安徽省中考数学一轮复习 第二讲 空间与图形 第四章 三角形 4.4 相似三角形课件
安徽省中考数学一轮复习第二讲空间与图形第四章三角形单元综合检测(2021年整理)
单元综合检测四三角形（80分钟120分）一、选择题(每小题4分，满分32分)1.如图，直线a∥b，∠1=50°,∠2=28°,则∠3的度数是（A)A。
22° B.28°C。
50°D。
30°【解析】如图，∵a∥b，∴∠4=∠1=50°,由三角形的外角性质得∠3=∠4-∠2=50°—28°=22°.2.在△ABC中,∠ABC=30°，AB边长为10,AC边的长度可以在3,5，7,9，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是(D)A。
3 B。
4 C.5 D.6【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠ABC=30°,AB=10,∴AD=AB=5。
当AC=3时，没有符合条件的三角形;当AC=5时,可作1个三角形；当AC=7时,可作2个三角形;当AC=9时,可作2个三角形;当AC=11时，可作1个三角形。
所以满足条件的互不全等的三角形共有1+2+2+1=6个.3.若一个角的补角比它余角的4倍还多15°,则这个角的度数是(C）A.45°B。
55°C.65°D.75°【解析】设这个角的度数是x，根据题意得180-x=4（90—x）+15,解得x=65。
4.如图,BC∥EF,AC∥DF,添加下列一个条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（B）A.AD=BEB.∠C=∠FC。
AC=DF D.BC=EF【解析】∵BC∥EF，AC∥DF，∴∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF,根据全等三角形的判定方法,添加选项B中的∠C=∠F，不能判断△ABC≌△DEF.5。
如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA’=2∶3,则四边形ABCD和A'B'C'D’的面积比为(A)A.4∶9 B。
中考数学三角形与四边形复习题及答案
第二部分空间与图形第四章三角形与四边形第1讲线、角、相交线和平行线一级训练1．(2011年安徽芜湖)一个角的补角是36°35′，这个角是________．2．如图4－1－12，已知线段AB＝10 cm，AD＝2 cm，D为线段AC的中点，那么线段CB＝________cm.图4－1－123．(2012年湖南株洲)如图4－1－13，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，且∠1＝120°，则∠2＝()图4－1－13A．60°B．120°C．30°D．150°4．(2011年四川南充)如图4－1－14，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝60°，下列结论成立的是()图4－1－14A．∠C＝60°B．∠DAB＝60°C．∠EAC＝60°D．∠BAC＝60°5．下列命题中，正确的是()A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0或b＝06．(2012年湖北孝感)已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠r互余，则∠β－∠r的值等于()A．45°B．60°C．90°D．180°7．(2011年浙江丽水)如图4－1－15，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是()A．30°B．25°C．20°D．15°图4－1－158．如图4－1－16，下列条件中，不能判断l1∥l2的是()图4－1－16A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°9．(2011年湖北孝感)如图4－1－17，直线AB，CD相交于点O，OT⊥AB于点O，CE∥AB交CD于点C.若∠ECO＝30°，则∠DOT＝()图4－1－17A．30°B．45° C. 60° D. 120°10．(2012年湖南怀化)如图4－1－18，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交CD于点D，若∠C＝110°，则∠EAB＝()A．30°B．35°C．40°D．45°图4－1－1811．下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路变直，就能缩短路程．其中可用公理“两点之间，线段最短”来解决的现象有()A．①②B．①③C．②④D．③④12．如图4－1－19，一束光线垂直照射在水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为()图4－1－19A．45°B．60°C．75°D．80°二级训练13．(2012年四川广元)一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度()A．先向左转130°，再向左转50°B．先向左转50°，再向右转50°C．先向左转50°，再向右转40°D．先向左转50°，再向左转40°14．如图4－1－20，在△ABC中，∠C＝90°.若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是()A．40°B．60°C．70°D．80°图4－1－2015．如图4－1－21，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′＝()图4－1－21A．70°B．65°C．50°D．25°w16．