新北师大版九年级数学上册课时集训：2.6 应用一元二次方程学案.doc

新北师大版九年级数学上册课时集训：2.6 应用一元二次方程学案列一元二次方程解应用题的步骤可归结为__审__、__设__、__列__、__解__、__验__、__答__．知识点：利用一元二次方程解决几何问题1．从一块正方形的木板上锯掉一块2 cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 cm2，那么原正方形木板的面积是(C)A．8 cm2B．8 cm2或64 cm2C．64 cm2D．36 cm22．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(D)A．2x·x＝24B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24D．(10－2x)(8－x)＝48,第2题图),第3题图) 3．小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．如果这个无盖的长方体底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为(C)A．2 cm B．1 cmC．0.5 cm D．0.5 cm或9.5 cm4．(2014·宿迁)一块矩形菜地的面积是120 cm2，如果它的长减少2 cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是__12__cm.5．已知小明与小亮两人在同一地点，若小明向北直走160 m，再向东直走80 m，可到购物中心，则小亮向西直走__220__m后，他与购物中心的距离为340 m.6．(2014·牡丹江)现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得__x2－70x＋825＝0__．7．(教材习题改编)如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A 点开始沿AB边向点B以1 cm的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则点P，Q分别从点A，B同时出发，经过__2或4__秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.8．如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．解：∵用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，∴5(x2＋17)＝6(x2＋2x)，整理，得x2＋12x－85＝0，(x＋6)2＝121，解得x1＝5，x2＝－17(不合题意，舍去).5×(52＋17)×2＝420(cm)．答：这两段铁丝的总长为420 cm9．为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，我市某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30－2x)(20－x)＝532.整理，得x2－35x ＋34＝0.解得，x1＝1，x2＝34.∴34＞30(不合题意，舍去)，∴x＝1.答：小道进出口的宽度应为1米10．如图，两艘船同时从A点出发，一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行，另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行，几小时后两船正好相距100海里？解：设x 小时后两船相距100海里，根据题意，得(15x )2＋(20x )2＝1002，解得x 1＝4，x 2＝－4(舍去)．答：4小时后两船相距100海里11．如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5x m.(1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．解：(1)作BH ⊥AD 于点H ，则AH ＝3x ，由BC ＝DH ＝20－9x 得AD ＝20－6x (2)由2(20－9x )＋3x ＋9x ≤30得x ≥53，由12[(20－9x )＋(20－6x )]×4x ＝50得3x 2－8x ＋5＝0，∴x 1＝53，x 2＝1(舍去)，∴5x ＝253.答：AB 的长为253米12．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，则A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B12，得方程__(x＋0.7)2＋22＝2.52__，解方程，得x1＝__0.8__，x2＝__－2.2(舍去)__，∴点B 将向外移动__0.8__米．(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．解：【问题一】不会是0.9米．若AA1＝BB1＝0.9，则A1C＝2.4－0.9＝1.5，B1C＝0.7＋0.9＝1.6, 1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，∵A1C2＋B1C2≠A1B12，∴该题的答案不会是0.9米．【问题二】有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x＋0.7)2＋(2.4－x)2＝2.52，解得：x＝1.7或x＝0(舍去)．∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B 向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等第2课时利用一元二次方程解决营销问题1．商品利润＝__售价__－__进价__．利润率＝____×100%.2．平均增长率公式为b＝__a(1＋x)n__，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数．平均降低率公式为b＝__a(1－x)n__，其中a为起始量，b为终止量，x 为平均降低率，n为降低次数．知识点一：利润问题1．(2014·泰安)某种花卉每盆盈利与每盆株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)A．(3＋x)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝152．某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1 400元，每件应降价__6或10__元．3．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元，请问她购买了多少件这种服装？解：∵80×10＝800(元)<1 200元，∴小丽买的服装数大于10件．设她购买了x件这种服装，根据题意，得x[80－2(x－10)]＝1 200.解得x1＝20，x2＝30.∵1 200÷30＝40<50，∴x2＝30不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装知识点二：增降率问题4．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是(B)A．438(1＋x)2＝389B．389(1＋x)2＝438C．389(1＋2x)＝438D．438(1＋2x)＝3895．(2014·海南)某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是(B)A．100(1＋x)2＝81B．100(1－x)2＝81C．100(1－x%)2＝81 D．100x2＝816．(2014·随州)某小区2012年屋顶绿化面积为2 000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2 880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是__20%__．7．(2014·宜宾)某企业五月份的利润是25万元，预计七月份利润将增加11万元，则六、七月份的平均增长率是__20%__．8．某汽车配件公司4月份产值1 000万元，到6月份总产值到达了3 640万元，则平均每月产值的增长率是__20%__．9．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400(1＋10%)(1＋x)2＝633.6，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%10．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则(C)A．50(1＋x2)＝196B．50＋50(1＋x2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝19611．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求两轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均每人传染了x个，1＋x＋x(x＋1)＝64，x＝7或x＝－9(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人(2)64×7＝448(人)．