⎰又11132323222()()()x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ay dxdy a y dxdy ∑∑∑+++++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2232230445(sin )sin sin 1sin 221112002444xyxyaD D a r rdrd a r drd a d r draa r a a a πθθθθθθθθπππ=⋅==⋅-=⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故3232325556119()()()5420I x az dydz y ax dzdx z ay dxdy a a a πππ∑=+++++=-=⎰⎰8.设函数()f x 在[),a +∞上一致连续，函数()x ϕ在[),a +∞上连续，lim[()()]0x f x x ϕ→+∞-=.证明：()x ϕ在[),a +∞上一致连续. （15分）证：因为lim[()()]0x f x x ϕ→+∞-=所以由函数收敛的柯西准则可知，对任给的0ε>，总存在0M >，使得对任意的()12,,x x M ∈+∞，都有2211(()())(()())2f x x f x x εϕϕ---<即1212(()())(()())2x x f x f x εϕϕ---<于是有1212()()()()2x x f x f x εϕϕ-<-+又因为函数()f x 在[),a +∞上一致连续 所以函数()f x 在(),M +∞上一致连续∴对任给的0ε>，总存在10δ>，使得对任意的()12,,x x M ∈+∞，只要121x x δ-<，就有12()()2f x f x ε-<于是当121x x δ-<时，有12()()22x x εεϕϕε-<+=∴函数()x ϕ在(),M +∞上一致连续又函数()x ϕ在[),a +∞上连续∴函数()x ϕ在闭区间[],1a M +上连续 ∴函数()x ϕ在闭区间[],1a M +上一致连续∴对上述的0ε>，总存在20δ>，使得对任意的[],,1x x a M '''∈+，只要2x x δ'''-<，就有()()x x ϕϕε'''-<于是对任给的0ε>，总存在正数{}12min ,,1δδδ=，使得对任意的[),,x x a '''∈+∞，只要x x δ'''-<，就有()()x x ϕϕε'''-< 故()x ϕ在[),a +∞上一致连续9.证明：若函数()f x 在()0,+∞内可微，且lim ()0x f x →+∞'=，则()lim0x f x x→+∞=. （15分）证：因为lim ()0x f x →+∞'=所以对任给的0ε>，总存在10M >，使得当1x M >时，有()02f x ε'-<即()2f x ε'<又因为函数()f x 在()0,+∞内可微 所以函数()f x 在[]1,M x 上可微于是由拉格朗日中值定理知，至少存在一点()1,M x ξ∈，使得11()()()()f x f M f x M ξ'-=-于是1111()[()()]()()()()f M f x f M f M f x M f x x x xξ'+-+-==11111()()()()()()2f M f M f M f x M x M f x x x x x ξεξ'--'=+=+<+又1()lim0x f M x→+∞= ∴对上述的0ε>，总存在20M >，使得当2x M >时，有1()2f M x ε< 取{}12max ,M M M = 则当x M >时，有()22f x x εεε<+= 故()lim0x f x x→+∞=10.证明：函数cos sin xuxu e yv e yv ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00000(,,,)(1,1,0,)4P x y u v π==的某领域内确定了唯一的隐函数(,),(,)u u x y v v x y ==，并求2d u 在点0P 处的值. （15分）证：令(,,,)cos (,,,)sin xu xu F x y u v e yv G x y u v e yv ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由于（ⅰ）函数(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 在以点0P 为内点的某一区域4V R ⊂内连续；（ⅱ）10(1,1,0,)cos(1)04422F e ππ⨯=⨯=-=，10(1,1,0,)sin(1)044G e ππ⨯=⨯==；（ⅲ）函数(,,,)F x y u v 与(,,,)G x y u v 的所有一阶偏导数都在区域V 内连续；（ⅳ）0(1,1,0,)4(,)1110(,)22u v p u vF F FG G G u v π∂===+=≠∂. 因此由隐函数组定理知，在点0(1,1,0,)4P π的某领域0()U P 内，方程组(,,,)cos (,,,)sin xu xu F x y u v e yv G x y u v e yv ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0(1,1)Q 的某领域0()U Q 内以,x y 为自变量的两个二元隐函数(,),(,)u u x y v v x y == 由（＊）式，有2222xux y e+=两边取对数，得：222ln 2x y xu += 2222ln ln()ln 2222x y x y u x x++-⇒==于是有，2222222222211222[ln()ln 2][ln()ln 2]24x x x x y x y u x y x y x x x ⋅⋅-+--+-∂++==∂，2222122()y u y x y y x x x y ⋅∂+==∂+. 