高考理科数学第一轮复习测试题17 A级基础达标演练

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高考数学一轮复习 A级基础达标演练1 理

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列各式中对x∈R都成立的是( )．A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1＞2xC.1x2＋1≤1 D．x＋1x≥2解析A、D中x必须大于0，故A、D排除，B中应x2＋1≥ 2x，故B不正确．答案 C2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是( )．A．a，b都不能被5整除B．a，b都能被5整除C．a，b中有一个不能被5整除D．a，b中有一个能被5整除解析由反证法的定义得，反设即否定结论．答案 A3下列命题中的假命题是( )．A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数解析a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．答案 D4．命题“如果数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n，那么数列{a n}一定是等差数列”是否成立( )．A．不成立 B．成立 C．不能断定 D．能断定解析∵S n＝2n2－3n，∴S n－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴a n＝S n－S n－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵a n＋1－a n＝4(n≥1)，∴{a n}是等差数列．答案 B5．设a 、b 、c 均为正实数，则三个数a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a( )． A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是______________________________________________．解析用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题的结论．答案三角形的三个内角都大于60°7．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)． ①反证法，②分析法，③综合法．答案 ②8．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是________．解析要使b a ＋a b ≥2，只要b a ＞0且a b ＞0，即a ，b 不为0且同号即可，故有3个．答案 3三、解答题(共23分)9．(11分)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明 ∵a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＋1ab＝a ＋b a ＋a ＋b b ＋a ＋b ab ＝1＋b a ＋1＋a b ＋a ＋b ab ≥2＋2b a ·a b ＋a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ＝2＋2＋4＝8，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．10．(12分)已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 证明 a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．B 级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分) 1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )．A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数． ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 答案 A2．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：①1]( )．A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2解析由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝ (1)答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．解析首先a ≥0，b ≥0且a 与b 不同为0.要使a a ＋b b ＞a b ＋b a ，只需(a a ＋b b )2＞(a b ＋b a )2，即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，只需(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，只需a 2－ab ＋b 2＞ab ，即(a －b )2＞0，只需a ≠b .故a ，b 应满足a ≥0，b ≥0且a ≠b .答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b4．设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线．解析 ①中x ⊥平面z ，平面y ⊥平面z ，∴x ∥平面y 或x ⊂平面y .又∵x ⊄平面y ，故x ∥y 成立．②中若x ，y ，z 均为平面，则x 可与y 相交，故②不成立．③x ⊥z ，y ⊥z ，x ，y 为不同直线，故x ∥y 成立．④z ⊥x ，z ⊥y ，z 为直线，x ，y 为平面可得x ∥y ，④成立．⑤x ，y ，z 均为直线，x ，y 可平行、异面、相交，故⑤不成立．答案 ①③④三、解答题(共22分)5．(10分)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ab ＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc 成立．上式两边同时取常用对数，得lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )， ∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .6．(12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0＜x ＜c 时，f (x )＞0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－2＜b ＜－1.(1)证明 ∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根．(2)解假设1a ＜c ，又1a ＞0，由0＜x ＜c 时，f (x )＞0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a ＞c .(3)证明由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac .又a ＞0，c ＞0，∴b ＜－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b2a ＝x 1＋x 22＜x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b2a ＜1a .又a ＞0，∴b ＞－2，∴－2＜b ＜－1.。

届高考理科数学第一轮复习基础达标演练资料

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·舟山月考)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()．A．42 B．30 C．20 D．12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A22A16＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A26＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A27＝42)．答案 A＋C n n＝()．2．(★)如果n是正偶数，则C0n＋C2n＋…＋C n－2nA．2n B．2n－1C．2n－2D．(n－1)2n－1解析(特例法)当n＝2时，代入得C02＋C22＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C04＋C24＋C44＝8，排除答案D.故选B.答案 B【点评】本题运用了特殊数值法，两次选择特殊数值代入，从而得到答案.当然，本题也可以运用直接法，由二项展开式系数的性质得C\o\al(0,n)＋C\o\al(2,n)＋…＋C\o\al(n－2,n)＋C\o\al(n,n)＝2n－1.3．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()．A．24种B．60种C．90种D．120种解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．答案 B4．(2010·北京)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()．A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27解析不相邻问题用插空法，8名学生先排有A88种，产生9个空，2位老师插空有A29种排法，所以最终有A88·A29种排法．故选A.答案 A5．(2012·福州质检)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()．A．16种B．36种C．42种D．60种解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法，由分类计数原理知共A34＋C23A24＝60种方法．答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A47＝840(种)．答案8407．(2012·天津模拟)将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案种数是________．解析将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C24A33种分配方案，其中甲同学分配到A班共有C23A22＋C13A22种方案．因此满足条件的不同方案共有C24A33－C23A22－C13A22＝24(种)．答案248．(2012·东北三校联考)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是________．解析记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a 、b 、c ，先排男生，若甲在男生两端有4种排法，然后3位女生去插空，排法如ab 甲□丙c 乙共有4A 23A 12A 13种，若男生甲排在中间，有两种排法，然后女生去插空，排法如ab 乙□甲c 丙共有2A 23A 24种排法．根据分类计数原理共有4A 23A 12A 13＋2A 23A 24＝288种不同排法．答案 288三、解答题(共23分)9．(11分)按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．解 (1)46＝4 096；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫C 26C 24C 12C 11A 22A 22＋C 36A 44＝1 560； (3)C 24＋4＝10；或C 25＝10(挡板法)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫C 36C 23C 11＋C 26C 24C 22A 33＋C 46A 34＝2 160. 10．(12分)(2012·合肥调研)要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．解 (1)C 512－C 57＝771； (2)C 57＋C 15C 47＋C 25C 37＝546；(3)C22C310＝120；(4)C512－C22C310＝672；(5)C512－C510＝540.B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2010·全国I)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()．A．30种B．35种C．42种D．48种解析法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)选法．法二总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的C34＝4(种)，共有30种选法．答案 A2．(2012·洛阳模拟)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()．A．24 B．48 C．72 D．96解析A55－2A22A23A22－A22A22A33＝48.答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析当每个台阶上各站1人时有A33C37种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C23C17C16种站法，因此不同的站法种数有A33C37＋C23C17C16＝210＋126＝336(种)．答案3364．(2012·武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．解析先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C 25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C 24种，最后，安排其他两辆车共有A 22种方法，∴不同的调度方法为C 25·C 24·A 22＝120种．答案 120三、解答题(共22分)5．(10分)在m (m ≥2)个不同数的排列p 1p 2…p m 中，若1≤i ＜j ≤m 时p i ＞p j (即前面某数大于后面某数)，则称p i 与p j 构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n ＋1)n (n －1)…321的逆序数为a n .如排列21的逆序数a 1＝1，排列321的逆序数a 2＝3，排列4 321的逆序数a 3＝6. (1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ，证明2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3，n ＝1,2，….解 (1)由已知条件a 4＝C 25＝10，a 5＝C 26＝15，则a n ＝C 2n ＋1＝n ?n ＋1?2.(2)证明 b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝nn ＋2＋n ＋2n ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2∴b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2， ∴2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3.6．(12分)已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？解(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．第2次测到第一件次品有4种抽法；第8次测到最后一件次品有3种抽法；第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A25种抽法；剩余4次抽到的是正品，共有A24 A25A46＝86 400种抽法．(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A44种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A34A16种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A35A26＋A66种．由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为A44＋4A34A16＋4A35A26＋A66＝8 520.。

