江西省南昌市第三中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题理

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2015-2016学年江西省南昌三中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年江西省南昌三中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．把答案填写在答题卡上）1．（5分）设复数z＝1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A．B．i C．D．i2．（5分）设f（x）＝ax3+3x2+2，若f′（﹣1）＝4，则a的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知ξ～B（4，），且Y＝2X+3，则方差D（Y）＝（）A．B．C．D．4．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，．参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5．（5分）的值是（）A．B．C．D．π6．（5分）若函数f（x）＝2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，）B．（﹣∞，﹣）C．（，+∞）D．（，）7．（5分）若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是（）A．﹣2B．﹣3C．125D．﹣1318．（5分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r19．（5分）设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b 时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）10．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝（）A．28B．76C．123D．19911．（5分）如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）A．50种B．51种C．140种D．141种12．（5分）设函数f（x）＝（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）成立，则实数a值是（）A．B．C．D．1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）曲线y＝e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为．14．（5分）下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，那么表中m的值为．15．（5分）先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P（B|A）＝．16．（5分）已知函数f（x）＝1﹣，g（x）＝lnx，对于任意m≤，都存在n∈（0，+∞），使得f（m）＝g（n），则n﹣m的最小值为．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知展开式前两项的二项式系数的和为10．（1）求n的值．（2）求出这个展开式中的常数项．18．（12分）面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为、、．求：（1）他们能研制出疫苗的概率；（2）至多有一个机构研制出疫苗的概率．19．（12分）已知函数f（x）＝kx3﹣3kx2+b在区间[﹣2，2]上的最大值为3，最小值为﹣17，求k，b的值．20．（12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．21．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？22．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（1）当a＝时，求f（x）的极值；（2）若a，f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小；（3）证明：＞n!（n≥2，n∈N）．2015-2016学年江西省南昌三中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．把答案填写在答题卡上）1．【解答】解：复数z＝1+i（i是虚数单位），则复数z+＝1+i+＝1+i+＝．复数z+的虚部是：．故选：A．2．【解答】解：f′（x）＝3ax2+6x，∴f′（﹣1）＝3a﹣6＝4，∴a＝故选：D．3．【解答】解：∵ξ～B（4，），∴D（ξ）＝4×＝∵Y＝2X+3，∴方差D（Y）＝4D（ξ）＝，故选：A．4．【解答】解：由题意算得，．∵7.8＞6.635，∴有0.01＝1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选：C．5．【解答】解：表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积的＝π×1＝故选：B．6．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的f′（x）＝4x﹣＝，由f′（x）＞0解得x＞，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得0＜x＜，此时函数单调递减，故x＝时，函数取得极小值．①当k＝1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在（0，）上单调减，在（，2）上单调增，此时满足题意；②当k＞1时，∵函数f（x）＝2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴x＝在（k﹣1，k+1）内，即，即，即＜k＜，此时1＜k＜，综上1≤k＜，故选：A．7．【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8＝•（﹣2）7＝﹣128．令x＝0得：（1+0）（1﹣0）7＝a0，即a0＝1；令x＝1得：（1+1）（1﹣2）7＝a0+a1+a2+…+a7+a8＝﹣2，∴a1+a2+…+a7＝﹣2﹣a0﹣a8＝﹣2﹣1+128＝125．故选：C．8．【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），＝11.72∴这组数据的相关系数是r＝，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选：C．9．【解答】解：设F（x）＝f（x）﹣g（x），因为函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可导，并且F′（x）＜0，所以F（x）在[a，b]上是减函数，所以F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）；故选：B．10．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10＝123，．故选：C．11．【解答】解：因为第1天和第7天吃的水果数相同，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中水果数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有＝141种．故选：D．12．【解答】解：函数f（x）可以看作是动点M（x，lnx2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，动点M在函数y＝2lnx的图象上，N在直线y＝2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y＝2lnx得，y'＝＝2，解得x＝1，∴曲线上点M（1，0）到直线y＝2x的距离最小，最小距离d＝，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）＝，此时N恰好为垂足，由k MN＝，解得a＝．故选：A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：y＝e﹣5x+3的导数y′＝﹣5e﹣5x，则在x＝0处的切线斜率为﹣5e0＝﹣5，切点为（0，3），则在x＝0处的切线方程为：y＝﹣5x+3，即为5x+y﹣3＝0．故答案为：5x+y﹣3＝0．14．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴＝0.7×4.5+0.35，∴m＝3，故答案为：315．【解答】解：根据题意，若事件A为“x+y为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数．共有2×3×3＝18个基本事件，∴事件A的概率为P1＝＝．而A、B同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，一共有6个基本事件，因此事件A、B同时发生的概率为P2＝＝因此，在事件A发生的情况下，B发生的概率为P（B|A）＝故答案为：．16．【解答】解：由m≤知，1﹣≤1；由f（m）＝g（n）可化为1﹣＝lnn；故n＝；令1﹣＝t，t≤1；则m＝t﹣，则y＝n﹣m＝e t﹣t+；故y′＝e t+t﹣1在（﹣∞，1]上是增函数，且y′＝0时，t＝0；故y＝n﹣m＝e t﹣t+在t＝0时有最小值，故n﹣m的最小值为1；故答案为：1．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）∵展开式前两项的二项式系数的和为10∴，解得n＝9；（2）∵展开式的通项﹣﹣﹣﹣8分∴令且n＝9得r＝6，∴展开式中的常数项为第7项，即．18．【解答】解：（1）设“A机购在一定时期研制出疫苗”为事件D，“B机购在一定时期研制出疫苗”为事件E，“C机购在一定时期研制出疫苗”为事件F，则P（D）＝，P（E）＝，P（F）＝，∴他们能研制出疫苗的概率p＝1﹣P（）＝1﹣（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝．（2）至多有一个机构研制出疫苗的概率为：P（D∪∪∪）＝P（D）＝P（）+P（）+P（）＝+＝．19．【解答】解：由题设知k≠0且f'（x）＝3kx（x﹣2），0＜x＜2时，x（x﹣2）＜0；x＜0或x＞2时，x（x﹣2）＞0；x＝0和x＝2时，f'（x）＝0．由题设知﹣2≤x≤2，f（﹣2）＝﹣20k+b，f（0）＝b，f（2）＝﹣4k+b①k＜0时，﹣2＜x＜0时，f'（x）＜0；0＜x＜2时，f'（x）＞0，∴f（x）在[﹣2，0）上递减，在（0，2]上递增，x＝0为最小值点；∵f（﹣2）＞f（2）∴f（x）的最大值是f（﹣2），即，解得k＝﹣1，b＝﹣17；②k＞0时，，解得k＝1，b＝3．综上，k＝﹣1，b＝﹣17或k＝1，b＝3．20．【解答】解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，设“取出的3个球恰有两个编号相同”为事件B，则P（B）＝＝＝，∴P（A）＝1﹣P（B）＝．答：取出的3个球编号都不相同的概率为．（Ⅱ）X的取值为1，2，3，4．P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X的分布列为：X的数学期望EX＝1×+2×+3×+4×＝．21．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X＝16）＝（）2＝，P（X＝17）＝，P（X＝18）＝（）2+2（）2＝，P（X＝19）＝＝，P（X＝20）＝＝＝，P（X＝21）＝＝，P（X＝22）＝，∴X的分布列为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）＝＝．P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）＝+＝．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）＝+＝．买19个所需费用期望：EX1＝200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×＝4040，买20个所需费用期望：EX2＝+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×＝4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n＝19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04＝4040，当n＝20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04＝4080，∴买19个更合适．22．【解答】解：（1）f（x）＝ln（1+x）﹣，定义域解得x＞﹣2，f′（x）＝﹣＝，即有（﹣2，2）递减，（2，+∞）递增，故f（x）的极小值为f（2）＝ln2﹣1，没有极大值．（2）f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0），x＞﹣，f′（x）＝﹣＝由于＜a＜1，则a（1﹣a）∈（0，），﹣＜﹣ax2﹣4（1﹣a）＝0，解得x＝±，f（x1）+f（x2）＝ln[1+2]+ln[1﹣2]﹣﹣即f（x1）+f（x2）＝ln[（1﹣2a）2]+＝ln[（1﹣2a）2]+﹣2设t＝2a﹣1，当＜a＜1，0＜t＜1，则设f（x1）+f（x2）＝g（t）＝lnt2+﹣2，当0＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2，g′（t）＝﹣＝＜0g（t）在0＜t＜1上递减，g（t）＞g（1）＝0，即f（x1）+f（x2）＞f（0）＝0恒成立，综上述f（x1）+f（x2）＞f（0）；（3）证明：当0＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t＝（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，即有1＞ln2，2＞ln3，3＞ln4，…，n﹣1＞lnn，即有1+2+3+…+（n﹣1）＞ln2+ln3+ln4+…+lnn＝ln（2×3×4×…×n）＝ln（n!），则＞ln（n!），故＞n!（n≥2，n∈N）．。

江西省南昌市高二数学下学期期中试卷理(含解析)