西北大学2009年招收攻读硕士学位研究生试题科目名称：数学分析 科目代号：619 适用专业：数学系各专业一． 单项选择题:（本题共30分，每小题6分） 1. 若a 是数列{}+1n n x ∞=的最大聚点，则（B ） A. {}n n x x ∀∈，有n x a ≤B. 0N n N ε∀>∃∀>，，，有n x a ε<+C. N n N ∃∀>，，有n x a <D. N n N ∃∀>，，有n x a ≤ 2. 下列结论正确的是（D ）A. 若(),()x t y t ϕψ==，则y 必是x 的函数B. 若函数()f x 在(),a b 内连续，则()f x 在(),a b 内有界C. 若函数()f x 在[],a b εε+-上连续，则()f x 在(),a b 内一致连续D. 若{}n x 是有界数列，则{}lim sup n n n x x →∞≤3. 设函数()f x 在[],a b 上可积，则函数()f x 在[],a b 上（C ） A. 可积 B.不可积 C. 不一定可积D.只要()f x 连续，()f x 就可积 4. 级数11(1)nn n x n∞-=-∑在（D ） A. []0,1上一致收敛 B. []1,1-上一致收敛 C. [)1,+∞上一致收敛 D. ()1,1-内内闭一致收敛5. 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处沿任意方向的方向导数都存在，则（C ） A. (,)f x y 在点00(,)x y 处连续 B. (,)f x y 在点00(,)x y 处可微 C. 0000(,),(,)x y f x y f x y 都存在 D. (,),(,)x y f x y f x y 在点00(,)x y 处连续 二． 解答题：（本题共60分，每小题10分）1. 设01110,0,()2n n n aa x x x x -->>=+（1,2,3,n =…），求lim n n x →∞.2. 设0lim ()0x f x →=，且()()()(0)2x f x f o x x -=→，求0()lim x f x x→. 3. 讨论积分1110(1)p q x x dx ---⎰的敛散性. 4. 设动点(),x y 在圆周221x y +=上，求函数z xy =的最大值和最小值. 5. 计算二重积分22(ln ln )D dxdy I xy x y =+⎰⎰，其中D 是221x y +=与1x y +=所围平面区域位于第一象限的部分.6. 计算曲面积分222SI x dydz y dzdx z dxdy =++⎰⎰，其中S 是曲面2222()()()x a y b z c R -+-+-=的外侧.三． 证明题：（本题共60分，每小题15分）1. 对任意自然数n 及实数1α>，设11123n x αα=+++…1nα+，则数列{}n x 收敛. 2. 设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，且存在[],n x a b ∈使得1()()n n f x g x += (1,2,3,n =…).证明：必存在[]0,x a b ∈使得00()()f x g x =.3. 若对任意自然数m ，当x m ≥时，()f x 是一非负单增函数，则对任意m ξ≥，都有[]()()()m k m f k f x dx f ξξξ=-≤∑⎰.4. 设函数1()f x 在[],a b 上()Riemann 黎曼可积，且1()(),1,2,3,x n n af x f t dt n +==⎰…， 则函数列{}()n f x 在[],a b 上一致收敛于零.。
[考研类试卷]2007年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷.doc
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[考研类试卷]2007年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷
1 给定非线性方程e-x-2x=0． 1)判断该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出上述方程的根，精确至3位有效数字； 3)验证所用迭代法满足的收敛性条件，说明所用迭代格式是收敛的．
2 用列主元Gauss 消去法解线性方程组
3 给定线性方程组 1)写出Gauss-Seidel迭代格式；2)分析此迭代格式的收敛性
4 设f(x)=x4—3x3+x2-10，x0=1，x1=3，x2=-2，x3=0． 1)求f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Lagrange插值多项式L3(x)； 2)求f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Newton插值多项式N3(x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式．
5 求方程组的最小二乘解．
6 考虑积分I(f)= 1)写出计算I(f)的Simpson公式S(f)； 2)用多项式插值的思想推导出S(f). 3)写出复化梯形公式和复化Simpson公式之间的关系式．
7 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b—a)／
n，x i=a+ih，f i=f(x i，y i)，0≤i≤n．证明求解公式y i+1=y i +(55f i-59f i-1+37f i-2-9f i-3)是一个4阶公式，并给出局部截断误差的表达式．
答案见麦多课文库。
