人教A版必修4第二章平面向量综合测试卷
高中数学第二章平面向量单元卷新人教A版必修4
第二章 平面向量单元质量评估卷本试卷分第一卷(选择题)与第二卷(非选择题)两个局部．总分值150分，考试时间120分钟． 第一卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求) 1．以下说法正确是( ) A ．单位向量都相等B ．假设a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，那么a 与c 是共线向量C ．|a ＋b |＝|a －b |，那么a·b ＝0D ．假设a 0与b 0是单位向量，那么a 0·b 0＝1 答案 C解析 单位向量仅仅长度相等，方向可能不同；当b ＝0时，a 与c 可以为任意向量；|a ＋b |＝|a －b |，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；D 项还要考虑夹角．2．如下图，在平行四边形ABCD 中，以下结论中错误是( ) A.AB→＝DC → B.AD→＋AB →＝AC →C.AB→－AD →＝BD → D.AD →＋CB →＝0答案 C解析 由AB→－AD →＝DB →＝－BD →，故C 错误．3．如下图方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，那么OP →＋OQ →＝( ) A.OH → B.OG →C.EO →D.FO→答案 D解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如下图，那么容易看出OP →＋OQ →＝FO→，应选D.4．向量a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，那么a 与b 夹角为( ) A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A5．设a ，b 是共线单位向量，那么|a ＋b |值是( ) A ．等于2 B ．等于0C ．大于2D ．等于0或等于2 答案 D6．向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，假设λ为实数，(a ＋λb )∥c ，那么λ＝( )A.14B.12C ．4D ．2答案 B7．设A(a ，1)，B(2，b)，C(4，5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，假设OA →与OB →在OC →方向上投影一样，那么a 与b 满足关系式是( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14答案 A8．平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，那么λ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2答案 A解析 由题意λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，a ＝(1，－3)，∵λa ＋b 与a 垂直，∴(λa ＋b )·a ＝λ＋4＋(－3)·(－3λ－2)＝10λ＋10＝0，∴λ＝－1.9．假设a ，b ，a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 夹角，那么( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．|a |＝|b | D ．以上都不对 答案 C10．假设a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，那么函数f(x)＝(x a ＋b )·(x b －a )是( ) A ．一次函数且是奇函数 B ．一次函数但不是奇函数 C ．二次函数且是偶函数 D ．二次函数但不是偶函数答案 A解析 由题设知f(x)＝x b 2－x a 2，因为|a |≠|b |，所以f(x)＝(b 2－a 2)x ，所以函数f(x)是一次函数且为奇函数．11．设非零向量a ，b ，c ，d 满足d ＝(a·b )c －(a·c )b ，那么a 与d ( )A ．相等B ．共线C ．方向一样D ．垂直答案 D12．BA →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c 且满足λ(a |a |＋b |b |)·c ＝0(λ>0)，那么△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不确定答案 A第二卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)13．平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，那么|2α＋β|值是________．答案 10解析 由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10.14．点A(2，3)，C(0，1)，且AB →＝－2BC →，那么点B 坐标为________． 答案 (－2，－1)解析 设点B 坐标为(x ，y)，那么AB →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－x ，1－y)．又AB →＝－2BC →，∴(x －2，y －3)＝－2(－x ，1－y)＝(2x ，2y －2)． ∴x ＝－2，y ＝－1.15．与a ＝(12，5)平行单位向量是________． 答案 (1213，513)或(－1213，－513)16．关于平面向量a ，b ，c ，有以下三个命题： ①假设a·b ＝a·c ，那么b ＝c ；②假设a ＝(1，k)，b ＝(－2，6)，a ∥b ，那么k ＝－3；③非零向量a 与b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，那么a 与a ＋b 夹角为60°.其中真命题序号为________．(写出所有真命题序号) 答案 ②解析 运用向量有关概念与运算判断，逐一进展验证，对于①向量不满足消去律，错；对于②两向量平行坐标表示正确；对③在加减法构成平行四边形中，由几何意义可得到所求角为π6，错；那么正确命题为②.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上投影为－1，求：(1)a 与b 夹角θ； (2)(a －2b )·b .解析 (1)由题意，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1.∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]，∴θ＝2π3为所求．(2)(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝－1－2＝－3.18．(12分)平面内三点A ，B ，C 在一条直线上，OA →＝(－2，m)，OB →＝(n ，1)，OC→＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m 、n 值．解析 AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m)，BC →＝OC →－OB →＝(5－n ，－2)．∵A 、B 、C 三点共线，∴AC→∥BC →.∴－14＋(m ＋1)(5－n)＝0. ①又OA→⊥OB →，∴－2n ＋m ＝0. ② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32.19．(12分)a ，b ，c 是同一平面内三个向量，其中a ＝(1，2)． (1)假设|b |＝25，且a ∥b ，求b 坐标．(2)假设|c |＝10，且2a ＋c 与4a －3c 垂直，求a 与c 夹角． 解析 (1)设b ＝(x ，y)，由|b |＝25，a ∥b得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝20，2x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.所以b ＝(2，4)或b ＝(－2，－4)．(2)由(2a ＋c )⊥(4a －3c )，(2a ＋c )·(4a －3c )＝8a 2－3c 2－2a ·c ＝0，又|a |＝5，|c |＝10，解得a ·c ＝5，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝22，〈a ，c 〉∈[0，π]，所以a 与c 夹角为π4.20．(12分)如图，在平面直角坐标系中，|OA →|＝2|AB →|＝2，∠OAB ＝2π3，BC →＝(－1，3)．(1)求点B ，C 坐标；(2)求证：四边形OABC 为等腰梯形．解析 (1)连接OB ，设B(x B ，y B )，那么x B ＝|OA →|＋|AB →|·cos(π－∠OAB)＝52，y B ＝|AB →|·sin(π－∠OAB)＝32，∴OC →＝OB →＋BC →＝(52，32)＋(－1，3)＝(32，332)，∴B(52，32)，C(32，332)．(2)∵OC →＝(32，332)，AB →＝(12，32)，∴OC→＝3AB →，∴OC →∥AB →.又易知OA 与BC 不平行，|OA →|＝|BC →|＝2，∴四边形OABC 为等腰梯形．21．(12分)设向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝(－12，32)，且a 与b 不共线．(1)求证：(a ＋b )⊥(a －b )；(2)假设向量3a ＋b 与a －3b 模相等，求角α.解析 (1)证明：由题意，得a ＋b ＝(cos α－12，sin α＋32)，a －b ＝(cos α＋12，sin α－32)，因为(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝1－1＝0.所以(a ＋b )⊥(a －b )．(2)解：因为向量3a ＋b 与a －3b 模相等，所以(3a ＋b )2＝(a －3b )2.所以|a |2－|b |2＋23a ·b ＝0. 因为|a |＝1，|b |＝〔－12〕2＋〔32〕2＝1.所以|a |2＝|b |2，所以a ·b ＝0，所以－12cos α＋32sin α＝0，所以tan α＝33，又因为0≤α<2π，所以α＝π6或α＝7π6.22．(12分)△ABC 中，A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，BC 边上高为AD.(1)求证：AB⊥AC； (2)求点D 与向量AD →坐标；(3)设∠ABC＝θ，求cos θ； (4)求证：AD 2＝BD·CD.解析 (1)AB→＝(－1，－2)－(2，4)＝(－3，－6)，AC→＝(4，3)－(2，4)＝(2，－1)． ∵AB →·AC →＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0， ∴AB ⊥AC.(2)设D 点坐标为(x ，y)，那么AD→＝(x －2，y －4)，BC →＝(5，5)．∵AD ⊥BC ，∴AD→·BC →＝5(x －2)＋5(y －4)＝0.①又BD→＝(x ＋1，y ＋2)，而BD →与BC →共线， ∵5(x ＋1)－5(y ＋2)＝0，② 联立①②解得x ＝72，y ＝52.故D 点坐标为(72，52)．∴AD →＝(72－2，52－4)＝(32，－32)． (3)cos θ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝3×5＋6×532＋62·52＋52＝31010.(4)∵AD →＝(32，－32)，BD →＝(92，92)，DC →＝(12，12)，∴|AD →|2＝92，|BD→|＝〔92〕2＋〔92〕2＝922， |DC→|＝〔12〕2＋〔12〕2＝22. ∴|AD→|2＝|BD →|·|DC →|，即AD 2＝BD·CD.1．a 、b 是不共线向量，AB→＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线应满足条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1答案 D解析 A ，B ，C 三点共线即存在实数k ，使得AB→＝kAC →，即λa ＋b ＝k(a ＋μb )，所以有λa ＝k a ，b ＝kμb ，即λ＝k ，1＝kμ，得λμ＝1.2．向量a ，b ，c 都不平行，且λ1a ＋λ2b ＋λ3c ＝0(λ1，λ2，λ3∈R )，那么( )A ．λ1，λ2，λ3一定全为0B ．λ1，λ2，λ3中至少有一个为0C ．λ1，λ2，λ3可以全不为0D ．λ1，λ2，λ3值只有一组 答案 C解析 在△ABC 中，设AB→＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，那么a ，b ，c 都不平行，且a ＋b ＋c ＝0，排除A ，B.且有2a ＋2b ＋2c ＝0，排除D ，所以选C.3．以下命题中，正确是( )A ．a ＝(－2，5)与b ＝(4，－10)方向一样B ．a ＝(4，10)与b ＝(－2，－5)方向相反C ．a ＝(－3，1)与b ＝(－2，－5)方向相反D ．a ＝(2，4)与b ＝(－3，1)夹角为锐角答案 B解析 在B 中，a ＝(4，10)＝－2(－2，－5)＝－2b ，∴a 与b 方向相反．4．向量a ＝(－1，1)，且a 与a ＋2b 方向一样，那么a ·b 取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)答案 B 解析 依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)，那么b ＝12(λ－1)a ， ∴a ·b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)×2＝λ－1>－1. 5．|a |＝3，|b |＝4，且满足(2a －b )·(a ＋2b )≥4，求a 与b 夹角θ范围．解析 ∵(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2＝2×32＋3a ·b －2×42＝3a ·b －14，由(2a －b )·(a ＋2b )≥4，∴3a ·b －14≥4，∴a ·b ≥6.∴cos<a ，b >＝a ·b |a |·|b |≥6|a |·|b |＝63×4＝12. ∴a 与b 夹角θ满足0≤θ≤π3. 6．(1)|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b 夹角θ.(2)设OA→＝(2，5)，OB →＝(3，1)，OC →＝(6，3)，在OC →上是否存在点M ，使MA→⊥MB →，假设存在，求出点M 坐标，假设不存在，请说明理由．解析 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12. 又0≤θ≤π，∴θ＝120°.(2)设存在点M ，使MA→⊥MB →.那么存在实数λ使OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，∴MA→＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)． 设(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0.∴45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115. ∴OM →＝(2，1)或OM →＝(225，115)， 即存在满足题意M(2，1)或M(225，115)． 7．平面上三个向量a 、b 、c 模均为1，它们相互之间夹角为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)假设|k a ＋b ＋c |>1(k∈R )，求k 取值范围．解析 (1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 之间夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos120°－|b ||c |cos120°＝0.∴(a －b )⊥c .(2)解：∵|k a ＋b ＋c |>1，∴|k a ＋b ＋c |2>1.∴(k a＋b＋c)·(k a＋b＋c)>1.∴k2a·a＋b·b＋c·c＋2k a·b＋2k a·c＋2b·c>1.∵a·b＝a·c＝b·c＝cos120°＝－12，∴k2－2k>0，∴k<0或k>2.。
高中数学 必修四 第二章 平面向量单元综合测试 新人教A版必修4
