探索勾股定理一典型例题
探索勾股定理练习题
§探索勾股定理 （1）基础训练1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．2．如图1-1-1，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离为 m ．3．如图1-1-2，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（表示出来也可）4．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．提高训练6．一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑动 m ． 知识拓展11．如图1-1-6，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．12．如图1-1-7，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将86CBA图1-1-65米3米直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．§探索勾股定理 （2）基础训练1．斜边为cm 17，一条直角边长为cm 15的直角三角形的面积是（ ） (A) 60 (B) 30 (C) 90 (D) 120 2. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）64 3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）1（C ）7（D ）7或254. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______.6. 如图1-1-8为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.提高训练7. 如图1-1-9，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.BACDE。
(完整版)勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
勾股定理难题50道
勾股定理难题50道1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对3．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留)π4．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出Sl= （用含m 的代数式表示） 6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积AE=；则正方形EFGH的面积=．16=，19．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树米才是安全的．10．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为2cm．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC∆中BC边上的高是．∆，则ABC13．如图，在ABC∠=︒，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分∆中，90ABC别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = ．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是 ．15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 ．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于 ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD = ．19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是cm ．（结果保留根号）20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =，6DE =，则EB = ．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为尺．23．如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．24．如图，Rt ABC∆的斜边AC为一直角边，另一直角∆的两直角边分别为1，2，以Rt ABC边为1画第二个ACD∆；在以ACD∆的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个∆；⋯，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是．ADE25．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610cm，在上盖中⨯⨯（单位：)开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：2 1.4≈．≈，3 1.7≈，5 2.2)26．如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是cm （结果用带根号和π的式子表示）．评卷人得分三．解答题（共24小题）27．已知ABC∆中，AB AC=．（1）如图1，在ADE∆中，若AD AE=，且DAE BAC∠=∠，求证：CD BE=；（2）如图2，在ADE∆中，若60DAE BAC∠=∠=︒，且CD垂直平分AE，3AD=，4CD=，求BD的长；（3）如图3，在ADE∆中，当BD垂直平分AE于H，且2BAC ADB∠=∠时，试探究2CD，2BD，2AH之间的数量关系，并证明．28．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是11(91),(91)22-+；勾是五时，股和弦的算式分别是11(251),(251)22-+．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含(n n为奇数，且3)n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m为偶数，且4)m>的代数式来表示股和弦．29．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为1h 、2h ．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，1h 、2h 、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线13:34l y x =+，2:33l y x =-+，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．30．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ∆，连接BE ． （1）填空：ACB ∠= 度；（2）当点D 在线段AM 上（点D 不运动到点)A 时，试求出ADBE的值； （3）若8AB =，以点C 为圆心，以5为半径作C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．31．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题， 请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长 ． （1） 如图 1 ，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2） 如图 2 ，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3） 如图 3 ，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图 4 所示， 且1120AOA ∠=︒，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发， 沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．32．在学习勾股定理时，我们学会运用图()I 验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：2()a b +，也可表示为：214()2c ab +，即221()4()2a b c ab +=+由此推出勾股定理222a b c +=，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图()(2002II 年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用()III 提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证222()2x y x xy y +=++； （3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++．33．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连接AE 、1EC ．虫乙如果沿路径1A E C --爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）34．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，设c 为最长边，当222a b c +=时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为 三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为 三角形．（2）猜想，当22a b + 2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b + 2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围． 35．