高考数学一轮复习 A级基础达标演练17 理

高考理科数学第一轮复习 A 级基础达标演练17(时间：40分钟满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是 ( )． A ．y ＝x 3B ．y ＝ln |x |C ．y ＝1x2D ．y ＝cos x解析 y ＝x 3不是偶函数；y ＝1x2在(0，＋∞)上单调递减；y ＝cos x 在(0，＋∞)上有增有减；只有y ＝ln |x |同时满足条件．答案 B2．对于定义域为R 的奇函数f (x )，下列各式中成立的是( )． A ．f (x )－f (－x )≥0 (x ∈R ) B ．f (x )－f (－x )≤0 (x ∈R ) C ．f (x )f (－x )≥0 (x ∈R ) D ．f (x )f (－x )≤0 (x ∈R )解析依题意，知f (－x )＝－f (x )，∴f (x )f (－x )＝－[f (x )]2≤0. 答案 D3．(★)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( )． A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x) D.12(e x －e －x ) 解析 (直接法)由f (x )＋g (x )＝e x，可得f (－x )＋g (－x )＝e －x ，又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可得f (x )－g (x )＝e －x，则两式相减可得g (x )＝e x －e－x2.答案 D【点评】本题采用直接法，所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果，直接求解. 4．(★)若函数f (x )＝x2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34D ．1 解析 (特例法)∵f (x )＝x2x ＋1x －a是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， ∴－1－2＋1－1－a＝－12＋11－a，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.答案 A【点评】本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错.5．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (9)的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的函数．∴f (9)＝f (2×4＋1)＝f (1)． ∵f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝－1，得f (1)＝－f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，∴f (9)＝0.答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.解析 f (－x )＝12－x －1＋a ＝2x 1－2x ＋a ，f (－x )＝－f (x )⇒2x 1－2x ＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a ⇒2a ＝11－2x －2x1－2x ＝1，故a ＝12.答案 127．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 解析 ∵f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，∴a 3cos a ＝10， ∴f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1 ＝－a 3cos a ＋1 ＝－10＋1＝－9. 答案－98.已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________. 解析由g (x )＝f (x )＋9，得g (－2)＝f (－2)＋9，∴f (－2)＝－6，又f (－2)＝－f (2)，∴f (2)＝6. 答案 6三、解答题(共23分)9．(11分)已知f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x |x －2|，求x ＜0时，f (x )的表达式．解设x ＜0，则－x ＞0，所以满足表达式f (x )＝x |x －2|. ∴f (－x )＝(－x )|(－x )－2|＝－x |x ＋2|. 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－f (－x )＝x |x ＋2|，故当x ＜0时，f (x )＝x |x ＋2|.10．(12分)奇函数f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1＋a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解 ∵f (x )为奇函数，∴f (1＋a )＜－f (1－a 2)＝f (a 2－1)， ∵f (x )的定义域为(－1,1)，且是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1＋a ＜1，－1＜a 2－1＜1，1＋a ＞a 2－1，解得－1＜a ＜0，∴实数a 的取值范围是(－1,0)． B 级(时间：30分钟满分：40分) 一、选择题(每小题5分，共10分)1．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )＜f (2)，得f (|x |)＜f (2)，∴|x |＜2，∴－2＜x ＜2.答案 B2．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )． A ．－2 B ．－1 C ．2 D ．1 解析 f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝1. 答案 D二、填空题(每小题4分，共8分)3．设函数f (x )＝x (e x＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x)(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1. 答案－14．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断： ①f (x )是周期函数； ②f (x )关于直线x ＝1对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (2)＝f (0)．其中正确的序号是________．解析 ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋1＋1)＝f (x ＋2)， ∴f (x )是周期为2的函数，①正确．又∵f (x ＋2)＝f (x )＝f (－x )，∴f (x )＝f (2－x )， ∴y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，②正确．又∵f (x )为偶函数且在[－1,0]上是增函数， ∴f (x )在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x ＝1，∴f (x )在[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)，故③④错误，⑤正确．答案 ①②⑤ 三、解答题(共22分)5．(10分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b＞0.判断函数f (x )在[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．解 f (x )在[－1,1]上是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1＜x 2，则－x 2∈[－1,1]．又f (x )是奇函数，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)．据已知f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上是增函数．6．(12分)已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ＞0，f (x )＜0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．(1)证明函数定义域为R ，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，f (0)＝0. ∴f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数． (2)解设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2.f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)，∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0， ∴f (x 2)＜f (x 1)，∴函数f (x )为减函数，∴f (x )在[－2,6]上的最大值为f (－2)，最小值为f (6)． ∵f (－1)＝－f (1)＝12，∴f (－2)＝f ((－1)＋(－1))＝f (－1)＋f (－1)＝1，f (6)＝6f (1)＝－3， ∴函数f (x )在[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.。