高中数学 第二章 平面向量单元综合测试第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( ) A.OH → B.OG → C.FO →D.EO →解析：利用平行四边形法则作出向量OP →＋OQ →，平移即可发现OP →＋OQ →＝FO →. 答案：C2．若向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝1 B ．|a |＝|b | C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b解析：a ·b ＝2，所以A 不正确；|a |＝2，|b |＝2，则|a |≠|b |，所以B 不正确；a －b ＝(1，－1)，(a －b )·b ＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a －b )⊥b ，所以C 正确；由于2×1－0×1＝2≠0，所以a ，b 不平行，所以D 不正确．故选C.答案：C3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0解析：由BC →＋BA →＝2BP →，可得P 是边AC 的中点，从而PC →＋PA →＝0. 答案：B4．已知O (0,0)，A (2,0)，B (3,1)，则(OB →－OA →)·OB →＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4解析：由已知得OA →＝(2,0)，OB →＝(3,1)，OB →－OA →＝(1,1)， 则(OB →－OA →)·OB →＝(1,1)·(3,1)＝3＋1＝4. 答案：A5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形解析：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形． 答案：C6．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.答案：B7．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：记a 与b 的夹角是θ，则a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝6cos θ－1＝2，cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.故选C.答案：C8．下列说法中，正确的个数为( ) (1)AB →＋MB →＋BC →＋OM →＋CO →＝AB →；(2)若a ·b <0，则a 与b 的夹角是钝角；(3)向量e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)能作为平面内所有向量的一组基底；(4)若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a |. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：AB →＋MB →＋BC →＋OM →＋CO →＝AB →＋BC →＋(CO →＋OM →＋MB →) ＝AB →＋BC →＋CB →＝AB →，(1)正确；当|a |＝|b |＝1且a 与b 反向时，a ·b ＝－1<0，但a 与b 的夹角为180°，因而(2)不正确；由于e 1＝4e 2，所以e 1∥e 2，所以向量e 1，e 2不能作为基底，(3)不正确；若a ∥b ，则a 与b 的夹角为0°或180°，所以a 在b 上的投影为|a |cos θ＝±|a |，(4)不正确．答案：A9．已知a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)解析：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，联立解得m ＝－79，n ＝－73.故c＝(－79，－73)．答案：D10．在△ABC 中，P 是边BC 的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形 解析：如图，由cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，知c (PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c )PA →＋(c －b )PC →＝0，而向量PA →与PC →不共线，∴a －c ＝c －b ＝0，故选A. 答案：A11．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析：由向量a ，b ，c 都是单位向量可得a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，可得(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ， 所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1， 故|a ＋b －c |≤1.所以|a ＋b －c |的最大值为1. 答案：B12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下列说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解析：根据题意可知若a ，b 共线，可得mq ＝np ，所以a ⊙b ＝mq －np ＝0，所以A 正确；因为a ⊙b ＝mq －np ，而b ⊙a ＝np －mq ，故二者不相等，所以B 错误；对于任意的λ∈R ，(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )＝λmq －λnp ，所以C 正确；(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2＋n 2p 2－2mnpq ＋m 2p 2＋n 2q 2＋2mnpq ＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，所以D 正确．故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与船前进方向的夹角为π6，人的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J.解析：功W ＝60×50×cos π6＝1 5003(J)．答案：1 500 314．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析：设a ＝(x ，y )，x <0，y <0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，则a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)15．(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析：BC →＝AC →－AB →，由于AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB 2→＋AC 2→＋(λ－1)AB →·AC →＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×(－12)＝0，解得λ＝712.答案：71216．如图(1)，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图(2)，则B (2，0)，E (2，1)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB →·AF →＝2可得2x ＝2，则x ＝1，所以F (1,2)，AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.答案： 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在边长为1的等边三角形ABC 中， 设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →.(1)用向量AB →，AC →作为基底表示向量BE →； (2)求AD →·BE →.解：(1)BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋23AC →.(2)AD →·BE →＝AD →·(－AB →＋23AC →)＝AD →·(－AB →)＋23AD →·AC →＝|AD →|·|AB →|cos150°＋23|AD →|·|AC →|cos30°＝32×1×(－32)＋23×32×1×32＝－14. 18．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|b |＝25，且a ∥b ，求b 的坐标．(2)若|c |＝10，且2a ＋c 与4a －3c 垂直，求a 与c 的夹角． 解：(1)设b ＝(x ，y )，由|b |＝25，a ∥b得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝202x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4所以b ＝(2,4)或b ＝(－2，－4)． (2)由已知(2a ＋c )⊥(4a －3c )，(2a ＋c )·(4a －3c )＝8a 2－3c 2－2a ·c ＝0， 又|a |＝5，|c |＝10，解得a ·c ＝5， 所以a ，c ＝a ·c |a ||c |＝22，a ，c ∈[0，π]，所以a 与c 的夹角为π4.19．(12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，F 使BF ＝13BC.(1)以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →. 解：(1)连接AF ，由已知得AM →＝AD →＋DM →＝12a ＋b .∵AF →＝AB →＋BF →＝a ＋13b ，∴HF →＝HA →＋AF →＝－12b ＋(a ＋13b )＝a －16b .(2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos120° ＝3×4×(－12)＝－6，从而AM →·HF →＝(12a ＋b )·(a －16b )＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113. 20．(12分)设a ，b 是两个不共线的非零向量．(1)若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上？(2)若|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小？ 解：(1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ，化简得(23m －1)a ＝(m3－t )b .因为a 与b 不共线， 故⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0m 3－t ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32t ＝12，即t ＝12时，a 、t b 、13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |·cos60° ＝(1＋t 2－t )|a |2，故当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.21．(12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.∵A ，E ，C 三点共线， ∴存在实数k ，使得AE →＝kEC →， 即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)， 得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x,5－y )，∵BC →＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－75－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．22．(12分)已知在等边△ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且AP →＝λAB →(0≤λ≤1)． (1)若等边三角形边长为6，且λ＝13，求|CP →|；(2)若CP →·AB →≥PA →·PB →，求实数λ的取值范围． 解：(1)当λ＝13时，AP →＝13AB →，CP 2→＝(CA →＋AP →)2＝CA 2→＋2CA →·AP →＋AP 2→，＝62＋2×6×2cos120°＋22＝28， 所以|CP →|＝27.(2)设等边三角形的边长为a ，则 CP →·AB →＝(CA →＋AP →)·AB →＝(CA →＋λAB →)·AB →＝－12a 2＋λa 2，PA →·PB →＝PA →·(AB →－AP →)＝－λAB →(AB →－λAB →) ＝－λa 2＋λ2a 2，所以－12a 2＋λa 2≥－λa 2＋λ2a 2，即λ2－2λ＋12≤0，解得2－22≤λ≤2＋22.又0≤λ≤1，λ∈[2－22，1]．。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．已知点G 是ABC 的重心，(),AG AB AC R λμλμ=+∈，若120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-则AG 的最小值是（ ）A ．3 B ．2 C ．12D ．232．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1B ．2C ．3D ．43．点M ，N ，P 在ABC 所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC 的（ ） A ．重心，外心，内心 B ．重心，外心，垂心 C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心4．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17115．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A 21B 2C 21D 22+6．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B ．6C ．5D ．27．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b 方向上的投影是255，则实数m =（ ） A ．2±B ．2C ．5±D ．58．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-9．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．2B ．8 km/hC ．34D ．10 km/h10．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．3⎡⎤⎣⎦B ．332⎣C ．3,3⎤⎦D ．[]0,311．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ） A ．6 B ．83C ．127D ．412．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =； ④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．已知向量(12,2)a t =-+，(2,44)b t =-+，(1,)c λ=（其中t ，)R λ∈．若(2)c a b ⊥+，则λ=__．14．不共线向量a ，b 满足||||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为________. 15．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC =，则AF ·BE =_____.16．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.17．在ABC 中，22AB =，26AC =，G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．18．已知,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角是120，||a b -=_________________. 19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）20．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____.三、解答题21．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =，()3,b k =-，()2,4c =-.（1）若()//(2)ma c a c +-，求m ； （2）若()a a b ⊥+，c a b λμ=+，求λμ+.22．（1）已知非零向量1e 、2e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值. （2）已知向量1a =，2b =，()()23a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的大小. 23．设()2,0a →=，()1,3b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值.24．如图，在ABC 中，1AB AC ==，120BAC ∠=.（Ⅰ）求AB BC 的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC →→→=+，其中,x y R ∈. 求xy 的最大值.25．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=，点E 是线段BC 的中点.(1)求AC AE ⋅的值；(2)若AF AE AD λ=+，且BD AF ⊥，求λ的值.26．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos sin sin 2b A C a B C b -=．（1）求B 的大小；（2）设1BA BC ⋅=-，D 为边AC 上的点，满足2AD DC =，求BD 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据重心得到()13AG AB AC =+，设0,0AB x AC y =>=>，利用数量积计算4xy =，再利用重要不等式求解()2219A AGB AC =+的最小值，即得结果. 【详解】点G 是ABC 的重心，设D 为BC 边上的中点，则()2133AG AD AB AC ==+， 因为120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-设0,0AB x AC y =>=>，则cos1202xy ︒=-，即4xy =，故()()()222211144249999AG x y x B ACy A =+-≥-=+=，即23AG ≥， 当且仅当2x y ==时等号成立，故AG 的最小值是23. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于通过重心求得向量关系()13AG AB AC =+，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.2．C解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.3．B解析：B 【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案． 【详解】 解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==，||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥， 同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．4．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222mOD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=. 故选D 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．