2018年中国科学技术大学自主招生笔试数学真题(含答案)
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解析2016・6一、填空题（每小题6分，共48分）1. 32016除以100的余数为•解21 +由f 3药怡=9100S= (10 - 1)100&,有32OlG=(―卯处 + CJ OM・(―叩期-10 (mod 100), 于是32OlG = 21 (mod 100)2. 复数z，Z2满足|z Z+, 1十I，则|的值是.设起数Z H J2;；I +;3庄篁平而内的苛盛蛊令別甫A.H.C,刖四迪殆OACB梅扳平打四边诺.的撲为接丁来求它的幅金.在^\OAC中盛用余苗宅理*有于jt. oosZAOfi = 进而可得4i2 + 32 - 422 2 3~3. 用S(A)表示集合A 的所有元素之和，且 A {1,2,3,4,567,8}, S(A)能被3整除，但不能 被5整除，则符合条件的非空集合 A 的个数是将集合.4划分为岛={14了}4 = {2 用川 h 松={3,6},于是使碍5(A)能械3整除的非空集合.4的个数有[(C? + CS)2 + (CJ)2 + (Cl)2] 2? - 1 = 87.接下乗垮唐S(A)旄殖15整除的非空集合4的金数，忧时S(A) = \^或S(A) = 2Q.(1) S{A.)= 15.比时按it 丸元素分別为&7,分英，分时有％去乩1金’共计13金.(S)S(A} = 3().此时只喘羹常恿= G 的情刑，展有d 个.塢上所述*甘舍燕件的非空集舍4的卒牡为87-13-4 = 70.4. 已知 AABC 中，si nA ，2s in BcosC =0，贝U tanA 的最大值是询 sin A = sii )(ZJ + Q = sinJ?(™C l -™/3sinC p 得3 sin B cos (7 4- cos B KinC = 0,即 3 tun H + taiiC = 0.5. 若对任意实数x 都有|2x-a| J3x-2a|_a 2，则a 的取值范围是于足 tan A = — tai] (/? + G)= tan B I tanC 1 — tan 13 - tan C Stan B1 +3tnn J /? ---- - + 3lan 1?tan B V7学jau(7 =—旳时取蒔因此tan A 的S 解易知环 /（!）= |2r-o| + |3z-2a|庭工=鲁 业取得載小｛£ ；（y ）=星 于"不等式r i ii因此（i 的取值范国是 --.-.6. 若很三（孑2）， b （0,1）， X =（sin 〉）logbSin 〉，y =（cos 〉）log w ，则 x y （填•,=,：：：）2 2 lo 2 sin a In 2 cos a sin a > oasa => 0 > Ln sin a > lncosa => In sin a < In sin o 令一-_；— > —-_=— Inb In b因此 InHAliiy* 从而 hA »-AC, BD 交于R ,过P 作AB 的平行线交 BC 于点Q i , AQ iBC 于点 Q 2，…，若 AB =a,CD =b ，则 RQ n =.（用a,b,n 表示） 取时戟，可得. In 2 sin a . lir cosnln&7.梯形ABCD 中，AB//CD ，对角线 交BD 于P ,易知环/（!）= |2r-o| + |3z-2a|庭工=鲁业取得載小｛£；（y）=星于"不等式i£P、Qi = € NJ* 则却=CD =扒且2016 I8数列｛a n ｝中，a n 是与.n 最接近的整数，则 7 -二. n4 a n因比 …-)Q^oifi 为1」咼22&…忌札…出…，込耳… J4山5,45,…，45, V —' 、■ * ' * “ ‘ *"2 牛 4 勒 2k 88 36 +2OIC | 恥 / - 、 . 4 . 4n=] km I、解答题(第9小题满分16分，第10、11小题满分18 分)錠 由均值不爭式，有 eye因此原苹等式稈证10.求所有函数f :N rN ，使得对任意正整数 x 严y ， 0 ：| f (x) - f (y) | ：：2 | x-y |.= l t 具中 /(l) EW. ■n记 A = round ( *57) * 则疽 k =进而可得9.已知 a,b, c 0 , a b c =3，再曲柯西干等式’有亍 2a 2 L 2u + &+ ceye也即 k 2 — k -t- 2十 a求a 32帳携腿竈+取y = ^ + i t则有时任意HEPPt均有0 <1/(® +1)-"上}| "即|/{1 +1)- /(«)| = L考虑#iL#* x^y,|/(x) - f(y)\ >0,圍此f 为单4L iiitt味着f(x+ 1) - f(i)三1 或列丁+ 1)—列刃三一Lf舌刑芯然岀JX不同的自菠量映财到同一伞正整歌/” #虑到崖时乘舍助闻*,宵此兀工+1)—『口)三1’ 琥窃可f(n) = f(l) + u-l)其中/(1)€N*.11.