江西省南昌市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2 C．4 D．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣5．（5分）某几何体三视图如图（单位；cm），则该几何体的体积是（）A．1500cm3B．1025cm3C．625cm3D．1200cm36．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线8．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣159．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1 B．C．2 D．312．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为．14．（5分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为．15．（5分）如图，直三棱柱ABCD﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，点C到平面AMC1的距离为．16．（5分）在体积一定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法中正确的是．①点F的轨迹是一条线段；②三棱锥F﹣AD1E的体积为定值；③A1F与D1E不可能平行；④A1F与CC1是异面直线；⑤tanθ的最大值为3．三、解答题17．（10分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．18．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．19．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是侧棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若tan∠PCD=，求三棱锥M﹣BDP的体积．20．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD被过棱锥高上O′点且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱台OO′和较小的棱锥PO′，其中O′分PO为=，侧棱PA长为15cm，小棱锥底面边长A′B′为6cm．（1）求截得棱台的体积．（2）求棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．22．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．江西省南昌市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，根据公理2以及推论判断AB，四边形有两种：空间四边形和平面四边形；C，梯形中因为有一组对边平等，故梯形是平面图形．D，利用平行线的定义、判定与性质，即可确定D解答：解：对于A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；对于B，∵四边形有两种：空间四边形和平面四边形，∴四边形不一定是平面图形，故B不成立；对于C，梯形中因为有一组对边平等，∴梯形是平面图形，故C成立．对于D，根据异面直线的定义：既不平行也不相交的直线为异面直线，可以判断当两直线没有公共点时可能平行也可能异面．故选：C．点评：本题主要考查了确定平面的依据，注意利用公理2的以及推论的作用和条件，可以利用符合题意的几何体来判断，考查了空间想象能力．2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π考点：球的体积和表面积；球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选B．点评：本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2 C．4 D．考点：斜二测法画直观图．专题：规律型．分析：根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．解答：解：根据斜二测画法的原则可知OC=2，OA=1，∴对应直观图的面积为，故选：D．点评：本题主要考查利用斜二测画法画空间图形的直观图，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣考点：空间向量的加减法．专题：空间向量及应用．分析：由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．解答：解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．点评：本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．5．（5分）某几何体三视图如图（单位；cm），则该几何体的体积是（）A．1500cm3B．1025cm3C．625cm3D．1200cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为矩形，高为15cm的直四棱锥；且底面矩形的长为20cm，宽为15cm，如图所示；∴该四棱锥的体积为×20×15×15=1500cm2．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与数据的计算能力，是基础题目．6．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．7．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线考点：简单组合体的结构特征．专题：数形结合．分析：通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线进行判断知D正确．解答：解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选D．点评：本题考查了简单几何体的结构特征的应用，结合柱体、椎体和台体的结构特征，以及几何体的直观图进行判断，考查了空间想象能力．8．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣15考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：空间向量及应用．分析：利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出．解答：解：∵⊥，∴=3+5﹣2Z=0，解得z=4．∴．∵BP⊥平面ABC，∴，．∴化为，解得．∴，，z=4．故选：B．点评：本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题．9．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：①直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此命题中n可能在平面α内，故①错误；②利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断②正确；③利用线面垂直的判定定理，先证明平面β内有两条相交直线与平面α平行，再由面面平行的判定定理证明两面平行，③正确；④若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断④正确解答：解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选C点评：本题综合考查了直线与平面的位置关系，面面平行的判定定理及结论，面面垂直的性质定理等基础知识10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．解答：解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．点评：此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．11．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1 B．C．2 D．3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．解答：解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选C．点评：本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线考点：轨迹方程；抛物线的定义．专题：计算题．分析：作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得 PR2﹣PQ2=RQ2=1，又已知PR2﹣PM2=1，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离．解答：解：如图所示：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得 PR2﹣PQ2=RQ2=1．又已知 PR2﹣PM2=1，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选 B．点评：本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为a．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，故∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，判定△AEC是等边三角形，即可得到结论．解答：解：由题意，取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD∴∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角∴∠AEC=60°，∵菱形ABCD中，锐角A为60°，边长为a，∴AE=CE= a∴△AEC是等边三角形∴A与C之间的距离为a，故答案为：a．点评：本题考查面面角，考查学生的计算能力，属于基础题．14．（5分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设出圆锥的母线与底面半径，根据所给的圆锥的侧面积和圆心角，求出圆锥的母线长与底面半径，利用体积公式做出结果．解答：解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，∵3π=πl2∴l=3，∴120°=×360°，∴r=1，∴圆锥的高是=2∴圆锥的体积是×π×12×2=．故答案为：．点评：本题考查圆锥的体积，解题时注意圆锥的展开图与圆锥的各个量之间的关系，做好关系的对应，本题是一个易错题．15．（5分）如图，直三棱柱ABCD﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，点C到平面AMC1的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由此可以求得△AMC1的三边长，再由余弦定理求出其中一角，由面积公式求出面积解答：解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由于AB=1，BC=2，AA1=3，再结合棱柱的性质，可得BM=AA1=1，故B1M=2由图形及棱柱的性质，可得AM=，AC1=，MC1=2，cos∠AMC1==﹣．故sin∠AMC1=，△AMC1的面积为=，设点C到平面AMC1的距离为h，则由等体积可得，∴h=．故答案为：．点评：本题考查棱柱的特征，求解本题的关键是根据棱柱的结构特征及其棱长等求出三角形的边长，再由面积公式求面积，本题代数与几何相结合，综合性强，解题时要注意运算准确，正确认识图形中的位置关系．16．（5分）在体积一定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法中正确的是①②④．①点F的轨迹是一条线段；②三棱锥F﹣AD1E的体积为定值；③A1F与D1E不可能平行；④A1F与CC1是异面直线；⑤tanθ的最大值为3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：找出F所在平面上的轨迹，然后判断①的正误；利用体积是否变化判断②的正误；找出F的特殊位置判断④大致为；求出tanθ的最大值，判断⑤的正误；解答：解：对于①，取BC 的中点G，BB1，B1C1的中点NM，连结MN，EG，则F在MN上，满足F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，所以①正确；对于②，因为MN∥EG，则F到平面AD1E的距离是定值，三棱锥F﹣AD1E的体积为定值，所以②正确；对于③，当F在N时，A1F与D1E平行，所以③不正确；对于④，A1F与CC1是异面直线；满足异面直线的定义，所以④正确；对于⑤，A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，tanθ==2，所以⑤不正确；故答案为：①②④．点评：本题考查棱柱的几何特征，直线与平面所成角，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断，考查逻辑推理以及计算能力．三、解答题17．（10分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由AD∥BC，可得BC∥平面PAD，再利用线面平行的性质可得BC∥l；（2）取CD的中点Q，连接MQ、NQ，可证平面MNQ∥平面PAD，再由面面平行的性质得线面平行．解答：解：（1）结论：BC∥l．证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD．又∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，∴BC∥l．（2）结论：MN∥平面PAD．证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ=Q，PD∩AD=D，∴平面MNQ∥平面PAD．又∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD．点评：本题考查了线面平行的判定与性质，考查了面面平行的判定与性质，体现了线线、线面、面面平行关系的相互转化，要熟记相关定理的条件．18．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．考点：由三视图求面积、体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用几何体A ﹣BCED的体积为16，求实数a的值；（2）过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，求出圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，即可求该旋转体的表面积．解答：解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，体积V==16，解得a=2；（2）在RT△ABD中，，BD=2，AD=6，过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为，所以圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为．点评：本题考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于基础题．19．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是侧棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若tan∠PCD=，求三棱锥M﹣BDP的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由AB⊥AD，AB=AD=2，可得BD=2，又AD=2，CD=4，AB=2，可得BC=2，利用勾股定理的逆定理可得BD⊥BC．由PD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质定理可得PD⊥BC．利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）如图，过M作MG⊥DC交DC于点G．由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP的中位线，又PD⊥平面ABCD，可得MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=，得PD=2，MG=PD=1．利用V M﹣BDP=V P ﹣BCD﹣V M﹣BCD，即可得出．解答：（1）证明：∵AB⊥AD，AB=AD=2，∴BD==2，又AD=2，CD=4，AB=2，则BC=2，∴BD2+BC2=16=DC2，∴BD⊥BC．∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC．又BD∩PD=D，∴BC⊥平面BDP．（2）解：如图，过M作MG⊥DC交DC于点G．由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP的中位线，∴MG∥PD，MG=PD，又PD⊥平面ABCD，∴MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=，得PD=2，MG=PD=1．∴V M﹣BDP=V P﹣BCD﹣V M﹣BCD=××2×2×2﹣××2×2×1=．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、勾股定理及其逆定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD被过棱锥高上O′点且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱台OO′和较小的棱锥PO′，其中O′分PO为=，侧棱PA长为15cm，小棱锥底面边长A′B′为6cm．（1）求截得棱台的体积．（2）求棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）计算出棱台的上、下底的边长，高，可得截得棱台的体积；（2）由等体积计算棱锥P﹣ABCD的内切球的半径，即可求出棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．解答：解：（1）由A′B′∥AB得，∴=，∴PA′=5，AB=18，∵PO==3∴OO′=PO=2，∴V台=（36+182+）•2=312（cm3）…（6分）（2）作轴截面图如下，设球心为E，半径为R，由PH=PQ=12，HQ=AB=18，PO==3，则∵S△PHQ=（PH+PQ+HQ）R，∴=（12+12+18）R，∴R=，∴棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积为4πR2=π（cm2）…（12分）点评：本题考查棱台的体积，考查棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积，考查学生的计算能力，求出棱锥P﹣ABCD的内切球的半径是关键，属于中档题．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，可得结论；（Ⅱ）易证PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量和的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（Ⅲ）可得平面BQC的法向量为，又可求得平面MBQ法向量为，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．解答：解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，∵M是PC中点，∴，∴设异面直线AP与BM所成角为θ则cosθ==，∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，由，且0≤λ≤1，得，又，∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴．∴|QM|=点评：本题考查空间角，涉及平面与平面垂直的判定，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．22．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角；空间向量及应用．分析：（1）等边△ABC中，根据得到AD=1且AE=2，由余弦定理算出DE=，从而得到AD2+DE2=AE2，所以AD⊥DE．结合题意得平面A1DE⊥平面BCDE，利用面面垂直的性质定理，可证出A1D丄平面BCED；（2）作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P，由A1D丄平面BCED得A1D丄PH，所以PH⊥平面A1BD，可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°．设PB=x（0≤x≤3），分别在Rt△BA1H、Rt△PA1H和Rt△DA1H中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得12+（2﹣x）2=（x）2，解之得x=，从而得到在BC上存在点P且当PB=时，直线PA1与平面A1BD所成的角为60°．解答：解：（1）∵正△ABC的边长为3，且==∴AD=1，AE=2，△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得DE==∵AD2+DE2=4=AE2，∴AD⊥DE．折叠后，仍有A1D⊥DE∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE又∵平面A1D E∩平面BCDE=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE∴A1D丄平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P由（1）得A1D丄平面BCED，而PH⊂平面BCED所以A1D丄PH∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，∴PH⊥平面A1BD由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°设PB=x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=x在R t△PA1H中，∠PA1H=60°，所以A1H=，在Rt△DA1H中，A1D=1，DH=2﹣x由A1D2+DH2=A1H2，得12+（2﹣x）2=（x）2解之得x=，满足0≤x≤3符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=．点评：本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．。