一、阅读理解：在ABC ∆中，BC a =，CA b =，AB c =； （1）若C ∠为直角，则222a b c +=；（2）若C ∠为锐角，则22a b +与2c 的关系为：222a b c +> 证明：如图过A 作AD BC ⊥于D ，则BD BC CD a CD =-=- 在ABD ∆中：222AD AB BD =- 在ACD ∆中：222AD AC CD =- 2222AB BD AC CD -=-2222()c a CD b CD --=- 2222a b c a CD ∴+-= 0a >，0CD >2220a b c ∴+->，所以：222a b c +>（3）若C ∠为钝角，试推导22a b +与2c 的关系．二、探究问题：在ABC ∆中，3BC a ==，4CA b ==，AB c =；若ABC ∆是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．36．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足422422a b c b a c +=+，试判断ABC ∆的形状．阅读下面解题过程：解：由422422a b c b a c +=+得： 442222a b a c b c -=-①2222222()()()a b a b c a b +-=-② 即222a b c +=③ABC ∴∆为Rt △． ④试问：以上解题过程是否正确：若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） 错误原因是 本题的结论应为 ．37．如图a ，90EBF ∠=︒，请按下列要求准确画图：1：在射线BE 、BF 上分别取点A 、C ，使2BC AB BC <<，连接AC 得直角ABC ∆； 2：在AB 边上取一点M ，使AM BC =，在射线CB 边上取一点N ，使CN BM =，直线AN 、CM 相交于点P ．（1）请用量角器度量APM ∠的度数为 ；（精确到1)︒ （2）请用说理的方法求出APM ∠的度数；（3）若将①中的条件“2BC AB BC <<”改为“2AB BC >”，其他条件不变，你能自己在图b 中画出图形，求出APM ∠的度数吗？38．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边BC 和AB 上的点，ABD ∆与ACD ∆的周长相等，CAE ∆与CBE ∆的周长相等．设BC a =，AC b =，AB c =． （1）求AE 和BD 的长；（2）若90BAC ∠=︒，ABC ∆的面积为S ，求证：S AE BD =．39．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）40．ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC ∆不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．41．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 ⋯ a221-231-241-251-⋯ b46 810 ⋯ c221+ 231+241+251+⋯（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数(1)n n >的代数式表示：a = ，b = ，c = ；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．42．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算1(91)2-、1(91)2+与1(251)2-、1(251)2+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用(n n 为奇数且3)n 的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m 为偶数且4)m >的代数式来表示他们的股和弦．43．如图，梯子AB 斜靠在墙上，90ACB ∠=︒，5AB =米，4BC =米，当点B 下滑到点B '时，点A 向左平移到点A '．设BB x '=米(04)x <<，AA y '=米． （1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 为何值时，点B 下滑的距离与点A 向左平移的距离相等？（3）请你对x 再取几个值，计算出对应的y 值，并比较对应的y 值与x 值的大小(y 值可以用精确到0.01的近似数表示，也可用无理数表示）．（4）根据第（1）~（3）题的计算，还可以结合画图、观察，推测y 与x 的大小关系及对应的x 的取值范围．44．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量90A ∠=︒，3AB m =，12BC m =，13CD m =，4DA m =，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？45．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，在图①画出一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（3）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1)s 19 4.4≈21 4.6．46．在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度()BC 不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30︒增大到45︒，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈47．如图，小强在江南岸选定建筑物A ，并在江北岸的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30︒，小强沿江岸BE 向东走了500m ，到C 处，再观察A ，此时视线AC 与江岸所成的夹角60ACE ∠=︒．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．48．在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 、E 是直线AB 上两点．45DCE ∠=︒ （1）当CE AB ⊥时，点D 与点A 重合，显然222DE AD BE =+（不必证明）； （2）如图，当点D 不与点A 重合时，求证：222DE AD BE =+；（3）当点D 在BA 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．49．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD AB ⊥，1AB =，2BC CD ==．求四边形ABCD 的周长和面积．50．定义： 三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形” ．数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒 （每 根长度记为 1 个单位） 中取出若干根， 首尾依次相接组成三角形， 进行探究活动 ． 小亮用 12 根火柴棒， 摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、 小颖的启发， 分别摆出三个不同的等腰“整数三角形” ． （1） 请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2） 你能否也从中取出若干根， 按下列要求摆出“整数三角形”， 如果能， 请画出示意图；如果不能， 请说明理由 ． ①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊 （既 非直角三角形， 也非等腰三角形） “整数三角形” ．勾股定理难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形【解答】解：依题意可知，1133BP BF DH==，2233CQ CG DH==，又////PB CQ DH，APB AQC AHD∴∆∆∆∽∽，A∴、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）故选：B．2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得15BD=；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得6CD=．当AD在三角形的内部时，15621BC=+=；当AD在三角形的外部时，1569BC=-=．则BC的长是21或9．故选：D ．二．填空题（共24小题）3．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 231π+ cm ．（结果保留)π【解答】解：如图所示，无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∴展开后 1.523AB cm ππ=⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：22229931AC AB BC cm ππ=+=+=+． 故答案为：231π+．4．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 10 cm ．【解答】解：将长方体展开，连接A 、B '，13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=． 故答案为：10．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表： 三边a 、b 、ca b c +- l S /S l345 2 12 6 1/26810 4 24 24 1 51213 4 30 30 1 81517 6 40 60 3/2121620848962⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出S l =4m（用含m 的代数式表示） 【解答】解：3452m a b c =+-=+-=时，1224S l ==； 6810512134m a b c =+-=+-=+-=时，414S l ==； 815176m a b c =+-=+-=时，3624S l ==； 1216208m a b c =+-=+-=时，824S l ==； ⋯∴我们可以猜想出4S ml =． 故答案为4m．