科学计算中的有限元slides.42
有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
有限元原理及步骤
有限元原理及步骤嘿，咱今儿就来说说这有限元原理及步骤。
你可别小瞧了它，这玩意儿就像是搭积木，只不过搭的是超级复杂的知识积木！有限元原理呢，简单来说，就是把一个超级大的、复杂得让人头疼的东西，分成好多好多小块儿。
这就好比一个巨大的拼图，咱把它拆成一小片一小片的，这样不就好研究多啦！那具体咋分呢？这可得讲究技巧啦！就好像切蛋糕一样，要切得均匀，切得恰到好处。
每一小块都有它自己的特点和作用，它们组合起来就能还原出那个原本复杂的大家伙。
接下来就是步骤啦！第一步，得先想好怎么分，这可不能瞎来，得有计划有策略。
然后呢，给每一小块儿都建立模型，就像是给它们穿上特定的衣服，让它们有自己的身份和特点。
再之后啊，就是分析这些小块儿啦！看看它们各自有啥本事，有啥问题。
这就好像给每个小块儿做体检一样，得了解清楚它们的状况。
分析完了，还得把这些小块儿的信息汇总起来，这可不是简单地加在一起就行哦！得像拼图一样，严丝合缝地拼起来，才能得到一个完整的结果。
你说这是不是很神奇？就通过这么一步步的操作，就能把一个复杂得让人摸不着头脑的东西给搞清楚啦！想象一下，如果没有有限元原理和步骤，那面对那些超级复杂的工程问题、科学难题，我们岂不是要抓瞎啦？有了它，就好像有了一把万能钥匙，能打开好多知识的大门。
咱再打个比方，有限元原理就像是一个超级大厨，能把各种食材巧妙地组合在一起，做出一道美味佳肴。
而步骤呢，就是那一道道烹饪的工序，少了哪一步都不行。
这有限元原理和步骤，在好多领域都大显身手呢！建筑设计啦，机械制造啦，航空航天啦，到处都有它的身影。
它能让我们的设计更合理，让我们的制造更精确，让我们的科技更发达。
所以说啊，可别小看了这有限元原理及步骤，它可是我们探索知识海洋的重要工具呢！学会了它，就好像掌握了一门神奇的魔法，能让我们在科技的世界里自由翱翔！你还在等什么呢，赶紧去深入了解一下吧！。
有限元分析 ppt课件
课程目标
1) 了解什么是有限单元法、有限单元法的基本 思想。
2) 学习有限单元法的原理，主要结合弹性力学 问题来介绍有限单元法的基本方法，包括单 元分析、整体分析、载荷与约束处理、等参 单元等概念。
3) 初步学会使用商用有限元软件分析简单工程 问题。
4. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 2000
5. 郭和德编. 有限单元法概论，清华大学， 1998
1 有限单元法简介
自重作用下等截面直杆的材料力学解答
N(x)q(Lx)
d(L x)N(x)d xq(Lx)dx EA EA
u(x)xN(x)d xq(L xx2)
0 EA EA 2
x
du q (Lx) dx EA
x
Ex
q(Lx) A
自重作用下等截面直杆的有限单元法 解答
1）离散化 如图所示，将直杆划分 成n个有限段，有限段之 间通过一个铰接点连接。 称两段之间的连接点为 结点，称每个有限段为 单元。 第 i 个 单 元 的 长 度 为 Li ， 包含第i，i+1个结点。
1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体 划分为有限个单元组成的离散体。 单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称 为网格。
1.3.1网格划分
通常把三维实体划分成四面体（Tetrahedron） 或六面体（Hexahedron）单元的网格
四面体4结点单元
六面体8结点单元
有限元数值计算
有限元数值计算
有限元数值计算是一种重要的数值计算方法，广泛应用于工程、计算机科学、物理学等领域。
它是一种能够将实际工程问题离散成有限个小元素，再求解每个小元素的行为，最终得出全局解的方法。
有限元数值计算的基本思路是将复杂的实际工程问题分解成一个个小的有限元素，每个有限元素都由一个数学模型来描述其行为。
通过求解每个有限元素的行为，再将其组合起来，得到整个工程系统的行为。
这种方法的好处是简便易行，能够解决复杂的非线性问题，还能够得到高精度的结果。
