2016-2017学年高中数学第2讲直线与圆的位置关系高效整合新人教A版选修4-1资料
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：2-2第二讲-直线与圆的位置关系
任意平行四边形的四个顶点在同一个圆上
平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，因为
它的对角相等，但不一定互补．当互补时，共圆． 思考探究2 在我们学过的特殊四边形中，有哪些四边形
的四个顶点共圆？ 提示 有矩形、正方形、等腰梯形，因为它们的四个内角
中相对的两个内角互补.Fra bibliotek名师点拨 1.判定四点共圆的方法 (1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共 圆．
【证明】 O.
由A，B，D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙
(1)如果点C在⊙O的外部(如图①)，连接BC，与圆相交于 点E. ∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB. 而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．
(2)如果点C在⊙O的内部(如图②)． 延长BC与圆相交于点E，连接AE， 则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾． ∴点C不可能在圆内． 由(1)、(2)知，点C只能在圆上． ∴A，B，C，D四点共圆．
规律技巧
本例的证明应用了分类讨论的思想和反证法．
变式2
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G，求证： (1)D，E，F，G四点共圆； (2)G，B，C，F四点共圆．
证明 GEF＝90° .
(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠
规律技巧
本题除了运用圆内接四边形的性质定理，还运
用了垂径定理及圆周角定理的推论2解决问题．
变式1
如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB和DC的延长 线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q.如果∠A＝50° ，∠P＝ 30° ，求∠Q的度数．
新教材高中数学第二章直线和圆的方程5-1直线与圆的位置关系学案新人教A版选择性必修第一册
直线与圆的位置关系【学习目标】1．直线与圆的三种位置关系代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a2＋y －b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ【小试牛刀】1.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( )2.如果直线与圆组成的方程组有解,则直线和圆相交或相切.( )3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )4.过半径外端的直线与圆相切.( )【经典例题】题型一直线与圆的位置关系 直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系．例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0,圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时,圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．[跟踪训练]1已知直线l ：x －2y ＋5＝0与圆C ：(x －7)2＋(y －1)2＝36,判断直线l 与圆C 的位置关系.题型二圆的切线方程 (1)点在圆上时求过圆上一点(x 0,y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ,再由垂直关系得切线的斜率为－1k,由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0. (2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．由圆心到直线的距离等于半径,可求得k ,也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0),与圆的方程联立,消去y 后得到关于x 的一元二次方程,由Δ＝0求出k ,可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况,不要漏解．例2 （1）求过圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0上一点P (3,3)的切线方程。
高中数学第二章直线和圆的方程 圆与圆的位置关系课后提能训练新人教A版选择性必修第一册
第二章 2.5 2.5.2A级——基础过关练1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．外离【答案】B【解析】将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1,(x－2)2＋(y＋1)2＝9,可知圆心距d＝5．由于2＜d＜4,所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】r1＝2,r2＝3,圆心距d＝5,由于d＝r1＋r2,所以两圆外切,故公切线有3条．3．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切,则a等于( )A．1 B．－1C．±2 D．±1【答案】D【解析】圆C2：(x－a)2＋y2＝1,因为两圆内切,所以|C1C2|＝r1－r2＝2－1＝1,即|a|＝1,故a＝±1．4．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0化为(x－1)2＋(y－3)2＝9,圆心C1(1,3),半径为r1＝3,圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4,圆心C2(－2,－1),半径r2＝2．因为|C1C2|＝－2－12＋－1－32＝5＝r1＋r2,所以两圆外切．作出两圆图象如图,所以圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有3条．5．(2021年九江模拟)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )A ． 5B ． 6C ．2 5D ．2 6【答案】C【解析】x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差,得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0．圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35,因此公共弦长为2522－352＝25．6．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－3＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－1＝0公共弦长的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】两圆相交弦所在直线的方程为x ＋y ＋a ＋b －1a －b＝0,所以弦长为23－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －b ＋1a －b 22,所以当|a －b |＝1时,弦长最大,最大值为2． 7．(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2,圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)交于不同的A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,下列结论正确的有( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b【答案】ABC【解析】由题意,由圆C 2的方程可化为C 2：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0,两圆的方程相减可得直线AB 的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0,即2ax ＋2by ＝a 2＋b 2．