浙江省台州市高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质(1)学案(无答案)新人教A版选

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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

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知识点二双曲线顶点
思索
(1)双曲线顶点就是双曲线与坐标轴交点，你认为对吗？为何？
答案
不对，双曲线顶点是双曲线与其对称轴交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线对称轴，此时双曲线与坐标轴交点是双曲线顶点.
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思索
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线顶点和焦点能在虚轴上吗？
答案
是，只有两个顶点.双曲线顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.
第二章 §2.3 双曲线
2.3.2 双曲线简单几何性质
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学习目标
1.了解双曲线简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等). 2.了解离心率定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中a，b，c，e 间关系. 4.能用双曲线简单几何性质处理一些简单问题.
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内容索引
问题导学题型探究当堂训练
跟踪训练 4 若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双
曲线的离心率 e 为答案解析
A. 2
B.2
C. 3
D. 5
依据等轴双曲线性质，得e＝ .2
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类型四直线与双曲线位置关系命题角度1 直线与双曲线位置关系判定与交点问题例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k取值范围；解答
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跟踪训练 3 与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同渐近线，且过点(－3，2 3)的双
y42－x92＝1 曲线的共轭双曲线的方程为_____4____. 答案解析
设所求双曲线的方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0).
将点(－3，2 3)的坐标代入，得 λ＝14，所以双曲线的方程为x92－1y62 ＝14，即x92－y42＝1.

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质第2课时直线与双曲线的位置关系

2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的简单几何性质第2课时直线与双曲线的位置关系高效测评新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的简单几何性质第2课时直线与双曲线的位置关系高效测评新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第二章圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质第2课时直线与双曲线的位置关系高效测评新人教A版选修2—1一、选择题(每小题5分，共20分)1．过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点,则AB的长为( )A．8 B．4错误!C．4 D．2解析：双曲线x2－y2＝4的焦点为（±2错误!，0），把x＝2错误!代入并解得y＝±2，∴|AB|＝2－（－2)＝4。

答案：C2．已知双曲线方程为x2－错误!＝1，过点P(1,0）的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( ）A．4 B．3C．2 D．1解析：数形结合知，过点P(1，0）有一条直线l与双曲线相切,有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线各只有一个公共点．答案：B3．双曲线错误!－错误!＝1中的被点P(2,1）平分的弦所在的直线方程是（）A．8x－9y＝7 B．8x＋9y＝25C．4x＋9y＝6 D．不存在解析: 点P（2，1）为弦的中点，由双曲线的对称性知,直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k（x－2)，将y＝k（x－2）＋1代入双曲线方程得(4－9k2）x2－9（2k－4k2）x＋36k－45＝04－9k2≠0Δ＝［－9（2k－4k2）］2－4（4－9k2)·（36k－45)>0x＋x2＝错误!＝41解得k＝错误!代入Δ得Δ〈0，故不存在直线满足条件．答案：D4．已知双曲线错误!－错误!＝1（a〉0,b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A．（1，2] B．(1,2)C．[2,＋∞）D．(2,＋∞）解析：根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60°＝错误!，即错误!≥错误!，则错误!＝错误!≥错误!，故有e2≥4,e≥2。

2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质讲义苏教版选修2_1

2.3.2 双曲线的几何性质学习目标核心素养1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养．2.借助性质的应用，提升数学运算素养.1．双曲线的简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称轴x轴，y轴对称中心原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abx(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝2；②等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，它们互相垂直．思考：(1)渐近线一样的双曲线是同一条双曲线吗？ (2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线一样的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值一样．(2)e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba是渐近线的斜率或其倒数．1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．假设双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，那么双曲线的焦点坐标是________．(－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．]4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，那么双曲线的离心率为________．53 [因为渐近线方程为y ＝43x ，所以b a ＝43，所以离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.]由双曲线的方程求其几何性质【例1】求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[思路探究] 此题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出根本量a ，b ，c 即可得解，注意确定焦点所在坐标轴．[解] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点坐标F 1(－13，0)，F 2(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .作草图，如下图：用双曲线标准方程研究几何性质的步骤1．将双曲线方程化为标准方程形式； 2．判断焦点的位置； 3．写出a 2与b 2的值； 4．写出双曲线的几何性质．1．求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率． [解] 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4，∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝43，焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2. 求双曲线的标准方程【例2】求适合以下条件的双曲线的标准方程． (1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．[思路探究] 利用待定系数法，当渐近线方程时，可利用双曲线设出方程进展求解． [解] (1)设以直线y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.双曲线方程的求解方法1．根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a ，b ，c 的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．2．以y ＝±n m x 为渐近线的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可防止分类讨论．2．求适合以下条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，假设焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b2＝1. ②由①②联立，无解．假设焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b2＝1. ④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.求双曲线的离心率及其取值范围ABC ABC A B C 曲线的离心率为________．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围．[思路探究] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a 与c 的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么必有b a≥tan 60°.(1)1＋32 [由题意2c ＝AB ＝BC ，∴AC ＝2×2c ×sin 60°＝23c ，由双曲线的定义，有2a ＝AC －BC ＝23c －2c ⇒a ＝(3－1)c ， ∴e ＝c a＝13－1＝1＋32.] (2)[解] 因为双曲线渐近线的斜率为k ＝b a，直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，故有b a≥3，所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2，所以所求离心率的取值范围是[2，＋∞)．双曲线离心率的求法1．求双曲线的离心率就是求a 和c 的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a ，b ，c 三者中两者的关系，进而利用c 2＝a 2＋b 2进展转化．2．求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与范围联系，通过求值域或解不等式来完成．(2)通过判别式Δ>0来构造．(3)利用点在双曲线内部形成不等关系．(4)利用解析式的特征，如c >a ，或c >b .3．F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．[解] 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由PF 2＝QF 2，∠PF 2Q ＝90°，知PF 1＝F 1F 2，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac ，∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0，即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)．所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为准确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．( ) (2)等轴双曲线的渐近线是y ＝±x .( ) (3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，那么a ＝( )A ．2B ．62 C ．52D ．1 D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.]3．假设双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，那么双曲线的方程是________．x 2－y 29＝1 [双曲线的焦点在x 轴上，那么c ＝10，b a∵a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝1，b 2＝9， ∴方程为x 2－y 29＝1.]4．求适合以下条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．[解] (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y216＝1. (2)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a 2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修2

