方阵的零因子

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零矩阵是每个元素都是0吗

零矩阵是每个元素都是0吗
究竟什么是零矩阵？其实零矩阵就是指“每个元素都等于0”的矩阵，由此可见，如果一个矩阵中的每个元素都是整数0，Per-element则可以说它就是一个零矩阵。

除此之外，零矩阵广泛地应用于数学、生活中，比如：它是一个行和列都等于0的方阵，也可用于描述一个没有大小的方阵，或者用于解释一个国家失业率达零的状态。

另外，零矩阵在游戏中也会派上用场，例如英雄联盟游戏中，玩家可以使用零矩阵矩阵来进行特定技能的行动，此类行动会使得玩家可以巧妙地击杀敌方并造成不可能抵抗的情况，而且也可以在英雄联盟营销活动中使用零矩阵，作为元素内容供游戏用户投入游戏。

此外，零矩阵也不少生活中的涉及，比如在充电桩的运营中，可以使用零矩阵来预测合理时间段和价格，以吸引最多的充电桩使用者；或者在生活中，当对某一特定事件的发展预测经过广泛的研究后，发现该事件可能发生的可能性不高，可以用零矩阵来表示发生的可能性为零。

总而言之，零矩阵不仅仅是每个元素都是0，而是一个被广泛应用在数学、游戏、和生活之中的工具。

它可以被应用到极其广泛的场景中，解决大量难题，事半功倍，成为当下人们生活、工作和娱乐中不可或缺的重要工具。

方阵的零因子

例如袁A=晌尚上上上
0 0
1 0
裳捎梢梢梢时袁X=晌尚上上上
0 0
0 1
裳捎梢梢梢是 A 的左零因子袁
但不是右零因子.
2 主要结论
定理 2-1 若 X,Y 是 A∈ Pn× n 的左渊右冤零因子袁则
1冤 kX+lY 也是 A 的左渊右冤零因子袁其中 k,l 是数域 P 中
任意数曰
2冤 XY 也是 A 的左渊右冤零因子曰 3冤 Xm 也是 A 的左渊右冤零因子袁其中 m 是正整数曰 4冤 XT 是 AT 的右渊左冤零因子曰 5冤 X* 是 A* 的右渊左冤零因子曰 6)坌B∈ Pn× n,BX(XB)仍是 A 的左渊右冤零因子. 证明若 X,Y 是 A 的左零因子袁则 XA=0,YA=0. 1冤因为(kX+lY)A=k(XA)+l(YA)=k0+l0=0 袁所以 kX+lY 也是 A 的左零因子. 2冤因为(XY)A=X(YA)=X0=0 袁所以 XY 也是 A 的左零因子. 3冤因为 XmA=Xm-1(XA)=Xm-10=0袁所以 Xm 也是 A 的左零因子. 4冤因为 ATXT=(XA)T=0T=0袁所以 XT 是 AT 的右零因子. 5冤因为 A*X*=(XA)*=0*=0 袁所以 X* 是 A* 的右零因子. 6冤因为(BX)A=B(XA)=B0=0 袁所以 BX 是 A 的左零因子. 同理可证 X,Y 是 A 的右零因子时袁结论也成立. 由定理 2-1 可知若 A∈ Pn× n 有左渊右冤非零零因子袁则 A 一定有无穷多个左渊右冤零因子袁而且有下列推论. 推论 2-2 矩阵 A∈ Pn× n 的所有左渊右冤零因子集合袁构成线性空间 Pn× n 的子空间. 推论 2-3 矩阵 A∈ Pn× n 的所有左渊右冤零因子集合袁构成矩阵环 Pn× n 的左渊右冤理想. 定理 2-4 设 A∈ Pn× n袁则 A 有非零左渊右冤零因子圳r (A)<n. 证明渊圯冤设 X 是 A 的非零左零因子袁则 XA=0. 若 r (A)=n袁则 A 可逆袁于是有 X=X(AA-1)=(XA)A-=0A-1=0袁这与 X 是非零矩阵矛盾袁故 r(A)<n.