分别把A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点代入,得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2,2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2．两式相减,得2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0,即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0,所以A,B 正确．由圆的性质可得,线段AB与线段C 1C 2互相平分,所以x 1＋x 2＝a ,y 1＋y 2＝b ,所以C 正确,D 不正确．故选ABC ．8．若曲线C 1：x 2＋y 2＝5与曲线C 2：x 2＋y 2－2mx ＋m 2－20＝0(m ∈R )相交于A ,B 两点,且两曲线在A 处的切线互相垂直,则m 的值是________．【答案】±5【解析】由已知可得圆C 1的圆心C 1(0,0),半径r 1＝5,圆C 2的圆心C 2(m,0),半径r 2＝25,|C 1C 2|2＝r 21＋r 22,即m 2＝25,故m ＝±5．9．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ,B 两点,则线段AB 的中垂线方程为________．【答案】x ＋y －3＝0【解析】AB 的中垂线即为圆C 1,圆C 2的连心线C 1C 2所在的直线,又因为C 1(3,0),C 2(0,3),C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0,即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0．10．(2022年哈尔滨期末)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝36－m ,其中m ∈R ． (1)如果圆C 与圆x 2＋y 2＝1外切,求m 的值；(2)如果直线x ＋y －3＝0与圆C 相交所得的弦长为45,求m 的值． 解：(1)圆C 的圆心为(3,4),半径为36－m ,若圆C 与圆x 2＋y 2＝1外切,故两圆的圆心距等于两圆半径之和, 故32＋42＝1＋36－m ,解得m ＝20． (2)圆C 的圆心到直线x ＋y －3＝0的距离为d ＝||3＋4－31＋1＝22,由垂径定理,得⎝⎛⎭⎪⎫4522＝(36－m )2－d 2,解得m ＝8． B 级——能力提升练11．若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，22 B ．()－22，－2∪()2，22 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322D ．(－∞,－322∪(2,＋∞),【答案】C【解析】根据题意知,圆(x －a )2＋(y －a )2＝4与圆x 2＋y 2＝1相交,两圆圆心距为d ＝a 2＋a 2＝2|a |,所以2－1＜2|a |＜2＋1,解得22＜|a |＜322．所以－322＜a ＜－22,22＜a ＜322． 12．(多选)(2022年石家庄模拟)已知圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝11与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0,则下列说法正确的是( )A ．若圆C 2与x 轴相切,则m ＝2B ．若m ＝－3,则圆C 1与圆C 2相离C ．若圆C 1与圆C 2有公共弦,则公共弦所在的直线方程为4x ＋(6－2m )y ＋m 2＋2＝0 D ．直线kx －y －2k ＋1＝0与圆C 1始终有两个交点, 【答案】BD【解析】因为C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝11,C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4,所以若圆C 2与x 轴相切,则有|m |＝2,故A 错误；当m ＝－3时,|C 1C 2|＝1＋12＋3＋32＝210＞2＋11,两圆相离,故B 正确；由两圆有公共弦,两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x ＋(6－2m )y ＋m 2－2＝0,故C 错误；直线kx －y －2k ＋1＝0过定点(2,1),而(2－1)2＋(1－3)2＝5＜11,故点(2,1)在圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝11内部,所以直线kx －y －2k ＋1＝0与圆C 1始终有两个交点,故D 正确．故选BD ．13．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r ＞0)在交点处的切线互相垂直,则r ＝________．【答案】3【解析】设一个交点为P (x 0,y 0),则x 20＋y 20＝16,(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2,所以r 2＝41－8x 0＋6y 0.因为两切线互相垂直,所以y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1,所以3y 0－4x 0＝－16.所以r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9,所以r ＝3.,14.已知相交两圆C 1：x 2＋y 2＝4,圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4,公共弦所在直线的方程为__________,公共弦的长度为__________．【答案】x ＝1 2 3【解析】如图,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －22＋y 2＝4，两式作差可得公共弦所在直线的方程为x ＝1.将x ＝1代入x 2＋y 2＝4,解得y ＝±3,l ＝|y 1－y 2|＝2 3.15．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：方法一,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，两式相减,得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，解得两圆交点坐标为(－1,2),(5,－6)． 因为所求圆以公共弦为直径, 所以圆心C 是公共弦的中点(2,－2), 半径为125＋12＋－6－22＝5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法二,由方法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ.因为圆心C 在公共弦所在直线上,所以4·－12λ－1221＋λ＋3·－16λ－221＋λ－2＝0,解得λ＝12.所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.。
第二讲 直线与圆的位置关系 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)(2)
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2．利用三角形内(外)角平分线的性质
[例4]
⊙O直径垂直于弦CD，E是
⊙O上任一点，延长EC、AB相交于Q， ED交AQ于P(如图)， 求证：AQ· PB＝AP· BQ.
[证明] 连接 EA、EB. ∵AB⊥CD，又 AB 是直径，
∴ CB ＝ BD ，
∴∠QEB＝∠PEB，则 EB 平分∠PEQ. ∴EP∶EQ＝PB∶BQ. ①
求证：BE· BF＝BC· BD.
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[证明] 连接AE、AC.
∵AD是切线， ∴BA⊥AD. ∵AB是直径， ∴AE⊥BF，AC⊥BD.
∴AD.
