高考数学一轮复习 第8章第3节 圆的方程限时作业 文 新课标版
【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习 第8章 第3节 圆的方程课时作业 理
课时作业(五十) 圆的方程一、选择题1．(2015·潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(x ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 答案：D解析：由题意知圆C 的半径 为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有－2＋b －2＝22，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4，故应选D.2．(2015·珠海模拟)已知方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(0，－1)答案：D解析：r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大． 故应选D.3．(2015·昆明一模)方程|x |－1＝1－y －2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆答案：D解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x |－2＋y －2＝1，|x |－1≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＋y －2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．4．(2015·杭州一模)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 答案：A解析：将圆的方程配方，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上，代入整理，得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，故应选A.5．(2015·北京东城区一模)若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案：D解析：由圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可得圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，又圆关于直线l 1，l 2都对称，所以直线l 1，l 2都经过圆的圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＋E2＋4＝0，－D 2－3×E2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，所以D ＋E ＝4.故应选D.6．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1,1＋22] D ．[1－22，3]答案：D解析：曲线是以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，表示两曲线至少有一个公共点． 当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，b ＝3；当直线y ＝x ＋b 与半圆 y ＝3－4x －x 2相切时，由点到直线的距离公式，得2＝|2－3＋b |2，∴|b －1|＝2 2.结合图形知b ＝1－22，∴1－22≤b ≤3.故应选D.7．(2015·沈阳四校联考)已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6答案：C解析：依题意，圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1. 由题意可得|AB |＝22， 直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1， △PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，故应选C.8．(2015·天津十二区县联考一)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A.19 B ．49 C ．1 D ．3答案：C解析：将圆的方程化为标准方程，得(x ＋a )2＋y 2＝4和x 2＋(y －2b )2＝1，两圆有三条公切线，即两圆相外切，所以圆心距等于半径之和，即a 2＋4b 2＝9，即19(a 2＋4b 2)＝1，所以1a 2＋1b 2＝19(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b 2a 2＋a 2b 2≥1，当且仅当a 2＝2b 2时等号成立，即1a 2＋1b 2的最小值为1.故应选C.9．(2015·石家庄质检)已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1，则实数a 的取值范围为( )A ．(5,7)B ．(－15,1)C ．(5,10)D ．(－∞，1)答案：B解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝10－a ， 故10－a >0，即a <10.圆心(1,2)到直线3x －4y －15＝0的距离为4.数形结合可得，当圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1时，圆的半径r 满足3<r <5，即3<10－a <5，即－15<a <1.10．已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA →·PB →的最小值为( )A ．－3＋2 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－4＋ 2答案：A解析：如图所示，设PA ＝PB ＝x (x >0)，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，PO ＝1＋x 2， 所以cos α＝x1＋x2，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos 2α＝x 2(2cos 2α－1)＝x 4－x 2x 2＋1＝x 2＋2－x 2＋＋2x 2＋1＝(x 2＋1)＋2x ＋－3≥22－3.故(PA →·PB →)min ＝－3＋2 2.此时x ＝2－1.故应选A. 二、填空题11．(2015·淄博模拟)已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2x ＋y 2＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值为________．答案：3－ 2解析：直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝32，则圆上的动点C 到直线AB 的距离最小值为d －r ＝32－1，因为|AB |＝22，所以△ABC 的面积的最小值为S min ＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.12．(2015·北京东城区模拟)已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．答案：x －y －2＝0解析：由题易知，直线l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，其中点坐标是(1，－1)，又知过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l 的斜率是1，于是可得直线l 的方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.13．(2015·河南三市一模)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．答案：x 2＋(y －1)2＝10解析：设所求圆的半径是r ，依题意，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1，则r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 14．过点O (0,0)作直线与圆C ：(x －45)2＋(y －8)2＝169相交，在弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过14的概率为________．答案：932解析：已知圆C 的半径为13，圆心C (45，8)， ∵|CO |＝52＋82＝12<13，∴点O 在圆C 的内部，且圆心到直线的距离d ∈[0,12]，∴直线截圆所得的弦长|AB |＝2r 2－d 2∈[10,26]，其中最短和最长的弦各有一条，长为11到25的整数的弦各有两条，共有32条，其中弦长不超过14的有1＋8＝9(条)．∴所求概率P ＝932.15．已知集合A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}．若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________．答案：(－∞，－2)解析：由题意作出A ，B 所表示的平面区域，如图．B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}表示圆x 2＋y 2＝1及其内部，要使A ∩B ＝∅，则直线x －y ＋m ＝0在圆x 2＋y 2＝1的下方，即|0－0＋m |2>1，故m <－ 2.。
2024年高考数学一轮复习第8章第3讲：圆的方程(附答案解析)
第1页共27页2024年高考数学一轮复习第8章第3讲：圆的方程学生版考试要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.
2.