6．C解析：C 【分析】以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴sin 3BAD ∠==， ∴梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠=．故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos 5a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 8．C解析：C 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.9．A解析：A 【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=． 把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴2262x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1y x v v θ==，∴cos 2θ=． 此时222721010v v v v v v v +=+⋅+==≤静水静静水水＝ ，满足条件，故选A. 10．D解析：D【分析】把DE 用,DA DB 表示，由三点共线把DF 用,DC DB 表示，然后计算数量积，利用函数的知识得取值范围．【详解】∵菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，2BD =，∴22cos602DA DB DB DC ⋅=⋅=⨯⨯︒=，22cos1202DA DC ⋅=⨯⨯︒=-， ∵E 是AB 边上的中点，∴1()2DE DA DB =+， 点F 是BC 边上，设BF xBC =（01x ≤≤），则()(1)DF DB BF DB xBC DB x DC DB xDC x DB =+=+=+-=+-，DE DF ⋅1()(1)2DA DB xDC x DB ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦21(1)(1)2xDA DC x DA DB xDB DC x DB ⎡⎤=⋅+-⋅+⋅+-⎢⎥⎣⎦ []122(1)24(1)3(1)2x x x x x =-+-++-=-， ∵01x ≤≤，∴03(1)3x ≤-≤． 故选：D.【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是对动点F 引入参数x ：BF xBC=（01x ≤≤），这样所求数量积就可表示为x 的函数，从而得到范围．本题考查了向量共线的条件，属于中档题．11．A解析：A【分析】 作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，由已知可得O 是'''A B C 的重心，由重心性质可得所求面积比．【详解】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△， 设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△，∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=， ∴''1''sin ''2141sin 2OAB OAB OA OB A OB S S OA OB AOB ⋅∠==⋅∠△△，即114x t =，同理16y t =，121z t =， 11161462121ABC S x y z t t t t =++=++=△， ∴6216121ABC OBC t S S t ==△△． 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．12．B解析：B【分析】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③.【详解】对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λab ，//bc ，则存在唯一的实数2λ，使得2λb c ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；由向量共线定理可知，④正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.二、填空题13．-1【分析】根据条件求出然后由得到再求出的值【详解】解：且故答案为：【点睛】本题考查向量坐标的加法数乘和数量积的运算向量垂直的充要条件考查计算能力属于基础题解析：-1【分析】根据条件求出2(4,4)a b t t +=，然后由(2)c a b ⊥+，得到·(2)0c a b +=，再求出λ的值．【详解】解：2(4,4)a b t t +=，(1,)c λ=，且(2)c a b ⊥+，∴·(2)440c a b t t λ+=+=，1λ∴=-．故答案为：1-．【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查计算能力，属于基础题．14．【解析】由垂直可知=0即又因为所以填（或） 解析：3π【解析】 由垂直可知()a a 2b -=0,即2||20a a b -⋅=,2||2a a b ⋅=,1cos ,2a b a b a b ⋅==⋅,又因为,[0,]a b π<>∈ ,所以,3a b π<>=.填π3（或60︒）. 15．【分析】通过建立直角坐标系利用向量的坐标运算转化求解即可【详解】以为坐标原点建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD 中AB ∥CDAB ⊥ADAB=AD=4CD=8若所以所以则故答案为：【点睛】本题考查 解析：11-【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算转化求解即可．【详解】以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC =所以(0,0)A ，(4,0)B ，(1,4)E ，(5,1)F ，所以(5,1)AF =，(3,4)BE =-，则15411AF BE ⋅=-+=-．故答案为：11-【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．16．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题 解析：9【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案.【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ，∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 .【点睛】 本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题. 17．6【分析】根据三角形重心的性质转化为以及再求数量积【详解】如图点是的中点为的重心所以故答案为：6【点睛】本题考查向量数量积重心重点考查转化与化归思想计算能力属于基础题型解析：6【分析】 根据三角形重心的性质转化为()13AG AB AC =+，以及BC AC AB =-，再求数量积. 【详解】如图，点D 是BC 的中点， G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-，所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：6【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型. 18．【分析】根据数量积公式得出的值再由得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了由数量积求模长属于中档题3【分析】根据数量积公式得出a b ⋅的值，再由2||()a b a b -=-得出答案.【详解】111cos1202a b ⋅=⨯⨯︒=-22222||()2||2||111a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=++=【点睛】本题主要考查了由数量积求模长，属于中档题.19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解 解析：①②④【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥．对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件．对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件，对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题． 20．【分析】设的重心为点可知与关于点对称利用重心的向量性质可求得实数的值【详解】设的重心为点则由于和的面积相等则与关于点对称则解得故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算涉及三角形重心向 解析：23【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值.【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题21．（1）2-；（2）225. 【分析】（1）可以求出(2,24)ma c m m +=-+，2(4,0)a c -=，根据()//(2)ma c a c +-即可得出m 的值；（2）可以求出(2,2)a b k +=-+，根据()a a b ⊥+即可求出k 的值，进而可得出(3λμ-，2)(2λμ-=-，4)，从而可得出λ，μ的值． 【详解】（1）(2,24)ma c m m +=-+，2(4,0)a c -=，()//(2)ma c a c +-，240m ∴+=，解得2m =-；（2）(2,2)a b k +=-+，且()a a b ⊥+，∴()22(2)0a a b k +=-++=，解得1k =-，∴(3,2)(2,4)c a b λμλμλμ=+=--=-，∴3224λμλμ-=-⎧⎨-=⎩，解得14585λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴225λμ+=． 【点睛】 本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘运算，向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．22．（1）1k =±；（2）3π. 【分析】（1）本题首先可以根据12ke e +和12e ke +共线得出()1212ke e e ke λ+=+，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据()()23a b a b +⊥-得出()()230a b a b +⋅-=，然后根据1a =以及2b =求出1cos 2θ=，最后根据[]0,θπ∈即可得出结果. 【详解】（1）因为12ke e +和12e ke +共线，非零向量1e 、2e 不共线，所以存在唯一实数λ使()1212ke e e ke λ+=+，即1212ke e e ke λλ+=+， 则1k kλλ=⎧⎨=⎩，即21k =，1k =±， 故当1k =±时，12ke e +和12e ke +共线.（2）因为()()23a b a b +⊥-， 所以()()22233520a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=， 令a 与b 夹角为θ， 因为1a =，2b =，所以2235231512cos 240a a b b θ+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=，解得1cos 2θ=， 因为[]0,θπ∈，所以a 与b 的夹角3πθ=. 【点睛】 本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量a 、b 共线，则存在唯一实数λ使λa b ，若非零向量a 、b 垂直，则0a b ⋅=，考查计算能力，是中档题.23．（1）12λ=；（2）1x =，1y =或1x =-，2y =. 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.【详解】（1）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2,a b λλ→→-=-，∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即240λ-=， ∴12λ=. （2）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2m x a y b x y →→→=+=+，又m →=，∴()222312x y y ++=，又cos 6m b m b π→→→→⋅===， 即23x y +=，由()22231223x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩， ∴1x =，1y =或1x =-，2y =.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题. 24．（Ⅰ）32-；（Ⅱ）1. 【分析】(I ）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算；(II ）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值.【详解】（Ⅰ）()AB BC AB AC AB →→→→→⋅=⋅-213122AB AC AB →→→=⋅-=--=-. （Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B ，13(,)22C -. 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈，由AP x AB y AC →→→=+，得13(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=+-. 所以3cos ,sin 22y x y θθ=-=. 所以3cos sin 3x θθ=+，33y θ=， 2232311sin cos sin 2cos 233333xy θθθθθ=+=+- 2311(2cos 2)3223θθ=-+ 21sin(2)363πθ=-+， 因为2[0,]3πθ∈，72[,]666πππθ-∈-. 所以，当262ππθ-=，即3πθ=时，xy 的最大值为1. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题．25．(1)18；(2)12λ=-. 【分析】(1)根据条件，可以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，从而可得出AC AE ，的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；(2)可以得出(023)，BD =，(32323)，AF =++λλ，然后根据BD AF ⊥，即可得出0BD AF ⋅=，进行向量数量积的坐标运算，即可求出λ的值. 【详解】(1)以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(4,23)C ，3)E ，(2,3)D ， 所以(423)，AC =，(33)，AE =， 所以4323318AC AE ⋅=⨯+⨯=； (2)(023)，BD =，(32323)，AF =+λλ， 因为BD AF ⊥， 所以2333)0BD AF ⋅==λ，解得12λ=-. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，选择恰当的点作为坐标原点建系及正确的写出各点坐标是关键，属于中档题.本题也可以AB ,AD 作为基底，利用基底法求解.26．（1）23B π=；（2）23. 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得1cos cos sin sin 2A C A C -=，利用两角差的余弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可求1cos 2B =-，结合范围由()0,B π∈，可得B 的值；（2）利用平面向量数量积的运算可求2ac =，由题意利用平面向量的运算可得2133BD BA BC =+，两边平方利用基本不等式可求BD 的最小值. 【详解】（1）由sin sin sin a b c A B C ==，得1sin cos cos sin sin sin sin 2B AC A B C B -=， 又∵在ABC ∆中，sin 0B ≠， ∴1cos cos sin sin 2A C A C -=，即1cos()2A C +=，而A B C π++= ∴1cos 2B =-， 故23B π=. （2）cos 1BA BC ac B ⋅=⋅=-，∴2ac =， ∴1121()3333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+， ∴222414999BD BA BC BA BC =++⋅22414444999999c a ac =+-≥-=， ∴23BD ≥，当且仅当2a c =时取到． 故BD 的最小值为23. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角差的余弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，平面向量的运算以及基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．。
高中数学 必修四 第二章 平面向量综合检测题 新人教A版必修4