学习课件
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A 版选修2
2.线的草图，首先在坐标系中画出渐近线 y＝±32x，顶点－23，0，23，0，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，比如取 y＝1，算出 x＝232≈0.94，可知点(0.94,1)，(0.94，－1) 在双曲线上，将三点(0.94，－1)，(23，0)，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它随 x 的增大逐步接近渐近线，画出位于第一、四象限内双曲线的一支．最后由对称性可画出位于第二、三象限内双曲线的另一支，得双曲线的草图如图所示.
(2a，－ 3b)，代入直线方程得－ 3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率 e＝ac＝2＋ 3.
【答案】 2＋ 3
法二：∵渐近线 y＝12x 过点(4,2)，而 3<2， ∴点(4， 3)在渐近线 y＝12x 的下方，在 y＝－12x 的上方(如图)． ∴双曲线的焦点在 x 轴上，
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油!奥利给~
【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率
为ba，又直线 l 过右焦点 F(c,0)，则直线 l 的方程为 y＝ba(x－c)．因为点 P 的横坐标为 2a，代入双曲线方程得4aa22－by22＝1，化简得 y ＝－ 3b 或 y＝ 3b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 的坐标为

高中数学第2章圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质(教学用书)教案新人教A版选修2

2.3.2 双曲线的简单几何性质学习目标核心素养1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(重点)3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养．1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质X围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝ca>1渐近线y＝±ba x y＝±ab x思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝2．1．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．] 2．双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，那么m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4D [方程9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)可化为y 219－x 21m 2＝1(m ＞0)，那么a ＝13，b ＝1m，取顶点⎝⎛⎭⎫0，13，一条渐近线为mx －3y ＝0，所以15＝⎪⎪⎪⎪－3×13m 2＋9，那么m 2＋9＝25．∵m ＞0，∴m ＝4．]3．假设双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，那么双曲线的焦点坐标是________．(－7，0)，(7，0)[由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．]4．离心率e ＝2，经过点M (3，－5)的双曲线的标准方程为________． y 216－x 216＝1[由ca ＝2，得c ＝2a ，∴c 2＝2a 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2．由点M (3，－5)在y ＝－x 的下方可知双曲线焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2a 2＝1，将点M (3，－5)代入得25a 2－9a2＝1，解得a 2＝16．所以双曲线的标准方程为y 216－x 216＝1．]根据双曲线方程研究几何性质[例1] (1)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，22)，过点(0，－2)的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，那么双曲线C 的实轴长为( )A ．2B ．22C ．4D ．4 2(2)求双曲线nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．(1)A [双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，那么点(0，－2)到渐近线bx －ay ＝0(或bx ＋ay ＝0)的距离d ＝|2a |a 2＋b2＝2a c ＝23，得c ＝3a ，即b ＝22a ．由双曲线C 过点(2，22)，可得2a 2－88a 2＝1，解得a ＝1，故双曲线C 的实轴长为2a ＝2．] (2)[解] 把方程nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)，化为标准方程x 2m －y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca＝m ＋nm＝1＋n m．顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)．所以渐近线的方程为y ＝±n mx ＝±mn m x ．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值.(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质. 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.[跟进训练]1．(1)以下双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1 C [A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ；令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x ．应选C ．] (2)假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，那么其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22xB [在双曲线中，离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x ．]利用几何性质求双曲线方程[例(1)双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P (6，2)；(2)双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)假设双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6．思路探究：(1)待定系数法求解．(2)由焦点在x 轴上，设出双曲线的方程后，列方程组求解．(3)由渐近线方程为2x ±3y ＝0设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，进而求出λ得解．[解] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵双曲线过点P (6，2)， ∴4a 2－6b2＝1．由题意得⎩⎨⎧a b ＝23，4a 2－6b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝3.故所求双曲线方程为3y 24－x 23＝1．(2)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43．由题意得⎩⎨⎧b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4，∴所求的双曲线方程为4x 29－y 24＝1．(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3．当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x 281＝1．故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1．1．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a ，b ，c ，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求解．2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y ＝±n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0，m >0，n >0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0，A >0，B >0)．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a 2－x 2b2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)离心率相等的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ>0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．[跟进训练]2．求满足以下条件的双曲线的标准方程：(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解](1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2．故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1．(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．(3)法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ．当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么b a ＝12．①∵点A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1．②①②联立，无解．当焦点在y 轴上时，设所求方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么a b ＝12．③∵点A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1．④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32．∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1．法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8．∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1．求双曲线的离心率[例3] (1)假设双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，那么此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54 C ．43D ．53(2)A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，那么E 的离心率为( )A ．5B ．2C ．3D ． 2思路探究：(1)渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率． (2)由条件画图⇒点M 的坐标⇒代入双曲线方程． (1)D (2)D [(1)由题意知b a ＝43，那么e 2＝1＋b 2a 2＝259，所以e ＝53．(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，那么∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝2．应选D ．]求双曲线离心率的方法(1)假设可求得a ，c ，那么直接利用e ＝ca得解.(2)假设a ，b ，可直接利用e ＝得解.(3)假设得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋qac ＋ra 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，那么转化为关于e 的方程pe 2＋qe ＋r ＝0求解.[跟进训练]3．(1)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．假设|PQ |＝|OF |，那么C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5[答案]A(2)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ．假设点P 的横坐标为2a ，那么C 的离心率为________．2＋3[如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )，此时kPF 2＝3b c －2a ＝ba ，得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝ca＝2＋3．]直线与双曲线的位置关系[1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？[提示]可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．过点(0,2)和双曲线x 216－y 29＝1只有一个公共点的直线有几条？[提示]四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线． [例4] 双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)假设直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，某某数k 的取值X 围；(2)假设直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，某某数k 的值．思路探究：直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ〞与“0〞的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解](1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0． ∵直线与双曲线有两个不同的交点，那么⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠±1．∴假设l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值X 围为 (－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2．又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k 2，∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±62．∴实数k 的值为±62或0．直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用,把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式.①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点. ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点.③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点.当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点. (2)数形结合思想的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.[跟进训练]4．双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，在以下条件下，某某数k 的取值X 围． (1)直线l 与双曲线有两个公共点； (2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k (x －1)，消去y 得，(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0．(*)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程化为2x ＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2>0，1－k 2≠0，即－233<k <233且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点．③⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2<0，1－k 2≠0，即k <－233或k >233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，(1)当－233<k <－1或－1<k <1或1<k <233时，直线与双曲线有两个公共点；(2)当k ＝±1或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；(3)当k <－233或k >233时，直线与双曲线没有公共点．1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x ．]2．双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，那么a ＝( )A ．2B ．62C ．52D ．1D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1．]3．假设一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，那么该双曲线的方程为________．y 236－x 212＝1[椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，那么双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，从而a ＝6，b 2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36．即y 236－x 212＝1．]4．双曲线C 与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，且离心率为2．(1)求双曲线C 的标准方程； (2)求双曲线的渐近线方程．[解] (1)椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，所以c ＝4．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝ca ＝2，所以a ＝2．所以b 2＝c 2－a 2＝12．所以双曲线C 的标准方程为x 24－y 212＝1．(2)由(1)，知双曲线的渐近线方程为x 24－y 212＝0，即y ＝±3x ．。

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质a21

答案：y＝± 2x
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题型二利用双曲线的性质求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)焦点在 y 轴上，实轴长为 10，离心率为152； (2)焦距为 10，实轴长是虚轴长的 2 倍； (3)与双曲线y32－x2＝1 共渐近线，焦点坐标为(±2,0)．
又该双曲线焦点在 x 轴上， ∴双曲线的标准方程为x92－1y62 ＝1. (2)由已知得 2a＝6,2c＝4a，∴a＝3，c＝6. ∴b2＝c2－a2＝36－9＝27. ∴所求的双曲线方程为x92－2y72 ＝1 或y92－2x72 ＝1.
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题型三双曲线的离心率问题
通过解不等式得ac或ba的范围，再求得离心率的范围．
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(1)(2019·北
京
卷
)
已
知
双
曲
线
x2 a2
－
y2
＝
1(a>0)的离心率是 5，则 a＝( )
A. 6
B．4
C．2
D．12
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(2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条
(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出 a，c，
再计算 e＝ac；二是依据条件建立参数 a，b，c 的关系式，一种
方法是消去 b 转化成离心率 e 的方程求解，另一种方法是消去 c
转化成含ba的方程，求出ba后利用 e＝
1＋ba22求离心率．
(2)求离心率的范围一般是根据条件建立 a，b，c 的不等式，

