2020届湖北省襄阳市第四中学高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2020届湖北省襄阳市第四中学高三下学期第四次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =+-<，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．∅B ．{}1x x <C ．{}01x x << D ．{}20x x -<<【答案】D【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，B ，再用交集的定义求解. 【详解】{}21A x x =-<<，{0B x x =<或}1x >，所以{}20A B x x ⋂=-<<， 故选：D . 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．已知复数()(12) ()z a i i a R =+-∈的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．1- B ．-iC ．1D ．i【答案】A【解析】根据复数的乘法运算化简复数z ，由其实部即可求得参数a . 【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =+-=++-，231a a +=∴=∴121a -=-. 故选：A . 【点睛】本题考查复数的乘法运算，实部和虚部的辨识，属基础题. 3．已知12.5222,log 3,2a b c -===，则这三个数由小到大的顺序为( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】A【解析】引入中间变量1和32，即可得答案； 【详解】因为132.5222222.51321,2log 2log log 322a cb -==<==<==<=， 所以这三个数由小到大的顺序为ac b <<. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式和对数式的值的大小比较，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意引入中间变量比较大小.4．干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法．它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法．具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳．那么2013年就是癸巳年了，2020年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大25岁．问李东的父亲是哪一年出生（ ） A ．甲子 B ．乙丑C ．丁巳D ．丙卯【答案】C【解析】本题首先可以根据题意得出李东是2002年出生，然后根据李东的父亲比他大25岁得出李东的父亲为1977年出生，最后结合题目给出的表格即可得出结果. 【详解】因为由题意可知，“午”对应的是10，“壬”对应的是2 所以16612102002，李东是壬午年即2002年出生因为李东的父亲比他大25岁所以李东的父亲为1977年出生，1977164129所以李东的父亲为丁巳年出生故选：C.【点睛】本题考查学生对题目给出的信息的掌握与使用，能否根据题目找出题目中包含的关系与条件是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是简单题.5．某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为（）A．100，50 B．100，1250C．200，50 D．200，1250【答案】D【解析】由分层抽样的概念可得样本容量为8020040%=，计算出该地区高中生的人数后，乘以高中生近视率即可得该地区近视的高中生人数，即可得解. 【详解】由分层抽样的概念可得样本容量为80200 40%=，则该地区中高中生有20025%25002%⨯=人，该地区近视的高中生人数为250050%1250⨯=人. 故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，属于基础题.6．若,x y满足约束条件5,5,25,x yx yx y+⎧⎪--⎨⎪-⎩则25x y+=的整数解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】先画出可行域与目标直线，再确定满足条件的,x y 的取值范围，最后逐一讨论符合的整数解. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线25x y +=，直线52y x =-与可行域的边界交于,B D 两点，由25,25,x y x y +=⎧⎨-=⎩解得3,1,x y =⎧⎨=-⎩(3,1)D ∴-，又(0,5)B ，[0,3]x ∴∈，[1,5]y ∈-，且,x y Z ∈，当0x =时，5y =；当1x =时3y =；当2x =时，1y =；当3x =时，1y =-，∴整数解的个数为4.故选：D 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想和运算求解能力；正确求出满足条件的,x y 的取值范围是求解本题的关键；属于中档题. 7．设0a >，0b >，lg 2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．9【答案】D【解析】∵2lg4a 与lg2b的等差中项， ∴2lg 2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9．8．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题是（ ）A ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值B ．随着容器倾斜度的不同，11AC 始终与水面所在平面平行 C ．没有水的部分有时呈棱柱形有时呈棱锥形D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值 【答案】D【解析】根据倾斜度的不同逐项讨论后可得正确的选项． 【详解】对于A ，在图（1）中，水面EFGH 所在四边形的面积为棱柱底面的面积，在图（2）中，水面EFGH 所在四边形的面积大于原棱柱底面的面积，故A 错.对于B ，在图（1）中，11A C 与水面所在平面平行，在图（2），图（3）中，11A C 与水面所在平面均不平行，故B 错.对于C ，因为棱柱在绕AB 旋转的过程中，没有水的部分始终呈棱柱形，故C 错. 