有限元数值计算的应用非常广泛。
在建筑工程中，它可以帮助工程师分析某一结构的载荷下的应力和变形情况，进而设计出更为精确和安全的结构。
在机械工程中，它可以帮助机械师计算机械零件受力后的变形情况和应力分布，进而为精准制造提供基础数据。
在计算机科学中，它可以帮助计算机科学家分析某一软件中的各项性能指标，进而为改善软件编程提供基础依据。
有限元数值计算在应用过程中，需要选择合适的计算模型和计算参数，才能得到正确可靠的结果。
虽然公共软件包已经为用户提供了相应的模型和参数，但是为了确保计算结果的精度，工程师和科学家还需要根据具体情况进行合理的调整。
总之，有限元数值计算是一种非常有用的计算方法，它可以帮助工程师和科学家解决复杂的实际问题，提高计算质量和准确度，有着
广泛的应用前景。
对于开展此方面研究和应用的人员，需要掌握良好的数值计算基础和实践操作技能，而且需要不断更新自己的知识和技能。
有限元的基本原理
有限元的基本原理
有限元方法是一种数值计算方法，常用于求解工程问题中的连续介质力学问题。
其基本原理是将复杂的连续介质分割成有限数量的简单几何形状的子域，称为有限元，然后利用数学方法和计算机技术对每个有限元进行离散化处理。
基于有限元原理，我们可以得到以下步骤：
1. 离散化：将连续的物理问题离散化为有限个由节点和单元组成的网格，在每个单元上选择适当的方程形式。
2. 建立本构方程：根据材料的力学性质，建立适当的本构关系表达式，将其转化为数学方程。
3. 单元形函数：在每个有限元上选择适当的单元形函数，将物理问题转换为离散问题。
4. 求解：对离散化后的方程进行求解，得到节点的未知位移。
5. 后处理：根据得到的位移信息，计算相应的应力和应变，以及其他感兴趣的物理量。
有限元方法的精度和收敛性与网格的划分有关，更精细的网格可以得到更准确的结果，但也会增加计算量。
因此，有限元方法是一个权衡计算效率和精度的方法。
有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域的
建模和仿真中，可以有效地分析和解决各种工程问题。
其应用范围涉及机械、航空航天、汽车、建筑、电子等多个工程领域，为工程设计和优化提供了有力的工具。
《有限元基础》课件
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
有限元简单科普
有限元简单科普嘿，朋友！你听说过有限元吗？要是没听过，那也不打紧，今天我就来给您好好唠唠这有限元到底是个啥！咱先打个比方，您想想看，一个复杂的结构体，就好比是一座巨大的城堡。
这城堡里的房间、墙壁、楼梯啥的，组合起来那叫一个眼花缭乱。
要想搞清楚这座城堡在各种情况下的状态，比如风吹雨打、地震摇晃的时候，是不是特别难？这时候有限元就派上用场啦！它就像是把这个大城堡切成了好多小块儿，每一小块儿都相对简单，容易研究清楚。
那有限元是咋工作的呢？其实就跟咱分蛋糕似的。
把那个复杂的结构体，想象成一块大蛋糕。
有限元方法呢，就是用一些线条把这个大蛋糕切成好多小块儿，每一小块儿就是一个单元。
这些单元可不是随便切的，得有讲究。
就像切西瓜，得切得均匀、合理，才能方便咱们研究。
然后，对每个小单元进行分析，算出它们在各种情况下的受力、变形等等情况。
您说，这是不是很神奇？再比如说，一辆汽车的车身结构。
那可是复杂得很呐！要是直接去研究整个车身，那脑袋都得大了。
但用有限元，把车身分成一个个小单元，那就简单多啦！有限元在很多领域都大显身手呢！比如航空航天，飞机翅膀那么复杂的结构，靠有限元就能清楚知道它能不能经受住高空的各种考验。
在机械制造里，那些精密的零件，也得靠有限元来保证质量和性能。
建筑行业也是一样，高楼大厦的设计，有限元能帮忙算出在不同条件下是不是安全可靠。
您想想，如果没有有限元，那得多麻烦啊！设计东西全靠猜，靠经验，那得多不靠谱。
有限元的出现，真的是给各种工程设计带来了巨大的便利。
让那些原本复杂得让人头疼的问题，变得有条有理，有章可循。
所以说啊，有限元可不是什么高深莫测、遥不可及的东西。
它就在咱们身边，为咱们的生活默默贡献着力量。
咱们得好好了解它，说不定哪天就能用上，您说是不是？总之，有限元就是这样一个神奇又实用的好帮手，能让复杂的结构体变得清晰易懂，为各种工程设计保驾护航！。