零因子、消去律和可逆元之间的联系与区别。

在数学上，所谓零因子是指不依赖任何其它的因子而独立存在的自变量。

零因子定理：若存在着一个与实数集上的所有自变量相关且可以表示为这些自变量之和的因子，则称这个因子是这个自变量的零因子。

例如， f是自变量x=1， y=2的实函数。

显然， f中只含有自变量，不含有其它因子，所以f是x=1， y=2的实函数。

这时的零因子就是指x=1， y=2。

这样的零因子也称为常因子。

如果一个因子f不仅与自变量x， y相关，而且与实数集上的所有的实数都相关，则称f为一个零因子。

显然，零因子必须依赖于自变量，即由自变量引起的零因子存在。

但零因子的概念与等号左边的内容没有直接的联系。

(1)将“ X=”写成“ Y=”或“ Z=”，然后进行下列操作：①求出x， y的值；②代入到原方程式中，检查两端是否相等，相等说明x、 y的关系为常数。

③代入到x-y-z这个三角形中去。

(2)定义f。

在x=0处的值为零因子。

(3)取一个零因子，设其取值为x，若则必有因子(x)=0。

(4)定义关于因子取值的对称函数f(x， y)。

关于因子取值的对称函数的概念及其证明。

1）若f的解析式为f(x， y)=x， y+ z，即f(x， y)=f(x， 0)那么称f为一个关于因子取值的对称函数。

2）当对称函数f(x， y)=0时， f也是关于因子取值的对称函数，并且这个函数也是单调递增的，我们把这种情况称为关于因子取值的正对称性。

3）若有f：(x， y)是非负函数，并且满足f(x， 0) =0，(y-0)^2+4y-8x-5=0，则称f为关于因子取值的正对称函数。

4）若有f：(x， y)是非负函数，并且满足f(x， 0) =0， y^2+16y-16=0，y^2+6y-12x-10=0，则称f为关于因子取值的正对称函数。

对于多元函数，只要可逆元数目存在，就能够保证多个零因子。

零因子的零点必须有个别的存在，而且零因子的零点只有一个。

近世代数之交换律、单位元、零因子、整环

③ ①② ④
若 R 是环,令 R * {a R | a 0}. 于是 ,可用 R* 的性质来刻划 R 是否有零因子.
定理 3.2.2 R是无零因子环当且仅当〈R*,〉是半群.
证明 R是无零因子环当且仅当 a 0,b 0.(a,b R*),都有ab 0；
即 ab R*当且仅当R*是封闭的当且仅当 R*是半群.
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
第三章
环
和
域
第 17 讲
第三章环与域
§2 交换律、单位元、零因子、整环.
((Commutatine Law,unity,divisor of zero and integral domain) )
本讲教学目的和要求: 由环的定义知,环R,,是在
某集合 R 上定义了两种代数运算,而这二个运算又通过分配律建立了彼此的联系.很明显,环中的这两种运算对算法的要求是很不平衡的 .特别是环中的乘法只要求满足半群—乘法封闭和结合律.这为环在乘法方面留下了很大的余地,一旦某些乘法方面再满足其它一些条件,则就变成了一些特殊的类型的环.
在幺环R中,若a可逆,那么a 的逆元必是唯一的, 习惯上记为a1,显然(a1)1 a.
由定义可知，只有在幺环中才能讨论逆元的问题，并且即使 R, ,,1R 是幺环,也不能保证每个元素都可逆.
说明
1、环的可逆元也称为的单位.
注意单位元与单位的区别: 在一个环中, 单位元如果有的话是唯一的, 即 . 但单位可以有许多. 单位元也是单位(即: 可逆元), 它的逆元是它自己.

消零因子法

消零因子法在代数学中，消零因子法是一种用于解方程的方法，它可以帮助我们找到方程中的零因子并进行消除。

这种方法常常用于解多项式方程，特别是在求解根的过程中非常有用。

消零因子法的基本思想是将方程转化为一个等价的方程，使得这个新方程中不存在零因子。

这样一来，我们就可以通过分别求解每个因子为零的等式来找到方程的解。

下面我们将详细介绍消零因子法的具体步骤。

我们需要将方程变形为一个多项式等于零的形式，即将方程左边的所有项移到右边，使等式右边为零。

例如，如果我们要解方程x^2 + 3x - 10 = 0，我们可以将它变形为x^2 + 3x - 10 = 0。

接下来，我们需要因式分解这个多项式。

通过因式分解，我们可以将多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积都是一个因子。

例如，对于上述的多项式x^2 + 3x - 10，我们可以将它因式分解为(x + 5)(x - 2) = 0。

然后，我们需要将每个因子单独设置为零，并求解得到每个因子的解。

例如，对于上述的因式分解(x + 5)(x - 2) = 0，我们可以得到两个等式x + 5 = 0和x - 2 = 0，从而求得x的两个可能解为x = -5和x = 2。

我们需要验证这些解是否满足原方程。

将每个解代入原方程，如果代入后等式成立，则该解为原方程的解；如果代入后等式不成立，则该解不是原方程的解。

例如，将上述的两个解分别代入原方程x^2 + 3x - 10 = 0中，我们可以验证得到(-5)^2 + 3(-5) - 10 = 0和2^2 + 3(2) - 10 = 0，因此这两个解都是原方程的解。

