离散3.8

或
{a, b a, b Z , a和b被m整除余数相同 }
2. 元素a与b等价
设ρ 是集合A上的等价关系，若元素aρ b ，则 称a与b等价，或称b与a等价。
3. 等价类
定义3.8.2 设ρ 是集合A上的等价关系，则 A 中等价于 元素 a 的所有元素组成的集合称为 a 生成的等价类，
计算机科学与工程系 2
3.10 序关系(Ordered Relations)
第三章 集合与关系(Sets & Relations)
3.8 等价关系与等价类(Equivalence Relations &
Equivalence classes ) Definition of
3.8.1等价关系的定义(The
[d ] {d}
同一个等价类中元素均相互等价。不同等价类 中的元素互不等价。
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计算机科学与工程系
3.8.3等价关系与划分(Equivalence
Partitions)
Relations &
集合A上的等价关系与集合A上的划分具有一一对应关系. 所有元素产生的等价类的集合 {[a] 分。
用
[a] 表示，即 [a] {b | b A且ab} a称为等价类 [a] 的代表元素。
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例4 对于例2中的ρ 来说
[a] {a, b},
[c] {c, d},
[b] {a, b}
[d ] {c, d}
例5 整数集Z关于模3同余关系ρ 的等价类共有三个： Z1 [0] {,3n,,6,3,0,3,6,,3n, },
上的等价关系ρ 为
A1 A1 A2 A2 Ar Ar
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计算机科学与工程系
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例7
设A={a,b,c,d}，A上的划分
S1 {{a}, {b, c}, {d}}
S2 {{a},{b},{c},{d}}
试求出等价关系
1
和
2，使得 1 和 2 的等价类
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例1 设A是任意集合，则A上的恒等关系和全
域关系UA均是A上的等价关系。
例2 设 A {a, b, c, d } ，A上的关系
{a, a, a, b, b, a, b, b, c, c, c, d , d , c, d , d }
Relations) 3.6 关系的闭包运算(Closure Operations) 3.7 集合的划分与覆盖(Partition & Cover of Sets) 3.8 等价关系(Equivalent Relations) 3.9 相容关系(Compatibility
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Relations)
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划分，则存在A上的一个等价关系ρ ，使得S是A关于ρ 的 商集。 证明： 在集合A上定义一个关系ρ ，对于任意的 a,b∈A，当且仅当a与b在同一分划块中时，有aρ b。
定理3.8.2设 S {A , A ,, A } 是集合A的一个 1 2 r
对任意a∈A， a 与 a 在同一分划块中，所以有 aρ a ， 即ρ 自反。 又对任意的 a,b∈A,若a与b在同一分划块中，则b 与a在同一分划块中. 即,若aρ b, 则bρ a ,因此ρ 是对称的.
离散数学(Discrete Mathematics)
计算机科学与工程系
Tianjin University of Technology
Department of Computer Science & Engineering
魏雪丽
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1
第三章 集合与关系 （Sets and Relations)
Z2 [1] {,3n 1,,5,2,1,4,7,,3n 1, }, Z3 [2] {,3n 2,,4,1,2,5,8,,3n 2, }
显然有 [0]
[3] [3] [6] [1] [4] [2] [2] [5] [1]
则
A / 2 S2 {{a},{b}, {c},{d}}
计算机科学与工程系 16
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例8 设A={a,b,c}，求出A上所有的等价关系。 解 先求出 A 上有多少个不同的分划。
•分成一个分划块的分划 S1 {{a, b, c}} •分成两个分划块的分划 S2 {{a},{b, c}}
Equivalence class )
Properties of
2. 对任意的a,b∈A 有 aρ b 当且仅当 [a] [b] 。
证明(续) “ ”
[a] [b] ，知 b [b] [a]
由
因此有aρ b.
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3. 对任意a,b∈A，若
证明（用反证法）
ab
，则 [a] [b] .
假设 [a] [b] , 则A中至少有一元素 x [a] [b] 即xρ a，且xρ b, 因此 x [a] 且 x [b] ， 于是由aρ x,xρ b，得aρ b， 与 故 [a] [b]
” 证明 “
x [a] 若
，则aρ x ，
由ρ 的对称性有xρ a ，
又由aρ b 及ρ 的传递性有xρ b ，因此
故 [a] [b] 。 类似地可以证明 [b] 由上得 [a] [b]
x [b]
[a]
计算机科学与工程系 8
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3.8.2等价类的性质(The
分别是 S1 和 S2 的分划块。 解 定义A上等价关系
1 {a, a, b, b, b, c, c, b, b, b, c, c, d , d }
则
A / 1 S1 {{a},{b, c},{d}}
定义A上的等价关系 2 { a, a, b, b, c, c, d , d }
ab相矛盾。
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例6 设A={a,b,c,d}，A上的关系
{a, a, a, b, b, c, a, c, c, c, b, b, b, a, c, b, c, a, d , d }
ρ是A上的等价关系
[a] [b] [c] {a, b, c}
3.1 集合及其运算(Sets & Operations with sets) 3.2 序偶与笛卡尔积(Ordered Pairs & Cartesian Product) 3.3 关系 (Relations) 3.4 关系的性质(The Propeties of Relations)
3.5 复合关系与逆关系(Compound Relations & Inverse
计算机科学与工程系 18
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第三章 集合与关系(Sets & Relations)
小结:本结介绍了等价关系和等价类的概念， 并研究了它们的特性。重点是等价类的性质、 商集的概念、等价关系与划分之间的密切联 系。
Pg134 (2),(3),(6).
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对于任意a,b,c∈A，若a与b在同一分划块中，b 与c在同一分划块中，因为 Ai Aj (i j ) ，所 以a与c也在同一分划块中，此即,若aρ b，bρ c，则 必有aρ c，因此ρ 是可传递的。
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由定理3.8.2可知:
由集合A的划分 S {A1 , A2 ,, Ar } 所确定的A
A
例如 在集合A={a,b,c,d}上，例2中A关于等价
关系ρ 的商集为
A / {{a, b},{c, d}} {[a] ,[c] }
例5中Z关于模3同余关系ρ 的商集为
A / {[0] ,[1] ,[2] }
例6中A关于等价关系ρ 的商集为
A / {{a, b, c},{d}} {[b] ,[d ] }
ρ 是A上的等价关系。
例3 设m为大于等于2的正整数，整数集Z上的同余 关系 {a, b a b km, a, b, k Z}
则ρ 是集合Z上的等价关系，称为Z上的模m同余关
系。有时写成
{a, b a, b Z , a b(modm)}
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另一方面，对任一 x A, 有x [ x] ，而 [ x] [a]
aA
aA
所以 x [a] ，因此 A [a] ，故
aA
aA
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aA
[ a ] A
。
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计算机科学与工程系
定义3.8.3 设ρ 是集合A上的等价关系,其所有不
同等价类的全体所组成的A的划分称为A关于ρ 的商 集，记作 A / 。
Equivalence Relation )
3.8.2等价类的性质(The A Properties B
class )
of Equivalence
AB
Relations &
计算机科学与工程系 3

3.8.3等价关系与划分(Equivalence
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Partitions)
3.8.1等价关系的定义(The
1. 等价关系
Definition of Equivalence Relation )
定义3.8.1集合A上的关系ρ ，如果它是自反的，对 称的，且可传递的，则称ρ 是A上的等价关系。