能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系：
(1)|MC |>r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在圆外；
(2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；
(3)|MC |<r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在圆内．
常用结论
1．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)(x －2)2＋(y ＋1)2＝a 2(a ≠0)表示以(2,1)为圆心，a 为半径的圆．(×
)(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.(√)
(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.(
√)教材改编题。
高三数学一轮专题复习第八章第3讲圆的方程
卜人入州八九几市潮王学校第3讲圆的方程〔A 组〕1.假设直线3x+y+a=0过圆x 2+y 2+2x-4y=0的圆心，那么a 的值是() (A)-1(B)1(C)3(D)-32.圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A.x 2＋(y －2)2＝1B.x 2＋(y ＋2)2＝1 C.(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.x 2＋(y －3)2＝1 3.假设直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ，B ，那么以线段AB 为直径的圆的方程是()(A)x 2+y 2+4x-3y=0(B)x 2+y 2-4x-3y=0 (C)x 2+y 2+4x-3y-4=0(D)x 2+y 2-4x-3y+8=0 (x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为() A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5 5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，那么以C 为圆心，半径为的圆的一般方程为〔〕A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0 6.假设坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，那么实数m 的取值范围是() A ．(－1,1)B ．(－，)C ．(－，)D.7.以点C(-3,4)为半径的圆的HY 方程是______________,一般方程为___________________ 8.圆2260x y x +-=的圆心为________半径为__________9.圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，那么圆C 的方程为______________.10.假设方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，那么m 的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________.11.根据以下条件求圆的方程：(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)12.设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.第3讲圆的方程〔B组〕2+〔y-3〕2=4平分，且与直线x+y+1=0垂直，那么l的方程是〔〕A．x+y-2=0B．x-y+2=0C．x+y-3=0D.x-y+3=01:(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，那么圆C2的方程为()(A)(x+2)2+(y-2)2=1(B)(x-2)2+(y+2)2=1(C)(x+2)2+(y+2)2=1〔D)(x-2)2+(y-2)2=13.假设圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，那么圆C的方程为()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±)2＝44点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝15圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，那么四边形ABCD的面积为()6．设点M(x0,1)，假设在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，那么x0的取值范围是() A．[－1,1]B.C．[－，]D.7．圆心为C的圆过点A(1,1)，B(2，－2)且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，那么圆的HY方程为________________．8.圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝，那么该圆的HY 方程是____________________．9.假设直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大间隔为________. 10.D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________.11.在平面直角坐标系中圆心在直线y ＝x+4上，半径为C 经过原点O ，(1)求圆C 的方程；(2)求过点(0，2)且被圆截得的弦长为4的直线方程 12.在平面直角坐标系xOy 中，圆P 在x 轴上截得线段长为2，在y 轴上截得线段长为2.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)假设P 点到直线y ＝x 的间隔为，求圆P 的方程.第3讲圆的方程〔C 组〕x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，假设0<a <1，那么原点与圆的位置关系是()x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过()3假设直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，那么＋的最小值为( B.5 D.3＋24.过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为()A.x ＋y －2＝0B.y －1＝0C.x －y ＝0D.x ＋3y －4＝0 5.抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，假设四边形ABCD 是矩形，那么圆C 2的方程为()A ．221()32xy +-=B ．221()42x y +-= C ．x 2＋(y －1)2＝12D ．x 2＋(y －1)2＝166.假设实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，那么x-2y 的最大值为()7.边长为3，4，5的三角形的外接圆面积为_______,内切圆面积为__________8．圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，圆C在点P处的切线斜率为1，那么圆C的方程为______________．9．圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，那么圆C的方程为________________.10.光线从A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0的最短路程为________.11.圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.12.过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．〔1〕求圆的圆心坐标；〔2〕求线段的中点的轨迹的方程；〔3〕是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：假设存在，求出的取值范围；假设不存在，说明理由．。
高考数学一轮复习 教师备选作业 第八章 第三节 圆的方
第八章 第三节 圆的方程一、选择题1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－32．若点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝03．(已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为 ( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝04．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为 ( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)5．已知圆心(a ，b )(a <0，b <0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为 ( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9 B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25 C ．(x ＋6)2＋(y ＋73)2＝499D ．(x ＋23)2＋(y ＋73)2＝4996．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9二、填空题7．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为________．8．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．9．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．三、解答题10．已知直线l 1：4x ＋y ＝0，直线l 2：x ＋y －1＝0以及l 2上一点P (3，－2)．求圆心C 在l 1上且与直线l 2相切于点P 的圆的方程．11．已知A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？若能在同一圆上，求出圆的方程，若不能在同一圆上，说明理由。