消零因子法的优点在于，它可以将原方程转化为若干个较简单的等式，从而更容易求解。

通过分别求解每个因子为零的等式，我们可以得到所有的解。

同时，消零因子法也可以帮助我们发现隐藏的解，即那些在原方程中不明显的解。

然而，消零因子法也有一些限制。

首先，它只适用于可因式分解的多项式方程。

n阶方阵的零化多项式的存在唯一性结论

n阶方阵的零化多项式的存在唯一性结论n阶方阵的零化多项式的存在唯一性结论是美国数学家山姆吉尔伯特所提出的。

他指出，任何n阶方阵的零化多项式都可以由一个非零元素组成，求解n阶方阵的零化多项式可以有效地简化其它数学问题，例如秩定义，矩阵运算等等。

【定义】n阶方阵的零化多项式是指一个数学表达式，它的值在n阶方阵的各个元素上取值为0。

它可以表示为：P(x)=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n=0其中x_1,x_2,x_3,...,x_n为n阶方阵的元素，a_1,a_2,a_3,...,a_n为常数。

【证明】假定P(x)=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n=0为n阶方阵的零化多项式，则易知：a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n=0设P_1(x)=b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+...+b_nx_n=0为另一个n阶方阵的零化多项式，则b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+...+b_nx_n=0将两个方程相减，得(a_1-b_1)x_1+(a_2-b_2)x_2+(a_3-b_3)x_3+...+(a_n-b_n)x_n=0 令A=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3,...,a_n-b_n)，B=(x_1,x_2,x_3,...,x_n)，则有AB=Ax-Bx=0，可得A=B即证。

【结论】由上面的证明可知，任何n阶方阵的零化多项式都可以由一个非零元素组成，且给定任意一个零化多项式，都可以得到一个唯一的解。

也就是说，只要知道一个零化多项式的非零元素，就可以很容易地求出其系数。

这一结论可以有效地简化其它数学问题，例如秩定义，矩阵运算等等。

形矩方阵指标

形矩方阵指标
形矩方阵是一个n x n的矩阵，即矩阵的行数和列数相等。

形
矩方阵的指标包括：
1. 零矩阵指标：如果矩阵的所有元素都为零，则称其为零矩阵。

零矩阵指标为0。

2. 对称矩阵指标：如果矩阵的转置等于它本身，则称其为对称矩阵。

对称矩阵指标为n(n+1)/2，其中n为矩阵的阶数。

3. 反对称矩阵指标：如果矩阵的转置等于它的相反数，则称其为反对称矩阵。

反对称矩阵指标为n(n-1)/2，其中n为矩阵的
阶数。

4. 单位矩阵指标：如果矩阵的主对角线元素全为1，其余元素
全为0，则称其为单位矩阵。

单位矩阵指标为n。

5. 对角矩阵指标：如果矩阵的非主对角线元素全为0，则称其
为对角矩阵。

对角矩阵指标为n。

6. 上三角矩阵指标：如果矩阵的主对角线元素及其以下的元素全为非零，其余元素全为0，则称其为上三角矩阵。

上三角矩
阵指标为n(n+1)/2，其中n为矩阵的阶数。

7. 下三角矩阵指标：如果矩阵的主对角线元素及其以上的元素全为非零，其余元素全为0，则称其为下三角矩阵。

下三角矩
阵指标为n(n+1)/2，其中n为矩阵的阶数。

这些指标可以用来描述矩阵的特性和性质，从而更好地理解和分析矩阵的特点和应用。

方阵问题的所有公式

方阵问题的所有公式方阵问题是一个重要的数学问题，它涉及到多项式，方程，优化算法和抽象代数的研究。

它在研究称为线性代数的科学领域中占有重要地位，广泛应用于建筑，经济，软件开发，生物学，电子学，机械制造，物理学，通信等诸多领域。

它可以用来求解一个或多个未知变量的关系，具有很大的实际意义。

方阵问题的基本概念：方阵是二维的矩阵，其中的每个元素都是对应的一个未知数。

方阵的特点是：其形式为A[m,n]，即m行n列的矩阵。

m行n列的矩阵可以用m个方程组和n个变量来描述，其中每个方程的变量个数不能超过n个。

方阵问题的一般公式：方阵问题的一般公式有三种，分别是高斯消元法，主元分解法和LU分解法。

1.斯消元法：它是对方阵A进行分解的一种常用方法，它将Ax=b 的线性方程组转换为上三角矩阵或下三角矩阵，从而用来解决方阵问题。

要条件是方阵A是正定的或非奇异的。

式如下：A=LU，解决Ax=b，可先求Ly=b，然后求L(Ux)=y，即Ux=y，最后得到x。

2. 主元分解法：它是用于求解线性方程组的一种常用方法，具体步骤如下：步骤1：选择一个主元（主元可以由用户自己选择，也可以由软件自动选择）；步骤2：利用这个主元消去主元后面所有元素；步骤3：重复这个操作，直到消去完所有元素。

