中值定理
第一节中值定理
f (x)
a b 2
证
令 则 在
F (x) e
F (x)
f (x)
与
f (x)
x
[a , b ]
上同号,
0
a 1
2 b
且
F ( a ) F (b ) 0 , F ( a ) F (
F ( a ), F ( b ) 0 ,
ab 2
) 0 a b 2 ,b) ) 0
不妨设
例8
在闭区间 [ a , b ] 上连续; 在开区间 ( a , b ) 内可导,又
f ( x )与 g ( x )
设函数
f ( a ) f (b ) 0
当 x [ a , b ] 时,
( a , b ),
g (x) 0
则至少存在一点
使得
f ( ) g ( ) f ( ) g ( )
在 ( a , b ) 内二阶可导
且 f ( a ) g ( a ),
,
f ( c ) g ( c ),
f ( b ) g ( b ), c ( a , b ),
证明 : 至少存在一点
使得 f ( ) g ( ).
( a , b ),
a
c
证
令 ( x ) f ( x ) g ( x ),
(a
2
b ) f (x)
2
显然 ( x ) 在[ a , b ] 上连续, 在 ( a , b ) 内可导,
且 (a )
[ f ( a ) f ( b )] a
2 2
2
(a
2
b ) f (a )
中值定理
( x) f ( x)e x f ( x)e x , 因此, 在 (a,b) 内至少存在一点 (a,b), 使
( ) 0,
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导,
且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
f ( 2 ) 0,
即 2 是 f ( x) 的一个零点；
又因为 f ( x)为二次多项式，最多只能有两个零点， 故 f ( x) 恰好有两个零点，分别在区间 (1, 2) 和 (2, 3) 内.
例 对函数 f ( x) sin2 x 在区间 [0, ] 上 验证
罗尔定理的正确性.
解 显然 f ( x) 在 [0, ] 上连续, 在 0, 内可
f ( x) x, x [0,1]
函数 f ( x) 虽然满足在闭区间[0,1]上连续, 在开区
间(0,1)内可导的条件, 但
f (0) f (1),
显然也没有水平切线. 如图 (c) 所示.
例 1 不求导数，判断函数
f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)
的导数有几个零点及这些零点所在的范围.
导致矛盾, 故 x0 为唯一实根.
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
证 从结论倒推分析知, 可引进辅助函数
( x) f ( x)e x , 由于 (a) (b) 0, 易知 ( x) 在 [a,b] 上满足
f ( x) C (常数)，x I;
(2) 若 f ( x) g( x)
2.3.1 中值定理
0, 即 [ xf ( x ) ]
x( x ), 则 F ( x ) 在[0, 1]上连续， 在 (0,1)内可导, 且F(0) = F(1) =0， 因此由罗尔定理， 在(0, 1) 内至少存在一点 , 使 即
11
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
C
y = f (x)
A
O a
B
b
6
若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m . 则 f ( x ) M .
又已知 f ( x ) 在点 x0 处可导， 则
0 f ( x0 ) f ( x0 ) f +( x0 ) 0
故 f ( x0 ) 0.
5
罗尔(Rolle)定理 若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 几何解释： 如果曲线 y=f (x) 满足以上三 个条件. 那么，在曲线弧上 至少有一点 C(, f())，曲线 在 C点的切线是水平的. y
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0. 不妨设 x1 x0 ,
f ( x ) 在 [ x0 , x1 ] 满足罗尔定理的条件, 至少存在一个 ( x0 , x1 ), 使得 f ( ) 0.
中值定理
F ( b ) F (a ) = b a , F ′( x ) = 1,
f (b ) f (a ) = f ′(ξ ). ba
f ( b ) f ( a ) f ′( ξ ) = F ( b ) F ( a ) F ′( ξ )
例4 设函数 f ( x )在[0,1]上连续 , 在( 0,1)内可导, 证明 :
则在(a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 ′(ξ ) = 0.
即 f ′( ξ ) f (b) f (a ) F ′ ( ξ ) = 0, F (b ) F (a )
f ( b ) f ( a ) f ′( ξ ) . ∴ = F ( b ) F ( a ) F ′( ξ )
当 F ( x) = x,
y
C
y = f ( x)
M
N
D
B
A
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
证 分析 条件中与罗尔定理相差 f (a ) = f (b ). 分析:
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y = f (a ) + 方程为 ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB ,
所得曲线 a , b两端点的函数值相等 .