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.3 圆的方程课后作业 文
8．3 圆的方程[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·豫北名校联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.2．(2017·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2答案 A解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.3．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.故选B.4．(2018·山西运城模拟)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0答案 D解析 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.5．(2018·唐山期末)若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π4答案 A解析 将圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化成标准方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24， ∵半径r 满足r 2＝1－3k 24，当圆取得最大面积时，k ＝0，半径r ＝1.因此直线y ＝(k －1)x ＋2即y ＝－x ＋2.得直线的倾斜角α满足tan α＝－1， ∵直线的倾斜角α∈[0，π)，∴α＝3π4.故选A.6．若方程 16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4 D ．4≤m ≤4 2答案 B解析 由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m ≤4 2.故选B.7．(2017·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4 D.163答案 D解析 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.8．(2018·唐山一中调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A.9．(2017·山东菏泽一模)已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215答案 D解析 圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径，∴AC ＝2 5.∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得ME ＝2，∴BD ＝2BE ＝25－2＝2 3.S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BDC ＝12BD ·EA ＋12BD ·EC ＝12BD ·(EA ＋EC )＝12BD ·AC ＝12×23×25＝215.故选D.10．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，则x ＋y 的最大值与最小值是( ) A ．6＋22，6－2 2 B ．6＋2，6－ 2 C ．4＋22，4－2 2D ．4＋2，4－ 2答案 A解析 设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.故选A.二、填空题11．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝9解析 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.12．(2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为________．答案 (x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9 解析 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.13．(2017·金牛期末)已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆心坐标是________．答案 (－2，－4)解析 ∵方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，∴a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝－1或a ＝2，当a ＝－1时，方程化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5； 当a ＝2时，方程化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋2.5＝0， 此时D 2＋E 2－4F <0，方程不表示圆， 所以圆心坐标为(－2，－4)．14．(2018·河北邯郸模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝8，点A (2,0)，动点M 在圆上，则∠OMA 的最大值为________．答案π4解析 设|MA |＝a ，因为|OM |＝22，|OA |＝2，由余弦定理知cos ∠OMA ＝|OM |2＋|MA |2－|OA |22|OM ||MA |＝22＋a 2－222×22a＝142⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋a≥142×24a·a ＝22，当且仅当a ＝2时等号成立，∴∠OMA ≤π4，即∠OMA 的最大值为π4. 三、解答题15．(2018·洛阳统考)已知圆S 经过点A (7,8)和点B (8,7)，圆心S 在直线2x －y －4＝0上．(1)求圆S 的方程；(2)若直线x ＋y －m ＝0与圆S 相交于C ，D 两点，若∠COD 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围．解 (1)线段AB 的中垂线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，所以圆S 的圆心为S (4,4)，圆S 的半径为|SA |＝5，故圆S 的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25.(2)由x ＋y －m ＝0变形得y ＝－x ＋m ，代入圆S 的方程，消去y 并整理得2x 2－2mx ＋m 2－8m ＋7＝0.令Δ＝(－2m )2－8(m 2－8m ＋7)>0，得 8－52<m <8＋5 2.设C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－8m ＋72.依题意，得OC →·OD →<0，即x 1x 2＋(－x 1＋m )(－x 2＋m )<0，即m 2－8m ＋7<0，解得1<m <7. 故实数m 的取值范围是{m |8－52<m <8＋52}∩{m |1<m <7}＝{m |1<m <7}．16．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且y 轴被圆截得的弦长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0. 设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43， 知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， ∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x －2＋y 2＝13，得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意， ∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.。
高考数学一轮复习 第8章第3节 圆的方程课件 文 新课标
• 解析：直线x－y＋1＝0与x轴的交点为 (－1,0)， • 所以圆心为(－1,0)． • 因为圆C与x＋y＋3＝0相切，
所以 r＝|－11＋2＋0＋123|＝ 2， 所以圆 C 的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
• 答案：(x＋1)2＋y2＝2
点评：求圆的方程有两类方法：(1)几何 法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆 的位置关系，进而求得圆的基本量和方程； (2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方 程．本题也可用代数法求解，但较复杂．
• 答案：D
• 4．过点A(－2，－4)，B(8,6)，且圆心在直线x＋3y－26＝0上的 圆的方程是____________________．
•
解析：方法一：因为AB的中点坐标为(3,1)，kAB＝1，
• 所以AB的垂直平分线方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.
由xx＋ ＋y3－y－4＝ 260＝，0 得xy＝ ＝－ 11，7， 即圆心坐标为(－7,11)． 所以所求圆的半径 r＝ －7＋22＋11＋42＝5 10. 所以所求圆的方程为(x＋7)2＋(y－11)2＝250.
• (即时巩固详解为教师用书独有)
• 考点一 求圆的方程
• 【案例1】 (2010·天津)已知圆C的圆心 是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直 线x＋y＋3＝0相切．则圆C的方程为 ________．
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
高考数学一轮复习第8章 第3节 圆的方程
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第二级
• 第三级 解：设–圆第的四方级程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
»5第2＋五5D级＋F＝0 由题意得1－D＋F＝0
9＋9－3D＋3E＋F＝0
即 5DD－＋FF－＋12＝5＝ 0，0， 3D－3E－F－18＝0.
