方程与不等式的综合应用

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专题学习--不等式与方程的综合应用

专题学习：不等式与方程的综合应用北京十二中王明文【写在前面】不等式（组）和方程（组）是探求不等和相等关系的基本工具，不等式（组）与方程（组）在相关概念，解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在等式与不等式的基本性质等方面；另外，解方程组，可以“统一思想”，即对几个方程通过代入或加减消元，解不等式时，只能“分而治之”，即分别求解，再确定公共部分.但在很多问题中，不等式与方程总是同时出现，借助于构造方程模型来解决不等式问题或者借助于构造不等式模型来解决方程问题，以及两者之间的灵活转换是常用的思想方法，而两个模型转换的关键是获取两者之间恰当的关联.【知识铺垫】1.不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法；2.方程组的概念，二元一次方程组的解法；3.含参数方程（组），不等式（组）的解法.【思想方法】方程模型与不等式模型的构建、互相转换.【例题精讲】一、构建方程或不等式模型解决求值或求范围问题例题1：关于x的方程4x-m+1=3x-1的根为负数，求m的取值范围.变式练习1：已知关于x的方程4x-m+1=3x-1，且2<m<4，求x的取值范围.变式练习2：当x为何值时，相应的关于x,y的二元一次方程4x-y+1=3x-1中y的值为正数.思路点拨：正确求解方程模型(一元一次方程)是前提，建立不等式模型并求解是落脚点，而联系二者的纽带是诸如“根是负数”、“2<m<4”、“y的值为正数”等从方程出发到不等式的关键词.注意：求解含参数方程的关键是将无关参数视为常数.例题2：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x >y ？变式练习1：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x >y >0？变式练习2：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解⎩⎨⎧<>00y x ，求m 的取值范围. 变式练习3：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足条件 0<x+y <1,求m 的取值范围.变式练习4：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，且2<m <4，求x-y 的取值范围. 变式练习5：已知关于x,y的方程组：有非负整数解，求正整数m 的值.思路点拨：首先正确求解含参数方程组模型，由此建立不等式或不等式组模型，并求解，二者联系的纽带围绕前后模型的解或参数展开.注意：含参数方程组的求解要注意两种情况：一是，参数不是未知数的系数，视参数为常数求解即可；二是，参数是未知数的系数，要注意其取值范围，然后视其为常数求解.例题3：如果⎩⎨⎧==21y x 是关于y x 、的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-331413x ax b x a x 的解集．变式练习1：已知x 、y 满足()22210x y a x y a -++--+=且31x y -<-，求a 的取值范围．变式练习2：若单项式133m x y --与52n m n x y +能合并成一项，求关于x 的不等式n n x m 220<-<的整数解.思路点拨：首先构建方程模型，并正确求解，根据前后之间的联系，构建不等式模型，并求解. 注意：方程组的构造基于前面所学的知识，例如：几个非负数的和为零，同类项的定义等.例题4：若关于x 的不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集为-1<x <1，求a •b 的值．变式练习1：若关于x 的不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩和⎩⎨⎧<-<-ax b b a x 536732解集相同，求(a+1)(b -1)的值.变式练习2：若关于x 的不等式组有两个整数解，求b 的取值范围.相关练习3：若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-132)3(21＜x x x ＞的整数解是关于x 的方程24x ax -=的根，求a 的值. 思路点拨：从正确求解不等式入手，落脚点还是构造不等式，中间联系的纽带是方程或方程组. 注意：含参数不等式的求解和含参数方程的求解类似，并且在不等式组中参数的位置一般不在系数位置.例题5：已知2mx+3>0的解集是x <3,求m 的值.变式练习1：已知a,b 为常数，若ax+b >0的解集是13x <,求不等式bx-a <0的解集. 变式练习2：关于x 的不等式()22a b x a b ->-的解是52x <，求关于x 的不等式0ax b +<的解集.思路点拨：从系数中含参数的不等式出发，结合所给解集确定参数的值或范围，并利用之进一步求解两一个不等式.注意：在求解系数中含参数的不等式时，一定结合所给解集进行恰当的讨论，建立有关参数的方程，并同时确定某个或某些参数的取值范围.二、构建方程与不等式模型解决实际问题例题6：星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？分析：先建立二元一次方程，再建立一元一次不等式组解决.例题7：某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．分析：先建立二元一次方程组，再建立一元一次不等式组解决.例题8：为迎接2002年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则如下表：当比赛进行到第12轮结束（每队均需比赛12场）时，A 队共积19分.请通过计算，判断A 队胜、平、负各几场？分析：先建立不定方程组：设A 队胜x 场、平y 场、负z 场，则有x y z x y ++=+=⎧⎨⎩12319，把x 当成已知数，可解得y x z x =-=-⎧⎨⎩19327. 再建立一元一次不等式组：由题意，x y z x y z ≥≥≥000、、，且、、均为整数，所以x x x ≥-≥-≥⎧⎨⎪⎩⎪01930270，解得312613≤≤x ，最后，获得满足题意的整数解：于是x 可取4、5、6，由此可得三组解（略）.思路点拨：解答这类题时，可先把题设中的方程（组）的解求出来，再根据题目中的限制条件列不等式（组）进行解答；或先求出题设不等式（组）的解集，再与已知解集进行比较，从而列方程（组）施行解答.注意：实际问题中通过一些关键词暗示该问题应建立不等式模型解决：诸如此类的关键词有：大于，小于，至少，至多，不少于，不多于，超过，不到等.【巩固练习】1、x 取什么值时，4)1(2++-=x y 的值是正数？负数？非负数？2、当m 在什么范围内取值时,关于x 的方程()()x m x m --=-+4122有：（1）正数解；（2）不大于2的解.3、若方程组3133x y k x y +=++=⎧⎨⎩的解为x y 、，且24<<-k x y ，则的取值范围是（） A. 012<-<x y B. 01<-<x y C. -<-<-31x y D. -<-<11x y 4、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x y x 212.（1）求这个方程组的解；（2）当m 取何值时，这个方程组的解中，x 大于1，y 不小于－1.5、已知：()121,23121-=+=x y x y ，如果1321-≤y y ，且1y 不小于2y ,求正整数x 的值． 6、已知方程组⎩⎨⎧+=---=+my x m y x 317的解满足x 为非正数，y 为负数.（1）求m 的取值范围；（2）化简：∣m －3∣－∣m ＋2∣；（3）在m 的取值范围内，当ｍ为何整数时，不等式2mx ＋x ＜2m ＋1的解为x ＞1.7、把若干个苹果分给几只猴子，若每只猴分3个，则余8个；每只猴分5个，则最后的一只猴分得的数不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果？8、某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件.（1）求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？（2）若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？【思维拓展】1、如果关于x 的不等式（2a －b ）x +a －5b ＞0的解为x ＜107 ，求关于x 的不等式ax ＞b 的解集．2、求方程组⎩⎨⎧=++=++3675352975z y x z y x 的正整数解.3、已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x u 245++=的最大值和最小值.。