对于D ，因为在图（3），有水的部分形成一个直三棱柱，该三棱柱的底面为三角形，高为AB ，根据水的体积为定值可得底面三角形的面积为定值，故AE AH ⋅为定值，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查空间几何体的判断，本题中注意分析有水部分几何体在变化过程哪些几何量是确定的，哪些位置关系是确定的，本题属于中档题.9．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为23,前2局中乙队以2:0领先,则最后乙队获胜的概率是( ) A ．49 B ．1927C ．1127D ．4081【答案】B【解析】最后乙队获胜的概率含3种情况：第三局乙胜，第三局甲胜第四局乙胜，第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，由此能求出最后乙队获胜的概率． 【详解】最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜，其概率为13； 第三局甲胜，第四局乙胜，其概率为212339⨯=； 第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜22143327⎛⎫⨯=⎪⎝⎭；故最后乙队获胜的概率12419392727P =++=， 故选：B . 【点睛】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用，属于中档题．10．如图，设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，A 、B 、C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A 、B 、C 、D 四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】D【解析】根据a 、b 、c 成等比数列，A 、B 、C 成等差数列可得ABC 为等边三角形，再研究A 、B 、C 、D 四点共圆时AC 的长度以及一般条件下四边形ABCD 的面积的最大值后可得正确的选项． 【详解】因为A 、B 、C 成等差数列，故2A+C =B ，而A B C π++=，故3B π=．由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，而,,a b c 成等比数列，所以2b ac =，故22ac a c ac =+-即a c =， 故ABC 为等边三角形， 所以A 、B 正确．若A 、B 、C 、D 四点共圆，则233ADC πππ∠=-=，由余弦定理可得2119213132AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故AC =C 正确． 对于D ，设ADC θ∠=，则219213cos AC θ=+-⨯⨯⨯， 故四边形ABCD 的面积为()1313sin 106cos sin 24222S θθθθ=⨯⨯⨯+-⨯=-+，故3sin 3S πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当56πθ=时，S 有最大值3+D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了三角形的面积公式、辅助角公式等，注意在计算多边形的面积时，注意引入合适的变量以便于面积的刻画与研究，本题属于中档题．11．设点1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，点A ，B分别在双曲线C 的左、右支上，若116F B F A =，222AF AB AF =⋅，且22AF BF >，则双曲线C 的离心率为( )A ．175B ．135C D 【答案】D【解析】设1AF m =，则5AB m =，由双曲线定义得2222222262||25AF m a m BF a AF BF m ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩，再根据勾股定理可得()()22226225m a m a m ++-=，解得m a =或23m a =，再根据余弦定理即可求出结果. 【详解】因为116F B F A =，所以点1F ，A ，B 共线，且15AB AF =. 因为()2222222222AF AB AF AF F B AF AF F B AF =⋅=+⋅=+⋅，所以220F B AF ⋅=，所以22F B AF ⊥.设1AF m =，则5AB m =，由双曲线定义得2222222262||25AF m am BF a AF BF m ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩所以()()()()22222262253520320m a m a m m ma a m a m a ++-=⇒-+=⇒--=，解得m a =或23m a =. 若m a =时，23AF a =，24BF a =，因为22AF BF <，故舍去. 若23m a =时，283AF a =，22BF a =，14BF a =，103AB a =，223cos 1053a ABF a ∠==. 在12F BF ∆中，22222313654416224555c c a a a a e a =+-⨯⨯⨯⇒=⇒=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 12．已知函数(),0sin ,0kx x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，若方程()()0f x f x --=有且只有五个根，分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （设12345x x x x x <<<<），以下说法：①123450x x x x x +++=+；②存在k 使得1x ，2x ，3x ，4x ，5x 成等差数列；③当k 0<时，203k π-<<；④当0k >时，55tan x x =.其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】能过函数的零点以及函数的对称性判断①；函数的图像与根的范围判断②；通过k 0<时，函数图像判断③；利用函数的切线判断④ 【详解】设()()()F x f x f x =+-，则()()()()F x f x f x F x -=-+=，函数()F x 为偶函数，故30x =，150x x +=，240x x +=，所以①正确；原题可化为y kx =与sin y x =在()0,∞+上有且只有两个公共点，如图， 当0k >时，42x ππ<<，5522x ππ<<，显然4352x x x ≠+， 当k 0<时，42x ππ<<，52x ππ<<，显然4352x x x ≠+，所以②错误； 当k 0<时，结合图像可得③错误；当0k >时，y kx =与sin y x =在5x x =处相切，所以5cos k x =，又55sin kx x =，所以55tan x x =，所以④正确， 故选：B .