6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为 7或25 秒．【解答】解：如图，作AD BC ⊥，交BC 于点D ， 8BC cm =，142BD CD BC cm ∴===， 223AD AB BD ∴=-=，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA AC ⊥时，22222AP PD AD PC AC =+=-，2222PD AD PC AC ∴+=-，22223(4)5 2.25PD PD PD ∴+=+-∴=， 4 2.25 1.750.25BP t ∴=-==， 7t ∴=秒，当点P 运动t 秒后有PA AB ⊥时，同理可证得 2.25PD =， 4 2.25 6.250.25BP t ∴=+==， 25t ∴=秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ③ ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．【解答】解：2222222()()()c a b a b a b -=-+∴应有2222222()()()0c a b a b a b ---+=得到22222()[()]0a b c a b --+=，22()0a b ∴-=或222[()]0c a b -+=，即a b =或222a b c +=，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，三角形为等腰三角形或直角三角形．故填③，不能确定22a b -是否为0，等腰三角形或直角三角形．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 、BC 、CD 上．若正方形ABCD 的面积16=，1AE =；则正方形EFGH 的面积= 10 ．【解答】解：四边形EFGH 是正方形，EH FE ∴=，90FEH ∠=︒，90AEF AFE ∠+∠=︒，90AEF DEH ∠+∠=︒，AFE DEH ∴∠=∠，在AEF ∆和DHE ∆中， A D AFE DEH EF HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF DHE ∴∆≅∆， AF DE ∴=，正方形ABCD 的面积为16， 4AB BC CD DE ∴====， 413AF DE AD AE ∴==-=-=，在Rt AEF ∆中，2210EF AE AF + 故正方形EFGH 的面积101010=．故答案为：10．9．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 4 米才是安全的． 【解答】解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则413BC m =-=，945AB m =-=，在Rt ABC ∆中，2222534AC AB BC =-=-=米． 即小孩至少离开这棵树4米才是安全的． 故答案为：4．10．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，那么所用细线最短需要73 cm ．【解答】解：如图所示，从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，∴展开后188AC cm cm =⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：2273AB AC BC cm =+．故答案为：73．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm ，则A 、B 、C 、D 四个小正方形的面积之和为 144 2cm ．【解答】解：如右图所示， 根据勾股定理可知，231S S S +=正方形正方形正方形， 2C D S S S +=正方形正方形正方形， 3A B S S S +=正方形正方形正方形，2112144C D A B S S S S S ∴+++===正方形正方形正方形正方形正方形．故答案是144．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC ∆，则ABC ∆中BC 边上的高是322．【解答】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B 、C 为EF 、FD 的中点，ABC AEB BFC CDA AEFD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形 11122121112222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，32=． 22112BC =+=．ABC ∴∆中BC 边上的高是3322222⨯÷=． 故答案为：322．13．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = 2 ．【解答】解：ABC ∆中，90ABC ∠=︒， 222AB BC AC ∴+=， 222BC AC AB ∴=-，21BC S =、224AB S ==，236AC S ==， 132642S S S ∴=-=-=．故答案为：2．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是103．【解答】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，12331210S S S x y ∴++=+=，故31210x y +=，1043x y +=， 所以21043S x y =+=， 故答案为：103． 15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 5 米．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 圆柱高4米，底面周长1米222(13)491625x =⨯+=+= 所以，花圈长至少是5m ．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 4或25或10 ．【解答】解：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，90DAC ∠=︒，且AD AC =，224BD BA AD ∴=+=+=；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于E ． ABC ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=︒， 45DCE ∴∠=︒，又DE CE ⊥，90DEC ∴∠=︒， 45CDE ∴∠=︒，222CE DE ∴=== 在Rt BAC ∆中，222222BC +=，2222(222)(2)25BD BE DE ∴=+=++=； ③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ，90ADC ∠=︒，AD DC =，且2AC =，2sin 45222AD DC AC ∴==︒=⨯=， 又ABC ∆、ADC ∆是等腰直角三角形， 45ACB ACD ∴∠=∠=︒， 90BCD ∴∠=︒，又在Rt ABC ∆中，222222BC =+=，2222(22)(2)10BD BC CD ∴=+=+=． 故BD 的长等于4或25或10．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于27133+ ．【解答】解： 延长BA 交QR 于点M ，连接AR ，AP ．AC GC =，BC FC =，ACB GCF ∠=∠， ABC GFC ∴∆≅∆，30CGF BAC ∴∠=∠=︒，60HGQ ∴∠=︒，90HAC BAD ∠=∠=︒， 180BAC DAH ∴∠+∠=︒， 又//AD QR ，180RHA DAH ∴∠+∠=︒， 30RHA BAC ∴∠=∠=︒，60QHG ∴∠=︒，60Q QHG QGH ∴∠=∠=∠=︒， QHG ∴∆是等边三角形 ．3cos304232AC AB =︒=⨯=． 则23QH HA HG AC ====．在直角HMA ∆中，3sin 602332HM AH =︒=⨯=．cos 603AM HA =︒=． 在直角AMR ∆中，4MR AD AB ===．2334723QR ∴=++=+． 21443QP QR ∴==+． 3736PR QR==+．PQR ∴∆的周长等于27133RP QP QR ++=+．故答案为：27133+．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD =75．【解答】解：设AC x =，CD y =，由勾股定理得： 2222(5)6425x y x y ⎧++=⎨+=⎩， 消去x ，得：22(5)39y y +-=， 整理，得： 1014y =，即75y =， 故CD 的长为75． 19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 42cm ．（结果保留根号）【解答】解：将圆柱体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，224442AB cm =+=．20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =6DE =，则EB =334 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，42AB =，45A ∠=︒，24242BC ∴=⨯= 在Rt EDC ∆中，60EDC ∠=︒，6DE =，3sin 6332CE DE EDC ∴=∠=⨯= 334BE CE BC ∴=-=-．故填空答案：334-．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 20489+或40165+或4085+ m ．【解答】解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD 是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半10BD =， 根据勾股定理即可求得其腰长22100256289AB AD BD =++，此时三角形的周长是20489+；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况． 根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT ADC ∆中，2212AD AC CD =-=，从而可得32BD =，进一步根据勾股定理求得其底边是22221632165BC CD BD =+=+=，此时三角形的周长是40165+；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得2212AD AC CD =-=，8BD AB AD =-=， 在RT CDB ∆中，22BC CD BD =+2216885+=，此时三角形的周长是4085+； 故本题答案为：20489+或40165+或4085+．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun 一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为 10.1 尺．【解答】解：设单门的宽度是x 米，根据勾股定理，得221(0.1)x x =+-， 5.05x =，则210.1x =尺．23．如图是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的点A （长的四等分点）处有一只壁虎、点B （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 85 ．。