3. LU分解法：它是把一个方阵分解为两个对角矩阵的乘积。

以看出，LU分解式是一个矩阵的分解，将原矩阵A分解为L*U，其中L 是下三角阵，而U是上三角阵。

样的分解可以更方便地求解Ax = b 的方程，即Ax = b可以等价为(LU)x = b。

方阵问题的应用：各种数学问题和实际应用中，方阵问题占有重要地位。

一般来说，方阵问题可以用来求解线性方程组，解决优化问题，计算矩阵的特征值，解决多项式求根问题，求解最小二乘问题，研究社会网络，计算矩阵的优化表示和在语音识别方面的应用等等。

总结：方阵问题是一个重要的数学问题，它的的一般公式可以分为高斯消元法、主元分解法和LU分解法。

数学奇闻趣事大全

数学奇闻趣事大全数学是一门非常有趣的学科，它不仅在科学、工程、经济等领域有着广泛的应用，还拥有许多奇闻趣事。

以下是一些有趣的数学奇闻：1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个非常著名的数学序列，它的前两项是1和1，后面的每一项都是前两项的和。

这个数列在自然界的许多现象中都有出现，比如菠萝的鳞片、向日葵的花瓣排列等。

2. 黄金分割：黄金分割是一个非常美丽的数学概念，它指的是一个线段被分为两部分，使得较长部分与原线段的比例等于较长部分与较短部分的比值。

这个比例在艺术、建筑、音乐等领域都有着广泛的应用。

3. 圆周率：圆周率是一个非常神秘的数学常数，它表示圆的周长与直径的比值。

在许多数学问题中，圆周率都会出现，而且它的一些性质也令人惊奇，比如它是一个无理数，无法被任何有理数表示。

4. 高斯分布：高斯分布是一个非常常见的概率分布，它描述了一个连续随机变量在某个区间内的概率分布情况。

高斯分布在许多领域都有应用，比如自然界的许多现象、金融分析等。

5. 分形几何：分形几何是一个非常有趣的数学分支，它研究的是那些在任何尺度下都呈现出相同结构的形状和模式。

比如著名的曼德布罗集、朱利亚集等都是分形几何的典型例子。

6. 囚犯悖论：囚犯悖论是一个非常著名的逻辑悖论，它描述的是三个囚犯在分别接受审讯时的决策情况。

这个悖论表明了逻辑推理和人类行为之间的复杂关系，也引发了许多哲学和数学的讨论。

7. 哥德巴赫猜想：哥德巴赫猜想是一个未解的问题，它指出任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。

这个问题虽然经过了大量的研究，但至今仍未被证明或反驳。

8. 康威生命游戏：康威生命游戏是一个非常有趣的数学游戏，它描述的是一个简单的二维网格世界中的生命演变规则。

这个游戏的有趣之处在于它能够产生出各种各样的复杂模式和行为，而且这些模式和行为都具有自组织和自相似的特点。

9. 四色定理：四色定理是一个关于地图着色的定理，它指出任何一个地图只需要四种颜色就可以区分出彼此不同的区域。

不同阶数的零矩阵代码

不同阶数的零矩阵代码
摘要：
1.零矩阵的定义
2.零矩阵在不同阶数的情况
3.零矩阵的性质
4.零矩阵的应用
正文：
零矩阵是指一个方阵，其元素全部为零。

在数学中，零矩阵是一个重要的概念，它在很多领域都有广泛的应用。

首先，我们来看零矩阵在不同阶数的情况。

零矩阵的阶数可以是任意的，无论是1x1 的零矩阵，还是10x10 的零矩阵，只要其元素全部为零，就可以称为零矩阵。

其次，零矩阵具有很多重要的性质。

例如，零矩阵与任何矩阵相乘，结果都是零矩阵。

这是因为任何数乘以零都等于零。

另外，零矩阵的转置也是零矩阵。

这是因为零矩阵的每一行都是零，那么将其转置后，每一列也都是零。

最后，零矩阵在实际应用中也有很多用途。

例如，在矩阵的运算中，零矩阵常常作为“吸收剂”，用来消除矩阵中的某些元素，使得矩阵的运算更加简便。

求环的全部零因子的例子

求环的全部零因子的例子
零因子，亦称零除元，环的一种特殊的非零元。

环R中一个元a ≠0，若有0≠b∈R使得ab=0或ba=0，称a是环R的零因子，在非交换环中有左、右零因子之分，如上ab=0时，a称左零因子；ba=0时，a称右零因子。