【点睛】此题考查函数的图像以及命题的真假的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，属于中档题.二、填空题13．已知向量()(1,3,2,3a b ==-，则b 在a 方向上的投影等于__________． 【答案】12-【解析】根据向量的数量积公式得到向量b 在a 方向上的投影为它们的数量积除以a 的模． 【详解】向量()(1,3,2,3a b ==-，则向量b 在a 方向上的投影为：1213a b a ⋅==-+； 故答案为12-． 【点睛】本题考查了向量的几何意义考查了向量的数量积公式，属于基础题．14．已知F 为抛物线C ：x 2＝8y 的焦点，P 为C 上一点，M （﹣4，3），则△PMF 周长的最小值是_____.【答案】5【解析】△PMF 的周长最小，即求||||PM PF +最小，过P 做抛物线准线的垂线，垂足为Q ，转化为求||||PM PQ +最小，数形结合即可求解. 【详解】如图，F 为抛物线C ：x 2＝8y 的焦点，P 为C 上一点，M （﹣4，3）， 抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F （0，2），准线方程为y ＝﹣2. 过P 作准线的垂线，垂足为Q ，则有||||PF PQ =||||||||||5PM PF PM PQ MQ +=+≥=，当且仅当,,M P Q 三点共线时，等号成立，所以△PMF 的周长最小值为5=5故答案为：5【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题. 15．设ω是正实数，若函数sin y x ω=在[],2ππ上至少存在两个极大值点，则ω的取值范围是______.【答案】9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】考虑sin y x ω=在[],2ππ上无极大值点和有且只有一个极大值点的取值范围，取其补集后可得所求的取值范围. 【详解】令sin 1x ω=，解得()412k x πω+=，k Z ∈.若sin y x ω=在[],2ππ上无极大值点， 则存在实数k ，使得()()4145222k k ππππωω++<<<，整理得到()()4145222k k ππππωω++<<<，解得15224k k ω+<<+， 因为0>ω且存在，故152241k k k ⎧+<+⎪⎨⎪≥-⎩，0k =或1k =-，故1524ω<<或104ω<<. 若sin y x ω=在[],2ππ上有且只有一个极大值点， 则存在实数k ， 使得()()()4341452222k k k πππππωωω-++<≤<<，或()()()4341452222k k k πππππωωω-++<<≤<，解得3122221544k k k k ωω⎧-<≤+⎪⎪⎨⎪+<<+⎪⎩①或者3122221544k k k k ωω⎧-<<+⎪⎪⎨⎪+≤<+⎪⎩②，对于①，因为0>ω且存在，故11224k +>且35224k k -<+， 故整数k 满足0,1,2k =，当0k =时，1142ω<≤，当1k =时，5944ω<<， 当2k =时，51324ω<<，故1159513,,424424ω⎛⎤⎛⎫⎛⎫∈⋃⋃⎪ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎝⎭, 对于②，同理可得1159513,,424424ω⎡⎫⎡⎫⎛⎫∈⋃⋃⎪⎪ ⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎝⎭,综上，sin y x ω=在[],2ππ上无极大值点和有且只有一个极大值点时，95130,424ω⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.故函数sin y x ω=在[],2ππ上至少存在两个极大值点，9513,,424ω⎡⎤⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的极值点的个数，此类问题应该转化为不等式组的整数解的存在性的讨论，注意利用所得范围的端点的大小结合变量的整数性来确定变量的有限的整数解，本题属于难题.三、双空题16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原，如图所示，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为______．【答案】62 8281π 【解析】3的正四面体S ABC -中，取BC 中点D ，连接SD ，AD ，作SO ⊥平面ABC ，由题意可得2SO =球心为O ，且该球与SD 相切，过球心O 作OE SD ⊥，则OE 就是球的半径，求得OE 后，利用球的体积公式即可得解. 【详解】3，如图所示， 3S ABC -中，取BC 中点D ，连接SD ，AD ， 作SO ⊥平面ABC ，垂足O 在AD 上，则()2233322AD SD ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭，1132OD AD ==，222SO SD OD =-= ∴该六面体的体积11362232322S ABC V V -==⨯⨯=； 当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O ，且该球与SD 相切，过球心O 作OE SD ⊥，则OE 就是球的半径，1122SO OD SD OE ⋅=⋅，∴该球半径1222332SO OD R OE SD ⋅==== 该球体积的最大值为34223381V ⎛⎫π=⨯π⨯= ⎪ ⎪⎝⎭球． 故答案为：62281π.【点睛】本题考查了几何体体积的求解，考查了几何体内切球体积的求解和空间思维能力，属于中档题.四、解答题17．已知数列{}n a 满足2n n S a n =-()*n N ∈．（1）证明：{}1n a +是等比数列； （2）求13521...n a a a a +++++()*n N∈．【答案】（1）证明见解析；（2）232353n n +--.【解析】分析：（Ⅰ）利用递推公式可以得到1n S -的表达式，两个式子相减即可得到n a 与1n a -的表达式；构造数列{1n a +}，即可证明{1n a +}为等比数列．（Ⅱ）利用{1n a +}为等比数列，可求得{n a }的通项公式；将{n a }分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和． 