南昌市高二下学期期中数学试卷(理科)C卷

南昌市高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·陆川期末) 已知复数，则（）A . 2B . -2C . 2iD . -2i2. （2分） (2016高二下·威海期末) 已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P（X＜2）=（）A . 0.1588B . 0.1587C . 0.1586D . 0.15853. （2分）已知复数，为虚数单位），则（）A . 1B .C . 2D .4. （2分）观察以下等式：sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，sin220°+cos250°+sin20°cos50°=，sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，…分析上述各式的共同特点，判断下列结论中正确的个数是（1）sin2α+cos2β+sinαcosβ=（2）sin2（θ﹣30°）+cos2θ+sin（θ﹣30°）cosθ=（3）sin2（α﹣15°）+cos2（α+15°）+sin（α﹣15°）cos（α+15°）=（4）sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P（X＜4）=0.3，那么（）A . n=3B . n=4C . n=10D . n=96. （2分） (2018高二下·辽宁期末) PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量（万辆）100102108114116浓度（微克）7880848890根据上表数据，用最小二乘法求出与的线性回归方程是（）参考公式：，；参考数据：，；A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·潍坊期中) 某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一下·北京期中) 有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017·宝清模拟) 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（）A . 96种B . 124种C . 130种D . 150种10. （2分）有5个球，其中2个一样的黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，则所有不同的排法种数是（）A . 72B . 60C . 120D . 5411. （2分）(2017·浙江模拟) 在（1+x3）（1﹣x）8的展开式中，x5的系数是（）A . ﹣28B . ﹣84C . 28D . 8412. （2分） (2017高二下·南昌期末) 定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信”，若五个人a，b，c，d，e中的每个人都恰给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为（）A . 704B . 864C . 1004D . 1014二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=________14. （1分）设a=sinxdx,则二项式的展开式中的常数项等于________15. （1分）袋子中装有分别标注数字为1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是________．16. （1分） (2016高一上·临川期中) 给出下列四个命题：①函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；②正比例函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[1，2]；④y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）．其中正确命题的序号是________．（填上所有正确命题的序号）三、解答题： (共6题；共75分)17. （20分）已知（2﹣ x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50 ，其中a0 ， a1 ，…a50是常数，计算：（1）a0+a1+a2+…+a50；（2）a0+a2+…+a50；（3） a10；（4）（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+…+a49）2．18. （10分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）（1）请将上表补充完整（不用写计算过程）；（2）请问有多大的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．19. （5分）(2018·河北模拟) 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.8元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20. （20分） (2020高三上·泸县期末) 随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计参考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（3）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．（4）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．21. （10分）(2018·保定模拟) 某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）.要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知三位顾客各买了一件衣服.（1）求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设为打折后两位顾客的消费总额，求的分布列和数学期望.22. （10分）(2017·唐山模拟) 某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：t[0，15）[15，30）[30，45）[45，60）[60，75）[75，90）男同学人数711151221女同学人数89171332若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”．（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动．（i）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、10-1、11-1、答案：略12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、答案：略15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共75分)17-1、答案：略17-2、答案：略17-3、答案：略17-4、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略20-4、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略第11 页共11 页。

2014-2015年江西省南昌三中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2014-2015学年江西省南昌三中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）在极坐标系中圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝2B．θ＝（ρ∈R）和ρcosθ＝2C．θ＝（ρ∈R）和ρcosθ＝1D．θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝12．（5分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：163．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1B．C．D．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n＝（）A．8B．9C．10D．116．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A．2B．3C．4D．510．（5分）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（）A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为．13．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝．14．（5分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为m3．15．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是．（写出所有正确命题的编号）①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ＝时，S为等腰梯形③当CQ＝时，S与C1D1交点R满足C1R1＝④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为．三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝a，且点A在直线上．（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．17．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．18．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝8，AD＝4，侧面P AD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅱ）证明P A⊥BD．20．（14分）如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝60°，P A＝AC＝a，PB＝PD＝，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．（Ⅰ）证明P A⊥平面ABCD；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．21．（13分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的正弦；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．2014-2015学年江西省南昌三中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）在极坐标系中圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝2B．θ＝（ρ∈R）和ρcosθ＝2C．θ＝（ρ∈R）和ρcosθ＝1D．θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝1【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ＝2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ＝2．故选：B．2．（5分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1＝4，S2＝4∵两个球的表面积之比为1：4，∴＝＝＝，解之得＝（舍负）因此，这两个球的体积之比为＝＝（）3＝即两个球的体积之比为1：8故选：C．3．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1B．C．D．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选：C．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：D．5．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n＝（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m＝4，直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n＝4，所以m+n＝8．故选：A．6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选：D．7．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选：A．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：如图：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF和FC1，根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，F为A1D1的中点，易计算F A＝FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点．故选：C．10．（5分）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（）A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．对于C，AD和OB成的角，即为AD和AE成的角，即∠DAE＝45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角，故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA＝45°，故D正确．综上，故选：B．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r＝，r＝，所以球的表面积为：4πr2＝12π．故答案为：12π．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD＝A1D＝A1B故∠BA1D＝60°故答案为：60°13．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝．【解答】解：圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆的方程为：x2+y2＝4x，圆心为C （2，0），点P的极坐标为，所以P的直角坐标（2，2），所以|CP|＝＝2．故答案为：2．14．（5分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3．【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3＝4故答案为：415．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③．（写出所有正确命题的编号）①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ＝时，S为等腰梯形③当CQ＝时，S与C1D1交点R满足C1R1＝④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为．【解答】解：设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT＝2PQ⇒DT＝2CQ．对于①，当0＜CQ＜时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，所以为真．对于②，当CQ＝时，DT＝1，T与D重合，截面S为四边形APQO1，所以AP ＝D1Q，截面为等腰梯形，所以为真．对于③，当CQ＝，QC1＝，DT＝2，D1T＝，利用三角形相似解得，C1R1＝，所以为真．对于④，当＜CQ＜1时，＜DT＜2，截面S与线段A1D1，D1C1相交，所以四边形S为五边形，所以为假．对于⑤，当CQ＝1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为和，S的面积为，所以为假，综上，选①②③．三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝a，且点A在直线上．（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）由点A（，）在直线ρcos（θ﹣）＝a上，可得a＝cos0＝，所以直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ＝2，从而直线的直角坐标方程为x+y﹣2＝0，（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，所以圆心为（1，0），半径r＝1，∴圆心到直线的距离d＝＝＜1，所以直线与圆相交．17．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．【解答】解：因为CC1∥AA1．所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝．在Rt△BC1C中，BC＝CC1tan∠BC1C＝6×＝2，＝＝3，从而S△ABC×AA1＝3×6＝18．因此该三棱柱的体积为V＝S△ABC18．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，＝（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞＝＝＝，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA 1的一个法向量，设平面ADC 1的法向量为，∵，∴，取z＝1，得y＝﹣2，x＝2，∴平面ADC 1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴sinθ＝＝．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝8，AD＝4，侧面P AD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅱ）证明P A⊥BD．【解答】解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，所以∠PEO为侧面P AD与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO＝60°，PE＝6，所以PO＝3，四棱锥P﹣ABCD的体积V P﹣ABCD＝．（Ⅱ）法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系．通过计算可得P（0，0，3），A（2，﹣3，0），B（2，5，0），D（﹣2，﹣3，0）所以．因为，所以P A⊥BD．法二：如图2，连接AO，延长AO交BD于点F．通过计算可得EO＝3，AE＝2，又知AD＝4，AB＝8，得．所以Rt△AEO∽Rt△BAD．得∠EAO＝∠ABD．所以∠EAO+∠ADF＝90°所以AF⊥BD．因为直线AF为直线P A在平面ABCD内的身影，所以P A⊥BD．20．（14分）如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝60°，P A＝AC＝a，PB＝PD＝，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．（Ⅰ）证明P A⊥平面ABCD；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a，在△P AB中，由P A2+AB2＝2a2＝PB2知P A⊥AB．同理，P A⊥AD，所以P A⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：作EG∥P A交AD于G，由P A⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．又PE：ED＝2：1，所以．从而，θ＝30°．（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面P AD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图．由题设条件，相关各点的坐标分别为.．所以．．．设点F是棱PC上的点，，其中0＜λ＜1，则＝．令得即解得．即时，．亦即，F是PC的中点时，、、共面．又BF⊄平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．解法二：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下，证法一：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．①由，知E是MD的中点．连接BM、BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．所以BM∥OE．②由①、②知，平面BFM∥平面AEC．又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC．证法二：因为＝＝．所以、、共面．又BF⊄平面ABC，从而BF∥平面AEC．21．（13分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的正弦；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．【解答】解：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，设F为AB的中点，连结EF、FC，∵D，E分别是CC1与A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形，连接DE，G是ADB的重心，∴GE＝DF，在直角三角形EFD中，，∵EF＝1，∴，于是，∵，∴AB＝，，∴，∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为；（Ⅱ）连结A 1D，有，∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F，∴ED⊥平面A1AB，设A 1到平面AED的距离为h，则，又．，∴，即A1到平面AED的距离．。

江西省南昌三中2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年江西省南昌三中高二（下)期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