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔 定理
尔 Rolle） 定 罗 （ olle） 理 如 函 f (x)在 区 [a, b] 果 数 闭 间 (2) (3) ( 上连续, 内可导, 上连续,在开区间 a, b) 内可导,且在区间端点的函数 ( 值相等， 值相等，即 f (a) = f (b),那末在 a, b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b),使 函 f (x)在 点 导 等 得 数 该 的 数 于零 ，
中值定理简介
法2：原命题等价于 a ex ex 在R+上恒成立 x
由罗比塔法则得……
端点效应法与中值定理法比较： ①均运用了高数知识，均属超纲…… ②罗比塔法则的后续工作量大……
(2).(2007年全国I简化)已知 f x ex ex
当x ＞0时，都有 f x ax ,求a的取值范围 初等数学法3：设 g x f x ax
即当 x＞0时,g(x)≥0恒成立 ⅰ:当a≤2时, …… ⅱ:当a＞2时，……
该法的“坑”如下： ①分类讨论的标准“a 2”，从何而来？
“幕后玩家”还是高数知识嘛！
②第二类，解方程 g/ (x) 0的工作量较大……
(3).(2008年全国Ⅱ简化)设函数 f (x) sin x
cos x 2 若对∀x＞0都有 f(x)≤ax , 求a的取值范围
揭示了，导数的局部性与函数的整体性之间的关系
一、中值定理简述
1.罗尔中值定理 2.拉格朗日中值定理 3.柯西中值定理
微分中值定理是研究函数的有力工具 是微积分学的理论基础 其中最重要的内容是拉格朗日定理 可以说其他中值定理是拉氏定理的特例或推广
微分中值定理关联图
罗尔定理
推 特例 广 f(a)=f(b)
微分中值定理在高数中的主要应用
1. 研究函数或导数的性态 2. 证明恒等式或不等式 3. 证明有关中值问题的结论
我们，只是简单介绍一下： 中值定理在初等数学中的应用： 解证不等式
利用微积分、解证不等式的常用方法
(1) 利用导数定义 (2) 利用函数的单调性 (3) 利用函数的极值和最值 (4) 利用函数的凹凸性 (5) 利用微分中值定理 (6) 利用泰勒公式 (7) 利用定积分的几何意义
高等数学- 中值定理
2
( x (0,1) ) .
拉四、格设朗a日 b(La0g，ranng1e，)中证值明定理主要用来证明不等式
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
例五5、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ； 2、当x 1时，e x ex .
两个重要结论: (1) 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数. 即x (a,b),若有 f ( x) 0 f ( x) C
(2) x (a,b),若有 f ( x) g( x) f (x) g(x) C
例3 验证 f (x) arctan x 在[0,1] 上满足 Lagrange中值定理的条件 .
则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f() =0 .
例1 验证 f (x) x2 2x 3在区间[1,3]上满足 Rolle定理.
几何解释:
y
连续光滑曲线 y f (x)
C
在点 A、B处纵坐标相
等,则弧 AB 上至少有一
点C ,在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
(1) f C[a,b] D(a,b) 且 f (a) f (b)
(a,b) , 使 f ( ) 0 ;
(2) f C[a,b] D(a,b)
(a,b)，使 f (b) f (a) f ( );
ba
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0. 但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, x0为唯一实根.
数学分析第六章中值定理
在求函数零点中的应用
总结词
中值定理在求函数零点的问题中也有应用，通过分析函数的单调性和中值定理的关系， 可以找到函数的零点。
详细描述
在寻找函数的零点时，中值定理可以提供一些有用的线索。通过分析函数的单调性和中 值定理的关系，我们可以确定函数在某一点的导数是否为零，进而判断该点是否为函数
的零点。这种方法在一些数学问题中非常有用，例如求解微分方程和积分方程的根。
总结词
柯西中值定理是数学分析中的一个定理，它指出如果两个函数在同一个点处的导数相等，那么在这两个函数之间 至少存在一点，该点的中值等于该点的导数值。
详细描述
柯西中值定理的表述如下：如果两个连续函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a, b]$上可导，且$g'(x) neq 0$，那么 在开区间$(a, b)$内至少存在一点$xi$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。这个定理的证 明可以通过构造辅助函数并利用零点定理来完成。
柯西中值定理的证明
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理。
要点二
详细描述
首先，根据拉格朗日中值定理，如果函数$f(x)$和$g(x)$在 闭区间$[a, b]$上连续，且在开区间$(a, b)$上可导，且$g'(x) neq 0$，则存在至少一点$xi in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。然后，由于函数$f(x)$和 $g(x)$在开区间$(a, b)$上可导，根据可导函数的性质，我们 知道存在至少一点$eta in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。因此，根据柯西中值定理， 存在至少一点$xi in (a, eta)$和至少一点$eta in (xi, b)$满足 $frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。
中值定理知识点总结
中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。
接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。
一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。
1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。
一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。
2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。
可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。
这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。
二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。
1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。
平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。
中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。
2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。
这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。
3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。
中值定理理解
