二维随机变量独立性的研究

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随机变量独立性的探讨-应用数学学士论

学士学位论文系别: 应用数学系学科专业: 数学与应用数学姓名: 段晓康学号: 2012064139运城学院二零一四年五月随机变量独立性的探讨系别：应用数学系学科专业：数学与应用数学姓名：段晓康指导教师：冯变英运城学院二零一四年五月随机变量独立性的探讨摘要随机变量的独立性是概率论与数理统计中最基本的概念之一，它在实际应用中十分广泛，所以，关于随机变量独立性的判断成为概率论一个重要的研究课题，不少文献对随机变量独立性的问题进行了研究.本文首先介绍了随机变量独立性的定义，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法，同时得出了一些相关的推论，并对其运用进行了举例说明. 最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合.关键词独立性离散型随机变量连续型随机变量数学期望方差Discussion on the Independenceof Random VariablesAbstract Independence of random variables is one of the most basic concepts of probability theory and mathematical statistics, in its practical application is very extensive, so, about the independence of random variables in probability judgment has become an important research topic, a lot of literature on the independence of random variables in the study. This paper first introduces the definition independence of random variables, and the independence of the discrete random variables and continuous random variables are presented for the two discriminant method, and draw some relevant inferences, and its application is illustrated. Finally the article for the integration of some applications of the independence of random variables and random variables in the number of features in.Keywords independence discrete random variables continuous random variablesmathematical expectation variance目录引言 (1)第1章随机变量独立性的定义 (1)1.1 随机事件独立性的定义 (1)1.2 随机变量独立性的定义 (3)第2章随机变量独立性的判定 (4)2.1离散型随机变量独立性的判定 (4)2.2连续性随机变量独立性的判定 (7)第3章独立随机变量的性质 (10)3.1数学期望性质 (10)3.2方差性质 (11)3.3协方差性质 (12)3.4相关系数性质 (12)总结 (13)致谢 (13)参考文献 (14)引言概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.对于现有的知识水平，掌握好这个问题，对于培养抽象概括能力、逻辑推广能力、空间想象能力和自学能力，以及研究这个课题在实际中的应用价值的体现，都有很大的帮助.对于独立性的理解和判定正确与否直接关系到建模解题全过程.事件的独立性和随机变量的独立性在概率计算的简化和证明中有广泛的应用.概率论和数理统计已有的成果很多都是在某种独立性的前提下得到的.随机变量独立性的研究因而倍受重视.随机变量独立性的研究经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的时期.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[1]中胡纲、张素霞对随机变量独立性存在的一些易错点进行了分析整合;文献[2]中佟毅对随机变量独立性的相关内容进行了论述.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论上还是实践中都有着重要意义.但不幸的是，到目前为止人们还没有找到有关随机变量独立性判定的简便有效的方法.本文将在此基础上对随机变量独立性做详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量独立性在求数字特征中的应用做详细的介绍.第1章随机变量独立性的定义1.1随机事件独立性的定义独立性是概率中一个重要的概念，利用独立性可以简化概率的计算.下面先讨论两个事件之间的独立性，然后讨论多个事件之间的相互独立性.1.1.1两个事件的独立性两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生.这在实际问题中是很多的，譬如在掷两颗骰子的试验中，记事件A 为“第一颗骰子的点数为1”，记事件B 为“第二颗骰子的点数为4”.则显然A 与B 的发生是相互不影响的.另外，从概率的角度看，事件A 的条件概率()B A P /与无条件概率()A P 的差别在于：事件B 的发生改变了事件A 发生的概率，也即事件B 对事件A 有某种“影响”.如果事件A 与B 的发生是相互不影响的，则有()()A P B A P =/ ()()B P A B P =/,它们都等价于()()()B P A P AB P =另外对()0=B P ,或()0=A P ,上式仍然成立.为此，我们用上式作为两个事件相互独立的定义.定义1.1 对任意两个随机事件A 与B ，如果有()()()B P A P AB P =成立，则称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立.否则称A 与B 不独立或相依.1.1.2多个事件的相互独立性首先研究三个事件的相互独立性，对此我们给出以下的定义1.2 设C B A ,,是三个事件，如果有⎪⎩⎪⎨⎧()()()()()()()()(),,,C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ===则称C B A ,,两两独立.