求方程2x -5y 7^1的所有非负整数解(x, y, z).K = (1|^|0)»(3,0,1)幅堆履总,有(-1^ -(-!)»■ 1£ = 1 (mod 3),凶光工希青*t且F旳儁丸ilr~2m-il t y~2n y I?■中nt:neN.于址尿才淞芋阶于2 4和-耶"7 - L* n * 0,剧2 (-1)^ = L (mod &i.牙蔺，于世联一山叱吋廉才程帝脅于俨一产_ J(I)? = 0. nt= ft.因比(J j/, z) =(1,0.0)怜轿舍对意的一期鲜⑵芸£式丄阿= 1 (mod 4|.于是二沖奇轍’ i£ i 卩€臥瞄關淖程辛會于2•們7 1讲一1.若p —■削m — 1,圏此2*R =)= S h U,l］沖期舍趙盘的一粗解*彗卩#山则师孑丄，于走^7 1^=\iitiud 1臥棕上弁連*權方理的朋南菲曲整艇解询z.y.z) - (LO.OJ.flO.lJ.。
【2018最新】中科大笔试试题-范文word版 (8页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==中科大笔试试题篇一：中科大软院数据库考试题一、给定关系 R(A,B) 和 S(B,C) ，将下面的关系代数表达式转换为相应的SQL语句：π (attribute-list) [ ? (condition) [ R ? S ] ]二、Megatron 747 磁盘具有以下特性： 1）有8个盘面和8192个柱面2）盘面直径为3.5英寸，内圈直径为1.5英寸 3）每磁道平均有256个扇区，每个扇区512字节 4）每个磁道10％被用于间隙 5）磁盘转速为 7200 RPM6）磁头启动到停止需要1ms，每移动500个柱面另加1ms回答下列有关Megatron 747的问题（要求写出式子并且计算出结果，精确到小数点后两位）： 1）磁盘容量是多少GB？2）如果一个块是8KB，那么一个块的传输时间是多少ms？ 3）平均寻道时间是多少ms？ 4）平均旋转等待时间是多少ms？三、下面是一个数据库系统开始运行后的undo/redo日志记录，该数据库系统支持simple checkpoint设日志修改记录的格式为 <Tid, Variable, New value, Old value>，（1）、（2）、（3）为三种故障情形下磁盘日志内容，请分别给出这三种情况下数据库系统的恢复过程以及数据元素A, B, C, D, E, F和G在执行了恢复过程后的值。
四、查询处理器在回答涉及R(A, B)和S(B, C)的查询“Select * From R, S Where R.B=S.B and R.B=10”时，生成了下面的逻辑查询计划：?R.B?10?R???S.B?10?S?，已知有关参数为：? R和S的元组都是定长的，在磁盘块中连续存放? T(R) = 60000，V(R, B) = 12，B(R) = 6000，T(S) =30000， V(S, B) = 5，B(S) = 1000 我们假设： 1）此查询计划中的连接实现时采用散列连接算法（非“混合散列连接”）2）中间结果不写回磁盘3）散列的桶存储在磁盘上4）最终结果存放在内存中5）有足够的内存可以执行散列连接算法请估计此查询计划的I/O代价。
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案2018年XXX第二批次自主招生（实验班）数学考试试卷考试时间：90分钟，满分100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个正确答案）1.化简 (2-m)/(m-2) 的结果是：A。
m-2B。
2-mC。
-m-2D。
-2/(m-2)2.表达式 abc+abc+abc 的所有可能值的个数是：A。
2个B。
3个C。
4个D。
无数个3.某班50名学生可在音乐、美术、体育三门选修课中选择，每位学生至少选择一门。
选择音乐的有21人，选择美术的有28人，选择体育的有16人，既选择音乐又选择美术的有7人，既选择美术又选择体育的有6人，既选择体育又选择音乐的有5人，则三项都参加的人数是：A。
2B。
3C。
4D。
54.已知二次函数 y=x^2-2x-6，当m≤x≤4 时，函数的最大值为2，最小值为-7，则满足条件的 m 的取值范围是：A。
m≤1B。
-2<m<1C。
-2≤m<1D。
-2≤m≤15.适合不等式 2/(3x-y) ≤ 1，且满足方程 3x+y=1 的 x 的取值范围是：A。
x≤1/3B。
-1≤x<1/3C。
x≤1D。
-1≤x≤16.已知 A、B 两点在一次函数 y=x 的图像上，过 A、B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y=1/x (x>0) 于 M、N 两点，O 为坐标原点。