观察下图4－1－22，寻找对顶角(不含平角)：(1)(2)(3)图4－1－22(1)如图4－1－22(1)，图中共有______对对顶角；(2)如图4－1－22(2)，图中共有______对对顶角；(3)如图4－1－22(3)，图中共有______对对顶角；(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成______对对顶角；(5)若有2 008条直线相交于一点，则可形成______对对顶角．三级训练17．如图4－1－23，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.图4－1－23(1)求∠MON的度数；(2)如果(1)中，∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；(3)如果(1)中，∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；(4)从(1)、(2)、(3)的结果中，你能看出什么规律？第2讲三角形第1课时三角形一级训练1．已知在△ABC中，若∠A＝70°－∠B，则∠C＝()A．35°B．70°C．110°D．140°2．如图4－2－14，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD＝()A．100°B．120°C．130°D．150°图4－2－143．已知如图4－2－15的两个三角形全等，则α的度数是()图4－2－15A．72°B．60°C．58°D．50°4．(2011年湖南怀化)如图4－2－16，∠A，∠1，∠2的大小关系是()图4－2－16A. ∠A>∠1>∠2B. ∠2>∠1>∠AC. ∠A>∠2>∠1D. ∠2>∠A>∠15．(2011年江西)如图4－2－17，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是()图4－2－17A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CADC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC6．(2011年上海)下列命题中，是真命题的是()A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角形都全等C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等腰直角三角形都全等7．(2012年山东德州)不一定在三角形内部的线段是()A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线8．(2012年山东济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图4－2－18，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是()A．SSS B．ASAC．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等图4－2－189．(2011年安徽芜湖)如图4－2－19，已知在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE 的交点，CD＝4，则线段DF的长度为()图4－2－19A．2 2B．4C．3 2D．4 210．以三条线段3,4，x－5为边组成三角形，则x的取值范围为________．11．若△ABC的周长为a，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为__________．12．(2011年江西)如图4－2－20，两块完全相同的含30°的直角三角形叠放在一起，且∠DAB＝30°.有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF; ③O为BC的中点；④AG∶DE ＝3∶4.其中正确结论的序号是__________．图4－2－20二级训练13．(2011年山东威海)在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F 在边BC上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等？()A．EF∥AB B．BF＝CF C．∠A＝∠DFE D．∠B＝∠DEF14．(2011年浙江)如图4－2－21，点D，E分别在AC，AB上．(1)已知BD＝CE，CD＝BE，求证：AB＝AC；(2)分别将“BD＝CE”记为①，“CD＝BE”记为②，“AB＝AC”记为③.添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是________命题，命题2是_________命题(选择“真”或“假”填入空格)．图4－2－2115．(2012年湖北随州)如图4－2－22，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E 在AD上．求证：(1)△ABD≌△ACD；(2)BE＝CE.图4－2－22三级训练16．(2011年湖南衡阳)如图4－2－23，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为________．图4－2－2317．如图4－2－24，两根旗杆间相距12 m ，某人从点B 沿BA 走向点A ，一定时间后他到达点M ，此时他仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90°，且CM ＝DM ，已知旗杆AC 的高为3 m ，该人的运动速度为1 m/s ，求这个人运动了多长时间？图4－2－24第二部分 空间与图形 第四章 三角形与四边形第1讲 线、角、相交线和平行线 【分层训练】 1．143°25′ 2.B 3.B 4.B 5.D 6.C 7.B 8.B 9．C 10.B 11.D 12．