若还有()()()(),C P B P A P ABC P =则称C B A ,,相互独立.由此我们可以定义三个以上事件的相互独立性.定义1.3 设有n 个事件1A ,,,2n A A ⋅⋅⋅，对任意的,1n k j i ≤⋅⋅⋅<<<≤如果以下等式均成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧()()()()()()()()()()(),,,2121n n k j i K J i j i j i A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==则称此n 个事件1A ,n A A ,2⋅⋅⋅，相互独立.从上述定义可以看出，n 个相互独立的事件中任意一部分内仍是相互独立的，而且任意一部分与另一部分也是独立的.1.2 随机变量独立性的定义以随机事件的独立性为基础，我们再来定义随机变量的独立性.1.2.1二维随机变量的独立性X 与Y 是两个随机变量，若对任意区间(]11,b a 及(]22,b a ，事件{}11b X a ≤<与事件{}22b Y a ≤<都相互独立，则称随机变量X 与Y 相互独立，简称X 与Y 独立；否则，就成X 与Y 不独立.所以我们给出下面定义：定义1.4 设()Y X , 是二维随机变量，如果对任意的实数y x ,总有()()()y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,，即()()()y F x F y x F Y X ⋅=,，则称随机变量Y X ,相互独立.1.2.2n 维随机变量的独立性定义 1.5 设n 维随机变量()n X X X ,,,21⋅⋅⋅的联合分布函数为()n x x x F ,,,21⋅⋅⋅=(),,,,2211n n x X x X x X P ≤⋅⋅⋅≤≤ 其边际分布函数为()i i x F =();,,2,1,n i x X P i i ⋅⋅⋅=≤如果对任意n 个实数n x x x ,,,21⋅⋅⋅，有()(),,,,121i ni i n x F x x x F ∏==⋅⋅⋅则称n 个随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立.第2章随机变量独立性的判定2.1 离散型随机变量独立性的判定2.1.1判别法一用随机变量独立性的定义判别，是对一系列随机事件的独立性做出判定，进而判定随机变量的独立性.这是随机变量独立性的本质回归.定理2.1 设()Y X ,为二维离散型随机变量，则X 与Y 相互独立的充要条件是对()Y X ,的所有可能值()j i y x ,，⋅⋅⋅=,3,2,1,j i 都有：()()()j i j i y Y P x X P y Y x X P =====,定理2.2 设()n X X X ,,21⋅⋅⋅，为n 维离散型随机变量，如果对任意n 个取值,,,,21n x x x ⋅⋅⋅有()(),,,,12211∏====⋅⋅⋅==ni i i n n x X P x X x X x X P则称n X X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立.例2.1 设二维随机变量()Y X ,的联合分布列为问()Y X ,是否独立？解：Y 的分布列：X 的分布列：因为（0.2+0.2）⨯（0.2+0.3）=0.2 （0.2+0.2）⨯（0.2+0.3）=0.2 （0.3+0.3）⨯（0.2+0.3）=0.3 （0.3+0.3）⨯（0.2+0.3）=0.3由定理2.1可知()Y X ,独立.2.1.2判别法二设()Y X ,是二维离散随机变量，其联合概率分布{}ij j i P y y x x P ===,（i ，=j ⋅⋅⋅,2,1）可以用下表表示：表2.1 二维离散随机变量的联合分布概率表且,1,0∑∑=≥ijij ij P P 矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡.................................... (21222)2111211ij i i j j P P P P P P P P P 称为()Y X ,联合概率分布矩阵，其向量记为()⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,,,,21ij i i i P P P a ()⋅⋅⋅=,2,1i .记()Y X ,的联合分列为()Y X ,A ~.引理2.1 设1a 是非零向量，1a 与2a 线性相关，则2a 可由1a 线性表出. 定理2.3 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量（或列向量）线性相关.推论2.1 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的任何两行(或两列)元素对应成比例.推论2.2 若(),~,A Y X 则X 和Y 不相互独立的充要条件是存在两个行向量（或列向量）线性无关.推论2.3 若(),~,A Y X 则X 和Y 不相互独立的充要条件是存在两个行（或两列）对应元素不成比例.推论2.4 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的秩为1. 推论2.5 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的秩大于1.推论2.6 若()A Y X ~,中有某个,0=ij P 但元素ij P 所在的行与列的所有元素不全为零，则X 与Y 不相互独立.例2.2 设随机变量()Y X ,的概率分布为判断X 与Y 是否相互独立？解：因为,1∑∑=ijij P 即188=+a 所以0=a .由推论2.6可知，X 与Y 不相互独立.2.2 连续型随机变量独立性的判定2.2.1判别法一定理2.4 设随机变量()Y X ,的联合分布函数为()y x F ,，其边际分布函数分别为()(),,y F x F Y X 则X 与Y 相互独立的充要条件是对任意实数y x ,都有：()()().,y F x F y x F Y X =该定理把随机变量的概率关系转化为函数关系，而函数关系的判别一般来说会容易些.2.2.2判别法二对于连续型随机变量X 与Y 的独立性，一些概率教科书给出了如下结果：设()Y X ,是二维连续型随机变量，则X 与Y 独立的充分必要条件是联合密度函数等于两个边际密度函数的乘积，即()()().,y f x f y x f Y X =事实上，上面的随机变量Y X ,相互独立的充要条件是非必要的，更准确地说，二维连续型随机变量Y X ,相互独立的充要条件是：几乎处处有联合密度函数等于两个边际密度函数的乘积.有了这样的认识，当我们在考试或练习中遇到两个随机变量不独立的证明问题就要慎重了。