如何解决实际问题中的方程与不等式

如何解决实际问题中的方程与不等式在现实生活中，我们经常会遇到许多实际问题，这些问题往往可以被转化为方程或者不等式来进行求解。

方程和不等式是数学中的重要工具，可以帮助我们得出问题的答案。

但是，在解决实际问题时，我们需要掌握一些方法和技巧，以确保我们能够正确地建立方程或者不等式，并成功地求解它们。

一、建立方程与不等式解决实际问题的第一步是正确地建立方程或者不等式。

这需要我们仔细分析问题，将问题中的关键信息转化为数学表达式。

以下是一些常见的情况和相应的建立方程或者不等式的方法。

1. 等量关系：当问题中涉及到两个量的等量关系时，我们可以将其中一个量表示为另一个量的函数，并建立相应的方程。

例如，如果问题中给出了一个正方形的边长是x，并且要求计算其面积，我们可以建立方程：面积 = 边长^2。

2. 比例关系：当问题中涉及到两个量的比例关系时，我们可以建立相应的比例方程。

例如，如果问题中给出了一个长方形的宽度是x，长度是2x，且要求计算其周长，我们可以建立方程：周长 = 2 * (宽度 + 长度)。

3. 条件限制：当问题中存在某些条件限制时，我们可以用不等式来表示这些条件。

例如，如果问题中给出了某个数的范围，我们可以建立相应的不等式。

例如，如果问题要求求解一个正数x，且该数小于10，我们可以建立不等式：x < 10。

二、解方程与不等式建立了方程或者不等式之后，接下来就是求解它们。

解方程和不等式需要我们运用一些技巧和方法，以得到问题的解。

1. 方程的解法：对于一元一次方程，我们可以通过逐步运算将未知数求解出来。

而对于高次方程，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法进行求解。

需要注意的是，方程的解可能有一个或多个，还可能无解或者无穷个解。

2. 不等式的解法：对于一元一次不等式，我们可以通过将未知数求解出来，并根据条件判断解集的范围。

而对于一元二次不等式，我们可以通过求解其对应的方程，然后用图像或者表格来表示出不等式的解集。

方程与不等式的应用如何利用方程和不等式解决实际问题

方程与不等式的应用如何利用方程和不等式解决实际问题方程和不等式是数学中非常重要的概念，它们的应用远不止于纸上的计算，更可以帮助我们解决实际生活中的问题。

通过运用方程和不等式，我们可以建立模型，分析问题，找到问题的解决方法。

本文将通过一些实际例子，来探讨方程与不等式的应用，以及如何利用它们解决实际问题。

一、方程的应用方程是用于表示两个量之间相等关系的数学表达式。

在实际中，我们常常会遇到各种各样需要求解的问题，而方程就是帮助我们求解这些问题的工具之一。

举例来说，假设小明有10个苹果，他和小红一起分享这些苹果。

如果小明和小红每人分得的苹果个数相同，我们可以建立如下方程来求解每人分得的苹果个数：10 = 2x其中，x代表每人分得的苹果个数。

解这个方程，我们可以得到x=5，表示每人分得5个苹果。

通过方程的求解，我们得到了问题的解决方法，即每人分得5个苹果，这样就能平均分享。

方程在实际问题中的应用是非常广泛的，无论是物理学、经济学还是工程学，方程都扮演着重要的角色。

通过建立合适的方程模型，我们可以分析问题，找到问题的解决方法。

二、不等式的应用不等式是用于表示两个量之间大小关系的数学表达式。

在实际问题中，有些情况不能简单地用等号表示，而是需要考虑大小关系，这时就需要使用不等式来解决问题。

比如，某公司每月的固定成本为5000元，每个产品的生产成本为10元，售价为20元。

公司希望通过卖出产品来覆盖固定成本，并获得利润。

为了求解该问题，我们可以建立以下不等式：20x ≥ 5000 + 10x其中，x代表销售的产品数量。

通过解这个不等式，我们可以得到销售的产品数量至少需要250个，才能覆盖固定成本并获得利润。

这样，我们就找到了问题的解决方法。

同样地，不等式在实际问题中的应用非常广泛。

比如在优化问题中，我们常常需要考虑资源的有限性和成本的限制，这时就需要使用不等式来求解问题。

三、方程与不等式在实际问题中的综合应用在实际生活中，方程和不等式往往是同时存在的，通过综合运用它们，我们可以更全面地分析问题并找到解决方法。

2024年人教版数学九年级上册第10讲有关方程与不等式的综合应用-课件

成
➢ Pure of heart， life is full of sweet and joy!
绩，
八
分
方
法
。
愿
全
天
下
所
有ห้องสมุดไป่ตู้
父
母
我们，还在路上……
第10讲有关方程与不等式的综合应用
C
B
【思路点拨】根据利润＝售价－进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费＋5个足球的花费＝435元，②篮球的单价－足球的单价＝3元，根据等量关系列出方程组即可．
B 【思路点拨】根据题意可以得到甲、乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，得以解决．
【思路点拨】设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元，由题意建立两个方程，构成方程组求出其解即可；设购进A种商品a件，则购进B种商品(34－a) 件，根据获得的利润不低于4 000元，建立不等式求出其解即可．
C
解析：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2(1＋x)万元，三月份销售额为2(1＋x)2万元，由题意可得：2(1＋x)2＝4.5，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不合题意舍去)，即该店销售额平均每月的增长率为50%.故选C.
A
【思路点拨】设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2(1＋x)2万元，依此等量关系列出方程，求解即可；六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为x m，根据草坪的面积是570 m2，即可列出方程．
都二
能分
运浇
用灌
好，
“八
二分
八等
定待
律；
”二