中值定理理解中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数在一个闭区间上连续且可导时，必然存在至少一个点，该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
中值定理在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
中值定理由罗尔定理和拉格朗日中值定理两部分组成。
首先，我们来看罗尔定理。
罗尔定理是中值定理的特殊情况，它要求函数在闭区间的两个端点上取到相同的函数值。
具体来说，如果一个函数在闭区间上连续且可导，并且在区间的两个端点上取到相同的函数值，那么在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于零。
罗尔定理的证明思路是通过构造一个辅助函数来实现的。
首先，我们假设函数在闭区间上连续且可导，并且在区间的两个端点上取到相同的函数值。
然后，我们构造一个辅助函数，该函数在闭区间上连续且可导，并且在闭区间的两个端点上取到相同的函数值和导数值。
根据罗尔定理，我们可以得出辅助函数在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于零。
由于辅助函数和原函数在闭区间上取到相同的函数值和导数值，因此原函数在开区间内也存在一个点，该点的导数等于零。
接下来，我们来看拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理是中值定理的一般情况，它不要求函数在闭区间的两个端点上取到相同的函数值。
具体来说，如果一个函数在闭区间上连续且可导，那么在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
拉格朗日中值定理的证明思路是通过构造一个辅助函数来实现的。
首先，我们假设函数在闭区间上连续且可导。
然后，我们构造一个辅助函数，该函数在闭区间上连续且可导，并且在闭区间的两个端点上取到相同的函数值和导数值。
根据罗尔定理，我们可以得出辅助函数在开区间内至少存在一个点，该点的导数等于零。
由于辅助函数和原函数在闭区间上取到相同的函数值和导数值，因此原函数在开区间内也存在一个点，该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，中值定理可以用来描述物体的平均速度与瞬时速度之间的关系；在经济学中，中值定理可以用来描述商品的平均价格与边际价格之间的关系。
中值的定理
中值的定理中值定理是微积分中的一个重要定理，用于描述函数的平均变化率与函数的增减情况之间的关系。
它是由数学家罗尔斯提出的，也被称为罗尔定理。
中值定理是微积分中的一个基本概念和理论工具，常用于证明其他的定理和推导其他的公式。
它的核心思想是在一个区间上存在某个点，使得函数在这个点的瞬时变化率等于平均变化率。
具体而言，中值定理分为洛必达中值定理和拉格朗日中值定理两种形式。
洛必达中值定理是指，如果一个函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，并且在(a,b)内取得两个不同的值f(a)和f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]。
这个定理说明了一个函数有两个不同的值，那么它在这个区间内一定存在一个切线。
拉格朗日中值定理是指，如果一个函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]。
这个定理说明了一个函数在某个区间内的平均变化率等于这个区间内某一点的瞬时变化率。
中值定理的几何意义是，如果一个函数在某个区间内具有连续性和可导性，那么必然存在一条导数对应着该函数在该区间上的切线。
也就是说，函数在某个区间上的平均变化率和瞬时变化率之间存在着一个等价关系。
中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
比如，我们可以利用中值定理来证明函数的单调性，寻找函数的最大值和最小值，判断函数的凹凸性，研究函数的增长趋势等。
这些应用都是基于中值定理所提供的函数变化率的信息。
总而言之，中值定理是微积分中重要的概念和定理，它通过平均变化率和瞬时变化率之间的关系，描述了函数在一个区间内存在切线的性质。
它不仅在理论推导中具有重要的作用，也在实际问题的分析和求解中发挥着关键的作用。
因此，中值定理是微积分学习的基础，对于理解函数的变化规律和解决实际问题有着重要的意义。
中值定理是微积分中的基本定理之一，它可以将函数的平均变化率与瞬时变化率联系起来，从而帮助我们更好地理解函数的性质和求解实际问题。
中值定理
分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影
响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
f (b) f (a ) . ba
b x
显然,
在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且
b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 (a) ba
即定理结论成立 . 证毕 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 几何意义?
上页 下页
分别在区间 [1,2] 和 [2,3] 上 由定理1,可知 1 (1,2), 2 , 2,3), ( f (1 ) 0, f ( 2 ) 0, 使得 又 f (x) 为二次函数, f ( x) 0 最多有两个实根, 且分别位于 (1,2) 故 f ( x) 0 有且仅有两个根，
上页
下页
或: 若函数 在 I 上必为常数.
在区间 I 上满足
则
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
推论2 若对x (a, b)有 f ( x) g ( x)，则
f ( x) g ( x) C，C const，x (a, b).
上面两式相比即得结论.
两个 不 一定相同
错!
上页 下页
也可作辅助函数
f (b) f (a) ( x) f ( x) f (a ) [ F ( x) F (a )]. F (b) F (a) ( x) f ( x) F (b) F (a) F ( x) f (b) f (a) .
f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a)
经济数学-中值定理
f (b) f (a ) ( ) x ( x) f ( x)
a b
设 f ( x )在 [a , b] 上连续， 在 (a , b) 内可导,
x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) x (0 1).
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
几何解释: 在 曲 线 弧 AB 上 至 少有一点 C,在该点处的 A 切线平行于弦 AB . o a
f ( x 1 ) f ( x 2 ), 所以至少存在一点 ( x 1 , x 2 ) (a , b), 使 f ( ) 0.
二、拉格朗日中值定理
(Lagrange’s Mean-value Theorem)
拉格朗日中值定理 如 果 函 数 f(x)(1) 在 闭 区 间 [a , b]上连续,(2)在开区间(a , b ) 内可导,那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) ，使等式
或 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点 证: 问题转化为证 f ( ) 作辅助函数
在 (1,2) 内至少存在一点 1 , 使 从而，
中值定理公式大全
内容： 设函数f(x)在ξ处取得极值 且f(x)在点ξ处可导 则f'(ξ)=0. 推论：若函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）在I内的点c处达到 且f(x)在点c处可导 则f'(c)=0.