1．分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的( ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．必要条件或充分条件2．在复平面内复数（1+bi ）（2+i ）（i 是虚数单位，b 是实数)表示的点在第四象限，则b 的取值范围是（）A ．b ＜﹣B ．b ＞﹣C ．﹣＜b ＜2D ．b ＜23．设x ，y ，z ∈（0，+∞），a=x +，b=y +，c=z +，则a ，b,c 三数（） A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于24．函数f （x ）=2x 2﹣lnx 的递增区间是( ）A ．（﹣∞，﹣）及（0，）B ．(﹣，0）及（，+∞)C ．(0，）D ．（，+∞) 5．若函数f （x ）=lnx ﹣ax 在点P （1，b ）处的切线与x +3y ﹣2=0垂直,则2a +b 等于（） A ．2 B ．0 C ．﹣1 D ．﹣26．函数y=x 3﹣3x 2﹣9x +5的极值情况是( ）A ．在x=﹣1处取得极大值，但没有最小值B ．在x=3处取得极小值，但没有最大值C ．在x=﹣1处取得极大值，在x=3处取得极小值D ．既无极大值也无极小值7．曲线在点（1，1）处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2+y 2+4x +3=0上的点的最近距离是( ）A ．B ．C ．D ．2 8．设函数f （x ）=cos （+φ)（﹣π＜φ＜0)．若f （x ）+f ′(x ）是偶函数，则φ=（） A ． B ． C ．D ． 9．若函数f （x ）=x 2+ax +在（,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是（） A ．[﹣1，0］ B ．［﹣1，+∞) C ．［0，3］ D ．［3，+∞）10．数列｛a n }满足a 1=1，a n +1＞a n ，且（a n +1﹣a n ）2﹣2(a n +1+a n ）+1=0，计算a 2，a 3,然后猜想a n =( ）A ．nB ．n 2C ．n 3D ．﹣11．若函数f(x ）=x 3﹣3x +m 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围是（） A ．（1,+∞) B ．(﹣∞，﹣1） C ．[﹣2，2] D ．（﹣2，2)12．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （4)=1，f ′(x)为f （x)的导函数，又知y=f ′(x ）的图象如图所示，若两个正数a,b 满足，f （2a +b ）＜1,则的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分,共20分）.13．一物体沿直线以速度v（t）=2t﹣3（t的单位为:秒,v的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动,则该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程是．14．已知函数f(x）=x2（e x﹣1)+ax3若当x≥0时，f(x）≥0恒成立，则a的取值范围．15．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=;类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为r,四面体P﹣ABC的体积为V，则r=．16．有下列命题:①若函数；②若函数f(x）在R存在导函数,则f′（2x）=[f(2x)］'；③若函数g（x）=（x﹣1）（x﹣2）…(x﹣2012）（x﹣2013），则g′=ax3+bx2+cx+d,则“a+b+c=0”是“f（x）有极值”的充要条件．其中真命题的序号是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

江西省南昌市第二中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案

南昌二中2015—2016学年度下学期期中考试高二数学（理科）试卷一、选择题（每小题5分，共60分)1．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：①，②，③，④其中假命题有：（)A．0个B．1个C．2个D．3个2．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切,则第四个球的最高点与桌面的距离（）A．2+B ．C．1+D．33．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A。

8 B。

173C。

273D。

7侧视图正视图21121题图4．点A ，B ,C ，D 在同一个球的球面上,C C 3AB =B =A =，若四面体CDAB 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（)A ．16916πB ．8πC ．28916πD ．2516π 5．如图，四边形ABCD 中，AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°,将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是（ )A ．平面ABD⊥平面ABCB ．平面ADC⊥平面BDC C ．平面ABC⊥平面BDCD ．平面ADC⊥平面ABC 6．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为（ ) A ． B ． C ． D ．7．如图,在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形,若∠A 1AB=∠A 1AD=60°，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ) A ． B ．C ．D ．8．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点,点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为（ ) A．22B ．32C ．34 D ．1第9题图第10题图第11题图9．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（ ) A ．2B ．12C ．24D ．2210．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心,2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( ）A ．65πB ．32πC ．πD ．67π11．如图,l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ,AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影长分别是m 和n ，若a b >，则（）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，12．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ,则(x)f 的图象大致是（）二、填空题（每小题5分，共20分）13．在东经120︒圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬15︒与北纬75︒圈上，地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离是 . 14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，6AC =,12BC CC==，P 是15．如图，在三棱锥A BCD -中,2BC DC AB AD ====,2BD =,平面ABD ⊥平面BCD ，O为BD 中点,点,P Q 分别为线段,AO BC上的动点（不含端点)，且AP CQ =,则三棱锥P QCO -体积的最大值为________．第14题图第15题图第16题图16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 的动点,过,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是①当102CQ <<时,S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R=；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S的面积为6三、解答题(共70分）17．（10分）平面⊥PAD 平面ABCD ，ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且2==AD PA ，G F E ,,分别是线段CD PD PA ,,的中点．（1）求证:PB //平面EFG ；（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为54，若存在，求出DQ 的值；若不存在，请说明理由．18．(12分）如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面CC BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（Ⅰ)证明:;1AB C B ⊥(Ⅱ）若1AB AC ⊥,0160=∠CBB ,2=BC , 求1B 到平面ABC的距离。

2015-2016学年江西省南昌三中高二3月月考数学(理)试题(解析版)