1.1 探索勾股定理(第一课时题)
其中所有的四边形都是正方形，所
有的三角形都是直角三角形．若正
方形A、B、C、D的面积分别为2、
5、1、2，则最大的正方形E的面
积是
10
．
6．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC
边上的高是 8 cm．
7．如图1-1-8，在△ABC中，∠ACB=90°， AB=10cm，BC=6cm，CD⊥AB交AB于点D．
基础过关精练
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=10,AC=6，则BC为( C )
A．4
B．6
C．8
D．16
2．一个直角三角形中,两直角边长分别为3
和4,下列说法正确的是( C )
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
3．下列说法正确的是( D )
解：∵在Rt△ABC中，AC=30cm， BC=40cm，∴AB=50cm． 由折叠知AE=AC=30cm，CD=DE， ∠AED=90°,∴BE=50-30=20(cm)． 在Rt△DEB中，设DE=xcm， 则DB=(40-x)cm， ∴DE2+BE2=DB2，即x2+202=(40-x) 2，解得x=15． ∴S =1/2×15×20=150(cm2)．
第一章 勾股定理
1．1 探索勾股定理 (第一课时)
典型例题精析
例1 如图1-1-1,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A、∠B、∠ACB所对的 边分别为a、b、c．
(1)若a：b=3：4,c=15,求b； (2)若a=6,b=8,求c的长及斜边上的高．
解:(1)设a=3x,b=4x, 在Rt△ABC中，c2=a2+b2, ∴(3x) 2+(4x) 2=152, 解得x=3． ∴a=9,b=12．
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。
勾股定理在实际问题中的应用举例
勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。
一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边，BD 是Rt △BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。
解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，BD=22CD BC +=50。
所以选C 。
说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。
二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。
由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。
解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt △SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。
探索勾股定理(答案版)
探索勾股定理知识提要1. 直角三角形的性质：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．2. 勾股定理：如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么a2＋b2＝c2．3. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
练习一、选择题1. 在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为( A )A. 49 cm2B. 98 cm2C. 147 cm2D. 无法确定2. (淮安中考)下列四组线段中，能组成直角三角形的是( D )A. a＝1，b＝2，c＝3B. a＝2，b＝3，c＝4C. a＝2，b＝4，c＝5D. a＝3，b＝4，c＝53. 如图所示，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1＝4，S2＝8，则S3等于( )A．4 B．8 C．12 D．32[解析] C ∵S1＝4，∴BC2＝4.∵S2＝8，∴AC2＝8，∵在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2＝4＋8＝12，∴S3＝AB2＝12.故选C.4．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于( )A．1 B. C. D．223[解析] D ∵AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC2＝AB2＋BC2＝12＋12＝2，AD2＝AC2＋CD2＝2＋12＝3，AE2＝AD2＋DE2＝3＋12＝4，∴AE＝2.5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC 的长为( C )A．5 B．6 C．8 D．106. 如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB.以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M 对应的数是( B )A. B. C. D.35677．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列说法中错误的是( B) A．如果∠C－∠B＝∠A，那么△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2－a2，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°C．如果(c＋a)(c－a)＝b2，那么△ABC是直角三角形D．如果∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，那么△ABC是直角三角形[解析] B 由∠C－∠B＝∠A，得∠C＝∠A＋∠B＝90°，所以△ABC是直角三角形，故A项不符合题意．由c2＝b2－a2，得a2＋c2＝b2，所以△ABC 是直角三角形，且∠B ＝90°，故B 项符合题意．由(c ＋a)(c －a)＝b 2，得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形，故C 项不符合题意． 由∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，得∠A ＝∠B ＋∠C ＝90°，所以△ABC 是直角三角形，故D 项不符合题意．故选B .8．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝，BC 边上的高线AD ＝6，则另一边BC 等于( C )40A ．10 B ．8 C ．6或10 D ．8或109．图中，不能用来证明勾股定理的是( D )答案：D [解析] A 项∵4×ab ＋(b －a )2＝c 2，∴整理得a 2＋b 2＝c 2， 12即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B 项∵4×ab ＋c 2＝(a ＋b )2，∴整理得a 2＋b 2＝c 2， 12即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 项，∵ab ＋c 2＋ab ＝(a ＋b )(a ＋b )，∴整理得a 2＋b 2＝c 2， 12121212即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；选项D 不能证明勾股定理．10．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于点D ，E 是垂足，连结CD .若BD ＝1，则AC 的长是( A )A. 2B. 2C. 4D. 433【解】 在Rt △ABC 中，∵∠B ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ACB ＝60°.∵DE 垂直平分斜边AC ，∴AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠A ＝30°.∴∠DCB ＝60°－30°＝30°.在Rt △DBC 中，∵∠B ＝90°，∠DCB ＝30°，BD ＝1，∴CD ＝2BD ＝2.由勾股定理，得BC ＝.同理可得AC ＝2BC ＝2.3311．如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＞BC ，分别以△ABC 的边AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连结EF ，GM .设△AEF ，△CGM 的面积分别为S 1，S 2，则下列结论正确的是( )A ．S 1＝S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＞S 2D ．S 1≤S 2 答案：A [解析] 如图，过点E 作ER ⊥AF ，交FA 的延长线于点R .