《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性

i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组版权所有
第2节二维随机变量的边缘分布
第三章多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布填空
( X, Y )联合分布一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)

判定二维离散型随机变量独立性方法新探

判定二维离散型随机变量独立性方法新探随机变量的独立性是概率论中一个十分重要的概念,也是理论上的一个难点。

随机变量独立性的判定,主要是依据定义。

因此,给出随机变量相互独立的充分必要条件是很有价值的。

设为二维离散型随机变量,且联合分布律为:。

边缘分布律:已有的结果是:[1]与相互独立的充分必要条件是。

显然此结果对于判定取值较多的二维离散型随机变量的独立性是很不方便的。

本文利用线性代数中矩阵分解和秩的知识,给出了二维离散型随机变量相互独立的一个必要条件和一个充分必要条件。

1 预备知识引理的充分必要条件是存在非零维行向量及非零维列向量使得。

(其中是的转置,是矩阵的秩)证明:显然是非零矩阵。

必要性:由知的标准形为:即存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使:或令,则是非零维列向量，是非零维行向量，且。

充分性,因为与是都是非零向量,所以是非零矩阵,从而≥1。

又因为1≤≤所以。

注:由引理还可以看出,对于的矩阵有以下特征:(1)若和中均不含零元素,则中无零元素,反之亦然。

(2)若或中含有零元素,则中必有整行或整列的零元素,反之亦然。

(3)中去掉整行和整列的零元素,其子块必无零元素。

2 主要结果为方便起见,称由分布律构成的矩阵(也可以是有无穷行或无穷列的矩阵)为分布律矩阵。

因为是由分布律构成的矩阵,所以可以假定中既无完全为零的行,也无完全为零的列,否则把它们去掉,这并不影响问题的实质。

定理1(相互独立的必要条件)若与相互独立,则在中必无零元素。

证明:若中有元素因为无整行的零,也无整列的零,所以从而,故与不相互独立,这与题设矛盾。

定理1表明:若分布律矩阵中有零元素,则与必不相互独立。

定理2:二维离散型随机变量相互独立的充分必要条件是。

证明:仅就取有限个值的情况证明,当自然数中有无穷或都是无穷时,只需将下标和的取值范围做些相应的改变,并用数学归纳法即可。

必要性:设与相互独立,则应满足。

的第行构成的向量为。

可知的任意两行成比例。

又由于是非零矩阵,所以至少存在从而故的行向量组的秩为1,即。

2.4 概率论——二维随机变量的独立性

y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定

二维随机变量的相互独立性

f(x, y)=fX(x) fY(y) 几乎处处成立(即: 在平面上除去“面积”为零的集合以外, 处处成立).
➢ 因为随机变量是随机事件的量化指标，因此在判断随机变量X与Y是否相互独立时，仍可以像判断随机事件的独立性一样，根据问题的实际意义去判定.
概率论与数理统计
9
❖ 3.连续型随机变量的独立性 1.概念
判断随机变量X与Y是否相互独立.
➢ 解 (2) 不放回摸球, 分布律如表:
P( X 0,Y 0) P( X 0)P(Y 0)
故采用无放回抽取时，可判定
X与Y不是相互独立的，这也
与实际意义一致.
概率论与数理统计
8
❖ 3.连续型随机变量的独立性 1.概念
➢ 定理3.6.2 设二维连续型随机变量(X, Y) 的概率密度为 f(x, y), fX(x), fY(y) 分别为(X, Y) 的边缘概率密度, 则X和Y 相互独立等价于
1, 第一次摸出白球, 1, 第二次摸出白球, X 0, 第一次摸出黑球, Y 0, 第二次摸出黑球.
判断随机变量X与Y是否相互独立.
➢ 解利用古典概型的方法求其
联合分布律及边缘分布律，
根据分布律的结果判断独立性.
(1) 有放回摸球，分布律如下：
概率论与数理统计
6
❖ 2.离散型随机变量的独立性 1.概念
即X 和Y 相互独立.
概率论与数理统计
4
❖ 2.离散型随机变量的独立性 1.概念
➢ 设离散型随机变量(X, Y)的联合分布律、边缘分布律分别为
P( X xi ,Y y j ) pij , P( X xi ) pi , P(Y y j ) p• j
关于离散型随机变量X, Y的相互独立性，有如下的判别法. ➢ 定理3.6.1 离散型随机变量X与Y相互独立的充要条件是：

二维随机变量及独立性--教学设计课题

概率论与数理统计教学设计不大于实数的概率，并把联合分布函数记为，即．3．联合分布函数的性质(1)； (2 )是变量(固定)或(固定)的非减函数；(3) ，； (4) 是变量(固定)或(固定)的右连续函数； (5) ．例题：设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++求：常数,,(,)A B C x y -∞<<+∞-∞<<+∞解：由分布函数(,)F x y 的性质得：lim (arctan )(arctan )()()122lim (arctan )(arctan )()(arctan )02lim (arctan )(arctan )(arctan )()02x y x y A B x C y A B C A B x C y A B C y A B x C y A B x C ππππ→+∞→+∞→-∞→-∞++=++=++=-+=++=+-=由以上三式可解得：21,,22A B C πππ===教师给予引导，提出的问题上。

y (,)F x y (,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞0(,)1F x y ≤≤(,)F x y x y y x (,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==(,)F x y x y y x 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+1．也可用下边的概率分布表表示：分）5.二维连续型随机变量及联合概率密度（1）对于二维随机变量(X，Y)的分布函数，如果存在一个二元非负函数，使得对于任意一对实数有成立，则为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度．（2）二维连续型随机变量及联合概率密度的性质①；②；③设为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线，有；’④在的连续点处有;⑤设为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域有例.求在D上服从均匀分布的随机变量（X,Y）的密度函数和分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y=2x+1围城的三角形区域。