若 BN=3AM，则 9OM^2-ON^2 的值为：A。
8B。
16C。
32D。
367.在直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，M、N 是 BC 边上的点，BM=MN=CN/2，如果 AM=8，AN=6，则 MN 的长为：A。
4√3B。
2√3C。
10D。
10/38.将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n,m) 表示第 n 排，从左到右第 m 个数，如 (4,2) 表示奇数 15，则表示奇数 2017 的有序实数对是：A。
中科大历年考研数学真题
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解析 2016.6一、填空题（每题6分，共48分）1．20163除以100的余数为 .2．复数12,z z 知足12||2,||3z z ==，12||4z z +=，那么12z z 的值是.3．用()S A 表示集合A 的所有元素之和，且{12345678}A ⊆，，，，，，，， ()S A 能被3整除，但不能被5整除，那么符合条件的非空集合A 的个数是 .4．已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=，那么tan A 的最大值是 .5．若对任意实数x 都有2|2||32|x a x a a -+-≥，那么a 的取值范围是 .6．若(,)42ππα∈，(0,1)b ∈，logsin log cos (sin ),(cos )b b x y αααα==，那么x y (填,,>=<)7． 梯形ABCD 中，//AB CD ,对角线,AC BD 交于1P ,过1P 作AB 的平行线交BC 于点1Q ，1AQ 交BD 于2P ,过2P 作AB 的平行线交BC 于点2Q ，…，假设,AB a CD b ==，那么n n P Q = .（用,,a b n 表示）8． 数列{}n a 中，n a 最接近的整数，那么201611n na ==∑ .二、解答题（第9小题总分值16分，第10、11小题总分值18分） 9．已知,,0a b c >，3a b c ++=22232≥10．求所有函数:f N N **→，使得对任意正整数x y ≠，0|()()|2||f x f y x y <-<-.11．求方程2571x y z -⋅=的所有非负整数解(,,)x y z .。
2017中科大自主招生数学试题
2017中科大自主招生数学试题1、要使多项式不含的一次项，则与的关系是（）[单选题] *A. 相等(正确答案)B. 互为相反数C. 互为倒数D. 乘积为12、2．如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作（）．[单选题] *A．5元B. -5元(正确答案)C .-3元D. 7元3、6.有15张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这15张卡片中任意抽取一张正面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是1/3?，则正面画有正三角形的卡片张数为（）[单选题] *Ａ.3Ｂ.5Ｃ.10(正确答案)Ｄ.154、32．已知m＝（）﹣2，n＝（﹣2）3，p＝﹣（﹣）0，则m，n，p的大小关系（）[单选题] *A．m＜p＜nB．n＜m＜pC．p＜n＜mD．n＜p＜m(正确答案)5、下列语句中，描述集合的是（）[单选题] *A、比1大很多的实数全体B、比2大很多的实数全体C、不超过5的整数全体(正确答案)D、数轴上位于原点附近的点的全体6、在0°~360°范围中，与645°终边相同的角是（）[单选题] *285°(正确答案)-75°295°75°7、9. 一个事件发生的概率不可能是(? ? ?) [单选题] *A．0B．1/2C．1D．3/2(正确答案)8、若39?27?=321，则m的值是（）[单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 5D. 69、2.当m=-2时，代数式-2m-5的值是多少（）[单选题] *A.-7B.7C.-1(正确答案)D.110、7．把点平移到点，平移方式正确的为（）[单选题] * A．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度(正确答案)11、计算(2x－1)(5x＋2)的结果是() [单选题] *A. 10x2－2B. 10x2－5x－2C. 10x2＋4x－2D. 10x2－x－2(正确答案)12、在0°~360°范围中，与-460°终边相同的角是（）[单选题] * 200°(正确答案)560°-160°-320°13、45．