科学计算中的有限元slides.21.5
Question: What is the appropriate test space here?
/ Wolfgang Bangerth
Laplace equation
Laplace equation with non-zero boundary values:
● ●
Strong conditions Natural conditions
Force conditions ● Tractions conditions ● … Question: What do they all mean, where do they enter the picture, and how do we deal with them?
J ( u )≤ J ( u +ε v ) ∀ u +ε v ∈ V g
●
Since u = g on ∂ Ω we need v =0 on ∂ Ω so that u +ε v ∈V g
Wolfgang Bangerth
/
Laplace equation
/
Wolfgang Bangerth
General considerations
There are many kinds of boundary conditions: ● Dirichlet conditions ● Neumann conditions ● Robin conditions
●
For differentiable J the optimality condition is:
J ' ( u )( v )= lim ε→ 0 J ( u +ε v )−J ( u ) =(∇ v , ∇ u )−( v , f )=0 ε ∀v
有限元
有限元分析有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。
有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。
在解偏微分方程的过程中, 主要的难点是如何构造一个方程来逼近原本研究的方程,并且该过程还需要保持数值稳定性.目前有许多处理的方法，他们各有利弊. 当区域改变时(就像一个边界可变的固体), 当需要的精确度在整个区域上变化, 或者当解缺少光滑性时, 有限元方法是在复杂区域(像汽车和输油管道)上解偏微分方程的一个很好的选择. 例如, 在正面碰撞仿真时, 有可能在"重要"区域(例如汽车的前部)增加预先设定的精确度并在车辆的末尾减少精度(如此可以减少仿真所需消耗); 另一个例子是模拟地球的气候模式, 预先设定陆地部分的精确度高于广阔海洋部分的精确度是非常重要的.2基本特点有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。
20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。
有限元基本概念ppt课件
i1
i1
其中： Hi( xj )δij H'i(xj )0
'
Hi( xj )0 Hi( xj )δij
1 i j δij 0 i j
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
经推导：
n
n
P 2 n - 1 ( x ) 1 2 W i 'x ix x i W i2 x u ix - x iW i2 x u i '
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
• 有限元方法的分类
依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为： 位移法：以位移为基本未知量 力法：应力为基本未知量 混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量
• 有限元位移法的基本概念
几何矩阵的一般表达形式：
其中：
ε
B
e
δ
x
0
0
0
y
0
0
B
y
0
x
z
0
N
0
0
1