不等式(组)及分式方程综合应用

解应用题的基本步骤：（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验（6）答
典例精解
考点：分式方程,一元一次不等式（组）的应用
开明中学开学初在金利源商场购进A，B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000 元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元. （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
专题突破
旧知回顾
1、某产品进价120元，共有15件，为了使利润不低于1000元，那么这件产品的定价至少在多少元？
解：设定价为x元
(x-120) ×15≥1000
2.某人骑一辆电动自行车，如果行驶速度增加5km/h ，那么2h所行驶的路程不少于原来速度2.5h所行驶的路程.他原来行驶的速度最大是多少？
（3）【延伸题】在（2）条件下，若购买B品牌的足球数不少于A品牌足球数的1.5倍，求有多少种购买方案？
变式训练
考点：分式方程,一元一次不等式（组）的应用
为配合“一带一路”国家倡议,某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程.一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设,已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天.A工程公司单独施工45天后,B工程公司参与合作,两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程. (1)求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天?
（2）设未知数注意和题目中各个量关系都密切的量，注意根据问题情况灵活选择设法，如直接法，间接法，设多元等（3）求分式方程的解，验根应从两个方面出发：方程本身和实际意义
（2）开明中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A，B两种品牌足球共50个.恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售. 如果这所中学此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过 3260元，那么开明中学此次最多可购买多少个B品牌足球？

二元一次方程(组)和不等式(组)的应用

二元一次方程（组）和不等式（组）的应用1、端午节是我国传统的节日，人们素有吃粽子的习俗。

某商场在端午节来临之际，用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同，已知A种粽子的单价是B种粽子的单价的1.2倍。

（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共260 0个，已知A、B 两种粽子的进价不变，求A种粽子最多能购进多少个？2、某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：老板：如果你在多买一个，就可以打八五折，花费比现在还省17元。

小明：那就多买一个吧，谢谢！（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？3、在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的总量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子公用了2560元，求两种型号粽子各多少千克？4、刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用了140元又买了一些，两次一共购买了40 kg，这种大米的原价是多少？5、随着中国传统几日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折销售，乙品牌粽子打七五折销售，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要660元，打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元。

（1）打折前甲乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？6、某商场购进甲乙两种商品，甲种商品公用了2000元，乙种商品公用了2400元。

方程、不等式的实际应用问题

方程和不等式在实际应用中广泛用于解决各种问题。

以下是一些实际应用问题的示例，涉及方程和不等式的解决：1. 费用问题（线性方程）：问题：一家公司生产一种产品，每个产品的生产成本为100美元，销售价格为150美元。

公司希望知道需要卖多少个产品，才能达到盈亏平衡。

解决方法：设销售的产品数量为x，那么公司的总成本为100x美元，总收入为150x美元。

要实现盈亏平衡，总成本应等于总收入，即100x = 150x。

解这个线性方程可以得到x的值，即需要卖多少个产品才能盈亏平衡。

2. 距离、时间、速度问题（一元一次方程）：问题：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，开了3小时后，它离起点多远？解决方法：使用速度=距离/时间的公式，我们可以得到距离=速度×时间。

将速度60公里/小时和时间3小时代入方程，计算出距离=60公里/小时×3小时= 180公里。

3. 增长与衰减问题（指数方程）：问题：一种细菌在每小时分裂成两倍，如果开始有100个细菌，多少小时后会有1000个细菌？解决方法：设t小时后有x个细菌，我们可以建立指数方程2^t = x，其中2表示细菌数量翻倍的速度。

解这个方程，我们可以得到t的值，即多少小时后会有1000个细菌。

4. 成本效益问题（不等式）：问题：一家工厂可以生产两种产品A和B，产品A的生产成本为5美元，产品B的生产成本为8美元。

如果工厂每天最多能生产100个产品，且希望最小化生产成本，应该生产多少个产品A和产品B？解决方法：设产品A的数量为x，产品B的数量为y。

我们可以建立以下不等式：5x + 8y ≤100（生产成本不超过100美元）x ≥0（产品A数量为非负数）y ≥0（产品B数量为非负数）通过解这组不等式，可以确定应该生产多少个产品A和产品B，以实现最小化生产成本的目标。

这些示例展示了方程和不等式在各种实际应用中的用途，从财务决策到物理问题和生产规划等。

方程和不等式是解决复杂问题的有力工具，可以用来优化决策、解决工程问题和预测趋势。

方程与不等式的应用

方程与不等式的应用方程和不等式是数学中常见的概念，它们在现实生活和科学领域中有着广泛的应用。

本文将介绍方程与不等式在实际问题中的具体应用，并探讨它们的解决方法和意义。

一、方程的应用方程是一个含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以找到未知数的值。

方程在物理学、化学、经济学等领域中有广泛的应用。

1. 物理学中的方程应用物理学研究的是自然界中各种物理现象，而这些现象往往可以用方程来描述。

例如，牛顿第二定律F=ma（其中F代表力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度），可以通过解方程来求解物体的加速度或力的大小。