解得 D＝－4，E＝－235，F＝－5. ∴所求圆的方程为 x2＋y2－4x－235y－5＝0. 由点 D(a,3)在圆上知 a2＋9－4a－235×3－5＝0， 即 a2－4a－21＝0，解得 a＝－3 或 a＝7. 故所求 a 的值为－3 或 7.
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单击此处编辑母版文本样式 (1)圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y
第二级
－14＝0•的第最三大级距离与最小距离的差是
A．30 – 第四级B．18
C．6 2 »第五D级．5 2
(2)已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0.
A．a＜－2 或 a＞23 B．－23＜a＜0 C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜23
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第二级 解析•：第由三a级2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，得 3a2＋4a－4＜ 0，解得－2＜– 第a＜四23级，即为所求条件．
»第五级
3．圆 x2＋y2－2x＋2y＋1＝0 的圆心到直线 x－y＋1＝0
高考数学一轮复习 第八章 第三节 圆的方程课时作业 理 新人教版
课时作业一、选择题1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0，0)对称的圆的方程为 ( )A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5A [圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5. 即(x －2)2＋y 2＝5.]2．(2014·郑州第一次质检)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0D [抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1，0)，排除A ；选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5，0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5，0)，排除C.]3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 B [依题意设圆心C (a ，1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.]4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.]5．(2014·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是 ( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)A [将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ， 可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2. ∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称， ∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.]6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是 ( )A.95 B ．1 C.45D.135C [圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95， 故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.]二、填空题7．如果三角形三个顶点分别是O (0，0)，A (0，15)，B (－8，0)，则它的内切圆方程为________．解析 因为△AOB 是直角三角形， 所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3，3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9. 答案 (x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2014·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________． 解析 设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1，0)， 则圆C 的圆心坐标是(0，1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋（－3）2＝1， 则R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 答案 x 2＋(y －1)2＝10 9．已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________． 解析y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1，2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34， 故最小值为34.答案 34三、解答题10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解析 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又∵直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3，6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.11．已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解析 (1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， 显然只要5－m ＞0， 即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， 其中m ＜5，所以圆心C (1，2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1，2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15， 因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552，解得m ＝4.12．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解析 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM＝12|AM |·|PA |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |， 所以S ＝2|PA |，而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.。
2022届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第3节 圆的方程课时作业(含解析)新人教版
第八章平面解析几何授课提示：对应学生用书第319页[A组基础保分练]1．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D＜0”是“圆C与y轴相切于原点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( ) A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案：B3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y －2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|0＋0－2|＝2＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个．2答案：C4．(2020·高考全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B ．255C.355D ．455答案：B5．已知圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 对称，则a －b 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4) C ．(－4，＋∞) D ．(4，＋∞) 答案：B6．过点M (2,2)的直线l 与坐标轴的正方向分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为8，则△OAB 外接圆的标准方程是( ) A ．(x －2)2＋(y －2)2＝8 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝8 C ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝8 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝8解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由直线l 过点M (2，2)，得2a ＋2b＝1.又S △OAB ＝12ab ＝8，所以a ＝4，b ＝4，所以△OAB 是等腰直角三角形，且M 是斜边AB 的中点，则△OAB 外接圆的圆心是点M (2,2)，半径|OM |＝22，所以△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8. 答案：A7．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值为________．答案：338．(2021·银川模拟)已知圆x2＋y2＝4，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上动点，若∠PBQ＝90°，则线段PQ中点的轨迹方程为________．