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案答案速查： 一、选择题二、填空题三、解答题（17）()ln(sin cos ),[0,]4f x x x x π=+∈（18）(Ⅰ) ()2ln a V a a π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ)a e =时()V a 最小，最小体积为()2V e e π= （19）322133y x =+（20）0x dzdx==，2021x d z dx==（21）略（22）11)3+ （23）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]Tx k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]Tx =-（24）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,k k 为不全为零的任意常数）（Ⅱ）011101110B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1）【答案】（B ）【解析】方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，有：0x +→时，1(1-::211,2-:所以选（B ）. 方法2：当0x +→时，ln[1~~~x =+选（B ）.方法3：00lim lim 11x x x →→+⎡⎤=⎢+⎣，选（B ）. （2）【答案】（A ）【解析】逐个考虑各个选项即可.110111tan lim ()lim 1,1tan lim ()lim 1.xx x xxx x x eexf x xe ee e xf x xe e++---→→-→→+=⋅=-+=⋅=--所以0x =是()f x 的第一类间断点，选（A ）. （3）【答案】（C ）【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而323223(3)()()(),288(2)(),2F f t dt f t dt f t dt F f t dt ππππ==+=-===⎰⎰⎰⎰所以(3)F - 3(2)4F =，选择C （4）【答案】(D)【解析】方法1:论证法，由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以00()(0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x→→===（A ）正确；由于00()(0)()lim lim 0x x f x f f x x x→→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确；由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）.方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有0()()limlim 00x x x x f x f x x x→→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （5）【答案】（D ） 【解析】001lim lim ln(1),x x x y e x →→⎛⎫=++=∞⎪⎝⎭所以0x =是一条垂直渐近线；1lim lim ln(1)0,x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线； 又 21ln(1)ln(1)lim lim lim lim 1,1x x xx x x x x y e e e x x x x e →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫++=+== ⎪+⎝⎭洛 ()()1lim lim ln(1)lim ln(1)x x x x x y x e x e x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=++-=+- ⎪⎝⎭ 1lim ln()lim ln(1)0,xx x x x e e e-→+∞→+∞+=+== 所以y x =也是一条渐近线，所以共有3条，选择（D ） （6）【答案】(D)【解析】由拉格朗日中值定理，有1n n (1)()'()(1)'(),(1,2,)n n u u f n f n f n n f n ξξ+-=+-=+-==L12n .ξξξ<<<<L L由''()0,f x >知'()f x 严格单调增，故12n '()'()'().f f f ξξξ<<<<L L由于121'()0,f u u ξ=->所以1111k 1111()'()'().n nn k k k k u u u u u f u nf ξξ++===+-=+>+∑∑而1'()f ξ是一个确定的正数.于是推知1lim ,n n u +→∞=+∞故{}n u 发散.选（D ）（7）【答案】( C)【解析】由( C)，推知(,)(0,0)00(),f x y f x y o ρ-==⋅+⋅+其中ρ=0()limlim 0o ρρραρ→→==⋅对照全微分定义，相当于000,0,,,0,0.x y x x y y A B ==∆=∆===可见(,)f x y 在(0,0)点可微，故选择（C ）.（8）【答案】（B ）【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D ，交换为先x 后y11sin 0sin 2(,)(,)xarc ydx f x y dy dy f x y dx ππππ-=⎰⎰⎰⎰， 所以选择(B).（9）【答案】(A)【解析】根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立.则称123,,ααα线性相关.因1223310αααααα-+-+-=， 故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. (10)【答案】（B ）【解析】2111111111211210311211203E A λλλλλλλλλλ--=-=-=----()230λλ=-=因为A 的特征值是3，3，0，B 的特征值1，1，0，因为特征值不等，故不相似. A 与B 有相同的正惯性指数2，秩都等于2，所以A 与B 合同，应选（B ）.二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