若环R有零因子，则消去律不成立；与零因子意义完全相反的元，即不是零因子的非零元，称为正则元。

数环没有零因子，但在其它环(如矩阵环)里零因子却可能存在，域中不存在有零因子。

例如当x→1时，x-1就是一个零因子。

所谓约零因子，则是在一个分式当中实施“约去”。

例如求分式（xx-1）/(x-1)当x→1时的极限，就有
其中x-1是零因子。

约零因子的意义在于，解决那些分子及分母都趋于0的分式的极限问题。

这类极限是不能直接利用商的极限的运算法则得到的。

一般地，在计算分式的极限时，如果分子及分母都趋于0，则在分子及分母中都存在着使其趋于0的因素——零因子，想办法约去这个零因子，以期求出极限值，这就是我们要做的。

在用法上，从分子分母中提炼出零因子是关键的一步。

提炼零因子的办法有多种，上例中用的是对xx-1进行因式分解的方法，还可以用有理化一些恒等变形等价无穷小替换等方法。

方阵问题的所有公式

方阵问题的所有公式方阵问题是研究高等数学中典型的线性代数问题，它利用矩阵理论中的矩阵解法来求解方阵的解。

例如，一个n阶方阵A的系数可以用一个nxn矩阵来表示，用一组n个未知数来表示方阵A的右端项，它们之间的关系可以用一个n阶方程来表示，这就是方阵问题的基本模式。

顾名思义，方阵问题定义的是在n个未知数之间的关系，主要是关于方程的解。

方阵求解问题是数学中一个重要的方面，有许多解决方阵求解问题的公式，例如最常见的行列式（determinant）、列分解法（column decomposition）、Crammer Rule、Adjugate Matrix等等。

虽然方阵具有一定的抽象性，但是它们的概念实际并不复杂，只要掌握公式就可以很好地理解它们。

行列式是一种重要的方阵公式，它通过行列式的运算来求解方阵的特征值。

行列式的公式是：determinant(A) = a1a2…an其中，a1… an别是A的主对角线上的元素。

行列式运算可以计算出方阵的某个特征值，可以用于解决一系列线性方程组或线性变换问题。

列分解法也是一种常用的方阵求解方法，它的基本原理是，将方阵A分解成多个部分，分别求解每个子方阵Ai的解，最后将每个子方阵Ai的解相加，就可以求解原方阵A的解。

列分解法的公式是： A = A1 + A2 + A3 + + An其中，A1… An分别是方阵A的子方阵。

Crammer Rule也称为Crammer Law，是一种求解n阶方程组的方法。

它的基本思想是，将每个方程的系数和右端项放到一个n阶矩阵中，以此来求解方程组的解。

Crammer Rule的公式是：d1/detA = x1d2/detA = x2d3/detA = x3…dn/detA = xn其中，detA原方阵A的行列式，d1… dn是行列式A的代数余子式，x1…xn是方程组的未知数。

Adjugate Matrix又称为伴随矩阵，它表示一个矩阵的倒数，可以用于求解一些复杂的方阵求解问题（例如求特征矩阵）。

frobenius公式

frobenius公式
Frobenius公式是数学中的一个重要定理，涉及到矩阵的特征多项式和行列式之间的关系。

Frobenius公式的表述如下，对于一个n阶方阵A，其特征多项式可以表示为p(λ) = det(A λI)，其中det表示行列式，I是单位矩阵，λ是一个变量。

Frobenius公式指出，特征多项式的展开式中，每一项的系数可以表示为A的各阶顺序主子式的和与(-1)^n的乘积。

这个公式的重要性在于它提供了一种计算特征多项式系数的方法，而这些系数与矩阵的特征值密切相关。

从线性代数的角度来看，Frobenius公式为我们提供了一种计算矩阵特征多项式系数的途径，使得我们可以更好地理解和分析矩阵的特征值和特征向量。

这对于矩阵的对角化、矩阵的相似性等问题具有重要意义。

从数学应用的角度来看，Frobenius公式在各种工程领域和科学领域都有着广泛的应用。

例如在控制理论、信号处理、物理学中都会涉及到特征值和特征向量的计算，而Frobenius公式提供了一种简洁而有效的方法来处理这些计算问题。

总的来说，Frobenius公式作为数学中的一个重要定理，不仅
在理论研究中具有重要地位，而且在实际应用中也有着广泛的价值。

它为我们理解矩阵特征值与特征向量提供了重要的数学工具，同时
也为各种工程科学问题的求解提供了便利和途径。

zero-product property 数学

zero-product property 数学在数学中，零因子性质（zero-product property）是指两个多项式的乘积为零，当且仅当至少其中一个多项式为零。

