方程与不等式的综合应用

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专题学习--不等式与方程的综合应用

专题学习：不等式与方程的综合应用

北京十二中王明文

【写在前面】

不等式（组）和方程（组）是探求不等和相等关系的基本工具，不等式（组）与方程（组）在相关概念，解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在等式与不等式的基本性质等方面；另外，解方程组，可以“统一思想”，即对几个方程通过代入或加减消元，解不等式时，只能“分而治之”，即分别求解，再确定公共部分.但在很多问题中，不等式与方程总是同时出现，借助于构造方程模型来解决不等式问题或者借助于构造不等式模型来解决方程问题，以及两者之间的灵活转换是常用的思想方法，而两个模型转换的关键是获取两者之间恰当的关联.

【知识铺垫】

1.不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法；

2.方程组的概念，二元一次方程组的解法；

3.含参数方程（组），不等式（组）的解法.

【思想方法】

方程模型与不等式模型的构建、互相转换.

【例题精讲】

一、构建方程或不等式模型解决求值或求范围问题

例题1：关于x的方程4x-m+1=3x-1的根为负数，求m的取值范围.

变式练习1：已知关于x的方程4x-m+1=3x-1，且2

变式练习2：当x为何值时，相应的关于x,y的二元一次方程4x-y+1=3x-1中y的值为正数.

思路点拨：正确求解方程模型(一元一次方程)是前提，建立不等式模型并求解是落脚点，而联系二者的纽带是诸如“根是负数”、“2

注意：求解含参数方程的关键是将无关参数视为常数.

例题2：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩

，m 为何值时，x >y ？变式练习1：已知关于x,y 的方程组32121

《初中数学教案：方程与不等式的综合运用》

《初中数学教案：方程与不等式的综合运用》一、引言

方程与不等式是初中数学中的基础概念，它们在解决数学问题时起着重要的作用。本文将介绍一份初中数学教案，旨在帮助学生全面掌握方程与不等式的综合运用。

二、教学目标

1. 理解方程与不等式的概念及其在现实生活中的应用。

2. 掌握解一元一次方程及较为复杂的不等式的方法。

3. 能够灵活应用方程与不等式解决实际问题。

4. 培养分析和解题能力，提高逻辑思维和推理能力。

三、教学重点

1. 解一元一次方程及不等式。

2. 将问题抽象成方程或不等式。

3. 训练实际问题转化为数学语言并求解的能力。

四、教学难点

1. 较为复杂的多步解题过程。

2. 实际问题到抽象模型的转化难度。

五、教学过程

【导入】

通过一个简单而精彩的例子引入本课内容，如：小明和小红共同做作业，他们俩所做题目数之和是150道题，其中小明做了x道题，则小红做了150-x道题。根据已知的信息，我们可以列出一个方程来求解。

【探究】

1. 探索方程解的概念：引导学生通过具体例子理解方程解的概念，并培养发现规律和总结归纳能力。

2. 方程与不等式的综合运用讲解：通过课堂教师主导，结合具体实例，向学生介绍如何在实际问题中运用方程和不等式，并进行演示讲解。

3. 学生思考与实践：布置一些简单且贴近生活实际的练习题，让学生在自主探究中巩固所学并发现其中的规律。

【拓展】

进一步引领学生拓宽思路，将更复杂以及应用性更强的问题引入教案内容中。可以从消费问题、时间问题、几何问题等多个角度展开，培养学生对数学问题多种解法的理解和应用。

【归纳】

方程组与不等式组的综合应用题

君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同．（1）求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B 种产品？（2）君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共 80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案？
反馈练习
某中学计划购买A型和B型课桌共200套，经招标，购买一套A型课桌比购买一套B型课桌少用40元，且购买4套A型和 5套B型课桌共需1820元。（1）求购买一套A型和一套B型课桌登各需多少元？（2）学校根据实际情况，要求购买这这两种课桌登总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌的数量不能超过B 2 型课桌登数量的，求该校本次购买A型和B型课桌登共 3 有几种方案？哪种方案的总费用最低？
1、为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2．单价和为80元．（1）篮球和排球的单价分别是多少元？（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量多于25个，有哪几种购买方案？ 2、某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1 700元；培育甲种花木 3株，乙种花木1株，共需成本1 500元. (1)求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？ (2)据市场调研， 1株甲种花木售价为 760元，1株乙种花木售价为 540元. 该花农决定在成本不超过30 000元的前提下培育甲乙两种花木.若培育乙种花木的株数是甲种花木的 3倍还多10株，那么要使总利润不少于21 600元，花农有哪几种具体的培育方案？