高中数学 第二章 平面向量综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列等式成立的是( ) A ．MN →＝NM →B ．a ·0＝0C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )D ．|a ＋b |≤|a |＋|b |[答案] D2．如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ·b ＝1 C ．a ＝－b D ．|a |＝|b |[答案] D[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确．3．如右图，a －b 等于( ) A ．2e 1－4e 2 B ．－4e 1－2e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 2[答案] C[解析] a －b ＝e 1－3e 2.4．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( )A ．12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD →D ．12AB →－12AD [答案] D[解析] EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．6．已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1[答案] C[解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， ∵a 、b 、c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n ＝1.6．与向量a ＝(1,1)平行的所有单位向量为( ) A ．(22，22) B ．(－22，－22) C ．(±22，±22) D ．(22，22)或(－22，－22) [答案] D[解析] 与a 平行的单位向量为±a|a |.7．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A ．322B ．3152C ．－322D ．－3152[答案] A[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算． 由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15. |CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为 |AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A ．8．已知C 为△ABC 的一个内角，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)．若m ⊥n ，则∠C 等于( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] C[解析] ∵m ⊥n ，∴2cos 2C －3cos C －2＝0， ∴(2cos C ＋1)(cos C －2)＝0，∴cos C ＝－12，又C 为△ABC 的一个内角，∴C ＝2π3.9．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[答案] C[解析] 选择AB →，AD →为基向量．∵BM →＝3MC →，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34AD →，又DN →＝2NC →，∴NM →＝NC →＋CM →＝13AB →－14AD →，于是AM →·NM →＝(AB →＋34AD →)·(13AB →－14AD →)＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16|AB →|2－9|AD →|2)＝9，故选C ．10．(2012·全国高考浙江卷)设a 、b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 、b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λB ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a 、b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ；若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．11．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°[答案] C[解析] 由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°.12．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →2，则点O 一定为△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案] D[解析] ∵OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2， ∴OA →2－OB →2＝CA →2－BC →2，∴(OA →－OB →)·(OA →＋OB →)＝(CA →＋BC →)·(CA →－BC →)， ∴BA →·(OA →＋OB →)＝BA →·(CA →－BC →)， ∴BA →·(OA →＋OB →－CA →＋BC →)＝0， ∴BA →·(OA →＋AC →＋OC →)＝0， ∴BA →·OC →＝0， ∴BA →⊥OC →.同理可得：CA →⊥OB →，CB →⊥OA →. ∴O 为△ABC 的垂心．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________．[答案] A ，B ，D[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →.14．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________． [答案] －1[解析] (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0，∴k ＝－1.15．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为____________．[答案] 12[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， ∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝12.16．如图，正三角形ABC 边长为2，设BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →＝________.[答案] －2[解析] ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →，BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →，∴AD →·BE →＝(AB →＋12BC →)·(13AC →－AB →)＝13AB →·AC →＋16BC →·AC →－12BC →·AB →－AB →2＝13×2×2×12＋16×2×2×12＋12×2×2×12－22＝－2. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)． (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．[解析] (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向．a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2当x ＝12时，a 、b 同向．∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2.18．(本题满分12分)设e 1、e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m 、n 的值．[解析] 以O 为原点，e 1、e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ， 则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A 、B 、C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →， 所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.19．(本题满分12分)已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时．(1)求t 的值；(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·cos θ＝|b |2(t ＋|a ||b |cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)． ∴当t ＝－|a ||b |cos θ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ.(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·22－22·|a ||b |·|b |2＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立．20．(本题满分12分)已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c 、d 是否同向；(2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥D ． [解析] (1)c ∥d ，故c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )． 又a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向． (2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b ) ＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos60° 又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0.即(k －1)＋1－k2＝0.解得k ＝1.21．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝(22，－22)，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π2)．(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ，n＝m ·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12， 故sin(x －π4)＝12.又x ∈(0，π2)，∴x －π4∈(－π4，π4)，x －π4＝π6，即x ＝5π12，故x 的值为5π12.22．(本题满分12分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)．(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥B ．(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， 整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0. 又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k 、t ，使x ⊥y 成立， 其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．。
最新新人教A版高中数学必修四 《平面向量》综合测试题(含答案解析)
《平面向量》综合测试题班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地)1. 若A（2，-1），B（-1，3），则地坐标是( )A.（1，2）B.（-3，4）C. （3，-4）D. 以上都不对2.与a=（4，5）垂直地向量是( )A.（-5k，4k）B. (-10，2）C.(54,k k-) D.（5k ， -4k ） 3. △ABC 中，=a ， =b ，则等于( )A.a+bB.-(a+b )C.a-bD.b-a4.化简52(a －b )－31(2a +4b )+152(2a +13b)地结果是 ( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a +51b D. 51a －51b 5.已知|p |=22，|q |=3， p 与q 地夹角为4π，则以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边地平行四边形地一条对角线长为( )A.15B.15C. 16D.14 6.已知A (2，-2)，B (4，3)，向量p 地坐标为(2k -1，7)且p ∥，则k 地值为 ( ) A.109- B.109 C.1019- D.1019 7. 已知△ABC 地三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u v u u u v u u u v ，则点P 与△ABC地关系是 ( )A. P 在△ABC 地内部B. P 在△ABC 地外部C. P 是AB 边上地一个三等分点D. P 是AC 边上地一个三等分点8.已知△ABC 地三个顶点，A (1，5)，B (-2，4)，C (-6，-4)，M 是BC 边上一点，且△ABM 地面积是△ABC 面积地41，则线段AM 地长度是 ( )A.5B.C.259.设e 1，e 2是夹角为450地两个单位向量，且a =e 1+2e 2，b =2e 1+e 2，，则|a +b |地值( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+10.若|a |=1，|b(a -b )⊥a ，则a 与b地夹角为( )A.300B.450C.600D.75011.把一个函数地图象按向量a=(π，-2)平3移后，得到地图象对应地函数解析式为y=sin(x+π)-2，则原函数地解析式为6( )A.y=sin xB.y=cos xC.y=sin x+2D.y= -cos x12.在△ABC中，=c，BC u u u r= a，CA u u u r=b，则下列推导中错误地是( )A.若a·b<0，则△ABC为钝角三角形B. 若a ·b =0，则△ABC 为直角三角形C. 若a ·b =b ·c ，则△ABC 为等腰三角形D. 若c ·( a +b +c )=0，则△ABC 为等腰三角形二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中地横线上)13.在△ABC,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形地形状是 .14.一艘船从A 点出发以h km /32地速度向垂直于对岸地方向行驶，同时河水地流速为h km /2，则船实际航行地速度地大小和方向是 .15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ，现用a 、b 表示c ，则c= .16.给出下列命题:①若a 2+b 2=0，则a =b =0;②已知A ),,(11y x B ),(22y x ，则);2,2(212121y y x x ++=③已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a +b =0，则|a ·c |=|b ·c |④已知0,021>>λλ，e 1，e 2是一组基底，a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线，a 与e 2也不共线;⑤若a 与b 共线，则a ·b =|a |·|b |.其中正确命题地序号是 .三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，ABCD是一个梯形，//=， M 、N 分别是,地中点，已知=AB a ，=AD b ，试用a 、b 表示,DC BC u u u r u u u r 和.MN u u u u r 18.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果A BN M DC=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)⑴求证:A、B、D共线;⑵试确定实数k，使ke1+e2和e1+ke2共线.19.已知△ABC中，A(2，4)，B(-1，-2)，C(4，3)，BC边上地高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量地坐标.20.已知△ABC地三个顶点为A(1，2)，B(4，1)，C(3，4).⑴求AB边上地中线CM地长;⑵在AB上取一点P，使过P且平行与BC地直线PQ把ABC∆地面积分成4:5两部分，求P点地坐标.21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b 与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb地模取得最小值.22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f(1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ，2)， b =(2sin x ，21)， c =(cos2x ，1)，d =(1，2)。
高中数学(人教A版)必修4第2章 平面向量 测试题(含详解)