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5.利用相交弦定理及切割定理 [例 7] 如图所示，两圆内切于点 T，大
圆的弦 AB 切小圆于点 C，TA、TB 与小圆 分别相交于点 E、F，FE 的延长线交两 圆的公切线 TP 于点 P.
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3．利用面积关系 [例 5] Rt△ABC 中，O 是斜边 BC 上一点，以 O 为圆
心的半圆与两直角边相切于 M、 如果两直角边分别为 a、 N， b，半圆的半径为 r. 1 1 1 求证： ＝ ＋ . r a b
[证明] 连接 AO、OM、ON. ∵AB、AC 与半圆相切于 M、N， ∴OM⊥AB，ON⊥AC. 又设 AB＝a，AC＝b， 半圆的半径为 r，
求证：(1) CE ＝ CF ；
(2)AC· PF＝BC· PT.
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[证明]
(1)设小圆的圆心为点 O，
连接 OC.
∵AB 切小圆于点 C， ∴OC⊥AB. ∵∠1＝∠3＝∠2， ∴EF∥AB，∴OC⊥EF，
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系本讲概览素材 新人教A版选修41
第二讲直线与圆的位置关系本讲概览内容提要本讲从圆周角定理出发,得到推论1、推论2以及圆内接四边形的性质定理和判定定理,从切线的定义推出圆的切线的性质和判定,借助圆内接四边形性质,引出弦切角定理,又以圆周角定理为逻辑起点,推出了相交弦定理,割线定理,切割线定理及切线长定理.本讲内容分为四部分:角的关系,点与圆的关系(四点共圆),直线与圆相切,线段的关系(圆幂定理).圆周角、弦切角定理及推论,讨论了圆中角的关系,它们是本讲的重点和核心,其他各部分都以它们为基础.四点共圆的性质与判定定理,提供了纽带的作用,许多问题通过四点共圆,进而利用圆的有关性质解决会非常简洁.圆的切线的性质与判定定理,除了定理本身描述了切线、切点、半径、圆心的关系外,另外与弦切角、切割线、切线定理都有必然的联系.圆幂定理(包括相交弦、切割线、割线、切线长四个定理)从不同侧面描述了和圆有关的线段的关系.学法指导1.掌握圆周角定理及推论1、2,弦切角定理.2.掌握四点共圆的判定方法和圆内接四边形的性质.3.掌握切线的两种判定方法和切线的性质.4.掌握圆幂定理,会用圆幂定理求线段的长,证明线段的关系式.5.了解分类思想方法和运动变化思想以及猜想与证明数学研究方法,另外有些定理的证明,也提供了不少方法.6.角的关系,紧紧围绕弧与角的关系,角→弦→角是一般思路.7.四点共圆判定除了应用判定定理及推论外,有时还可用有公共边的两三角形对角相等且在同侧,则四个顶点共圆.8.切线的判定,分为已知半径外端(切点)和不知半径外端两种情况,前者用判定定理,后者用圆心到直线距离等于半径.9.和圆有关的线段,主要围绕求线段的长度和证明线段关系式,有时利用相似三角形、等线代换、等比代换、面积法等联合解决.。
高中数学第二讲直线与圆的位置关系讲末复习新人教A版选修
跟踪演练1 已知⊙O1与⊙O2相交于A，B，⊙O1的半 径r1＝5，⊙O2的半径r2＝4，AB＝6，求O1O2的长. 解 ①若O1，O2在AB的异侧(如图(1)所示)，O1O2垂直 平分AB，
∴AC＝3，∴O1C＝ O1A2－AC2＝4， O2C＝ O2A2－AC2＝ 7，∴O1O2＝O1C＋O2C＝4＋ 7. ②若 O1，O2 在 AB 的同侧(如图(2)所示)，易得 O1O2＝4 － 7.综上可知 O1O2 的长为 4＋ 7或 4－ 7.
2.圆内接四边形的性质与判定 (1)圆内接四边形的性质 定理1 圆内接四边形对角互补. 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内对角. (2)圆内接四边形的判定 定理 如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内 接于圆. 推论1 如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四 边形内接于圆. 推论2 如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等， 并且在公共边同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.
题型二 化归思想 化归思想又称转化思想，是把待解决的问题或难解决的问 题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或易解决的 问题，最终求得问题的解答.在解决直线与圆的位置的有关 问题时，常常需作辅助线，通过作辅助可将圆的问题化归 为特殊三角形或四边形的问题，使问题得到解决.
例 2 如图所示，已知在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以 C 为圆心，CD 为半径的半圆交 BC 的延长线于点 E，交 AD 于点 F，交 AE 于 点 M，且∠B＝∠CAE，EF∶FD＝4∶3. (1)求证：AF＝DF； (2)求∠AED 的正弦值； (3)如果 BD＝10，求△ABC 的面积.
