专题三 第一讲 等差数列、等比数列

教案：专题三 数列第一讲等差数列、等比数列
2、研考题，命题角度要知道：
考点一 等差、等比数列的其本运算
[联知识 串点成面]
[做考题 查漏补缺]
例1、2011·大纲版全国)设等比数列{an}的前n 项和为Sn·已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an 和Sn·
[解] 设{an}的公比为q ，
由题设得⎩
⎪⎨⎪⎧
a1q ＝6，
6a1＋a1q2＝30.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a1＝3，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧
a1＝2，q ＝3.
当a1＝3时，q ＝2时，an ＝3×2n －1，Sn ＝3×(2n －1)； 当a1＝2，q ＝3时，an ＝2×3n －1，Sn ＝3n －1.
题组冲关： 1．(2011·辽宁高考)Sn 为等差数列{an }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________.
解析：根据已知条件，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，而由等差数列性质得，a 3＋a 6＝a 4＋a 5，所以，a 4＋a 5＝0，又a 4＝1，所以a 5＝－1.
2．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若a1＝1
2，a4＝4，则公比q ＝________；a1＋a2＋…＋an
＝________.
解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1
21－2n )
1－2＝2n －1－1
2
[悟方法 触类旁通]
在等差或等比数列中，已知五个元素a 1，an ，n ，d (或q )，Sn 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”．本着化多为少的原则，解题时需抓住首项a 1和公差d (或公比q )．
考点二 等差、等比数列的判定与证明
[联知识 串点成面]
数列{an}是等差或等比数列的证明方法： (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an ＋1－an(n ∈N*)为常数； ②利用中项性质，即证明2an ＝an －1＋an ＋1(n ≥2)． (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an ＋1
an (n ∈N*)为一常数；
②利用等比中项，即证明a2n ＝an －1an ＋1(n ≥2)．
[做考题 查漏补缺]
例题2、(2011·郑州期末)已知数列{an}和{bn}满足a1＝m ，an ＋1＝λan ＋n ，bn ＝an －2n 3＋49
. (1)当m ＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列； (2)当λ＝－1
2
时，试判断数列{bn}是否为等比数列．
[解] (1)证明：当m ＝1时，a 1＝1，a 2＝λ＋1，a 3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2. 假设数列{an }是等差数列，
由a 1＋a 3＝2a 2，得λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)， 即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－3<0，∴方程无实根．
故对于任意的实数λ，数列{an }一定不是等差数列． (2)当λ＝－12时，a n ＋1＝－1
2a n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49.
b n ＋1＝a n ＋1－
2(n ＋1)3＋4
9
＝⎝⎛⎭⎫－12a n ＋n －2(n ＋1)3＋49＝－1
2n ＋n 3－29
＝－12⎭⎫a n
－2n 3＋49＝－12b n ， b 1＝a 1－23＋49＝m －29
.
∴当m ≠29时，数列{b n }是以m －29为首项，－1
2
当m ＝2
9
时，数列{b n }不是等比数列．
题组冲关：
3．(2011·四川高考)数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 1＝1，an ＋1 ＝3Sn (n ≥1)，则a 6＝
( )
A ．3×44
B ．3×44＋1
C ．43
D ．43＋1
解析：由an ＋1＝3Sn ⇒Sn ＋1－Sn ＝3Sn ，即Sn ＋1＝4Sn ，又S 1＝a 1＝1，可知Sn ＝4n －1.于是a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44.
4．(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个
数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；
(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋5
4
}是等比数列．
解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， 故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝5
4
.
所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3
.
(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝5
4(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2
，
所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋
5
4S n ＋
54
＝5·
2n －15·2
n －2＝2.
因此{S n ＋54}是以5
2为首项，公比为2的等比数列．
[悟方法 触类旁通]
判断或证明某数列是等差(比)数列有两种方法
一、定义法．二、中项法．定义法要紧扣定义，注意n 的范围．若要否定某数列是等差 (比)数列，只需举一组反例即可．对于探索性问题，由前三项成等差(比)确定参数后，要用定义证明．在客观题中也可通过通项公式，前n 项和公式判断数列是否为等差(比)数列.
考点三 等差、等比数列的性质
[联知识 串点成面]
[做考题 查漏补缺]
例题3 (2011·大连模拟)等差数列{an }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为Sn ，则“d >|a 1|”是“Sn 的最小值为S 1，且Sn 无最大值”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 依题意，当d >|a 1|时，数列{an }是递增的数列，无论a 1的取值如何，Sn 的最小值为S 1，且Sn 无最大值；反过来，当Sn 的最小值为S 1，且Sn 无最大值时，如当a 1＝1，d ＝0时，此时Sn
的最小值为S 1，且Sn 无最大值，但不满足d >|a 1|.综上所述，“d >|a 1|”是“Sn 的最小值为S 1，且Sn 无最大值”的充分不必要条件． 题组冲关：
5．(2011·济南模拟)已知正数组成的等差数列{an }，前20项 和为100，则a 7·a 14的最大值是 ( ) A ．25
B ．50
C ．100
D ．不存在
解析：∵S 20＝a 1＋a 20
2
×20＝100，
∴a 1＋a 20＝10.
∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.
∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142
)2
＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号
6．(2011·沈阳模拟)等比数列{a n }中，若a 4a 5＝1，a 8a 9＝16，则a 6a 7等于( ) A ．－4
B ．4
C ．±4
D.17
2
解析：由等比数列的性质易得a 4a 5，a 6a 7，a 8a 9三项也成等比数列，由等比中项可得(a 6a 7)2＝(a 4a 5)·(a 8a 9)，解得a 6a 7＝±4.又a 6a 7＝a 4a 5·q 4＝q 4>0，故a 6a 7＝4. [悟方法 触类旁通]
等差数列与等比数列有很多类似的性质，抓住这些性质可以简化运算过程，在学习时要对比记忆，熟知它们的异同点，灵活应用性质解题． 3.析考向关注热点把分捞
新考向：数列可看做自变量为正整数的一类特殊的函数．近几年高考中经常把函数和数列结合命题，如2011年福建卷第16题考查等比数列、三角函数的问题． (2011·福建高考)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝π
6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解
析式．
新预测：
已知等差数列{a n }中，a 1，a 99是函数f (x )＝x 2－10x ＋16的两个零点，则1
2a 50＋a 20＋a 80＝__________.
解析：由已知得a 1，a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两个实根，则a 1＋a 99＝10， 则12a 50＋a 20＋a 80＝54(a 1＋a 99)＝252
.
4、战考场，进入练习。