2. 化学中的方程应用化学反应也可以用方程来描述，通过方程我们可以了解各种物质之间的相互转化关系。

例如，化学方程式2H2+O2→2H2O表示了氢气和氧气反应生成水蒸气的反应。

通过解方程，我们可以确定反应物的摩尔比和生成物的数量。

3. 经济学中的方程应用经济学研究的是资源的分配和利用方式，方程在经济学中有广泛的应用。

例如，成本方程可以用来计算生产某种商品所需的材料成本、人工成本等。

另外，供求方程可以用来分析市场的供给和需求关系。

二、不等式的应用不等式是数学中比较大小关系的一种表达方式，通过求解不等式，我们可以找到使不等式成立的值。

不等式在经济学、生活中的各种决策问题中发挥着重要的作用。

1. 经济学中的不等式应用经济活动中，往往存在着资源的有限性和多个目标的冲突。

例如，一个生产厂家要最大化利润，但生产成本又是有限的。

这时候就需要建立相应的不等式模型，通过求解不等式可以得到最优解，如最大化利润的生产量。

2. 生活中的不等式应用不等式在日常生活中也有许多应用。

例如，我们希望在有限的时间内完成一项任务，需要合理安排时间。

这时候可以通过建立时间分配的不等式模型，来优化时间的利用，实现任务的最佳完成。

三、方程与不等式的解决方法解方程和不等式的方法有很多，常见的有图像法、代数法和数值法等。

1. 图像法对于简单的一元一次方程或一元一次不等式，可以通过绘制图像来求解。

分式方程方程组与分式不等式的综合题解析

分式方程方程组与分式不等式的综合题解析分式方程方程组与分式不等式是高中数学中的重要知识点，它们在实际问题中具有广泛的应用。

本文将对分式方程方程组与分式不等式进行综合题解析，帮助读者深入理解相关概念和解题方法。

一、分式方程方程组的综合题解析分式方程方程组是由多个分式方程组成的一种数学问题。

解分式方程方程组的关键在于找到合适的方法将其转化为一般的方程来求解。

例如，考虑以下的分式方程方程组：(1) $\dfrac{x+1}{x-2} = \dfrac{1}{2}$(2) $\dfrac{x-1}{x+1} = \dfrac{1}{3}$要求解这个方程组，我们可以采用以下的步骤：步骤一：将每个分式方程的分母去掉，得到：(1) $2(x+1) = (x-2)$(2) $3(x-1) = (x+1)$步骤二：将方程化简为一般的方程，得到：(1) $2x + 2 = x - 2$(2) $3x - 3 = x + 1$步骤三：解这个方程组，得到：(1) $x = -4$(2) $x = 2$所以，方程组的解为 $x = -4$ 和 $x = 2$。

二、分式不等式的综合题解析分式不等式是由多个分式不等式组成的一种数学问题。

解分式不等式的关键在于确定不等式的取值范围，并结合分数的性质进行求解。

例如，考虑以下的分式不等式：(1) $\dfrac{x-1}{x+2} > 0$(2) $\dfrac{3x-2}{2x+1} \leq -1$要求解这个分式不等式，我们可以采用以下的步骤：步骤一：确定不等式的取值范围。

对于分式不等式 $\dfrac{a}{b} > 0$，当 $a$ 和 $b$ 同号时取值为正，当 $a$ 和 $b$ 异号时取值为负。

所以我们可以得到以下的不等式：(1) $x - 1 > 0$，即 $x > 1$(2) $(3x - 2)(2x + 1) \leq -1$步骤二：解这个不等式。

人教版七年级数学下册第九章：不等式(组)和方程(组)的综合应用(含答案)

不等式（组）与方程（组）的综合应用1.方程组或不等式出现字母系数时可将字母当数字，解方程组成不等式的参数解。

2.解决不等式(组)或方程(组)的问题可运用整体思想、转化思想、消元思想。

【例1】若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩解为x ，y ，且2<k <4，则x －y 的取值范围是（） A.102x y -<<B.01x y -<<C.31x y ---<<D.11x y --<<【例2】若关于x ，y 的二元一次方程组323225x y m x y m -=+⎧⎨-=-⎩的解满足x >y ，求m 的取值范围。

【例3】若2a +b =12，其中a ≥0，b ≥=0，又P=3a +2b ，试确定P 的最小值和最大值。

【例4】若关于x ，y 的二元一次方程组25x y a x y +=⎧⎨-=⎩的解满足1x >，1y ≤，其中a 是满足条件的最小整数，求a 2+1的值。

【例5】已知关于x，y的方程组2232 4x y mx y m-=⎧⎨+=+⎩①②的解满足不等式组3050x yx y+≤⎧⎨+⎩>，求满足条件的m的整数值。

1.已知关于x，y的方程组2121x y ax y a-=+⎧⎨+=-⎩的解满足不等式21x y->，求a的取值范围。

2.已知x、y同时满足三个条件：①324x y p-=-，②4x－3y=2+p，③x>y，则（）A.p>－1B.p<1C.1p-< D.1p>3.若30x y z++=，350x y z+-=，x、y、z皆为非负数，求M=5x+4y+2z的取值范围。

4.在关于x ，y 的方程组2728x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩中，未知数满足x ≥0，y >0，那么m 的取值在数轴上应表示为（）5.已知关于x ，y 的方程组213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足5035x y x y -⎧⎨-+≥-⎩>，求整数k 的值。

2022年中考数学人教版一轮复习讲练课件：第9课方程与不等式的综合应用

解：(1)设长益段高铁全长为 x 千米，长益城际铁路全长为 y 千米．根据题意，得y6y＝0＝x＋1x64×01330，解得xy＝＝16044，.
答：长益段高铁全长为 64 千米，长益城际铁路全长为 104 千米．
(2)设甲队后期每天施工 a 千米．甲原来每天的施工长度为 64÷40×176＝0.7(千米)，乙每天的施工长度为 64÷40×196＝0.9(千米)．根据题意，得 0.7×5＋0.9×(40－3)＋(40－3－5)a≥64，解得 a≥0.85. 答：甲工程队后期每天至少施工 0.85 千米，可确保工程提早 3 天以上(含 3 天)完成．
解：(1)设甲型货车每辆可装载 x 箱பைடு நூலகம்料，乙型货车每辆可装载 y 箱材料，
依题意，得2300xx＋＋6500yy＝＝11 450000，解得xy＝＝1255. 答：甲型货车每辆可装载 25 箱材料，乙型货车每辆可装载 15 箱材料．
(2)设租用 m 辆甲型货车，则租用(70－m)辆乙型货车，依题意，得2750m－＋m1≤53（m 70－m）≤1 245 解得325≤m≤329. 又∵m 为整数，∴m 可以取 18，19， ∴该公司共有 2 种租车方案，方案 1：租用 18 辆甲型货车，52 辆乙型货车；方案 2：租用 19 辆甲型货车，51 辆乙型货车．
解：(1)A 型消毒液的单价是 x 元，B 型消毒液的单价是 y 元，依题意，得52xx＋＋23yy＝＝5431，解得xy＝＝97，答：A 型消毒液的单价是 7 元，B 型消毒液的单价是 9 元．
(2)设购进 A 型消毒液 a 瓶，
则购进 B 型消毒液(90－a)瓶，费用为 w 元，
依题意可得 w＝7a＋9(90－a)＝－2a＋810，

