不等式A

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关于不等式的公式

关于不等式的公式
不等式的基本公式包括但不限于以下几种：
1. 加法公式：如果a > b，则a + c > b + c。

2. 减法公式：如果a > b，则a - c > b - c。

3. 乘法公式：如果a > b，并且c > 0，则ac > bc；如果c < 0，则ac < bc。

4. 除法公式：如果a > b，并且c > 0，则a/c > b/c；如果c < 0，则a/c < b/c。

5. 平方不等式定理：对于任意实数a，如果a > 0，则a² > 0；如果a < 0，则a² > 0。

6. 平方根不等式公式：对于任意实数a，如果a > 0，则√a > 0；如果a < 0，则√a不存在。

7. 基本不等式公式：a+b≥2√(ab)。

常用的不等式公式还有
√((a²+b²)/2)>(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)√ab≤(a+b)/2，a²+b²>2ab，ab≤(a+b)²/4等。

其中，a >0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立。

此外还有绝对值不等式等，不等式具有多种类型和变种。

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不等式

不等式1.不等式的定义在客观世界中，量与量的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>,<,≥,≤,≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式。

2.比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a-b>0≒a>b, a-b=0≒a=b, a-b<0≒a<b, 另外，若b>0，则有 a/b>1≒a>b; a/b=1≒a=b; a/b<1≒a<b3.不等式的性质性质1：对称性如果a>b，那么b<a; 如果b<a,那么a>b,性质2：传递性如果a>b,且b>c,那么（）也可等价表示为：如果c<b,且b<a,那么c<a性质3：加法法则如果a>b,那么（）推论1:移项法则如果a+b>c,那么（）推论2.同向可加性如果a>b,且c>d,那么（）性质4.乘法法则如果a>b,且（），那么ac>bc如果a>b,且（），那么ac<bc推论1.同向可乘如果（），且（），那么ac>bd,推论2：乘方法则如果a>b>0,那么（）（n∈N*，且 n>1）推论3.开方法则如果a>b>0,那么（）（n∈N*，且n>1）重点难点1.不等式的概念和性质是本章内容的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，复习时应该给予高度的重视，对每一条性质，要弄清楚条件和结论，主要条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化，记住不等式运算法则的结论形式，掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误，掌握证明不等式性质的方法，可以惊疑不提高逻辑理解能力。

2.比较两个实数的大小，要依据不等式的加法和乘法法则，以及不等式的传递性进行，不能自己制造性质来运算，3.不等式的性质是解不等式的基础，对任意两个实数a,b有a-b>0≒a>b, a-b=0≒a=b,a-b<0≒a<b,这是比较两数大小的理论依据，也是学习不等式的基础4.解决含有绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解。

不等式的定义

不等式的定义不等式的定义是：一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“<”“>”“≤”“≥”及“≠”。

严格来说不等式的定义是：用“>"“<”连接的不等式叫做严格不等式。

非严格不等式的定义是：用“≤”和“≥”连接的不等式叫做非严格不等式。

特别提醒：a=b，a>b中，只要有一个成立，就有a≥b。

扩展资料不等式的性质：（1）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞bb＜a。

（2）如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b ＞ca＞c。

（3）如果a＞b，那么a+c＞b+c。

（4）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc。

（5）如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d。

（6）如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd。

（7）如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）。

（8）如果a＞b＞0，那么（n∈N，n≥2）。

不等关系与不等式的区别：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“<…>…≤”“≥”来表示，也可以用语言表述；而不等式则是用来表示不等关系的式子，可用“a>b”‘a<b”“a≥b a≤b”等式子来表示，不等关系是通过不等式来体现的。

不等式的分类：①按成立的条件分：a．绝对不等式：不等式中的字母取任意实数值都恒成立的不等式叫做绝对不等式；b．条件不等式：不等式中的字母取某些允许值才能成立的不等式叫做条件不等式；c．矛盾不等式：不等式中的字母不论取何实数值都不能成立的不等式叫做矛盾不等式；②按不等号开口方向分：a．同向不等式：不等号方向相同的两个不等式；b．异向不等式：不等号方向相反的两个不等式。

各种常用不等式汇总

各种常用不等式汇总文章目录•一、一般不等式•o1、一元二次不等式o2、正弦余弦不等式o3、均值不等式o4、绝对值不等式o5、排序不等式o6、权方和不等式•二、人名不等式•o1、柯西不等式o2、卡尔松不等式o3、琴声不等式o4、杨氏不等式o5、赫尔德不等式o6、闵可夫斯基不等式o7、伯努利不等式一、一般不等式经常会用到的不等式一般有前面三个是下面均值不等式的特殊情况。

一般情况下a=b时，才取到等号1、一元二次不等式首先回顾一下一元二次方程的求根公式一元二次不等式的解以及图像2、正弦余弦不等式3、均值不等式均值不等式中一般包含四个公式：调和平均数公式、算数平均数公式、平方平均数公式、几何平均数公式，下面一一介绍。

•调和平均数又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。

调和平均数是平均数的一种。

但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。

由于它是根据变量的倒数计算的，所以又称倒数平均数。

调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。

•算术平均数又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。

它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。

根据表现形式的不同，算术平均数有不同的计算形式和计算公式。

•一组数据的平方的平均数的算术平方根。

英文缩写为RMS。

它是2次方的广义平均数的表达式，也可称为2次幂平均数。

英文名一般缩写成RMS。

•几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，分为简单几何平均数与加权几何平均数。

1）几何平均数受极端值的影响较算术平均数小；2）如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数；3）它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据；4）几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。

它们的公式如下：调和平均数≤ 几何平均数≤ 算术平均数≤ 平方平均数（方均根）4、绝对值不等式5、排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和6、权方和不等式权方和不等式是一个数学中重要的不等式。

常用的不等式

常用的不等式（原创实用版）目录1.不等式的基本概念2.常见不等式的分类3.如何解不等式4.实际应用案例正文一、不等式的基本概念不等式是数学中一种表达大小关系的方式，通常用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”表示。