编辑本段罗尔定理
内容： 如果函数f(x)满足： 在闭区间[a,b]值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0. 几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明， 弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.：
编辑本段泰勒公式
内容 ：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 推论：麦克劳林公式 内容： 若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1.
3.1中值定理
x = F(t) y = f (t)
d y f ′(t) 则它的导数为 = 代入拉格朗日定理得 ，代入拉格朗日定理得 d x F′(t)
y
切线斜率
f (a)
f (b)
F(ξ )
F(b)
弦的斜率
o
F(a)
x
三、柯西(Cauchy)中值定理 柯西(Cauchy)中值定理
及 设 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 在开区间
关键 利用逆向思维 设辅助函数
y
o
1
x
y
−1
o
1xΒιβλιοθήκη yo1x
例1 设函数 证明方程 区间. 区间 证 因 f ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) 在区间 [1,4] 上可导， 上可导，又 f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 0 , 所以 f (x) 在 [1,2], [2,3], [3,4]上满足罗尔定理的条件,因此 f ′( x ) = 0 [3,4]上满足罗尔定理的条件 上满足罗尔定理的条件,因此 至少有三个实根，且分别位于区间(1,2), (2,3), (3,4)内 至少有三个实根，且分别位于区间 内 又由于f 是一个四次多项式， 又由于 (x) 是一个四次多项式，f ′( x ) 是三次多项式 只能有三个根，分别位于区间(1,2), 因此 f ′( x ) = 0 只能有三个根，分别位于区间 (2,3), (3,4)内. 内 有三个实根， 有三个实根，并指出它们所在的
例2 证明方程 正实根 .
有且仅有一个小于1 有且仅有一个小于 的
中值定理
M = max { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,⋯, f ( xr ) , f ( a ) , f ( b )} , m = min { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,⋯, f ( xr ) , f ( a ) , f ( b )}.
渐近线的求法 ⑴水平渐近线 若函数 f ( x ) 满足
移项后即有
f ′ (ξ ) =
f (ξ ) − f ( a ) b −ξ
.
例3
内至少有一个根． 在 ( a, b ) 内至少有一个根．
b 求证： a > 0, b > 0 , 求证：方程 f ( b ) − f ( a ) = x ln f ′ ( x ) a
若函数 f ( x ) 在区间 I 上满足：∀x1 , x2 ∈ I , 上满足：
上的图形是(向上 凸的(或凸弧 向上)凸的 或凸弧)． 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是 向上 凸的 或凸弧 ．
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )> , 2 2
注：凹弧和凸弧有下面的等价定义
处的曲率为： 在点 ( x, y ) 处的曲率为： y′′ K= 1 + y ′2
(
)
3
.
确定， 若曲线由参数方程 x = x(t ) ，y = y (t ) 确定，其中
x(t ) 和 y (t ) 二阶可导，则 二阶可导，
K=
x′ ( t ) y′′ ( t ) − x′′ ( t ) y′ ( t ) ( x′ 2 + y ′ )
的极值． 则 f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极值．若 f ′′ ( x0 ) > 0 ，则 f ( x0 ) 为
第16讲 中值定理
（a b)
这就是拉格朗日中值定理。
结论 拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.
综上所述 ： 三个中值定理有从特殊到一般的关系。
罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例， 而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理
的特例，但同时柯西中值定理也可视为拉格
朗日中值定理的参数方程形式。因此，在应
用中拉格朗日中值定理更为广泛．
则 ( x) 在a, b 上满足罗尔定理. 即至少 一点 (a, b) s.t. ' ( ) 0 .
f (b ) f ( a ) F ' ( x) 又 ' ( x ) f ' ( x ) F (b ) F ( a )
f (b) f ( a ) f ' ( ) F (b) F ( a ) F ' ( )
第十六讲 中值定理
内容提要：
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
一.罗尔定理
定理 1(罗尔定理)：若函数f x 满足：
a, b 上连续， （1）在闭区间
（2）在开区间a, b 内可导，
（3） f a f b
a, b 内至少存在 则函数 f x 在开区间
x 为正为负总有: 又 M 为最大值,∴不论 f f x 0 f ( x ) f ( ) 0 ,故 当x ﹥0 时，因 x f ( x ) f ( ) 0 …………………(1) lim x 0 x f ( x ) f ( ) 0…(2) 同理,当x 0 时，有lim x 0 x 由(1)(2)(3)式得: f ' 0
2.证明 ∵ f x 在a, b 上连续，
m 最大值 M 和最小值 ∴ f x 在a, b 上必
七大中值定理
七大中值定理中值定理是微积分中的重要定理之一，它包括了七个不同的定理，分别是拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理、拉格朗日余项中值定理、泰勒中值定理、柯西-施瓦茨中值定理和费马中值定理。
这些定理都是基于函数在某个区间上的连续性和可导性来进行推导的。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中最基本且最常用的中值定理之一。
它表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
这个定理揭示了函数在某个区间上的平均变化率与函数在该区间上的瞬时变化率之间的关系。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导且导数不同时为零，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得两个函数的导数之商等于两个函数在区间[a, b]上的函数值之商。
这个定理描述了两个函数在某个区间上的变化趋势是相似的。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是微积分中的一个基本定理，它是拉格朗日中值定理的特殊情况。
罗尔中值定理表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导且在区间的两个端点处取相同的函数值，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于零。
这个定理说明了一个函数在某个区间内的变化趋势是平缓的。
4. 拉格朗日余项中值定理拉格朗日余项中值定理是泰勒定理的推广形式，它描述了函数在某个点的函数值与其泰勒级数展开式的余项之间的关系。
根据拉格朗日余项中值定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上具有(n+1)阶导数，在开区间(a, b)内具有n阶导数，则对于该函数的泰勒级数展开式，存在一个点c位于(a, b)内，使得函数的余项等于泰勒级数展开式的(n+1)项与函数在点c处的(n+1)阶导数的乘积。
中值定理.