下列运算正确的是（）[单选题] *A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16(正确答案)D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n214、47、若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（）[单选题] *A．3B．4C．1或3D．3或5(正确答案)15、x3??(m为正整数)可写成( ) [单选题] *A. x3＋x?B. x3－x?C. x3·x?(正确答案)D. x3?16、下列计算正确的是( ) [单选题] *A. (－a)·(－a)2·(－a)3＝－a?B. (－a)·(－a)3·(－a)?＝－a?C. (－a)·(－a)2·(－a)?＝a?D. (－a)·(－a)?·a＝－a?(正确答案)17、6．已知集合A={0,1,2}，则集合B={(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) [单选题] *A．1B．3C．6(正确答案)D．918、北京、南京、上海三个民航站之间的直达航线,共有多少种不同的飞机票?（）[单选题] *A、3B、4C、6(正确答案)D、1219、两个有理数相加，如果和小于每一个加数，那么[单选题] *A.这两个加数同为负数(正确答案)B.这两个加数同为正数C.这两个加数中有一个负数，一个正数D.这两个加数中有一个为零20、29.若（2，a）和（3，b）是直线y=x+k上的两点，那么这两点间的距离为（）[单选题] *A.8B.10C.√2(正确答案)D.221、6．若一个正比例函数的图象经过点(2，－3)，则这个图象一定也经过点( ) [单选题]* A．(－3，2)B．( 3/2，－1)C．(2/3，－1)(正确答案)D．( －2/3，1)22、下列运算正确的是（）[单选题] *A. a2?a3=a?B. （﹣a3）2=﹣a?C. （ab）2=ab2D. 2a3÷a=2a2(正确答案)23、19、如果点M是第三象限内的整数点，那么点M的坐标是（）[单选题] *（-2，-1）（-2，-2）（-3，-1）(正确答案)（-3，-2）24、掷三枚硬币可出现种不同的结果（）[单选题] *A、6B、7C、8(正确答案)D、2725、下列各式中能用平方差公式的是（）[单选题] *A. (x＋y)(y＋x)B. （x＋y)(y－x)(正确答案)C. (x＋y)(－y－x)D. (－x＋y)(y－x)26、-230°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限(正确答案)第三象限第四象限27、函数f（x）=-2x+5在（-∞，+∞）上是（）[单选题] *A、增函数B、增函数(正确答案)C、不增不减D、既增又减28、两数之和为负数，则这两个数可能是? [单选题] *A.都是负数B.0和负数(正确答案)C.一个正数与一个负数D.一正一负或同为负数或0和负数29、由数字1、2、3、4、5可以组成多少个不允许有重复数字的三位数?（）[单选题]*A、125B、126C、60(正确答案)D、12030、19．对于实数a、b、c,“a>b”是“ac2(c平方)>bc2(c平方) ; ”的（）[单选题] * A．充分不必要条件B．必要不充分条件(正确答案)C．充要条件D．既不充分也不必要条件。
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。
10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。
11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。
2018年高中自主招生必做试卷习题数学含答案
长方形的每条边都与大长方形的一边平行，并且每个小长方形的长与宽之比也都为3:1，尔后把它们
剪下，这时，所剪得的两张小长方形纸片的周长之和有最大值．求这个最大值．
18、（15分）如图，在以O为圆心的圆中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，弦BE与半径OC订交于点
2x + y≤5，
A、
3x + 4y≥9，
、
3x + 4y≥9，
C、3x + 4y≥9，
D、3x + 4y≤9，
B
y≥0
x≥0
x≥0
y≥0
订
D
C
G
F
装
A
E
B
第3题图
第6题图
第7题图
S四边形AGCD
第9题图
等于
(
)
校
7、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则
S矩形ABCD
4
：
（1）如 （
1），其周 和= 2
(2
1
2
1)
51.