在代数中，不等式是两个数或表达式之间的比较，它可以帮助我们了解它们之间的关系。

二、常见不等式的分类常见的不等式可以分为以下几类：1.线性不等式：这是最简单的一类不等式，如 x < 3、2x + 1 > 5 等。

2.二次不等式：涉及二次方程的不等式，如 x^2 - 3x + 2 < 0 等。

3.绝对值不等式：涉及绝对值的不等式，如|x - 2| > 3 等。

4.复合不等式：涉及多个不等式的组合，如 (x - 2)(x - 3) > 0 等。

5.含有参数的不等式：涉及变量参数的不等式，如 x - a > 0（其中a 为参数）等。

三、如何解不等式解不等式的方法有很多，下面介绍几种常用的方法：1.移项法：将所有项移到同一侧，以便比较。

2.消元法：通过乘以或除以某个数，消去其中一个未知数。

3.图形法：通过画出函数图像，观察图像与坐标轴的交点，了解不等式的解集。

4.符号法：通过分析各个符号的变化，判断不等式的解集。

四、实际应用案例不等式在实际生活中有很多应用，如：1.经济学中的成本与收益分析：通过建立不等式模型，分析企业的生产成本与收益之间的关系。

2.物理学中的运动学：利用不等式描述物体的速度、加速度等物理量之间的关系。

3.社会学中的人口统计：通过建立不等式模型，分析人口数量、年龄结构等之间的关系。

总之，不等式作为数学中的一种基本概念，它在各个领域都有广泛的应用。

不等式

(一)不等式的概念作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究．由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数．1.不等式用符号＞或＜联结两个解析式所成的式子，称为不等式．不等号＞或＜叫做严格不等号，≥或≤叫做非严格不等号（相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）．例如b a ≥表示“b a >或b a =有一个成立，”因此１≥０或１≤１都是真的．另外，日常还使用一种只肯定不等关系但不区分孰大孰小的不等号，即“≠”．下面主要讨论严格不等式的性质．常如下定义不等式：形如),,,(),,,(z y x g z y x f ∨(2-1)的式子，称为关于变数z y x ,,, 的不等式（符号“∨”表示不等号“>”，“<”中的任一个）．在(2-1)式中，),,,(),,,(z y x g z y x f 与定义域的交集，叫做不等式(2-1)的定义域．在不等式(2-1)的定义域中，能使不等式成立的数值组，叫做不等式(2-1)的解，不等式(2-1)解的全体组成的集合，叫做不等式(2-1)的解集．求出不等式解集的过程，叫做解不等式．如果不等式(2-1)的定义域中一切值组都使不等式(2-1)成立，那么不等式(2-1)叫做绝对不等式．如果不等式(2-1)的定义域中一切值组都使不等式(2-1)不成立，那么不等式(2-1)叫做矛盾不等式．如果不等式(2-1)的定义域中一些值组使不等式(2-1)成立，而另一些值组使不等式(2-1)不成立，那么不等式(2-1)叫做条件不等式．在不等式(2-1)中，如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和都是代数式，那么就叫它代数不等式；如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和中至少有一个为超越式，那么就叫它超越不等式．在代数不等式(2-1)中，如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和都是有理式，那么就叫它有理不等式；如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和至少有一个为无理式，那么就叫它无理不等式．在有理不等式(2-1)中，如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和都是整式不等式，那么就叫它整式不等式；如果),,,(),,,(z y x g z y x f 和至少有一个是分式，那么就叫它分式不等式．2.不等式组含有未知数z y x ,,, 的几个不等式所组成的一组不等式⎝⎛∨∨∨),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(2211z y x g z y x f z y x g z y x f z y x g z y x f k k(2-2)称为不等式组．不等式组(2-2)中，),,2,1)(,,,(),,,(k i z y x g z y x f i i =定义域的交集，叫做不等式组(2-2)的定义域．不等式组(2-2)中，各个不等式的解集的交，叫做不等式组(2-2)的解集．求出不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．(二)不等式的性质实数的三条运算比较性质： ①0>-⇔>b a b a ②0<-⇔<b a b a ③0=-⇔=b a b a为不等式性质的证明提供了依据．不等式有如下10条性质．(1)对逆性如b a >，则a b <；反之如a b <，则b a >．(2)传递性若,,c b b a >>则c a >． (3)加法单调性若b a >，则c b c a +>+．(4)乘法单调性若0,>>c b a ，则bc ac >；若0,<>c b a 则bc ac <．(5)相加法则若,,d c b a >>则d b c a +>+．(6)相减法则若d c b a >≥,，则d b c a ->-．(7)相乘法则若0,0>>>>d c b a ，则bd ac >．(8)相除法则若d c b a <<>≥0,0，则db c a >． (9)乘方法则+∈R b a ,，若b a >，整数1>n ，则n n b a >．(10)开方法则+∈R b a ,，若b a >，整数1>n ，则n n b a >．注意性质(1),(3),(4),(9)和(10)是可逆的，因此这些性质可以用于证明不等式，也可用作解不等式．其余各条作为解不等式的依据，可以用于证明不等式（当不需可逆推理时）．(三)不等式的证明方法 1.比较法比较法是直接求出所证不等式两边的差或商，然后推演结论的方法．欲证B A >(或B A <)，可以直接将差式B A -与０比较大小；或者+∈R B A ,时，直接将商式BA与1比较大小．在什么情况下用比较法较好呢？一般地，当移项后容易分解成因式或配成完全平方时，可考虑用比较法；或当不等式两边都是乘积结构（或可化成乘积结构，成虽为商式结构，但分子、分母都可化为乘积结构）时，可考虑比较法；另外，能化成便于放大或缩小的商式，也可考虑用比较法．例１设b a ,为不等的实数，求证)(46224224b a ab b b a a +>++证明因为=++-+=+-++222222224224)2()(4)()(46ab b a ab b a b a ab b b a a=-+222)2(ab b a )(0)(4b a b a ≠>-所以)(46224224b a ab b b a a +>++例２若0>>>c b a ，求证b a ac c b c b a c b a c b a +++>222证明考虑用商式．因为=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>+++c a a c b c c b a b b a b a a c c b cb a ac a c c b c b b a b a c b a c b a 222 1>⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛---ca cb ba c a cb b a所以b a ac c b c b a c b a c b a +++>2222.综合法综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式的性质、函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式．常利用不等式的性质或借助于现成的不等式．因此，掌握的不等式越多，应用这种方法就越方便．例３试证：若0,,>∀c b a ，则有abc b a c a c b c b a 6)()()(222222≥+++++证明方法１因为0)(2≥-b a ，所以ab b a 2)(22≥+．