方程与不等式的综合运用

方程与不等式的综合运用在数学中，方程和不等式是两种常见的数学模型，它们在实际问题中具有广泛的应用。

通过将方程和不等式综合运用，可以帮助我们解决各种实际问题。

本文将探讨方程与不等式的综合运用，并通过一些例子来说明其实际应用。

一、线性方程与不等式的综合运用线性方程和不等式是最简单的数学模型之一，在各个领域中经常会遇到。

例如，在商业领域中，我们通常会遇到成本、收入、利润等与数量成正比的关系。

假设某公司生产的产品每件成本为C元，每件的售价为P元，每月销售量为S件，则其成本与收入的关系可以表示为以下方程和不等式：成本：C = S * C收入：R = S * P利润：P = R - C在实际问题中，我们可能需要求解某一项具体的数值，比如：当销售量为100件时，该公司的成本、收入和利润是多少？通过联立这些方程和不等式，可以解得具体数值，进而得出结论。

二、二次方程与不等式的综合运用二次方程和不等式是一类更复杂的数学模型，应用范围更为广泛。

在物理学中，牛顿第二定律常常用到二次方程，可以描述物体的运动。

假设某物体的质量为m千克，受力F牛顿，加速度为a米每秒的平方，则根据牛顿第二定律可以得到以下方程和不等式：F = m * a在工程中，二次方程也有广泛的应用。

例如，在设计一座拱桥时，我们需要考虑拱桥的自重、荷载和支持力等因素。

这些因素之间的关系可以用到二次方程。

三、指数方程与不等式的综合运用指数方程和不等式是在金融、生物学、环境科学等领域中常见的数学模型。

例如，在金融投资中，复利的计算往往使用指数方程。

假设某笔投资的年利率为r，本金为P元，投资年限为t年，则该笔投资在t 年后的价值可以表示为以下方程和不等式：价值：V = P * (1 + r)^t在生物学中，指数方程可以用来描述生物种群的增长和衰退。

例如，某种细菌以每小时翻倍的速度增长，初始细菌数量为N个，则t小时后的细菌数量可以表示为以下方程和不等式：数量：N = N0 * 2^(t/k)其中，k为细菌的翻倍时间。

数学建模与问题解决——方程与不等式模型的综合应用

（2）设公司购进A型机器人y台，则购进B型机器人(20－y)台，依题意得： 150y＋120(20－y)≥2800．
1 解得y≥ 13 3
因为y为整数，所以公司至少购进A型机器人14台．答：公司至少购进A型机器人14台．
方法提炼：本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，建立方程和不等式求解．对于分式方程的应用，解答时要注意检验；对于不等式的应用，要注意不等式的解集不能直接作为问题的答案，应从解集中获得符合实际问题的正整数解或其他解.
②设总的养护费用是y元，则 y=1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m）， ∴y=﹣0.1m+14.4． ∵﹣0.1＜0， ∴y随m的增大而减小， ∴m=40时，y最小． ∵m=40时，y最小值=﹣0.1×40+14.4=10.4（万元）．又∵10万元＜10.4万元， ∴该计划支出不能满足养护的需要．
例1. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000 kg材料所用的时间与B型机器人搬运800 kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800 kg，则至少购进A 型机器人多少台？
解：（1）依题意得:2.5(1-n)2=1.6 解得 n1=0.2=20%，n2=1.8（不合题意，舍去）．答：每套A型健身器材年平均下降率n为20%；（2）①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，依题意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112，整理，得 1.6m+96﹣1.2m≤1.2，解得m≤40，即A型健身器材最多可购买40套.

方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解（空集）（大大、小小找不到）A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>-> ∴A>C>B【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

中考数学第一轮复习《方程与不等式的综合应用》教案

方程与不等式的综合运用学习目标：1．进一步加强方程(组）与不等式(组)的之间的联系;2.会运用方程(组）或不等式(组）模型解决实际问题, .在问题解决的过程中理解数学思想方法.学习重点:方程（组）或不等式(组)的综合运用学习难点:方程(组)或不等式(组)的综合运用课前准备:下列问题你能不能不用老师点拨就把别人讲懂?请先尝试看,看自己有无“漏洞”.问题1:若不等式组2x x a<⎧⎨≥⎩ 无解,那么a 的取值范围是问题2：如果关于x 的方程3211ax x x =-++ 无解，则a 的值为判断方程ax bx c ++=0（a ≠０,a,b,c 为常数)一个解x 的范围是( ）A 、 3<ｘ<３.２３B 、 3．２３<ｘ＜3．24C 、 3.２4＜x<3.25D 、 3.25<ｘ<３.26问题４：甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天,然后乙加入合作，完成剩下的工作,设工作总量为１,Ａ.9 Ｂ.10 C.11 Ｄ.1２问题５：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。

已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为：甲种每台１５0０元，乙种每台２１０0元,丙种每台２500元。

(1）商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元,请你研究一下商场的进货方案;(２)若商场销售一台甲种电视机可获利15０元,销售一台乙种电视机可获利２０0元，销售一台丙种电视机可获利２５0元,在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？（3)若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案。

教学过程（一）与大家交流你的“课前准备”是否有“漏洞”？你能以知识点或题型给它们分类吗？解决这些问题后,你发现了哪些解题规律或数学思想方法?（二)变一变，你还认识下列问题吗？请运用发现的规律或方法挑战下列问题,试试你的能力吧!问题1：若关于x 的不等式组3155x a x a≥-⎧⎨≤-⎩无解，则二次函数21(2)4y a x x =--+的图象与x 轴（ )Ａ. 没有交点Ｂ. 相交于一点 C ．相交于两点 D. 相交于一点或没有交点问题２：已知不等式组 111x x x k >-⎧⎪<⎨⎪<-⎩(１）当12k =时,不等式组的解集是 ; 当3=k 时，不等式组的解集是；当2-=k 时，不等式组的解集是；(2)由（１）知不等式组的解集随实数ｋ的变化而变化，当k 为任意实数时,写出不等式组的解集。