详解：（Ⅰ）由1121S a =-得：11a =，因为()()()11221n n n n S S a n a n ---=---- ()2n ≥， 所以121n n a a -=+， 从而由()1121n n a a -+=+得()11221n n a n a -+=≥+，所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（1）得21nn a =-，所以13521n a a a a ++++⋅⋅⋅+ ()()3212221n n +=++⋅⋅⋅+-+ ()()1214114n n +-=-+-232353n n +--=. 点睛：本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点．形如1n n a a λμ+=+ （1λ≠），在构造数列时，可在等式两边同时加上1μλ-构成等比数列．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，AC BC ⊥,E 为PD 的中点，3ABC PCD π∠=∠=，1,3,10BC PC PB ===.（1）求证：//PB 平面ACE ； （2）求二面角A DE C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）如图，连接BD ，交AC 于F 点，连接EF ，则//EF PB ，根据线面平行的判定定理，即可得证得结论；（2）建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知(1,0,0)m =为平面ADE 的一个法向量，平面CDE 的一个法向量为(2,6,1)n =，代入向量的夹角公式，即可得答案； 【详解】（1）如图，连接BD ，交AC 于F 点，连接EF ，则//EF PB . 又EF ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，//PB ∴平面ACE（2）在PBC 中，2221,3,10,BC PC PB BC PC PB ===∴+=，BC PC ∴⊥又,,AC BC AC PC C BC ⊥⋂=∴⊥平面PAC . 又//AD BC ，AD ∴⊥平面PAC ，AD PA ∴⊥.2cos3BC AB CD π===，在PCD 中，2222cos 73PD CD PC CD PC π=+-⨯⨯=，在Rt PAD △中，2226PA PD AD =-=. 又在PAB △中，22210PB AB PA =+=，AB PA ∴⊥.又AB AD A ⋂=，PA ∴⊥平面ABCD . 又AC ⊂平面,ABCD PA AC ∴⊥. 又,AC AD PA AD A ⊥⋂=,AC ∴⊥平面PAD .建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，可知16(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),0,,22A C D E ⎛ ⎝⎭，则160,,,(3,1,0)22DE DC ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.易知(1,0,0)m =为平面ADE 的一个法向量.设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，可得00DE n DC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，1020y z y ⎧-+=⎪∴⎨-=，令y =，得1x z ==. (2,6,1)n ∴=.2cos ,||||m n m n m n ⋅∴〈〉==∵二面角A DE C --为锐角， ∴二面角A DE C --的余弦值为3. 【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、二面角的向量求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19．已知直线:3l x my =+经过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点2F ，且交椭圆E 于M ，N 两点.椭圆N 的左焦点为1F ，1△MNF 的周长为 （1）求椭圆E 的方程； （2）若直线24:33l x my m ⎛⎫=+>⎪⎝⎭，交曲线2234y x =于A ，B 两点，且OMN S AB λ=△（O 为坐标原点），试求实数λ的取值范围.【答案】（1）221123x y +=；（2）30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）求出椭圆E 的右焦点为()23,0F ，即得c 的值.再根据114a MN MFNF =++=求出a 的值，即得椭圆的方程；（2）先求出OMNS△24m =+，再求出234AB m =-，得()223424m m λ-=+，即得实数λ的取值范围.【详解】（1）∵直线:3l x my =+交x 轴于点（3，0）， ∴椭圆E 的右焦点为()23,0F .由椭圆的定义可知122114a MF MF NF MN MF NF =++=++=∴a =2221293b a c =-=-=，∴椭圆E 的方程为221123x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线l 与椭圆E 的方程联立，得221,1233,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简并整理，得()224630m y my ++-=， 易知>0∆，∴12264m y y m -+=+，12234y y m -=+， ∴21212OMNS OF y y =⨯⨯-==△=.设()33,A x y ，()44,B x y ，由题意得223,43,y x x my ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得()223418270m y my -++=， ∵243m >，∴2340m ->，易知>0∆，则3421834m y y m -+=-，3422734y y m =-，∴34AB y y =-== 由OMNS AB λ=△，得()222342434OMN S m AB m m λ-===+-△， 当243m >时，()222343830,24224m m m λ-⎛⎫==-∈ ⎪++⎝⎭， ∴实数λ的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 20．已知函数()sin xf x e x =，（e 是自然对数的底数）（1）求()f x 的单调递减区间；（2）记()()g x f x ax =-，若13a <<，求()g x 在()0,π上的零点个数. （参考数据：2 4.8e π≈） 【答案】（1）单调递减区间为()372,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；（2）当13a <<时，()g x 在()0,π上有两个零点.