又0>c ，所以abc b a c 2)(22≥+同理有 abc a c b abc c b a 2)(,2)(2222≥+≥+ 由相同加法则，三式相加即得结论．方法２欲证不等式等价于6≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a c a a c b c c b 因为2,2,2≥+≥+≥+abb ac a a c b c c b ，三式相加，即得结论．说明将所要证不等式分成几个同向不等式，然后将各式相加或相乘，这是证明不等式的常用手法．3.分析法分析法是“执因索果”，即从所要证明的结论出发，步步推求使不等式能成立的充分条件（或充分必要条件），直至归结到已知条件或已知成立的结论为止．例４已知1,≥∈n N n ，求证⎪⎭⎫⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++n n n n 21412111215131111 (1)证明欲证不等式(1)，只需证⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++n n n n 214121)1(12151311(2)(2)式左边即⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++121513122n n n n (3)(2)式右边即=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++n n n 214121214121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n n n 21412141212(4)比较(3)与(4)式，显然nn 2161411215131+++≥-+++ ．可知要证(2)式成立，只需证nn 2141212+++≥ (5)当1=n 时，(5)式成立；若k n =时，(5)式成立．则1+=k n 时22121412121221+++++≥+=+k k k k )1(21214121+++++=k k 即(5)式成立，结论得证．应用分析法的基本思路是“要Ｃ成立，只要Ｂ成立即可；要Ｂ成立，只要Ａ成立…”，一直追溯到已知条件或已知的不等式为止．用形式符号表示出来，就是“ ←←←C B A ”．如果分析的每一步都是充分必要的，即“B A ⇔”则更好．应该强调的是，分析的思想和分析的方法是研究一切问题的一个基本方法．无论是数学，自然科学，还是经济学或社会科学，多半是以分析为先导．没有中肯的分析，就不会有正确的综合．所以在数学教育中培养学生分析问题的能力是有意义的．4.数学归纳法数学归纳法是由皮亚诺公理派生出来的一个重要数学方法．它对于等式或不等式的证明同样是有效的．主要用于与自然数n 有关的不等式命题．例５求证对于任意的自然数n ，有121212654321+<-∙∙n n n 证明方法１当n =1时，有3121<，不等式成立．假设n =k 时，不等式为真，那么当n =k +1时，有221222121212212212654321++=++∙+<++∙-∙∙k k k k k k k k k 又)32)(12(3212212++⇔+<++k k k k k2)22()32)(12(22+<++⇔+<k k k k末式成立，故原不等式对1+=k n 成立．结论得证．方法２构造数列记122765432,212654321+∙∙=-∙∙=n n b n n a n n 显然),2,1( =<n b a n n1212+=<n b a a n n n所以121+<n a n 即得结论121212654321+<-∙∙n n n 说明这个不等式的左边有明显的特点，不等式右式成平方根的形式．5.反证法前面几种方法都是直接证法，而反证法是一种间接证法，其中包括归谬法和穷举法．反证法从否定所要证的结论入手，假设结论的否定为真，那么由此所引出的结论与已知条件或已知公理、定理、定义域性质之一相矛盾，或自相矛盾，因而结论的否定不成立，故原结论是真实的．当给定不等式不便于用直接法证明时，或其自身是一种否定式命题时，可考虑用反证法．例６设+∈R z y x ,,，且1sin sin sin 222=++z y x ，求证2π>++z y x 证明假如2π≤++z y x(1)则有220ππ≤-≤+<z y x因为正弦函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是增函数，所以 z z y x cos )2sin()sin(=-≤+π(2)(2)式两边均为正数，两边平方，有x y y x x y y x cos sin cos sin 2cos sin cos sin 2222++y x z z 2222sin sin sin 1cos +=-=≤整理得0)cos(sin sin ≤+y x y x(3)但是，由(1)式可知⎪⎭⎫⎝⎛∈+2,0,,πy x y x ，表明(3)式不可能成立．因此2π>++z y x6.换元法换元法是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，化难为易，化未知为已知，或实现某种转化，达到证明的目的．换元法有时称为变换法．例７设1=++z y x ，试证31222≥++z y x 证明当31===z y x 时，不等式中的等号成立．于是引进参数v u ,，作变换： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=+=+=v u z v y u x 313131实际上这是平面1=++z y x 的一个参数表示形式．代入不等式的右端，得到=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++222222313131v u v u z y x3131)(222≥++++v u v u 7.放缩法放缩法又称传递法，它是根据不等式的传递性，将所求证的不等式的一边适当地放大或缩小，使不等关系变得明朗化，从而证得不等式成立．这是不等思维的一个显著特征，其依据是实数集Ｒ的阿基米德性质．放缩法的具体做法要依据原不等式的结构来确定．例如，对于和式，采用将某些项代之以较大（或较小）的数，以得到一个较大（或较小）的和；或者用舍去一个或几个正项的办法，以得到较小的和．对于分式，则采取缩小（或放大）分母或者放大（或缩小）分子的办法来增值（或减值）．总之，放缩法使用的是不等量代换，这与换元法使用等量代换有着明显的区别．例８设),,2,1(0n i a i =>，求证123212321322121)()()(a a a a a a a a a a a a a n n <++++++++++ 证明左边+++++++<))(()(3212132112a a a a a a a a a a=++++++++-))((3211321n n na a a a a a a a a++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- 321212111111a a a a a a a a=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-n n a a a a a a 21121111211111a a a a a n <+++- 说明用放缩法证明不等式时，以下式子很有用： (1))1(111)1(11)1(11112>--=-<<+=+-n nn n n n n n n n (2)1121111-+<<++=-+n n n n n n n)1(1>--=n n n(3))1(212)1(≥+<+<n n n n n (4))(211N n n n n n ∈++<+ 不等式的证明方法还有构造法、判别式法、排序法、调整法、凸函数法以及微积分法等，这里不再一一列举．(四)解不等式1.同解不等式若两个不等式的解集相等，则称这两个不等式为同解不等式．对于同解不等式，有以下重要结论：(1)不等式)()(x g x f >与不等式)()(x g x f <同解．(2)如果对于不等式)()(x g x f >定义域中的一切值)(x h 都有意义，则不等式)()()()(x h x g x h x f +>+与)()(x g x f >同解．