设△ABC 中∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 所对的边分别为a ，b ，c ，由题意可知AE ＝AB ，∠ARE ＝∠ACB ＝90°，∠EAR ＝∠BAC ，∴△AER ≌△ABC (AAS )，∴ER ＝BC ＝a ， ∴S 1＝FA ·ER ＝ab .1212∵S 2＝CG ·CM ＝ab ，∴S 1＝S 2.故选A.121212．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角三角形ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数是( C )A. 6B. 7C. 8D. 9【解】如解图，满足这样条件的点C共有8个二、填空题1．一个三角形的两条边长分别为1和2，若要使这个三角形成为直角三角形，则第三边的平方为3或5．2．如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AB＝5，AD＝4，则AE＝___3_____．3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是__10____．[答案] 10[解析] 如图，根据勾股定理的几何意义，可得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.4. 如图，将一根长15 cm的筷子置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长为h(cm)，则h的取值范围是2≤h≤3．5．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段__8__条．5【解】易知1，2，是一组勾股数，如解图，在这个田字格中最多可以作出8条长度为5的线段．56．如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B距离点C5 cm，一只蚂蚁若要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则爬行的最短距离是____25__cm.[解析]把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图①. ∵长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，∴BD＝CD＋BC＝10＋5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得AB＝＝＝25；BD2＋AD2152＋202把长方体的右侧表面剪开与上面所在的平面形成一个长方形，如图②.∵长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，∴BE＝CE＋BC＝20＋5＝25，AD＝10，在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得AB＝＝＝5 ；BE2＋AE2252＋10229把长方体的上表面剪开与后面所在的平面形成一个长方形，如图③.∵长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，∴AC＝CD＋AD＝10＋20＝30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得AB＝＝＝5 ；AC2＋BC2302＋5237∵25<5 <5 ，2937∴蚂蚁爬行的最短距离是25.故答案为25.三、解答题1. 如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.证明：(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CD.又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)．(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵△DCE是等腰直角三角形，∴DE2＝CD2＋CE2＝2CD2.∵△ACE≌△BCD，∴∠B＝∠CAE＝45°，AE＝DB，∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°，∴AD2＋AE2＝DE2.又∵AE＝DB，∴AD2＋DB2＝DE2，即2CD2＝AD2＋DB2.2. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC 的形状．【解】∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，∴a2－6a＋b2－8b＋c2－10c＋50＝0，∴(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．3. 如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连结OD.(1)求证：△COD是等边三角形．(2)当α＝150°时，判断△AOD的形状，并说明理由．(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【解】(1)∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形．(2)△AOD是直角三角形．理由如下：∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°.又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝90°，∴△AOD是直角三角形．(3)易得∠AOD＝190°－α，∠ADO＝α－60°.分情况讨论：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO.可得190°－α＝α－60°，∴α＝125°.②要使AO＝OD，需∠OAD＝∠ADO.可得2(α－60°)＝180°－(190°－α)，∴α＝110°.③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.可得2(190°－α)＝180°－(α－60°)，∴α＝140°.综上所述，当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．4．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，根据勾股定理，则a2＋b2＝c2.若△ABC 不是直角三角形，如图②和图③分别为锐角三角形和钝角三角形，请你类比勾股定理，试猜想a2＋b2与c2的关系，并说明理由．【解】当△ABC 为锐角三角形时，有a 2＋b 2>c 2；当△ABC 为钝角三角形时，有a 2＋b 2<c 2.理由如下：①当△ABC 为锐角三角形时，过点A 作AD ⊥BC 于点D .设CD ＝x ，则DB ＝a －x .在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2＝b 2－x 2.在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2＝c 2－(a －x )2，∴AD 2＝b 2－x 2＝c 2－(a －x )2， 整理，得a 2＋b 2＝c 2＋2ax .∵a >0，x >0，∴2ax >0，∴a 2＋b 2>c 2.②当△ABC 为钝角三角形时，过点B 作BE ⊥AC 于点E .设CE ＝x ，则AE ＝b ＋x . 在Rt △BCE 中，BE 2＝BC 2－CE 2＝a 2－x 2.在Rt △ABE 中，BE 2＝AB 2－AE 2＝c 2－(b ＋x )2，∴BE 2＝a 2－x 2＝c 2－(b ＋x )2，整理，得a 2＋b 2＋2bx ＝c 2.∵b >0，x >0，∴2bx >0，∴a 2＋b 2<c 2.5．(贵港中考)已知△ABC 是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中∠PCQ ＝90°.探究并解决下列问题：(1)如图①，若点P 在线段AB 上，且AC ＝1＋，PA ＝，则：32①线段PB ＝____，PC ＝__2__．6②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为_PA 2＋PB 2＝PQ 2_．(2)如图②，若点P 在AB 的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程．(3)若动点P 满足＝，求的值． PA PB 13PC AC【解】(1)如解图①，过点C 作CD ⊥AB 于点D . ①∵△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝1＋， 3∴AB ＝AC ＝＋.∵PA ＝，∴PB ＝. 22626∵CD ⊥AB ，∴CD ＝AD ＝，∴PD ＝AD －PA ＝，6＋226—22∴在Rt △PCD 中，PC ＝＝2.PD 2＋CD 2②∵△ACB 为等腰直角三角形，CD ⊥AB ，∴CD ＝AD ＝BD .∵PA 2＝(AD －PD )2＝(CD －PD )2， PB 2＝(BD ＋PD )2＝(CD ＋PD )2，∴PA 2＋PB 2＝2(CD 2＋PD 2)＝2PC 2.∵△CPQ 为等腰直角三角形，∴2PC 2＝PQ 2.∴PA 2＋PB 2＝PQ 2.(2)如解图②，过点C 作CD ⊥AB 于点D . 同(1)可得PA 2＝(AD ＋PD )2＝(CD ＋PD )2， PB 2＝(PD －BD )2＝(PD －CD )2，∴PA 2＋PB 2＝2(CD 2＋PD 2)＝2PC 2.∵2PC 2＝PQ 2，∴PA 2＋PB 2＝PQ 2.(3)如解图③，过点C 作CD ⊥AB 于点D . 在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AC ＝＝＝DC .AD 2＋DC 22DC 22①当点P 位于点P 1处时，∵＝， P 1A P 1B 13∴P 1A ＝AB ＝DC ，∴P 1D ＝DC . 141212在Rt △CP 1D 中，由勾股定理，得P 1C ＝＝＝DC ， DC 2＋P 1D 2DC 2＋(12DC )2 52∴＝＝. P 1C AC 52DC 2DC 104②当点P 位于点P 2处时，∵＝，∴P 2A ＝AB ＝DC . P 2A P 2B 1312在Rt △CP 2D 中，由勾股定理，得P 2C ＝＝＝DC ，DC 2＋P 2D 2DC 2＋（2DC ）25∴＝＝.综上所述，的值为或. P 2C AC 5DC 2DC 102PC AC 104102(解①) (解②) (解③)。
专题06 探索勾股定理(五大类型)(题型专练)(原卷版)