答案：x2＋y2－x－y－1＝09．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②1＋9－D＋3E＋F＝0.③解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P 于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解析：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)，则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210，所以(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[B 组 能力提升练]1．(多选题)(2021·山东青岛检测)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个 C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为42解析：因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a ＞0)，故圆心在直线y ＝－x 上，A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，故C 正确；它们的圆心距为 5－12＋－5＋12＝42，D 正确．答案：ACD2．圆x 2＋y 2－4x －4y ＋m ＝0上动点P 到直线x ＋y ＋2＝0的最小距离为22，则m ＝( ) A ．－10 B ．－6 C ．6 D ．10答案：C3．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 将圆C 分为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( ) A ．－ 6B ．±6C ．－ 5D ．±5解析：结合图形(图略)及题意知，圆心C (1,2)到y 轴的距离与到直线y ＝2x ＋b 的距离相等，易知C (1,2)到y 轴的距离为1，则|2×1－2＋b |22＋－12＝1，解得b ＝± 5. 答案：D4．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)，则n －3m ＋2的最大值为( ) A ．3＋ 2 B ．1＋2 C ．1＋ 3D ．2＋3解析：由题可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx－y ＋2k ＋3＝0，其中n －3m ＋2＝k ，将圆C 的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，C (2,7)，半径r ＝22，由直线MQ 与圆C 有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3，∴n －3m ＋2的最大值为2＋ 3.答案：D5．(2021·临沂模拟)已知圆心在直线x －3y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，且截x 轴所得的弦长为42，则圆C 的标准方程为________． 答案：(x －3)2＋(y －1)2＝96．已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，A (－5,0)，B (b,0)(b ≠－5)，若|PA ||PB |＝λ(λ为定值)，则λb ＝________. 解析：设点P (x P ，y P )，∵|PA |＝λ|PB |，A (－5,0)，B (b,0)，∴(x P ＋5)2＋y 2P ＝λ2[(x P －b )2＋y 2P ]，∴x 2P ＋y 2P ＋10x P ＋25＝λ2(x 2P ＋y 2P －2bx P ＋b 2)．∵P 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 2P ＋y 2P ＝1，∴10x P ＋26＝λ2(1－2bx P ＋b 2)，∴(10＋2bλ2)x P ＝λ2＋b 2λ2－26，要使上式对x P ∈[－1,1]恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧10＋2bλ2＝0，λ2＋b 2λ2－26＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－15，λ2＝25或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，λ2＝1(不符合题意，舍去)．∵λ＞0，∴λ＝5，∴λb ＝－1. 答案：－17．设m ∈R ，已知直线x ＋my ＝0过定点A ，直线mx －y －2m ＋4＝0过定点B ，直线x ＋my ＝0和直线mx －y －2m ＋4＝0交于点P .(1)求动点P 的轨迹方程； (2)求|PA |·|PB |的最大值．解析：(1)由已知可知，直线x ＋my ＝0和直线mx －y －2m ＋4＝0分别过定点A (0,0)，B (2,4)，又m ×1＋m ×(－1)＝0，所以两直线垂直，故两直线的交点P (x ，y )的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 的中点(1,2)，半径r ＝|AB |2＝5，故动点P 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(2)由(1)可知定点A (0,0)，B (2,4)，且两直线垂直，P 为圆(x －1)2＋(y －2)2＝5上的点，则PA ⊥PB ，|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝22＋42＝20，则|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝10，当且仅当|PA |＝|PB |时等号成立，所以|PA |·|PB |的最大值为10.[C 组 创新应用练]1．(2021·海口模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4,4]D ．[－4,23]解析：x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示圆x 2＋y 2＝4的上半部分，如图所示，直线3x ＋y －m ＝0的斜率为－3，在y 轴上的截距为m .当直线3x ＋y －m ＝0过点(－2,0)时，m ＝－2 3.设圆心(0,0)到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2.解得m ∈[－23，4]．答案：B2．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k ＞0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3,0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件．实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝⎛⎭⎪⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k －32＋1693－k 2≤25，解得0＜k ≤6. 答案：(0,6]3．如果直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么ba的取值范围为________． 解析：易知函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象过定点(－1，2)， ∴直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)过定点(－1,2)，∴a ＋b ＝7 ①，又定点(－1,2)在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上， ∴a 2＋b 2≤25 ②，由①②解得3≤a ≤4，∴14≤1a ≤13，∴b a ＝7－a a ＝7a －1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，43。
近年届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第三节圆的方程课时作业(2021年整理)
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第三节圆的方程课时作业A组-—基础对点练1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( ）A．以(1,－2)为圆心，11为半径的圆B．以（1,2)为圆心,错误!为半径的圆C．以(－1,－2）为圆心,错误!为半径的圆D．以（－1，2）为圆心,错误!为半径的圆解析：由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为（－1，2),半径为错误!.答案:D2．若圆C的半径为1,圆心C与点(2，0）关于点(1，0)对称，则圆C的标准方程为（）A．x2＋y2＝1 B．(x－3）2＋y2＝1C．(x－1）2＋y2＝1 D．x2＋（y－3)2＝1解析：因为圆心C与点（2,0）关于点（1，0)对称，故由中点坐标公式可得C（0，0),所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1。
答案：A3．圆（x＋2）2＋y2＝5关于原点（0,0)对称的圆的方程为（）A．x2＋(y－2）2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5C．x2＋（y＋2)2＝5 D．（x－1)2＋y2＝5解析：因为所求圆的圆心与圆（x＋2）2＋y2＝5的圆心（－2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为（2，0），半径为错误!，故所求圆的方程为（x－2)2＋y2＝5。
高考数学(文)一轮复习 8-3圆的方程
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高考一轮总复习 ·数学（文）
2．三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，d 为 圆心到点 M 的距离． (1)__(x_0_－__a_)2_＋__(_y_0－__b_)_2_＝__r_2 __⇔点在圆上⇔d＝r； (2) _(x_0_－__a_)_2＋__(_y_0－ __b__)2_>_r_2____⇔点在圆外⇔d>r； (3) _(_x_0－__a_)_2_＋__(y_0_－__b_)_2<_r_2____⇔点在圆内⇔d<r.