(3)如果对于不等式)()(x g x f >定义域中的一切值都有0)(>x h ，则不等式)()()()(x h x g x h x f >与)()(x g x f >同解；如果0)(<x h ，则不等式)()()()(x h x g x h x f <与)()(x g x f >同解．(4)不等式)()(x g x f >在其定义域中的某个子集上恒有0)()(>>x g x f ，则原不等式)()(x g x f >与)()(x g x f n n >在这个子集上同解，其中1,≥∈n n N ．(5)不等式)()(x g x f >在其定义域中的某个子集上恒有0)()(>>x g x f ，则不等式n nx g x f )()(>在这个子集上与原不等式)()(x g x f >同解，其中1,≥∈n n N ．(6)不等式0)()(>x g x f 与下面两个不等式组同解：⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f (7) 不等式0)()(<x g x f 与下面两个不等式组同解：⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f (8) 不等式0)()(>x g x f 与下面两个不等式组同解： ⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f (9) 不等式0)()(<x g x f 与下面两个不等式组同解： ⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f (10) 不等式)()(x g x f <与不等式组)()()(x g x f x g <<-或⎩⎨⎧-><)()()()(x g x f x g x f同解；不等式)()(x g x f >与不等式组⎩⎨⎧-<>)()()()(x g x f x g x f 同解．2.不等式的解法 (1)一元一次不等式任何一元一次不等式都可以经过恒等变形整理成b ax > (2-3)的形式．不等式(2-3)的解集，视a 而定．若0>a 解集为}{a b x x >；若0<a ，解集为}{abx x <；若0=a ，不等式b ax >变成为b x >0，它不是一元一次不等式．此时如果0>b ，则b x >0无解；如果b x b ><0,0是绝对不等式，解集为),(+∞-∞．(2)一元一次不等式组解不等式组，首先要分别求出组内每个不等式的解集，然后求它们的交集．求交集时，可先在数轴上画出每个不等式的解集，然后根据重合部分找出它们的交集．设一元一次不等式组⎩⎨⎧>>dcx bax (2-4)中每个不等式都有解，则归纳为下列四种情形之一；⎩⎨⎧>>βαx x ⎩⎨⎧<<βαx x ⎩⎨⎧<>βαx x ⎩⎨⎧><βαx x 假设βα<，则以上四组的解集依次是：βααβ<<<>x x x空解（无解）(3)一元二次不等式任何一个一元二次不等式都可经过恒等变形整理成)0(02≠∨++a c bx ax(2-5)的形式，两边同除以非０实数a ，即可归纳成下面两种情形之一：第一种情形：02>++q px x①如果042<-=∆q p ，不等式①的解集为),(+∞-∞；如果042=-=∆q p ，不等式①的解集为}2{p x x ≠；如果042>-=∆q p ，则02=++q px x 有两个实根21,x x ，设21x x <，那么不等式①的解集为}{21x x x x x ><或．第二种情形：02<++q px x②如果042≤-=∆q p ，不等式②无解；如果042>-=∆q p ，不等式②的解集为}{21x x x x <<，其中21,x x 是02=++q px x 的两个根．(4)一元二次不等式组一元二次不等式组可经过恒等变形整理成⎩⎨⎧∨++∨++0022221121c x b x a c x b x a的形式．其中21a a 和至少有一个不为０．这时可分别求出不等式(2-6)①和(2-6)②的解集．然后求出这两个解集的交集，即为原不等式的解．(5)一元高次不等式一元高次不等式的标准形式是)0(0)(0111≠∨++++=--n n n n n a a x a x a x a x f(2-7)其中),,1,0(n i a i =∈R ．当3≥n 时，不等式(2-7)称为一元高次不等式．由高等代数知道，在实数域上多项式f (x )总可以分解成一次因式或既约二次因式的乘积，所以f (x )总可以表成)()()(21x f x f a x f n =．其中)(1x f 是f (x )中所有首项系数为１的一次因式的乘积，)(2x f 是所有首项系数为１的二次既约因式的乘积．由于首项系数为１的二次既约因式恒为正值，所以当0>n a 时，不等式f (x )＞０或0)(1>x f 同解；当0<n a 时，不等式0)(>x f 与0)(1<x f 同解．0)(1∨x f 的解法有以下两种情形：第一种情形当)(1x f 中没有重因式时，按以下步骤求解：第一步，将)(1x f 表示成0)())(()(211∨---=k x x x x x x x f的形式，其中x i 是)(1x f 的零点，并有k x x x <<< 21．第二步，将)(1x f 的各个零点k x x x ,,,21 在数轴上标出，从而将数轴划分为k +1个子(2-6)① ②区间．从最右一个子区间),(+∞k x 开始，向左在各个子区间上依次相间地标出“＋”，“－”标志．第三步，所有“＋”的子区间（开区间）的并集，就是0)(1>x f 的解集；所有“－”的子区间（开区间）的并集，就是0)(1<x f 的解集．第二种情形当)(1x f 中有重因式时，可将奇次重因式改为一次单因式，并将偶次重因式弃去，这样就可以按照没有重因式的情形处理．但是应将所得解集去掉偶次重因式的零点．这种解法叫做“零点分区法”．当用此法求解0)(1≥x f 或0)(1≤x f 时，要将开区间改为闭区间；同时，在弃去偶次重因式后，不必去掉偶次重因式的零点．(6)一元分式不等式一元分式不等式的一般形式为0)()(∨x g x f (2-8)由同解不等式的重要结论(7)可知，解不等式(2-8)只需解不等式0)()(∨x g x f ． (7)无理不等式一元无理不等式的一般形式为0)(∨x f(2-9)其中f (x )是x 的无理函数．解无理不等式的基本方法是：利用同解不等式的重要结论(4)，将所给无理不等式转化为与它同解的有理不等式组．解无理不等式常按如下步骤进行：第一步，求出f (x )的定义域．第二步，解无理方程f (x )＝０，即求出f (x )的零点［或判断f (x )没有零点］．零点由小到大依次为k x x x ,,,21 ，将它们在数轴上标出，从而将定义域划分为k +1个子区间．第三步，在各个子区间内各任取一值α，使得0)(>αf ［或0)(<αf ］的α所在的区间就是不等式0)(>x f ［或0)(<x f ］解的区间．在解无理不等式的过程中，经常会因为在不等式的两边实施乘方运算而出现增根，所以必须检查所得解是否超出原不等式的定义域．另外，有些不等式的一边允许取负值，忽略这一点可能导致失解．(8)绝对值不等式绝对值号内含有未知元（或变元）的不等式称为含绝对值的不等式，简称绝对值不等式．解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，使其转化为普通不等式．其主要依据是绝对值的定义和同解不等式的重要结论(10).(9)初等超越不等式指数不等式)1,0()(≠>∨a a ba x f若0≤b ，则不等式b ax f >)(为绝对不等式；不等式b a x f <)(无解．若0>b ，则当1>a 时，b x f a log )(>；当10<<a 时b x f a log )(<．指数不等式的常用解法：先将不等式两边化为同底的幂，然后区分1>a 和10<<a 两种情形，据此比较它们的指数．对数不等式)1,0(log ≠>∨a a bx a对数不等式的常用解法：先将不等式两边化为同底的对数，然后区分1>a 和10<<a 两种情形，据此比较它们的真数．解题时应注意不等式的定义域．三角不等式含有变元（未知元）的三角函数不等式称为三角不等式．解三角不等式一般都要归结到最简单三角不等式，形如)(tan ,cos ,sin R ∈∨∨∨a a x a x a x的不等式，叫做最简三角不等式．解最简三角不等式，可先在所给三角函数的一个周期内求出其特解，然后加上该函数的最小周期的整数倍，即为它的一般解．对于可以用初等方法求解的三角不等式，通常使用变量代换、因式分解等方法化繁为简，归结为最简三角不等式。