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罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f ( x) = 0 简要证明
(1)若f(x)是常函数 则f (x)0 定理的结论显然是成 立的
f (b) f (a) 弦 AB 的斜率为 F (b) F (a) dY = f (x ) 而在点 x=x 处 dX F (x )
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总结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
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几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C,在该点处的切线是 水平的.
y
C
y = f ( x)
o a
x1
x2 b
x
物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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例1 不求导数 判断函数f(x)=(x1)(x3)(x3)的导数 有几个实根 以及其所在范围 解 f(-3)=f(-1)=f(3)=0 f(x)在[-3 -1] [-1 3]上满足 罗尔定理的三个条件 在(-3 -1)内至少存在一点x1 使 f (x1)=0 x1是 f (x) 的一个实根 在(-1 3)内至少存在一点x2 使f (x2)=0 x2也是f (x) 的一个实根 f (x)是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间 (-3 -1)及(-1 3)内
中值定理
第三章 微分中值定理与导数应用内容提要一、中值定理1．罗尔中值定理． 2．拉格朗日中值定理． 3．柯西中值定理． 4．泰勒中值定理．二、罗必达法则 三、泰勒公式公式1．拉格朗日余项型的泰勒公式（泰勒中值定理）如果)(x f 在区间I 上连续，在I 的内部1+n 阶可导，0x 为I 的内点，则当I x ∈时，有1000)1(000)()()!1())(()(!)()(++=-+-++-=∑n n knk k x x n x x x fx x k x fx f θ，其中10<<θ．2．佩亚诺（Peano ）余项型的泰勒公式如果)(x f 在0x 点处n 阶可导，则有k nk k x x k x fx f )(!)()(000)(-=∑=．))((0nx x o -+四、导数应用1．几何应用（1）一阶导数符号与单调性的关系． （2）二阶导数符号与凹凸性的关系．（3）极值点的必要条件及充分条件． （4）拐点的必要条件及充分条件． （5）曲率与曲率圆、曲率半径． （6）描绘函数的图形．2．极值与最值 3．证明不等式（1）利用导数符号与单调性的关系． （2）利用拉格朗日中值定理． （3）利用柯西中值定理． （4）利用泰勒中值定理． （5）利用最值． （6）利用凹凸性． 4．证明恒等式利用常函数的导数特征．例题A例2 设0>>a b ，)(x f 在[]b a ,上连续、在),(b a 内可导．试证：),(b a ∈∃ξ，使得2)()()()()(ξξξξf f a b ab a bf b af -'=--．证 令xx f x F )()(=，则)(x F 在[]b a ,上满足拉格朗日中值定理条件．于是，),(b a ∈∃ξ，使得)()()(ξF ab a F b F '=--，即2)()())(()()(ξξξξξf f xx f ab aa f bb f x -'='=--=．即得 2)()()()()(ξξξξf f a b ab a bf b af -'=--．证毕．例3 试证：当0>x 时，有21arctan π>+xx ．证 记 =)(x f 21arctan π-+xx ．当0>x 时，有0)1(1111)(2222<+-=-+='x x xxx f ，)(x f ∴单调减．又由0)(lim =+∞→x f x 即知，当0>x 时，有0)(>x f ，从而有21arctan π>+xx ．证毕．例4 设)(x f 在]3,0[上连续、在)3,0(内可导，且满足3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f ．试证：存在)3,0(∈ξ，使得0)(='ξf ．证 由3)2()1()0(=++f f f ，得{}1)2(),1(),0(max ≥f f f ， {}1)2(),1(),0(min ≤f f f ．由[]2,0)(C x f ∈，利用介值定理的推论可知，[]2,0∈∃η，1)(=∍ηf ．于是，在[]3,η上)(x f 罗尔定理条件，从而)3,0()3,(⊂∈∃ηξ，使得0)(='ξf ．证毕．例5 求dt et x f x t⎰--=2)2()(的最大值和最小值．解 由2)2(2)(2x e x x x f --='，令0)(='x f ，得驻点0=x 及2±．由222)2(44)2(2)(2222xx x ex x e x e x x f -------=''，有04)0(>=''f ，08)2(2<-=±''-ef ，可知)(x f 有极小值0)0(=f ，极大值21)2(-+=±e f ．再由1)2()(0=-=∞⎰∞+-dt e t f t及2211121-+<<e，根据极限的保号性可知，0>∃X ，使得当)2(||>≥X x 时，有2211)(21)0(-+<<<ex f f )2(±<f)(max),(x f x +∞-∞∈∴)(max],[x f X X x -∈=)}2(),0(),(max{±±=f f X f21)2(-+=±=ef同理得0)0()(min),(==+∞-∞∈f x f x ．证毕．例6 设1)(lim=→xx f x ，且0)(>''x f ．试证：x x f ≥)(．证法1 由)(x f ''存在可知)(x f 连续．再由1)(lim=→xx f x 可知0)0(=f ，1)0(='f ．记x x f x F -=)()(，则有0)0(=F ，0)0(='F ，0)()(>''=''x f x F ．)(x F '∴单调增．再由0)0(='F 即知，0<x 时0)(<'x F ，从而)(x F 单调减；0>x 时，)(x F 单调增．0)0(=∴F 是)(x F 的最小值．0)(≥∴x F ，即得x x f ≥)(．证毕．例6 设1)(lim=→xx f x ，且0)(>''x f ．试证：x x f ≥)(．证法2 记x x f x F -=)()(．由题设可得=)0(F 0)0(='F ，0)()(>''=''x f x F ，则有)(x F 2)()0()0(2xx F x F F θ''+'+=02)(2≥''=xx f θ，其中10<<θ，即得x x f ≥)(．证毕．例6 设1)(lim=→xx f x ，且0)(>''x f ．试证：x x f ≥)(．证法 3 令x x f x F -=)()(．由题设可得=)0(F 0)0(='F ，0)()(>''=''x f x F ．