A 解析：如图D9，过点O 作OD ⊥OC ，根据平面镜反射定律，可得∠AOD ＝∠BOD .又∵AO 垂直于水平面，OB 平行于水平面，∴∠AOB ＝90°.∴∠AOD ＝∠BOD ＝45°.又∵OD ⊥OC ，∴∠BOC ＝90°－∠BOD ＝45°.由于OB 平行于水平面，可得∠1＝∠BOC ＝45°.图D911．D 13.B14．C 解析：由题意，可得∠EAB ＋∠DBA ＝180°，又由∠C ＝90°，可得∠CAB ＋∠CBA ＝90°，于是∠CAE ＋∠DBC ＝90°.故∠CAE ＝90°－∠DBC ＝70°.15．C 解析：∠D ′EF ＝∠DEF ＝∠EFB ＝65°，于是∠AED ′＝180°－∠D ′ED ＝50°. 16．(1)2 (2)6 (3)12 (4)n (n －1) (5)4 030 056解析：(1)如图4－1－22(1)，图中共有1×2＝2对对顶角； (2)如图4－1－22(2)，图中共有2×3＝6对对顶角； (3)如图4－1－22(3)，图中共有3×4＝12对对顶角；(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于一点，则可形成(n －1)n 对对顶角；(5)若有2 008条直线相交于一点，则可形成(2 008－1)×2 008＝4 030 056对对顶角．17．解：(1)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12×120°－12×30°＝45°.(2)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(α＋30°)－12×30°＝12α.(3)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(90°＋β)－12β＝45°.(4)∠MON 的大小等于∠AOB 的一半，与∠BOC 的大小无关． 第2讲 三角形 第1课时 三角形 【分层训练】1．C 2.C 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.B10．6<x <12 解析：由题意，可得1<x －5<7，解得6<x <12. 11.a 2 解析：由题意，可得△DEF 的三边为△ABC 的中位线，故其周长为a 2. 12．①②③④ 13.C 14．(1)证明：连接BC ，∵ BD ＝CE ，CD ＝BE ，BC ＝CB ， ∴ △DBC ≌△ECB (SSS)． ∴ ∠DBC ＝∠ECB . ∴ AB ＝AC . (2)真 假15．证明：(1)∵D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD .在△ABD 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，AB ＝AC ，AD ＝AD (公共边)，∴△ABD ≌△ACD (SSS)．(2)由(1)，可知：△ABD ≌△ACD ， ∴∠BAD ＝∠CAD ，即∠BAE ＝∠CAE . 在△ABE 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAE ， AE ＝AE ，∴△ABE ≌△ACE (SAS)．∴BE ＝CE (全等三角形的对应边相等).16．7 解析：因为将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，所以EC ＝AE ，故△ABE 的周长为AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋BE ＋EC ＝AB ＋BC ＝3＋4＝7.17．解：∵∠CMD ＝90°， ∴∠CMA ＋∠DMB ＝90°. 又∵∠CAM ＝90°，∴∠CMA ＋∠ACM ＝90°. ∴∠ACM ＝∠DMB . 又∵CM ＝MD ，∴Rt △ACM ≌Rt △BMD . ∴AC ＝BM ＝3.∴他到达点M 时，运动时间为3÷1＝3(s)． 答：这人运动了3 s.。
中考数学一轮复习第二讲空间与图形第四章三角形4.4相似三角形课件
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特别提醒
有关等比性质的注意事项:( 1 )等比性质的证明运用了“设 k 法”( 即引入新的参数
特别提醒 这些相似三角形的基本图形只是最基本的,也是为了让同学们尽快地熟悉常见的相似 三角形的情况,但在实际问题中,两个相似三角形的位置各种各样、千变万化,脑海中不 能仅局限于以上这几种情况.
考点扫描
名师考点精讲
考点1 考点2 考点3 考点4
典例3 ( 2018·亳州利辛县模拟 )在三角形纸片ABC中,AB=8,BC=4,AC=6,按下列方法
解答题
23(
②
2
分值 5
)5
) )
10
4
5 )5
2019 年中考命题预测
考查内容:相似三角形的判定和性 质. 考查题型:从安徽省近几年的中考 试题可以看出,有关相似形的题目 每年都会考,有时是选择题,有时是 解答题( 含作图题 ),分值在 5~10 分不等,且有分值在增大、越来越重 视的趋势. 中考趋势:预测 2019 年的中考,会延 续近几年的趋势,考 1~2 个有关相似 形的题目,可能是选择题,也可能是 解答题( 含作图题 ),如果是解答 题,很可能是与其他知识的综合,“相 似形”会是题目中的 1~2 个小问.
4.4 相似三角形
考纲解读
了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念,了解黄金分割.了解图形相 似的概念,了解相似多边形和相似比,理解相似三角形的概念和性质.理解并掌握两条直 线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.理解并掌握相似三角形的判定定理.能够 利用相似三角形的判定定理和相似三角形的性质定理证明和解决有关的问题.了解位 似图形的概念,能够利用位似将一个图形放大或缩小,能利用图形的相似解决一些简单 实际问题.