第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式： ①|a ＋b |＝|a |＋|b |； ②|a －b |＝±(|a |－|b |)； ③a 2>|a |2； ④|a ·b |＝|a |·|b |.其中正确的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析 对于①仅当a 与b 同向时成立．对于②左边|a －b |≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a 2＝|a |2，∴a 2>|a |2不成立．对于④当a ⊥b 时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案 A2．下列命题中，正确的是( ) A ．a ＝(－2,5)与b ＝(4，－10)方向相同 B ．a ＝(4,10)与b ＝(－2，－5)方向相反 C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反 D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角解析 在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反． 答案 B3．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( ) A ．－52B.52 C ．0D.532解析 易知△ABC 为正三角形，AC →·CB →＝5·5cos120°＝－52，应选A.答案 A4．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．0解析 ∵a ∥b ，∴(8＋12x )×2－x (x ＋1)＝0，即x 2＝16，又x >0，∴x ＝4.答案 B5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( )A.49B.43 C ．－43D ．－49解析 M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2.又∵AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23|AM →|＝23.∴AP →2＝|AP →|2＝49.答案 A6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析 8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c ＝(3，x )， ∴(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x . 又(8a －b )·c ＝30，∴18＋3x ＝30，x ＝4. 答案 C7．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)解析 依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)，则b ＝12(λ－1)a ，∴a ·b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)×2＝λ－1>－1.答案 B8．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( ) A.34 B.537 C.2537D.53737解析 ∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋16e 22＋24e 1·e 2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e 1＋4e 2|＝37.设3e 1＋4e 2与e 1的夹角为θ，则 cos θ＝537×1＝537. 答案 D9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析 如右图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE BE ＝DF BA ＝∴DF →＝13AB →.∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b .答案 B10．已知点B 为线段AC 的中点，且A 点坐标为(－3,1)，B 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，则C 点坐标为( )A ．(1，－3) B.⎝⎛⎭⎫－54，54 C ．(4,2)D ．(－2,4)解析 设C (x ，y )，则由AB →＝BC →，得⎝⎛⎭⎫12－(－3)，32－1＝⎝⎛⎭⎫x －12，y －32，∴⎩⎨⎧x －12＝72，y －32＝12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，∴C (4,2)． 答案 C11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标为( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析 设OP →＝(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)－2×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，此时P (3,0)．答案 C12．下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 的方向相同； ②若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |e ； ③a ·a ·a ＝|a |3；④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线；⑤若平面内有四点A ，B ，C ，D ，则必有AC →＋BD →＝BC →＋AD →. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 易知①②③④均错误，⑤正确，因为AC →＋BD →＝BC →＋AD →，∴AC →－AD →＝BC →－BD →，即DC →＝DC →，∴⑤正确．答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(3，3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________. 解析 由a ∥b ，得23cos θ＝6sin θ，∵cos θ≠0，∴tan θ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6. 答案 π6或76π14．假设|a |＝25，b ＝(－1,3)，若a ⊥b ，则a ＝________. 解析 设a ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝20.① 又a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－x ＋3y ＝0.②由①②解得x ＝32，y ＝2，或x ＝－32，y ＝－2， ∴a ＝(32，2)，或a ＝(－32，－2)． 答案 (32，2)或(－32，－2)15．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，那么a ·b ＝________.(其中i ，j 为夹角90°的单位向量)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3i ＋4j ，b ＝5i －12j .∴a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)． ∴a ·b ＝－3×5＋4×(－12)＝－63. 答案 －6316．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析 ∵等边△ABC 的边长为23，∴如下图建立直角坐标系．∴CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)． ∴CM →＝16CB →＋23CA →＝⎝⎛⎭⎫－32，－52.∴OM →＝OC →＋CM →＝(0,3)＋⎝⎛⎭⎫－32，－52＝⎝⎛⎭⎫－32，12. ∴MA →·MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12·⎝⎛⎭⎫332，－12＝－94＋14＝－2.答案 －2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b . (1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？解 (1)令c ·d ＝0，则(3a ＋5b )·(m a －3b )＝0， 即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ·b ＝0， 解得m ＝2914.故当m ＝2914时，c ⊥d .(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b )即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－λm ＝0，5＋3λ＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－53，m ＝－95.故当m ＝－95时，c 与d 共线．18．(12分)如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则 AD →·CE →＝(AC →＋CD →)·(CA →＋AE →) ＝AC →·CA →＋CD →·CA →＋AC →·AE →＋CD →·AE → ＝－a 2＋0＋a ·223a ·22＋a 2·223a ·22＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0，∴AD →⊥CE →，∴AD ⊥CE .19．(12分)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)， ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)， 即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0. ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴|AD →|＝(1－2)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．解 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )， ∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O ，M ，A 三点共线，∴OM →∥OA →. ∴x 4＝y －4. ∴⎩⎨⎧x (5－x )＋y (1－y )＝0，x 4＝y－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21．(12分)在四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，判断四边形的形状．解 ∵a ＋b ＋c ＋d ＝0， ∴(a ＋b )2＝(c ＋d )2，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2＋2c ·d ＋d 2. ∵a ·b ＝c ·d ， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2.① 同理a 2＋d 2＝b 2＋c 2.②①②两式相减，得b 2－d 2＝d 2－b 2， ①②两式相加，得a 2＝c 2， ∴|b |＝|d |，|a |＝|c |.∴四边形ABCD 是平行四边形． 又a ·b ＝b ·c ， ∴b ·(a －c )＝0. ∴b ·2a ＝0，即a ·b ＝0. ∴a ⊥b ，即AB ⊥BC .∴四边形ABCD 是矩形．22．(12分)已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB →⊥AD →；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．解 (1)证明：A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →. (2)∵AB →⊥AD →，若四边形ABCD 为矩形， 则AB →＝DC →.设C 点的坐标为(x ，y )，则有 (1,1)＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴点C 的坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，∴AC →·BD →＝(－2)×(－4)＋4×2＝16，|AC →|＝25，|BD →|＝2 5. 设对角线AC 与BD 的夹角为θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45>0.故矩形ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为45.。
2020-2021学年人教A版必修4第二章平面向量综合测试卷(A)含答案(共3套)
必修4 第二章 向量(一)一、选择题:1.下列各量中不是向量的是 （ ）A ．浮力B ．风速C ．位移D ．密度2．下列命题正确的是（ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 44．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等D ．与相等6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3 B ．－3 C ．0 D ．2 7. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为 ( ) A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 8. 已知a 3=，b 23=,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是( )A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒9.下列命题中，不正确的是( )A ．a =2aB ．λ(a ⋅b )=a ⋅(λb )C ．（a -b ）c =a ⋅c -b ⋅cD ．a 与b 共线⇔a ⋅b =a b10．下列命题正确的个数是( ) ①=+0 ②0=⋅0③=-④（a ⋅b ）c =a （b ⋅c ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知P 1（2，3），P 2（-1，4），且12P P 2PP =，点P 在线段P 1P 2的延长线上，则P 点的坐标为( )A ．（34，-35） B ．（-34，35） C ．（4，-5）D ．（-4，5） 12．已知a 3=，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于( )A ．34±B ．43±C ．53±D ．54±二、填空题13．已知点A(－1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 . 14．若3=OA 1e ，3=OB 2e ，且P 、Q 是AB 的两个三等分点，则=OP ，=OQ . 15．若向量a =（2，-x ）与b =（x, -8）共线且方向相反，则x= . 16．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则a = .三、解答题17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.18．设OA 、OB 不共线,P 点在AB 上.求证: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ．19．已知向量,,32,32212121e e e e e e 与其中+=-=不共线向量,9221e e -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线20．i、j是两个不共线的向量,已知AB=3i+2j，CB=i+λj, CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.必修4 第二章 向量(一)必修4第三章向量(一)参考答案 一、选择题1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6. A 7. D 8．C 9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题 13．3 14．12e 2e +122e e + 15．4- 16．4三、解答题17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=218．证明: ∵P 点在AB 上,∴AP 与AB 共线.∴AP =t AB (t ∈R )∴OP =OA +AP =OA +t AB =OA +t (OB -OA )=OA (1-t )+ OB令λ=1-t ,μ=t ∴λ+μ=1∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R19．解析：222,2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.20．解析: ∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线,因此存在实数μ,使得AB =μBD , 即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j ∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得:⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-312)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.第二章平面向量（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,2BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A.π6 B. π4 C. π3 D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C. 4．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或【答案】C 【解析】∵向量，且∴， ∴.