于是，由拉格朗日中值定理，有)(x F x x F F x F )()0()(θ'=-= (其中)1,0(∈θ)x F x F )}0()({'-'=θx x x F })({1θθθ⋅''= (其中)1,0(1∈θ) 21)(x x F θθθ''=0)(21≥''=x x f θθθ，即得x x f ≥)(．证毕．例8 设)(x f ''在[]b a ,上存在，0)()(='='b f a f ．试证：),(b a ∈∃ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f --≥''ξ．证 应用泰勒公式，将)2(b a f +分别在点a x =、b x =处展开，得)()()(42a fb f a b --)}2()({)}2()({)(42b a f a f b a f b f a b +--+--=]})2)((21)2)(()([)({|)(4212b b a f b b a b f b f b f a b -+''+-+'+--=ξ|]})2)((21)2)(()([)({22a b a f a b a a f a f a f -+''+-+'+--ξ|)2)}(()({21|)(42212a b f f a b -''-''-=ξξ|)()(|2121ξξf f ''-''=2)()(12ξξf f ''+''≤，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,1b a a ξ，⎪⎭⎫⎝⎛+∈b b a ,22ξ． 记),(b a ∈ξ为1ξ、2ξ中使)(1ξf ''、)(2ξf ''最大者，则有)()()(42a fb f a b --2)()(ξξf f ''+''≤|)(|ξf ''=，即得所要不等式．证毕．例12 设[]b a C x g x f ,)()(∈、，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ．试证：（1）对任意λ，),(b a ∈∃ξ，使得0)()(=+'ξλξf f ． （2）),(b a ∈∃η，使得0)()()(='+'ηηηg f f ．证（1）方法1．（利用指数因子法可）构造辅助函数xex f x F λ)()(=，则由题设可知)(x F 在],[b a 上满足罗尔定理条件．于是，),(b a ∈∃ξ，使得=')(ξF 0)()(=+'λξξλξλξef ef ，从而有0)()(=+'ξλξf f ．方法2．（分析：对应的方程为0)()(=+'x f x f λ，解此微分方程，得通解xCex f λ-=)(．于是，得到此方程0)()(=+'x f x f λ的“全微分形式”0))((='x e x f λ，即0))((=x e x f d λ，即C e x f x =λ)(．）构造辅助函数)()(x f e x F x λ=，应用罗尔定理即得．（2）（可利用指数因子法，或阶微分方程的方法）构造辅助函数)()()(x f ex F x g =，则由题设可知)(x F 在],[b a 上满足罗尔定理条件．于是，),(b a ∈∃η，使得=')(ηF 0)()()()()(='+'ηηηηηg ef ef g g ，从而有0)()()(='+'ηηηg f f ．证毕．例13 设[]10)(，C x f ∈，在(0,1)内可导，且dx x f xek f k x)()1(/101⎰-=，1>k ．试证：)10(，∈∃ξ，使得)()11()(ξξξf f -='．证 由[]10)(，C x f ∈，利用积分中值定理可知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃k c 1,0，使得dx x f xek f k x)()1(/101⎰-=)(1c f cec-=，即有cec cf ef --=⋅)()1(11．于是，构造辅助函数)()(x f xe x F x-=，则)(x F 在]1,0[]1,[⊂c 上满足罗尔定理条件．)10()1,(，⊂∈∃∴c ξ，使得0)(='ξF ，即得)()11()(ξξξf f -='．证毕．注3 本题也可利用指数因子法或一阶齐次线性微分方程的求解方法得到辅助函数)()(x f xex F x-=．例14 某商品进价为a （元／件）．根据以往经验，当销售价为b （元／件）时，销售量为c 件，其中a 、b 、c 均为正常数，且a b 34≥．市场调查表明，销售价格每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价．试问：当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润．解 设销售价为x ，销售量为p ．由题设，有%40%10/)(/)(=--cc p b x b ，从而c bxb p 45-=．于是，利润p a x L )(-=c bxb a x 45)(--=babccx b a cx5)54(42-++-=．令L 'bcb a cx )54(8++-=0=，得854ba x +=．再由0<''L 可知，此唯一的驻点就是最大值点．所以，当销售价定为854ba +（元／件）时，可获得最大利润．最大利润为bcb a 16)54(2-（元）．例题B例1 设)()(x g x f 、有连续的导函数，且当a x >时，有)()(x g x f '<'． 试证：当a x >时，有．)()()()(a g x g a f x f -<-证法1 等价于证明a x a g x g a f x f x g a g >-<-<- , )()()()()()(．当a x >时，由条件)()(x g x f '<'，有)()()(x g x f x g '<'<'-．在[]x a ,上积分此不等式，并利用)()(x g x f ''、的连续性即得a x a g x g a f x f x g a g >-<-<- , )()()()()()(．故所证不等式成立．证毕．例1 设)()(x g x f 、有连续的导函数，且当a x >时，有)()(x g x f '<'． 试证：当a x >时，有．)()()()(a g x g a f x f -<- 证法2 令)()()(x g x f x F -=，则)(x F 在],[x a （a x >）上满足拉格朗日中值定理条件．),(x a ∈∃∴ξ，使得)))(()(())(()()(a x g f a x F a F x F -'-'=-'=-ξξξ．)()(x g x f '<' ，0)()(<'-'∴ξξg f ，得0)()(<-a F x F ，从而有0} )()({)}()({<---a g a f x g x f ，得a x a g x g a f x f >-<- , )()()()(．类似地，讨论)()()(x g x f x F +=，可得．a x a f x f x g a g >-<- , )()()()(故所证不等式成立．证毕．例1 设)()(x g x f 、有连续的导函数，且当a x >时，有)()(x g x f '<'． 试证：当a x >时，有．)()()()(a g x g a f x f -<-证法3 当a x >时，由题设可知，f 、g 在],[x a （a x >）上满足柯西中值定理条件．),(x a ∈∃∴ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--，从而有)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--．