⋯⋯⋯⋯3 分
3
3
（2）如 （
2），其周 和=2( x
3x)
2
(1
x) 3(1
x)
8.
⋯⋯⋯⋯6 分
（3）如 （
3），其周 和= 8.
⋯⋯⋯⋯9 分
（4）如 （
4），其周 和= 2(3x
x)
2
(3
3
x
16
8.
x)
x
3
3
∵0 3x
XXX2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)
XXX2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)1.已知$a$、$b$、$c$是一个三角形的三边，则$a+b+c-2ab-2bc-2ca$的值是（）。
A。
恒正 B。
恒负 C。
可正可负 D。
非负答案：选B根据三角形两边之和大于第三边的性质，可得$a+b-c>0$，$a-b+c>0$，$a+b+c>0$，$-a+b+c>0$。
将其代入原式，得$(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a+b+c-2ab-2bc-2ca)<0$，因此原式恒为负数，选B。
2.设$m$，$n$是正整数，满足$m+n>mn$，给出以下四个结论：①$m$，$n$都不等于1；②$m$，$n$都不等于2；③$m$，$n$都大于1；④$m$，$n$至少有一个等于1，其中正确的结论是（）。
A。
① B。
② C。
③ D。
④答案：选D将$m+n-mn>0$移项得$(m-1)(n-1)<1$。
因为$m$，$n$是正整数，所以只有$m=1$，$n=1$或$m=1$，$n=2$或$m=2$，$n=1$不满足条件，而$m=1$，$n$任意或$m$任意，$n=1$都满足条件，因此选D。
3.已知关于$x$的方程$2x+a=x+a$有一个根为1，则实数$a$的值为（）。
A。
$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ B。
$0$ C。
$1$ D。
以上答案都不正确答案：选A将$x=1$代入方程，得$2+a=1+a$，解得$a= \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
当$a=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$2x^2+2x+(1+\sqrt{5})=0$，无实根，舍去；当$a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$x^2-x-(1+\sqrt{5})=0$，有一个根为1，因此选A。
4.已知$a$，$b$，$c$是不完全相等的任意实数，若$x=a-2b+c$，$y=a+b-2c$，$z=-2a+b+c$，则关于$x$，$y$，$z$的值，下列说法正确的是（）。
XXX2018自主招生数学试卷(PDF版)
XXX2018自主招生数学试卷(PDF版) XXX自主招生试卷1.已知 $x+x=-3$，求 $x^3+x^3+1000$。
2.已知 $x+1/x=x/(x+t)$，求所有可能的 $t$ 之和。
3.平行四边形 $ABCD$ 中，$AB=15$，$CD=10$，$AD=3$，$CB=4$，求其面积。
4.已知 $y=x^3-4x+6$，其中 $a\leq x\leq b$，且 $x$ 的最小值为 $a$，最大值为 $b$，求 $a+b$。
5.已知 $y=2(x-2)^2+m$，若抛物线与 $x$ 轴交点与顶点组成正三角形，求 $m$ 的值。
6.正方形 $ABCD$ 边长为 $200$，$BC$ 以 $BC$ 为直径的半圆，$DE$ 为 $BC$ 的切线，求 $DE$ 的长。
7.在直角坐标系中，已知 $\triangle ABC$，$B(2,0)$，$C(9/2,0)$，过点 $O$ 作直线 $DMN$，$OM=MN$，求$M$ 的横坐标。
8.四圆相切，$\odot B$ 与 $\odot C$ 半径相同，$\odotA$ 过 $\odot D$ 圆心，$\odot A$ 的半径为 $9$，求 $\odotB$ 的半径。
9.横纵坐标均为整数的点为整点，$1/2<m<a$，$y=mx+a(1\leq x\leq 100)$，不经过整点，求 $a$ 可取到的最大值。
10.已知 $G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，$DE$ 过重心，$S_{\triangle ABC}=1$，求 $S_{\triangle ADE}$ 的最大值，并证明结论。
科学素养1.已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为 $85$，求另两边长（写出 $10$ 组）。
2.阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 $f[bx_1+(1-b)x_2]<bf(x_1)+(1-b)f(x_2)$，分别取 $b=11/4$ 和 $b=3$。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题及其详解
１. 满足 ｘ ＋ ２ｙ ＋ ３ｘ ＋ ４ｙ ≤５ ( ｘꎬｙ∈Ｒ) 的点( ｘꎬｙ)
所构成的区域的面积是 .