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义含解析湘教版选修2_10416398.doc

2．2.2 双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质[读教材·填要点]双曲线的简单几何性质1．你能求出双曲线x 24－y 23＝1的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？提示：由题意得a 2＝4，b 2＝3，解得a ＝2，b ＝3，则c ＝a 2＋b 2＝7. 因此，实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝2 3. 离心率e ＝c a ＝72. 渐近线方程为y ＝±32x . 2．如何用a ，b 表示双曲线的离心率？提示： e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2. 3．双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？提示：e ＝ca＝1＋b 2a2，当e 越大时，双曲线开口越大，当e 越小接近于1时，双曲线开口越小．4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a 2＝1的渐近线有什么关系？提示：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a2＝1的渐近线相同．求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[自主解答] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点坐标F 1(－13，0)，F 2(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x .若将“－36”改换为“36”呢？解：把方程9y 2－4x 2＝36化为标准形式为y 24－x 29＝1，∴a ＝2，b ＝3，c ＝13. ∴顶点为(0，－2)，(0,2)，焦点坐标为(0，－13)，(0，13)，实轴长是2a ＝4，虚轴长是2b ＝6，离心率e ＝c a ＝132. 渐近线方程为y ＝±23x .已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．1．已知双曲线x 29－y 216＝1与y 216－x 29＝1，下列说法正确的是( )A ．两个双曲线有公共顶点B ．两个双曲线有公共焦点C ．两个双曲线有公共渐近线D ．两个双曲线的离心率相等解析：双曲线x 29－y 216＝1的焦点和顶点都在x 轴上，而双曲线y 216－x 29＝1的焦点和顶点都在y 轴上，因此可排除选项A 、B ；双曲线x 29－y 216＝1的离心率e 1＝9＋169＝53，而双曲线y216－x 29＝1的离心率e 2＝16＋916＝54，因此可排除选项D ；易得C 正确．答案：C2．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋m ＝3，解得m ＝2. 答案：2求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．[自主解答] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)∵所求双曲线与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线， ∴设所求双曲线方程为x 2－2y 2＝λ. 又双曲线过点M (2，－2)，则 22－2·(－2)2＝λ，即λ＝－4. ∴所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.(1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是： ①根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程； ②由已知条件求出待定系数a ，b ；③将求得的系数a ，b 代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．3．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10；(2)已知双曲线与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，与曲线x 236－y 264＝1共渐近线．解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由渐近线方程为y ＝±12x ，得b a ＝12，2c ＝10. 又c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝20，b 2＝5， ∴双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1；当焦点在y 轴上时，可得双曲线的方程为y 25－x 220＝1，∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. (2)由x 224＋y 249＝1得双曲线的焦点为(0，±5)．又双曲线x 236－y 264＝1的渐近线为y ＝±43x ，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则：⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43，a 2＋b 2＝25，解得b 2＝9，a 2＝16.∴所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．[自主解答] 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝ca＝2＋ 3. [答案] 2＋ 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca求解，若已知a ，b ，可利用e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝c a，转化为关于e 的n 次方程求解．[注意] 求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于a ，b ，c 的不等关系．4．(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若ba＝2，求双曲线的离心率；(2)设点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上，双曲线两焦点F 1，F 2，|PF 1|＝4|PF 2|，求双曲线离心率的取值范围．解：(1)∵c ＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋22＝ 5.(2)由双曲线定义得：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，与已知|PF 1|＝4|PF 2|联立解得： |PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2 |得： 83a ＋23a ≥2c ，解得1<e ≤53. 所以离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路求过点P (2，－1)，渐近线方程为y ＝±3x 的双曲线的标准方程．[巧思] 可根据点P (2，－1)与渐近线y ＝±3x 的位置关系，先确定双曲线的标准类型，然后利用待定系数法求标准方程，也可根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点P (2，－1)代入求解．[妙解] 法一：首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P (2，－1)在渐近线y ＝－3x 的上方还是下方．如图所示．x ＝2与y ＝－3x交点为Q(2，－6)，P (2，－1)在Q(2，－6)的上方，所以焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，4a 2－1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝359，b 2＝35.∴所求双曲线方程为x 2359－y 235＝1. 法二：由渐近线方程3x ±y ＝0，可设所求双曲线方程为x 219－y 2＝λ(λ≠0)(*)将点P (2，－1)的坐标代入(*)，得λ＝35， ∴所求的双曲线方程为x 2359－y 235＝1.1．双曲线x 225－y 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x解析：由x 225－y 24＝0，得y 2＝425x 2，即y ＝±25x .答案：A2．双曲线x 225－y 216＝1的离心率是( ) A.35 B.53 C.415D.541解析：a 2＝25，b 2＝16，c 2＝a 2＋b 2＝41， ∴e ＝c a ＝415. 答案：C3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：∵e ＝c a ＝54，F 2(5,0)，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9， ∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.答案：C4．已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.解析：双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±bx ，比较系数得b ＝2.答案：25．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．解析：画图可得相似直角三角形，因此有△OAA ′∽△OFF ′，c a ＝62＝3，即e ＝3. 答案：36．求中心在原点，两顶点间距离为6，渐近线为y ＝±3x 的双曲线的标准方程．解：因为两顶点间的距离为6，即2a ＝6，∴a ＝3.①当焦点在x 轴上时，则有b a＝3，∴b ＝9. ∴双曲线方程为x 29－y 281＝1.②当焦点在y 轴上时，则有a b＝3，∴b ＝1.∴双曲线方程为y 29－x 2＝1.一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a 等于( )A ．2 B. 3 C.32D ．1解析：很明显，双曲线的焦点在x 轴上，则离心率e ＝a 2＋3a＝2，解得a ＝1.答案：D2．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：由双曲线的渐近线y ＝±b a x 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，又⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：D4．