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(2)方程表示圆的充要条件为：__D_2_＋_E__2－__4_F__>_0_______； (3)圆心坐标__－__D_2_，__－__E2___，半径 r＝_12__D__2＋ __E__2－__4_F_.. 考点 2 点与圆的位置关系 1．理论依据 _点__与__圆__心____的距离与半径的大小关系．
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高考一轮总复习 ·数学（文）
【变式训练 1】 (1)[2015·全国卷Ⅱ] 过三点 A(1,3)， B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝( )
A．2 6 C．4 6
B．8 D．10
解析 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点 A， B，C 代入，
12
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
3．[课本改编]若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4 的内
2020版高考数学新设计一轮复习新课改省份专用讲义：第八章 第三节 圆的方程 含答案
第三节圆的方程1．圆的定义及方程如果没给出r＞0，则圆的半径为|r|.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点⎝⎛⎭⎫－D2，－E2；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[熟记常用结论](1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、选填题1．圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D 由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D. 2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B.(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B.(0,1) C.⎝⎛⎭⎫－1，15 D.⎝⎛⎭⎫－15，1 解析：选D 由(2a )2＋(a －2)2＜5，得－15＜a ＜1.4．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．解析：若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是________．解析：根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：x 2＋(y －2)2＝1考点一 求圆的方程[师生共研过关][典例精析][例1] 已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254[解析] 法一：(待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.法二：(几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上． 又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝ ⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.[答案] C[例2] 圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________________________．[解析] 法一：(几何法)设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. [答案] (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10[解题技法]1．求圆的方程的两种方法[提醒] 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[过关训练]1．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 分别代入A ，B ，C 三点坐标， 得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为 x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7. 答案：72．已知圆心在直线y ＝－x ＋1上，且与直线x ＋y －2＝0相切于点(1,1)的圆的方程为________________________．解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ＋1，(a －1)2＋(b －1)2＝|a ＋b －2|2，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.所以r ＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＝22.故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 答案：⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12考点二 与圆有关的最值问题 [全析考法过关][考法全析]考法(一) 斜率型最值问题[例1] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． [解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. 考法(二) 截距型最值问题[例2] 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，求x ＋y 的最大值与最小值．[解] (转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.考法(三) 距离型最值问题[例3] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值． [解] 如图所示，x2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 考法(四) 利用对称性求最值[例4] 已知A (0,2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|P Q |的最小值是________．[解析] 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )， 故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知|PA |＋|P Q |＝|A ′P |＋|P Q |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. [答案] 2 5[规律探求][过关训练]1．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是()A．2,2－52B．2＋52，2－52C.5，4－ 5D.52＋1，52－1解析：选B由题意知|AB|＝(－1)2＋(－2)2＝5，l AB：2x－y＋2＝0，由题意知圆C的圆心坐标为(1,0)，∴圆心到直线l AB的距离d＝|2－0＋2|4＋1＝455.∴S△PAB的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎫455＋1＝2＋52，S△PAB的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫455－1＝2－52.2．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________．解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径r ＝1，根据对称性可知，四边形PACB 的面积为2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2，要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2.所以四边形PACB 面积的最小值为(|PC |min )2－r 2＝4－1＝ 3.答案： 3考点三 与圆有关的轨迹问题 [师生共研过关][典例精析]已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)． (1)求直角顶点C 的轨迹方程；(2)求直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y . 由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4(y ≠0)， 即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[解题技法]求与圆有关轨迹问题的3种方法(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程． (3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．[过关训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，P Q 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D 由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|P Q |＝|PO |，且P Q ⊥C Q ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.2．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)， 则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆⎝⎛⎭⎫因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．圆(x －3)2＋(y －1)2＝5关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －1)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝5解析：选C 由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为5，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5，故选C.2．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43解析：选B 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213. 3．(2019·成都模拟)若抛物线y ＝x 2－2x －3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4 B.(x －1)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 抛物线y ＝x 2－2x －3关于直线x ＝1对称，与坐标轴的交点为A (－1,0)，B (3,0)，C (0，－3)，设圆心为M (1，b )，半径为r ，则|MA |2＝|MC |2＝r 2，即4＋b 2＝1＋(b ＋3)2＝r 2，解得b ＝－1，r ＝5，∴由交点确定的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，故选D.4．(2019·银川模拟)若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2 B.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2解析：选C 设线段AB 的中点为D ，则|AD |＝|CD |＝1，∴r ＝|AC |＝2＝|CP |，故C (2，1)，故圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝2，故选C.5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A. 6．