2015-2016学年江西省南昌三中高二3月月考数学（理）试题一、选择题1．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（） A ．﹣1＜k ＜1 B ．k ＞0 C ．k≥0 D ．k ＞1或k ＜﹣1 【答案】D【解析】试题分析：由双曲线方程可知需满足()()11011k k k k +-<∴<->或【考点】双曲线方程2．设函数)(x f 在0x x =处可导，则hx f h x f h )()(lim000-+→ （）A ．仅与x 0有关而与h 无关B ．仅与h 有关而与x 0无关C ．与x 0，h 都有关D ．与x 0、h 均无关【答案】A【解析】试题分析：()'0000()()limh f x h f x f x h→+-=是定值，与h 无关【考点】导数的定义3．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（） A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 【答案】C【解析】试题分析：由题意得22222511442c a b b b a a a a +==∴=∴=，所以渐近线为x y 21±= 【考点】双曲线性质4．用反证法证明命题 “自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列假设正确的是（）A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中或都是奇数或至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数【答案】C【解析】试题分析：由于命题“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”的否定是“自然数a 、b 、c 中都是奇数或至少有两个偶数”，【考点】反证法5．用数学归纳法证明)()"12(212)()2)(1("*N n n n n n n n∈-⋅⋅=+++ 时，从“k n =到1+=k n ”时，左边应添乘的式子是（） A ．21k + B ．()221k + C ．211k k ++ D ．2 【答案】B【解析】试题分析：当n=k 时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k ）=（k+1）（k+2）…（2k ），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k ）（2k+1）（2k+2），故从“k ”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是()()()21222211k k k k ++=++【考点】数学归纳法 6．已知*111()1()23f n n N n=++++∈ ，35(2),(4)2,(8),(16)322f f f f >>>>，由此推算：当n≥2时，有（） A ．*21(2)()2n f n n N +>∈ B ．*21(2)()2n f n n N ->∈ C ．*21(2)()2nn f n N +>∈ D ．*2(2)()2n n f n N +>∈ 【答案】D【解析】试题分析：观察已知的等式：3(2)2f =，f （4）＞2，即()22222f +>，5(8)2f >，即()32322f +>，f （16）＞3，即()42422f +>，…，归纳可得：*2(2)()2nn f n N +>∈ 【考点】归纳推理7．已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m ，n ，则下列说法正确的是（） A ．若m⊥n，n⊥α，m ⊂β，则α⊥β B ．若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥n C ．若m⊥n，n ⊂α，m ⊂β，则α⊥β D ．若α∥β，n ⊂α，m∥β，则m∥n 【答案】B【解析】试题分析：A ．若n ⊥α，m ⊥n ，则m ∥α或m ⊂α，又m ⊂β，∴α⊥β不成立，∴A ．错误．B ．若α∥β，n ⊥α，则n ⊥β，又m ⊥β，∴m ∥n 成立，∴B 正确．C ．当α∩β时，也满足若m ⊥n ，n ⊂α，m ⊂β，∴C 错误．D ．若α∥β，n ⊂α，m ∥β，则m ∥n 或m ，n 为异面直线，∴D 错误【考点】空间线面平行垂直的判定与性质8．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④ 【答案】D【解析】试题分析：①中线段为虚线， ②正确，③中线段为实线，④正确，【考点】三视图9．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有||||3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（）A.)+∞ B.C.)+∞ D.【答案】B【解析】试题分析：设AB 中点为D ，则OD ⊥AB∵||||3OA OB AB + ≥∴2221|2||||||||4||134OD AB AB OD OD AB OD ∴≤+=∴≥ ≥∵直线x-y-k=0（k ＞0）与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，∴222||44||1410OD OD k k <∴>≥∴>≥>< 【考点】直线和圆的方程的应用10．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（）A.6C. 3D. 2【答案】A【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，延长1CO 交球于点D ，则SD ⊥平面ABC．∵1123CO OO ===∴高12SD OO ==，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S =,13V == 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>两个焦点为分别为12(1,0),(1,0)F F -，过点2F 的直线l 与该双曲线的右支交于,M N 两点，且1F MN ∆是以N 为直角顶点的等腰直角三角形，则2a 为（）A B D 【答案】D【解析】试题分析：设11,F N t MN t FM =∴==，由定义可得221224F N t a MF a F M a =-∴=∴=4a t =∴=，在直角12F F N ∆中由勾股定理可得()()()222224ac +-==2a ∴=【考点】双曲线方程及性质12．已知)1(log )(>=a x x f a 的导函数是)(x f ',记)()1(),(a f a f B a f A -+='=，)1(+'=a f C ，则下列结论正确的是（）A ．CB A >> B ．C A B >>C ．B C A >>D ．A ，B ，C 的大小无法确定【答案】A【解析】试题分析：由已知()A f a '=，)1(+'=a f C ，分别是函数)1(log )(>=a x x f a 在x=a ，x=a+1处的切线斜率，B=f （a+1）-f （a ）=()()11f a f a a a+-+-是点（a ，f （a ））与（a+1，f （a+1））连线的斜率，如图：自左向右，三条直线的斜率分别为A ，B ，C ，其倾斜角皆为锐角，且从左向右依次减小，根据正切函数的单调性，则A ＞B ＞C同理，可作出当0＜a ＜1时，函数图象及三条直线，类似的也可以得到A ＞B ＞C 【考点】利用导数研究函数的单调性；不等关系与不等式二、填空题13．设曲线y ＝x n ＋1（n ∈N ）在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n 则x 1²x 2²…²x n 等于【答案】11n + 【解析】试题分析：对y ＝xn ＋1（n ∈N ）求导得()'1ny n x =+，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为()()()1111n n y k x n x -=-=+- 不妨设y=0，1n n x n =+则121212311n n x x x n n =⨯⨯⨯=++【考点】导数的几何意义及直线方程14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 【答案】A【解析】试题分析：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A 【考点】进行简单的合情推理15．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点．若121F F F A =，则2C 的离心率是________．【答案】23【解析】试题分析：由双曲线221:13y C x -=可得111,3,2a b c ===．设椭圆2C 的方程为22221x y a b+=，（a ＞b ＞0）．则1211222,2F A F A a F A F A a -==+=1121222242422F A a FF F A c a ∴=+===∴⨯=+ ，解得a=3．则2C 的离心率23c e a == 【考点】双曲线性质16．设点P 在曲线x e y =上，点Q 在曲线x y ln =上，则|PQ|最小值为________ 【答案】2【解析】试题分析：'1ln y x y x=∴=，令'11y x =∴=，结合图形可知()1,0Q ，同理()0,1P ,则|PQ|最小值为2 【考点】指数函数对数函数性质三、解答题 17．已知曲线34313+=x y ，求曲线在点)4,2(处的切线与坐标轴围成的三角形面积【答案】2【解析】试题分析：由导数的几何意义求得函数在x=2处的导数值可得到直线的斜率，从而得到切线方程，得到直线与坐标轴的交点，求得三角形面积试题解析：切线的斜率为4)2(='=f k ，点)4,2(在切线上，切线的方程为：440x y --= 切线与坐标轴围成的三角形面积为2 【考点】导数的几何意义与直线方程18．已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，实轴长为2；（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知直线0=+-m y x 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ；且线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上，求实数m 的值．【答案】（1）2212y x -=（2）1±【解析】试题分析：（1）依题意得22,a e ==（2）设点A()11,x y ，B()22,x y ，AB 的中点M()00,x y ，由2222x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩，得22220x mx m ---=，由此能求出实数m 的值试题解析：（1）依题意得2a=2，a=1，e =c =∴b 2=c 2﹣a 2=2，∴双曲线方程为：2212y x -= （2）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）AB 的中点M （x 0，y 0），由22220x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩得x 2﹣2mx ﹣m 2﹣2=0 12000,22x x x m y x m m +===+=， ∵点M 在圆上，∴22005x y +=，∴m 2+（2m ）2=5，∴m=±1．【考点】双曲线方程及直线与圆锥曲线的综合问题19．已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）求证：1B N CN ⊥；（Ⅱ）设M 为AB 中点，在棱BC 上是否存在一点P ，使MP ∥平面1B CN ？若存在，求PCBP的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）13BP PC = 【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直一般首先证明线面垂直，本题中可证明1B N ⊥平面BCN ，从而得到1B N CN ⊥;（Ⅱ）设P （0，0，a ）为BC 上一点，根据MP ∥平面1CNB ，MP n ⊥，求出a 值，进而得到答案试题解析：（Ⅰ）证明：由三视图可知4AN =，18BB =．在直角梯形1ANB B 中，取1BB 的中点H ，连结NH ．可得1NH BB ⊥，则ABHN 是正方形．所以BN =，14NH BH HB ===，1NB =．可得22211BN NB BB +=，所以1BN NB ⊥．因为BN BC B = ，所以1B N ⊥平面BCN ，则1B N CN ⊥．（Ⅱ）在直角梯形1ANB B 中，取BH 中点Q ，由题意得四边形1ANB H 是平行四边形．所以1AH B N MQ ∥∥．因为1NB ⊂平面1CNB ，MQ ⊄平面1CNB ，所以MQ ∥平面1CNB ．又因为MP ∥平面1CNB ，MP MQ M = ，所以平面MPQ ∥平面1CNB ．且平面MPQ 平面11BCC B PQ =，平面1CNB 平面111BCC B CB =，所以1PQ CB ∥．所以113BP BQ PC QB ==．【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定 20．已知数列{}n a 满足11n n a a +-=，11a =，试比较12321111na a a a ++++与22n +的大小并证明【答案】详见解析【解析】试题分析：由题意可知{}n a 是等差数列，求得通项公式后代入12321111na a a a ++++ 中，可得其与22n +的大小关系，证明时可利用数学归纳法求解试题解析：数列{a n }为等差数列，通项公式为n a n =.12321111na a a a ++++ ≥22n + 只要证：1121222n n ++++≥ ，下面用数学归纳证明： n ＝1时，112122++=,结论成立，假设n ＝k 时成立，即1121222k k ++++≥那么：n＝k＋1时，1111112111222122212k k k k k k +++++++++>+++++11121112222k k k k ++++>++++ 12132222k k k k +++>+⋅=即n ＝k ＋1时，结论也成立，所以n∈N，结论成立．【考点】等差数列及数学归纳法21．如图，在四边形ABCD 中，△ABC 是边长为2的等边三角形， AD 丄DC ，AD=DC ，E 、F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD, DF 丄平面ABCD ，且DF=1.（I ）若AE 丄CF ，求 BE 的值；（Ⅱ）求当BE 为何值时，二面角E-AC-F 的大小是60°.【答案】（I ）1（Ⅱ）3【解析】试题分析：依据已知条件可知采用空间向量的方法求解，（1）中设出BE 长度，得到点的坐标，由直线垂直，其方向向量之积为0可求得BE 的值；（2）中二面角为60°可得两面的法向量夹角为60°或120°，代入点的坐标可得到BE 的长度试题解析：（Ⅰ）连结BD ，设BD AC G = ．由已知BAD ∆≌BCD ∆，得AG CG =，所以G 为AC 的中点．所以BD AC ⊥，BE AC ⊥，且BD BE B = ， ∴ AC ⊥平面EBDF ，如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC的方向为x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系G-xyz ，令B E x =，由已知可得B 0，0），A （0，－1，0），E x ）， ()1,0,1F -，C （0，1，0），∴)AE x = ，()1,1,1CF =--，由0CF AE ⋅=得，1x =（Ⅱ）由（Ⅰ）可知EGF ∠是二面角E AC F --的平面角，即60EGF ∠=，则EG =FG =，EF =，∴2221cos 22EG FG EF EGF EG GF +-∠==⋅，解得3x =．【考点】空间向量法求解线线垂直与二面角22．椭圆C 的方程为2222 1 (0)x y a b a b+=>>，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点(0, 1)，且离心率e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 的方程为4x =，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点，求12F D F E ⋅的值；（Ⅲ）过点(1 0)Q ，任意作直线m （与x 轴不垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，与l 交于R 点，RM xMQ = ，RN yNQ =．求证：4450x y ++=．【答案】（Ⅰ）2219x y +=（Ⅱ）659（Ⅲ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）利用已知条件求出b ，a ，然后求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P ()00,x y ，推出直线PA 、PB 的方程，求得D ，E 两点的坐标求出向量，利用点P ()00,x y 在椭圆C上，即可求12F D F E ⋅的值；（Ⅲ）设M ()11,x y ，N ()22,x y ，R （4，t ），利用RM xMQ = ，得到()114111x x xt y x λ+⎧=⎪⎪+≠-⎨⎪=⎪+⎩，代入椭圆方程，化简，由R N y N = 得()()2224991y t y ++=+，然后消去t ，即可得到4x+4y+5=0试题解析：（Ⅰ）由题意可得1,33c b a a ===，椭圆方程为2219x y +=（Ⅱ）设00(,)P x y ，则直线PA 、PB 的方程分别为00(3)3y y x x =++，00(3)3y y x x =--，将4x =分别代入可求得D E ，两点的坐标分别为007(4,)3y D x +，00(4,)3yE x -. 由（Ⅰ），12(F F -,所以200012200077(4)(4)8339y y y F D F E x x x ⋅=+⋅-=++-- ，，，第 11 页共 11 页又∵点00(,)P x y 在椭圆C 上，∴2220002011999x y y x +=⇒=--， ∴12659F D F E ⋅= . （Ⅲ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ,(4,)R t ，由RM xMQ = 得1111(4,)(1,)x y t x x y --=-- 所以11411x x x ty x +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(1)λ≠-，代入椭圆方程得 222(4)99(1)x t x ++=+ ① 同理由RN yNQ = 得222(4)99(1)y t y ++=+ ②①－②消去t ，得54x y +=-，所以4450x y ++=．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程。

江西省南昌市高二数学下学期期中试题理(1)

解：椭圆的长半轴为5,短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2(π×22×5﹣ )= ．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题,满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
（12分)
20。(本小题满分12分）《九章算术》中，有鳖臑（biēnào)和刍甍（chúméng)两种几何体，鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段.在如图所示的刍甍中，已知平面平面，，且四边形为等腰梯形, , ，。 (Ⅰ)试判断四面体是否为鳖臑，并说明理由;(Ⅱ)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
答案2k＋1
14．动圆M过点F（0,2)且与直线y=—2相切,则圆心M的轨迹方程是x2=8y.
15．4个平面最多可将平面分割成15个部分。
16．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(图2），其体积等于______．
（2）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间,把排好的5个元素与最好的2个元素全排列,分步有，（种)；(3)先甲、乙相邻，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中,分步有, （种）.
18．(本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为 . (Ⅰ)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(Ⅱ)直线l的参数方程是 (t为参数），l与C交于A，B两点， ,求l的斜率。

江西省南昌市高二数学下学期期中测试试题理(扫描版)

江西省南昌市2014-2015学年高二数学下学期期中测试试题理（扫描版）2014—2015学年度第二学期期中测试卷高二数学(理科甲卷)参考答案及评分意见一、选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBDAABDACBCD二、填空题（每小题5分，共20分）13． 32a 14．3 1516．①②④三、解答题17. (1)结论：BC ∥l ，因为AD ∥BC ，BC 平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.又因为BC ⊂平面PBC ，平面PAD∩平面PBC ＝l ，所以BC ∥l.(2)结论：MN ∥平面PAD.设Q 为CD 的中点，如图所示，连接NQ ，MQ ，则NQ ∥PD ，MQ ∥AD. 又因为NQ∩MQ ＝Q ， PD∩AD ＝D ，所以平面MNQ ∥平面PAD. 又因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面PAD. 18．解析：（1）由该几何体的三视图知AC ⊥面BCED ，且EC=BC=AC=4，BD=a ，体积错误！未找到引用源。

； ………………4分（2）在ΔRT ABD中，AB =2BD =，6AD =，过B 作AD 的垂线BH ，垂足为H，易得BH =，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为3BH =，所以圆锥底面周长为233C π=⋅=，两个圆锥的母线长分别为2，故该旋转体的表面积为1(32(2233πS +=⨯+=。