2019年高三理科数学一轮单元卷：第十七单元立体几何综合 A卷含解析

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第十七单元立体几何综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，O A B '''△是水平放置的OAB △的直观图，则OAB △的面积为（）A ．6BC ．12D 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积的比是（）A ．()12π:2π+B ．()14π:4π+C ．()12π:π+D ．()14π:2π+3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．180B ．200C ．220D ．2404．已知两直线m 、n 和平面α，若m α⊥，n α∥，则直线m 、n 的关系一定成立的是（）A ．m 与n 是异面直线B ．m n ⊥C ．m 与n 是相交直线D ．m n ∥5．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是（）A B ．3 C ．4 D ．56．如果一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm ），则此几何体的体积是（）A B C ．33cm 8 D 3cm7．已知直线1l 、2l ，平面α，21l l ∥，1l α∥，那么2l 与平面α的关系是（）．A ．1l α∥B ．2l α⊂C ．2l α∥或2l α⊂D ．2l 与α相交8．若长方体的一个顶点上三条棱长分别为3，4，5．则长方体外接球的表面积为（） A ．40π B ．35π C ．50π D ．60π9．在正四面体ABCD 中，E 为AB 的中点，则CE 与BD 所成角的余弦值为（）A B ．16 C D ．1310．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①l m αβ⊥⇒∥； ②l m αβ⇒⊥∥；③l m αβ⊥⇒∥； ④l m αβ⇒⊥∥；其中正确命题的序号是（）A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．②④11．将棱长为的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）12．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A ．10+B ．10+C ．12+D ．11+二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．底面边长和侧棱长均为2的正四棱锥的体积为__________．14．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为3，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．2πB ．4π3C ．21πD ．23π15．已知m 、n 是两条不重合的直线α，β，γ是三个两两不重合的平面给出下列四个命题：（1）若m α⊥，m β⊥，则αβ∥（2）若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥（3）若m α⊂，n β⊂，m n ∥，则αβ∥（4）若m β∥，βγ∥，则m γ∥其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)16．（2017新课标全国Ⅰ，文16）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图是一个以111A B C 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知11112A B B C ＝＝，11190A B C ∠︒＝，14AA ＝，13BB ＝，12CC ＝，求：（1）该几何体的体积；（2）截面ABC的面积．18．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，PD M A≠，PM⊥平面CDM．∥，PD MA（1）求证：平面ABCD⊥平面AMPD；（2）判断直线BC，PM的位置关系，并说明理由．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCDADC∠=︒底面ABCD⊥，120-中，PD⊥平面ABCD，PA PC为菱形，G为PC中点，E，F分别为AB，PB4=PB PF（1）求证：AC DF⊥；（2）求证：EF∥平面BDG；（3）求三棱锥B CEF-的体积．20．（12分）在四棱锥P ABCD －中，90ABC ACD ∠∠︒＝＝，60BAC CAD ∠∠︒＝＝，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，=PA 2AB=2．（1）求证：PC AE ⊥；（2）求证：EC ∥平面PAB ；21．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1AA ⊥平面ABC ，E ，F 分别是1BB ，11A C 的中点．22．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是AB ，1BB 的中点，已知1A C 与平面ABC所成的角为45︒，12AA BC ==，AB =（1）证明：1BC ∥平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A）第十七单元立体几何综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】C【解析】OAB△的面积为C．2．【答案】A【解析】A．3．【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．∴1228425102108102402S=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=表面积（），故选D．4．【答案】B【解析】当一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直于这个平面内的所有直线．故选B．5．【答案】B3R=，选B．6．【答案】D【解析】由已知中的三视图可得该几何体为四棱锥，∵正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，∴棱锥的底面棱长为2D．【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AB l =，2CD l =，当取面11CDD C 为平面α时，满足12l l ∥，1l α∥，此时2αl ⊂；当取面1111B A D C 为平面α时，满足12l l ∥，1l α∥，此时2l α∥．当直线1l 、2l ，平面α，12l l ∥，1l α∥时，2l 与平面α的关系是2l α∥或2αl ⊂，故选C ．8．【答案】C【解析】设球的半径为R ，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则2222234550R =++=（），∴R =．∴24π50πS R =⨯=球，故选C ． 9．【答案】A【解析】如图，取AD 中点F ，连接EF ，CF ，∵E 为AB 的中点，∴EF DB ∥，则CEF ∠为异面直线BD 与CE 所成的角，∵ABCD 为正四面体，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴CE CF =．设正四面体的棱长为2a ，则EF a =，EF =．在CEF △中，由余弦定理得：2222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠===⋅，故选A ．【解析】在①中，m 可在平面β内任意转动，故l 与m 关系不确定，故①是假命题；在②中，由l α⊥，αβ∥，得l β⊥，又m β⊂，故l m ⊥，故②是真命题；在③中，平面β可绕m 转动，故α与β关系不确定，故③是假命题；在④中，由l m ∥，l α⊥，得m α⊥，又∵m β⊂，故αβ⊥，故④是真命题，故选D ．11．【答案】A【解析】体积最大的球即正方体的内切球，因此22r =，1r =，体积为4π3，故选A ． 12．【答案】C【解析】由三视图可知，几何体是一个五面体，五个面中分别是：一个边长是2的正方形；一个边长是2的正三角形；两个直角梯形，上底是1，下底是2，高是2；一个底边是2三角形，求出这五个图形的面积()211122122222212222+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=+C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【解析】设正四棱锥为P ABCD -，O 为底面中心，则高PO 2123=． 14．【答案】C【解析】根据题意条件，考查所有棱的长都为a 时的问题：三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为R 22774ππ123S a a =⨯=，将3a =代入上式可得该球的表面积为21π．本题选择C 选项．15．【答案】（1）【解析】（1）根据线面垂直的性质可知若m α⊥，m β⊥，则αβ∥成立；（2）若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥或α与β相交；故（2）不成立；（3）根据面面平行的可知，当m 与n 相交时，αβ∥，若两直线不相交时，结论不成立；（4）若m β∥，βγ∥，则m γ∥或m γ⊂，故（4）不成立，故正确的是（1），故答案为（1）．【解析】三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ，可得112932r r r ⨯⨯⨯⨯=，解得3r =．球O 的表面积为：24π36πr =．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）6；（2【解析】（1）过C 作平行于111A B C 的截面22A B C ，交1AA ，1BB 分别于点2A ，2B ．由直三棱柱性质及11190A B C ∠︒＝可知2B C ⊥平面22ABB A ，则该几何体的体积()11122221112221222=6232A B C A B C C A -BB A V =V V =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＋-．（2）在ABC △中，AB BCAC 1=2ABC S ⨯△18．【答案】（1）见解析；（2）异面，见解析．【解析】（1）∵PM ⊥平面CDM ，且CD ⊂平面CDM ，∴PM CD ⊥，又四边形ABCD 是正方形，∴CD AD ⊥，而梯形AMPD 中PM 与AD 相交，∴CD ⊥平面AMPD ，又CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面AMPD ．（2）直线BC ，PM 是异面直线， ∵BC AD ∥，BC ⊄平面AMPD ，AD ⊂平面AMPD ，∴BC ∥平面AMPD ，又PM ⊂平面AMPD ，∴BC 与PM 不相交，又∵BC AD ∥，AD 与PM 不平行，∴BC 与PM 不平行，∴BC 与PM 异面．19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【解析】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AC ⊥， ∵底面ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∵BD PD D =，∴AC ⊥平面PBD ，又DF ⊂平面PBD ，∴AC DF ⊥．（2）证明：∵4AB AE =，4PB PF =，∴EF PA ∥设AC 与BD 的交点为O ，连接OG ，∵ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点，又G 为PC 中点，∴OG PA ∥，∴EF OG ∥，又EF ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ， ∴EF ∥平面BDG ．（3）解:设PD m =，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，又由120ADC ∠=︒可得BD = ∵PA PC ⊥，∴()2232166m +=⨯，∴4m = ∵4PB PF =，∴F 到平面ABCD 的距离为，又BCE △的面积为20．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）在Rt ABC △中，1AB ＝，60BAC ∠︒＝，∴2AC ＝．取PC 中点F ，连AF ，EF ，∵2PA AC ＝＝，∴PC AF ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又90ACD ∠︒＝，即CD AC ⊥，∴CD ⊥平面PAC ，∴CD PC ⊥，∴EF PC ⊥．∴PC ⊥平面AEF ．∴PC AE ⊥．（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ，则EM PA ∥．∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴EM ∥平面PAB ，在Rt ACD ∥中，60CAD ∠︒＝，2AC AM ＝＝，∴60ACM ∠︒＝．而60BAC ∠︒＝，∴MC AB ∥．∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴MC ∥平面PAB ．∵EM MC M ＝，∴平面EMC ∥平面PAB ．∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ．证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ．∵60NAC DAC ∠∠︒＝＝，AC CD ⊥，∴C 为ND 的中点∵E 为PD 中点，∴EC PN ∥∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ．21．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）由题知可以B 为原点，分别以BC ，BA ，1BB 为x ，y ，z 轴建系如图所示则有()0,2,0A ，()0,0,0B ，()2,0,0C ，()0,0,1E ，()1,1,2F 故有：()2,0,1CE =-，()1,1,2AF =- 由：()()2,0,11,1,22020CE AF ⋅=-⋅-=-++=知：CE AF ⊥，即AF CE ⊥（2）假设平面AEF 的法向量为(),,x y z =n由()()()(),,0,2,1200 ,,1,1,2200x y z y z AE x y z x y z AF ⎧⋅-=-⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅-=-+=⋅=⎪⎪⎨⎪⎩⎩n n 不妨假设1y =，得3x =-，2z =，∴()3,1,2=-n又平面ABC 的法向量()0,0,1=m ，所以即平面AEF 与平面ABC22．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）证明：连接1AC ，交1A C 于点F ，则F 为1AC 的中点又D 是AB 的中点，连接DF ，则1BC DF ∥，因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1BC ∥平面1A CD以C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间坐标系C xyz -，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，()12,0,2A ，()1,1,0CD =，()0,2,1CE =，()12,0,2CA = 设()1111,,x y z =n 是平面1A CD 的法向量，则1110 0CD CA ⎧⎪⎨⋅⎪=⋅=⎩n n ，即11110 220x y x z +=+⎧⎨⎩=，可取()11,1,1=--n ，同理，设2n 是平面1A CE 的法向量，则2210 0CE CA ⎧⎪⎨⋅⎪=⋅=⎩n n ，可取()22,1,2=-n，从而即二面角1D A C E --的正弦值为。