换句话说，如果两个多项式相乘等于零，那么至少有一个多项式是零。

这个性质在多项式环中是成立的，其中零是零多项式的乘法单位元。

零因子性质是环论中的基本性质之一，它在代数、几何和物理的许多分支中都有广泛的应用。

这个性质可以推广到任何环中，但下面我们将主要讨论零因子性质在多项式环中的应用。

证明零因子性质为了证明零因子性质，我们可以考虑一个多项式环R[x]，其中R是一个环。

假设p(x) 和q(x) 是R[x] 中的两个多项式，并且p(x)q(x)=0。

这意味着p(x) 和q(x) 的乘积等于零。

根据环的定义，如果两个元素的乘积等于零，那么至少其中一个元素是零。

因此，p(x)=0 或q(x)=0。

这就证明了零因子性质。

例子让我们通过一个例子来说明零因子性质的应用。

考虑多项式p(x)=x2+1 和q(x)=x2−1，定义在有理数域 Q 上。

我们可以计算它们的乘积：p(x)q(x)=(x2+1)(x2−1)=x4−1.现在，p(x)q(x)=0，因为它们相乘的结果是零。

根据零因子性质，我们可以得出结论p(x)=0 或q(x)=0。

但是，这在这个例子中是不成立的，因为p(x) 和q(x) 都不是零多项式。

然而，我们可以重排这些多项式的项，得到：p(x)q(x)=(x2+1)(x2−1)=((x2+1)−1)((x2+1)+1)=(x2+1)2−1.现在我们可以看出，p(x)q(x) 可以分解为两个多项式的乘积，其中一个是 (x2+1)2，另一个是−1。

因此，根据零因子性质，我们可以得出结论 (x2+1)2=0 或−1=0，这是不可能的。

所以这个例子并不能直接应用零因子性质得出结论。

但是，我们可以看到零因子性质在处理多项式时的重要性，特别是在因式分解和化简的过程中。

矩阵运算性质及其应用

第一讲矩阵运算性质及其应用矩阵是数学中的一个重要容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不一样的.一矩阵的概念及其运算方法首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.定义1 由m n ⨯个数字ij a 〔1,2,,i m =，1,2,,j n =〕排成的m 行n 列的数表，称为一个m 行n 列矩阵，简称为m n ⨯型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并用大写字母表示，即111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ⨯型矩阵A 也记作m n A ⨯或m nA ⨯.m n =时，n n ⨯型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A .两个矩阵的行数相等，列数也一样时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B相等，记作A B =.有一些矩阵的元素分布比拟特殊，我们用专门规定的记号来表示，如零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E 〔也记作I 〕，它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.对角矩阵()1212diag ,,,=n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭〔与行列式中一样，不写出的元素就是0〕.下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.定义2 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -.运算方法规定为111112121121212222221122+++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b111112121121212222221122---⎛⎫ ⎪--- ⎪-= ⎪⎪---⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.例如23342334575710517067++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1233132(3)2543244234212112211213-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义3数k 与矩阵()ij m n A a ⨯=相乘的积记作()=kA Ak .运算方法规定为()⨯=ij m nkA ka例如23452535410152053105(3)51501550-⨯-⨯-⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪--⨯--⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义4 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相乘的条件是：n s =. ②A 与B相乘的积记作AB .运算方法规定为AB 的(,)i j 元1122=+++i j i j in nj a b a b a b即A 的第i 行各元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和为AB 的(,)i j 元.例如312322314772⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭233(2)(2)72133(2)(2)134(2)7711437(2)⨯+⨯-+-⨯⨯+⨯+-⨯-⎛⎫= ⎪⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯-⎝⎭1415441-⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义5 设矩阵A 为m n ⨯型，①A 能乘方的条件是：m n =即A 为方阵. ②k 为非负整数，A 的k 次幂记作k A .运算方法规定为1,0,1,2-=⎧⎪==⎨⎪≥⎩kk E k A A k A A k ，例如32232323313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭232323()313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1332331031⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 3536361⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义6 将矩阵A 的行与列互换，得到的矩阵，称为A 的转置.记作'A 或T A ，即111212122212⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n m m mn a a a a a a A a a a 时，112111222212⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭m m nnmn a a a a a a A a a a例如345123⎛⎫= ⎪⎝⎭A 时，314253⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭A定义7 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可取行列式的条件是：m n =即A 为方阵. ②A 的行列式即=ijA a .例如341200111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，21341412002(1)611111+==⨯-=--A注：矩阵A 与行列式A 是完全不同的对象.矩阵A 是一数表，不是数，而行列式A 就是数.记号上，矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.定义8 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 能取伴随的条件是：A 为方阵且2m n =≥. ②A 的伴随记作*A ，并称为A 的伴随矩阵. 运算方法规定为1121112222*12⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n n nnnn A A A A A A A A A A即在A 中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.例如*-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b d b c d c a *123005111264200241-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭222312131213323332332223*111213212311131113212223313331332123313233212211121112313231322122⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 定义9 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可逆的条件是：A 为方阵且0A ≠. ②A 的逆记作1-A ，并称1-A为A 的逆矩阵运算方法规定为2=≥m n 时，1*1-=A A A；1==m n 时，即一阶方阵的逆111111()-=a a .当方阵A 可逆的条件不满足，即0A =时，常说A 不可逆或A 是奇异矩阵。