5.圆幂定理
(1)相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的 两条线段长的积相等. 推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是 它分直 径所成的两条线段的比例中项. (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点 到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
高中数学人教A版必修第二节直线与圆的位置关系课件
高中数学人教A版必修2第四章第二节 直线与 圆的位 置关系 课件(共17张PPT)
高中数学人教A版必修2第四章第二节 直线与 圆的位 置关系 课件(共17张PPT)
例1 如图，已知直线l： 3x y 6 和0 圆心为C的 圆 x2 y2 2y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；
直线与圆有无公共点？
解法一：由直线 l 与圆的方程Fra bibliotek得：消去y，得：
3x y 6 0, x2 y2 2y 4 0. x2 3x 2 0
因为： (3)2 4 1 2
=1>0 直线 l 与圆相交，有两个公共点．
A（2，0），B（1，3）
高中数学人教A版必修2第四章第二节 直线与 圆的位 置关系 课件(共17张PPT)
总结： 判定直线 与圆的位置关系的方法有_两___种：
（1）根据定义，由___直__线____与___圆___的_ 公共点 的个数来判断；
（2）根据性质，由_圆__心__到___直__线__的__距___离d与半径r 的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
高中数学人教A版必修2第四章第二节 直线与 圆的位 置关系 课件(共17张PPT)
直线与圆的位置关系判断方法：
二、几何方法。主要步骤：
把直线方程化为一般式,利用圆方程求出圆心和半径
利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与 圆相切;当d<r时，直线与圆相交
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3)若d= 8 cm ,则直线与圆_相__离___, 直线与圆有__0__个公共点.
第二讲 直线与圆的位置关系 知识归纳 课件(人教A选修4-1)
解：(1)证明：连接DE， 则在△ADE和△ACB中， AD×AB＝mn＝AE×AC， AD AE 即AC ＝AB. 又∠DAE＝∠CAB， 从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB， 所以C，B，D，E四点共圆．
[解]
(1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝ ∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.如图． ∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90° . 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. AP PO ∴DP＝ PA .∴AP2＝PO· DP. 1 1 又∵OD＝ BC＝ ，∴PO(PO－OD)＝AP2. 2 2 1 2 即PO － PO＝( 3)2，解得PO＝2. 2 在Rt△APO中，OA＝ PO2－PA2＝1， 即⊙O的半径为1.
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相 交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某
高中数学第二章直线和圆的方程-两条直线的交点坐标-两点间的距离公式课件新人教A版选择性必修第一册
即交点坐标为376，47．
(3)由题意可得52xx＋ ＋43yy＝ ＝2aa，＋1， 解得yx＝＝a2－a77＋2，3，
由于交点在第
四象限，所以2aa－7＋ 723＜＞00，，
解得－32＜a＜2．
两条直线相交的判定方法
方法一 方法二 方法三
联立直线方程解方程组，若有一解，则两条直线相交 两条直线斜率都存在且斜率不等 两条直线的斜率一个存在，另一个不存在
所以直线l1与l2平行．
题型2 过两条直线交点的直线的问题 求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满
足下列条件的直线l的方程： (1)直线l与直线3x－4y＋1＝0平行； (2)直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直．
解：由xx＋－y2－y＋24＝＝0，0， 得交点坐标为(0,2)． (1)因为直线 l 与 3x－4y＋1＝0 平行， 所以 l 的斜率 k＝34，l 的方程为 y＝34x＋2，即 3x－4y＋8＝0． (2)因为直线 l 与 5x＋3y－6＝0 垂直， 所以 l 的斜率 k＝35，l 的方程 y＝53x＋2，即为 3x－5y＋10＝0．
A．5
B． 37
C． 13
D．4
【答案】A
【解析】|MN|＝ 2＋12＋1－52＝5．
()
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________． 【答案】1或－5 【解析】由两点间距离公式，得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，所以(a ＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5．
则a的取值范围是________．
【答案】(1)B (2)376，47 (3)－32＜a＜2
【解析】(1)由题意知，l2 与 y 轴的交点在 l1 上，又因为 l2 与 y 轴的交 点为0，34，所以 A×0＋3×34＋C＝0，C＝－4．
高中数学第二章直线和圆的方程2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.2圆与圆的位置关系课件新人教A版选
2
解由①②③组成的方程组得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-4√3,r=6.
故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4 或 x2+(y+4√3)2=36.
③
变式探究1
将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,- √3 )的圆的方
程”,如何求?
解 因为圆心在x轴上,
所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r,
则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,
又因为与圆 x2+y2-2x=0 外切,且过点(3,-√3),
= 4,
(-1)2 + 02 = + 1,
所以
解得
=
2,
2
2
(3-) + (-√3) = 2 ,
所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.