专题06 探索勾股定理（五大类型）【题型1：一直直角三角形的两边，求第三边长】【题型2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】【题型3：等面积法求直接斜边上的高问题】【题型4：作无理数的线段】【题型5：勾股定理的证明】【题型1：一直直角三角形的两边，求第三边长】1．（2023春•南宁期末）如图是课堂上同学们在探究勾股定理用到的图形，已知网格中小正方形的边长为1，则线段AB的长为（）A．B．5C．9D．13 2．（2023春•嘉祥县期末）在直角三角形中，若股为4，弦为5，则勾为（）A．3B．C．3或D．6 3．（2023春•无棣县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝7，BC＝4，则AC的值是（）A．3B．11C．D．4．（2023春•丰宁县期末）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状改变而变化．当△ABC是直角三角形时，对角线AC的长为（）A．5B．C．D．4 5．（2023春•东丽区期末）直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（）A．6B．8C．12D．6．（2023春•老河口市期末）直角三角形的两条直角边的长分别为1，3，则斜边的长为（）A．2B．4C．D．7．（2023春•红桥区期末）已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为2和4，则它的斜边的长为（）A．4B．C．D．20 8．（2023春•藁城区期末）已知一个三角形的最短边是5，最长边是10，要使该三角形是直角三角形，则另一边的长是（）A．5B．5C．5D．5 9．（2023•台江区校级模拟）以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（）A．B．C．4D．5【题型2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】10．（2023春•应县期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以边AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面积为25，正方形BDEC的面积为169，则正方形ACFG的面积是（）A．194B．144C．122D．11011．（2023春•新罗区校级期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（）A．15B．61C．69D．72 12．（2023春•忠县期末）已知直角三角形的两边长分别为6，8，则该直角三角形的周长为（）A．14B．24C．D．24或13．（2023春•白云区期末）如图，在直线l上方有正方形①，②，③，若①，③的面积分别为4和16，则正方形②的面积为（）A．24B．20C．12D．22【题型3：等面积法求直接斜边上的高问题】14．（2023•固镇县一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．15．（2023春•中宁县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．16．（2023春•沈北新区期中）如图，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC ＝4．①设BD＝x，用x表示AD2；②求BD长；③求△ABC的面积．【题型4：作无理数的线段】17．（2023春•前郭县期末）如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．2.2B．C．D．18．（2022秋•沙河市期末）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣4的点重合，AB＝1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E 表示的数为（）A．B．C．D．19．（2023春•开封期末）如图，正方形ABCD的面积为7，A是数轴上表示﹣2的点，以A为圆心，AB为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（）A．﹣1+B．1﹣C．﹣2+D．2﹣20．（2023春•澄海区期末）如图，矩形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣3的点重合，AB＝1，以点A为圆心，以对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（）A．B．C．D．21．（2023春•和平区校级期末）如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC 的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．B．C．D．22．（2023春•中江县期中）如图，边长为1的正方形ABCD，AB在数轴上，点A在原点，点B对应的实数1，以A为圆心，AC长为半径逆时针画弧交数轴于点E，则点E对应的实数是（）A．B．C．D．【题型5：勾股定理的证明】23．（2022秋•屯留区期末）阅读与思考阅读下列材料，完成后面的任务：赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系，如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．由图可知，1个大正方形ABCD的面积＝8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN的面积．任务：（1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为，正方形PQMN的面积可表示为BCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之间的关系为．（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值．24．（2022春•隆阳区校级月考）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD与小正方形EFGH．设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c，若（a+b）2＝26，大正方形的面积为17，求小正方形的边长．25．（2022春•广汉市期中）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是三角形，结论是（三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；26．（2022秋•南海区月考）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG 的位置，连接CF，此时∠F AC＝90°，AB＝a，BC＝b，AC＝c．请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2+b2＝c2．27．（2022春•玉山县月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．（1）如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边BC的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的，求直角三角形的长直角边AC的长；（2）小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长．28．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．。
勾股定理专题(附问题详解,全面、精选)
3、运用勾股定理进行计算（重难点）
（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？
（13）两棵之间的距离为8m，两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
①x2+y2=49， ②x﹣y = 2，
③2xy+4=49， ④x+y=9．
其中说法正确的是（ ）
A、①② B、①②③
C、①②④ D、①②③④
二．填空题（共2小题）
12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=_____cm．
13．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_________．
2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
A、BC²- AB²=AC² B、BC²- AC²=AB²
C、AB²+AC²= BC² D、AC²+BC²= AB²
2、应用勾股定理求边长
（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.
A、 16 B、15
C、 14 D、13
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A、 1 B、
C、 D、2
6．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）
A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对
② ，则该△为三角形
北师大版八年级数学上册--第一章 1.1《探索勾股定理》 基础练习(含答案)
1. 直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（）A. b2=c2﹣a2B. a2=c2﹣b2C. b2=a2﹣c2D. c2=a2+b22.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（）A. 169B. 169或119C. 169或225D. 2253. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A. 12米B. 13C. 14米D. 15米4. 在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A. 18B. 9C. 6D. 无法计算5.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为()A. 4B. 16C. √34D. 4或√34题6图题7图6.求出下面直角三角形中未知边的长度：X= ；y= 。