概率论二维随机变量

联合概率密度函数法
对于连续型随机变量，可以通过联合概率密度函数积分计算边缘分布的概率密度函数。
边缘分布的应用场景
统计推断
在统计分析中，常常需要利用边缘分布来推断另一个随机变量的统计性质，如均值、方差等。
概率模型简化
在复杂概率模型中，可以通过计算边缘分布来简化模型，便于分析和计算。
数据处理
在处理多维数据时，可以利用边缘分布来提取单维数据，进行进一步的分析和处理。
条件概率与条件期望
条件概率
在概率论中，条件概率是指在某个条件下的概率。对于二维随机变量，条件概率是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的概率分布。
条件期望
条件期望是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的期望值。在二维随机变量中，条件期望是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的加权平均值。
05
例如温度和压力的联合分布。
02
二维随机变量的定义与性质
二维随机变量的定义
1 2
定义
二维随机变量是两个随机变量的组合，通常表示为 (X, Y)，其中 X 和 Y 都是随机变量。
定义域
二维随机变量的定义域是 X 和 Y 的取值范围的组合，通常表示为 D，D 是实数域 R 的子集。
3
概率空间
二维随机变量是概率空间的一个元素，概率空间由样本空间、事件域和概率函数组成。
联合概率分布满足概率的基本性质，即非负性、归一性和可加性。
03
二维随机变量的期望与方差
二维随机变量的期望
01
02
03
定义
二维随机变量的期望是所有可能取值的概率加权和。
计算公式
E(X,Y)=∫−∞∞∫−∞∞(x,y )f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是联合概率密度函数。

第三节二维随机变量的独立性

X与Y相互独立 f ( x，y) f X ( x) fY ( y). 由上述结论可知，要判断两个随机变量X与Y 的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可.
例1. 设( X，Y )的分布律为 X Y 0 1 0 0.3 0.3
所以00..33
(0.15 (0.15Fra biblioteka) b)
0.15, 0.15.
a 0.35, b 0.35.
例3
设(
X，Y
)～60e,(
2
x
3
y
)
,
x 0, y 其它.
0,
试问X与Y是否独立？
解 : 当x 0时，f X ( x) 0,
当x 0时，f X ( x)
6e(2 x3 y)dy
FX ( x) P{X x} P{ X x，Y
同理有，FY
(
y)
lim F ( x,
x
y).
}
lim F ( x,
y
y).
记 pi. pij , p. j pij ,
j1
i 1
则称pi.(i 1，2，)，p. j ( j 1，2，)分别为( X，Y )关于X，Y
的边缘分布.
设(X, Y)～f (x, y), (x, y)R2, 则称
例2. 设( X，Y )的分布律为且X与 Y独立，求a，b.
XY 1 2 0 0.15 0.15 1 ab
例2. 设( X，Y )的分布律为且X与 Y独立，求a，b.
XY 1 2 0 0.15 0.15 1 ab
解：因为
XY 1
2
pi .
0 0.15 0.15 0.3

概率论与数理统计 3.5 随机变量的独立性

dt
=
同理Байду номын сангаас
x R
fY ( y ) =
10
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0, 则对于任意实数x 与y 都有 f ( x, y) = f X( x ) fY( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数x 与y 都有 f ( x, y) = f X( x ) fY( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
令
9
y 2 x 1 t= 2 1 1 2 1
则
dt =
1
2 1
1
2
dy ,
所以
2 t2 2
f X ( x) =
( x 1 ) 1 exp e 2 2 1 2 1 2
2 ( x ) 1 1 exp , 2 2 1 2 1
( x 1 )2 1 exp 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 )2 + 2 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
7
因为
( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 1 2 + 2 2 2 1 2 2(1 ) 1 2 ( x 1 )2 ( y 2 )2 1 = + 2 2 2 2(1 ) 1 2 2 ( x 1 )( y 2 )
y 1 2 e fY ( y ) = 2 0
, ,
y0 y0

3.4 二维随机变量的独立性

对离散性和连续性随机变量，也可利用其分布律与概率密度来判定独立性.
(1) 若(X,Y)是离散型随机变量，则 X与Y相互独立的充要条件是：对(X,Y)的所有可能
取值 ( xi , yj ) ,有
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }
(2) 若(X,Y)是连续型随机变量，则 X与Y相互独立的充要条件是：
3.4 二维随机变量的独立性
回顾：事件A与B独立性 P(AB)=P(A)P(B)
定义3.4.1 设二维随机变量(X,Y),若对任意的x, y 有
P{X x,Y y} P{X x} P{Y y},
即
F ( x, y) FX ( x) FY ( y),
则称随机变量X与Y是相互独立的.
解一
P{|X-Y|≤5}= P{-5≤X-Y≤5}
1 45 x5
[
dy]dx
15 x5 1800
1 6
1 45 60
P{X<Y}= [
dy]dx
15 x 1800
1 2
解二 P{|X-Y|≤5}
1

dxdy
|XY|5 1800
被积函数为常数， 1
直接求面积

作业习题册： 3.3节：P24: 3； 3.4节：P25: 2,3,6
，15
30

x

45，
fY ( y)