中考数学复习之方程、不等式综合类应用题-附练习题含参考答案

中考数学复习之方程、不等式综合类应用题方法分享：1.理解题意：分层次，找结构，辨析类型借助表格、关系式等梳理条件2.建立数学模型：方程模型、不等式模型、函数模型寻找关键词，挖掘隐藏信息3.对数学模型进行处理计算过程中需要充分考虑未知数的实际意义4.结合实际意义验证结果例1：现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：（1）求这两种货车各用多少辆．（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地．设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费【思路分析】1．理解题意，梳理信息．2．建立数学模型（1）结合题中信息“用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资”，考虑方程模型；（2）结合题中信息“自变量的取值范围”，考虑建立不等式模型，寻找题目中的不等关系（显性和隐性）；（3）结合题中信息“运费最少的货车调配方案”，考虑建立函数模型．3．求解验证，回归实际．【过程书写】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18-x）辆，根据题意，得16x+10(18-x)=228解得x=8∴大货车用8辆，小货车用10辆．（2）由题意得∵0809010(9)0a a a a a ⎧⎪-⎪⎪-⎨⎪--⎪⎪⎩≥≥≥≥为整数∴，且a 为整数∴（3）由题意得解得∵，且a 为整数∴，且a 为整数在中∵∴w 随a 的增大而增大 ∴当a =5时，∴最优方案为精讲精练1. 为支持四川抗震救灾，重庆市A 、B 、C 三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D 、E 两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D 县的数量比运往E 县的数量的2倍少20吨．要求C 地运往D 县的赈灾物资为60吨，A 地运往D 县的赈灾物资为x 吨（x 为整数），B 地运往D 县的赈灾物资数量小于A 地运往D 县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E 县，且B 地运往E 县的赈灾物资数量不超过23吨．已知A 、B 、C 三地的赈灾物资运往D 、E 两县的费用如右表：（1）求这批赈灾物资运往D 、E 两县的数量各是多少？（2）A 、B 两地的赈灾物资运往D 、E 两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）为及时将这批赈灾物资运往D 、E 两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的方案中，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？720800(8)500(9)650[10(9)]7011550w a a a a a =+-+-+--=+08a ≤≤701155008w a a a =+≤≤（，且为整数）1610(9)120a a +-≥5a ≥08a ≤≤58a ≤≤7011550w a =+700>min 11900w =（元）2. 为了保护环境，某生物化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金46万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的80%．实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水180吨，每台乙型设备每月能处理污水150吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元．今年该厂二期工程即将完成，于是该厂决定购买甲、乙两型设备共8台用于处理二期工程产生的污水，预算本次购买资金不超过74万元，预计二期工程每月将产生不超过1 250吨污水．（1）求每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？（2）请求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用=设备购买费+各种维护费和电费）3. 某制造厂开发了一款新式机器，计划一年生产安装240台．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式机器的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗能独立进行机器的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8台机器；2名熟练工和3名新工人每月可安装14台机器．（1）熟练工和新工人每人每月分别可以安装多少台新式机器？（2）如果工厂招聘(010)n n <<名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好．．能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种．．．新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装新式机器的每名熟练工每月发2 000元的工资，给每名新工人每月发1 200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W （元）尽可能地少？4. 在“五∙一”期间，某学校组织318名学生和8名教师到云台山旅游，为了学生安全，每辆车上至少安排一名教师．现打算同时租甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人．（1）请帮助学校设计租车方案；（2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，学校按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？（3）旅行前，一名教师由于有特殊情况，只有7名教师能随车出游，为保证所租的每辆车上只有一名教师，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问学校的租车方案如何安排？5.某校八年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大巴车两种车型可供选择．每辆大巴车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大巴车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大巴车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位．（1）求中巴车和大巴车各有多少个座位？（2）客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大巴车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大巴车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用任一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大巴车各多少辆？6.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．为了增加收入，今年电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3 500元，乙种电脑每台进价为3 000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台．根据以上信息解答下列问题：（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）请你为该电脑公司设计进货方案；（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？7.整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．降价前，甲、乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%，对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．根据以上信息解答下列问题：（1）降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）若近期（降价后）该医院准备从经销商处购进甲、乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？8.已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．9.某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设280米所用的天数比乙工程队铺设250米所用的天数少1天．（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来．10.为了保护环境，某生物化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金46万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的80%．实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水180吨，每台乙型设备每月能处理污水150吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过74万元，预计二期工程完成后每月将产生1 250吨的污水．（1）每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？（2）请求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案．（3）若两种设备的使用年限都为10年，则在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用=设备购买费+各种维护费和电费）11. 为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A ，B 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 560万元．已知改造1所A 类学校和2所B 类学校共需资金230万元；改造2所A 类学校和1所B 类学校共需资金205万元．（1）改造1所A 类学校和1所B 类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A 类学校不超过9所，则B 类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A ，B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元，地方财政投入的改造资金不少于75万元，且地方财政投入到A ，B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和每所15万元．请你通过计算求出所有的改造方案．12. 某制造厂开发了一款新式机器，计划一年生产安装240台．