方程与不等式的应用如何利用方程和不等式解决实际问题

方程与不等式的应用如何利用方程和不等式

解决实际问题

方程和不等式是数学中非常重要的概念，它们的应用远不止于纸上的计算，更可以帮助我们解决实际生活中的问题。通过运用方程和不等式，我们可以建立模型，分析问题，找到问题的解决方法。本文将通过一些实际例子，来探讨方程与不等式的应用，以及如何利用它们解决实际问题。

一、方程的应用

方程是用于表示两个量之间相等关系的数学表达式。在实际中，我们常常会遇到各种各样需要求解的问题，而方程就是帮助我们求解这些问题的工具之一。

举例来说，假设小明有10个苹果，他和小红一起分享这些苹果。如果小明和小红每人分得的苹果个数相同，我们可以建立如下方程来求解每人分得的苹果个数：

10 = 2x

其中，x代表每人分得的苹果个数。解这个方程，我们可以得到

x=5，表示每人分得5个苹果。通过方程的求解，我们得到了问题的解决方法，即每人分得5个苹果，这样就能平均分享。

方程在实际问题中的应用是非常广泛的，无论是物理学、经济学还是工程学，方程都扮演着重要的角色。通过建立合适的方程模型，我们可以分析问题，找到问题的解决方法。

二、不等式的应用

不等式是用于表示两个量之间大小关系的数学表达式。在实际问题中，有些情况不能简单地用等号表示，而是需要考虑大小关系，这时

就需要使用不等式来解决问题。

比如，某公司每月的固定成本为5000元，每个产品的生产成本为

10元，售价为20元。公司希望通过卖出产品来覆盖固定成本，并获得

利润。为了求解该问题，我们可以建立以下不等式：

20x ≥ 5000 + 10x

其中，x代表销售的产品数量。通过解这个不等式，我们可以得到

初二数学解复杂方程与不等式的综合应用

初二数学解复杂方程与不等式的综合应用解复杂方程和不等式是初二数学学习中的重要内容，它们在实际生活中的应用也非常广泛。本文将从实际问题出发，通过解决实际问题的过程来展示解复杂方程和不等式的综合应用。在解题的过程中，我们将灵活运用代数方法和数学知识，帮助读者更好地理解和掌握解复杂方程与不等式的方法和技巧。

一、解复杂方程的应用

1. 题目描述

小明的年龄是父亲年龄的1/3，母亲年龄的2/5。已知父亲年龄比母亲年龄大20岁，求他们三个人的年龄。

2. 解题思路

设小明的年龄为x岁，则父亲的年龄为3x岁，母亲的年龄为5x/2岁。根据已知条件，得到以下方程：

3x = 5x/2 + 20

2倍方程两边，消除分数，得到：

6x = 5x + 40

化简得到：

x = 40

代入原方程，可求得父亲年龄为3x = 120岁，母亲年龄为5x/2 = 100岁。

3. 解题过程

通过解答这道题目，我们可以发现解复杂方程的过程主要包括设变量、列方程、解方程、验证等几个步骤。在解题过程中，需要运用代数方程的性质，根据已知条件列方程，并通过计算求解出未知量，最后验证结果是否符合实际意义。

二、解不等式的应用

1. 题目描述

一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，从A地出发到B地需要4小时，从B地返回A地只需要3小时。求AB两地的距离。

2. 解题思路

设AB两地的距离为x公里，根据题意可以得到以下不等式：

x/80 ≤ 4 (1)

x/80 ≥ 3 (2)

通过计算得到：

x ≤ 320 (3)

x ≥ 240 (4)