2017年普通高等学校招生全国统一考试考前演练卷(一)_理科数学含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试考前演练(一）数学(理科）第I 卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-,若MN φ≠,则实数m 的值为 ( ）（A)3或3- （B)3 (C ）3或1- （D ） 1-（2)已知复数z 满足2zi i x =+ (i 为虚数单位,x R ∈），若z 的虚部为2，则z =（）(A)2 （B)3（C)5 （D ）22（3)已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且1012S =,则56a a +=(）(A)125（B ）12 （C ）6 （D)65(4)已知0m >，直线34y x =是双曲线22214x y m-=的渐近线，则m 等于（）（A) 32(B)322(C ） 83(D)163(5)已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，c a b λμ=+，若a c ⊥,则下列结论正确的是（）（A ）0λμ-= (B) 0λμ+= (C ） 20λμ-= （D)20λμ+=(6)在区间[2,2]-内任取2个实数x ，y ，则2214xy ≤+≤成立的概率为（ )(A ） 4π (B ） 316π（C ） 8π （D) 16π（7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ；v 的单位：m ／s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m)是（ ) （A ） 125ln 5+ (B) 11825ln3+（C)425ln 5+ (D ）450ln 2+(8)执行如图所示的程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（ )(A)2 (B ）3 （C)4 (D ）5（9)已知数列{}na 的前n 项和21n nS=-，则1231n n n a a a a a a ++++= （）(A)2(41)3n- （B)1(41)3n- （C ） 124n +- (D ）122n +-(10)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何?”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）,下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈, EF ∥平面ABCD ·EF 与平面ABCD 的距离为1丈,问它的体积是 ( ）（A ）4立方丈（B)5立方丈（C ）6立方丈 (D ）8立方丈（11）已知男、女生共有8人，现从中任选3人，若选取的3人中男生2人，女生1人的概率1528，则女生有( )（A ）2人或3人（B)3人或4人 (C)3人（D)4人(12）已知函数()a f x x x=-，对(0,1)x ∀∈，有()(1)1f x f x -≥恒成立，则实数a的取值范围为 ( ) (A)1(0,]4 （B)1[,1]4（C ）(,1][4,)-∞+∞ （D)1(,][1,)4-∞-+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2022届高考数学一轮复习 A级基础达标演练7 理