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)，不妨设一个焦点为F (c,0)，虚轴端点为B (0，b )，则k FB ＝－bc .又渐近线的斜率为±b a ，所以由直线垂直关系得－b c ·ba＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a显然不符合，即b 2＝ac ，又c 2－a 2＝b 2，故c 2－a 2＝ac ，两边同除以a 2，得方程e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(舍负值)．答案：D 二、填空题5．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33. 答案：336．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝17．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝72＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y23＝1.答案：x 24－y 23＝1.8．已知双曲线x 2m ＋y 24＝1的离心率e ∈(2，2)，则m 的取值范围是________．解析：由双曲线方程知a ＝2，b ＝－m ，m <0，因为e ∈(2，2)，且e 2＝1＋b 2a2，所以2<1＋b 2a 2<4,1<b 2a2<3，因此，有1<－m4<3,4<－m <12，所以－12<m <－4. 答案：(－12，－4) 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点是(－4,0)，(4,0)，过点(2,0)； (2)离心率为54，虚半轴长为2；(3)两顶点间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分．解：(1)由焦点坐标知双曲线焦点在x 轴上，且c ＝4. 由双曲线过点(2,0)知顶点坐标为(2,0)，(－2,0)，即a ＝2，从而a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.(2)由题意得b ＝2，又e ＝c a ＝54，令c ＝5k (k >0)，则a ＝4k ，由b 2＝c 2－a 2＝9k 2＝4得k 2＝49，∴a 2＝16k 2＝649.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 2649－y 24＝1或y 2649－x 24＝1. (3)由两顶点间的距离是6得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点连线被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.10.如图所示，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1与双曲线的交点P 满足MP ―→＝3PF 1―→，试求双曲线的离心率．解：连接PF 2，设|F 1F 2|＝2c ，由MP ―→＝3PF 1―→知 |PF 1|＝14|MF 1|.又△MF 1F 2为正三角形， ∴|PF 1|＝14×2c ＝12c ，∠PF 1F 2＝60°，由余弦定理可得： |PF 2|＝ c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12c 2－2·2c ·12c cos 60°＝4c 2＋14c 2－c 2＝132c .根据双曲线定义有 2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝13－12c ， ∴离心率e ＝c a＝413－1＝13＋13. 第二课时直线与双曲线的位置关系[读教材·填要点]1．直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 2．弦长公式斜率为k (k ≠0)的直线l 与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.[小问题·大思维]1．当直线与双曲线只有一个公共点时，直线一定与双曲线相切吗？提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2．当直线的斜率不存在或斜率k ＝0时，如何求弦长？提示：把直线方程直接代入双曲线方程，求出交点坐标，再求弦长．已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试确定实数k 的取值范围，使：(1)直线l 与双曲线有两个公共点； (2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k x －，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0，(*)当1－k 2＝0，即k ＝±1，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程化为2x ＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．(1)⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＞0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜0，1－k 2≠0，即k ＜－233或k ＞233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，(1)当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－1∪(－1,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，233时，直线与双曲线有两个公共点．(2)当k ＝±1或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞时，直线与双曲线没有公共点．若将“y ＝k (x －1)”改为“y ＝k (x －3)”，试解决(2)(3)两个问题？解：∵直线y ＝k (x －3)过定点(3,0)，且定点(3,0)在双曲线x 2－y 2＝4的内部． ∴当k ＝±1时，直线l 与双曲线有且只有一个公共点；当直线l 与双曲线没有公共点时，k 不存在，即k ∈∅.解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x 或y 的一元二次方程．再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x 或y 的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系．1．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的方程．解：可分两种情况：①直线l 斜率不存在时，l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意，此时直线l 为x ＝1. ②直线l 斜率存在时，设l 方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0，即k ＝±2，即l 与双曲线的渐近线平行时，l 与双曲线只有一个公共点．直线l 为y ＝2x －1或y ＝－2x ＋3.当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52，直线l 为y ＝52x －32.综上，直线l 的方程为x ＝1或y ＝2x －1或y ＝－2x ＋3或y ＝52x －32.已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点．若P 为AB 的中点，(1)求直线AB 的方程； (2)求弦AB 的长．[自主解答] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程3x 2－y 2＝3，得 3x 21－y 21＝3,3x 22－y 22＝3，两式相减得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝3，所以直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2y 1＋y 2＝3×x 1＋x 22y 1＋y 22＝3×21＝6.所以直线AB 的方程为6x －y －11＝0. (2)将y ＝6x －11代入3x 2－y 2＝3，得 33x 2－132x ＋124＝0，则x 1＋x 2＝13233，x 1x 2＝12433，由弦长的公式|AB |＝＋k2x 1－x 22＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]得|AB |＝＋1322－4×33×124332，所以|AB |＝4332 442.保持例题条件不变，试判断A ，B 两点在双曲线的左支上还是在右支上？解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －11，3x 2－y 2＝3，得33x 2－132x ＋124＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝13233>0，x 1·x 2＝12433>0，即x 1>0且x 2>0，∴点A ，B 都在双曲线的右支上．对于弦长问题，主要是利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关系解决．另外，在弦的问题中，经常遇到与弦的中点有关的问题，这种问题经常用点差法解决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可以转化成中点、弦长问题来解决．2．直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m .解：设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*)设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2| ＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－65m 2－4×310m 2＋＝4. 解得m ＝±2103. 由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±2103代入上式，得Δ＞0，符合题意．故m 的值为±2103.解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点．若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．[巧思] 以AB 为直径的圆过坐标原点，即OA ⊥OB .