综合不等式(3)和(4)，可得到AB两地的距离在240公里和320公里之间。

解方程与不等式的应用的综合运用

解方程与不等式的应用的综合运用在数学中，解方程和不等式是我们经常会遇到的问题。它们在各种

实际场景中都具有广泛的应用。本文将综合运用解方程和不等式的知识，通过一些例子来展示它们在实际问题中的应用。

例子1：购买商品打折

小明在商店看到一件原价为100元的商品，商店正在进行打折活动，折扣为x（0 ≤ x ≤ 1）。假设小明买了这件商品后只需要支付70元，请问打几折？

解法：

设原价100元打x折后的价格为P，则有P = 100 * x。

根据题意可知 P = 70，即100 * x = 70。

将方程改写为不等式形式：100 * x ≥ 70。

通过计算得到x ≥ 0.7，即小明至少可以打7折购买该商品。

例子2：求解速度与时间的关系

某车从A地到B地的直线距离为100公里，假设车以V公里/小时

的速度行驶。已知车从A地出发后，行驶t小时到达B地。如果将速

度提高20%，所需时间将减少多少？

解法：

车的速度V与到达时间t之间存在着一定的关系。设从A地到B地

所需的时间为T，则有 T = 100 / V。

如果将速度提高20%，则新速度为V' = V + 0.2V = 1.2V。设达到新

速度所需的时间为T'。

根据题意可得 T' = 100 / (1.2V)。

求解时间的差值为ΔT = T - T'，即ΔT = T - 100 / (1.2V)。

通过简化和合并同类项，得到ΔT = 100V / (1.2V) - 100 / (1.2V)。

进一步化简，得到ΔT = 100 / (1.2V) * (1 - 1 / 1.2)。

分式方程与分式不等式的综合应用

分式方程与分式不等式的综合应用在数学中，分式方程与分式不等式是一种常见的数学应用。它们可以在解决实际问题中起到重要的作用。本文将综合讨论分式方程与分式不等式的应用，并通过实例进行详细解析。

一、分式方程的应用

分式方程是一种含有分式的方程，通常以分数形式表达。分式方程在各个领域中都有广泛的应用，比如经济学、物理学和化学等。下面将通过一些实例来说明分式方程的应用。

【案例一】投资问题

假设小明和小华共同投资1000元用于创业，小明投资的部分占总投资额的1/4，小华投资的部分占总投资额的2/5。如果小明的投资收益率是8%，小华的投资收益率是6%，求他们各自的投资额以及一年后的总收益。

解答：

设小明的投资额为x元，则小华的投资额为（1000 - x）元。

根据题意可得分式方程：

x/4 * 8/100 + (1000 - x)/5 * 6/100 = 总收益

化简上式，得：

2x/25 + (2000 - 2x)/25 = 总收益

合并同类项并化简，得：

2000/25 = 总收益

计算可得小明的投资额为400元，小华的投资额为600元。一年后的总收益为80元。

【案例二】化学反应问题

某化学反应的速率与反应物的浓度有关，可以用分式方程表示。例如，燃烧反应中，汽油的燃烧速率与氧气浓度（表示为O₂）有关，设反应速率正比于氧气浓度，比例系数为k。求反应速率与氧气浓度之间的关系。

解答：

设汽油燃烧速率为y，氧气浓度为x，则可得分式方程：

y = kx

上式表示反应速率与氧气浓度之间成正比关系，比例系数为k。

二、分式不等式的应用

方程与不等式的综合应用

方程与不等式综合应用

本块专题通常给出方程组的解所满足的不等关系，从而求出参数的取值范围.以例1为主.

对于此类问题，我们可以把方程组的解用参数来表示，也可以不必求出解的值对方程组进行整体考虑，不等式对代数计算要求很高，希望能准确应用性质来解决问题.

【引例】已知3242

231

x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，其中12k <<，⑴ 求、x y 的取值范围；⑵ 求2x y -的取值范围.

典题精练

例题精讲

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题型一：方程解的取值范围

【例1】 1. 直接求未知数法：

⑴ 已知方程组321

21x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩

，m 为何值时，x y >？

⑵k 取什么值时，关于x 、y 的二元一次方程组24x y k

x y +=⎧⎨-=⎩

得到的、x y 的值

① 都小于1；② 都不小于1

2．整体法：

⑶已知32432370x y a x y a x y +=+⎧⎪

+=+⎨⎪->⎩，则a 的取值范围是 .

⑷ 已知关于x 、y 的二元一次方程组2424421x y a

x y a +=+⎧⎨+=-⎩

的解满足0x y +>，那么a 的取值范围

是 .

⑸ 若方程组31

33x y k x y +=+⎧⎨+=⎩

的解为x 、y ，且24k <<，求x y -的取值范围.

3.与绝对值非负性综合：

⑹ 已知()2

2230x x y m -+-+=，且0y >，则m 的取值范围是 .