………………12分19．解析：(1)证明：由已知可得BD ＝22，又AD ＝2，CD ＝4，AB ＝2，则BC ＝22，则BD2＋BC2＝16＝DC2，所以BD ⊥BC.因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，故PD ⊥BC.又BD∩PD ＝D ，所以BC ⊥平面BDP . ………………6分(2)如图，过M 作MG ⊥DC 交DC 于点G.由PD ⊥DC ，M 是PC 中点，知MG 是△DCP 的中位线，因此，MG ∥PD ，MG ＝12PD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以MG ⊥平面BDC. 又tan ∠PCD ＝12，得PD ＝2，MG ＝12PD ＝1.所以VM －BDP ＝VP －BCD －VM －BCD＝13×12×22×22×2－13×12×22×22×1＝43.………………12分 20．（1）由''//A B AB 得'''''61153PA A B PO PA PA AB PO AB ==⇒== '5;18PA AB ∴==由PO =22'33OO PO ∴==⨯21(36183V =+⋅台14683=⨯⨯=cm3）…………………………6分（2）作轴截面图如下，设球心为E ，半径为R ，由12PH PQ =,18HQ AB ==po =1()2PHQ S PH PQ HQ R∆=++⋅1118(121218)22R ∴⨯⨯++⋅R ∴232447S R ππ∴==球表(cm2)…………12分21．解析 (1)方法一 ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形．∴CD ∥BQ. …………1分 ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD.又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴BQ ⊥平面PAD. …………3分∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD. …………4分方法二 ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴BC ∥DQ 且BC ＝DQ.∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥B Q. …………1分 ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD.∵PA ＝PD ，∴PQ ⊥AD. …………2分又PQ∩BQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PBQ. …………3分∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD. …………4分 (2)∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD. …………5分如图，以Q 为原点，QA ，QB ，QP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，3)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，M(－12，32，32)．……6分 ∴AP →＝(－1,0，3)，BM →＝(－12，－32，32)．设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cosθ＝|cos 〈AP →，BM →〉|＝|AP →·BM →|AP →||BM →||＝277.…………7分∴异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为277.…………8分(3)由(2)知，平面BQC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，…………9分连接QC ，由P ，M ，C 三点共线，得QM →＝λQP →＋(1－λ)QC →，且0≤λ≤1. ∴QM →＝(λ－1，3(1－λ)，3λ)．…………10分又QB →＝(0，3，0)，设平面MBQ 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m·QM →＝0，m·QB →＝0.即⎩⎨⎧x λ－1＋31－λy ＋3λz ＝0，3y ＝0.令x ＝3，得y ＝0，z ＝1－λλ.∴平面MBQ 的一个法向量为m ＝(3，0，1－λλ)．…………11分∵二面角M －BQ －C 的大小为30°，∴cos30°＝|n·m |n||m||＝32. ∴λ＝14.∴QM ＝394.…………12分22．解析 (1)因为等边三角形ABC 的边长为3，且AD DB ＝CE EA ＝12，所以AD ＝1，AE ＝2.在△ADE 中，∠DAE ＝60°，由余弦定理，得DE ＝12＋22－2×1×2×cos60°＝ 3. 因为AD2＋DE2＝AE2，所以AD ⊥DE ，折叠后有A1D ⊥DE. …………3分因为二面角A1－DE －B 是直二面角，所以平面A1DE ⊥平面BCED.又平面A1DE∩平面BCED ＝DE ，A1D ⊂平面A1DE ，A1D ⊥DE ，所以A1D ⊥平面BCED. …………6分(2)假设在线段BC 上存在点P ，使直线PA1与平面A1BD 所成的角为60°. 如图，作PH ⊥BD 于点H ，连接A1H ，A1P .方法一由(1)知A1D ⊥平面BCED ，又PH ⊂平面BCED ，所以A1D ⊥PH.又A1D∩BD ＝D ，所以PH ⊥平面A1BD.所以∠PA1H 是直线PA1与平面A1BD 所成的角．…………8分设PB ＝x(0≤x≤3)，则BH ＝x 2，PH ＝3x2. 又在Rt △PA1H 中，∠PA1H ＝60°，所以A1H ＝x2. 在Rt △A1DH 中，A1D ＝1，DH ＝2－x2，由A1D2＋DH2＝A1H2，得12＋(2－x 2)2＝(x2)2. 解得x ＝52，满足0≤x≤3，符合题意．所以在线段BC 上存在点P ，使直线PA1与平面A1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52.…………12分方法二由(1)可知ED ⊥DB ，A1D ⊥平面BCED.以D 为坐标原点，以射线DB ，DE ，DA1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．设PB ＝2a(0≤2a≤3)，则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a. 所以A1(0,0,1)，P(2－a ，3a,0)，E(0，3，0)．所以PA1→＝(a －2，－3a,1)．因为ED ⊥平面A1BD ，所以平面A1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0)．…………9分因为直线PA1与平面A1BD 所成的角为60°，所以sin60°＝|PA1→·DE →||PA1→||DE →|＝3a 4a2－4a ＋5×3＝32.解得a ＝54，即PB ＝2a ＝52，满足0≤2a≤3，符合题意．所以在线段BC 上存在点P ，使直线PA1与平面A1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52.…………12分。

精品：江西省南昌市第三中学2015-2016学年高二下学期期末考试理数试题(解析版)

江西省南昌市第三中学2015-2016学年高二下学期期末考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数1z i =+（i 是虚数单位），则复数1z z+的虚部是( ) A ．21 B ．12i C ．23D ．32i【答案】A 【解析】试题分析：11131=111222i z i i i z i -+++=++=++,虚部为12考点：复数运算2.32()32f x ax x =++,若4)1(=-'f ,则a 的值等于（）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310【答案】D 【解析】试题分析：()()'2'103613643fx ax x f a a =+∴-=-=∴=考点：函数求导数3.已知1~(4,)3B ξ，并且23ηξ=+，则方差D η=（）Ａ．932 Ｂ．98 Ｃ．943 Ｄ．959 【答案】A 【解析】试题分析：由1~(4,)3B ξ得()()()1283242343399D D D D ξηξξ=⨯⨯=∴=+== 考点：随机变量的期望4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，．参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知本题所给的观测值2K ≈7.8＞6.635， ∴这个结论有0.01=1%的机会说错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 考点：独立性检验的应用 5.⎰-1021dx x 的值是（）A ．8πB ．4πC ．2πD ．π【答案】B 【解析】试题分析：设()2210y x y y =+=≥，结合定积分的几何意义可知定积分值为圆221x y +=在第一象限的面积⎰-1021dx x 的值是4π考点：定积分的几何意义6.若函数2()2ln f x x x =-在其定义域的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数,则实数k 的取值范围是（）A ．[1,)+∞B ．3[1,)2C ．[1,2)D ．3[,2)2【答案】B 【解析】试题分析：因为f （x ）定义域为（0，+∞），又()'14f x x x=-，由f'（x ）=0，得x ＝12．当x ∈（0，12）时，f'（x ）＜0，当x ∈（12，+∞）时，f'（x ）＞0 据题意，111210k k k ⎧-<<+⎪⎨⎪-≥⎩，解得312k ≤<．考点：利用导数研究函数的单调性7.若)1(x +8822107)21(x a x a x a a x ++++=- ，则721a a a +++ 的值是（） A ．-2 B.-3 C.125 D.-131 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知()782128a =-=-，令0x =得01a =，令1x =得012782a a a a a +++++=-所以127125a a a +++=考点：二项式系数8.变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．r 2＜r 1＜0 B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2=r 1【答案】C 【解析】试题分析：由变量X 与Y 相对应的一组数据为：（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）．可得：变量Y 与X 之间的正相关，因此10r >．而由变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），可知：变量V 与U 之间的负相关，∴20r <．因此1r 与2r 的大小关系是r 2＜0＜r 1 考点：两个变量的线性相关9.设函数f （x ），g （x ）在[a ，b]上均可导，且f′（x ）＜g′（x ），则当a ＜x ＜b 时，有( ) A ．f （x ）＞g （x ） B ．f （x ）+g （a ）＜g （x ）+f （a ） C ．f （x ）＜g （x ） D ．f （x ）+g （b ）＜g （x ）+f （b ）【答案】B考点：利用导数研究函数的单调性10.观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b+=（）A ．28B ．76C ．123D ．199 【答案】C 【解析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即1010123a b +=考点：归纳推理11.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）种 A.50 B.51 C.140 D.141 【答案】D 【解析】试题分析：因为第1天和第7天吃的水果数相同，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中水果数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463141C C C C C C C +++=种考点：排列、组合及简单计数问题 12.设函数()()()222ln 2f x x a x a=-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为（） A ．15 B ．25 C ．12D ．1 【答案】A 【解析】试题分析：函数f （x ）可以看作是动点M （x ，lnx 2）与动点N （a ，2a ）之间距离的平方，动点M 在函数y=2lnx 的图象上，N 在直线y=2x 的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx 得，y'=2x=2，解得x=1，∴曲线上点M （1，0）到直线y=2x 的距离最小，最小距离d==，则f （x ）≥45，根据题意，要使f （0x ）≤45，则f （0x ）=45，此时N 恰好为垂足，由2021112MNa a k a a -===---，解得15a = 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线25+=-xey 在点()0,3处的切线方程为【答案】530x y +-= 【解析】试题分析：5'525,0x x y e y e x --=+∴=-=时'55y k =-∴=-∴直线方程为53y x =-+，变形得530x y +-=考点：导数的几何意义及直线方程14.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么表中t 的值为_______ 【答案】3 【解析】试题分析：由题意可知3456 2.54 4.5114.5,444t tx y +++++++====，因为回归直线方程，经过样本中心，所以114t+=0.7×4.5+0.35，解得t=3 考点：线性回归方程15.先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ,y ,设事件A 为“y x +为偶数”，事件B 为 “x ,y 中有偶数且y x ≠”，则概率)|(A B P 等于_________ 【答案】31【解析】试题分析：根据题意，若事件A 为“x+y 为偶数”发生，则x 、y 两个数均为奇数或均为偶数．共有2×3×3=18个基本事件，∴事件A 的概率为1P =2331662⨯⨯=⨯．而A 、B 同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，一共有6个基本事件，因此事件A 、B 同时发生的概率为2P =61666=⨯ 因此，在事件A 发生的情况下，B 发生的概率为P （B|A ）=31 考点：条件概率与独立事件16.已知函数()1()ln f x g x x ==，对于任意12m ≤，都存在(0,+)n ∈∞，使得()()f m g n =，则n m -的最小值为________ 【答案】1 【解析】试题分析：由12m ≤知，11-≤；由f （m ）=g （n ）可化为1ln n =；故1n e= 令1t =，t ≤1；则22t m t =-，则22tt y n m e t =-=-+；故'1ty e t =+-在（-∞，1]上是增函数，且y ′=0时，t=0；故22tt y n m e t =-=-+在t=0时有最小值，故n-m 的最小值为1；考点：函数恒成立问题；全称命题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题10分)已知(2nx+的展开式前两项的二项式系数之和为10. (1) 求n 的值. (2) 求出这个展开式中的常数项. 【答案】(1) 9=n (2)672 【解析】试题分析：（1）根据二项式展开式得到前两项的系数，根据系数和解的n 的值，（2）利用展开式的通项，求常数项，只要使x 的次数为0即可试题解析：(1) ∴101=+n n C C 即9=n(2) (2n x展开式的通项2312)1()2(rn rn r n r r n r nr x C x x C T ---+== ∴令023=-rn 且9=n 得6=r ∴(2nx+展开式中的常数项为第7项，即672269697=⋅=-C T 考点：二项式系数的性质18.（本小题12分）面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为错误！未找到引用源。