第15讲第3章第1-2节环的定义,交换律,单位元,零因子

a的n倍元na (5) (-n)a=n(-a) (6) 0a=0 (7) ma+nb=(m+n)a (8) n(ma)=(mn)a (9) n(a+b)=na+nb
规定减法: a b a ( b ), a ,b R 则有移项法则: a b c a c b , a ,b ,c R
河北师范大学
第1-2节加群和环的定义交换环，单位元和零因子
一、加群
环中有两个运算，分别类似于数的加法和乘法。为此我们先介绍加群的概念。
定义1：假如我们把一个交换群的代数运算叫做加法，并且用+来表示,则我们称此群为加群。
基本公式以及符号对比
（乘）群单位元 e (1) ea=ae=a a的逆元a-1 (2) a-1a=aa-1=e (3) (a-1)-1=a
例8在模n的剩余类集合 Z n [0 ],[1 ],[2 ], ,[n 1 ]
上定义 a b a b , [ a ] ,[ b ] Z n
则它是一个交换群，叫做模n的剩余类加群；
再规定乘法： a b a b , [ a ] ,[ b ] Z n
则它做成一个交换环，叫模n的剩余类环，仍记为 Z n 零元为[0],单位元为[1].
（3）可逆元一定不是零因子.
若 a 是可逆元，且有 a b 0 a 1 ( a b ) a 1 0 b 0
定义8 一个没有零因子的环称为无零因子环.
定义9：设a是环R非零元。若ab=ac，必有b=c，则称环R满足左消去律；若ba=ca，必有b=c，则称环R满足右消去律。
(2)若 a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a 1 ,且 (a1)1 a.

矩阵的零次方

矩阵的0次幂是单位矩阵E。

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵。

它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1以外全都为0。

对于单位矩阵，有AE=EA=A。

这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i，j)元，以数aij为(i，j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m ×n，m×n矩阵A也记作Amn。

扩展资料：
在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。

三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

若λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

设λ1，λ2，…，λm是方阵A的互不相同的特征值。

xj是属于λi的特征向量( i=1，2，…，m)，则x1，x2，…，xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