⑺ 如果12

x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程()2

1280ax by ax by +-+-+=的解，

方程与不等式综合应用题

相等是相对的，不等是绝对的，方程和不等式的综合题充分体现了相等与不等的对立与统一的辩证关系，近几年来有些中考应用题的求解，既要列方程也要列不等式，然后再解方程与不等式的混合组．

例１（江西省中考题）仔细观察下图，认真阅读对话：

根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？

分析：从对话中我们知道：小朋友各买了一盒饼干和一袋牛奶，共付了9元2角，其中饼干是打9折的．一盒饼干的标价与一盒牛奶的价格大于10元，饼干的标价是整数元．如果设一盒饼干的标价为x 元，一袋牛奶为y 元，则综合上述信息可得如下方程与不等式的混合组

0.99.210

10x y x x y +=⎧⎪<⎨⎪+>⎩

由（１），得ｙ＝9.２－0.9x ，代入（３），整理，得

0.１x ＞0.８，x ＞８，

又x 为小于10的整数，故x ＝９，从而 1.1y =，

所以，一盒饼干的标价是9元，牛奶是1.1元．

例２（武汉市中考题）2004年8月中旬，我市受14号台风“云娜”的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200ｍ的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两队合做需12天完成此项工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用１万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天？

（１）（２）（３）

分析：１．设分派x 人去新生产线外，分工前人均年产值为a ，则由题意，得 ()()100120%100450x a a ax a

方程与不等式的综合利用

列方程解应用题：

一：列方程解应用题的实际策略：

1.分析量，明与暗。（已知量和未知量，已知和未知，学会发现隐藏的量）

2.确定量，最基础（确定基础未知量：其他未知量比较容易被这个未知量表示）

3.表示量，整体意识。（把其它未知量用含有所设的表示基础未知数的字母的代数式表示）

4.找等量（找到表示等量关系的量）

5.列方程（把等量关系中涉及到的量用代数式代替）

6.解方程

7.答题，要考虑求得的解是否符合实际情况

二：列方程解应用题的常用公式：

列不等式解应用题的一般步骤：

A.分析量：（已知量与未知量）

B.确定量（确定基础未知量，设为未知数）

C.表示量（把其他未知量用含有我们所设的基础未知量的字母的代数式来表示）

D.找等量（找到表示等量关系的语句）、

E.列方程（把等量关系中涉及到的量用所设的字母和含有这个字母的代数式代替）

F.列方程

G.解答，要符合实际情况

在解决问题的过程中，我们关注的重点始终放在：分析掌握有哪些量（已知量和未知量往往不止一个）？这些量和量之间的关系怎么样？谁是最为基础的？等量关系在哪里？可以理出怎样的方程？真个过程就像是在翻译：把表示量和量之间关系的语句变成代数式，把表示等量关系的语句变成方程。用代数式和方程这些代数知识来描述和刻画现实的世界。在这个过程中，我们建立了不等式的模型，体现了数学建模的思想

方程与不等式的综合运用

在数学中，方程和不等式是两种常见的数学模型，它们在实际问题

中具有广泛的应用。通过将方程和不等式综合运用，可以帮助我们解

决各种实际问题。本文将探讨方程与不等式的综合运用，并通过一些

例子来说明其实际应用。

一、线性方程与不等式的综合运用

线性方程和不等式是最简单的数学模型之一，在各个领域中经常会

遇到。例如，在商业领域中，我们通常会遇到成本、收入、利润等与

数量成正比的关系。假设某公司生产的产品每件成本为C元，每件的

售价为P元，每月销售量为S件，则其成本与收入的关系可以表示为

以下方程和不等式：

成本：C = S * C

收入：R = S * P

利润：P = R - C

在实际问题中，我们可能需要求解某一项具体的数值，比如：当销

售量为100件时，该公司的成本、收入和利润是多少？通过联立这些

方程和不等式，可以解得具体数值，进而得出结论。

二、二次方程与不等式的综合运用

二次方程和不等式是一类更复杂的数学模型，应用范围更为广泛。

在物理学中，牛顿第二定律常常用到二次方程，可以描述物体的运动。

假设某物体的质量为m千克，受力F牛顿，加速度为a米每秒的平方，则根据牛顿第二定律可以得到以下方程和不等式：

F = m * a

在工程中，二次方程也有广泛的应用。例如，在设计一座拱桥时，

我们需要考虑拱桥的自重、荷载和支持力等因素。这些因素之间的关

系可以用到二次方程。

三、指数方程与不等式的综合运用

指数方程和不等式是在金融、生物学、环境科学等领域中常见的数

学模型。例如，在金融投资中，复利的计算往往使用指数方程。假设

中考方程组和不等式组综合应用题

方程组与不等式综合应用题

1、（2011，哈尔滨）为了更好地治理洋澜湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台，污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，同处理污水量如下表：