2007年中科院硕士试题--数学分析
中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
1. （15分）求幂级数∑∞=+02!21n n n x n n 的收敛域，并求其和。
2. （15分）讨论积分dx x x e px ∫∞+0sin 2sin 的绝对收敛和条件收敛。
3. （15分）计算曲面积分∫∫，其中Σ为曲面Σ+++xydxdy ydzdx z x yzdydz )(22224z x y +=−在xoz 平面的右侧部分的外侧。
4. (20分，每小题10分）证明下列不等式：（1）nex x n 1)1(<− 10(<<x ，为正整数）； n （2）。
)0,(1>>+y x y x x y 5. （15分）设级数收敛，且绝对收敛。
证明：级数收∑∞=1n n b ∑∞=−−11)(n n n a a ∑∞=1n n n b a 敛。
6. （15分）假设)(x f 为二次连续可微实值函数，对于所有的实数x ，满足1)(≤x f 且满足4))2=。
证明存在实数0x ，满足0)('。
0('())0((2+f f ')(00=+x f x f科目名称：数学分析第1页 共2页 good7. （15分）假设 1|)(和1|)(''||≤x f ≤x 对一切]2,0[f ∈x 成立，证明：在]2,0[上有2|)('。
|≤x f8. （15分）设),(],1,0[]1,0[y x f D ×=是定义在上的二元函数，，且在处可微。
求极限：D 0)0,0(=f ),(y x f )0,0(400421),(lim x x t x x edu u t f dt −+→−∫∫ 9. （15分）设，+∞<<∞−0x )(x ϕ和在)(x f ],[00h x x +上连续，且存在，使得0,0>>K M ),(,|)()(|1|)(|000h x x x dt t f t K M x x x +∈⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤∫ϕϕ。
2007年考研数学一真题及问题详解
2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)当时，与等价的无穷小量是(A) (B)(C) (D)【答案】B。
【解析】当时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。
【解析】由于∞，则是曲线的垂直渐近线；又∞∞∞∞∞所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于∞一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在∞一侧。
∞∞∞∞∞∞∞∞∞则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除(A)和(D),故选(C)。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误．．的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C) 若存在，则′存在(D) 若存在，则′存在【答案】D。
【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；(B)：若存在，则,则，故(B)正确。
(C)存在，知，则′则′存在，故(C)正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是′不存在，故命题(D)不正确。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数在∞内具有二阶导数，且′′,令,则下列结论正确的是(A)若,则必收敛 (B)若,则必发散(C)若,则必收敛 (D)若,则必发散【答案】D。
2007年考研数学一真题(含解析)
2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→( )A. 1-B.C. 1D.1-(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( )A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F -- (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( ) A.若12u u >，则{n u }必收敛 B. 若12u u >，则{n u }必发散 C. 若12u u <，则{n u }必收敛 D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。
硕士研究生入学统一考试2007数一、数二、数三、数四试题完整版试题详解及评析
x =1
= 1 ⇒ ln c = 1, c = e 。则得特解为： y =
⎛ 1 ⎞ ∂z ⎛ x ⎞ ∂z ⎛− y⎞ ⎛1⎞ ⎟ = fu′⎜ 2 ⎟ + f v′⎜ = f u′⎜ ⎟ + f v′⎜ ， ⎜ ⎟ ⎜ − y2 ⎟ ⎟ ∂x ⎝ x ⎠ ⎝x⎠ ⎝ y ⎠ ∂y ⎝ ⎠
x y x y x ∂z ∂z −y = − f u′ + f v′ − f u′ + f v′ x y x y ∂x ∂y
∫
π
π
2
dx ∫
1
sin x