1 ，0 60

y

60
0，其它
0，其它
由于X与Y相互独立，故
f ( x, y) 18100，15 x 45, 0 y 60, 0，其它

二维正态随机变量的线性组合的独立性

二维正态随机变量的线性组合的独立性摘要：正态分布是实际生活中应用最广泛的一种概率分布。

文章讨论了服从二维正态分布的随机变量（X，Y）的线性组合U=aX+bY和V=cX+dY的独立性问题，并基于变换矩阵给出了（U，V）的分布与（X，Y）的分布之间的联系，得到了U和V独立的充要条件，同时，分析了U和V独立的条件下（U，V）的分布。

关键词：二维正态分布；线性组合；独立性；变换矩阵中图分类号：G642.4文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2020）15-0279-02收稿日期：2019-08-01作者简介：邹云蕾，扬州大学数学科学学院。

二维正态分布是概率论中的基础内容，其相关性质和结论能较好地推广到多维正态分布，而多维正态分布在数理统计中具有重要作用，因而掌握二维正态分布的特征性质是非常有必要的。

在教学过程中，很多学生对二维正态分布的性质存在困惑，因而有必要对这部分内容做进一步的探究。

文献[1]讨论了正态随机变量的线性组合的分布，并给出了一系列例子来说明非独立的正态随机变量的线性组合可能不服从正态分布，而非独立的不全为正态随机变量的线性组合可能服从正态分布。

文章将分析二维正态分布的线性组合的独立性。

首先回顾二维正态分布的定义。

定义1[2]若随机变量（X，Y ）的联合概率密度函数为f （x，y ）=12πσ1σ　e（x-μ1）（y-μ2）σ1σ2-∞＜x，y＜+∞，则称（X，Y ）服从参数为μ1，μ2，σ21，σ22，ρ的正态分布，其中σ1＞0，σ2＞0，-1＜ρ＜1，记作（X，Y ）～N （μ1，μ2，σ21，σ22，ρ）。

特别地，二维正态分布的边缘分布服从正态分布且X～N （μ1，σ21），Y～N （μ2，σ22）。

引理1[3-4]设（X，Y ）～N （μ1，μ2，σ21，σ22，ρ），则X与Y相互独立的充分必要条件是ρ=0。

引理2[3-4]设（X，Y ）为二维随机变量且（X，Y ）～N （μ1，μ2，σ21，σ22，ρ），U，V为X，Y的线性组合。

二维随机变量独立性的判定及其应用

参考文献：［１］董俊超．离散型随机变量独立性的一种判定方法［Ｊ］．
天津师范大学学报．１９９９，１９（３）：１０－１１．［２］汪建均．随机变量独立性的简易判别法［Ｊ］．数学理论
解存在非负Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可积函数ｈ（ｘ）＝２ｘ，０
与应用．２００５，２５（１）：７１－７３．
或边缘分布函数和边缘概率密度函数，才能判断
Ｘ与Ｙ的独立性，而一般情况下求边缘分布函数或边缘概率密度函数是较麻烦的，于是文献
［１－４］给出了二维随机变量相互独立的几个简易的判定定理。
４简易判别法对于二维离散型随机变量（Ｘ，Ｙ）的联合分
６０
定理３设二维连续型随机变量（Ｘ，Ｙ）的联合概率密度函数为ｆ（ｘ，ｙ），关于Ｘ，Ｙ的边缘概率密度函数分别为ｆＸ（ｘ），ｆＹ（ｙ），则随机变量Ｘ，Ｙ相互独立的充要条件是：对任意实数ｘ和ｙ都有ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆＸ（ｘ）·ｆＹ（ｙ）
上述几种方法必须求出随机变量的分布函数
３０．０６２０．１２８０．００７０．９２８智力因素
４０．２１６０．２４５０．８７２－０．０８１自信程度
５０．９１８－０．１０４０．１６６－０．０６３经验
６０．８６３０．０９９０．２５９０．００４应变能力
７０．２１６－０．２４２０．８６３０．００１理解力
８０．９１７０．２０６０．０８７－０．０５１交际能力
９０．０８３０．８５２－０．０５２０．２１２诚实
１００．７９８０．３５２０．１６１－０．０４９理想和抱负