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＜－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝98．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝29．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|M Q |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|Q C |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42＞2 2. 所以点Q 在圆C 外，所以|M Q |max ＝42＋22＝62， |M Q |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线M Q 的斜率，设直线M Q 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .因为直线M Q 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 二、专项培优练 (一)易错专练——不丢怨枉分1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )A ．一个椭圆B.一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.2．(2019·海口模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B.[－23，4] C ．[－4,4] D ．[－4,23]解析：选B x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示圆x 2＋y 2＝4的上半部分，如图所示，直线3x ＋y －m ＝0的斜率为－3，在y 轴上的截距为m .当直线3x＋y －m ＝0过点(－2,0)时，m ＝－2 3.设圆心(0,0)到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎨⎧ m ≥－23，d ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2， 解得m ∈[－23，4]．3．若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B.[－4,6] C ．(－∞，－4]∪[6，＋∞) D ．[6，＋∞)解析：选D |3x －4y －9|表示点P 到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，|3x －4y ＋a |表示点P 到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，即点P 到直线l 1，l 2的距离之和与点P 的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以错误!≥1，且a ＞0，解得a ≥6，故选D.4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________________．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝435．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．解析：设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(32＋42＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案：74(二)交汇专练——融会巧迁移6．[与不等式交汇]已知圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b的最小值是( ) A ．2 3B.203 C ．4 D.163解析：选D 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.7．[与线性规划交汇]已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．解析：如图，不等式表示的平面区域是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OP Q 为直角三角形，∴圆心为斜边P Q 的中点(2,1)，半径r ＝|P Q |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5 8．[与函数交汇]如果直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a的取值范围为________．解析：易知函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象过定点(－1,2)，∴直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)过定点(－1，2)，∴a ＋b ＝7，①又定点(－1,2)在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，∴a 2＋b 2≤25，②由①②解得3≤a ≤4，∴14≤1a ≤13， ∴b a ＝7－a a ＝7a －1∈⎣⎡⎦⎤34，43.答案：⎣⎡⎦⎤34，439．[与向量交汇]已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求P Q ―→·M Q ―→的最小值．解：(1)设圆C 的圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0， 则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝2，P Q ―→·M Q ―→＝(x 0－1，y 0－1)·(x 0＋2，y 0＋2)＝x 20＋y 20＋x 0＋y 0－4＝x 0＋y 0－2.令x 0＝2cos θ，y 0＝2sin θ，所以P Q ―→·M Q ―→＝x 0＋y 0－2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2， 又⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4min ＝－1，所以P Q ―→·M Q ―→的最小值为－4.(三)难点专练——适情自主选10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解：由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1,0)，B (x 2,0)，可得Δ＝m 2－8m ＞0，则m ＜0或m ＞8.x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC ―→·BC ―→＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12. 此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心， 半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0,2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0.整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0,1)和⎝⎛⎭⎫25，45.。
2021版新高考数学一轮教师用书：第8章 第3节 圆的方程 Word版含答案
第三节圆的方程[考点要求] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第145页)1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0) 圆心⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径12D2＋E2－4F点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．[常用结论]圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF >0.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(2，3)，3 B ．(－2，3)， 3 C ．(－2，－3)，13D ．(2，－3)，13D [圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r ＝13.] 2．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4A [AB 的中点坐标为(0，0)， |AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.]3．过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C [设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r .因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，所以b ＝2－a .又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，所以a ＝1，b ＝1.所以r ＝2.所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.]4．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________． x 2＋y 2－2x ＝0 [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0. ∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.](对应学生用书第146页)考点1 圆的方程求圆的方程的2种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．(1)[一题多解]已知圆E 经过三点A (0，1)，B (2，0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254(2)[一题多解]已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为________．(1)C (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 [(1)法一：(待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516. 法二：(几何法)因为圆E 经过点A (0，1)，B (2，0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0.则圆E 的半径为|EB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋（0－0）2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.(2)法一：由圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，∴设圆C 的圆心为(a ，－a ). 又∵圆C 与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |. 又圆C 在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6， 圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法二：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，∵圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴－D 2－E2＝0，即D ＋E ＝0，① 又∵圆C 与直线x －y ＝0相切， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22＝12D 2＋E 2－4F ，即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.