不等式的概念

不等式的概念不等式是数学中一个重要的概念，用于描述数值之间的大小关系。

它是数学分析、代数学和几何学中的基本概念之一。

不等式被广泛应用于各个领域，包括物理学、经济学和工程学等。

本文将介绍不等式的定义、性质以及解不等式的方法。

一、不等式的定义不等式是数学中利用不等号表示的一种关系。

形式上，不等式可以写成a ≤ b、a < b、a ≥ b或a > b等形式，分别表示“不大于”、“小于”、“不小于”和“大于”。

不等式中的a和b可以是任意实数或变量。

对于两个实数a和b，可以利用比较运算符（如“≤”、“≥”、“<”、“>”）来判断它们的大小关系。

二、不等式的性质1. 传递性：如果a ≤ b且b ≤ c，则a ≤ c。

2. 反对称性：如果a ≤ b且b ≤ a，则a = b。

3. 加法性：如果a ≤ b，则a + c ≤ b + c，其中c为任意实数。

4. 乘法性：如果a ≤ b，且c为正实数或零，则ac ≤ bc；如果c为负实数，则ac ≥ bc。

5. 不等式的加减混合性：如果a ≤ b且c ≤ d，则a + c ≤ b + d。

6. 不等式的乘除混合性：如果a ≤ b且c ≥ 0，则ac ≤ bc；如果c ≤ 0，则ac ≥ bc。

三、解不等式的方法解不等式的目标是确定不等式中变量的取值范围。

根据不等式的性质，可以采用以下方法来解不等式：1. 图形法：将不等式表示的数值关系在数轴上进行图形表示，进而确定变量的取值范围。

2. 变量替换法：通过引入辅助变量，将原始不等式转化为等效的形式，进而求解。

3. 分情况讨论法：根据不等式中的条件，将问题分解为不同的情况，逐个求解。

4. 开区间法：通过定义开区间来确定变量的取值范围，如(a, b)表示不包括a和b的区间。

5. 不等式的性质法：借助不等式的性质进行变形和简化，得到更容易求解的形式。

四、不等式的应用不等式在许多实际问题中起着重要的作用。

不等式

不等式
1．不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
2．不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
3．不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
4.不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
5.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
4．解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
5．不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内。

6．用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．。

经典不等式23种不等式

经典不等式23种不等式1、大于等式：若x>y，则x≥y。

2、小于等式：若x<y，则x≤y。

3、不等式：若x≠y，则x≠y。

4、加法不等式：若a+b>c，则a+b≥c。

5、减法不等式：若a-b<c，则a-b≤c。

6、乘法不等式：若ab>c，则ab≥c。

7、除法不等式：若a/b<c，则a/b≤c。

8、比较不等式：若x>y，则x·z>y·z。

9、一次不等式：若ax+b>0，则x>-b/a。

10、二次不等式：若ax2+bx+c>0，则x>-b/2a-√(b2-4ac)/2a。

11、立方不等式：若ax3+bx2+cx+d>0，则x>-b/3a-∛(b3-3abc+2d)/3a。

12、指数不等式：若a·cn>0，则n>lg a。

13、对数不等式：若a>b，则ln a>ln b。

14、平方根不等式：若a2>b，则a>√b。

15、立方根不等式：若a3>b，则a>∛b。

16、反比例不等式：若1/x>y，则x<1/y。

17、正比例不等式：若x>y，则kx>ky。

18、极限不等式：若limx→∞f(x)>L，则f(x)>L，对任意的x均成立。

19、重组不等式：若a+b>c+d，则a>d或b>c。

20、多项式不等式：若p(x)>q(x)，则有关x的多项式p(x)-q(x)的系数均大于0。

21、三角不等式：若a>b，则sin a > sin b。

22、函数不等式：若f(x)>g(x)，则f(x+h)>g(x+h)，其中h为任意实数。

23、条件不等式：若A>B且C>D，则AC>BD。

不等式的概念(含解析)

不等式的概念、性质及解法考试要求：例题精讲：板块一、不等式的概念和性质☞不等式的概念1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：252,314,10,10,0,35a x a x a a -<-+>-++≤+>≥≠等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”。