因此可联立直线与双曲线方程，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则问题可转化为x 1x 2＋y 1y 2＝0求解．[妙解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.①依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠± 3.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a 3－a 2， ③x 1x 2＝－23－a 2， ④∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1， ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0.解得a ＝±1且满足②， ∴a ＝±1.1．过双曲线x 2－y 2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．8D ．4 2解析：双曲线x 2－y 2＝4的焦点为(±22，0)，把x ＝22代入并解得y ＝±2，∴|AB |＝2－(－2)＝4.答案：B2．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：双曲线方程为x 29－y 24＝1，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．答案：C3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a2，所以|AB |＝2×b 2a＝2×2a .∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a＝ 3. 答案：B4．过双曲线x 24－y 23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值是________．解析：|MF 2|＋|NF 2|－|MN | ＝|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1| ＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|) ＝4a ＝8. 答案：85．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝6，y ＝kx ＋2，得x 2－(kx ＋2)2＝6.即(1－k 2)x 2－4kx －10＝0有两个不同的正根．则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝40－24k 2>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，得－153<k <－1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 6．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A ，B 两点，试问A ，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．解：∵a ＝1，b ＝3，c ＝2，直线l 过点F 2且倾斜角为45°， ∴直线l 的方程为y ＝x －2. 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵x 1·x 2＝－72＜0，∴A ，B 两点分别位于双曲线的左、右两支上． ∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72，∴|AB |＝1＋12|x 1－x 2| ＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·－2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝6.一、选择题1．如图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的曲线只可能是( )解析：直线方程可化为y ＝ax ＋b ，曲线方程可化为x 2a ＋y 2b＝1，若a ＞0，b ＞0，则曲线表示椭圆，故A 不正确．关于B 、D ，由椭圆知直线斜率应满足a ＞0，而由B 、D 知直线斜率均为负值，故B ，D 不正确．由C 可知a ＞0，b ＜0.答案：C2．P 是双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M ，F 1三点共线以及P 与N ，F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝6＋3＝9.答案：D3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2.又直线AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2.代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24 －y 25＝1.答案：B4．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB ―→＝2FA ―→，则此双曲线的渐近线的斜率是( )A ．± 2B ．± 3C ．±2D ．± 5解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程是y ＝±b ax ，不妨设过右焦点F (c,0)(c >0)的直线l 与渐近线y ＝b a x 垂直，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线l 的方程为y ＝－a b(x －c )，两直线方程联立解得y 1＝ab c ；把方程y ＝－a b (x －c )与方程y ＝－b a x 联立，解得y 2＝abcb 2－a 2，因为FB ―→＝2FA ―→，所以(x 2－c ，y 2)＝2(x 1－c ，y 1)，由此得y 2＝2y 1，故abc b 2－a 2＝2ab c，即2(b2－a 2)＝c 2＝a 2＋b 2，即b ＝3a ，故此双曲线的渐近线斜率是± 3.答案：B 二、填空题5．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：26．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7.∴方程可化为x 2a 2－y 27－a 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a2.∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2.∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1.答案：x 22－y 25＝17．设一个圆的圆心在双曲线y 29－x 216＝1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________．解析：由已知得双曲线的上顶点为A (0,3)，上焦点为F (0，5)，设圆心为P (x 0，y 0)，则y 0＝3＋52＝4.代入双曲线方程得169－x 2016＝1，所以x 20＝7×169，故|PO |＝ x 20＋y 20＝7×169＋16＝163. 答案：1638．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设PF 1的中点为M ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ，在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝c2－a2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，根据双曲线定义得4b －2c ＝2a ，即2b －a ＝c ，即(2b －a )2＝a 2＋b 2，即3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a ，又双曲线的渐近线方程是y ＝±b ax ，所以y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.答案：4x ±3y ＝0 三、解答题9．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1交于两个不同的点A ，B ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解：由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，可知方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的解，消去y ，并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a2>0，解得0<a <2，且a ≠1.而双曲线C 的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，从而e >62，且e ≠2，故双曲线C 的离心率e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，且过点P (6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线交于两个不同点A ，B ，且OA ―→·OB ―→>2(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．解：(1)由已知e ＝c a ＝233，∴c ＝233a ，b 2＝c 2－a 2＝43a 2－a 2＝13a 2，即a 2＝3b 2.又P (6，1)在双曲线上， ∴63b 2－1b2＝1，∴b 2＝1，a 2＝3. 故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2＝3，消去y 并整理得：(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 交于不同两点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)得：⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2，∴k 2<1且k 2≠13.①又x 1＋x 2＝62k1－3k2，x 1x 2＝－91－3k2， ∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝(k 2＋1)93k 2－1－2k ·62k 3k 2－1＋2>2.∴k 2－33k 2－1<0. ∴13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修2_1