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0
0
N 2
0
z y
z
0
x
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
ji ji
i,j0,1,2, n
可令：
Ni
x
C x x 0 x x 1 x x i - 1 x x i + 1 x x n
《有限元法及其应用》课件
某型战斗机的机翼设计过程中，通过有限元分析，优化了机翼的结构和材料分布，提高了机翼的抗弯和 抗扭能力，同时减小了机翼的气动阻力，为飞机的高性能提供了保障。
汽车碰撞模拟
01
总结词
利用有限元法模拟汽车碰撞过程，评估汽车的安全性能和 改进设计方案。
02 03
详细描述
汽车碰撞是交通事故中最为严重的一种情况，有限元法能 够模拟汽车碰撞过程，对汽车的结构、材料和吸能设计等 进行评估，为汽车的安全性能提供科学依据。同时，通过 模拟不同碰撞条件下的结果，可以为汽车设计提供改进方 案。
通过离散化的方法，将连续的偏微分 方程转化为离散的代数方程组。
刚度矩阵与载荷向量
刚度矩阵
描述了每个单元的刚度关系，反 映了单元之间的相互作用。
载荷向量
描述了作用在每个节点上的外力 。
位移求解与应力分析
位移求解
通过求解离散化的代数方程组，得到每个节点的位移。
应力分析
根据位移求解的结果，通过计算得到每个单元的应力应变状态。
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可 以用于分析各种结构的应力、应变、位移
等。
电磁场分析
有限元法可以用于分析电磁场中的电场强 度、磁场强度、电流密度等，如电磁兼容
性分析、天线设计等。
流体动力学
有限元法可以用于模拟流体在各种复杂环 境下的流动行为，如航空航天、船舶、汽 车等领域的流体动力学问题。
应用领域
广泛应用于科学研究和工 程领域，如化学、生物医 学、电磁学等。
FE-SAFE
概述
FE-SAFE是一款用于结构疲劳分析的有限元软件 ，基于有限元方法进行疲劳寿命预测。
特点
对有限元的认识
对有限元的认识有限元方法是一种工程计算方法，用于求解复杂的物理问题。
它通过将连续的物理域离散成有限数量的小元素，然后利用数值方法来近似求解这些元素上的物理方程。
这种方法在工程设计和分析中得到了广泛的应用。
有限元方法的核心思想是将连续的物理域划分为有限数量的小元素，每个元素由节点和单元组成。
节点是元素的顶点，而单元则是连接节点的边。
通过在节点上定义适当的函数来近似描述物理量的变化，有限元方法可以将连续的物理问题转化为离散的数值问题。
有限元方法的求解过程分为两个主要步骤：离散化和求解。
在离散化过程中，根据问题的特点和要求，选择合适的单元类型和节点布局。
然后，在每个单元上建立适当的数学模型，例如线性模型或非线性模型。
在求解过程中，将物理方程转化为代数方程组，并利用数值方法求解这个方程组。
最后，通过插值方法将数值解转化为物理解。
有限元方法具有很多优点。
首先，它可以用于求解各种不规则形状和复杂边界条件下的物理问题。
其次，通过选择合适的单元类型和节点布局，可以在不同精度和计算成本之间进行权衡。
此外，有限元方法还可以很好地处理多物理场耦合和非线性问题。
然而，有限元方法也存在一些局限性。
首先，离散化过程中需要选择合适的单元类型和节点布局，这对于复杂的物理问题可能比较困难。
其次，求解过程中需要建立适当的数学模型，并选择合适的数值方法。
这需要对问题的特点和要求有较深的理解。
最后，有限元方法对计算资源的要求较高，特别是在处理大规模问题时。
总的来说，有限元方法是一种强大的工程计算方法，可以用于求解各种复杂的物理问题。
它的应用范围广泛，并且已经在工程设计和分析中得到了广泛的应用。
虽然有限元方法存在一些局限性，但通过合理的离散化和求解策略，可以有效地克服这些问题。
因此，有限元方法在工程领域的应用前景非常广阔。
《有限元程序设计》课件
有限元程序设计的前景展望
广泛应用
随着计算机技术的不断发展，有 限元程序设计将在更多领域得到 广泛应用，为工程设计和科学研 究提供有力支持。
技术创新
未来有限元程序设计将不断涌现 出新的技术和方法，推动该领域 不断发展壮大。