f ( x, y )dy 等于（
π
） 。
（A） （C）
∫
1
0 1
dy ∫
π
π + arcsin y π + arcsin y
f ( x, y ) dx
（B） （D）
∫
1 0
1
0
dy ∫
π − arcsin y
f ( x, y ) dx
∫ dy ∫π
0
f ( x, y )dx
（C）30
（D）40
dQ P − 2P = = 1 ，则 P = 40 。 dP Q 160 − 2 P
本题考点：导函与微分应用。相同例题参见水木艾迪 2007 模拟试题数四 18 题。 (6)曲线 y = （A）0
1 + ln(1 + e x ) ，渐近线的条数为 x
（B）1 （C）2 （D）3
【解】 答案 D。 垂直渐近线 x = 0 ， 水平渐近线 y = 0( x → −∞ ) ， 斜渐近线 y = x ( x → +∞ ) 。 特别提示：渐近线的实质是极限问题，应从单侧极限入手考察单侧渐近线的存在性。参见 水木艾迪考研数学 36 计例 5-10，基础班讲义例 4-24，强化班第 2 讲例 43。 （7）设向量组 a1 , a 2 , a 3 线性无关，则下列向量组线性相关 的是 ．．．． （A） a1 − a 2 , a 2 − a 3 , a 3 − a1 （C） a1 − 2a 2 , a 2 − 2a 3 , a 3 − 2a1 （B） a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 − a1 （D） a1 + 2a 2 , a 2 + 2a 3 , a 3 + 2a 3
2007年硕士研究生入学考试(数学一)试题及答案解析
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是(A) 1xe-. (B) 1ln1x x+-. (C)11x +-. (D) 1c o s x -. [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~xxee x -=---；111~2x x +-；2111c o s~().22x x x -=利用排除法知应选(B).(2) 曲线1ln (1)xy e x=++，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim [ln (1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln (1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln (1)ln (1)limlim []limxxx x x y e e xxxx→+∞→+∞→+∞++=+==lim11x xx ee→+∞=+，1lim [1]lim [ln (1)]xx x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim [ln (1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln (1)0x xxx x e ex e--→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t d t =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当0x +→）A.1-B1C.1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小 【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以1(1-::211,2-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）. 方法2：==ln 1⎛⎫+ ⎝ 当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以)ln 1~~1~x ⎛= ⎝B ）.方法3：0lim x +→00lim x x →→'洛1lim lim 1x x ++→→==1A x=+(()111A B x x ++=- 对应系数相等得：1A B = =，所以原式00lim lim 1x x x ++→→⎡⎤==+⎢+⎣0lim lim 011x x x ++→→=+=++1=，选（B ）.（2） 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ）（3） 如下图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4） 设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（ ）.A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
x 0 x 0 x 0
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 所以 2 f (0) lim x lim lim x 0 lim 0 x 0 x 0 x 0 x x x x 0
1 ex lim ln( x ) lim ln(e x 1) ln1 0 x x e
所以 y x 是曲线的斜渐近线，所以共有 3 条，选择(D) (6)【答案】( D) 【详解】 un f (n) ，由拉格朗日中值定理，有
un1 un f (n 1) f (n) f '(n )(n 1 n) f '(n ),(n 1, 2,L ) ，
f x lim f x ，所以 x 0 是 f ( x ) 的第一类间断点， f ( x ) 在 x 0 存在左右极限，但 lim
x 0 x 0
选(A)； 同样，可验证其余选项是第二类间断点， lim f x ， lim f x ， lim f x .