1
答案:B
【做一做 1-2】
2 A.y=± ��B. �� = 3 3 C.y=± ��D. �� = 2 ��2 ��4 ± �� 9 9 ± �� 4
��2 − 9
2
∵双曲线过点 P( 6, 2), 且点P 在直线 y= 3 ��的左上方, ∴m<0,n<0,∴焦点在 y 轴上.
又渐近线的斜率 k=± ,
6 4 - = 1, �� = -3, �� 4 ∴ 解得 -�� 2 �� = - . = , 3 3 -��
��2 已知双曲线 �� 2 − 12-��
= 1 是等轴双曲线, 则�� =
= 1 是等轴双曲线,
∴n=12-n,∴n=6.
答案:6
有共同渐近线的双曲线系方程
��'2 ��'2 �� ±1(��′ > 0, ��′ > 0)有相同的渐近线,即两条渐近线方程 ± = 0 与 �� 1 ± = 0 分别重合,则必有 = = (�� > 0), 故a'=ka,b'=kb. ��' ��' ��' ��' �� 2 2 �� 2 ��2 反之,易求得双曲线 2 − 2 = ±1 与 2− 2 = ±1 有 �� (��) (��) �� 2 ��2 相同的渐近线y=± ��, 故与双曲线 2 − 2 = ±1 有相同渐近线的双 �� 2 ��2 ��2 ��2 曲线系方程为 2− 2 = ±1. 上述方程可简化为 ��2 − 2 = (��) (��) �� 2 ��(��≠0).因此在已知渐近线的方程的情况下,利用双曲线系方程 2 − �� 2 ��

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2.2双曲线简单几何性质的应用a21a高二21数学

以
k＝0
或
k＝±
6 2.
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类型四
素养提升
直线与双曲线相交忽视特殊情况致误
【例 4】已知过点 P(1,1)斜率为 k 的直线 l，与双曲线 x2 －y42＝1 只有一个公共点，试探究直线 l 的斜率 k 的取值．
【错解】由题意得 l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程得
(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.由题意得 Δ＝(2k－2k2)2－
第十七页，共四十七页。
综上所述， (1)当－2<k<2 时，直线与双曲线有两个公共点； (2)不存在使直线与双曲线有一个公共点的 k 值； (3)当 k≤－2 或 k≥2 时，直线与双曲线没有公共点．
第十八页，共四十七页。
要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为 0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为 0，则进一步研究二次方程的根的判别式 Δ，得到直线与双曲线的交点个数.
第二十九页，共四十七页。
(2)设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题意知 P(0,1)． ∵P→A＝152P→B，∴(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)．由此得 x1＝152x2，由于 x1、x2 都是方程①的根，且 1－a2≠0. 由根与系数的关系，得1172x2＝－12－a2a2，152x22＝－1－2aa2 2. 消去 x2，得－12－a2a2＝26809，由 a>0，得 a＝1173.
[重点] 直线与双曲线的位置关系的判定、弦长、中点等问题．
[难点] 在处理直线与双曲线位置关系时方程思想的运用及较大的运算量．
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要点整合夯基础课堂达标练经典