国际化发展
随着国际化交流的加强，有限元 程序设计将实现国际化发展，推 动国际合作和共同进步。
求解
求解整体方程组得到近似解。
有限元方法的应用领域
01
02
03
04
结构力学
用于分析各种结构的力学行为 ，如桥梁、建筑、机械零件等
。
流体动力学
用于模拟流体在各种介质中的 流动行为，如流体动力学、渗
流等。
热传导
用于分析温度场在各种介质中 的分布和变化。
电磁场
用于分析电磁场在各种介质中 的分布和变化，如电磁场、电
磁波等。
02
有限元程序设计的关键技术
网格生成技术
网格生成技术是有限元分析中 的重要步骤，它涉及到将连续 的物理空间离散化为有限个小 的单元，以便进行数值计算。
网格的生成需要满足一定的规 则和条件，以保证计算的精度
和稳定性。
常见的网格生成方法包括结构 化网格、非结构化网格和自适 应网格等。
网格生成技术需要考虑的问题 包括网格大小、形状、方向和 连接方式等。
02
详细描述
弹性地基板的有限元分析是一 个二维问题，需要考虑复杂的 边界条件和非线性方程的求解 。通过将地基板划分为若干个 四边形单元，可以建立非线性 方程组进行求解。
03
计算过程
04
首先将地基板划分为若干个四边 形单元，然后根据每个单元的物 理性质和边界条件建立非线性方 程组。最后通过迭代方法求解非 线性方程组得到每个节点的位移 和应力。
科学计算中的有限元slides.33.5
̂ q and weights wq? how should we choose the points x
In other words: Which quadrature rule should we choose?
/ Wolfgang Bangerth
Considerations
/ Wolfgang Bangerth
1d: The matrix
Question: Which quadrature rule should we choose?
A ij ≈
−1 −1 ̂ ̂ φ ̂ ̂ j( x J ( x ̂ ) ∇ φ ( x ̂ ) ⋅ J ̂ q) ∇ ̂ q ) ∣det J K ( x ̂ q )∣ w q ∑ K ∑q = 1 K q i q K (x Q
Consequence:
∥u −u ̃ h∥H ≤
1
∥ u− u ̃ ∥H ⏟
−1
1
+∥ u ̃ −u ̃ h∥H ⏟
2n −k
1
2n − k + 1 ≤C 1∥f − ̃ f ∥H ≤ C 2 h ∥f ∥H
≤ C 3 h ∥̃ u∥H
k
k
We want the first term to be at least as good as the second. We need to choose n=k.
/ Wolfgang Bangerth
The need for quadrature
Question: When approximating
A ij =( ∇ φi , ∇ φ j )
by
A ij ≈
−1 −1 ̂ ̂ φ ̂ ̂ j( x J ( x ̂ ) ∇ φ ( x ̂ ) ⋅ J ̂ q) ∇ ̂ q ) ∣det J ( x ̂ q )∣ w q ∑ K ∑q = 1 K q i q K (x Q
科学计算中的有限元slides.33.25
(using step-22 with non-equal order elements) Consequence: This works!
/ Wolfgang Bangerth
Stokes
Why Taylor-Hood (Pk+1/Pk or Qk+1/Qk):
sup v ∈V
h h
(∇⋅v h , q h ) ≥ c ∥qh∥Q ∥v h∥V
∀ q h ∈Q h
Or as: There exists a constant c independent of h so that
inf q ∈Q sup v ∈V
h h h h
(∇⋅v h , q h ) ≥ c ∥v h∥V ∥q h∥Q
sup v ∈V
h h
(∇⋅v h , q h ) ≥ c ∥qh∥Q ∥v h∥V
∀ q h ∈Q h
Note: V=H1, Q=L2.
