45国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第45届)
2004年第四十五届IMO试题(不含答案)
第四十五届（2004年）希腊 雅典（Athens ，Greece ）1. 设ABC 为锐角三角形且AB ≠AC 。
直径为BC 的圆交边AB 和AC 分别于M 和N 。
定义O 为边BC 的中点。
∠BAC 的平分线和∠MON 的平分线交于R 。
求证：三角形BMR 的外接圆和三角形CNR 的外接圆在边BC 上有公共点。
（罗马尼亚）2. 找到所有实系数多项式f ，使得对于所有满足ab+bc+ca=0的实数a 、b 、c 有下面的关系：f (a-b )+f (b-c )+f (c-a )=2f (a+b+c )。
（韩国）3. 定义一个“钩子”为由六个单位正方形按下面的图组合起来的形状，或者其他可由下图旋转和轴反射形成的形状。
找出所有m×n 的可以不把钩子割裂开或重叠就可以覆盖的矩形，使得 ● 长方形不能由钩子割裂或重叠来覆盖。
● 钩子的任何一部分都不能覆盖长方形外面的区域。
（爱沙尼亚）4. 设n 为不小于3的整数。
设t 1，t 2，…，t n 为正实数，且满足212121111()n n n t t t t t t ⎛⎫+>++++++ ⎪⎝⎭ 。
证明对于所有满足1≤i<j<k ≤n 的i 、j 、k ，t i 、t j 、t k 是三角形三边的长。
（韩国）5. 在凸四边形ABCD 中，对角线BD 不平分角ABC 和角CDA 。
ABCD 内一点P 满足∠PBC =∠DBA 和∠PDC =∠BDA 。
求证：当且仅当AP=CP 时ABCD 是圆内接四边形。
（波兰）6. 如果一个数按十进制表示，任意两个连续的位数奇偶性不同就称这个数是“交替的”。
找到所有正整数n ，使得n 的某个倍数是交替的。
（伊朗）。
历届IMO试题(1-46届完整中文版)
1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
745--第45届IMO预选题及答案
其中 F0 = 0 , F1 = 1 , Fi + 2 = Fi + 1 + Fi . 特别地 ,有 β, ap + k = Fk - 1α+ Fk
ap + k + 1 = ap + k - ap + k - 1
β ) - ( Fk - 2α+ Fk - 1β ) = ( Fk - 1α+ Fk
充分必要条件是 ∠ACB - ∠ABC = 60° .
4. 本届 IMO 第 5 题 . 5. 已知正 n 边形 A 1 A 2 …A n , 定义点 B 1 ,
B 2 , …, B n - 1 如下 :
明 : 不等式
3
1
a
2
3
+6b +
1
b
3
+ 6c +
1
c
1 +6a ≤ .
abc
6. 求所有函数 f : R →R ,满足方程
Gn gn ≤n + 1 , + A n Gn
并确定等号成立的条件 .