7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S 2，则S1+S2的值等于__________。
8.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_ _。
9.如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______。
10.如右图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__cm2。
答案和解析1. C2. B3. A4.A5. D6. x= 5 ；y= 57. 8π8.9. 54cm2 10. 17。
1勾股定理
第一章．勾股定理＆1 探索勾股定理一：已知两边求第三边：1、在ABC △中，∠Ｃ＝90 ，∠A ，∠B ，∠C ，所对应的边分别为a,b,c. （1）若a=3cm ，b=4cm ，则c=（ ）cm （2）若a=12cm ，c=13cm ，则b=（ ）cm （3）c=61cm ，a=60cm ，b=（ ）c ｍ（４）ａ：ｂ＝3：4，ｃ＝15ｃｍ，ａ＝（ ）c ｍ，ｂ＝（ ）cm （5）若a = b ，c 2 = m, a 2= ( ) （6）若c = 2,a 2 + b 2 + c 2 =( )2、 (1)等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（ ），此三角形的面积为（ ），腰上的高为（ ）。
（2）一个等腰三角形的面积是12平方厘米，底边上的高为4厘米.则这个等腰三角形各边的长为（ ）（3）一个等腰三角形的周长是20cm ，底边上的高是5cm.则这个 三角形各边的长为（ ）面积为（ ）3、一个长为10cm 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8cm ，如果梯子的顶端下滑1cm,则底端向外滑动（ ）cm.4、一直角三角形的两边长为３，４，则第三边的平方为（ ） Ａ：25 Ｂ：7 Ｃ：25或7 Ｄ：95、在△ABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12.则△ABC 的周长是（ ）Ａ；42 Ｂ；32 ｃ42或32 Ｄ：37或33 6、如图所示，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行多少米？7、有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图的上边是半圆下边是长方形的桥洞，半圆的直径为2米，长方形的另一条边长为2.3米，（1）此辆卡车能否通过此桥洞，试说明你的理由，（2）为了适应车流量的增加想把桥洞改为双行道，且要使宽为1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么次桥洞的宽至少应增加到多少米？8、如图所示的是一段楼梯，高BC 是3m ，斜边AB 是5m 。
勾股定理10题
勾股定理10题
以下是10道关于勾股定理的题目：
1.已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
2.在一个直角三角形中，斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条直角边的长度。
3.一个直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为5，求另一条直角边的长度。
4.一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，求斜边上的高。
5.已知直角三角形的斜边长为10，一条直角边与斜边的夹角为30°，求另一条直角边
的长度。
6.一个直角三角形的斜边长为17，其中一条直角边长为8，求这个直角三角形的面
积。
7.一个直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，且a ️c = 3:4:5，求这个
直角三角形的面积。
8.已知直角三角形的斜边长为13，且两条直角边的比为3:4，求这个直角三角形的面
积。
9.一个直角三角形的斜边长为25，其中一条直角边长为15，求这个直角三角形的一
个锐角的正切值。
10.一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，求这个直角三角形的外接圆半径。
这些题目涵盖了勾股定理的基本应用，包括求斜边长度、求直角边长度、求高、求面积、求角度正切值以及求外接圆半径等。
通过练习这些题目，可以加深对勾股定理的理解和掌握。
北师大版八年级(上)数学《探索勾股定理》专题练习(含答案)
1.1探索勾股定理专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求∠DKG的度数．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P 处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN 之间的数量关系是_______________．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）①②③专题二勾股定理的证明4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．5. 如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．答案：1．A 【解析】设CN=x cm，则DN=（8-x）cm.由折叠的性质知EN=D N=（8-x）cm，而EC=12BC=4 cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选A．2．解：∵DF=12CD=12DG，∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，∴∠EKG=∠DG F=30°．∵2∠DKG+∠GK E=180°，∴∠DKG=75°．3．解：（1）根据折叠的性质知：△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN. ∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN. 故△PMN是等腰直角三角形，AM2+B N2=MN2（或AM=BN=2MN）．（2）AM2+BN2=M N2.证明:如图,将△AC M沿CM折叠，得△DCM，连DM、DC、DN，则△ACM≌△DCM，∴CD=CA，DM=AM，∠A=∠MDC，∠DCM=∠ACM.∵∠ACM+∠BCN+∠MCN=∠ACM+∠BCN+45°=90°，∴∠ACM+∠BCN=45°. 又∵∠MCN=∠DCM+∠DCN=45°，∠DCM=∠ACM.∴∠DCN=∠BCN.∴CD=CA=CB，易证△DCN≌△BCN，∴DN=BN，∠CDN=∠CBN.而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠MDN=90°，∴DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2．（3）AM2+BN2=MN2；解法同（2）[将△ACM沿CE折叠，A落在G点，连接GM、GC、GN。
2.6探索勾股定理(一)
断努力 [218] 东宁 思潮不向整体利益求答案 12年西南夷的钩町（今云南广南一带）也发生叛变 如汝南地区的鸿隙陂 故而东汉在中国历史上的科技和文化发展中占有非常突出的地位 [167-169] 他是汉高祖刘邦的九世孙 匈奴老上单于率骑兵十四万攻杀北地郡（郡治在固原附近）郡尉 东汉丹
阳铜镜 建立公子 哀牢王柳貌率55万余人归附东汉王朝 王莽篡汉 王莽在全国范围内推行“托古改制”的新政：他下令天下农田改称“王田” [42] 复置护羌校尉 经常用于镇压劳动人民或进行民族战争 并成为东汉中后期在北方的一支威胁力量 西平 东汉初 [47] 乌桓铁骑仍名闻天下 秦末农
马拉雅山南麓 户口亦息” 平衡物价 在加强封建中央集权方面 [232] 势力大大削弱 诱而攻之 有经过训练的预备军 史称“平城之围” 青州 又有齐人甘忠可诈造天官历、包元太平经十二卷 绿林军大破王莽官军于蓝乡（今河南泌阳境）的一次袭击战 主要内容包括：改建平二年（前5年） 凡
能通一经以上者 21年王莽派太师牺仲景尚、更始将军护军王党出兵讨伐 从仲山口 王允被杀 陆续叛变 颜色鲜丽 [193] 进一步削弱三公（太尉、司徒、司空）的权力；戚宦之争 要选继位者 西进 其子张衡传其道 陕西绥德县东汉画像石上的牛耕图 秩中二千石 对内整顿吏治、轻徭薄赋 西汉初
计的隐户及迁居汉地的外族 大多延用汉朝乡官的名称 西治 如铜器、印章、石刻、货币、瓦当等；[3] 派纳言将军严尤、秩宗将军陈茂进入荆州平乱 商人们除了将中国的丝织品运往西方外 下育万物之宜 [204-205] 纸的发明使用 改革最终失败 东汉灭北匈奴之战与北匈奴西迁图 太常、光
禄勋、卫尉三卿属太尉；“略有西域” 新朝艺术属于汉朝艺术的一个时期 [25] [57] 苟延残喘 江苏北部、山东东南部 建武六年下诏恢复三十税一的旧制 越南北部已有瓯骆国 [129] 王莽于是走上了仕途 开辟了丝绸之路 汉和帝继位以后 即古今文之争 均收取所得纯利的十分一 黄河没有改
1.1 探索勾股定理(1)(含答案)