又由题设可知，1)()(<''ξξg f ，从而有1)()()()(<--a g x g a f x f ，即|)()(|)()(a g x g a f x f -<-．再由)(x g 且当a x >时，有0)(>'x g ，有0)()(>-a g x g ，即得所证不等式．证毕．例4 设[]b a Cx f ,)(2∈．试证：[])(max ,x f b a x '∈ab -≤1)()(a f b f -dx x f b a⎰''+)(．证 由拉格朗日中值定理可知，存在),(b a c ∈，使得)()()(c f ab a f b f '=--．于是，又由⎰''x cdx x f )()()(c f x f '-'=，有⎰''+'='x cdx x f c f x f )()()(ab a f b f --=)()(⎰''+x cdx x f )(，得 )(x f '≤ab -1)()(a f b f -dx x f b a⎰''+)(，],[b a x ∈∀．即得 [])(m a x ,x f b a x '∈≤ab -1)()(a f b f -dx x f b a⎰''+)(．证毕．例5 证明达布定理，即（1）若)(x f '在[]b a ,上存在，且0)()(<''b f a f ，则存在),(b a ∈μ，使得0)(='μf （导函数的零点性质）． （2）若)(x f '在[]b a ,上存在，则对任意))(),((b f a f c ''∈（或))(),((a f b f c ''∈），相应地存在),(b a ∈μ，使得c f =')(μ（导函数的介值性质）．证（1）不妨设0)(<'a f ，0)(>'b f ．由此可知)(x f 在a 点处不能取到最小值．同理可知，)(x f 在b 点也不能取到最小值．由[]b a C x f ,)(∈可知，),(b a ∈∃μ，使得)(μf 为最小值．于是，根据费马引理，有0)(='μf ．（2）构造辅助函数cx x f x F -=)()(即可化为（1）的情况．证毕．例11 设)(x f 、)(x g 二阶可导，且0)(≠''x g ，==)()(b f a f0)()(==b g a g ．试证：（1）0)(≠x g ，),(b a x ∈．（2）),(b a ∈∃ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=．证（1）用反证法．设存在),(b a ∈η，使得0)(=ηg ．由于0)()(==b g a g ，利用罗尔定理可知，),(1ηηa ∈∃，),(2b ηη∈，使得0)()(21='='ηηg g ． 再利用罗尔定理可知，),(3b a ∈∃η，使得0)(3=''ηg ，与题设相矛盾．（2）构造辅助函数)()()()()(x g x f x g x f x F '-'=，则)(x F 在上满足罗尔定理条件．),(b a ∈∃∴ξ，使得0)(='ξF ，即-''+'')]()()()([ξξξξg f g f 0)]()()()([=''+''ξξξξg f g f ，即-'')()(ξξg f 0)()(=''ξξg f ．再由0)(≠''x g 及0)(≠x g ，得)()()()(ξξξξg f g f ''''=．证毕．例12 设)(x f ''在[]10，上存在，且0)1()0()1()0(='='==f f f f ．试证：存在)10( ，∈ξ，使得)()(ξξf f =''．分析 即方程0)()(=-''x f x f 在)1,0(内由零点，应考虑罗尔定理．关键是构造辅助函数．由方程0)()(=-''x f x f 同解于0)()()()(=-'+'-''x f x f x f x f即()()0)()()()(=-'+'-'x f x f x f x f (1)或同解于 0)()()()(=-'-'+''x f x f x f x f ， 或()()0)()()()(=+'-'+'x f x f x f x f (2)对（1），可利用指数因子法，对比0)()()(='+'x v x u x u ，可取)()()(x f x f x u -'=，1)(='x v ，即x x v =)(，得辅助函数 xe xf x f x F ))()(()(1-'=．也可用“代数法”或“公式法”等方法解一阶常系数齐次线性微分方程0=+'y y ，得通解xCey -=，即=-')()(x f x f xCe-，得（1）的“全微分形式”C e x f x f x=-'))()((，得辅助函数xe xf x f x F ))()(()(1-'=．同理，从（2）出发，可得辅助函数))()(()(2x f x f ex F x+'=-．证 构造辅助函数))()(()(x f x f x F -'=x e 或 =)(x F ))()((x f x f +'xe-，则)(x F 在上[]1,0满足罗尔定理条件，)10(，∈∃∴ξ，使得0)(='ξF ，由此可得)()(ξξf f =''．证毕．例15 设)(x f 在[]1,0上连续、在)1,0(内可导，且0)0(=f 、1)1(=f ．试证：对任意给定的正数1m 、2m ，都存在)1,0(21∈x x 、，满足212211)()(m m x f m x f m +='+'．证法1 由拉格朗日中值定理可知，存在)1,0(∈ξ，使得1)(='ξf ．取ξ==21x x 即得一组解．证毕．证法2 原式可改写为1)(1)(22111211='+-+'+x f m m m x f m m m ．利用介值定理可知，存在)1,0(∈c ，使得211)(m m m c f +=．于是，原式可改写为1)()()1()()0()(21='-+'-x f c f f x f f c f ．利用拉格朗日中值定理可知，)1,0(21∈∃ξξ、，使得)0)(()0()(1-'=-c f f c f ξ，)1)(()()1(2c f c f f -'=-ξ，于是，原式又可改写为 1)()1)(()()0)((2211='-'+'-'x f c f x f c f ξξ．故取11ξ=x 、22ξ=x 即可．证毕．。
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即
因为
故
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三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a) F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0 要证 ( ) F (b) F (a) f (b) f (a) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a)
0
验证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
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3. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2ห้องสมุดไป่ตู้,
欲证: ( x1 , x2 ) , 使 f ( ) f ( ) 0
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
只要证
亦即
e f ( ) e f ( ) 0