2022届高考理科数学第一轮复习 A级基础达标演练8时间：40分钟满分：60分一、填空题每小题5分，共40分1．如图所示， 3 cm4 cm1求证：O、B、D、E四点共圆；2求证：2DE2＝DM·AC＋DM·AB证明1如图，连结OE、BE，则BE⊥EC又∵D是BC的中点，∴DE＝BD又∵OE＝OB，OD＝OD，∴△ODE≌△ODB，∴∠OBD＝∠OED＝90°∴D，E，O，B四点共圆．2延长DO交圆O于点H由1知DE为圆O的切线，∴DE2＝DM·DH＝DM·DO＋OH＝DM·DO＋DM·OH，∴DE2＝DM·错误!＋DM·错误!，∴2DE2＝DM·AC＋DM·AB10．10分如图，点A是以线段BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，连接并延长AF与CB的延长线相交于点P1求证：BF＝EF；2求证：PA是⊙O的切线．证明1∵BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC又∵AD⊥BC，∴AD∥BE可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，又∵G是AD的中点，∴DG＝AG，∴BF＝EF2如图，连接AO，AB∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°在Rt△BAE中，由1得知F是斜边BE的中点，∴AF＝FB＝EF∴∠FBA＝∠FAB又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠FAB＋∠BAO＝∠FAO＝90°，∴PA是⊙O的切线．。

高考理科数学第一轮复习测试题3

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案 D2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是()．A．2k＋2 B．2k＋3C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3)解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k ＋2)＋(2k＋3)．答案 D3．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．答案 D4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k ＋1时的情况，只需展开()．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．答案 A5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )．A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22[来源:学.科.网] D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2；∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)27．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不等式是________．解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2. 答案 1＋12＋13＜2 8．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n (n ∈N *)行，在这些数中非1的数字之和是________________．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1…解析所有数字之和S n ＝20＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，除掉1的和2n －1－(2n －1)＝2n －2n . 答案 2n －2n三、解答题(共23分)9．(11分)试证：当n ∈N *时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．证明法一 (1)当n ＝1时，f (1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除．当n ＝k ＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k ＋1)－9 ＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)，即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)、(2)可知，对于任意n ∈N *，命题都成立．法二 (1)当n ＝1时f (1)＝64命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除．由归纳假设，设32k ＋2－8k －9＝64m (m 为大于1的自然数)，将32k ＋2＝64m ＋8k ＋9代入到f (k ＋1)中得， f (k ＋1)＝9(64m ＋8k ＋9)－8(k ＋1)－9＝64(9m ＋k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)(2)知，对于任意n ∈N *，命题都成立．10．(12分)已知数列{a n }中，a 1＝a (a ＞2)，对一切n ∈N *，a n ＞0，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1). 求证：a n ＞2且a n ＋1＜a n .证明法一 ∵a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)＞0， ∴a n ＞1，∴a n －2＝a 2n －12(a n －1－1)－2＝(a n －1－2)22(a n －1－1)≥0， ∴a n ≥2.若存在a k ＝2，则a k －1＝2，[来源:学。

高考理科数学第一轮复习测试题16

A 级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列命题中的假命题是( )． A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0解析对于A ，当x 0＝1时，lg x 0＝0正确；对于B ，当x 0＝π4时，tan x 0＝1，正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0错误；对于D ，∀x ∈R,2x ＞0，正确．答案 C2．(2012·杭州高级中学月考)命题“∀x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( )． A ．∃x 0＞0，x 20＋x 0＞0 B ．∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0 C ．∀x ＞0，x 2＋x ≤0D ．∀x ≤0，x 2＋x ＞0解析根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0. 答案 B3．(★)(2012·郑州外国语中学月考)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )． A ．0＜a ≤1 B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0解析 (筛选法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C. 答案 C4．(2012·合肥质检)已知p ：|x －a |＜4；q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )． A ．a ＜－1或a ＞6 B ．a ≤－1或a ≥6 C ．－1≤a ≤6D ．－1＜a ＜6解析解不等式可得p ：－4＋a ＜x ＜4＋a ，q ：2＜x ＜3，因此綈p ：x ≤－4＋a 或x ≥4＋a ，綈q ：x ≤2或x ≥3，于是由綈p 是綈q 的充分不必要条件，可知2≥－4＋a 且4＋a ≥3，解得－1≤a ≤6. 答案 C5．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( )．A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数解析对于A 只有在a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则f (x )为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f (x )＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f (x )是偶函数．答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·西安模拟)若命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析因为“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2. 答案－22≤a ≤227．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x ＞1，若綈q 且p 为真，则x 的取值范围是________．解析因为綈q 且p 为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3，所以x 的取值范围是x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 故填(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)8．(2012·南京五校联考)令p (x )：ax 2＋2x ＋a ＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵对∀x ∈R ，p (x )是真命题． ∴对∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋a ＞0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2＜0，∴a ＞1. 答案 a ＞1三、解答题(共23分)9．(11分)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题． p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1，所以命题p ：a ≤1；q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f (x 0)＝0，只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2，所以命题q ：a ≥1或a ≤－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2得a ＝1或a ≤－2 ∴实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2. 10．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假． (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|＞0.解 (1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．B 级综合创新备选 (时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分) 1．下列命题错误的是( )．A ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 解析依次判断各选项，易知只有C 是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案 C2．(★)(2011·广东广雅中学模拟)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0.q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )． A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2]D ．[－1,1]解析 (直接法)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假，得∀x ∈R ，mx 2＋2＞0，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假，得∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1. 答案 A【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法. 二、填空题(每小题4分，共8分)3．命题“∃x 0∈R ，x 0≤1或x 20＞4”的否定是______________．解析已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．答案 ∀x ∈R ，x ＞1且x 2≤44．(2012·太原十校联考)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫56，＋∞ 三、解答题(共22分)5．(10分)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0.如果对∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.又∵对∀x ∈R ，当s (x )为真命题时，即x 2＋mx ＋1＞0恒成立有Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2.∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2.当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2.6．(12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．解由命题p 知：0＜c ＜1.由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52要使此式恒成立，则2＞1c ，即c ＞12.又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12.当p 为假，q 为真时，c ≥1.综上，c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪0＜c ≤12或c ≥1.。