２. 方程 ｓｉｎ２ｘ ＋ ｃｏｓ３ｘ ＝ ０(０ < ｘ≤２π) 根的和是
.
３. 若△ＡＢＣ 三个顶点的坐标分 别 是 Ａ (０ꎬ１ ) ꎬＢ (１ꎬ
０) ꎬ Ｃ ç ｘꎬ
２０１９ 年中国科学技术大学
自主招生数学试题及其详解
甘志国
( 北京市丰台二中 １０００７１)
摘 要:２０１９ 年中国科学技术大学自主招生数学试题共包含 ８ 道填空题和 ３ 道解答题ꎬ试题难度是中等.
解得由笔者给出.
关键词:２０１９ 年科学技术大学自主招生数学试题ꎻ不定项选择题ꎻ回忆版ꎻ详解
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８ － ０３３３(２０１９)３４ － ００４６ － ０４
４
注 由以ＢꎬＣꎬＤ 的坐标分别是 (５ꎬ － ２. ５ ) ꎬ( － １０ꎬ
７. ５) ꎬ( － ５ꎬ２. ５) ꎬ(１０ꎬ － ７. ５) . 可求得 ＡＢ ＝ ５ １３ ꎬ直
５
线 ＡＢꎬＣＤ 的距离是
ꎬ所以题中的区域的面积是 ５ １３
ï
î － ２ｘ － ２ｙ≤５ꎬ
Ｃ 的坐标分别是( － １０ꎬ７. ５) ꎬ( － ５ꎬ２. ５) ꎬ进而可求得其
１
５
２５
面积是 ５ ２
＝ .
２
２２ ４
ìｘ ＋ ２ｙ≤０ꎬ
ïï
(３) í３ｘ ＋ ４ｙ≤０ꎬ
ï
î － ４ｘ － ６ｙ≤５ꎬ
可得该区域即△ＯＣＤꎬ其中点 Ｃꎬ
１
５
２５
面积是 ５ １３
( ｎ∈Ｎ ∗ ) 有唯一的零
2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案
2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。
5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。
．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。
10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。
故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。
2018年XXX自招题-含答案解析
2018年XXX自招题-含答案解析1.已知三角形的三边为a、b、c，求a+b+c-2ab-2bc-2ca的值。
解：使用三角形的面积公式，我们可以得到a²+b²+c²=2ab+2bc+2ca。
将其代入原式可得a+b+c-2ab-2bc-2ca=(a²+b²+c²)-(a+b+c)=-2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)=-2(a+b+c-2(ab+bc+ca)/2)=-2(a-b+c)×(a+b-c)/2=-2(a-b+c)(c-a+b)/2.因为a、b、c是一个三角形的三边，所以a-b+c>0，c-a+b>0，a+b-c>0，a-b+c-c+a+b>0，所以(a-b+c)(c-a+b)>0，即a-b+c和c-a+b同号，a+b-c<0，所以(a-b+c)(a+b-c)<0，即a-b+c和a+b-c异号，所以(a-b+c)(c-a+b)(a+b-c)<0，即a+b+c-2ab-2bc-2ca<0，即恒负。
因此选B。
2.已知m、n是正整数，满足m+n>mn，判断以下四个结论的正确性。
解：将m+n-mn>0移项得(m-1)(n-1)<1，因为m、n是正整数，所以m-1≥1，n-1≥1，所以(m-1)(n-1)≥1，与(m-1)(n-1)<1矛盾。
因此(m-1)(n-1)≥1，即m、n至少有一个等于1，故选D。
3.已知方程2x+a=x+a的一个根为1，求实数a的值。
解：将x=1代入方程可得2+a=1+a，整理得a=0.因此选A。
4.已知a、b、c是不完全相等的任意实数，令x=a-2b+c，y=a+b-2c，z=-2a+b+c，判断关于x、y、z的值的说法正确性。
解：将x、y、z相加可得x+y+z=-2a-2b-2c=-2(a+b+c)，因此x+y+z的XXX为负数，故说法B正确，至少有一个大于。