0 0 2 2
3
2
3
3
1 的半圆的面积的负值， 2
-2-
所以 f (t )dt
2
3
r2
2
2
1
2
2 2 8
3
所以 所以
F (3) f (t )dt f (t )dt
0 2
2
8
07考研数一真题及答案
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为_______ 【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故3条(8) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B_______(填是否合同，相似)【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同.二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)(11)12311x e dx x⎰=_______ 【分析】 先作变量代换，再分部积分。
【详解】111213213211211()t xt txe dx t e dt te dt x t ==-=⎰⎰⎰ =111121112221.2tt t tdetee dt e =-=⎰⎰(12) 设f (u ,v )为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂∂=_______ 【详解】 利用复合函数求偏导公式，有z x∂∂=112ln .y xf yx f y y -''⋅+⋅ (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的通解为_______ 其中21,C C 为任意常数.【详解】 特征方程为2430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方程430y y y '''-+=的通解为 312.x xy C e C e =+设非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的特解为*2xy ke=，代入非齐次方程可得k= −2. 故通解为32122.x x xy C e C e e =+-(14) 设曲面:1x y z ∑++=，则dS y x ⎰⎰∑+|)|(= _______【详解】 由于曲面∑关于平面x =0对称，因此dS x ⎰⎰∑=0. 又曲面:1x y z ∑++=具有轮换对称性，于是dS y x ⎰⎰∑+|)|(=dS y ⎰⎰∑||=dS x ⎰⎰∑||=dS z ⎰⎰∑||=dS z y x ⎰⎰∑++|)||||(|31=dS ⎰⎰∑3123831⨯⨯==43.3 (15) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为_______. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1. 三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值。
2007考研数学一真题解析
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4 分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1−(B)ln1(D)1−【考点分析】：等价无穷小的定义和常用的等价无穷小 【求解过程】：◼ 方法一：利用等价无穷小0x +→时，()11~−=−−()12111~=+−2111~22x −=，(ln 1~=+◼ 方法二：可用洛必达法则和等价无穷小的定义来求解 验证极限,,lim x A B C D +→是否等于1，其中(),,A B C D 表示A ，B ，C ，D 四个选项中的式子。
故选B【基础回顾】：下面，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时。
来说明两个无穷小之间的比较。
应当注意，下面的α及β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0α≠，lim βα也是在这个变化过程中的极限。
定义：如果lim0βα=就说β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； 如果lim βα=∞，就说β是比α低阶的无穷小。
如果lim 0c βα=≠，就说β与α是同阶无穷小；如果lim 0,0k c k βα=≠>，就说β是关于α的k 阶无穷小。
如果lim1βα=，就说β与α是等价无穷小，记作αβ。
显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即1c =的情形。
常用等价无穷小，当0x →时，1~ln(1)~sin ~tan ~xe x x x x −+()11~x x αα+−， 211cos ~2x x −(2)曲线()1ln 1x y e x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【考点分析】：曲线的渐近线（水平、垂直、斜渐近线）的条数 【求解过程】：计算垂直渐近线：求函数在其不连续点0x x =处的极限，若为∞则存在垂直渐近线0x x =函数只有间断点0x =，()001lim lim ln 1x x x y e x →→=++=∞⎪⎝⎭，故存在垂直渐近线0x =计算水平渐近线：求函数在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，则有水平渐近线y a =()1lim lim ln 10x x x y e x →−∞→−∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，故存在水平渐近线0y = 计算斜渐近线：求yx在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，且0a ≠，求出y ax −在相应处的极限b ，则有斜渐近线y ax b =+()2ln 11lim lim 0lim 11x xx x x x e y e x x x e→+∞→+∞→+∞⎛⎫+ ⎪=+=+= ⎪+⎝⎭()()111lim lim ln 1lim ln 0x xx x x x e y x e x x x e →+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+⎛⎫−=++−=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故存在斜渐近线y x = 选D 。
西北大学数学考研真题
西北大学数学考研真题
1. 题目一：
设有n个正整数，两两互不相等。
从这些数中挑选若干个组成一个集合A，使得A中所有元素的和可以被m整除，并且对
于不同的集合A和B，其元素和除m的余数不同。
求满足条
件的集合A的个数。
2. 题目二：
设f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数，且a ≠ 0。
若对于任意实数x，都有f(f(x)) = 0，则试问f(x)的根的个数可
能为多少？
3. 题目三：
已知某区域内有50个平面，任意两个平面之间的夹角为120°。
现在需要在这些平面上选择尽可能多的点，使得任意三个点不共线。
求所能选择的最大点数。
4. 题目四：
设r1，r2，…，rn为n个正整数的一个重排列，其中r1 = 1，
r2 = 2，…，rn = n。
定义S = |r1 - 1| + |r2 - 2| + … + |rn - n|。
求
证当n为奇数时，S的取值最小；当n为偶数时，S的取值可
能是其最小值。
5. 题目五：
已知平面上有n个点，其中任意三个点不共线。
现将这n个点分成若干组，每组至少有三个点，并且每组内的点可以构成一个凸多边形。
若将这n个点分组后共得到m个凸多边形，问m的取值范围可能是多少？。
2007年数学考研真题及解析
2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 ( ) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。