安徽省中考数学一轮复习 第二讲 空间与图形 第四章 三角形 4.3 特殊三角形测试-人教版初中九年级
4.3特殊三角形[过关演练](30分钟80分)1.(2018·某某某某)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是(B)A.20°B.35°C.40°D.70°【解析】∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CA D=20°,∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=∠ACB=35°.2.(2018·某某宿迁)若实数m,n满足等式|m-2|+=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是(B)A.12B.10C.8D.6【解析】∵|m-2|+=0,∴m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4,当m=2作腰时,三边为2,2,4,不符合三边关系定理;当n=4作腰时,三边为2,4,4,符合三边关系定理,周长为2+4+4=10.3.(2018·某某)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为 (A)A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米【解析】∵52+122=132,∴三条边长分别为5里,12里,13里,构成了直角三角形,∴这块沙田面积为×5×500×12×500=7500000(平方米)=7.5(平方千米).4.(2018·某某)如图,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为(C)A.B.2C.D.3【解析】∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt△ADC中,AC=8,∠C=45°,∴AD=CD,∴AD=AC=4.在Rt△ADB中,AD=4,∠ABD=60°,∴BD=AD=.∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=30°.在Rt△EBD中,BD=,∠EBD=30°,∴DE=BD=,∴AE=AD-DE=.5.若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为(A)A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm【解析】(1)若底边长为2 cm,则腰长为(10-2)÷2=4(cm),4+2>4,符合三角形三边关系,所以该等腰三角形的底边长为2 cm;(2)若腰长为2 cm,则底边长为10-2×2=6(cm),2+2<6,不符合三角形三边关系,所以该等腰三角形的底边长为6 cm应舍去.6.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是(C)【解析】∵AB的垂直平分线交AC于点D,∴AD=BD,∴△BDC的周长=BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是(B)A.BCB.CEC.ADD.AC【解析】由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B 与点C关于直线AD对称,连接CP,则BP=CP,所以BP+EP=CP+EP≥CE,所以BP+EP的最小值为CE.8.(2018·某某东营)如图,点E在△DBC的边DB上,点A在△DBC的内部,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC.给出下列结论:①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45°;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2)-CD2.其中正确的是(A)A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④【解析】∵∠DAE=∠BAC=90°,∴∠DAB=∠EAC,∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,故①正确;∴∠ABD+∠ECB=∠ACE+∠ECB=∠ACB=45°,故②正确;∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°,∴∠CEB=90°,即CE⊥BD,故③正确;∴BE2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2,故④正确.9.(2018·某某某某)如图,在△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若∠CAE=16°,则∠B的度数为37°.【解析】∵AD=AC,点E是CD的中点,∴AE⊥CD,∴∠AEC=90°,∴∠C=90°-∠CAE=74°,∵AD=AC,∴∠ADC=∠C=74°,∵AD=BD,∴2∠B=∠ADC=74°,∴∠B=37°.10.如图,把等边△ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC,若BP=4 cm,则EC=2+2cm.【解析】根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=4.根据折叠的性质可得∠DPE=∠A=60°,DA=DP=4,易得∠EPC=30°,∠PEC=90°,所以EC=PC=(8+4-4)=2+2.11.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为2或2或2.【解析】当∠APB=90°时,①如图1,∵AO=BO,∴PO=BO,∵∠AOC=60°,∴∠BOP=60°,∴△BOP为等边三角形,∵AB=BC=4,∴AP=AB·sin 60°=4×=2;②如图2,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=AO,∵∠AOC=60°,∴△AOP为等边三角形,∴AP=AO=2.当∠ABP=90°时,如图3,∵∠AOC=∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴BP==2,在Rt△ABP中,AP==2.综上,AP的长为2或2或2.12.(2018·某某)在△ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为9或1.【解析】有两种情况:①如图1,∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=∠ADC=90°,由勾股定理得BD==5,CD==4,∴BC=BD+CD=5+4=9;②如图2,同理得CD=4,BD=5,∴BC=BD-CD=5-4=1.综上,BC的长为9或1.13.(8分)(2018·某某庐阳区一模)《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何”.大意是说,已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远?解:设经x秒二人在B处相遇,这时乙共行AB=3x,甲共行AC+BC=7x,∵AC=10,∴BC=7x-10,又∵∠A=90°,∴BC2=AC2+AB2,∴(7x-10)2=102+(3x)2,∴x=0(舍去)或x=3.5,∴AB=3x=10.5,AC+BC=7x=24.5.答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.14.