3台B型号设备少6万元．

（1）求a，b的值；

（2）经预算：使治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．

2、（2010，贵港）某儿童服装店欲购进A、B两种型号的儿童服装．经调查：B型号童装的进货单价是A型号童装的进货单价的两倍，购进A型号童装60件和B型号童装40件共用去2100元．

(1)求A、B两种型号童装的进货单价各是多少元？

(2)若该店每销售1件A型号童装可获利4元，每销售1件B型号童装可获利9元，该店准备用不超过6300元购进A、B两种型号童装共300件，且这两种型号童装全部售出后总获利不低于1795元．问该店应该怎样安排进货，才能使总获利最大？最大总获利为多少元？

例3、（2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响．为落实“保民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成(计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数)．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：

(1)试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元？

(2)若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？

方程与不等式综合应用

三、例题解析
【1】求使方程组
x y m2 的解 x,y 都是正数的 m 的取值范围。 4 x 5 y 6m 3
【考点分析】方程组求解，不等式求解【思路点拨】用 m 来代换 x 和 y，然后根据 x 和 y 都是正数列出不等关系式。【标准解析】解：
x y m2 4 x 5 y 6m 3
【5】某地区果农收货草莓 30 吨，枇杷 13 吨，现计划租用甲，乙两种货车共 10 辆将这批水果全部运送到省城，已知甲种货车可装草莓 4 吨和枇杷 1 吨，乙种货车可装草莓枇杷各 2 吨。（3）该果农安排甲，乙两种货车时有几种方案？（4）若甲种货车每辆要付运输费 2000 元，乙种货车每辆要付运输费 1300 元，则该果农应选择哪种运输方案才能使运费更少，最少运费是多少元？【考点分析】一元一次不等式组的应用。【思路点拨】先设甲种货车为 x 辆，乙种货车为（10-x）辆列出一元一次不等式组，再根据答案设计方案。【标准解析】解：（1）设应安排 x 辆甲种货车，那么应安排（10-x）辆乙种货车运送这批水果。由题意得
方程与不等式综合应用
一、解题思路
二、经典例题
【1】求使方程组
x y m2 的解 x,y 都是正数的 m 的取值范围。 4 x 5 y 6m 3
【2】若不等式组
2 x 1 3 的解集是 x<2，则 a 的取值范围是（） xa

方程与不等式一元一次不等式的综合应用

引言：

方程和不等式是数学中重要的概念和工具，在解决实际问题中发挥

着重要的作用。特别是一元一次不等式，在诸多领域中都有广泛的应用。本文将通过一些实例，展示方程与不等式在实际问题中的综合应用。

例一：销售业绩分析

假设某公司的销售人员每月的底薪是1000元，加上销售提成后，

总收入将高于底薪。设销售人员的月销售额为x元，提成比例为20%。我们可以建立以下不等式来分析销售业绩：

x * 0.2 + 1000 > 1000

通过简化和计算，得到不等式：

0.2x + 1000 > 1000

进一步简化：

0.2x > 0

由于提成比例不为0，因此不等式成立。这个结果表示，无论销售

额是多少，销售人员的总收入都会高于底薪。

例二：行程规划

假设小明要乘坐火车从A市到达B市，根据火车时刻表，他可以选择7:00、8:00、9:00和10:00四个出发时间。设火车行程需要的时间为

t小时，根据实际情况，小明制定了以下不等式来规划行程：t < 3

该不等式表示小明希望行程所需时间小于3小时。通过解不等式，

我们可以得出小明应该选择7:00、8:00或9:00出发的火车，因为这三

个出发时间所对应的行程时间都小于3小时。

结论：

通过以上两个例子，我们可以看到一元一次不等式在实际问题中的

应用。销售业绩分析中的不等式帮助我们分析了销售人员的总收入与

销售额的关系，而行程规划中的不等式帮助小明选择了最合理的火车

出发时间。

方程与不等式是解决实际问题中的常用工具，通过运用代数方法，

我们可以将问题转化为方程或不等式，并通过求解来获得所需的答案。在实际应用中，我们还可以运用二元一次不等式、二元一次方程等更