高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测17 Word版含答案

课时跟踪检测(十七)1．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x (x >0)，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x (x ＞0)，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )的递增区间是(0,2)，(3，＋∞)；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )的递减区间是(2,3)．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.2．已知函数f (x )＝e x－ax (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，函数g (x )＝(x －m )f (x )－e x＋x 2＋x 在(2，＋∞)上为增函数，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝e x －a . 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在R 上为增函数；当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝ln a ，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(－∞，ln a )上为减函数；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(ln a ，＋∞)上为增函数．(2)当a ＝1时，g (x )＝(x －m )(e x－x )－e x＋x 2＋x ， ∵g (x )在(2，＋∞)上为增函数，∴g ′(x )＝x e x－m e x＋m ＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立，即m ≤x e x ＋1e x－1在(2，＋∞)上恒成立，令h (x )＝x e x ＋1e x －1，x ∈(2，＋∞)， h ′(x )＝ex2－x e x－2e xx －2＝exx－x －x－2. 令L (x )＝e x －x －2，L ′(x )＝e x－1>0在(2，＋∞)上恒成立，即L (x )＝e x－x －2在(2，＋∞)上为增函数，即L (x )>L (2)＝e 2－4>0，∴h ′(x )>0，即h (x )＝x e x ＋1e x－1在(2，＋∞)上为增函数，∴h (x )>h (2)＝2e 2＋1e 2－1，∴m ≤2e 2＋1e 2－1.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2e 2＋1e 2－1.3．已知f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x .(1)当a ＝1时，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ＞0时，若f (x )在区间上最小值为－2，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x.因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2，所以曲线y ＝f (x )在点(1，－2)处的切线方程是y ＝－2. (2)函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x＝2ax 2－a ＋x ＋1x，令f ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝x －ax －x＝0，∴x ＝12或x ＝1a.当0＜1a≤1，即a ≥1时，f (x )在上单调递增，所以f (x )在上的最小值是f (1)＝－2；当1＜1a＜e 时，f (x )在上的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f (1)＝－2，不合题意；当1a≥e 时，f (x )在上单调递减，此时f (x )在上的最小值f (e)＜f (1)＝－2，不合题意．综上，实数a 的取值范围为1．已知函数f (x )＝mx ＋ln x ，其中m 为常数，e 为自然对数的底数． (1)当m ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求m 的值．解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)．求导得f ′(x )＝－1＋1x，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.由表可知f (x )(2)求导得f ′(x )＝m ＋1x.①当m ≥0时，f ′(x )>0恒成立，此时f (x )在(0，e]上单调递增，最大值为f (e)＝m e ＋1＝－3，解得m ＝－4e，不符合要求；②当m <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－1m，若－1m≥e，此时f ′(x )≥0在(0，e]上恒成立，此时f (x )＝在(0，e]上单调递增，最大值为f (e)＝m e ＋1＝－3，解得m ＝－4e，不符合要求；若－1m<e ，此时f ′(x )>0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－1m 上成立，f ′(x )<0在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1m ，e 上成立，此时f (x )在(0，e]上先增后减，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝－3，解得m ＝－e 2，符合要求．综上可知，m 的值为－e 2.2．已知函数f (x )＝ax －1＋ln x ，其中a 为常数．(1)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 时，若f (x )在区间(0，e)上的最大值为－4，求a 的值； (2)当a ＝－1e 时，若函数g (x )＝|f (x )|－ln x x －b2存在零点，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a ＋1x ，令f ′(x )＝0得x ＝－1a，因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ，所以0<－1a <e ，由f ′(x )>0得，0<x <－1a；由f ′(x )<0得，－1a<x <e.从而f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e ，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－4，解得a ＝－e 2.(2)函数g (x )＝|f (x )|－ln x x －b 2存在零点，即方程|f (x )|＝ln x x ＋b2有实数根，由已知，函数f (x )的定义域为{x |x >0}，当a ＝－1e 时，f (x )＝－xe －1＋ln x ，所以f ′(x )＝－1e ＋1x ＝－x －ee x，当0<x <e 时，f ′(x )>0；当x >e 时，f ′(x )<0. 所以f (x )的增区间为(0，e)，减区间为(e ，＋∞)，所以f (x )max ＝f (e)＝－1，所以|f (x )|≥1. 令h (x )＝ln x x ＋b 2，则h ′(x )＝1－ln xx 2.当0<x <e 时，h ′(x )>0；当x >e 时，h ′(x )<0.从而h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以h (x )max ＝h (e)＝1e ＋b2，要使方程|f (x )|＝ln x x ＋b2有实数根，只需h (x )max ≥1即可，故b ≥2－2e.即所求实数b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－2e ，＋∞. 3．函数f (x )＝a ln x ＋a ＋12x 2＋1.(1)当a ＝－12时，求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最值； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)当－1<a <0时，有f (x )>1＋a2ln(－a )恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－12时，f (x )＝－12ln x ＋x24＋1，∴f ′(x )＝－12x ＋x 2＝x 2－12x .∵f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴由f ′(x )＝0，得x ＝1，∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最值只可能在f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，f (e)取到，而f (1)＝54，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝32＋14e 2，f (e)＝12＋e24，f (x )max ＝f (e)＝12＋e 24，f (x )min ＝f (1)＝54.(2)f ′(x )＝a ＋x 2＋ax，x ∈(0，＋∞)．①当a ＋1≤0，即a ≤－1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ②当a ≥0时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当－1<a <0时，由f ′(x )>0得x 2>－aa ＋1， ∴x >－aa ＋1或x <－－aa ＋1(舍去)， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－a a ＋1，＋∞上递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a a ＋1上递减；综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上递增；当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－a a ＋1，＋∞上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a a ＋1上递减；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上递减． (3)由(2)知，当－1<a <0时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋1，即原不等式等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋1>1＋a 2ln(－a )，即a ln－a a ＋1＋a ＋12·－a a ＋1＋1>1＋a2ln(－a )，整理得ln(a ＋1)>－1，∴a >1e－1，又∵－1<a <0，∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1，0. 4．已知函数f (x )＝x 2－ax ，g (x )＝ln x ，h (x )＝f (x )＋g (x )．(1)若函数y ＝h (x )的单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，求实数a 的值； (2)若f (x )≥g (x )对于定义区域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设函数y ＝h (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，若h (x 1)－h (x 2)>m 恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意可知，h (x )＝x 2－ax ＋ln x (x >0)，则h ′(x )＝2x 2－ax ＋1x(x >0)，若h (x )的单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则h ′(1)＝h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，解得a ＝3，而当a ＝3时，h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x＝x －x －x(x >0)．由h ′(x )<0，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即h (x )的单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以a ＝3. (2)由题意知x 2－ax ≥ln x (x >0)， ∴a ≤x －ln xx(x >0)．令φ(x )＝x －ln x x (x >0)，则φ′(x )＝x 2＋ln x －1x2， ∵y ＝x 2＋ln x －1在(0，＋∞)上是增函数，且x ＝1时，y ＝0. ∴当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0.即φ(x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴φ(x )min ＝φ(1)＝1，故a ≤1. 即实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)由题意可知，h (x )＝x 2－ax ＋ln x (x >0)，则h ′(x )＝2x 2－ax ＋1x(x >0)．可得方程2x 2－ax ＋1＝0(x >0)有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∵x 1x 2＝12，∴x 2＝12x 1∈(1，＋∞)，且ax 1＝2x 21＋1，ax 2＝2x 22＋1，h (x 1)－h (x 2)＝(x 21－ax 1＋ln x 1)－(x 22－ax 2＋ln x 2)＝－＝x 22－x 21＋ln x 1x 2＝x 22－14x 22－ln(2x 22)(x 2>1)．设L (x )＝x 2－14x 2－ln(2x 2)(x >1)，则L ′(x )＝x 2－22x3>0(x >1)，∴L (x )在(1，＋∞)上是增函数，L (x )>L (1)＝34－ln 2，即h (x 1)－h (x 2)>34－ln 2，∴m ≤34－ln 2.即m 的最大值为34－ln 2.。