(10分)在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=25°,求∠CFE的度数.解:(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=CB,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2)由(1)得Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠AEB=∠CFB,BE=BF,∴∠BFE=45°,∵∠ABC=90°,AB=BC,∴∠BCA=45°,又∵∠AEB=45°+∠CAE,∠CFB=45°+∠CFE,∴∠CFE=∠CAE=25°.15.(10分)(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE.若∠A=60°(如图1),求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图2),(1)中的结论是否成立,并说明理由;(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其他条件不变,则的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)解:(1)作DF∥BC交AC于点F.则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,∴△ADF是等边三角形,AD=DF,∠DFC=120°,∵∠DEC=∠DCE,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,在△DBE和△CFD中,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.(2)EB=AD成立.理由:作DF∥BC交AC的延长线于点F,则∠DCE=∠CDF,△ABC与△ADF是等边三角形,∴AD=DF.∵∠DEC=∠DCE,∴DE=CD,∠DEC=∠CDF,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.(3).提示:作DF∥BC交AC于点F.同(1)得△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF.∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,∴△ADF是等腰直角三角形,∴DF=AD,∴,∴.[名师预测]1.等边三角形的两条中线相交所成钝角的度数是(B)A.105°B.120°C.135°D.150°【解析】等边三角形的每一个内角都等于60°,而等边三角形的中线就是内角的平分线,所以等边三角形的两条中线相交所成钝角就是等边三角形两个内角平分线相交所成钝角,其度数为180°-30°-30°=120°.2.如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于(A)A.15°B.30°C.45°D.60°【解析】∵等边三角形ABC中,AD⊥BC,∴BD=CD,即AD是BC的垂直平分线,∵点E在AD上,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∵∠EBC=45°,∴∠ECB=45°,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°.3.如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(B)A.4B.6C.4D.8【解析】∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB,MN∥BC,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6.4.在△ABC中,AB=13 cm,AC=20 cm,BC边上的高为12 cm,则△ABC的面积为(D)A.63 cm2B.126 cm2C.63 cm2或126 cm2D.66 cm2或126 cm2【解析】当∠B为锐角时(如图1),在Rt△ABD中,BD==5,在Rt△ADC中,CD==16,∴BC=21,∴S△ABC=·BC·AD=×21×12=126(cm2);当∠B为钝角时(如图2),在Rt△ABD中,BD==5,在Rt△ADC中,CD==16,∴BC=CD-BD=16-5=11,∴S△ABC=·BC·AD=×11×12=66(cm2).综上,△ABC的面积为66 cm2或126 cm2.5.如图,在△ABC中,AB=AC=10,∠BAC的角平分线交BC边于点D,AD=8,则BC=12.【解析】由AB=AC,AD平分∠BAC,根据等腰三角形的性质知AD⊥BC,BD=CD,又由勾股定理得CD==6,所以BC=2CD=12.6.如图,已知BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,S△ABC=105 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE的长是7cm.【解析】由角平分线的性质知DE=DF,由三角形面积公式知×18×DE+×12×DE=105,解得DE=7 cm.7.如图,AB=AC=AD=4 cm,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE=2 cm,∠ABD=75°.【解析】∵AB=AC,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴BC=4 cm,∵AB=AC,DB=DC,∴AE是BC边的垂直平分线,∴BE=BC=2 cm,∠BAD=30°,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABD=(180°-∠BAD)=×(180°-30°)=75°.8.已知两条互不平行的线段AB,A'B'关于直线l对称,AB,A'B'所在的直线交于点P,下面四个结论:①AB=A'B';②点P在直线l上;③若A,A'是对称点,则AA'垂直平分直线l;④若点Q是直线l上任一点,则QB=QB'.其中正确的是①②④.(只填序号)【解析】由轴对称的性质知AB=A'B',故①正确;点P在直线l上,故②正确;直线l是线段BB'的垂直平分线,所以QB=QB',故④正确;③是错误的.9.如图,一只蜘蛛在等腰Rt△ABC钢梁上织网纲,∠BAC=90°,AB=AC=8,点E在AB上,BE=2,要在顶梁柱AD(中线)上定一点F,从点B到点F拉网纲,再从点F到点E拉网纲.(1)点F在AD(中线)上何处时网纲(BF+FE)最短,并证明.(2)在(1)中,求最短网纲(BF+FE)的长度.(3)在AB上还有点E1,E2,已知BE=EE1=E1E2=E2A=2,现在蜘蛛要在B,E两点之间,E,E1两点之间,E1,E2两点之间都要到顶梁柱AD上定一次点拉网纲,直到点E2结束,求这些网纲之和最短时的长度?解:(1)如图1,作点E关于直线AD的对称点E',连接BE',交AD于点F,点F即为所求.证明:由对称的性质可得EF=FE',此时BE'在一条直线上,在AD上任取一点与点B,E'构成三角形,利用三角形两边之和大于第三边可得BE'最小,即可得出BF+FE最短.(2)如图1,过点E'作E'N⊥BC于点N,∵∠BAC=90°,AB=AC=8,∴BC=8,∵BE=2,则CE'=2,∴E'N=NC=,∴BN=7,在Rt△BNE'中,BE'==10.∴最短网纲(BF+FE)的长度为10.(3)如图2,由(2)可得BF+EF=10,同理可得EF1+E1F1=EM==2,E1K=E1F2+E2F2==2,故这些网纲之和最短时的长度为10+2+2.。
安徽省2024中考数学第4章三角形pptx课件
补角
若∠3+∠4=180°,则∠3与∠4互为补角.