概率论第三章-随机向量的独立性

f X ( x) =
1 e 2π σ 1
−
( x − µ 1 )2
2 2σ 1
fY ( y ) =
2π σ 2
1
−
( y − µ 2 )2
2 2σ 2
e
X~ N（µ1，σ12 ) , （
Y~ N（µ2，σ22 ) （
二维正态随机向量（二维正态随机向量（X，Y）的两个分量独立的充要条件是）
ρ= 0
P {X ≤ a , X ≤ b} = P {X ≤ a}P { X ≤ b}
对所有实数对(a, b) 均成立. 对所有实数对( 均成立. 随机事件{ 有下述关系： 2) 随机事件{ X≤a } 与{︱X︱ ≤a } 有下述关系：
{X
从而
≤ a} = {− a ≤ X ≤ a} ⊂ {X ≤ a}
P{ X ≤ a , X ≤ a } = P{ X ≤ a }
维随机变量X 相互独立，维随机变量例如3维随机变量 1 ,X2 ,X3 相互独立，则 X12 , X22 , X32 也相互独立相互独立. X1 +X2与X3也相互独立相互独立. sinX1 与X3也相互独立. 相互独立.
X1 +X2与X1 －X2 不一定相互独立. 不一定相互独立
随机变量的独立性本质上是事件的独立性
FX ( x) FY ( y )
∀ i, j
1) 对于离散型的随机变量，X与Y相互独立的充要条件为：
P{ X = xi , Y = y j } = P{ X = xi } ⋅ P {Y = y j }
2) 对于连续型的随机变量， X与Y相互独立的充要条件为：
f ( x , y ) = f X ( x) fY ( y ) 几乎处处成立。