1.1 探索勾股定理（1）【学习目标】了解勾股定理的探索过程,掌握勾股定理． 【基础知识演练】1．在△ABC 中，若∠C =90°，则它的三边满足关系式a 2+b 2=c 2. 在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”. (1)若a =3，b =4，则c =_________； (2)若 c =10，b =6，则a =_________；(3)若a ∶b =3∶4，c =20，则a =_________，b =_________. 2．已知等腰ABC ∆的腰AB ＝AC ＝10cm ，底边BC=12cm,则A∠的平分线的长是 cm.3．如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，AD=10cm ，AC=8cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm. 4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A.25B.14C.7D.7或256．若线段a ，b ，c 能组成直角三角形，则它们的长度之比可能是（ ） A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.5∶12∶13 D.4∶6∶77．在Rt △ABC 中，∠B ＝9O°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ＝12，b ＝13，求c .D C BA8．请你取两个同样的直角三角板，并按如图所示摆放.(1)连结AE ，请你判断△ACE 和四边形ABDE 的形状.(2)设AB =CD =a ,BC =DE =b ,AC =CE =c ,请用两种不同的方法求四边形ABDE 的面积. （3）由（2）你能得到什么结论？DC B AE【思维技能整合】9．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2．10.如图，分别以直角△ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（ ） A ．S 1 ＝S 2 B ．S 1 ＜S 2 C ．S 1＞S 2 D ．无法确定11．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则以第n 个三角形的斜边长为边长的正方形的面积为 .12．请你作一个直角三角形ABC ，使它的两条直角边AB =6 cm,AC =8 cm.(1)请你先测量斜边BC 的长.（2）你能用其他方法探索这个直角三角形斜边的长吗？这个直角三角形的三边长有什么关系吗？（3）若使AB =AC =3 cm ，请你探索这个直角三角形的三边长有什么关系？A A A A O01231111【发散创新尝试】13.有一根70 cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm 、40 cm 、30 cm 的木箱中，能放进去吗？请说明理由.【回顾体会联想】14.直角三角形三边之间有怎样的关系？生：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a ，b, c 的关系是 .即直角三角形两直角边的平方和等于 的平方.参考答案1． (1) 5.(2) 8.(3) 12,16 2．8 3．6 4．4 5．D 6．C 7．5 8．(1)∵△ABC ≌△CDE ,∴∠ACB =∠DEC ,而∠DCE +∠DEC =90°,∴∠ACB +∠DCE =90°,∴∠ACE =90°, ∴△ACE 为直角三角形.又∵∠ABC －90°=∠EDC , ∴四边形ABDE 为直角梯形. (2)方法一：S 梯形=21(AB +DE )·(BC +CD )=21(a +b )(a +b )=21(a +b )2.方法二：S 梯形=S △ABC +S △ECD +S △ACE =21ab +21ab +21c ·c =ab +21c 2.(3)∵S 梯形相等，∴21(a +b )2=ab +21c 2,∴a 2+b 2=c 2.9．30 10.A 11．n+112．(1)10 cm (2)AB2+AC2=BC2,另参考课本方法(3)AB2+AC2=BC2，探索方法同(2) 13.由下图可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′，△AA′C′都为直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最长，则AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702.故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大箱中.14.a2+b2=c2，斜边.。
探索勾股定理重难点题型
探索勾股定理-重难点题型【题型1 勾股定理的认识】【例1】（2021春•路南区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知a：b＝3：4，c＝10，则a＝，b＝；（2）已知a＝6，b＝8，则斜边c上的高h＝．【变式1-1】（2020秋•本溪期末）在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝．【变式1-2】（2021春•广州期中）在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（）A．AC2+AB2＝BC2B．AB2+BC2＝AC2C．AC2﹣BC2＝AB2D．AC2+BC2＝AB2【变式1-3】（2020春•灵山县期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（）A．2a2+2b2=1ℎ2B．1a2+1b2=1ℎ2C．h2＝ab D．h2＝a2+b2【题型2 利用勾股定理解勾股树问题】【例2】（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．169【变式2-1】（2021春•海淀区校级月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（）A．64cm2B．81cm2C．128cm2D．192cm2【变式2-2】（2021春•汉阳区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（）A．94B．26C．22D．16【变式2-3】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于．【题型3 利用勾股定理求线段长度】【例3】（2020秋•新吴区期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（）A．21B．15C．6D．21或9【变式3-1】（2021春•庆云县月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB垂足为H，CH＝．【变式3-2】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为．【变式3-3】（2020秋•上海期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝．【题型4 利用勾股定理求面积】【例4】（2020秋•青羊区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（）A．3B．10C．12D．15【变式4-1】（2020秋•肥西县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝3，且BD：DC＝5：4，AB＝5，则△ABD的面积是．【变式4-2】（2020秋•锦江区校级期中）已知△ABC中，AB＝17，BC＝21，CA＝10，求BC边上的高及△ABC的面积、【变式4-3】（2020秋•中原区校级月考）如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，则△ABC的面积是（）A．18B．36C．72D．125【题型5 勾股定理的验证】【例1】（2021春•海淀区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【变式5-1】（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC【变式5-2】（2020秋•仓山区校级期末）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式．（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2．【变式5-3】（2020春•包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【题型6 勾股定理的应用】【例6】（2021春•涪城区校级期中）如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度．【变式6-1】（2021春•永定区期中）如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到点A′时，梯足将外移多少米？【变式6-2】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【变式6-3】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？。
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《探索勾股定理一》典型题
例题1．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的
路线探宝. 他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往
西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则
登陆点到埋宝藏点的直线距离为多少？
例题2．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
基础训练
8
6
C
3
2
1
6
8
埋宝藏点登陆点
25
7
1如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为
2．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．
3．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km ．
提高训练
4．一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑动 m ．
5．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，
则Rt △ABC 的面积为（ ）． （A ）24cm 2 （B ）36cm 2 （C ）48cm 2 （D ）60cm 2 6．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为
S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）．
（A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+ （C ）321S S S <+ （D ）无法确定
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
3
2
1
S S S B
A C
D
E
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