性质
同角(或等角)的余角相等; 同角(或等角)的补角相等.
考点 2 角的相关概念及性质
6.角平分线的概念及其定理
(1)概念 在角的内部,从角的顶点引出的一条射线,把这个角分成 两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.如图,OC 是从∠AOB的顶点O引出的一条射线,∠AOB被OC分成 两个角,若∠AOC=∠BOC,则OC叫做∠AOB的平分线. (2)常用结论 ∠AOC=∠BOC= ∠AOB,∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
图(1)
图(2)
(1)如图(1),AC交EF于点G,若α=30°,则DE与AB的位置关系为 DE∥AB ,DF
与AB的位置关系为 DF⊥AB ,∠AGE= 105 °;
(2)如图(2),AB交DF于点H,若EF∥BC,则α=
,∠AHD=
°;
45
°,AC与EF的位置关系为
AC⊥EF
75
命题角度1 平行线的判定与性质
考点 3 相交线
(4)垂线的基本性质 ①在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,⑪垂线段 最短. (5)线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 ①性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. ②逆定理:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分 线上.
名称 端 1个 可向一方无限延伸
线段 2个 有一定长度,可度量
图示
表示及读法 直线AB或直线BA
射线OA 线段AB或线段BA
考点 1 直线与线段
(2)两个基本事实 ①直线的基本事实:经过两点④ 有且只有 一条直线. ②线段的基本事实:两点之间,⑤ 线段 最短.
相似三角形-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第四单元 三角形专题4.4 相似三角形知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例1】已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是( ) A.x:y=3:2 B.x:3=2:y C.x:y=2:3 D.x:2=y:3A1.线段的比：在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比；2.比例线段：对于四条线段a,b,c,d,若其中两条线段的比与另两条线段的比相等(a:b=c:d).我们就说这四条线段成比例,简称比例线段.3.比例的基本性质:4.更比定理:考点聚集ad=bc知识点一典例精讲比例线段1.已知 ,则 的值是____.2.人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底之比是 .某人测得头顶至肚脐长约65cm,肚脐至足底长约102cm,为尽可能达到黄金比的美感效果,作为形象设计师的你,对于她的着装建议为穿一双( )cm的高跟鞋(精确到1cm) A.2 B.3 C.4 D.5B 知识点一强化训练比例线段知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例2】如图,已知△ABC中,∠BAC=90º,延长BA到点D,使AD=0.5AB,点E,F分别是边BC,AC的中点.求证：DF=BE 方法一：证△ADF≌△FEC(SAS)AFDBCE方法二：证△ADF∽△BCA方法三：连接AE,利用平行四边形证明知识点二典例精讲相似三角形的性质与判定1.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是( ) A.∠C=∠AED B.AB:AD=AC:AE C.∠B=∠D D.AB:AD=BC:DE2.如图,△ABC 中,∠A =78º,AB =4,AC =6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )DA 1CEBD2知识点二强化训练三角形相似的性质与判定CAC B78ºAC B78ºAAC B14DAC B 23CAC B 78ºB3.如图,在□ABCD中,连接AC,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S △AEF =4,则S △ADF 的值为_____.4.如图,一束光线从点A(4,4)射出,经y轴上的点C的反射后,经过点B(1,0),则点C的坐标是( ) A.(0,0.5) B.(0,0.8) C.(0,1) D.(0,2)5.在□ABCD中,E是AD上的一点,且点E将AD分为2:3的两部分,连接BE,AC相交于F,则S △AEF :S △CBF =_______.AFE DCB10知识点二强化训练三角形相似的性质与判定B AyxC OB(1,0)知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例3】如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB=_____m.5.5 DAE BFC 知识点三典例精讲相似三角形的应用3.如图,△ABC是一张锐角三角形硬纸片,AD是边BC上的高BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.(1)求证：AM:AD=HG:BC;(2)求矩形EFGH的周长。
安徽省2020届中考数学(人教版)大一轮考点梳理课件4.4 相似三角形
x=4.
2.(2018·安徽第14题)详见专题六典例2
第四章
4.4 相似三角形
中考真题再现
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即时微专题
-4-
3.(2019·安徽第23题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且 ∠APB=∠BPC=135°.