答：第三轮将又有448人被传染12．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销售，决定降价销售(根据市场调查，单价每降价1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果销售这批旅游纪念品共获利1 250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意得200×(10－6)＋(10－x－6)(200＋50x)＋(4－6)[600－200－(200＋50x)]＝1 250，整理，得50x2－100x＋50＝0，即x2－2x＋1＝0.解得x＝1.∴10－1＝9(元)．答：第二周每个纪念品的销售价格为9元13．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7 200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？解：(1)(360－280)×60＝4 800(元)(2)设每件商品应降x元，根据题意，得(360－280－x)(60＋5x)＝7 200，解得x1＝8，x2＝60，为减少库存，则x＝60，答：每件商品应降价60元14．某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降价0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万．(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为__26.8__万元；(2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利＝销售利润＋返利)解：设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－(x－1)×0.1＝27.1－0.1x(万元)．若x≤10，则(28－27.1＋0.1x)x＋0.5x＝12，解得x1＝6，x2＝－20(不合题意，舍去)；若x>10，则(28－27.1＋0.1x)x＋x＝12，解得x3＝5(∵x>10，舍去)，x4＝－24(不合题意，舍去)，∴公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车专题(六) 一元二次方程的应用一、传播问题 1．(2014·天津)要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队员之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( B )A.12x (x ＋1)＝28B.12x (x －1)＝28 C ．x (x ＋1)＝28 D ．x (x －1)＝282．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，请你用学过的一元二次方程模型分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效地控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？解：设平均一台电脑会感染x 台电脑，根据题意得1＋x ＋(1＋x )x ＝81，解得x 1＝8，x 2＝－10(舍去)，即平均一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染电脑台数为81＋81×8＝729>700，即3轮感染后，被感染的电脑会超过700台二、增长率与利润问题3．据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，去年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了．假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使明年的利用率提高到60%，求每年的增长率．(取2≈1.41)解：设每年的增长率为x ，秸杆总量为a ，则有30%a (1＋x )2＝60%a ，解得x 1≈0.41＝41%，x 2≈－2.41(不合题意，舍去)．答：每年的增长率为41%4．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1＋x )2__万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x .解：由题意，得4＋2.6(1＋x )2＝7.146，解得：x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%5．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获得2240元的利润，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？解：(1)设每千克核桃应降价x 元，根据题意得(60－x －40)(100＋x2×20)＝2 240.化简得x 2－10x ＋24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6，则每千克核桃应降价4元或6元 (2)∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元，此时，售价为60－6＝54(元)，5460×100%＝90%，则该店应按原售价的九折出售6．(2014·随州)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．(1)设当月该型号汽车的销售量为x 辆(x ≤30，且x 为正整数)，实际进价为y 万元/辆，求y 与x 的函数关系式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)解：(1)由题意，得当0<x ≤5时，y ＝30，当5<x ≤30时，y ＝30－0.1(x －5)＝－0.1x＋30.5，∴y ＝⎩⎨⎧30（0<x ≤5，x 为整数）－0.1x ＋30.5（5<x ≤30，x 为整数）(2)当0<x ≤5时，(32－30)×5＝10<25，不符合题意，当5<x ≤30时，[32－(－0.1x ＋30.5)]x ＝25，解得x 1＝－25(舍去)，x 2＝10.答：该月需售出10辆汽车三、面积问题7．已知菱形的周长为40，两对角线之比为3∶4，则两对角线的长分别为__12和16__．8．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．求：(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？(3)若墙长为a 米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？解：(1)设鸡场的宽为x m ，根据题意得：x (33＋2－2x )＝150，解得x 1＝152，x 2＝10，当x ＝152时，长为33＋2－2×152＝20>18(舍去)，当x ＝10时，33＋2－2×10＝15，即鸡场的长和宽分别为15 m ，10 m(2)令x (35－2x )＝200，Δ<0，即鸡场的面积不可能达到200 m 2 (3)起限制作用，当a ≥20时，有两解，当15≤a<20有一解，当0<a<15时无解9．要在一块长52 m ，宽48 m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m ，剩余的四块绿地面积共2300平方米． 小颖设计的方案如图②所示，BC ＝HE ＝x ，AB ∥CD ，HG ∥EF ，AB ⊥EF ，∠1＝60°. (1)求小亮设计方案中甬路的宽度x ；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x 与小亮设计方案中的x 取值相同)解：(1)根据小亮的设计方案列方程得(52－x )(48－x )＝2 300，解得x 1＝2，x 2＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m (2)易证四边形ADCB 为平行四边形，由(1)得x＝2，∴BC ＝HE ＝2＝AD ，过点A 作AI ⊥CD 于点I ，则ID ＝12AD ＝1，∴AI ＝3，∴小颖设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2 299(m 2)10．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面如图所示)．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙的建造单价为每米400元，中间两条隔墙的建造单价为每米300元，池底的建造单价为每平方米80元(池墙的厚度忽略不计)．当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x .解：(2x ＋200x ×2)·400＋200x×2×300＋200×80＝47 200，整理得x 2－39x ＋350＝0，解得x 1＝25(舍去)，x 2＝14。