2017届高考数学(理)一轮复习同步基础训练第2章-第9课时《函数与方程》(通用版含解析)

第二章第9课时【A 级】基础训练1．(2015·山东淄博模拟)若方程xlg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z)上，则k 等于( )A ．－2B ．1C ．－2或1D ．0解析：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x ，在同一直角坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的图像，如图所示，由图像可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1.故选C.答案：C2．(2015·北京海淀模拟)函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析：∵f(12)＝log 212－2＝－3＜0，f(1)＝log 21－1＝－1＜0，f(2)＝log 22－12＝12＞0，∴函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为(1,2)，故应选C. 答案：C3．(2013·高考湖南卷)函数f(x)＝ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出两个函数的图像，利用数形结合思想求解．g(x)＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x 与g(x)＝(x －2)2的图像(如图)．由图可得两个函数的图像有2个交点．答案：C4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2|x|＋12，x≤0|lgx|－1，x>0的零点个数为________．解析：作出函数f(x)的图像，从图像中可知函数f(x)的零点有4个．答案：45．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________.解析：∵2<a<3<b<4，当x ＝2时，f(2)＝log a 2＋2－b<0；当x ＝3时，f(3)＝log a 3＋3－b>0，∴f(x)的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2. 答案：26．(2014·高考天津卷)已知函数f(x)＝|x 2＋3x|，x ∈R.若方程f(x)－a|x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像，将方程根的个数问题转化为两图像交点的个数问题求解．设y 1＝f(x)＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像如图所示．由图可知f(x)－a|x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x|与y 2＝a|x －1|的图像有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝－有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a)x ＋a ＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a 2－10a ＋9>0，解得a<1或a>9.又由图像得a>0，∴0<a<1或a>9. 答案：(0,1)∪(9，＋∞)7．(2015·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m·2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.8．(2015·海淀区高三期末)已知函数f(x)＝e x(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝e x(x2＋ax－a)可得f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)令f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．当－(a＋2)＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：－.由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋2))＝e a＋2因为函数f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋2)，＋∞)上的增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a·(－a)＞－a，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a . 【B 级】能力提升1．(2015·沈阳四校联考)已知函数f(x)＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：依题意得，a ＞1,0＜b ＜1，则f(x)为R 上的单调递增函数，又f(－1)＝1a －1－b＜0，f(0)＝1－b ＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此x 0∈(－1,0)，n ＝－1，选B.答案：B2．(2015·豫西五校联考)已知符号函数sgn(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞00，x ＝0－1，x ＜0，则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意得，当x ＞1时，ln x ＞0，sgn(ln x)＝1，f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x ＝1－ln 2x ，令1－ln 2x ＝0，得x ＝e 或x ＝1e ，结合x ＞1，得x ＝e ；当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x)＝0，f(x)＝－ln 2x ，令－ln 2x ＝0，得x ＝1，符合；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，sgn(ln x)＝－1，f(x)＝－1－ln 2x ，令－1－ln 2x ＝0，得ln 2x ＝－1，此时无解．因此，函数f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x 的零点个数为2.答案：B3．(2014·高考山东卷)已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：作出函数的图像，用数形结合思想求解．先作出函数f(x)＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx 过A 点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案：B4．若函数f(x)的图像是连续不断的，根据下面的表格，可断定f(x)的零点所在的区间为________(只填序号)．①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)间．答案：③④⑤5．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．解析：∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f(x)＝x 2－x －6. ∵不等式af(－2x)>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x<1.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x<16．(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝f(x)与y ＝a 的图像，根据图像交点个数得出a 的取值范围．作出函数y ＝f(x)在[－3,4]上的图像，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图像可得0<a<12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，127．已知函数f(x)＝|x|x ＋2，如果关于x 的方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．解：∵f(x)＝|x|x ＋2，∴原方程即|x|x ＋2＝kx 2.(*)①x ＝0恒为方程(*)的一个解．②当x<0且x≠－2时，若方程(*)有解，则－x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx ＋1＝0.当k ＝0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k 2－4k≥0，即k<0或k≥1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有解．设方程kx 2＋2kx ＋1＝0的两个根分别是x 1、x 2，则x 2＋x 2＝－2，x 1x 2＝1k.当k>1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个不等的负根；当k ＝1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个相等的负根；当k<0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有一个负根． ③当x>0时，若方程(*)有解，则x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx －1＝0. 当k ＝0时，方程kx 2＋2kx －1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k 2＋4k≥0，即k≤－1或k>0时，方程kx 2＋2kx －1＝0有解．设方程kx 2＋2kx －1＝0的两个根分别是x 3、x 4，则x 3＋x 4＝－2，x 3x 4＝－1k.当k>0时，方程kx 2＋2kx －1＝0有一个正根；当k≤－1时，方程kx 2＋2kx －1＝0没有正根．综上可得，当k ∈(1，＋∞)时，方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解．。