(1)求证:△PAB∽△PBC; (2)求证:PA=2PC; (3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证: ℎ12=h2·h3. 解:(1)在△ABP中,∠APB=135°,
3.黄金分割
把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的 比例中项 ,这样的
线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值
5-1 2
叫做黄金数.(其
近似值为0.618)
第四章
4.4 相似三角形
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-8-
【拓展延伸】 黄金三角形:①顶角是 36°的等腰三角形(底等于腰的 52-1);②底角是 36°
∵AC=CB,∴△ADC≌△CPB,∴∠ADC=∠CPB=135°,
∴∠CDP=45°,∴△PDC为等腰直角三角形,∴CP=PD.
又∵AD=CP,∴PA=2PC.
第四章
4.4 相似三角形
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-6-
(3)如图 2,过点 P 作边 AB,BC,CA 的垂线,垂足分别为 Q,R,S,则 PQ=h1,PR=h2,PS=h3.
PA=2PC.
方法二:∵∠APB=∠BPC=135°,∴∠APC=90°.
∵∠CAP<45°,∴∠ACP>45°,
安徽省2019年中考数学一轮复习第二讲空间与图形第四章三角形4.3特殊三角形课件
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考点1 考点2 考点3 考点4
3.等边三角形 ( 1 )等边三角形的性质 ①等边三角形的三条边都相等; ②等边三角形的三个角都是 60° . ( 2 )等边三角形的判定 ①按定义:三边都相等的三角形是等边三角形; ②三个角 都相等 的三角形是等边三角形; ③有两个角是 60° 的三角形是等边三角形; ④有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 1 3 3 ( 3 )等边三角形的面积的求法: S= ah= a2 其中 ℎ = ������是高 . 2 4 2 名师点睛 等边三角形的四种判定方法都可以应用,要根据不同的条件进行选择,以使问题简单化.
∵AB=BC=BD,∴∠ADB=2( 180°-∠ABD ),∠BDC=2( 180°-∠CBD ),
1
1
1 1 ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=2( 180°-∠ABD )+2( 180°-∠CBD ) 1 1 1 =2( 180°+180°-∠ABD-∠CBD )=2( 360°-∠ABC )=180°-2×60°=150°.
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典例1 ( 2018· 合肥期末 )如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,CD是∠ACB的平分线 交AB于点D,过点A作AE∥BC,交CD的延长线于点E.
( 1 )求∠ADC的度数; ( 2 )求证:AE=AC; ( 3 )试问△ADE是等腰三角形吗?请说明理由. 【解析】( 1 )利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°,求出 ∠DCB,根据三角形外角性质求出即可;( 2 )先判断出∠BCE=∠ACE,再判断出 ∠BCE=∠E,即可得出结论;( 3 )根据平行线求出∠EAD,根据三角形内角和定理求出 ∠ADE,即可得出答案.
安徽省2019年中考数学一轮复习第二讲空间与图形第四章三角形4.2三角形课件
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三角形的分类及其重要线段( 8年4考 ) 1.三角形的分类
不等边三角形:三边互不相等的三角形 ( 1 )按边分三角形 只有两边相等的三角形 等腰 三角形 等边 三角形:三边都 相等的三角形 ( 2 )按角分 直角三角形:有一个角是直角的三角形 三角形 锐角 三角形 斜三角形 钝角 三角形
1 1 1 等,∴S△BEF= S△BEC,同理得 S△EBC= S△ABC,∴S△BEF= S△ABC,且 S△ABC=4,∴S△BEF=1,即阴影 2 2 4
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三角形的三边关系 ( 1 )三角形的任意两边之和 大于 第三边; ( 2 )三角形的任意两边之差 小于 第三边. 核心归纳 三角形的三边关系一般有两个应用: ①判定所给的三边能否构成三角形; ②已知三角形的两边长,求第三边的取值范围.
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提分训练 1.如图,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是 ( A.AB=2BF 1 B.∠ACE= 2 ∠ACB C.AE=BE D.CD⊥BE 【解析】∵CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线, 1 ∴CD⊥BE,∠ACE= 2 ∠ACB,AB=2BF,无法确定AE=BE.
4.2 三角形
理解三角形的有关概念,能够正确地画出三角形的角平分线、中线和高;了解三角形 的稳定性;理解并掌握三角形的内角和定理及推论.掌握三角形的三边关系定理,并能由 此判断给出的三条线段能否构成三角形.了解三角形重心的概念,掌握三角形的中位线 定理,并能应用三角形的性质证明或解决有关的问题.理解全等三角形的有关概念.理解 掌握全等三角形的性质,并能应用全等三角形的性质证明和解决有关的问题.熟练运用 全等三角形的判定方法正确地判定三角形全等.掌握直角三角形全等的判定定理 ( HL ),并能应用这个定理正确地判定两个直角三角形全等.能够综合应用全等三角形 的判定方法和全等三角形的性质证明或解决有关的问题.