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质a21a高二21数学

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(2)①若双曲线的渐近线方程为 y＝±mn x，则双曲线方程可表示为mx22－ ny22＝λ(λ≠0)；②与双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可表示为xa22－by22＝λ(a>0，b>0，λ≠0)；与双曲线ay22－xb22＝1(a>0， b>0)共渐近线的双曲线方程可表示为ay22－xb22＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
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1.xa22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，原点到直线 AB 的距离为 23，其中
A(0，－b)、B(a,0)，求该双曲线的标准方程．
解析：∵e＝2，∴1＋ba22＝4，
∴b2＝3a2
①
又∵AB 的方程为 bx－ay－ab＝0，
由点到直线的距离公式可得
长： 2b ；半实轴长： a ，半虚轴长： b c
e＝ a ∈ (1，＋∞)
y＝±bax
y＝±abx
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二、直线与双曲线的位置关系及判定
直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：xa22－by22＝1(a>0，b>0)，
两方程联立消去 y，得 mx2＋nx＋q＝0.
位置关系公共点个数
2.3.2 双曲线的简单几何性质
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考纲定位
重难突破
重点：双曲线的几何性质．掌握双曲线的几何性质.
难点：能解决一些简单的双曲线问题.
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2.3.2 双曲线的简单几何性质 2

(2)直线的方程: y=±－x a
x
渐渐接近但永不相交
x a
2 2
-
y b
2 2
= 1
•
y
N Q B2 A1 O M
5.离心率
(1)概念:焦距与实轴长之比
c (2)定义式: e=－
b A2 a
B1
a
x
(3)范围: e>1 (c>a) (4)双曲线的形状与e的关系
k = b a = c - a a
第二章圆锥曲线与方程
2.3.2 双曲线的简单几何性质
一.复习引入
• 1.双曲线的定义是怎样的？
• 2.双曲线的标准方程是怎样的？
x a
2y a
2 2
-
x b
2 2
= 1
• 思考回顾椭圆的简单几何性质？ ①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等回想：我们是怎样研究上述性质的？
x a
2

2
-
y b
2 2
= 1
k=
b a
=
c - a a
2
2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大,其开口越阔.
例1 求双曲线 9 y 16 x 144 的实半轴长,虚半轴长,
2 2
焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程：可得:实半轴长 a=4 虚半轴长 b=3 半焦距 c= 4 2 32 5 焦点坐标是 (0,-5),(0,5) 离心率
2 2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大, 其开口越阔.
y
L!
y
B
图形
A1

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质(2)学案(无答案)新人教A版选

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2。

3.2双曲线的简单几何性质(2）学习目标：能够根据渐近线方程求双曲线的方程;掌握直线与双曲线的位置关系并能解决简单问题。

课前练习:双曲线14222=-y x 的渐近线方程为_____ 自主学习：例1。

根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)双曲线的渐近线方程为23y x =±,且过点9(,1)2M -(2)已知双曲线渐近线方程为12y x =±,焦距为10；(3）与双曲线1222=-y x 有共同渐近线,且过点(2，—2）小结:利用待定系数法求双曲线方程时，常用结论:（1）若双曲线的渐近线方程为b y x a=±，则双曲线方程可设为______________________ （2)与双曲线22221(0,0)xy a b a b -=>>有共同渐近线的双曲线方程可设为__________________(3) 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与双曲线)(1222222a k b kb y k a x <<-=+--有相同的______ 自主探究：直线与双曲线的位置关系联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12222b y ax mkx y 消元得:02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b（1)当0222=-k a b 时,即ab k ±=时,直线与渐近线平行,直线与双曲线有_____个交点,位置关系是________(2）当0222≠-k a b 时, 即ab k ±≠时，若Δ〉0, 则有____个交点，位置关系是________；若Δ=0, 则有____个交点，位置关系是________;若Δ〈0，则_______交点，位置关系是________.思考:直线与双曲线有一个公共点，则直线与双曲线一定相切吗？自主学习：例2.已知直线y =kx +1与双曲线1322=-y x 相交于A,B 两点，当k 为何值时,以AB 为直径的圆过原点, 并求此时弦长|AB|.自主学习：自学教材P58—60例4、例5、例6思维拓展：双曲线的第二定义（P59例5）2。