选C.5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e 【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ） A. 4 B. 4- C. 2 D. 2- 【答案】A 【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABACλ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ）A. 2B. 23C. 7D. 4 【答案】C8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 【答案】D 【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D.10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A.322 B. 2 C. 322- D. 3152- 【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CD AB AB CD AB AB CD⋅=⋅== 故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =，2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833C. 4-D. 4 【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ） A. 3- B. 6- C. 2- D. 83- 【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-()222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦， ∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________． 【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=-. 14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a a b -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】60°（或3π） 【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点 O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______【答案】2133a b +【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF ＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________． 【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +） （1）求证： AB BC ⊥；【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-． （1）求a b +与a b -的夹角； （2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值． 【答案】（1）34π；（2）1-． 【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以2,64,22cos ,240204020a b a b -⋅-+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=； （2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解λ=-.得：119．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.【答案】(1) ;(2) 与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。
人教版高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题A卷
高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题A 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则向量AB →的模等于 ( ) A ．5 B.17 C ．3 2D.132．如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 ( ) A ．a ＝b B ．a ·b ＝1 C ．a ＝－bD ．|a |＝|b |3．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝ ( )A ．(－2，－1)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－1,0)4．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b )＝ ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于 ( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．126． a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16657．若AB →·BC →＋|AB →|2＝0，则△ABC 为 ( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 8．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝ ( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3 D ．－119．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积10．已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.56π 二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．13．若向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.14．设e 1、e 2分别是平面直角坐标系中Ox 、Oy 正方向上的单位向量，OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2.若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，则实数m ，n 的值为________．三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →的坐标．16.（本题满分12分）向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，求|a |2＋|b |2＋|c |2的值．17.（本题满分12分）已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c 、d 是否同向； (2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d .18.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．19.（本题满分14分）已知|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝a (a ＞0)，且两两向量的夹角相等，求|F 1＋F 2＋F 3|的值．20.（本题满分14分）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，求|PA →＋3PB →|的最小值．高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题A 卷参考答案一、 选择题 1. 【答案】 A 【解析】 |AB →|＝(7－4)2＋(－3－1)2＝5.2. 【答案】 D【解析】 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确． 3. 【答案】 B【解析】 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1) ＝(12－32，12＋32)＝(－1,2)．4. 【答案】D.【解析】∵a ⊥c ，∴a·c ＝0. 又∵a ∥b ，∴可设b ＝λa ，则c ·(a ＋2b )＝(1＋2λ)c·a ＝0. 5.【答案】B.【解析】∵|a |＝2， ∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，∴|a ＋2b |＝2 3. 6.【答案】C.【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16.又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.7. 【答案】A【解析】0＝AB →·BC →＋|AB →|2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.故选A. 8.【答案】C.【解析】∵b ＝(－3,4)，∴2b ＝2(－3,4)＝(－6,8)．又∵a ＝(1，－2)，∴a ＋2b ＝(1，－2)＋(－6,8)＝(－5,6)．又∵c ＝(3,2)，∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－15＋12＝－3. 9. 【答案】C.【解析】∵|b ·c |＝|b ||c ||cosθ|，如图， ∵a ⊥c ，∴|b cos θ|就是以a 、b 为邻边的平行四边形的高， 而|a |＝|c |，∴|b ·c |＝|a |(|b ||cos θ|)， ∴|b ·c |表示以a 、b 为邻边的平行四边形的面积，故选C.10.【答案】B.【解析】∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ， ∴(a －2b )·a ＝a·a －2a ·b ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，由上两式可知|a |＝|b |，a ·b ＝12|a |2.设a ，b 夹角为θ. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12|a |2|a |2＝12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.二、填空题 11.【答案】π3【解析】由(a ＋2b )·(a －b )＝－6得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴12－2×22＋1×2×cos 〈a ，b 〉＝－6， ∴cos 〈a ，b 〉＝12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.12.【答案】(0，－2)【解析】因为四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，设D (x ，y )，又∵AB →＝(8,8)，DC →＝(8－x,6－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－x ＝86－y ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－2，所以D 点的坐标为(0，－2)． 13.【答案】7【解析】∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝π3，∴|a |2＝1，|b |2＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1，∴|a＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2＋4＝7，∴|a ＋b |＝7.14. 【答案】m ＝10，n ＝5或m ＝－1，n ＝－12【解析】易知A (2，m )，B (n ，－1)，C (5，－1)，∴AB →＝(n －2，－1－m )，BC →＝(5－n,0)．∵A 、B 、C 三点共线，∴(n －2)×0－(－1－m )(5－n )＝0.又m ＝2n ，所以，n ＝5，m ＝10或n＝－12，m ＝－1.三、 解答题15. 解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝12－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. ∴C 、D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此CD →＝(－2，－4)．16. 解： 由(a －b )⊥c 知(a －b )·c ＝0. 又c ＝－(a ＋b )，∴(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝0.故|a |＝|b |＝1，又c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 17. 解：(1)c ∥d ，故c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )．又a 、b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向．(2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b )＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2 ＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos60°又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0. 即(k －1)＋1－k2＝0. 解得k ＝1.18. 解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则 AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，(AB →－tOC →)＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.19. 解：∵向量F 1，F 2，F 3两两向量的夹角相等，①当三个向量共线且同向时，两两向量的夹角均为0，于是有F 1＝F 2＝F 3，故|F 1＋F 2＋F 3|＝3|F 1|＝3a .②设三个向量两两的夹角为θ，则θ＋θ＋θ＝2π，∴θ＝2π3.又∵|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝a ＞0，∴F 21＝F 22＝F 23＝a 2，且三个向量均非零．∴F 1·F 2＝F 2·F 3＝F 1·F 3＝a 2cos 2π3＝－12a 2.∴|F 1＋F 2＋F 3|2＝F 21＋F 22＋F 23＋2(F 1·F 2＋F 1·F 3＋F 2·F 3)＝3a 2＋2×3×(－12a 2)＝0. ∴|F 1＋F 2＋F 3|＝0.综上所述，所求值为3a 或0.20. 解：法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.。
最新新人教A版高中数学必修四 第二章《平面向量》测试(1)(含答案解析)
第二章《平面向量》测试（1）（新人教A 版必修4） 一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线地交点，若e e 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C．)53(2112e e - D ．)35(2112e e-2．化简)]24()82(21[31--+地结果是 （ ） A ．-2B ．-2C ．-D ．-3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB = ②||||BC AB = ③||||+=-④||4||||22=+ 2其中正确地个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确地是（ ）A ．c b a =+B ．d b a =-C ．=-D ．=-5．已知向量与反向，下列等式中成立地是 （ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+D ．||||||+=+6．已知平行四边形三个顶点地坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点地坐标为（ ）A ．（1，5）或（5，－5）B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e②)5,3(1=e)10,6(2=e③)3,2(1-=e)43,21(2-=e其中能作为表示它们所在平面内所有向量地基底地是 （ ） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③8．与向量)5,12(=平行地单位向量为（ ） A ．)5,1312( B ．)135,1312(-- C ．)135,1312(或)135,1312(-- D ．)135,1312(±± 9．若32041||-=-，5||,4||==，则b a 与地数量积为（ ） A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b，则b 地坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行地向量是 （ ） A ．),(k k = B ．),(k k --=C ．)1,1(22++=k kD ．)1,1(22--=k k12．已知12||,10||==，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与地夹角为（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150° 二、填空题 13．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则ba ,地夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,-=+==且，则四边形ABCD 地形状是15．已知)2,3(=，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知为单位向量，||a =4，与地夹角为π32，则在方向上地投影为 . 三、解答题17．已知非零向量,满足||||-=+，求证: ⊥ 18．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 地值. 19、设21,e e 是两个不共线地向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 地值.20．已知2||=a 3||=b ，b a 与地夹角为60o，b a c 35+=，b k a d +=3，当当实数k 为何值时，⑴c ∥d ⑵d c ⊥21．如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形， 求证：①PA=EF ；②PA ⊥EF.22．如图，矩形ABCD 内接于半径为r 地圆O ，点P是圆周上任意一点， 求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.参考答案一．选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12答案A B C B C D A C A B C B二、填空题：13． 120°； 14． 矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题：17．证：()()22-=+⇒+=+⇒-=+Θ0222222=⇒+-=++⇒又,Θ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k AB AC BC Θ0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k RT C 为Θ 21330312±=⇒=-+-⇒k k k19．()212121432e e e e e e -=+--=-=Θ 若A ，B ，D 三点共线，则与共线，λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+ 由于21e e 可得： 221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k⑵若d c ⊥得1429-=k21.解以D 为原点为x 轴正方向建立直角坐标系 则A(0，1)， C:(1，0) B:(1，1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r --=∴ )0,22(:),22,1(r F r E 点为Θ )22,122(r r --=∴22)221()22(||r r -+-=∴ 22)22()221(||r r -+-=∴故EF PA =⊥⇒=⋅0而22.证:-=-=,Θ22222222||2||)(||||2||)(||+-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥AC BD 故为直径 222222||||||||||||+++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。