随机变量独立性的判断方法探究

1 引言概率与统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展，概率与统计的知识越来越重要，运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用且强有力的思考方式.独立性[5]是随机变量非常重要的性质，其应用也很广泛.在解决很多问题时都有随机变量独立这样的前提，只有这样问题才能得以解决或解决起来比较简单.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论还是在实践中都有着重要意义，因此寻找独立性判断方法显得尤为重要.不少的文献对此进行了深入的研究，给出了一些很好的判断方法[3]，但到目前为止人们还没找到简便有效的方法，从而对其深入研究很有必要.2 相关定义定义1离散型随机变量定义在样本空间Ω上，取值于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量()ξξω=，称做是一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量.定义2 n 维离散型随机变量设12,,,n ξξξ⋅⋅⋅是样本空间Ω上的n 个离散型随机变量，则称n 维向量（12,,,n ξξξ⋅⋅⋅）是Ω上的一个n 维离散型随机变量.定义3 联合分布型设(,)ξη是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取值为(,),,1,2,i j a b i j =⋅⋅⋅，令(,),,1,2,ij i j P P a b i j ξη====⋅⋅⋅称(,1,2,)ij P i j =⋅⋅⋅是二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布列.我们容易证明()(1,2,)i i P a P i ξ⋅===⋅⋅⋅是ξ的分布列，同理有()(1,2,)j j P b P j η⋅===⋅⋅⋅是η的分布列，称,ξη的分布列是（,ξη）的联合分布列的边际分布列.定义 4 离散型随机变量独立性设离散型随机变量ξ的可能取值为(1,2,)i a i =⋅⋅⋅，η的可能取值为(1,2,)j b j =⋅⋅⋅，如果对任意的,i j a b ，有(,)()()i j i j P a b P a P b ξηξη=====成立，则称离散型随机变量ξ和η相互独立.定义5 n 维离散型随机变量独立性设12,,,n ξξξ⋅⋅⋅是n 个离散型随机变量，i ξ的可能取值为(1,,;1,2,)ik a i n k =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，如果对任意一组11(,,)nk nk a a ⋅⋅⋅，恒有 1(P ξ1111,,)()()n n k n nk k n nk a a P a P a ξξξ=⋅⋅⋅===⋅⋅⋅=成立，则称12,,,n ξξξ⋅⋅⋅是相互独立的.3 随机变量独立性的几种判断方法3.1利用分布函数判断随机变量独立性设二维连续型随机变量（X,Y ）的联合分布函数为(,)F x y ,而边缘分布函数为()X F x ,()Y F y ,则X 与Y 相互独立的充要条件是：对一切x 和y ，有(,)F x y =()X F x ()Y F y例1 设二维随机变量(,)ξη具有密度函数2()4,0,0(,)0,x y e x y p x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它求分布函数(,)F x y 及边际分布函数(),()F x F y ξη，并判断ξ与η是否独立？解 (,)(,)xy F x y p u v dudv -∞-∞=⎰⎰2()004,0,00,x y u v e dudv x y -+⎧<<+∞<<+∞⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其它由此即得22(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y --⎧--<<+∞<<+∞=⎨⎩其它()(,)xF x p u v dudv ξ∞-∞-∞=⎰⎰2()004,00,0x u v e dudv x x ∞-+⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⎰⎰从而有21,0()0,0x e x F x x ξ-⎧->=⎨≤⎩同理可得，21,0()0,0y e y F y y η-⎧->=⎨≤⎩显然有：(,)()()F x y F x F y ξη=.故ξ与η独立.3.2 利用概率密度函数判断随机变量独立性设二维连续型随机变量（X,Y ）联合概率密度函数为(,)f x y ,而关于X 与Y 的边缘概率密度函数分别为()X f x ，()Y f y ，则X 与Y 相互独立的充要条件是：对任意的x 和y ，有：(,)f x y =()X f x ()Y f y例 2 若二维随机变量(,)ξη服从221212(,,,,0)N a a σσ分布，问ξ与η是否独立？解这时(,)ξη有密度函数22122212()()12121(,)2x a y a p x y e σσπσσ⎡⎤---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2121()2()(,)x a p x p x y dy σξ--+∞-∞==⎰由对称性可得2222()2()y a p y ση--=显然这时(,)()()p x y p x p y ξη=成立.所以ξ与η相互独立.3.3 利用密度函数可分离变量判断随机变量独立性上述两种方法必须求出边缘分布函数或边缘分布密度[3]，下面给出的定理避开了求边缘函数的烦琐过程，使判定随机变量的独立性的工作转化为检查联合概率密度是否为可分离变量的概率密度之积，以及其定义域边界是否为常数的简单工作.定理1设（X,Y)为二维连续型随机变量，其联合密度函数为(,),,,f x y a x b c y d ≤≤≤≤则随机变量X 与Y 相互独立的充要条件为：(1)存在非负连续函数(),()h x g y ，使(,)()()f x y h x g y =，(2),a b c d 和和是分别与,x y 无关的常数. 定理 2 设12(,,,)n X X X ⋅⋅⋅是连续型随机变量，其联合概率密度函数为12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅，满足120,,1,2,,(,,,)0,i i i n a x b i n f x x x >≤≤=⋅⋅⋅⎧⋅⋅⋅=⎨=⎩其它则随机变量12,,n X X X ⋅⋅⋅，相互独立的充要条件为（1）存在连续函数i h (),1,2,,i x i n =⋅⋅⋅；满足121 (,,,)()nn i i i f x x x h x =⋅⋅⋅=∏（2）,(1)i i a b i n ≤≤均为与12,,,n x x x ⋅⋅⋅无关的实常数推论1 在上述定理2中，如果i a ，1,2,,i n =⋅⋅⋅中有若干个为,,1,2,,i b i n -∞=⋅⋅⋅中有若干个为+∞时，则定理2的结果依然成立.推论2 若定理2的条件成立，则()()i x i i i f x h x 与成正比例关系， 1,2,i n =⋅⋅⋅.实际上，推论2容易从定理2的证明过程中看到.推论3 当n=2时，定理2即为：连续型随机变量12,X X 相互独立的充要条件为（1）121212(,)()()X X f x x f x f x =，i i i a x b ≤≤，1,2i =；（2）1122,,,a b a b 均为与12,x x 无关的实常数.例3设12(,,,)n X X X ⋅⋅⋅联合概率密度为：12(2)112,0,1,2,,!(,,,)0,n x x nx i n e x i n n x f x x x -++⋅⋅⋅+⎧>=⋅⋅⋅⎪⎨⎪⎩⋅⋅⋅==其它试讨论12,,,n X X X ⋅⋅⋅的相互独立性.解设111111,0()0,0x x e x h x x -⎧>=⎨≤⎩ ,0()2,3,,0,0i ix i i i i ie x h x i n x -⎧>==⋅⋅⋅⎨≤⎩则有121(,,,)()nn i i i f x x x h x =⋅⋅⋅=∏.又因为0,,1,2,,i i a b i n ==+∞=⋅⋅⋅，由推论1知12,,,n X X X ⋅⋅⋅必相互独立.3.4利用条件数学期望判断离散型随机变量独立性下面给出的定理借助于条件数学期望给出了离散型随机变量相互独立[5]的充分必要条件和充分条件.