7. 已知 △ABC , 点 X 是直线 BC 上的动 点 ,且点 C 在点 B 、 X 之间 . 又 △ABX 、 △ACX
几何部分
1. 本届 IMO 第 1 题 . 2. 设圆 Γ 和直线 l 不相交 , AB 是圆Γ 的
的内切圆有两个不同的交点 P 、 Q . 证明 : PQ 经过一个不依赖于点 X 的定点 . 8. 已知圆内接四边形 ABCD ,直线 AD 和 BC 交于点 E ,且点 C 在点 B 、 E 之间 . 对角线
1 时等号成立 . 3
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第41届)
试确定所有可能的正实数λ，使得对于直线上任意给定的点M以及这n只跳蚤的任意初始位置，总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于M的右边．
4.一位魔术师有一百张卡片，分别写有数字1到100.他把这一百张卡片放入三个盒子里，一个盒子是红色的，一个是白色的，一个是蓝色ห้องสมุดไป่ตู้．每个盒子里至少都放入了一张卡片．一位观众从三个盒子中挑出两个，再从这两个盒子里各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的数字之和．知道这个和之后，魔术师便能够指出哪一个是没有从中选取卡片的盒子．
求证：EP=EQ．
2.设a，b，c是正实数，且满足abc=1．求证：
(a- 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a)≤1．
3.设n≥2为正整数．开始时，在一条直线上有n只跳蚤，且它们不全在同一点．
对任意给定的一个正实数λ，可以定义如下的一种“移动”：
o(1)选取任意两只跳蚤，设它们分别位于点A和点B，且A位于B的左边；
求证：l1，l2，l3所确定的三角形，其顶点都在三角形ABC的内切圆上．
国际数学奥林匹克（
1.圆Γ1和圆Γ2相交于点M和N．设l是圆Γ1和圆Γ2的两条公切线中距离M较近的那条公切线．l与圆Γ1相切于点A，与圆Γ2相切于点B．设经过点M且与l平行的直线与圆Γ1还相交于点C，与圆Γ2还相交于点D．直线CA和DB相交于点E；直线AN和CD相交于点P；直线BN和CD相交于点Q．
问共有多少种放卡片的方法，使得魔术总能够成功？（两种方法被认为是不同的，如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子）
5.确定是否存在满足下列条件的正整数n：n恰好能够被2000个互不相同的质数整除，且2n+1能够被n整除．
第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答
第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答
马德里
【期刊名称】《上海中学数学》
【年(卷),期】2008(000)009
【摘要】@@ 试题rn1.已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A1,A2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B1,B2;以边AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C1,C2,证明:六点A1,A2,B1,B2,C1,C2共圆.(俄罗斯提供)
【总页数】3页(P3-5)
【作者】马德里
【作者单位】无
【正文语种】中文
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CRUX杂志问题4541-4550奥林匹克竞赛数学试题
CRUX 杂志问题4541-45504541. (Michel Bataille 供题) 正实数,,a b c 满足1abc =.设k k k k S a b c =++, 求证:2412S S +≥. 4542. (Leonard Giugiuc 与Alexander Bogomolny 供题)△ABC 重心为G. 设D, E, F 分别为BC, CA, AB 中点. 在△ABC 所在平面上寻找一点M, 使得32()MA MB MC MG MD ME MF +++=++. 4543. (Cherng-tiao Perng 供题)整数42(1)n k k =+≥, 多边形12...n A A A 的对边互相平行, 且满足1122,1,2...2i i n nii nA A A A i ++++=∥.其中11n A A +=.对圆C, 从点1B 开始,设1i B +为过1,,i i i A A B +三点的圆与圆C 的交点, 其中1,2,...i n =. 