2016-2017学年江西省南昌市高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

2016-2017学年江西省南昌市高二下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－12．函数()323922y x x x x =---<<有（）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值3．已知⎛⎠20 f (x )dx = 3，则⎛⎠20 [f (x ) +6]dx 等于（）A ． 9B ． 12C ． 15D ．184．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有 ( ）A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种5．已知x x x f sin )(2=，则=')2(f π（）A.22πB. 22π-C. 42π- D. π6．已知复数z 的实部为a ，且(0,2)a ∈，虚部为1，则z 的取值范围是（）源:.Co m]A ．(1,5) B ．(1,3) C ． D ．7．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D ．128．安排一张有5个独唱节目和3个合唱节目的节目单，要求合唱节目不连排而且不排在第一个节目，那么不同的节目单有（）A ．7200种B ．1440种C ．1200种D ．2880种9．曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成图形的面积为（）A ．3B ．3712C ．3511D ．410．已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为( )A ．f(－a 2)f(－1)B ．f(－a 2)f(－1)C ．f(－a 2)f(－1)D ．f(－a 2)与f(－1)的大小关系不确定11．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N ，且:3:1a b =，则n 的值为（）A ．9B ．10C ．11D ．1212．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（） A ．(－3，0)∪(3，+∞) B ．(－3， 0)∪(0，3) C ．(－∞，－3)∪(3，+∞) D ．(－∞，－3)∪(0，3)第II 卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a = 14. 下列计算曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积: (1)dx x ⎰230cos π, (2) dx x ⎰20cos 3π, (3) dx x ⎰230cos π, (4) 面积为3.用的方法或结果正确的是 ___ ____15. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第个数 16. 设()f x x x ax 3211=-++232,若()f x 在(,2+∞3）上存在单调递增区间，求a 的取值范围__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？18．（本小题满分12分）设二次函数c bx ax x f ++=2)(，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ．（1）求)(x f 的表达式；（2）求)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积．19.（本小题满分12分）一质点在直线上从时刻t=0（s ）开始以速度)/(342s m t t v +-=运动，求（1）在t=4s 时该点的位置；（2）在t=4s 时运动的路程.20．（本小题满分12分）设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中（1）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率；（2）求函数的单调区间与极值.21. （本小题满分12分）已知n xx )12-（的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为143．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．22.（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a =-+∈R ．（1）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（2）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围．2016-2017学年江西省南昌市高二下学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．4; 14． (2)、(3)、(4) ; 15． 10 ; 16． 1(,)9-+∞ .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）【解析】：（1）将取出4个球分成三类情况1）取4个红球，没有白球，有44C 种2）取3个红球1个白球，有1634C C 种； 3）取2个红球2个白球，有,2624C C4312244646115C C C C C ∴++=种（2）符合题意的方法有：233241464646186C C C C C C ++=种18．（本小题满分12分）【解析】： (1)f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2. 又方程f (x )＝0有两个相等实根，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x ，取F (x )＝13x 3＋x 2＋x ，则F ′(x )＝x 2＋2x ＋1，∴S ＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x ＝F (0)－F (－1)＝13.-19. （本小题满分12分）【解析】：（1）在时刻t=4s 时物体的位移是：⎰=+-=+-44023234|)3231()34(m t t t dt t t 即t=4s 时刻质点距出发点m 34（2）由)3)(1(342--=+-=t t t t v 知：运动物体在t=4s 时刻运动的路程⎰⎰⎰+-++-++-=432103122dt )3t 4t (|dt )3t 4t(|dt )3t 4t(S⎰⎰⎰+-++--+-=43213122dt )3t 4t (dt )3t 4t (dt )3t 4t (＝420．（本小题满分12分）；【解析】：（1）当1)1(,2)(,31)(1'2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时，所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1. （2）解：12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1因为m m m ->+>11,0所以当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