变式探究2
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.
规律方法 (1)当经过两圆的交点时,圆的方程可设为
(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后用待定系数法求
出λ即可.
(2)对于此类问题首先要理解运算对象,然后选择好运算方法,设计好运算
程序,最后求得运算结果.
义不清晰.
学以致用•随堂检测全达标
1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(
)
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
答案 B
解析 圆x2+y2-1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆.
第二讲 直线与圆的位置关系 知识归纳 课件(人教A选修4-1)
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某
圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形， 结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积 式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、 线段的有关结论．
பைடு நூலகம்
[例 4]
(2010· 陕西高考)如图，已知 Rt△
ABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm, BD 4 cm， AC 为直径的圆与 AB 交于点 D， DA 以 则 ＝________. [解析] 由题意得BC＝4，AC＝3，∴AB＝5.
(2)m＝4，n＝6 时， 方程 x2－14x＋mn＝0 的两根为 x1＝2，x2＝12. 故 AD＝2，AB＝12. 取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH. 因为 C，B，D，E 四点共圆， 所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH. 由于∠A＝90° ，故 GH∥AB，HF∥AC. 1 从而 HF＝AG＝5，DF＝ ×(12－2)＝5. 2 故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 5 2.
又AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD. 则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC. ∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM. 则DM⊥AC，DC2＝AC· CM.
高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理同步指导练习新人教A选修4_10108427
二 圆内接四边形的性质与判定定理一、基础达标1.如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD 等于( )A.120°B.136°C.144°D.150°解析 ∵∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，∴∠ECD ＝72°，∴∠BOD ＝2∠A ＝2∠ECD ＝144°. 答案 C2.在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是( )A.4∶2∶3∶1B.4∶3∶1∶2C.4∶1∶3∶2D.以上都不对解析 四边形ABCD 内接于圆，故∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ，所以只有B 适合.答案 B3.如图所示，已知在圆内接四边形ABCD 中，BA 的延长线和CD 的延长线交于点P ，AC 和BD 相交于点E ，则图中共有相似三角形( )A.5对B.4对C.3对D.2对解析 由圆内接四边形的性质和圆周角定理可以判定：△ABE ∽△DCE ，△ADE ∽△BCE ，△PAC ∽△PDB ，△PAD ∽△PCB 共4对.答案 B4.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝110°，那么∠BCD 的度数为________.解析 ∵∠A ＝12∠BOD ＝12×110°＝55°，∴∠BCD ＝180°－55°＝125°.答案 125°5.如图，两圆相交于点A ，B ，过点A 的直线交两圆于点C ，D ，过点B 的直线交两圆于点E ，F ，连接CE ，DF ，若∠C ＝115°，则∠D＝________.解析 如图，连接AB ，∵∠C ＝115°，∴∠ABE ＝65°，∴∠D ＝∠ABE ＝65°.答案 65°6.如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长.(1)证明 连接DE ，∵ACED 是圆的内接四边形，∴∠BDE ＝∠BCA .又∠DBE ＝∠CBA ，∴△BDE ∽△BCA ，即有BE BA ＝DE CA，而AB ＝2AC ，∴BE ＝2DE . 又CD 是∠ACB 的平分线，∴AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)解 由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，∴(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)， 即AD ＝12. 二、能力提升7.如图，AB 是⊙O 的弦，过A ，O 两点的圆交BA 的延长线于C ，交⊙O于D ，若CD ＝5 cm ，则CB 等于( )A.25 cmB.15 cmC.5 cmD.52cm 解析 连接OA ，OB ，OD ，∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠ODB ＝∠OBD .