②又知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2到直线x －y －3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 2－32，由已知得d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝ 2.]几何法与待定系数法是解答圆的有关问题的两种常用方法，求解圆的方程时，可采用数形结合的思想充分运用圆的几何性质，达到事半功倍的效果．1.若不同的四点A (5，0)，B (－1，0)，C (－3，3)，D (a ，3)共圆，则a 的值为________． 7 [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，分别代入A ，B ，C 三点坐标，得 ⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5. 所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为 x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a ，3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去).即a 的值为7.]2．[一题两空]已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 5 [由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．] 考点2 与圆有关的最值问题斜率型、截距型、距离型最值问题与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1).所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.图1图2图3(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2).所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的 斜率型、截距型、距离型最值问题一般根据相应几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．已知点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，2－52B ．2＋52，2－52C ．5，4－ 5D ．52＋1，52－1B [由题意知|AB |＝（－1）2＋（－2）2＝5，l AB ：2x －y ＋2＝0，由题意知圆C 的圆心坐标为(1，0)， ∴圆心到直线l AB 的距离d ＝|2－0＋2|4＋1＝455.∴S △P AB 的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455＋1＝2＋52， S △P AB 的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455－1＝2－52.] 利用对称性求最值求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17A [(图略)P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3).所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.]本题在求解中要立足了两点：(1)减少动点的个数，借助圆的几何性质化圆上任意一点到点(a ，b )的距离的最大(小)值为圆心到点(a ，b )的距离加(减)半径问题；(2)“曲化直”，即借助对称性把折线段转化为同一直线上的两线段之和的最值问题解决．[教师备选例题](1)设点P 是函数y ＝－4－（x －1）2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为________．(2)已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________．(1)5－2 (2)25 [(1)函数y ＝－4－（x －1）2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4在x 轴及下方的部分，令点Q 的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3得y ＝x 2－3， 即x －2y －6＝0，作出图象如图所示， 由于圆心(1，0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋（－2）2＝5>2，所以直线x －2y －6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2.(2)因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知|P A|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2 5.](2019·上饶模拟)一束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是()A．4 B．5C．52－1 D．26－1C[根据题意，设A′与A关于x轴对称，且A(－3，2)，则A′的坐标为(－3，－2)，又由A′C＝25＋25＝52，则A′到圆C上的点的最短距离为52－1.故这束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是52－1，故选C.]考点3与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题的4种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．(2019·衡水调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[解](1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误．[教师备选例题]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．[解] (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点，所以C 1M ⊥AB ，所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得y x －3·y x ＝－1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立． 设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立， 消去y 得：(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．[解] 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)， 则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，- 11 - 线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆， 直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.。
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高考数学一轮复习 第8章第3节 圆的方程限时作业 文 新课
标版
一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
1.若方程（2m 2+m-1)x 2+(m 2-m+2)y 2+m+2=0的图形表示一个圆，则实数m 等于
（ ） A.3 B.-3 C.1 D.-1
解析：令2m 2+m-1=m 2-m+2得m=-3或m=1.
当m=1时,原方程为2x 2+2y 2+3=0，不能表示圆，舍去；
当m=-3时,原方程为22114
x y +=，曲线表示圆.选B. 答案：B
2. (2011届·厦门模拟）以线段AB ：x+y-2=0（0≤x ≤2)为直径的圆的方程为 （ ）
A.(x+1)2+(y+1)2=2
B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.（x+1)2+(y+1)2=8
D.(x-1)2+(y-1)2=8
解析：易知圆心为(1,1)2.
答案：B
3.圆(x+2)2+y 2=5关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ） A.(x-2)2+y 2=5 B.x 2+(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5
D.x 2+(y+2)2=5
解析：圆(x+2)2+y 2=5的圆心为(-2,0),关于（0，0）对称的点为（2，0），
所以对称的圆的方程为（x-2）2+y 2=5.故选A.
答案：A
4.设P(x,y)是曲线x 2+(y+4)2
=4上任意一点，22(1)(1)x y -+-的最大值为 （ ） 26226C.5 D.6 22(1)(1)x y -+-P(x,y)与点A(1，1)之间的距离.
如图，P 点所在位置即可取得最大距离. 答案：A
5.若点（1，1）在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a 的取值范围是 （ ）
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.a>1或a<-1
D.a=±1
解析：由题意知（1-a ）2+(1+a)2<4,解得-1<a<1.故选A.
答案：A
6. (2011届·山东调研）已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a,b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 （ ）
A.（-∞，14]
B.(0，14
] C.(-14，0 ) D.(-∞，-14] 8.
当圆x 2+y 2-2ax+2ay+3a 2-2a-1=0的半径最大时，这个圆在y 轴上截得的弦长为 .
解析：r 2=-a 2+2a+1=-(a-1) 2+2.当a=1时，rmax=2，此时圆的方程为x 2+y 2-2x+2y=0.
令x=0，得y 2+2y=0，解得y 1=0,y 2=-2.所以在y 轴上的弦长为2. 答案：2 9.若圆x 2+y 2+mx-14
=0与直线y=-1相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为 . 解析：由已知有2221()24m m x y +++=，则有2
m -<0，即m>0. 又圆与y=-1相切，则半径r=1.所以2
14m +=1,即m=3. 又m>0，则3.
310.定义：若平面点集A 中的任一点（x 0,y 0),总存在正实数r ，使得集合{（22
00()()x x y y r -+-< }⊆A,则称A 为一个开集.给出下列集合： ①{(x,y)|x 2+y 2=1};②{(x+y)|x+y+2>0};
③{(x,y)||x+y|≤6};④{(x,y)|0<x 2+(y-2)2<1}.
其中是开集的是 .（请写出所有符合条件的序号）
（2）因为k AB=1
2
,AB的中点为(0,-4)，
所以AB中垂线的方程为y+4=-2x，即2x+y+4=0.
解方程组
240,1, 230, 2. x y x
x y y
++==-⎧⎧
⎨⎨
--==-⎩⎩
得
所以圆心为(-1,-2).
根据两点间的距离公式得半径10
因此，所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
12.（16分）已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围.
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m. （3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.。