2 交换律、单位元、零因子、整环

§2 交换律、单位元、零因子、整环在一般的环里，乘法不适合交换律.如矩阵环.定义一个环R 称为交换环，若,,.ab ba a b R =∀∈在交换环里(),0.n n n ab a b n =>定义一个环R 的一个元e 叫做一个单位元，若,.ea ae a a R ==∀∈如n 阶矩阵环里的单位矩阵就是一个单位元.一个环不一定有单位元.例1 {}R =所以实数.R 对数的普通加法和乘法来说是一个环，无单位元.如环R 有单位元，则唯一.若环R 有两个单位元,e e '，则 .ee e e ''==在有单位元的环里，唯一的单位元通常用1表示.在这样的环里，规定01,.a a R =∈ 定义一个有单位元的环的元b 称为a 的一个逆元，若1.ba ab ==如n 阶矩阵环里可逆矩阵A 的逆矩阵A -是A 的一个逆元.一个元a 最多只有一个逆元，如a 有两个逆元,b b '，则 ()()11.b b ba b b ab b b ''''=====有的元a 无逆元.如整数环里的2无逆元.如a 有逆元，其唯一的逆元记为1.a -规定 ()1,0.n n a a n --=>于是 (),,,.n m n m n m mn a a a a a m n Z +==∀∈设,a b R ∈，,a b 中有一个为0时，则0.ab =只证00.a =这是因为()00.a a a a aa aa =-=-=但0/00.ab a b =⇒==或如在二阶矩阵环中，100000.000100⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例2 {}R n =所有模的剩余类， (),R +是一个加群，[][][]a b a b +=+在R 中规定一个代数运算[][][]a b ab = 这在逻辑上是没有问题的，若[][][][],a a b b ''==，则 ()()mod ,mod a a n b b n ''≡≡()mod ab a b n ''∴≡，[][].ab a b ''=由定义易验证(),,R +⋅是一个环.把这个环称为模n 的剩余类环，记为.n Z在6Z 中，[][][]230,=但[][][][]20,30.≠≠定义若在一个环R 里，0,0a b ≠≠但0ab =则称a 是环R 的一个左零因子，b 是一个右零因子.在交换环中，一个右零因子也是一个左零因子.有的环没有零因子，如整数环.例3 一个数域F 上一切n n ⨯矩阵对于矩阵的加法和乘法来说，作成一个有单位元的环.当2n ≥时，这是一个非交换环，有零因子.100000.000100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭定理在一个没有零因子的环里两个消去律成立，即0,;0,.a ab ac b c a ba ca b c ≠=⇒=≠=⇒=反之，若在一个环里有一个消去律成立，则这个环没有零因子.证设环R 无零因子.由ab ac =得()0.a b c -=0,0,.a b c b c ∴≠∴-==另一个同理可证.反之，设在环R 里，第一个消去律成立.若R 有零因子，则存在,a b R ∈，0,0a b ≠≠，使得0.ab =故0,0ab a b ==，矛盾.第二个消去律成立可同理可证.推论在一个环里，有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立.定义一个环R 叫一个整环，如果1.,,ab ba b R =∀∈；2. R 有单位元1；3. R 无零因子，即000.ab a b =⇒==或整数环是一个整环.作业：P89：2，5.习题选解1.证明，二项式定理()11n n n n n a b a a b b -⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭在交换环中成立.证对n 做归纳法.1.n =√设n k =时命题成立： ()11k k k k k a b a a b b -⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭.因在交换环中，乘法满足交换律，故()()()()11111111110111.1k kk k k k k k i i k k k k i i k k a b a b a b a a b b a b k k k k a a b a b b i i k k a a b a b b i +-+-++++-+⎡⎤⎛⎫+=++=++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦++⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2.假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群，证明，R 是交换环.证设加法群R 是由a 生成的循环群，在R 中任取两个元,ma na ，这里,m n Z ∈，则()()()()()()()()()()()222,,.ma na mn a na ma nm a mn a ma na na ma ===∴=R ∴是一个交换环.附注：设R 是一个环，,,,a b R m n Z ∈∈，则()()().an b a nb n ab ==（参见课本P84）∴()()()()()().ma nb m a nb m n ab mn ab ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3.证明，对于有单位元的交换来说，加法交换律是环定义例其他条件的结果. 解 ,a b R ∀∈，由两个分配律得()()()()()()11111111.a b a b a b a b a a ba b a a b b ++=+++=++++=+++=+++.a b a b a a b b ∴+++=+++ ()()()(),.a ab a b b a a a b b b b a a b ∴-+++++-=-+++++-+=+ 由此推出加法满足交换律.4.找一个我们没有提到过的有零因子环解令(){},|,R a b a b Z =∈定义 ()(),,,.a b c d a c b d =⇔==定义()()()()()(),,,,,,,,a b c d a c b d a b c d ac bd +=++= 则(),,R +⋅是一个环（由同学自己验证）.()0,0是环R 的零元.当0,0a b ≠≠时，()()()(),00,0,0,0,0,a b ≠≠但()()(),00,0,0,a b =∴环R 有零因子.5.证明，由所有实数),a a b Z +∈作成的集合对于普通的加法和乘法来说是一个整环证先证明(),R +是一个加法群.在R中任取两个数,,,a c a b c d Z ++∈，则((()(.a c a c b d R +++=+++即R 对加法是闭的.普通数的加法适合结合律. 00R =+，(0,.a a a b Z ++=+∀∈a R ∴∀+，有,a R --且((((()(()(((0,,a a a c a c b d c a d b c a --++=+++=+++=+++=+++ (),R ∴+是一个加法群.a c R ∀++,有(()(2.a c ac bd ad bc R ++=+++ 普通实数的乘法适合结合律、交换律且乘法对加法适合两个分配律.又11+=是R 的单位元，两个非零实数的积不等于零，所以R 是一个整环.。