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式机器的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后能独立进行机器的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8台新式机器；2名熟练工和3名新工人每月可安装14台新式机器．（1）求每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少台新式机器．（2）如果工厂招聘n （010n <<）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好．．能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂每月给安装新式机器的每名熟练工发4 000元的工资，给每名新工人发2 400元的工资，那么工厂招聘多少名新工人，才能使新工人的数量多于熟练工，且工厂每月支出的工资总额W （元）尽可能的少？13. 某校八年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位．学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还空余30个座位．（1）求中巴车和大客车各有多少个座位．（2）客运公司为该校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元．学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用任何一种车型都要便宜．则按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？14.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价与去年同期相比，每台降价1 000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．为了增加收入，今年电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3 500元，乙种电脑每台进价为3 000元，公司计划用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台．根据以上信息解答下列问题：（1）今年三月份甲种电脑每台售价为多少元？（2）请你为该电脑公司设计出所有的进货方案；（3）若乙种电脑每台售价为3 800元，怎样安排进货该电脑公司才能获得最大利润？15.已知2辆A型车和1辆B型车载满货物时一次可运货10吨；1辆A型车和2辆B型车载满货物时一次可运货11吨．某物流公司现有货物31吨，计划同时租用A型车和B型车，要求一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物时一次可分别运货多少吨？（2）请你帮助该物流公司设计出所有的租车方案；（3）若每辆A型车的租金为100元/次，每辆B型车的租金为120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费．16.受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价与去年相比，每台降价500元，如果卖出相同数量的手机，去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，今年该店决定再经销乙型号手机，已知甲型号手机每台进价为1 000元，乙型号手机每台进价为800元，计划用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，则该店有哪几种进货方案？（3）若乙型号手机每台售价为1 400元，为了促销，打九折销售，而甲型号手机仍按今年的售价销售，则在（2）的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？17. 小王家是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”，他准备购置80只相同规格的网箱，养殖A ，B 两种淡水鱼（两种鱼不能混养）．计划用于养鱼的总投资多于6.7万元，但不超过 6.91万元，其中购置网箱等基础建设需要1.2万元．设他用x 只网箱养殖A 种淡水鱼，目前平均每只网箱养殖A ，B 两种淡水鱼所需投入及产出情况如下表：（1）小王有哪几种养殖方式？（2）哪种养殖方案获得的利润最大？（3）根据市场调查分析，当他的鱼上市时，两种鱼的价格会有所变化，A 种鱼价格上涨40%，B 种鱼价格下降20%，考虑市场变化，哪种方案获得的利润最大？（利润=收入-支出．收入指成品鱼收益，支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出）【参考答案】1．（1）这批赈灾物资运往D 县的数量为180吨，运往E 县的数量为100吨．（2）这批赈灾物资的运送方案有三种．方案一：A 地的赈灾物资运往D 县41吨，运往E 县59吨；B 地的赈灾物资运往D 县79吨，运往E 县21吨．方案二：A 地的赈灾物资运往D 县42吨，运往E 县58吨；B 地的赈灾物资运往D 县78吨，运往E 县22吨．方案三：A 地的赈灾物资运往D 县43吨，运往E 县57吨；B 地的赈灾物资运往D 县77吨，运往E 县23吨．（3）当x =41时，总费用有最大值．该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为60 390元． 2．解：（1）设甲型设备的价格为x 万元，则乙型设备的价格为0.8x 万元，依题意得： 3x 2×0.8x 46 解得x 10 ∵10×80%8∵甲型设备每台价格10万元，乙型设备每台价格8万元．（2）设购买甲型设备m 台，则乙型设备购买(8m )台，依题意得：108(8)74180150(8)1250m m m m +-⎧⎨+- ⎩≤≥ 解得：53≤m ≤5．所以购买方案有4种：鱼苗投资（百元）饲料支出（百元）收获成品鱼（千克）成品鱼价格（百元/千克）A 种鱼 2.3 3 100 0.1B 种鱼45.5550.4∵ ∵ ∵ ∵ 甲型设备（台） 2 3 4 5 乙型设备（台）6543（3）设二期工程10年用于治理污水的总费用为W 万元， W 10a8(8a )1×10a 1.5×10(8a )化简得：W3a184∵ W 随a 的增大而减小， ∵ 当a ＝5时，W 最小．∵ 按方案∵甲型购买5台，乙型购买3台的总费用最少．3．（1）每名熟练工每月可以安装4台新式机器，每名新工人每月可以安装2台新式机器；（2）共有4种新工人的招聘方案：方案 ∵ ∵ ∵ ∵ 招新工人（人） 2 4 6 8 调用熟练工（人）4321（3）应招聘4名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额最少． 4．（1）共两种方案，即：方案 ∵ ∵ 甲种客车（辆） 6 7 乙种客车（辆）21（2）方案一最省钱，此时租金是6 000元；（3）租65座、45座和30座的客车分别为2辆，3辆，2辆． 5．设每辆中巴车有座位x 个，每辆大巴车有座位(x +15)个，依题意得：270270301+15x x +-=整理得：x 245x 40500 解之得：x 145，x 290（不合题意，舍去）经检验x 45是方程的解，故x 15451560个．答：每辆中巴车有座位45个，每辆大巴车有座位60个．（2）①单独租用中巴车，租车费用为270×350452 100（元）；②单独租用大巴车，租车费用为(61)×400 2 000（元）；③设租用中巴车y 辆，大客车(y 1)辆，则有：350400(1)<2000350400(1)<21004560(1)270y y y y y y ++ ⎧⎪++ ⎨⎪++⎩≥ 解得：322<15y <≤，又∵y是整数，∵y2，y13故租用中巴车2辆和大巴车3辆．6.（1）甲种电脑今年三月份每台售价4 000元．（2）共有5种进货方案：∵∵∵∵∵甲种电脑（台）678910乙种电脑（台）98765（3）当a300时，（2）中所有方案获利相同．购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．7. （1）降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元；（2）三种方案：∵∵∵甲种药品（箱）585960乙种药品（箱）4241408. （1）每辆A型车载满货物一次可运货3吨，每辆车B型车载满货物一次可运货4吨；（2）三种方案：∵∵∵A型车（辆）951B型车（辆）147（3）最省钱的租车方案是：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．9. （1）甲工程队每天能铺设70米，乙工程队每天能铺设50米；（2）三种方案：∵∵∵甲工程队（米）500600700乙工程队（米）500400300万元．（2）共有4种购买方案．方案一，购买甲型设备2台，乙型设备6台；方案二，购买甲型设备3台，乙型设备5台；方案三，购买甲型设备4台，乙型设备4台；方案四，购买甲型设备5台，乙型设备3台．（3）方案四的总费用最少；即购买甲型设备5台，乙型设备3台．11．（1）改造1所A类学校所需的资金是60万元，改造1所B类学校所需的资金是85万元．（2）B类学校至少有12所．（3）共有3种改造方案．方案一，改造A类学校1所，B类学校5所；方案二，改造A类学校2所，B类学校4所；方案三，改造A类学校3所，B类学校3所．12．（1）每名熟练工每月可以安装4台新式机器，每名新工人每月可以安装2台．（2）工厂共有4种新工人的招聘方案．方案一，招聘2名新工人，抽调4名熟练工；方案二，招聘4名新工人，抽调3名熟练工；方案三，招聘6名新工人，抽调2名熟练工；方案四，招聘8名新工人，抽调1名熟练工．（3）工厂招聘4名新工人，才能使新工人的数量多于熟练工，且工厂每月支出的工资总额尽可能的少．13．（1）中巴车有45个座位，大客车有60个座位；（2）需要中巴车2辆，大客车3辆，租车费比单独租用中巴车少200元，比单独租用大客车少100元．14．（1）今年三月份甲种电脑每台售价为4 000元．（2）该电脑公司共有5种进货方案．方案一，购进甲种电脑6台，乙种电脑9台；方案二，购进甲种电脑7台，乙种电脑8台；方案三，购进甲种电脑8台，乙种电脑7台；方案四，购进甲种电脑9台，乙种电脑6台；方案五，购进甲种电脑10台，乙种电脑5台．（3）购进甲种电脑6台，乙种电脑9台，该电脑公司才能获得最大利润．15．（1）1辆A型车载满货物时一次可运货3吨，1辆B型车载满货物时一次可运货4吨．（2）该物流公司共有3种租车方案．方案一，租用A型车1辆，B型车7辆；方案二，租用A型车5辆，B型车4辆；方案三，租用A型车9辆，B型车1辆．（3）最省钱的租车方案为，租用A型车1辆，B型车7辆．最少的租车费为940元．16．（1）今年甲型号手机每台售价为1 500元．（2）该店共有5种进货方案．方案一，购进甲型号手机8台，乙型号手机12台；方案二，购进甲型号手机9台，乙型号手机11台；方案三，购进甲型号手机10台，乙型号手机10台；方案四，购进甲型号手机11台，乙型号手机9台；方案五，购进甲型号手机12台，乙型号手机8台．（3）购进甲型号手机12台，乙型号手机8台，所获利润最大，最大利润为9 680元．17．（1）小王共有5种养殖方案．方案一，养殖A种淡水鱼45箱，B种淡水鱼35箱；方案二，养殖A种淡水鱼46箱，B种淡水鱼34箱；方案三，养殖A种淡水鱼47箱，B种淡水鱼33箱；方案四，养殖A种淡水鱼48箱，B种淡水鱼32箱方案五，养殖A种淡水鱼49箱，B种淡水鱼31箱．（2）养殖A种淡水鱼45箱，B种淡水鱼35箱，所获利润最大．（3）价格变化后，养殖A种淡水鱼49箱，B种淡水鱼31箱，所获利润最大．。