【解析】（1）先求出导数()f x '，再解()0f x '<，结合三角函数的性质可解得； （2）求出()()sin cos x g x ex x a '=+-，令()()h x g x '=，由导数的知识求得()h x 的单调性，然后通过讨论()()0,,2g g g ππ⎛⎫'''⎪⎝⎭的正负确定()g x 的单调性和极值，确定其零点个数． 【详解】解：（1）()sin x f x e x =，定义域为R .()()sin cos sin 4x xf x e x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.由()0f x '<解得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得()372244k x k k Z ππππ+<<+∈. ∴()f x 的单调递减区间为()372,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭.（2）由已知()sin xg x e x ax =-，∴()()sin cos xg x e x x a '=+-.令()()h x g x '=，则()2cos xh x e x '=.∵()0,x π∈，∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，∴()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 即()g x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.∵()01g a '=-，()0g e a ππ'=--<.若13a <<时，()010g a '=-<，又∵()g x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，∴10,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，2,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，()20g x '=，且当()10,x x ∈、()2,x x π∈时，()0g x '<；当()12,x x x ∈时，()0g x '>. ∴()g x 在()10,x 和()2,x π上单调递减，在()12,x x 上单调递增. ∵()00g =，∴()10g x <.∵2233 3.24.802222g e a e πππππ⨯⎛⎫=->->-= ⎪⎝⎭，∴()20g x >. 又∵()0g a ππ=-<，由零点存在性定理可得，()g x 在()12,x x 和()2,x π内各有一个零点，即此时()g x 在()0,π上有两个零点. ∴ 当13a <<时，()g x 在()0,π上有两个零点. 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、求极值等问题，考查转化思想、分类讨论思想的综合应用，涉及构造函数、多次求导等方法，有一定的综合性，考查学生的分析问题能力和逻辑思维能力，属于难题．21．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A 使之开红花，a 使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA 为开红花，Aa 和aA 一样不加区分为开粉色花，aa 为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以12的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第n 代的遗传设想为第n 次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa 的父本来说，如果抛出正面就选择因子A ，如果抛出反面就选择因子a ，概率都是12，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状AA ，Aa （或aA ），aa 在父本和母本中以同样的比例()::1u v w u v w +++出现，则在随机杂交试验中，遗传因子A 被选中的概率是2v p u =+，遗传因子a 被选中的概率是2vq w =+，称p 、q 分别为父本和母本中遗传因子A 和a 的频率，:p q 实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是Aa ，后代遗传性状为AA ，Aa （或aA ），aa 的概率分别是多少？ （2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa 具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为AA ，Aa （或aA ）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A 被选中的概率为p ，a 被选中的概率为q ，其中p 、q 为定值且1p q +=，求杂交所得子代的三种遗传性状AA ，Aa （或aA ），aa 所占的比例1u ，1v ，1w ；（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除aa 的个体.假设得到的第n 代总体中3种遗传性状AA ，Aa （或aA ），aa 所占的比例分别为：n u ，n v ，()1n n n n w u v w ++=，设第n 代遗传因子A 和a 的频率分别为n p 和n q ，已知有以下公式21n n n n v u p w +=-，21nnnv q w =-，1,2n =⋅⋅⋅（ⅰ）证明1n q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （ⅱ）求1n u +，1n v +，1n w +的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？【答案】（1）AA ，Aa （或aA ），aa 的概率分别是14，12，14；（2）21u p =，12v pq =，21w q =；（3）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2211n n p nq u p nq +⎛⎫+== ⎪+⎝⎭；()()1221n p p nq v nq ++=⋅+；211n q w nq +⎛⎫= ⎪+⎝⎭；n w 越来越小，而n w 是子代中aa 所占的比例，也即性状aa 会渐渐消失.【解析】（1）根据上代父本、母本的遗传性状都是Aa 可得基本事件的总数，由古典概型的概率公式可得所求的概率.（2）根据独立事件的概率计算方法可求1u ，1v ，1w .