∵C ，D ，O ，A 四点共圆，∴∠OAB ＝∠CDO ，∠CDO ＝∠OBA ，∴∠CDO ＋∠ODB ＝∠OBA ＋∠OBD ，即∠CDB ＝∠CBD ，∴CD ＝CB ，∵CD ＝5 cm ，∴CB ＝5 cm.答案 C8.(2014·陕西高考)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.解析 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BC EF，∴EF ＝3.答案 39.如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，AC ＝a ，则四边形ABCD 的面积为________.解析 如图，连接BD ，易知∠BAD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ACD ＝60°.设∠CAD ＝θ，AB ＝AD ＝b ，则∠BAC ＝60°－θ， S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12ab sin(60°－θ)＋12ab sin θ ＝12ab sin(60°＋θ)＝12ab sin ∠ABC ， 在△ABC 中，由正弦定理可知a sin ∠ABC ＝b sin ∠ACB ＝bsin 60°， ∴b sin ∠ABC ＝a sin 60°.∴S 四边形ABCD ＝12·a ·a ·sin 60°＝34a 2. 答案 34a 2 10.四边形ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点.求证：BE ·AD ＝BC ·CD .证明 如图，连接AC .∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠ADC ＝∠EBC .又BD ∥EC ，∴∠CEB ＝∠DBA ，且∠ACD ＝∠DBA ，∴∠CEB ＝∠ACD .∴△ADC ∽△CBE .∴AD DC ＝BCBE，即BE ·AD ＝BC ·CD .11.如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 是AC 的中点，DE 平分∠ADB 交AB 于E ，过A ，D ，E 的圆交BD 于N .求证：BN ＝2AE .证明 连接EN .∵四边形AEND 是圆内接四边形，∴∠BNE ＝∠A ，又∵∠ABD ＝∠ABD ，∴△BNE ∽△BAD ，∴BN EN ＝AB AD，∵AB ＝AC ，AC ＝2AD ，∴AB ＝2AD ，BN ＝2EN ，又∵∠ADE ＝∠NDE ，∴AE ︵＝EN ︵，∴AE ＝EN ，∴BN ＝2AE .三、探究与创新12.如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足.求证：E ，B ，C ，F 四点共圆.证明 法一 连接EF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＋∠AFD ＝90°＋90°＝180°，∴A ，E ，D ，F 四点共圆，∴∠1＝∠2.∴∠BEF ＋∠C ＝∠BED ＋∠1＋∠C ＝90°＋∠2＋∠C ＝90°＋90°＝180°，∴E ，B ，C ，F 四点共圆.法二 连接EF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＋∠AFD ＝90°＋90°＝180°，∴A ，E ，D ，F 四点共圆，∴∠3＝∠4.∴∠CFE ＋∠B ＝∠CFD ＋∠4＋∠B ＝90°＋∠3＋∠B ＝90°＋90°＝180°，∴E ，B ，C ，F 四点共圆.法三 连接EF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＋∠AFD ＝90°＋90°＝180°，∴A ，E ，D ，F 四点共圆，∴∠1＝∠2.∵∠AEF ＝90°－∠1＝90°－∠2，∠C ＝90°－∠2，∴∠AEF ＝∠C ，∴E ，B ，C ，F 四点共圆.法四 连接EF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＋∠AFD ＝90°＋90°＝180°，∴A ，E ，D ，F 四点共圆，∴∠3＝∠4.∵∠AFE＝90°－∠4＝90°－∠3，∠B＝90°－∠3，∴∠AFE＝∠B，∴E，B，C，F四点共圆.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2016-2017学年高一数学人教A版必修2课件：4.2.1 直线与圆的位置关系
决，其中构造斜率、截距、距离是常用的方法．
第二十二页，编辑于星期五：十五点 五十一分。
►跟踪训练
7．圆x2＋y2－4x－5＝0上的点到直线3x－4y＋14＝0的距离的最大值
栏 目
为7．
链
接
第二十三页，编辑于星期五：十五点 五十一分。
第二十四页，编辑于星期五：十五点 五十一分。
栏 目
链
C．l 与 C 与相离
接
D．以上三个选项均有可能
解析：32＋02－4×3＝－3<0，所以点 P(3，0)在圆 C 内部，故选 A.
第十页，编辑于星期五：十五点 五十一分。
题型二 圆的切线方程
例 2 求过点 P(3，2)的圆 x2＋y2＝9 的切线方程．
分析：法一，利用点到切线的距离等于圆的半径求直线的斜率，
知圆相切且切点 P 在第一象限时，k 最大，此时|CP|＝ 3，|OC|＝2，所以在
Rt△POC 中，∠POC＝60°，k＝tan 60°＝ 3，
所以xy的最大值为 3.
第二十一页，编辑于星期五：十五点 五十一分。
(2)设 y－x＝b，即为直线 y＝x＋b，b 为该直线在 y 轴上的截距，
如上图所示．当直线 y＝x＋b 与圆有公共点时，当且仅当直线与圆相
第十六页，编辑于星期五：十五点 五十一分。
所以 x1＋x2＝－11＋2kk2，x1x2＝1＋11k2，
因此|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2
栏 目
链
＝ 144k2－14＋4（k2k2＋1）＝8，
接
解之得 k＝± 3.