江西省南昌三中2015-2016学年高二下学期3月月考数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年江西省南昌三中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．把答案填写在答题卡上）1．（理科做）方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A．﹣1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0 D．k＞1或k＜﹣12．设函数f（x）在x=x0处可导，则（）A．与x0，h都有关B．仅与x0有关而与h无关C．仅与h有关而与x0无关D．与x0、h均无关3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=4．用反证法证明命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列正确的是（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数D．a、b、c中至少有两个偶数5．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1 B．2k+3 C．2（2k+1）D．2（2k+3）6．已知f（n）=1+++…+（n∈N*），计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有（）A．f（2n）＞（n∈N*）B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*）D．f（2n）＞（n∈N*）7．已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是（）A．若m⊥n，n⊥α，m⊂β，则α⊥βB．若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥βD．若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n8．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．③④D．②④9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C． D．10．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．11．已知双曲线两个焦点为分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M，N两点，且△F1MN是以N为直角顶点的等腰直角三角形，则a2为（）A．B．C． D．12．已知f（x）=log a x（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′（a），B=f（a+1）﹣f（a），C=f′（a+1）则（）A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n 的值为．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是．16．已知点P在曲线y=e x（e为自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知曲线，求曲线在点（2，4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积．18．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2；（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值．19．已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）求证：B1N⊥CN；（Ⅱ）设M为AB中点，在棱BC上是否存在一点P，使MP∥平面B1CN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20．已知数列{a n}满足a n﹣a n=1，a1=1，试比较与的大小并证+1明．21．如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，AD丄DC，AD=DC，E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，且DF=1．（I）若AE丄CF，求BE的值；（Ⅱ）求当BE为何值时，二面角E﹣AC﹣F的大小是60°．22．椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），F1、F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求的值；（Ⅲ）过点Q（1，0）任意作直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，与l交于R点，，．求证：4x+4y+5=0．2015-2016学年江西省南昌三中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．把答案填写在答题卡上）1．（理科做）方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A．﹣1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0 D．k＞1或k＜﹣1【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据双曲线的标准方程，可得只需k+1与1﹣k只需异号即可，则解不等式（k+1）（1﹣k）＜0即可求解．【解答】解：由题意知（k+1）（1﹣k）＜0，即（k+1）（k﹣1）＞0解得k＞1或k＜﹣1．故选D．2．设函数f（x）在x=x0处可导，则（）A．与x0，h都有关B．仅与x0有关而与h无关C．仅与h有关而与x0无关D．与x0、h均无关【考点】极限及其运算．【分析】利用导数与极限的关系和导数的定义可知f′（x0）=，由此进行判断．【解答】解：∵函数f（x）在x=x0处可导，∴可得f′（x0）=，∴此极限仅与x0有关而与h无关，故选B．3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．4．用反证法证明命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列正确的是（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数D．a、b、c中至少有两个偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】由于命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数”，从而得出结论．【解答】解：由于命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数”，故选C．5．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1 B．2k+3 C．2（2k+1）D．2（2k+3）【考点】数学归纳法．【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．【解答】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C．6．已知f（n）=1+++…+（n∈N*），计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有（）A．f（2n）＞（n∈N*）B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*）D．f（2n）＞（n∈N*）【考点】归纳推理．【分析】根据已知中的等式f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．【解答】解：观察已知的等式：f（2）=，f（4）＞2，即f（22）＞f（8）＞，即f（23）＞，f（16）＞3，即f（24）＞，…，归纳可得：f（2n）＞，n∈N*）故选：D．7．已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是（）A．若m⊥n，n⊥α，m⊂β，则α⊥βB．若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥βD．若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】A．利用面面垂直的判定定理进行判断．B．利用面面平行和线面平行的性质进行判断．C．利用面面垂直的定义和性质进行判断．D．利用面面平行和线面平行的性质进行判断．【解答】解：A．若n⊥α，m⊥n，则m∥α或m⊂α，又m⊂β，∴α⊥β不成立，∴A．错误．B．若α∥β，n⊥α，则n⊥β，又m⊥β，∴m∥n成立，∴B正确．C．当α∩β时，也满足若m⊥n，n⊂α，m⊂β，∴C错误．D．若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n或m，n为异面直线，∴D错误．故选：B．8．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．③④D．②④【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．【解答】解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C． D．【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选C．10．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC==．∴V三棱锥S﹣ABC故选：C．11．已知双曲线两个焦点为分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M，N两点，且△F1MN是以N为直角顶点的等腰直角三角形，则a2为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|AF1|=|AB|=m，计算出|AF2|=（1﹣）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e2的值，即可得出结论．【解答】解：由题意，设|MF1|=|MN|=m，则|NF1|=m，|MF2|=m﹣2a，|NF2|=m﹣2a，∵|MN|=|MF2|+|NF2|=m，∴m﹣2a+m﹣2a=m，∴4a=m，∴|MF2|=（1﹣）m，∵△MF1F2为Rt三角形，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2∴4c2=（﹣）m2，∵4a=m，∴4c2=（﹣）×8a2，∴e2=5﹣2．∵c=1，∴a2=．故选：D．12．已知f（x）=log a x（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′（a），B=f（a+1）﹣f（a），C=f′（a+1）则（）A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A【考点】导数的运算；直线的斜率．【分析】设M坐标为（a，f（a）），N坐标为（a+1，f（a+1）），利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C分别为对数函数在M处的斜率，直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案．【解答】解：记M（a，f（a）），N（a+1，f（a+1）），则由于，表示直线MN的斜率；A=f′（a）表示函数f（x）=log a x在点M处的切线斜率；C=f′（a+1）表示函数f（x）=log a x在点N处的切线斜率．所以，A＞B＞C．故选A二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为．【考点】归纳推理；简单复合函数的导数；直线的点斜式方程．【分析】本题考查的主要知识点是导数的应用，由曲线y=x n+1（n∈N*），求导后，不难得到曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线方程，及与x轴的交点的横坐标为x n，分析其特点，易得x1•x2•…•x n的值．【解答】解：对y=x n+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）x n，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1），不妨设y=0，x n=则x1•x2•…•x n=×××…××=．故答案为：14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【考点】进行简单的合情推理．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．15．如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．【解答】解：由双曲线C1：x2﹣=1可得a1=1，b1=，c=2．设椭圆C2的方程为=1，（a＞b＞0）．则|F1A|﹣|F2A|=2a1=2，|F1A|+|F2A|=2a，∴2|F1A|=2a+2∵|F1F2|=|F1A|=2c=4，∴2×4=2a+2，解得a=3．则C2的离心率==．故答案为：．16．已知点P在曲线y=e x（e为自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；反函数．【分析】考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x 的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离【解答】解：∵曲线y=e x（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x 对称，故可先求点P到直线y=x的最近距离d设曲线y=e x上斜率为1的切线为y=x+b，∵y′=e x，由e x=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1∴d==∴丨PQ丨的最小值为2d=故答案为三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知曲线，求曲线在点（2，4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义求出曲线y的切线斜率，写出切线方程，求出切线与坐标轴的交点，计算出切线与坐标轴围成的三角形面积．【解答】解：∵曲线，∴y′=x2∴切线的斜率为k=f'（2）=22=4，∴切线的方程为：y﹣4=4（x﹣2）4x﹣y﹣4=0切线与坐标轴的交点为A（1，0），B（0，﹣4），∴切线与坐标轴围成的三角形面积为=×1×4=2．S△OAB18．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2；（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）依题意得2a=2，，由此能求出双曲线方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，由此能求出实数m的值．【解答】解：（1）依题意得2a=2，a=1，…，∴，…∴b2=c2﹣a2=2，…∴双曲线方程为：…（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），…由得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0…，…∵点M在圆上，∴，∴m2+（2m）2=5，∴m=±1．…19．已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）求证：B1N⊥CN；（Ⅱ）设M为AB中点，在棱BC上是否存在一点P，使MP∥平面B1CN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】（Ⅰ）由三视图可知AN=4，BB1=8．在直角梯形ANB1B中，取BB1的中点H，连结NH，证明B1N⊥平面BCN，即可证明：B1N⊥CN；（Ⅱ）在直角梯形ANB1B中，取BH中点Q，由题意得四边形ANB1H是平行四边形，利用面面平行，确定线面平行即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：由三视图可知AN=4，BB1=8．在直角梯形ANB1B中，取BB1的中点H，连结NH．可得NH⊥BB1，则ABHN是正方形．所以BN=4，NH=BH=HB1=4，NB1=4．可得=，所以BN ⊥NB 1．因为BN ∩BC=B ，所以B 1N ⊥平面BCN ，则B 1N ⊥CN ．（Ⅱ）解：在直角梯形ANB 1B 中，取BH 中点Q ，由题意得四边形ANB 1H 是平行四边形．所以AH ∥B 1N ∥MQ ．因为NB 1⊂平面CNB 1，MQ ⊄平面CNB 1，所以MQ ∥平面CNB 1．又因为MP ∥平面CNB 1，MP ∩MQ=M ，所以平面MPQ ∥平面CNB 1．且平面MPQ ∩平面BCC 1B 1=PQ ，平面CNB 1∩平面BCC 1B 1=CB 1，所以PQ ∥CB 1．所以==．20．已知数列{a n }满足a n +1﹣a n =1，a 1=1，试比较与的大小并证明．【考点】数列与不等式的综合．【分析】由已知求出数列的通项公式，然后利用数学归纳法证明≥．【解答】解：≥．证明如下：由a n +1﹣a n =1，a 1=1，知数列{a n }为首项是1，公差为1的等差数列， ∴通项公式为a n =n ．要证≥，只要证：1+++…+≥，下面用数学归纳证明：n=1时，1+=，结论成立，当n=2时，左边=1+=，结论成立；假设n=k 时结论成立，即1+++…+≥，那么：n=k+1时，1+++…++…+＞++…+＞++…+＞+=，即n=k+1时，结论也成立．综上所述，n∈N，结论成立．21．如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，AD丄DC，AD=DC，E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，且DF=1．（I）若AE丄CF，求BE的值；（Ⅱ）求当BE为何值时，二面角E﹣AC﹣F的大小是60°．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连结BD，设BD∩AC=G．由已知证得△BAD≌△BCD，得AG=CG，再由线面垂直的判定证明AC⊥平面EBDF，以G为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设出BE，结合求得BE；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EGF是二面角E﹣AC﹣F的平面角，然后利用余弦定理求得使二面角E﹣AC﹣F的大小是60°时的BE．【解答】解：（Ⅰ）连结BD，设BD∩AC=G．由已知得△BAD≌△BCD，∴AG=CG，∴G为AC的中点，则BD⊥AC，BE⊥AC，且BD∩BE=B，∴AC⊥平面EBDF，如图，以G为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系G﹣xyz，令BE=x，由已知可得B（，0，0），A（0，﹣1，0），E（，0，x），F（﹣1，0，1），C（0，1，0），∴，，由得，x=1+；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EGF是二面角E﹣AC﹣F的平面角，即∠EGF=60°，则，FG=，EF=，∴cos∠EGF=，解得．22．椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），F1、F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求的值；（Ⅲ）过点Q（1，0）任意作直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，与l交于R点，，．求证：4x+4y+5=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出b，a，然后求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），推出直线PA、PB的方程，求得D，E两点的坐标求出向量，利用点P（x0，y0）在椭圆C上，即可求的值；（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），R（4，t），利用，得到：（λ≠﹣1），代入椭圆方程，化简，由得（4+y）2+9t2=9（1+y）2，然后消去t，即可得到4x+4y+5=0．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），F1、F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=，所以b=1，，解得a=3，所求椭圆方程为：…4分（Ⅱ）设P（x0，y0），则直线PA、PB的方程分别为，，将x=4分别代入可求得D，E两点的坐标分别为，．由（Ⅰ），，所以，又∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，∴．…8分（Ⅲ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），R（4，t），由得（x1﹣4，y1﹣t）=x（1﹣x1，﹣y1）所以（λ≠﹣1），代入椭圆方程得（4+x）2+9t2=9（1+x）2①同理由得（4+y）2+9t2=9（1+y）2②①﹣②消去t，得，所以4x+4y+5=0．…13分．2016年10月25日。

江西省南昌市高二数学下学期期中试题理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2016—2017学年度下学期期中考试高二数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，满分60分）1. 复数是虚数单位)，则的共轭复数为( )．A. B. C. D.【答案】A【解析】复数，则的共轭复数，故选A.2. 给出下列命题，其中正确的命题为（）A. 若直线和共面，直线和共面，则和共面B. 直线与平面不垂直，则与平面内的所有的直线都不垂直C. 直线与平面不平行，则与平面内的所有的直线都不平行D. 异面直线不垂直，则过的任何平面与都不垂直【答案】D【解析】试题分析：A：直线共面不具有传递性，故A错误；B：根据线面垂直的判定可知B 错误；C：若直线，满足直线与平面不平行，故C错误；D：假设存在过的平面与垂直，则可知，∴假设不成立，故D正确，故选D．考点：空间中点、线、面的位置关系及其判定．3. 已知直线，平面，则的一个充分条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,则与平面平行或在平面内，不正确；，则与平面平行或在平面内，不正确；，则与平面平行或在平面内，不正确；由线面平行的判定定理知，正确，故选D.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行的性质及线面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.4. 设，向量且，则（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D5. 已知三点，，则以为方向向量的直线与平面系是（）A. 垂直B. 不垂直C. 平行D. 以上都有可能【答案】A【解析】由题意，，，所以以为方向向量的直线与平面垂直，故选A.6. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】共面，故不能作为基底，故错误；共面，故不能作为基底，故错误；不共面，故可以作为基底，故正确；共面，故不能作为基底，故错误，故选C.7. 已知正四棱柱的底面是边长为1的正方形，若平面内有且仅有1个点到顶点的距离为1，则异面直线所成的角为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，只有点到距离为，即高为，所以该几何体是个正方体，异面直线所成的角是，故选B.8. 一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）A. 4B. 8C. 9【答案】B【解析】由三视图可知几何体为正四棱柱中挖去一个四棱锥得到的几何体，，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，则四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，将四棱锥扩充为正方体，体对角线长为，所以四棱锥外接球的直径为，半径为，所以四棱锥外接球的表面积为，故选C.10. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，．若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在四棱锥中，平面，底面为矩形，由边上有且只有一个点，使得，可得边上有且只有一个点，使得，则以为直径的圆与直线相切，设中点为，则，可得平面，作于，连接，则是二面角的平面角，设 ,则，直角三角形中，可得，，二面角的余弦值为，故选A.11. 如图在中，是斜边的中点，将沿直线翻折，若折中存在某个位置，使得，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：取中点，翻折前在如图1中，连接、，则，又，所以；翻折后在如图2中，若，又，则平面，所以，又为中点，所以，，那么在中应有，，，解得；翻着后如图3中，当与在一个平面上，与交于，且，，，又，所以，，所以则，综上可得，故选.考点：1.空间异面直线位置关系；2. 空间想象能力.12. 棱长为的正方体在空间直角坐标系中移动，但保持点分别在轴、轴上移动，则点到原点的最远距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于棱长为2的正方体在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则可知设A(X,0)b(0,y)，可知,那么可以设,那么可知借助于三角函数的性质可知CO的最大值为，那么可知点到原点O的最远距离为4，选D.考点：展开图，正方体点评：求解空间一点到坐标原点的距离的最值问题，转化为求点在平面内的射影到原点的距离的最大值即可，属于中档题，考查分析问题的能力。