第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )
第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ）第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ） (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2013•三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A.a•b=1 B.a2=b2C.a∥b a=bD.a•b=0 3.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量 =(1，1)，n=(1，-1)，且n• =2，则n• 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上，且 = ，若 =λ，则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-mb)，则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013•牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11C.-D.11 7.(2013•兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= • + • + • ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013•西城高一检测)在矩形ABCD中，AB= ，BC=1，E是CD上一点，且• =1，则• 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= ( ) A. B. C. D.11.(2013•六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若 =a， =b，a•b=0，|a|=1，|b|=2，则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P，如果 + + = ，则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1， )，b=(-2，2 )，则a与b的夹角是. 15.(2013•江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013•武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a•a•a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a•b=b•c且b≠0，则a=c. 其中正确命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA= AB. 求证：AC⊥BC. 18.(12分)(2013•无锡高一检测)设 =(2，-1)， =(3，0)， =(m，3). (1)当m=8时，将用和表示. (2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件. 19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设=2 ， =3 . (1)用向量，作为基底表示向量 . (2)求• . 20.(12分)(2013•唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若|b|=2 ，且a∥b，求b的坐标. (2)若|c|= ，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ. 21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（，sinx），x∈(0，π). (1)若a∥b，求的值. (2)若a⊥b，求sinx-cosx的值. 22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1， |ka+b|= |a-kb|(k>0，k∈R). (1)求a•b 关于k的解析式f(k). (2)若a∥b，求实数k的值. (3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析 1.【解析】选D. - + - = + - = - =0. 2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选B.因为n• =n•( - ) =n• -n• ，又n• =(1，-1)•(1，1)=1-1=0，所以n• =n• =2.4.【解析】选C.由 = 知，| |∶| |=2∶3，且方向相反(如图所示)，所以 =- ，所以λ=- .5.【解析】选A.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2)，又因为(2a+b)∥(a-mb)，所以(-1)×2=4(1+3m)，解得m=- . 【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据 (1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线(平行). (2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b. (3)对于向量a，b，若|a•b|=|a|•|b|，则a与b共线. 向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性. 6.【解析】选C.a•c=[(a+b)-b]•c=(a+b)•c-b•c. 因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，所以a•c=(a+b)•c =(1，2)•(-3，-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是 = =- . 7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，所以c•a=(a+b)•a=a2+b•a=0，所以a•b=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ= = =- ，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°. 8.【解析】选C.因为= • + • + • ，所以2= • + • + • ，所以•( - - )= • ，所以•( - )= • ，所以• =0，所以⊥ ，所以△ABC是直角三角形. 【变式备选】在四边形ABCD中， =a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】选C.因为 = + + =-8a-2b=2 ，所以四边形ABCD为梯形. 9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. A(0，0)，B( ，0)，C( ，1)，设点E 坐标为(x，1)，则 =(x，1)， =( ，0)，所以• =(x，1)•( ，0)= x=1，x= ，所以• = •( ，1)= × +1×1=2. 10.【解析】选D.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)， a+b=(1，2)+(2，-3)= ，因为(c+a)∥b，c⊥(a+b)，所以即解得所以c= . 【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误. 11.【解析】选D.因为a•b=0，所以⊥ ，所以AB= = ，又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC，所以 = ，所以AD= = = ，所以 = = = (a-b)= a- b. 12.【解题指南】先对 + + = 进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系. 【解析】选A.因为 + + = = - ，所以2 + =0， =-2 =2 ，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示). 所以△PAB与△ABC的面积之比是 . 13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3) =(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|= =2 . 答案：2 14.【解析】设a与b的夹角为θ，a•b=(1，)•(-2，2 )=1×(-2)+ ×2 =4， |a|= =2，|b|= =4，所以cosθ= = = ，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°. 答案：60° 15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a| = ，而a•b=(e1+3e2)•2e1=2+6cos =5，|b|=2，所以所求射影为 . 答案： 16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③正确. = = = ；④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a•b=b•c. 答案：②③17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)， C(1，1)，D(0，1)，所以 =(-1，1)， =(1，1)，• =-1×1+1×1=0，所以AC⊥BC. 18.【解析】(1)当m=8时， =(8，3)，设 =x +y ，则 (8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以所以所以 =-3 + . (2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线， =(1，1)， =(m-2，4)，所以1×4-1×(m-2)≠0，所以m≠6. 19.【解析】(1) = + =- + . (2) • = •(- + ) = •(- )+ • =| |•| |cos150°+ | |•| |cos30° = ×1× + × ×1× =- . 20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为a∥b，所以y=2x；① 又因为|b|=2 ，所以x2+y2=20；② 由①②联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c)，(2a+c)•(4a-3c)=8a2-3c2-2a•c=0，又|a|= ，|c|= ，解得a•c=5，所以cosθ= = ，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ= . 21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用. 【解析】(1)因为a∥b，所以sinx= cosx⇒tanx= ，所以 = = =-2. (2)因为a⊥b，所以 +sinxcosx=0⇒sinxcosx=- ，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为x∈(0，π)且sinxcosx<0，所以x∈ ⇒sinx-cosx>0，所以sinx-cosx= . 22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f . (2)先根据k>0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值. (3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|ka+b|= |a-kb| 有|ka+b|2=( |a-kb|)2，k2a2+2ka•b+b2=3a2-6ka•b+3k2b2. 又因为|a|=|b|=1，得8ka•b=2k2+2，所以a•b= 即f(k)= (k>0). (2)因为a∥b，k>0，所以a•b= >0，则a与b同向. 因为|a|=|b|=1，所以a•b=1，即 =1，整理得k2-4k+1=0，所以k=2± ，所以当k=2± 时，a∥b. (3)设a，b的夹角为θ，则cosθ= =a•b = = = .当 = ，即k=1时，cosθ取最小值，又0≤θ≤π，所以θ= . 即向量a与b夹角的最大值为 .。
人教A版数学必修4第二章 平面向量测试卷
必修4第二章测试卷( 时间：120分钟 满分：150分 )一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.对于非零向量a、b ，下列命题正确的是（ ）A. 0 , 0=+=⋅b a b a 则若B. a b a b a方向上的投影为在则若 , //C. 2)( , b a b a b a ⋅=⋅⊥则若D. b a c b c a=⋅=⋅ , 则若2.已知平面内三点的值为则若k AC BA k C B A ,, ) , 7(, )3 , 1(, )2 , 2(⊥ （ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 93.已知, )sin , (cos , )sin , (cos ββαα==b a则下列结论中正确的是（ ）A.)//()( b a b a -+B.)() (b a b a -⊥+ C. b a // D. b a⊥ 4. 设单位向量21, e e的夹角为60°,则向量1e与向量21 4 3e e+的夹角的余弦值是（ ）A.43 B.377 C.375 D.3755. 在ABC ∆中, 6, 3, 5===则CA AB ⋅等于 ( ) A. -13 B. 13 C. 26 D. -266.已知正方形ABCD 的边长为1， , , , c AC b BC a AB===则 c b a ++等于（ ）A.22B.22+C.2 D. 07.设)2 , 1(A 、)5 , 3(B 将向量AB 按向量)1 , 1(--=a平移后得到B A ''为 （ ） A.（1，2） B.（2，3） C. （3，4） D.（4，7）8.已知D 、E 分别是ABC ∆的边BC , AC 的中点，设 , b BE a AD ==. 以a 、b 为基底，向量BC 可表示为 （ ） A.b a3232+ B.b a3232- C.b a3432+ D.b a3232+-9.直角坐标平面内)0 , (a A ) , 0(a B ，P 在线段AB 上且)10( ≤≤=t AB t AP ，则OPOA ⋅的最大值为 （ ）A.aB. a 2C. a 3D. 2a10.已知正六边形654321P P P P P P ,下列向量的数量积中最大的是 ( ) A. 3121P P P P ⋅ B. 4121P P P P ⋅ C. 5121P P P P ⋅ D. 6121P P P P ⋅ 11.已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC边的中点，且02=++OC OB OA ，那么 （ ） A. OD AO = B. OD AO 2= C.OD AO 3= D. OD AO 4= 12.若PB AP 31=,BPAB λ=, 则λ的值为： （ ） A. 34-B. 34 C.43 D.41二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知 )1 , 1(, )2 , 3(--B A ,若点 )21, (-x P 在线段AB 的中垂线上,则= x .14.设)31, (sin ),os , 43(αα==b c a ,且b a// ,则锐角α为 .15.若)8 ,6(-=a ，则与a平行的单位向量是 .16.若对n 个向量n a a a,,,21存在n 个不全为零的实数n k k k ,,,21 使得02211 =+++n n a k a k a k 成立, 则称向量n a a a,,,21为“线性相关”. 依此规定，能说明)2 , 2(, )1 , 1(, )0 , 1(321=-==a a a“线性相关”的实数 321,,k k k 依次可以取 （取出一组值即可，不必考虑所有情况）.