【例1】用不等式表示数量的不等关系．（1） a 是正数（2）a 是非负数（3）a 的相反数不大于1 （4） x 与y 的差是负数（5）m 的4倍不小于8 （6）q 的相反数与q 的一半的差不是正数（7）x 的3倍不大于x 的13（8） a 不比0大【解析】略．【答案】⑴0a >；⑵0a ≥；⑶1a -≤；⑷0x y -<；⑸48m ≥；⑹102q q --≤；⑺133x x ≤；⑻0a ≤．【巩固】用不等式表示：⑴ x 的15与6的差大于2； ⑵ y 的23与4的和小于x ；⑶ a 的3倍与b 的12的差是非负数； ⑷ x 与5的和的30%不大于2-．【解析】略．【答案】⑴ 1625x ->；⑵ 243y x +<；⑶ 1302a b -≥；⑷ 30%(5)2x +≤-．【巩固】用不等式表示：⑴a 是非负数； ⑵y 的3倍小于2； ⑶x 与1的和大于0；⑷x 与4的和大于1 【解析】注意表示不等关系的关键词语，如“非负数”、“不大于”、“不小于”、“大于或等于”、“小于或等于”【答案】⑴0a ≥；⑵32y <；⑶10x +≤；⑷41x +>☞不等式的性质不等式基本性质：基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a bc c >)如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a bc c<)基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a bc c<)如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【例2】 ⑴ 如果a b >，则2a a b >+，是根据；⑵ 如果a b >，则33a b >，是根据； ⑶ 如果a b >，则a b -<-，是根据； ⑷ 如果1a >，则2a a >，是根据； ⑸ 如果1a <-，则2a a >-，是根据．【解析】略．【答案】⑴ 不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；⑵ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑶ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变； ⑷ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑸ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若a b <，则2a _______2b ； ⑵ 若a b >，则4a -______4b -；⑶ 若362x ->，则x ______4-；⑷ 若a b >，0c >，则ac ______bc ；⑸ 若0x <，0y >，0z <，则()x y z -_______0．【解析】略．【答案】⑴ ＜；⑵ ＜；⑶ ＜；⑷ ＞；⑸ ＞．【巩固】若a b <，用“>”或“<”填空⑴2_____2a b ++； ⑵2_____2a b -- ⑶11______33a b ； ⑷____a b -- 【解析】略【答案】⑴“<”、⑵“<”、⑶“<”、⑷“>”【巩固】若a b <，则下列各式中不正确的是（）A.88a b -<+B.1188a b < C. 1212a b -<- D.22a b -<- 【解析】略【答案】C【例3】已知a b >，要使bm am -<-成立，则m 必须满足( )A ．0m >B ．0m =C ．0m <D ．m 为任意数【解析】0m -<，0m >．选择A ．【答案】A【巩固】如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（）A.0a >B.0a <C.1a >-D.1a <-【解析】略【答案】D【巩固】若0a b <<，则下列不等成立的是( )A ． 11a b< B ． 2ab b < C ． 2a ab > D ． ||||a b <【解析】略．【答案】C【巩固】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立( )A ． a b ->-B ． 11a b< C ． 2a b b +> D ． 2a ab >【解析】略．【答案】C【巩固】如果2x >，那么下列四个式子中：①22x x > ②2xy y > ③2x x > ④112x <正确的式子的个数共有 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】①、③、④正确，所以选择B 【答案】B【巩固】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立( )A ． 22a c b c +>+B ． 22a c b c ->-C ． 22ac bc >D ． 2211a bc c >++ 【解析】选择C ，正确应为22ac bc ≥．【答案】C☞不等式的解集 1.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多． 2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：【例4】下列说法中错误的是（）A.不等式28x -<的解集是4x >-；B.40-是不等式28x <-的一个解C.不等式6x <的正整数解有无数多个D.不等式6x <正整数解有无限个【解析】略【答案】C【例5】在数轴上表示下列不等式的解集：⑴1x <； ⑵2x ≥-； ⑶2x <-或1x ≥； ⑷21x -≤<【解析】略【答案】如图【巩固】在12-、1-、2-、0、3-、12、32-中，能使不等式32x +<成立的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】略【答案】B【巩固】下列不等式：①76->-；②a a >-；③1a a +>；④0a >；⑤210a +>，其中一定成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】③、⑤ 【答案】B板块二、一元一次不等式的解法1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b <或ax b >的形式，其中x 是未知数，,a b 是已知数，并且0a ≠，这样的不等式叫一元一次不等式． ax b <或ax b >(0a ≠)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b <或ax b >形式)→系数化一(化成bx a>或bx a <的形式)【例6】求不等式3(1)5182x x x +-+>-的解集．【解析】对本例，首先应去分母，化成标准形式求解．去分母，得()()831845x x x ++>-- 去括号，得8338420x x x ++>-+ 移项，得8348203x x x ++>+-合并同类项，得1525x >系数化为1，得53x >【答案】53x >【巩固】解不等式：5192311236x x x +--+≤【解析】略④③②①01231201231230123123213210【答案】9837 x≥【巩固】解不等式2110155364x xx++--≥，并把它的解集在数轴上表示出来．【解析】略【答案】2x≤．在数轴上表示解集如图所示．【巩固】解不等式2(1)34(1)5x x x+->++【解析】采用整体思想，2(1)3(1)24(1)x x x+-+->+，易得75x<-．【答案】75 x<-【巩固】当x为何值时，代数式2113x+-的值不小于354x+的值？【解析】解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解．依题意，得2135134 x x++-≥∴()() 42112335x x+-+≥8159124x x-+-≥717x-≥∴177x-≤所以，当177x-≤时，代数式2113x+-的值不小于354x+的值．【答案】177 x-≤【例7】求不等式4512x-＜1的正整数解．【解析】对于求不等式的正整数解，应先不考虑这一限制条件，按解一元一次不等式的方法求解后，再研究限制条件，便可达到目的．去分母，得4512x-<移项，合并，得417x<系数化为1，得174 x<∵求原不等式正整数解．∴1234x=，，，为原不等式正整解．【答案】1234x=，，，【巩固】不等式132x x +>的负整数解是_______．【解析】略【答案】5-，4-，3-，2-，1-【巩固】不等式111326y y y +---≥的正整数解为__________．【解析】解得3y ≤，故正整数解为1，2，3．【答案】1，2，3．【巩固】求不等式12123x x +-≥的非负整数解．【解析】首先解这个不等式，然后在不等式的解集中找出符合题意的解．12123x x +-≥，()()31221x x +-≥，33x x +≥4-2，5x --≥，5x ≤．所以满足这个不等式的非负整数解为x =0，1，2，3，4，5．【答案】x =0，1，2，3，4，5．板块三、一元一次不等式组的解法1.一元一次不等式和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：【例8】解不等式组31422x x x ->-⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．【解析】31422x x x ->-⎧⎨<+⎩12x x >-⎧⇒⎨<⎩12x ⇒-<<.∴原不等式组的解集是12x -<<. 在数轴上表示为：【答案】12x -<<【巩固】求不等式组2(2)43251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜ ①②的整数解．【解析】由①得 12x ≥-；由②得 2x <．∴ 此不等式组的解集为122x -≤<．∴ 此不等式组的整数解为0，1．【答案】0，1【例9】解不等式：32122x--<≤；【解析】略【答案】解，由题意得，32123222x x -⎧-<⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得5212x x ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，∴1522x -≤<【巩固】解不等式：2312142x x -≤≤+【解析】原不等式相当于：23241212x x -⎧≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得1122x ≤≤．【答案】1122x ≤≤0123123【例10】解不等式组：11141010372x x x x x ⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩；【解析】原方程组的解为5108x x x >=⎧/⎨>⎩且，综合得8x >且10x =/；【答案】8x >且10x =/【巩固】解不等式组：323(1)12123x x x x x +≥--⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【解析】略【答案】0x ≥【例11】解不等式组：2(20)203(34)2521623x x x x x -+≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩【解析】略．【答案】2x ≤【巩固】解不等式组：734342555(4)2(4)3x x x x x -+⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+-≤-⎪⎩【解析】略【答案】无解.【例12】解不等式组()121123621[41]43x x x x x x x --+⎧->-⎪⎪⎨⎪---⎪⎩①≥②。