求证: 11n B B +=. 4544. (Burghelea Zaharia 供题)计算42214ln()4x dx x x++⎰. 4545. (Mihaela Berindeanu 供题)在正整数范围内解方程: 619n ⎡-=⎣.4546. (Thanos Kalogerakis, Leonard Giugiuc 与Kadir Altintas 供题) 如图, △ABC 中, D 为BC 边上一点.△ABC 内切圆1K 半径为1k , 点A 所对旁切圆1L 半径为1l . △ABD 内切圆2L 半径为2l , 点A 所对旁切圆2K 半径为2k . △ACD 内切圆3L 半径为3l , 点A 所对旁切圆3K 半径为3k . 证明: 123123k k k l l l ⋅⋅=⋅⋅.4547. (George Stoica 供题, 编辑修改) 考虑单位复数,,,||||||1a b c a b c ===.证明: 若222||||||12a b c b c a c a b +-++-++-=, 则,,a b c 在复平面上所对应的点组成一个内接于单位圆的正三角形. 4548. (Lazea Darius 供题)求实数k 的最大值, 使得对满足3a b c ++= 的所有非负实数,,a b c , 均有222()()()3ab bc ca k a b b c c a +++---≤. 4549. (Lorian Saceanu, Leonard Giugiuc 与Kadir Altintas 供题) 设,(1,2...)k k a b k n =为实数.证明:≥.4550. (Leonard Giugiuc 与Kunihiko Chikaya 供题) 设2α≥为实数, 正实数,,x y z 满足x y z ≥≥. 证明:并求取等条件.。
45国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第45届)
作者：Lwhaat 2009-4-28 13:20 回复此发言
3 回复： 【IMO 试题汇总】 （带答案） （更新）
以下是 2008 年 IMO 的试题 点击放大
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第45届）
1． △ ABC 为锐角三角形，AB ≠ AC；以BC为直径的圆分别交AB和AC于M 和N ． 记BC中点为O． ∠BAC和∠MON的角平分线交于R． 求证△ BMR 的外接圆和△ CNR的外接圆有一个公共点在BC边上． 2． 求所有的实系数多项式f，使得对所有满足 ab + bc + ca = 0的实数a， b， c 有 f(a–b) + f(b–c) + f(c–a) = 2f(a + b + c)． 3． 定义一个由6个单位正方形构成的“钩”（图传不上：3 X 3 的去掉中心块 和一边上连 续的两块，包括由此图经旋转、反射得到的图形）． 定出所有的能被钩覆 盖的m× n的矩形． 4． 设n ≥ 3． t_1， t_2，…， t_n > 0 满足 n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + … + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + … + 1/t_n) 证明t_1， t_2， …， t_n中随便取3个数都能构成一个三角形． 5． 凸四边形ABCD的对角线BD 不平分∠ABC和∠CDA． ABCD内一点P 满足∠PBC = ∠DBA和∠PDC = ∠BDA． 求证：ABCD是圆的内接四边形 当且仅当AP = CP． 6． 称一个正整数为“交替的”，如果它的十进表示的任两个连续数位的奇偶 性不同． 求所有的正整数n，n的某个倍数是交替的．
第46届国际数学奥林匹克（IMO）试题解答
第46届国际数学奥林匹克（IMO）试题解答
王建伟
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2005(000)009
【摘要】1.在正三角形ABC的三边上依下列方式选取6个点：在边BC上选点A1，A2，在边CA上选点B1，B2，在边AB上选点C1，C2，使得凸六边形
A1A2B1B2C1C2的边长都相等。
证明：直线A1B1，B1C2，C1A2共点。
【总页数】3页(P31-32,37)
【作者】王建伟
【作者单位】中国科学技术大学数学系,230026
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第43届)