2019年安徽数学中考一轮复习《第4章第2节三角形及其性质》课件
4．等边三角形
形； d. 有一个角是 ________ 的等腰三角形是等边三角
形．
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第四章 三角形
●考点四
证 明 ： 连 接 AC ． ∵ AB ＝ AC ， ∴ ∠ BAC ＝
∠BCA，又∵∠A＝∠C，即∠BAC＋∠DAC＝∠BCA
＋∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD．
数学
第四章 三角形
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝3，BC＝5，分别以 A， 1 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P，Q，过 P， 2 8 Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD 的长是______. 5
3 ， 2
故 BC＝2CE＝ 3.∵AB＝2，AC＝1，∴AC2＋BC2＝12＋( 3)2＝4＝22＝ AB2，∴△ABC 是直角三角形，故∠ACB＝90° ，∵DE＝CE，∴∠CDE ＝∠DCE，∴∠CDE＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD＝∠ACB＝90° .
【答案】
C
数学
第四章 三角形
【点拨】
根据三角形的三边数量关系 ， 可以判
数学
第四章 三角形
四、直角三角形 【例 5】 如图，△ABC 中，E 为 BC 边的中点，CD⊥AB，AB＝2， 3 AC＝1，DE＝ ，则∠CDE＋∠ACD＝( 2 A．60° B．75° C．90° D．105° )
数学
第四章 三角形
【解析】
∵CD⊥AB，E 为 BC 边的中点，∴CE＝BE＝DE＝
安徽省中考数学一轮复习第二讲空间与图形第四章三角形4.1线、角、相交线与平行线测试(2021年整理
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第二讲空间与图形第四章三角形4。
1线、角、相交线与平行线学用P37[过关演练］(30分钟85分）1。
如图，AB=12，C为AB的中点,点D在线段AC上，且AD∶CB=1∶3，则DB的长度为（D）A。
4 B.6C.8 D。
10【解析】∵C为AB的中点，∴AC=BC=AB=×12=6，∵AD∶CB=1∶3,∴AD=2,∴DB=AB—AD=12-2=10.2.下列命题的逆命题成立的是(A)A.两直线平行，同旁内角互补B.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等C。
对顶角相等D.如果a=b,那么a2=b2【解析】A的逆命题是:同旁内角互补,两直线平行，正确;B的逆命题是:如果两个数的绝对值相等,则这两个数相等,逆命题不成立，不符合题意;C的逆命题是：如果两个角相等,则这两个角是对顶角，逆命题不成立，不符合题意;D的逆命题是:如果a2=b2,则a=b,逆命题不成立,不符合题意。
3.如图，下列说法错误的是(C）A.若a∥b，b∥c,则a∥cB。
若∠1=∠2，则a∥cC。
若∠3=∠2,则b∥cD。
若∠3+∠5=180°,则a∥c【解析】若a∥b,b∥c，则a∥c,利用了平行于同一条直线的两条直线平行，故A正确；若∠1=∠2,则a∥c,利用了内错角相等，两直线平行，故B正确；若∠3=∠2,不能判断b∥c，故C 错误；若∠3+∠5=180°,则a∥c，利用了同旁内角互补,两直线平行,故D正确。
安徽省中考数学决胜一轮复习第章图形与变换第节图形的相似
●考点二 相似三角形的判定和性质 1．相似三角形判定方法 两角对应相等的两个三角形相似；___两__边__对__应__成__比__例__且__夹__角__相__等___ _的__两__个__三__角__形__相__似_____；三边对应成比例的两个三角形相似；如果一个 直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角 边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 2．相似三角形性质 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于 相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相 似比的__平__方____.
【例 3】 (2018·上海)已知：如图，正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别 是点 E，F.
(1)求证：EF＝AE－BE； (2)连接 BF，如果BAFF＝DADF.求证：EF＝EP.
【解析】 (1)利用正方形的性质得 AB＝AD，∠BAD＝90°，根据等 角的余角相等得到∠1＝∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则 BE＝AF， 然后利用等线段代换可得到结论；(2)利用ABFF＝DADF和 AF＝BE 得到DBEF＝ ABDF，则可判定 Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4＝∠3，再证明∠4＝∠5， 然后根据等腰三角形的性质可判断 EF＝EP.
安徽中考2014~2018
考情分析
考点详解