什么是不等式

什么是不等式
不等式的定义：
一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“>”“<”“≤” “≥”及“≠”。

不等式组的定义：几个含有相同未知数的不等式联立起来，叫做不等式组。

不等式分类：
不等式分为严格不等式与非严格不等式。

一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≥，> 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

不等式的判定：
①常见的不等号有“>”“<”“≤” “≥”及“≠”。

分别读作“大于，小于，小于等于，大于等于，不等于”，其中“≤”又叫作不大于，“≥”叫作不小于；
②在不等式“a>b”或“a<b”中，a叫作不等式的左边，b叫作不等式的右边；
③不等号的开口所对的数较大，不等号的尖头所对的数较小；
④在列不等式时，一定要注意不等式关系的关键字，如：正数、非负数、不大于、小于等等。

常用的不等式

常用的不等式
摘要：
1.不等式的基本概念
2.不等式的符号表示
3.常用不等式的类型
4.如何解不等式
5.不等式在实际生活中的应用
正文：
不等式是数学中常见的一种比较方法，用于表示两个数或者式子之间的大小关系。

在代数学中，不等式是重要的研究对象，其基本概念和性质构成了不等式理论的基础。

不等式的符号表示主要包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。

通过这些符号，我们可以清晰地表示出两个数之间的大小关系。

常用不等式的类型主要有以下几种：
1.一元一次不等式：形如ax+b>c 或ax+b<c 的不等式，其中a、b、c 为已知数，x 为未知数。

2.一元二次不等式：形如ax+bx+c>0 或ax+bx+c<0 的不等式，其中
a、b、c 为已知数，x 为未知数。

3.绝对值不等式：形如|x|>a 或|x|<a 的不等式，其中a 为已知数，x 为未知数。

4.复合不等式：由多个不等式组合而成的不等式，如(x+2)(x-3)>0。

解不等式的方法主要有以下几种：
1.移项法：将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，然后合并同类项。

2.符号法：通过分析符号的变化，判断未知数的取值范围。

3.图形法：画出函数图像，观察函数与坐标轴的交点，从而得到不等式的解集。

4.代入法：将未知数表示为另一个已知数的函数，然后代入不等式求解。

不等式在实际生活中的应用非常广泛，例如经济学中的成本与收益分析、物理学中的力学问题、生物学中的生态系统平衡等。

不等式的概念、性质和解法

一、不等式的概念和性质不等式的概念1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：252,314,10,10,0,35a x a x a a -<-+>-++≤+>≥≠等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”。

【例1】用不等式表示数量的不等关系．（1）a 是正数（2）a 是非负数（3）a 的相反数不大于1 （4）x 与y 的差是负数（5）m 的4倍不小于8（6）q 的相反数与q 的一半的差不是正数（7）x 的3倍不大于x 的13（8） a 不比0大【巩固】用不等式表示：⑴ x 的15与6的差大于2； ⑵ y 的23与4的和小于x ；⑶ a 的3倍与b 的12的差是非负数； ⑷ x 与5的和的30%不大于2-．【巩固】用不等式表示：⑴a 是非负数； ⑵y 的3倍小于2； ⑶x 与1的和大于0；⑷x 与4的和大于1不等式的性质不等式基本性质：基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a b c c >) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【例2】⑴ 如果a b >，则2a a b >+，是根据；⑵ 如果a b >，则33a b >，是根据；⑶ 如果a b >，则a b -<-，是根据； ⑷ 如果1a >，则2a a >，是根据； ⑸ 如果1a <-，则2a a >-，是根据．【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若a b <，则2a _______2b ； ⑵ 若a b >，则4a -______4b -；⑶ 若362x ->，则x ______4-；⑷ 若a b >，0c >，则ac ______bc ；⑸ 若0x <，0y >，0z <，则()x y z -_______0．【巩固】若a b <，用“>”或“<”填空⑴2_____2a b ++； ⑵2_____2a b --⑶11______33a b ； ⑷____a b -- 【巩固】若a b <，则下列各式中不正确的是（）A.88a b -<+B.1188a b < C. 1212a b -<- D.22a b -<-【例3】已知a b >，要使bm am -<-成立，则m 必须满足( )A ．0m >B ．0m =C ．0m <D ．m 为任意数【巩固】如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（）A.0a >B.0a <C.1a >-D.1a <-【巩固】若0a b <<，则下列不等成立的是( )A ．11a b< B ． 2ab b < C ． 2a ab > D ．||||a b <【巩固】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立( )A ． a b ->-B ．11a b< C ． 2a b b +> D ．2a ab >【巩固】如果2x >，那么下列四个式子中：①22x x > ②2xy y > ③2x x > ④112x <正确的式子的个数共有 ( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【巩固】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立( )A ．22a c b c +>+B ． 22a c b c ->-C ． 22ac bc >D ．2211a bc c >++ 不等式的解集 1.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多． 2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：【例4】下列说法中错误的是（）A.不等式28x -<的解集是4x >-；B.40-是不等式28x <-的一个解C.不等式6x <的正整数解有无数多个D.不等式6x <正整数解有无限个【例5】在数轴上表示下列不等式的解集：⑴1x <； ⑵2x ≥-； ⑶2x <-或1x ≥； ⑷21x -≤<【巩固】在12-、1-、2-、0、3-、12、32-中，能使不等式32x +<成立的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【巩固】下列不等式：①76->-；②a a >-；③1a a +>；④0a >；⑤210a +>，其中一定成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、一元一次不等式的解法1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b<或ax b>的形式，其中x是未知数，,a b是已知数，并且0a≠，这样的不等式叫一元一次不等式．ax b<或ax b>(0a≠)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b<或ax b>形式)→系数化一(化成bxa>或bxa<的形式)【例6】求不等式3(1)5182x xx+-+>-的解集．【巩固】解不等式：5192311 236x x x+--+≤【巩固】解不等式2110155364x xx++--≥，并把它的解集在数轴上表示出来．【巩固】解不等式2(1)34(1)5x x x+->++【巩固】当x为何值时，代数式2113x+-的值不小于354x+的值？【例7】求不等式4512x-＜1的正整数解．【巩固】不等式132x x+>的负整数解是_______．【巩固】不等式111326y y y+---≥的正整数解为__________．【巩固】求不等式12123x x+-≥的非负整数解．三、一元一次不等式组的解法1.一元一次不等式和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：不等式组的口诀解法（一）同大取大如果两个不等式的解集都是大于某数时，那么不等式的解集就是大于大数（二）同小取小如果两个不等式的解集都是小于某数时，那么不等式组的解集就是小于小数（三）大小小大中间找如果不等式组中的一个不等式的解集是大于小数，另一个不等式的解集是小于大数，那么这个不等式组的解集就是小数与大数之间的部分（四）大大小小找不到如果不等式组中的一个不等式的解集是大于大数，另一个不等式的解集是小于小数，那么不等式组就是无解【例8】解不等式组31422xx x->-⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．【巩固】求不等式组2(2)43251x xx x-≤-⎧⎨--⎩＜①②的整数解．【例9】解不等式：32122x--<≤；【巩固】解不等式：23121 42xx-≤≤+【例10】解不等式组：11141010372x x x x x ⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩；【巩固】解不等式组：323(1)12123x x x x x +≥--⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【例11】解不等式组：2(20)203(34)2521623x x x x x -+≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩【巩固】解不等式组：734342555(4)2(4)3x x x x x -+⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+-≤-⎪⎩【例12】解不等式组()121123621[41]43x x x x x x x --+⎧->-⎪⎪⎨⎪---⎪⎩①≥②。