1.y是非负整数且x+y<n的点(x，y)．T中的点均被染上红色或蓝色，满足：如果(x，y)是红色，则所有满足x'≤x且y'≤y的点(x'，y')也都染成红色．如果n个蓝点的横坐标各不相同，则称由这n个蓝点组成的集合为一个X-集；如果n个蓝点的纵坐标各不相同，则称这n个蓝点所组成的集合为Y-集．
6.设Γ1，Γ2，...，Γn是平面上半径为1的圆，其中n≥3，记他们的圆心分别为O1，O2，...，On．假设任意一条直线都至多和两个圆相交或相切，
求证：
∑i<j1/OiOj≤(n-1)π/4．
4.设n为大于1的整数，全部正因数为d1，d2，...，dk，其中1=d1< d2< ... < dk=n，
记D=d1d2+d2d3+...+dk-1dk．
a.求证：D< n2；
b.确定所有的n，使得D能整除n2．
5.找出所有从实数集R到R的函数f，使得对所有x，y，z∈R，有
(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)．
求证：X-集的个数和Y-集的个数相同．
2. BC为圆O的直径，A为⊙O上的一点，0o<∠AOB <120o，D是弧AB（不含C的弧）的中点，过O平行于DA的直线交AC于I，OA的垂直平分线交⊙O于E、F，
求证：I是△CEF的内心．
3.找出所有的正整数对m，n≥3，是的存在无穷多个正整数a，使(am+a-1)/(an+a2-1)为整数．
第45届俄罗斯数学奥林匹克(十、十一年级)
2019年第12期31第45届俄罗斯数学奥林匹克(十、十一年级)中图分类号：G424.79文献标识码：A文章编号：1005-6416(2019)12-0031-08决赛十年级1.在平面上的每个点A处均放置一个实数/■(4)•若M ABC的重心，则/'(M)=/(4)+/(B)+/(C).证明:对于一切点4,均有/(A)=0.2.芭莎和沃娃做游戏，芭莎先开始•开始时,在他们面前放着一块很大的塑料板•芭莎每一次都把某一块塑料板分割为三块(可以相同)•沃娃则从中挑出两块把它们粘合成一块•若在某一时刻，在已有的塑料块中能找到100块重量相同的，则芭莎获胜•问：沃娃能否阻止芭莎取胜？3.星际旅馆有100间客房，可分别容纳101,102,-,200位客人.在这些客房里目前共住着n位客人.现在来了一个VIP团队，需要为他们腾出一整间客房•为此，客房经理挑选出一间客房，并把原来住在里面的所有客人全安排到同一间其他的客房里•问:对于怎样的S客房经理可以以这种方式安排客人，而不会受制于客人的现在住房情况？4.在锐角A ABC中,AC<BC.经过顶点A、B的圆与线段CA、CB分别交于点41、艮.△ABC、△儿QC的外接圆的第二个交点为P,线段4Q与BA X交于点S.Q、R分别为点S关于直线CA、CB的对称点.证明:P、Q、R、C四点共圆.5.同九年级第5题.6.在锐角中作角平分线BL,D、E 分别为A ABC的外接圆厂上弧亦、辰的中点•在线段BD、BE的延长线上各取一点P、Q,使得Z APB=ZCQB=90°.证明：线段BL 的中点在直线PQ上.7.某数学小组共有24名学生•对于每个有6名学生所组成的队，负责人均给出“能配合”或“不能配合”的两类评价.为做数学擂台赛训练，负责人打算把小组里的学生分为4个队,每个队6名学生.问：能否对于任何一种分为4个队的方法，要么恰有三个队是能配合的,要么恰有一个队是能配合的,并且两种情况都会出现？8.给定非常数的整系数多项式P(x)和正整数n.令a。
第45届IMO试题解答
中等数学
12| m , n ≠1 ,2 ,5 或 12| n , m ≠1 ,2 ,5 的所有正整数 对 ( m , n) .
假设一个 m ×n 的矩形能被钩形所覆盖. 对任 何钩形 A ,存在惟一的钩形 B ,使得它的“末端”的一 个正方形覆盖 A 的“内部”的一个正方形. 同时 , B 的“内部”的正方形必须被 A 的“末端”的一个正方 形覆盖. 这样 ,在 m ×n 的一种覆盖中 ,所有的钩形 两两配对. 只有两种可能的方法放置 B ,使得它与 A 既不重叠也无空隙. 一种是 A 和 B 形成一个 3 ×4 的 矩形 ,另一种是形成一个八边形 ,边长依次为 3 ,2 ,1 ,
形编上号. 图中阴影部分的正方
形必属于另一个钩形 ,且这个正
方形仅与该钩形中一个正方形
相邻 ,故只能是 1 或 6 这样的正
图3
方形.
(i) 如果是 6 ,则两个钩形 形成一个 3 ×4 的矩形 ,称之为 图形 ①(如图 4) .
(ii) 如果是 1 ,则有两种情 形.
3451 2662 1543
图4
BC 上. 因 为 B 、C、N 、M 四 点 共 圆 , 故 ∠MBC =
∠ANM. 又因为 A 、M 、R 、N 四点共圆 ,故 ∠ANM =
∠MRA . 从而 , ∠MB K = ∠MRA . 所以 , B 、M 、R 、K 四
点共圆.
同理 , C、N 、R 、K 四点共圆.
于是 ,结论成立.