（3）根据n u ，n v ，n w 的定义可得三者与,n n p q 的关系，结合给定的21nn nnv u p w +=-，21nn nv q w =-可得11n n n q q q +=+，两边取倒数后利用等差数列的定义可判断1n q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列由此求出n q 的通项，从而可求1n u +，1n v +，1n w +的通项公式. 【详解】解析：（1）因为上代父本、母本的遗传性状都是Aa ，故子代的遗传性状有：AA ，Aa ，aA ，aa ，共4种，故AA ，Aa （或aA ），aa 的概率分别是14，12，14. （2）由题可得，21u p =，12v pq =，21w q =； （3）由（2）知，21n n u p +=，12n n n v p q +=，21n n w q +=，∴()()1121/211111n n n n n n n n n n n nv p q p q qq w q q q q +++====---++，则1111n nq q +=+，∴1n q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列： ()1111n n q q =+-，其中11212111v pq q q w q q===--+， ∴11n n q q =+，1n q q nq =+，于是2211n n q w q nq +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 11n n p nq p q nq +=-=+，2211n n p nq u p nq +⎛⎫+== ⎪+⎝⎭，()()12221n n n p p nq v p q nq ++==⋅+， 对于211n q w nq +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，n越大，1n w +越小，所以这种实验长期进行下去，n w 越来越小，而n w 是子代中aa 所占的比例，也即性状aa 会渐渐消失. 【点睛】本题考查古典概型、独立性事件在遗传学中的应用，其中在概率计算的过程中还涉及到递推数列通项的求法、等差数列的证明等，本题的关键是根据所给材料弄清各概率之间的数列关系.22．平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为131121x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（λ为参数，且1λ≠-）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos 320ρρθ++=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知点P的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到曲线1C 的距离的最大值.【答案】（1）()34103x y x +-=≠，2212320x y x +++=.（2）85【解析】（1）化简得到341x y +=，再考虑4331x λ=-≠+，利用极坐标方程公式得到答案.（2）P 的直角坐标为()2,2，设点()00,M x y ，故()0022,22Q x y --，代入圆方程得到M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上，计算得到最大距离. 【详解】（1）因为13,112,1x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，所以3×①+4×②，得341x y +=.又133(1)4433111x λλλλλ-++-===-≠+++，所以1C 的普通方程为()34103x y x +-=≠，将cos x ρθ=，222x y ρ=+代入曲线2C 的极坐标方程，得曲线2C 的直角坐标方程为2212320x y x +++=.（2）由点P的极坐标4π⎛⎫⎪⎝⎭，可得点P 的直角坐标为()2,2. 设点()00,M x y ，因为M 为PQ 的中点，所以()0022,22Q x y -- 将Q 代入2C 的直角坐标方程得()()2200211x y ++-=，即M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上. 所以点M 到曲线1C 距离的最大值为|23141|8155d -⨯+⨯-=+=，由（1）知1C 不过点()3,2N -，且312391423420MN k +⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-=≠- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 即直线MN 与1C 不垂直.综上知，M 到曲线1C 的距离的最大值为85. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.23．已知,x y R ∈，且1x y +=． （1）求证：22334x y +≥； （2）当0xy >时，不等式11|2||1|a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见证明；（2）35[,]22-. 【解析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先计算11x y+的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案. 【详解】解：（1）由柯西不等式得22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤+≥⋅+ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝+． ∴()22243()3x yx y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴22334x y +≥；（2）1111()224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 要使得不等式11|2||1|a a x y+≥-++恒成立，即可转化为|2||1|4a a -++≤， 当2a ≥时，421a -≤，可得522a ≤≤，当1a 2-<<时，34≤，可得1a 2-<<， 当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-， ∴a 的取值范围为：35[,]22-． 【点睛】本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力，分类讨论能力，难度中等.。