不等式的基本概念

不等式的基本概念不等式，在数学中是相对于等式而言的一种关系式。

它揭示了数量之间的大小关系，解决了许多实际问题，如优化、约束、分类等。

作为数学中一种重要的概念，不等式在各个领域中都发挥着不可替代的作用。

一、不等式的定义不等式是数学中描述数值大小关系的一种数学式子。

以≤和≥表示的不等式称为“不等式”，例如：3x+1>10，x≤3等式都是不等式。

其中，“不等于”符号≠不属于不等式范畴。

二、不等式的基本性质1.加减均不等变性：两边同时加（减）一个数，不等的方向不发生改变，也就是说：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

2.乘法不等性：若a>b，则a×c>b×c（c>0）或a×c<b×c（c<0）。

3.除法不等性：若a>b（a>0;b>0），则a÷c>b÷c（c>0）或a÷c<b÷c（c<0）。

三、不等式的解法不等式解法主要有三种方法：代入法、绝对值法和图像法1.代入法：将每一个解的可能取值都带入不等式进行判断，最后确定取值范围。

2.绝对值法：主要应用于一元一次不等式中，当不等式具有|x|的绝对值形式时，应用不等式的绝对值概念，进行分情况讨论求解。

3.图像法：将不等式构成的图像绘制出来，通过分析图像来确定解的区间。

四、不等式的分类1.一元一次不等式：其中的一元指的是变量只有一个，一次指的是变量出现的最高次数是1。

这类不等式通常表示为ax+b>c，ax+b=c或ax+b<c。

2.二元一次不等式：其中的二元指的变量包括两个，一次指的是变量出现的最高次数是1。

这类不等式通常表示为ax+by>c，ax+by=c或ax+by<c。

3.绝对值不等式：此类不等式中通常含有绝对值符号"|x|". 如：|x-a|> b。

不等式公式大全

不等式公式大全不等式是数学中常见的一种关系式，它在数学中有着广泛的应用。

不等式的解法和性质有很多，下面我们来详细介绍不等式的各种公式及其应用。

一、基本不等式公式。

1. 一元一次不等式，ax + b > 0 (a ≠ 0)，ax + b < 0 (a ≠ 0)。

2. 一元二次不等式，ax^2 + bx + c > 0 (a ≠ 0)，ax^2 + bx + c < 0 (a ≠ 0)。

3. 绝对值不等式，|ax + b| > c，|ax + b| < c。

二、不等式的性质。

1. 不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式仍成立。

2. 不等式两边同时乘以（除以）一个正数，不等式方向不变；两边同时乘以（除以）一个负数，不等式方向改变。

3. 不等式两边同时取绝对值，不等式方向不变。

三、不等式的解法。

1. 图像法，将不等式对应的函数图像画出，通过图像来确定不等式的解集。

2. 区间法，将不等式化简成区间表示，通过区间的交集和并集来确定不等式的解集。

3. 讨论法，对不等式中的各项进行讨论，找出不等式的解集。

四、常见不等式。

1. 平均不等式，对任意n个正数a1、a2、…、an，有(a1+a2+…+an)/n ≥√(a1a2…an)，等号成立当且仅当a1=a2=…=an。

2. 柯西-施瓦茨不等式，对任意n维实内积空间中的向量a和b，有|a·b| ≤ ||a|| ||b||，等号成立当且仅当a与b成比例。

3. 阿贝尔不等式，对任意n个实数a1、a2、…、an和任意n个非负实数b1、b2、…、bn，有|a1b1 + a2b2 + … + anbn| ≤ (|a1|+|a2|+…+|an|)(b1+b2+…+bn)。

五、不等式的应用。

1. 在数学证明中，不等式常常用来推导出其他结论。

2. 在优化问题中，不等式常常用来确定最优解的范围。

3. 在概率统计中，不等式常常用来确定随机变量的性质。