9讲：方程(组)与不等式(组)的应用

方程（组）与不等式(组)的综合应用【课前练习】1．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y 元．后来他以每斤2x y +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（）A.x y < B.x y > C.x y ≤ D.x y ≥ 2．某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共存( )A.4种B.5种C.6种D.7种3. (2010宿迁)某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元.(1)求甲、乙两种花木每株成本分别是多少元？（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，一株乙种花木售价为540元.该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？【考点剖析】一、方程（组）与不等式（组）的实际应用:1．行程中的基本关系：路程=速度×时间；速度？（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距※同时出发开始计时，到相遇时两者所花时间是相等的；※在解决行程问题时，单位必须统一，必要时须画图进行思考.2.工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（工作总量常看为1）工作效率？如，一项工程甲队需x 天完成任务，乙队需要y 天完成任务，两人一起合作完成该项工作需_______天.3.利润问题中的等量关系：利润=商品售价－商品进价；利润=商品进价×商品利润率商品利润率＝商品利润商品成本价×100% 商品销售额＝商品销售价×商品销售量某件商品9折降价销售后每件商品售价为a 元,则该商品每件原价为________4.利率问题中的等量关系：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间；利息税=利息×税率5.数字数位问题: 数字×数位=数如一个两位数十位数字是x ，个位数字是y ，则这个两位数可表示为_______6.浓度问题：溶液的浓度=溶质的质量÷溶液的质量100%⨯7．日历中的数量关系日历中前后两日相差1，上下两日相差7.8.人员分配问题二、解决实际问题的一般步骤：1.审题；2.设未知数；3.列方程（组）或不等式（组）；4．解方程（组）或不等式（组）；5.检验；6.写出答案.【典例探究】例1.（2010江苏泰州）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠”、“豆你玩”．以绿豆为例，5月上旬某市绿豆的市场价已达16元/千克．市政府决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格．经市场调研预测，该市每调进100吨绿豆，市场价格就下降1元/千克．为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在8元/千克到10元/千克之间（含8元/千克和10元/千克）．问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？例2.（2010盐城）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？练. （2010年门头沟区）某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示:类型A型B型价格进价(元/盏) 40 65标价(元/盏) 60 100(1)这两种台灯各购进多少盏？(2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？例3 某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞的数量如下表表示，经过预算，本（1）按该公司要求可以有几种购买方案?（2）若该公司购进6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？【达标练习】方程（组）不等式（组）应用中考真题集锦1．(2010毕节)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人2．（2009深圳）某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出80%的价格标价.若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（）A ． 80元 B. 100元 C.120元 D.160元3．(2009襄樊) 为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）A ．9% B.10% C.11% D.12%4. （2009德城）某商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至少可以打（）折A. 6折B.7折C.8折D.9折5. (2009临沂)某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产一吨这种药品的成本是81万元，则这种药品的成本的年平均下降率为 .6.（2010临沂）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a + 2b ，2b + c ，2c + 3d ，4d ．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为．7．（2009泉州）某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到400米外安全区域，若导火线燃烧的速度为1.1/cm s ,人跑步的速度为5/cm s ，则导火线的长x 应满足的不等式是 .8．（2010年益阳市）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意可列方程 .9.(2010泉州)和谐商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价-进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案.10.（2010福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案? 并直接写出其中获利最大的购货方案.11.（2010年四川省眉山）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？（此问涉及一次函数，暂时不解）12.（2010年山东省济南市）某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．。