26.1.3.1二次函数y=ax2+k的图象性质

o
x
o
x
A
B
C
D
练习： 3、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2） （0，-1）求该抛物线线的解析式。 （2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开 口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线 解析式。
（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经
过（1，2）的点的解析式，
顶点是最高点 （最大值为k） 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
函数y=ax2 (a≠0)和函y=ax2+k(a≠0) 的图象形状 相同 ，只是位置不同； 当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得 到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 下 平移 |k| 个单位 得到。
例3.在同一直角坐标系中,画出二次函 数y=-x2 和y=-x2 +3， y=-x2 -2的图像
函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到.
-10 -5
4
y
2
y=-x2+3
5
O
-2
x
10
函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移 2个单位长度得到.
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=c
函数y=x2 -2的图 象与y=x2的图象的 形状相同吗?
5
2
O
-2
x
10
y=x2-2
(1) 抛物线y=x2-2,y=x2的开口方向、 对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2-2 与抛物线y=x2有什么 关系?
抛物线y=x2 -2: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,-2). 抛物线y=x2: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0, 0).
-10 -5
6
4
2
y=x2
O
-2
x
10
(1) 抛物线y=x2+1,y=x2的开口方向、 对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1 与抛物线y=x2有什么 y=x2+1 关系? y
抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0, 0).
然后描点画图,得到y= x2＋1,y=x2的图像.
x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
…… ……
5
2
1
2
5
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图象 与y=x2的图象的形 状相同吗?
5
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到. 相同
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
a是二次项系数 b是一次项系数 C是常数项
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2 • 例1：若函数 y (m 2) x 则m的值为 。
m2 2
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 是 增大；在 ，在___
,对称轴
侧，y随着x的增大而 ,它是由抛物线y=

侧，y随着x的增大而减小，当x= _____
时，函数y的值最大，最大值是
−2x2线怎样平移得到的__________.
（ 2）抛物线 y= x² 的顶点坐标是____，对称轴是 -5
____,在对称轴的左侧，y随着x的
轴的右侧，y随着x的 值最___，最小值是 .
；在对称
，当x=____时，函数y的
2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
y
y
o
x
o
x
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2 -2 和y=x2 的图像
解: 先列表
x … -3 -2 -1 0 1 y=x2 -2 … 7 2 -1 -2 -1 y=x2 … 9 4 1 0 1 2 2 4 3 7 9 … … …
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0
y
O
a<0 y
x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的 图象向 上 平移 5 个单位得到； y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 下 平移 11 个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平 移 4 个单位可得y=-3x2的图象；将 y=2x2-7的图象向 上 平移 7 个单位 得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图 象向 上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单 位，所得的抛物线的函数式 y=4x2+3 是 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单 位,所得的抛物线的函数式 y=-5x2-4 是 。
向下 ， （4）抛物线y=-3x2+5的开口 y轴 ，顶点坐标是 对称轴是 ， (0,5) 在对称轴的左侧，y随x的增大 增大 而 ，在对称轴的右侧，y随x的 减小 增大而 ， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个 5 值等于 。
y=-x2 y=-x2-2
-4
-6
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
-8
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
对称性
顶点
增减性
顶点是最低点 (最小值为k) 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
轴是
，顶点是
；在
，在
对称轴的左侧，y随x的增大而
对称轴的右侧，y随x的增大而
；
试一试：
3、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴
是
，顶点是
；在对
，在对称 ；
称轴的左侧，y随x的增大而 轴的右侧，y随x的增大而
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1 和y=x2 的图像
解: 先列表
x … -3 -2 -1 0 y=x2+1 … 10 5 2 1 y=x2 … 9 4 1 0 1 2 1 2 5 4 3 … … 10 … 9
然后描点画图,得到y= x2 -2,y=x2的图像.
x y=x2 y=x2-2
….. …… ……
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
……
2
-1
y
8
-2
-1
2 ……
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到. 相同
-10 -5
6
4
y=x
函数y=x2-2的图象与 y=x2的图象的位置有什 么关系? 2
（5）抛物线y=7x2-3的开口 向上 ， 对称轴是 y轴 ，顶点坐标 (0,-3) 是 ，在对称轴的左侧，y随 x的增大而 减小 ，在对称轴的右侧， 增大 y随x的增大而 ， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个 -3 值等于 。
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过 点A（1，-1），B（2，5），则函数 2+c的表达式为 y=2x2-3 y=ax 。 若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象 上，则点C的坐标为 (-2,5) 点D的 坐标为 ( 5 ,7) 或 ( 5 ,7) .
为二次函数，
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, 对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.