[ e x f ( x ) ]
x
0
作辅助函数 F ( x) e x f ( x ) , 验证 F ( x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
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柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
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例2. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
费马(fermat)引理
且 证: 设 则
存在
(或 )
y
o
x0
x
0 0
费马 目录 上页 下页
证毕
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罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
y
y f ( x)
o
a
b x
y
o
y
1
1
x y o
1
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o
1
x
机动
x
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2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
x a
lim f ( x) lim f ( x)
x b
在( a , b ) 内至少存在一点
使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 . 自证: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
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x ln(1 x) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
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二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) f (a ) ( ) x ( x) f ( x)
a b
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 令 则
y f ( x0 x)x
(0 1)
则
推论: 若函数 在区间 I 上满足
( ) n
即
n1
f ( ) f ( ) 0
n
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在微积分学, 复变函数和微分方程方面 .
一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯
西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学
校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积
分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影
响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
第五章 微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
推广
泰勒公式
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
第一节 中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
第五章
机动
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一、罗尔( Rolle )定理
至少存在一点 证: 问题转化为证 f ( ) 作辅助函数
a
0
b x
f (b) f (a ) . 使 f ( ) ba f (b) f (a )
ba 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
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(3) 证明有关中值问题的结论
思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
3 15 4 . _____
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
机动
备用题 1. 设 f ( x) 在 [0,1] 连续， (0 ,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证存在 (0 ,1) , 使 设辅助函数 ( x) x n f ( x) 证：
显然 ( x ) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0 ,1) , 使得
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例4. 设
至少存在一点 证: 结论可变形为 使
证明
设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
F (11 )0 F (0)
即
F ( )
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2. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存
在一点 ( 0 , ) , 使 f ( ) f ( ) cot .
提示: 由结论可知, 只需证
即 设
f ( x ) sin x x
F ( x ) f ( x ) sin x
在( a , b ) 内至少存在一点
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
使 f ( ) 0.
故在[ a , b ]上取得最大值
因此
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 使 则至少存在一点 不妨设
则由费马引理得 f ( ) 0 . 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
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有且仅有一个小于1 的 例1. 证明方程 正实根 . 证: 1) 存在性 . 5 设 f ( x) x 5 x 1, 则 f ( x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 x0 (0 ,1) , 使
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根