第十七页，编辑于星期五：十五点 五十一分。
上还是圆外，防止漏解．若此点在圆上，切线只有一条；若此点在圆
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2016-2017学年高中数学 第2讲 直线与圆的位置关系高效整合 新人教A 版选修4-1一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，已知AB 是半⊙O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ，那么CD AB＝( )A ．sin ∠BPDB ．cos ∠BPDC ．tan ∠BPDD ．1tan ∠BPD解析： 如右图所示，连接BD ． ∴AB 是直径，∴∠ADB ＝90°.又∵∠ADC ＝∠ABC ，∠APB ＝∠CPD ， ∴△APB ∽△CPD ，∴CD AB ＝PD PB. 在Rt △PDB 中，cos ∠BPD ＝PD PB， ∴CD AB＝cos ∠BPD ，故选B ． 答案： B2．如右图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，C 是AB 上的一点，已知⊙O 半径为r ，PO ＝2r ，设∠PAC ＋∠PBC ＝α，∠APB ＝β.则α、β的大小关系是( )A ．α＞βB ．α＝βC ．α＜βD ．不能确定解析： 连结OA ，则OA ⊥PA ，又PO ＝2r ＝2OA ，∴∠APO ＝30°，∴β＝∠APB ＝60°.连结OB ，则∠POA ＝∠POB ＝60°，又α＝∠PAC ＋∠PBC ＝12∠AOB ＝60°，∴α＝β.3．如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合．将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设∠POF ＝x °，则x 的取值范围是( )A ．30≤x ≤60B ．30≤x ≤90C ．30≤x ≤120D ．60≤x ≤120答案： A4．如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么( )A ．AB >2CD B ．AB <2CDC ．AB ＝2CDD ．AB 与2CD 的大小关系不能确定解析： 如右图所示，作DE ＝CD ，则CE ＝2CD .∵在△CDE 中，CD ＋DE >CE ， ∴2CD >CE ，∵AB ＝2CD ，∴AB >CE ， ∴AB >CE ，即AB >2CD . 答案： A5．已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于P ，EF 是过点P 的弦，已知AB ＝10，PA ＝2，PE ＝5，则CD 和EF 分别为( )A ．8和7B ．7和415C ．7和8D ．8和415解析： ∵PA ·PB ＝PC 2， ∴PC 2＝16，PC ＝4，∴CD ＝8. ∵PE ·PF ＝PC 2，∴PF ＝165，∴EF ＝165＋5＝415.6．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°解析： 连接OC ，∵PC 切⊙O 于C 点， ∴OC ⊥PC ，∵∠P ＝40°， ∴∠POC ＝50°， 连接BC ，∵OC ＝OB ， ∴∠B ＝12∠POC ＝25°，∴∠ACP ＝∠B ＝25°. 答案： B 7．给出下列命题：(1)任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； (2)任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； (3)任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； (4)任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中真命题共有( ) A ．1个 B ．3个 C ．2个D ．4个 解析： (1)(3)正确，(2)(4)错误，故选C ． 答案： C8．如右图所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ，AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为( )A ．78B ．65C ．45D ．37解析： 如右图所示，不妨设⊙O 与AB 交于F ，分别连接OE 、DF . 根据切线的性质，可得OE ⊥BC ．∵OE 、AB 、CD 都是平行的，又∵O 是中点，∴r ＝OE ＝12(AB ＋CD )＝12×(4＋9)＝132.又∵AF ＝AB －CD ＝5， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD 2－AF 2＝132－25＝12，∴S ＝12(AB ＋CD )·DE＝12×13×12＝78. 答案： A9．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，以A 为圆心、AC 为半径的圆交AB 于F ，交BA 的延长线于E ，CD ⊥AB 于D ，给出四个等式：①BC 2＝BF ·BA ；②CD 2＝AD ·AB ；③CD 2＝DF ·DE ；④BF ·BE ＝BD ·BA ． 其中能够成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析： ①②不正确，由割线定理的推论知③正确，又由BC 2＝BE ·BF ，BC 2＝BD ·BA ，∴BE ·BF ＝BD ·BA ，故④正确．答案： B10．如图，AB 、AC 、CE 都是⊙O 的切线，B 、D 、E 为切点，P 为BDE 上一点，若∠A ＋∠C ＝110°，则∠BPE ＝( )A ．70°B ．60°C ．55°D ．50°解析： 连结BD 、DE ，则∠ABD ＝∠ADB ＝90°－12∠A ，∠CDE ＝∠CED ＝90°－12∠C ，∴∠BPE ＝180°－∠ADB －∠CDE ＝12(∠A ＋∠C )＝55°，∠BPE ＝55°.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．