/ Wolfgang Bangerth
Stokes
The inf-sup condition: We can write the condition either as: There exists a constant c independent of h so that
minu ∈V
h h
such that
1 2 ∥∇ uh∥ −( f ,u h ) 2 ( q h , ∇⋅u h ) = 0 ∀ q h ∈Q h
Here, we have dim Qh constraints on the velocity uh. Intuitively, if (asymptotically) Qh is “too large” compared to Vh, then:
有限元计算
有限元计算有限元计算是通过对物体进行数学分析和离散化，然后对分析结果进行仿真和模拟的一种计算方法。
其基础理论是应用数学中的有限元法，可将一个实际的物体模型划分为很多小的有限元，对每一小元素进行数值分析，然后将其组合起来得到整个物体的数值模拟结果。
本文将介绍有限元计算的相关内容。
有限元计算的步骤：1.建立模型选取与实际物体相似且易于模拟的结构模型，并将其进行划分，分配节点和元素。
2.设置边界条件通过选择力、位移或位移斜率等条件来设定边界条件。
边界条件的选择将直接影响计算结果的精度和可靠性。
3.选择材料参数物体材料参数的选择同样对计算结果具有重要影响，如杨氏模量、泊松比等。
4.进行离散化分析对物体分段离散化，按照有限元方法构造刚度矩阵，然后解决有限元方程。
5.求解结果输出节点的应力和位移等计算结果，根据结果进行分析和优化设计。
有限元计算可以用于以下领域：1.结构力学包括建筑、桥梁、飞机、船舶等的设计和分析。
2.热力学应用于热传导和对流分析，如汽车引擎、烟囱、锅炉、烤炉等。
3.电磁场分析用于设计电动机、电磁铁、变压器等电气设备。
4.流体动力学包括风力发电机翼型、燃气轮机叶片等失稳特征的分析及模拟。
5.生物医学工程用来模拟人体骨骼和器官在受力或运动时的生物力学反应。
有限元计算的好处：1.准确性高有限元方法可以对物体进行分析和仿真，并给出较准确的结果。
2.可靠性好有限元计算可以对物体的变形、应变及其他应力进行分析，确定其可靠性及破坏规律等。
3.设计周期短有限元计算可以替代传统的实验和试制方法，在产品设计的早期阶段就可以获得可靠的模拟结果，从而降低设计开发周期。
4.处理问题广泛有限元方法适用于复杂、异形的结构物及各种材料，处理问题广泛。
总之，有限元计算是一种强大而灵活的计算方法，可以在许多领域中应用。
其准确性、可靠性、设计周期短、处理问题广泛等优点，使得有限元计算得到广泛应用和重视，也成为了现代科技的重要组成部分。
有限元ppt课件
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
科学计算中的有限元slides.30.25
Wolfgang Bangerth
Questions
Questions for this lecture:
●
What do we do for problems that do not fall into these neat categories? What are common approaches?
u −⃗ ⃗ u n k
** * n −1
− Δ⃗ u = 0
*
●
Then account for one time step's worth of reactions (local ODE):
∂⃗ u ∂t
**பைடு நூலகம்= ⃗ f (⃗ u ),
⃗ u ( t n −1 )=⃗ u
**
*
→
u =⃗ ⃗ u (t n)
u −u n k
n n −1
⃗ u n− 1 − Δ u n = f + β⋅∇
n n n− 1 δ u adv = −k ⃗ β⋅∇ u
δ u source = k f δ u diff = k Δ ( u
n n n −1
n
n
+δ udiff )
n
u = u
/
Second order operator splitting (“Strang splitting”): ● Half diffusion step: Full reaction step:
u −⃗ ⃗ u n k /2
** * n −1
− Δ⃗ u = 0
*
●
∂⃗ u ∂t
●
** = ⃗ f (⃗ u ),
u −u n k uadv −u k