届高考理科数学第一轮复习基础达标演练

A 级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·荆州二检)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．答案 C2．(2012·银川模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为( )． A.52 B.72 C ．2 D ．3解析由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 答案 B3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )． A.54 B ．5 C.52 D. 5解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a x ，由方程组⎩⎨⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y 得，x 2－ba x＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 答案 D4．(2011·全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )． A.45 B.35 C ．－35 D ．－45解析设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由题意得点F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝2x －4消去y 得x 2－5x ＋4＝0，x ＝1或x ＝4，因此点A (1，－2)、B (4,4)，F A →＝(0，－2)，F B →＝(3,4)，cos ∠AFB ＝F A → ·F B →|F A →||F B →|＝0×3＋?－2?×42×5＝－45，选D.答案 D5．(2011·兰州模拟)已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )．A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43解析由题意知焦点F (1,0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 中化简得k y 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，①y 1y 2＝－4，②又由F A →＝－4FB →可得y 1＝－4y 2，③ 联立①②③式解得k ＝±43. 答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·北京东城检测)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8. 答案 87．(2012·东北三校联考)已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．解析设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2?x 2＋x 1?y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案 4x －y －7＝08．(2011·河南洛阳、安阳统考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．解析由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，两式相减得x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 答案 x ＋y ＝0 三、解答题(共23分)9．(★)(11分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过F 1的直线l与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．思路分析第(1)问由椭圆定义可求；第(2)问将直线l 与椭圆联立方程组，利用弦长公式求解．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4?1－b 2??1＋b 2?2－4?1－2b 2?1＋b 2＝8b 4?1＋b 2?2，解得b ＝22. 10．(12分)(2011·陕西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解 (1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得 x 225＋?x －3?225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝45(x 1＋x 2－6)＝45(3－6)＝－125. ∴x 1＋x 22＝32，y 1＋y 22＝－65.即中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.B 级综合创新备选 (时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(★)直线y ＝k x ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )．A ．4 B.433 C ．2 D ．不能确定解析 (筛选法)直线y ＝k x ＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A 、C ；将直线y ＝k x ＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.故选B. 答案 B【点评】本题通过运动的观点，得到直线在各种位置下的情形，从而排除错误选项，得到正确答案，避免了冗长的计算.2．(2011·四川)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )． A ．(－2，－9) B ．(0，－5) C ．(2，－9)D ．(1，－6)解析由已知得抛物线经过(－4,11－4a )和(2,2a －1)两点，过这两点的割线斜率k ＝2a －1－?11－4a ?2－?－4?＝a －2.于是，平行于该割线的直线方程为y ＝(a －2)x ＋b . 该直线与圆相切，所以b 21＋?a －2?2＝365. 该直线又与抛物线相切，于是(a －2)x ＋b ＝x 2＋ax －5有两个相等的根，即由方程x 2＋2x －5－b ＝0的Δ＝0得b ＝－6，代入b 21＋?a －2?2＝365，注意到a ≠0，得a ＝4.所以抛物线方程为y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，顶点坐标为(－2，－9)．答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·揭阳模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63.答案 634．(2012·金华模拟)已知曲线x 2a －y 2b ＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ→＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．解析将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2aa －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1. 所以2a ＋2ab a －b－2a a －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2. 答案 2三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点．(1)解设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎨⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0， ∵Δ＞0，∴m ＞0或m ＜－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m2， ∴x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫5－y 14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－y 24＝10＋m 8. 再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 33＝m2，y 1＋y 2＋y 33＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝11m8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫11m 8－10.∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k x ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0，将直线y ＝k x ＋b 代入抛物线方程，得k y 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q 162＝b2k 2，∴b 2k 2＋16bk ＝0，∵k ≠0，b ≠0，∴直线PQ 的方程为y ＝k x －16k ，PQ 过点(16,0)；当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ， ∴△POQ 为等腰三角形，由⎩⎨⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)，∴直线PQ 恒过定点(16,0)．6．(12分)(2011·福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解法一 (1)依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝?2－0?2＋?0－2?2＝22，故所求圆的方程为 (x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l ′的方程为y ＝－x －m ，由⎩⎨⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y 得 x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； (2)当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．法二 (1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎨⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2. 所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同法一．。

高考理科数学第一轮复习测试题73

A 级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )．A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8解析由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3 答案 B2．(2011·武汉调研)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为( )．A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析记抽验的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92. 答案 C3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )． A.15 B.25 C.35 D.45解析记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 的概率的并集．P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.答案 C4．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为()．A．0.40 B．0.30 C．0.60 D．0.90解析依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.答案 A5．(2011·浙江)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()．A.110 B.310 C.35 D.910解析法一(直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为910，故选D.法二(间接法)：至少一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球共1种取法，故所求概率为1－110＝910，故选D.答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．解析“乙不输”包含“两人和棋”和“乙获胜”这两个事件，并且这两个事件是互斥的，故“乙不输”的概率为：12＋13＝56.答案5 67．(2012·郑州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23. 答案 238．(2011·长春模拟)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．解析设3只白球为A ，B ，C,1只黑球为d ，则从中随机摸出两只球的情形有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd 共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求的概率为12. 答案 12三、解答题(共23分)9．(11分)盒中仅有4只白球，5只黑球，从中任意取出一只球． (1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解 (1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此，它是不可能事件，它的概率为0.(2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是49.(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此，它是必然事件，它的概率为1.10．(12分)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：求：(1)(2)至少2人排队的概率．解记“没有人排队”为事件A ，“1人排队”为事件B ，“2人排队”为事件C ，A 、B 、C 彼皮互斥．(1)记“至多2人排队”为事件E ，则P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D .“少于2人排队”为事件A ＋B ，那么事件D 与事件A ＋B 是对立事件，则P (D )＝1－P (A ＋B )＝1－[P (A )＋P (B )]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.B 级综合创新备选 (时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( )． A ．P (M )＝13，P (N )＝12 B ．P (M )＝12，P (N )＝12 C ．P (M )＝13，P (N )＝34D ．P (M )＝12，P (N )＝34解析 Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M ＝{(正，反)，(反，正)}，N ＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P (M )＝12，P (N )＝34. 答案 D2．(2011·江苏)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是( )． A.16 B.13 C.19 D.12解析采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为13. 答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)．其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求概率为34. 答案 344．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95. 答案 0.95三、解答题(共22分)5．(10分)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到⎩⎪⎨⎪⎧ 14＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，P (B )＋P (C )＝512，P (C )＋P (D )＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝13.∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是14，16，13.6．(12分)(2012·温州模拟)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．解记A i表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，B j表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛．A＝A3A4＋B3B4.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.。