定理3 如果随机变量X 和Y 都只取两个值，那么它们相互独立的充分必要条件是它们不相关，即(1)()()()E XY EX EY =.定理4 若随机变量X 和Y 相互独立，则它们一定不相关.反过来，结论不成2（）立定理5 设X 和Y 都是离散型随机变量，分布列分别为：其中,m n 是有限数或无穷大，则X 和Y 相互独立的充分必要条件是，对任何有意义的下标i 和j ，下列二式成立：,)0i j PX a Y b ==>（（2.1）11(/,)(/i i j j i E XY X a a Y b b E X X a ++====或或或11,)(/i j j i a Y b b E Y X a ++==或或11,)i j j a Y b b ++=或（2.2）很明显，当随机变量X 和Y 都只取两个值是，（2.2）式中的条件数学期望就是期望，所以定理5是对定理3的推广.定理 6 设X 和Y 都是离散型随机变量.如果对于何,a b c d <<,(,)0P a X b c Y d ≤<≤<>,都有(/,)(/,)E XY a X b c Y d E X a X b c Y d ≤<≤<=≤<≤<(/,)E Y a X b c Y d ≤<≤< 成立，那么X 和Y 相互独立.4 判断随机变量独立性应注意的问题我们在判断随机变量独立性时常会产生一些误解，有如下类型的错误推理:()i 随机变量密度函数可分离变量，随机变量就独立；()ii 随机变量1X 与3X ，2X 与4X 独立，则12X X ±与34X X ±独立；()iii 1X 与3X ，2X 与3X 独立，则12X X ±与3X 独立；等等.我们下面将分别举例说明，并且在判断时应该尤其注意.(1) 随机变量密度函数可分离变量但不独立的例子例4 设12(,,...,)n X X X 的联合概率密度为11121212...,0...1(,,...,)0,n n n n n n n Cx x x x x x f x x x --⎧≤≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它试讨论12,,...,n X X X 的相互独立性.解可设1()n i i i i i h x c x -+=1()n i i c C ==∏，则有121(,,...,)()nn i i i f x x x h x ==∏但由边界条件1120...1n n n x x x -≤≤≤≤≤知，边界为12,,...,n x x x 的函数，而非常数，故由定理2结果知，12,,...,n X X X 不是相互独立的.(2)随机变量1234,,,X X X X 每三个独立，但1234,X X X X ±±与不独立的例子例5 设有八块相同的木块，其中一块不写字，其余七块分别写上字母ABCD ， AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .从其中随机取一块，若木块上有字母A ，称事件A 发生，等等.不难证明事件,,,A B C D 每三个相互独立，但四个事件相互独立.用A I 等表示事件A 等的示性函数，则随机变量,,,A B C D I I I I 每三个独立，但总起来不独立.不难看出，(0,A B P I I +=0)C D I I +=()1/8,P ABCD ==(0)()1/4,A B P I I P AB +===(0)()1/4,C D P I I P CD +=== (0,0)A B C D P I I I I +=+=≠(0)(0)A B C D P I I P I I +=+=，因此A B C D I I I I ++与不独立.10A B C D P I I I I P ABCD +-===（=0，）（），11/4A B C D P I I I I P CD +-===（=0）=1/4，P(）（）故知A B C D I I I I +-与不独立 .仿之可证A B C D I I I I -+与不独立，A B C D I I I I --与不独立.(3)随机变量123,,X X X 两两独立，但123X X X ±与不独立的例子例 6 设有四块相同的木块分别写上字母,,A B C 和ABC .分别以,,A B C 表示随机取出的一块木板上出现字母,,A B C 的事件（此即著名的别伦师谦例）. ,,A B C 三个事件两两独立，但总起来不独立，因而随机变量,,A B C I I I 两两独立，但三个不独立.注意到 (0,0)()0A B C P I I I P ABC +==== (0)()1/4A B P I I P AB +===(0)()1/2C P I P C ===，即知A B C I I I +与不独立，仿之可证A B C I I I -与不独立.5 结束语本文首先定义了随机变量一些相关定义，然后探讨，总结出了判断随机变量独立性的四种方法，前两种方法比较常见也用得较多，但有时求边缘分布函数和边缘密度函数时过程比较繁琐，而且有时无法求出，从而接着给出了后两种方法.后两种方法比较新颖，简便，而且其应用都有一定的范围，通过例题解析给出了它们的应用.我们在应用时要特别注意它的使用条件.最后本文指出了在判断随机变量独立性时应注意的问题以及容易出现的错误，通过例题分析进一步强调，使我们印象更深刻.随机变量独立性无论从理论上还是实践上都有着重大的意义，因此我们应该继续探究随机变量独立性的判定，找出更多更好的方法.致谢：在我写论文期间，感谢我的论文指导老师张老师的悉心指导和帮助，感谢我的同学以及朋友对我的大力支持和帮助！同时还要感谢论文评审小组的各位专家老师及答辩委员会的各位老师对我的指点和帮助！参考文献[1]李裕奇，赵刊.n维随机变量独立性的一个充要条件[J].西南交通大学学报.1998.33(5):513-517.[2]任彪.离散型随机变量独立性的判定[J].河北省科学院学报.1999.16(3):23-26[3]汪建均.随机变量的独立性的简易判别法[J].数学理论与应用.2005.25(1):71-73[4]朱焕然.随机变量独立性判别方法注记[J].大学数学.2003.19(4):107-109[5]殷洪才，黄宇慧，范广慧.随机变量独立性的一个应用.哈尔滨师范大学自然科学学报.1999.15(6):1-4[6]陈永义，王炳章.随机向量的函数的独立性的一个问题[J].工科数学.2000.16(2):113-116[7]傅尚朴.判断两个离散型随机变量相互独立性的一种简便方法[J].教学与科技.1993.3(3)：9-13[8]宫平.随机变量独立性初探[J].电大理工.2000.11(4)：28-29[9]李裕奇.随机向量的独立性[J].西南交通大学学报.1999.34(5)：577-581[10]姚仲明，唐燕玉.随机变量的独立性及其一个充要条件[J].安庆师范学院学报.2004.10(4)：71-74。

3.4二维随机变量的独立性

f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
则称X与Y相互独立。
证明：若 ( X ,Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ12 , σ 22 , ρ) 则
X与Y相互独立
0
f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )
2 y μ2 x μ1 y μ2 2 ρ σ2 σ1 σ2
将其余数值填入空白处.
X
Y
y1
1 24 1 8 1 6
y2
1 8 3 8 1 2
y3
1 12 1 4 1 3
P X xi pi
1 4 3 4 1
x1 x2
P Y y j p j

二、二维连续型随机变量的独立性定义3.4.2 设(X，Y)为二维连续型随机变量，如果对任意的实数 x 和 y 都有
X
Y
y1
p11 p21 pi 1
y2 ...
p12 ... p22 ... pi 2 ...
yj
p1 j p2 j pij
x1 x2 xi Y
... X ... p1
... ...
p 2 pi
p1
p2 pபைடு நூலகம் j
例设随机变量 X 与 Y 独立, 下表列出二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律及边缘分布律的部分数值,
证明：X与Y相互独立
f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )
1 2πσ1σ 2 1 ρ
2
e
1 2(1 ρ2 )

x μ1 σ1
2

1 2πσ1