在式 ①中 ,令 b = 2 a , c = -
2 3
a ,有
P( - a) + P
8 3
a
+P
-
5 3
a
=2P
7 3
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第23届)
5.正六边形ABCDEF的对角线AC、CE上分别有分点M、N并且AM/AC = CN/CE = r，如果B、M、N共线，试求r的值．
6.设S是边长为100的正方形，L是在S内部不自交的系列线段A0A1，A1A2，A2A3，...，An-1An并且A0与An不重合．已知对于每一个在S边界上的点P，L中存在一个点与P之间的距离不大于1/2．求证：L中存在两点X、Y，X与Y的距离不大于1，并且L上位于X和Y之间的部分不少于198．
3.考虑无限正实数序列{xn}满足 Nhomakorabea0= 1及x0≥x1≥x2≥...，
a.求证对每个这样的序列都有存在一个n≥1使得
x02/x1+ x12/x2+ ... + xn-12/xn≥3.999.
b.试寻找一个这样的序列使其满足
x02/x1+ x12/x2+ ... + xn-12/xn< 4对所有n成立．
国际数学奥林匹克（
1.f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数，f(2) = 0，f(3) > 0，f(9999) = 3333，并对所有m，n有f(m+n) - f(m) - f(n) = 0或1．试求出f(1982)．
2.A1A2A3是不等腰三角形，其三边为a1，a2，a3，其中ai是角Ai的对边，设Mi是边ai的中点，Ti是三角形的内切圆在边ai上的切点，记Si为点Ti关于内角Ai的角平分线的对称点，求证线M1S1，M2S2和M3S3共点．
高中数学竞赛 历届imo竞赛试题(-46届完整中文版)
第1届I M O1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
第45届俄罗斯数学奥林匹克(九年级)
第45届俄罗斯数学奥林匹克(九年级)中图分类号:G424.79文献标识码：A文章编号:1005-6416(2019)11-0033-04第45届俄罗斯数学奥林匹克第四阶段竞赛(即决赛)于2019年4月21—27日在俄罗斯的皮尔姆市举行，与以往各届一样，举行两天考试，分九、十和十一共三个年级进行，每天5个小时考四道题。
决赛1•在平面上标出了五个点•证明:可以从中选出若干个点，移动它们，使得任何两个被移动的点之间的距离均不改变，但是在平面上却留下了一个关于某条直线对称的五点集合.2.对于怎样最小的正整数n,存在整数5,。
2,…，a”，使得如下的二次三项式至少有一个整根a?-2(0]+a2+…+a”)2乂+(a：+a；+...+a：+l)?3.已知®O外接于△ABC,AB<BC,且△ABC的三条高交于点H.在BO的延长线上取点D,使得Z ADC=Z ABC.过点H作平行于BO的直线，与©0的劣弧走交于点E.证明:BH=DE.4.在参加某夏令营的10000个孩子中，他们每人在营里都恰有11个朋友(朋友是相互的)•他们每人都身穿一件分别印有七种不同颜色的运动衫，且任何两个朋友的运动引理得证.对任意»=1,2,-,8,定义/(£)是以人为起点的有向线段的数目，并不妨设/(儿)，按降序排列.若/(44>4,则/(A)+/(A)+/(^3)+/(4)>16=/(人)+/(人)+/(47)+/(48)W12=C：-16；若/(4)^3,则/(4)+/(人)+/(^)+/(血)于是,无论哪种情况，均有除去内部的C：=6条线段，故以儿、人44之一为起点,以A4、4.4之一为终点的线段最多有12-C；=6条.改变这些线段方向后，则问题中所述的回路只能出现在虫/2/3/4的两两连线中，或在的两两连线中.再对缶、和A5,A6,A ly A s分别使用引理，可知最多改变两条线段的方向即可使得儿、人2、人3、人4的两两连线中没有回路，^、人、力7、a8的两两连线中没有回路.因此，只需改变不超过6+2 =8条线段 的方向，即可将原图变为好图.(王新茂提供)衫上所印的颜色均不相同•组织者希望能有些（至少一个）孩子换穿另一种颜色（依然是这七种颜色之一）的运动衫•经询问后发现，有100个孩子由于尺寸问题不能换穿•证明：在剩下的孩子中依然有一些孩子可以通过换穿改变自己运动衫的颜色，且任何两个朋友的运动衫所印颜色仍然都不相同.5.