如右图所示，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA ＝2.AC 是⊙O 的直径，PC 与圆⊙O 交于点B ，PB ＝1，则⊙O 的半径r ＝ ________.解析： 依题意，△PBA ∽△ABC ， 所以PA 2r ＝PBAB，即r ＝PA ·AB 2PB ＝2×22－122×1＝ 3.答案：312．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为 ________.解析： 如右图所示，分别连接OE 、OF ，则四边形OEAF 是正方形，不妨设⊙O 的半径为r ，则由切线长定理，可得AE ＝AF ＝r ，∵BE ＝AB －AE ，CF ＝AC －AF ，∴BE ＝a －r ，CF ＝b －r ， ∵△BEO 与△CFO 相似，∴BE OE ＝OFCF，∴a －r r ＝rb －r ，解得r ＝aba ＋b. 答案：aba ＋b13．PA 是圆的切线，A 是切点，PBC 是圆的割线且PB ＝12BC ，那么PAPB ＝ ________.解析： 如图所示，∵PA 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝PB ·(PB ＋2PB )＝3PB 2，∴PA PB＝ 3. 答案：314．如图所示，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，当BC 平分∠ABO 时，能得出结论 ________.(任写一个)解析： 由OC ＝OB ， 得∠OBC ＝∠OCB ， ∴∠OCB ＝∠ABC ， ∴OC 与AB 是平行的． 答案： OC ∥AB三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm. (1)求△ABC 内切圆的半径；(2)若移动圆心O 的位置，使⊙O 保持与△ABC 的边AC 和边BC 都相切，求r 的取值范围． 解析： (1)如图所示，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F .连接OD 、OE 、OF 、OB ，则OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∴AB ＝5 cm.∵OE ＝OD ，∠C ＝90°，∴四边形CEOD 是正方形．∴CD ＝DO . ∵OB ＝OB ，OD ＝OF ，∠ODB ＝∠OFB ＝90°， ∴△ODB ≌△OFB ．∴BD ＝BF . 同理，可得AE ＝AF .∴AC ＋BC －AB ＝AE ＋EC ＋BD ＋DC －AF －BF ＝EC ＋DC ＝2OD ． ∴内切圆的半径r ＝OD ＝AC ＋BC －AB 2＝3＋4－52＝1 cm.(2)如图所示，动⊙O 与AC ，BC 相切的最大的圆与AC ，BC 的切点分别是A 、D ，连接OA 、OD ，则四边形AODC 是正方形，此时应有OA ＝AC ＝3 cm ，∴动圆的半径r 的范围为(0,3]．16．(12分)如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交切线AC 于点C ，OC 与半圆O 交于点E .连接BE 、DE .(1)求证：∠BED ＝∠C ；(2)若OA ＝5，AD ＝8，求AC 的长．解析： (1)证明：∵AC 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 直径，∴AB ⊥AC ． 即∠1＋∠2＝90°.又∵OC ⊥AD ，∴∠1＋∠C ＝90°. ∴∠C ＝∠2.而∠BED ＝∠2，∴∠BED ＝∠C ．(2)连接BD ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∴BD ＝AB 2－AD 2＝102－82＝6. ∴△OAC ∽△BDA ．∴OA ∶BD ＝AC ∶DA ．即5∶6＝AC ∶8. ∴AC ＝203.17．(12分)如图所示，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 2的切线CF 交⊙O 1于C ，直线CB 交⊙O 2于D ，直线DA 交⊙O 1于E ，连接CE .求证：(1)△CAE 是等腰三角形； (2)DA ·DE ＝CD 2－CE 2. 证明： (1)连接AB ， ∵CA 是⊙O 2的切线， ∴∠FAD ＝∠ABD ．又∠ABD＝∠E，∴∠E＝∠FAD＝∠EAC，∴△CAE是等腰三角形．(2)∵CA2＝CB·CD，DA·DE＝BD·DC，∴CA2＋DA·DE＝CB·CD＋BD·DC＝CD2.又∵CA＝CE，∴DA·DE＝CD2－CE2.18．(14分)如右图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动，PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC＝2.5.(1)当CE正好是⊙O的半径时，PT＝2，求⊙O的半径；(2)设PT2＝y，AC＝x，求出y与x之间的函数关系式；(3)△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC的面积；若不能，请说明理由．解析：(1)如右图所示，当点C与点O重合后，即CE恰好为⊙O的半径，此时PO＝PC＝2.5，延长PO交⊙O于F，不妨设该圆的半径为r，则PE＝PO－r＝2.5－r，PE＝PO＋r＝2.5＋r，根据切割线定理，可得PT2＝PE·PF，即22＝(2.5＋r)(2.5－r)，解得r＝1.5.所以⊙O的半径为1.5.(2)如右图所示，分别连接OP、OT，在直角△PCO中，PO2＝OC2＋PC2，∵AC＝x，OC＝r－AC＝1.5－x，PC＝2.5，∴PO2＝(1.5－x)2＋2.52，同理在Rt△POT中，PT2＝PO2－r2，即y2＝(1.5－x)2＋2.52－1.52，化简得y＝x2－3x＋6.25(0≤x≤1.5)．(3)△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰三角形．理由如下所示，当PT⊥CT时，由于PT切⊙O于T，∴CT过圆心，即CT就是⊙O的半径，由(1)知，CT＝1.5，PT＝2，即PT≠CT，由△PTC不可能变成以PC为斜边的等腰直角三角形．。