幼儿园的保育员拿来n（zi>1）张相同的矩形卡片，分给n个孩子每人一张•每个孩子都把自己拿到的矩形卡片分割成若干个同样的正方形（不同孩子所分成的正方形可不相同）•已知正方形的总数为素数.证明：原先的矩形卡片就是正方形形状的.6.已知AABC是以BC为底边的等腰三角形，在腰AC上取一点D.在厶BCD的外接圆的劣弧矗上取一点K,射线CK与过点A 且平行于BC的直线交于点T,M为线段DT 的中点.证明:ZAKT=Z CAM.7.在16枚硬币中，有八枚较重的各重11克,另有八枚较轻的各重10克，但不知道哪一枚重多少.已知16枚硬币中有一枚是纪念币•如何利用一架没有舷码的天平称三次，弄清楚纪念币是较轻的还是较重的？&给定不小于1的正数a、b、c.证明：a+btc.Jab-l Jbc-1^ca-1 4~b+c+c+a+a+b参考答案1.将所给五点分别记为A、B、C、D、E.找出其中相距最远的两个点，设为A、B.下面证明可以按照要求移动它们.作线段CD的中垂线I.若点E在直线I 上，则只需把点A、B移到Z上否则，设©为E关于I的对称点.注意到，点E到I的距离小于线段EC、ED之一.于是，点E到/的距离小于AB.从而,可将点A移到点E',而将点B移到直线/上，使它与以的距离等于线段4B.易见，直线/就是新的五点集合的对称轴.2・n=6・当n=6时，可取CL j=~二1，~二—1，则二次三项式为%2-8%+7,其根为1、7.下面只需证明，这就是最小的n.假设5,如，…，％满足题中条件，则判别式除以4后应为完全平方数，即d=（a、+a2+...+a (4)（a：+a：+…+a：+1）.①此时,d为奇数，它被8除的余数为1•将式①改写为d+1+a：+a：+■••+a：=（«i+a2+…+a”）4.可验证，整数的四次方被8除的余数只有0和1.这表明，上式右边被8除的余数只能为0和1,而左边与1+1+%模8同余，其中,A：为a x,a2,••-,a n中的奇数个数.从而, n^k^6.3.如图1,设P为3。
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1．△ABC为锐角三角形，AB ≠ AC；以BC为直径的圆分别交AB和AC于M和N．记BC中点为O．∠BAC和∠MON的角平分线交于R．求证△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个公共点在BC边上．
2．求所有的实系数多项式f，使得对所有满足ab + bc + ca = 0的实数a，b，c有
f(a–b) + f(b–c) + f(c–a) = 2f(a + b + c)．
3．定义一个由6个单位正方形构成的“钩”（图传不上：3 X 3的去掉中心块和一边上连
续的两块，包括由此图经旋转、反射得到的图形）．定出所有的能被钩覆盖的m×n的矩形．
4．设n≥3．t_1，t_2，…，t_n > 0满足
6．称一个正整数为“交替的”，如果它的十进表示的任两个连续数位的奇偶性不同．求所有的正整数n，n的某个倍数是交替的．
回复：【IMO试题汇总】（带答案）（更新）
这个IMO的题比较难如果光发题不发答案就有点不厚道了
我刚好有这方面的资料不敢独享决定拿出来与大家分享~
作者：Lwhaat
2009-4-28 13:20回复此发言
n^2 + 1 > (t_1 + t_2 +…+ t_n)(1/t_1 + 1/t_2 +…+ 1/t_n)
证明t_1，t_2，…，t_n中随便取3个数都能构成一个三角形．
5．凸四边形ABCD的对角线BD不平分∠ABC和∠CDA．ABCD内一点P满足∠PBC = ∠DBA和∠PDC = ∠BDA．求证：ABCD是圆的内接四边形当且仅当AP = CP．
3
回复：【IMO试题汇总】（带答案）（更新）
以下是2008年IMO的试题
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2008年IMO第一题解答7IMO2008第三题解答
IMO2008第三题解答
12
IMO2008第四题解答
IMO2008第四题解答
IMO2008第六题解答