二、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知 , b OB a OA==，对任意点M ,M 点关于A 点的对称点为S ,S 点关于B 点的对称点为N ，用 , b a表示向量MN .18.（12分）已知︒==60 , 3 , 2 2121的夹角为与e e e e .求：（1）k 为何值时, 21 e e k+和21 e k e +共线； （2）k 为何值时, 21 e e k +与21 e k e+垂直.19.（12分）一艘船以3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为3 km/h ，求船实际航行速度的大小和方向.20.(12分) 已知ABCRt中, )∆AB=AC=,求k的值.,1(,)3,2(k∆的三顶点为)4ABCBA,点M在线段AB上,C,6(,)8,4(,)0,0(-=,点P在线段AC上, APM∆的一半,求点P的坐标.∆的面积是ABC22.(12分) 已知)5,0(==OCOBOA, 点P是直线OC上的一-,)0,3(,)0,3(=个动点,且2-PA, 求OP的坐标及APB⋅PB=∠的余弦值.。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章《平面向量》测试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）. A.(0,0)=a ，(1,2)=-b B.(1,2)=-a ，(2,4)=-b C.(3,5)=a ，(6,10)=b D.(2,3)=-a ，(6,9)=b2.若ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE =( ). A.12+b a B.12-b a Ｃ. 12+a b Ｄ. 12-a b 3.若向量a 与b 不共线，0⋅≠a b ，且()()⋅⋅=-⋅a a bc a a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ）.A.π2B.π6C.π3D.04.设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量(1)3m =+-a i j ，(1)m =+-b i j ，()()+⊥-a b a b ，则实数m 为（ ）.A.2-B.2 Ｃ.21-Ｄ.不存在 5.已知向量a ，b 满足1=a ，4=b ，且2⋅=a b ，则a 与b 的夹角为（ ）. A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6.若平面向量b 与向量(2,1)=a 平行，且||25=b ，则=b ( ).A ．)2,4(B ．)2,4(--C ．)3,6(-D ．)2,4(或)2,4(--7.在四边形ABCD 中，2AB =+a b ，4BC =--a b ，53CD =--a b ，则四边形ABCD 是（ ）.A.长方形B.平行四边形 Ｃ.菱形 Ｄ.梯形 8.下列说法正确的个数为（ ）.①()()()λ⋅=λ⋅=⋅λa b a b a b ； ②⋅=⋅a b a b ； ③()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ； ④()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c ； A.1 B.2 C.3 D.49.在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC =a ，CA =b ，AB =c ，则⋅+⋅+⋅a b b c c a 等于（ ）. A.23 B.23- Ｃ.0 Ｄ.3 10.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为︒60，那么|3|+=a b （ ）. A.7 B.10 C.13 D.4 11.若非零向量a ，b 满足-=a b b ，则（ ）.A.22>-b a bB.22<-b a bC.22>-a a bD.22<-a a b12.如图，点M 是△ABC 的重心，则MC MB MA -+为（ ）. A.0B.4MEC.4MFD.4MD第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.) 13.已知(2,3)=a ，(4,7)=-b ，则a 在b 上的投影等于___________. 14.已知(1,2)=a ，(3,2)=-b ，若k +a b 与3-a b 平行，则=k . 15.已知三点(1,2),(2,1),(2,2)A B C -，,E F 为线段BC 的三等分点， 则AE AF ⋅＝ ．16.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：⨯a b 是一个向量，它的模||||||sin θ⨯=⋅a b a b .若(3,1)=--a ，(1,3)=b ，则||⨯=a b .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步BDEL MN骤.)17．（本小题满分10分）设向量OA )1,3(=，OB )2,1(-=，向量OB OC ⊥，BC ∥OA ，又OD +OA =OC ，求OD .18.（本小题满分12分）以原点O 和)2,4(A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，︒=∠90B ，求点B 的坐标和AB .19．（本小题满分12分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---． （1）若点,,A B C 能构成三角形，求,x y 满足的条件；（2）若△ABC 为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值．20.（本小题满分13分）已知)0,2(A ，)2,0(B ，)sin ,(cos ααC ，(0)α<<π.（1）若7||=+OC OA （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角； （2）若BC AC ⊥，求αtan 的值.21.（本小题满分13分）如图，B A O ,,三点不共线，且OA OC 2=，OB OD 3=，设OA =a ，OB =b .（1）试用,a b 表示向量OE ；（2）设线段CD OE AB ,,的中点分别为N M L ,,， 试证明N M L ,,三点共线.22.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)=-a ，又点)0,8(A ，),(t n B ，),sin (t k C θ，其中02θπ≤≤. （1）若AB ⊥a 且||5||AB OA =，求向量OB ；（2）若向量AC 与向量a 共线，当4>k 时，且sin t θ取最大值为4时，求OC OA ⋅.第二章《平面向量》测试题参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.D A ，B ，C 选项中的两个向量均共线，故选D.2.B 111222BE BC CE AD CD AD AB =+=+=-=-b a . 3.A ∵()[]0⋅⋅⋅=⋅-=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅⋅a a b a aa c a a a a ab a a a a a b a b， ∴⊥a c .4.A()()[(2)(4)][(2)](2)(4)(2)m m m m m m m m +⋅-=++-⋅-+=+--+a b a b i j i j084=+=m ， 故2-=m . 5.C 21cos 42θ⋅===a b a b ，故3θπ=. 6.D 设(2,)k k k ==b a ，而||25=b ，则2525k =，即2k =±，故(4,2)=b 或(4,2)--.7.D 822AD AB BC CD BC =++=--=a b ，且||||BC AD ≠. 8.A 易知①③正确，9.B 原式3||||cos120||||cos120||||cos1202=⋅︒+⋅︒+⋅︒=-a b b c c a . 10.C 2236916cos60913+=+⋅+=+︒+=a b a a b b .11.A |2||||||||||||2|=+=-+>--=-b b b a b b a b b a b . 12.C MF MF MF MC MB MA 4)2(2=--=-+.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.)y xOBAC13.565 1365||cos ||565θ⋅===a b a b . 14.31- (1,2)(3,2)k k +=+-a b ，3(1,2)3(3,2)(10,4)-=--=-a b ，由()//(3)k +-a b a b ，得14(3)10(22),3k k k --=+=-.15.3 )3,1(-=AB ，)3,0(=BC ，)2,1(31-=+=BC AB AE ，)1,1(32-=+=BC AB AF ， 3)1()2(11=-⨯-+⨯=⋅AF AE .16.2 3cos ||||2θ⋅==-⋅a b a b ，则21sin =θ，1||2222⨯=⨯⨯=a b . 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17．解：设OC ),(y x =，∵OB OC ⊥， ∴0=⋅OB OC ， ∴02=-x y ，① 又∵BC ∥OA ，BC )2,1(-+=y x ， ∴0)1()2(3=+--x y ， 即073=--x y ，②由①，②解得14=x ，7=y ，∴OC )7,14(=，则OD =OC -OA )6,11(=.18.解：如图，设),(y x B ，则OB ),(y x =，AB )2,4(--=y x ，∵︒=∠90B ， ∴OB ⊥AB ，∴0)2()4(=-+-y y x x ，即y x y x 2422+=+，①设OA 的中点为C ，则)1,2(C ，OC )1,2(=，CB )1,2(--=y x ，∵△ABO 为等腰直角三角形， ∴OC ⊥CB ， ∴01)2(2=-+-y x ， 即52=+y x ，②解①，②得⎩⎨⎧==3,1y x 或⎩⎨⎧-==,1,3y x∴)3,1(B 或)1,3(-B ，从而AB )1,3(-=或AB )3,1(--=. 19.解：（1）若点,,A B C 能构成三角形，则这三点不共线，(3,1),AB =(2,1),AC x y =-- ∴3(1)2y x -≠-，∴,x y 满足的条件为31y x -≠（2）(3,1),AB =(1,)BC x y =---，若B ∠为直角，则AB BC ⊥， ∴3(1)0x y ---=，又||||AB BC =，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．20.解：（1）∵)sin ,cos 2(αα+=+OC OA ，7||=+OC OA ，∴7sin )cos 2(22=++αα， ∴21cos =α． 又(0,)α∈π， ∴3απ=， 即3AOC π∠=，又2AOB π∠=， ∴OB 与OC 的夹角为6π．（2）)sin ,2(cos αα-=AC ，)2sin ,(cos -=ααBC ，由BC AC ⊥， ∴0=⋅BC AC ， 可得21sin cos =+αα，① ∴41)sin (cos 2=+αα， ∴43cos sin 2-=αα， ∵(0,)α∈π， ∴(,)2απ∈π，又由47cos sin 21)sin (cos 2=-=-αααα，ααsin cos -0<，∴ααsin cos -＝－27，② 由①，②得471cos -=α，471sin +=α，从而374tan +-=α． 21.解：（1）∵C E B ,,三点共线，∴OE x =OC )1(x -+OB x 2=a )1(x -+b ，① 同理，∵D E A ,,三点共线，可得OE y =a )1(3y -+b ，②比较①，②，得⎩⎨⎧-=-=)1(31,2y x y x解得=x 52， =y 54，∴OE =4355+a b . （2）∵2OL +=a b ，143210OM OE +==a b ,123()22ON OC OD +=+=a b,∴61210MN ON OM +=-=a b ,210ML OL OM +=-=a b,∵ML MN 6=， ∴N M L ,,三点共线.22.解:（1）),8(t n AB -=， ∵AB ⊥a ， ∴028=+-t n ，即t n 28=-，又∵||5||AB OA =， ∴22285)8(⨯=+-t n ，即22855⨯=t ， ∴8±=t ，∴)8,24(=OB 或)8,8(--=OB . （2）),8sin (t k AC -=θ，AC 与向量a 共线， ∴16sin 2+-=θk t ，kk k k t 32)4(sin 2sin )16sin 2(sin 2+--=+-=θθθθ， ∵4>k ， ∴140<<k ， ∴当k4sin =θ时，sin t θ取最大值为32k ，由324k=，得8k =，此时,(4,8)6OC θπ==，∴32)8,4()0,8(=⋅=⋅OC OA .。
高中数学 第二章 平面向量测试题(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)
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第二章平面向量测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的）++= ( ）1．如图1,正六边形ABCDEF中，BA CD EFA．0 B．BEC．AD D．CF2．下列说法正确的是（ )A.a与b共线，b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行3．已知平面内有一点P及一个△ABC，若错误!＋错误!＋错误!＝错误!，则 ( ) A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上4．已知|错误!|＝1，|错误!|＝错误!，错误!⊥错误!，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°,设错误!＝m错误!＋n错误!，则错误!＝( )A.错误!B．3 C．3错误! D。
错误!5．设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外，错误!2＝16,|错误!＋错误!｜＝｜错误!－错误!｜，则|错误!｜＝（)A．8 B．4 C．2 D．16．在□ABCD中，错误!＝a，错误!＝b,错误!＝4错误!，P为AD的中点,则错误!＝（）A.错误!a＋错误!b B。
错误!a＋错误!bC．－错误!a－错误!b D．－错误!a－错误!b7．已知O，A，B三点的坐标分别为O(0，0），A（3，0)，B（0，3),点P在线段AB上，且≤≤=则),10(的最大值为（ ) tAP⋅OAOPABtA．3 B．6 C．9 D．128．设点(2,0)B，若点P在直线AB上,且AB=2AP,则点P的坐标为（ ) A，(4,2)A ．(3,1)B ．(1,1)-C ．(3,1)或(1,1)-D ．无数多个9．如图2，O,A ，B 是平面上的三点，向量,,b OB a OA ==设P 为线段AB 的垂直平分线CP 上任意一点，向量2||,4||.===b a p OP 若,则)(b a p -⋅=( ）A ．1B ．3C ．5D ．610．在边长为2的正三角形ABC 中，设AB =c ， BC =a ， CA =b ,则a ·b +b ·c +c ·a 等于（ ）A ．0B ．1C ．3D ．－311．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则222PA PB PC+=（ )A ．2B ．4C ．5D ．1012．已知向量a ,e 满足a ≠e ,｜e |＝1，对任意t∈R ,恒有｜a －t e ｜≥｜a －e ｜，则 ( ）A ．a ⊥eB ．a ⊥（a －e )C ．e ⊥（a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e ） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知A,B ，C 是不共线的三点,向量m 与向量错误!是平行向量，与错误!是共线向量，则m ＝________。
人教A版必修四第二章：平面向量综合测试题(一)
人教A 版必修四第二章：平面向量综合测试题（一）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=-且c = （ ）A ．1322a b -+B ．1322a b -C ．3122a b -D ．3122a b -+ B 提示：设c ma nb =+，则(1,2)(1,1)(1,1)m n -=+-。
2．下列四式中不能化简为PQ 的是 （ ）A ．()AB PA BQ ++ B ．()()AB PC BA QC ++-C ．QC QP CQ -+D ．PA AB BQ +-D 提示：PA AB BQ PB BQ +-=-，不能化简为PQ 。
3.若三点A(2，3)，B(3，a)，C(4，b)共线，则有( )(A)a=3,b=-5 (B)a-b+1=0 (C)2a-b=3 (D)a-2b=0C 提示：AB =(1,a-3),AC =(2,b-3),AB AC ⇒b-3=2a-6,即2a-b=3.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，则AB ·AC 等于( )(A)-16 (B)-8 (C)8 (D)16D 提示：设向量AB ,AC 的夹角为θ，则AB AC =|AB |·|AC |cos θ= (|AB |cos θ)|AC |=|AC |2=16. 5．已知1(1,),(2,4),,2m a n a p m n =-==+且3p =，则实数a = （ ） A ．1或2- B ．1-或2 C ．1或1- D ．2或2- A 提示：根据向量的坐标运算可知选A 。
6.已知平面向量a =(3,1),b =(x,-3),且a ⊥b ,则x=( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3C 提示：∵ a ⊥b ,∴3x+1×(-3)=0,得x=1.7.设12,e e 是两个不共线向量，若向量a =1223-e e 与向量b =123+λe e 共线，则λ的值为( )(A)23 (B)-2 (C)92- (D)23- C 提示：∵向量a 与b 共线，∴存在实数x,使a =x b ,即21e -32e =x(31e +λ2e )=3x 1e +λx 2e , ∴23x,3x,=⎧⎨-=λ⎩得2x ,39.2⎧=⎪⎪⎨⎪λ=-⎪⎩8．已知向量(,),(4,3)a m n b ==共线，但不同向，若1a =，则a = （ ） A ．43(,)55 B ．43(,)55-- C ．43(,)55或43(,)55-- D ．43(,)55-或43(,)55- B 提示：设(0)a b λλ=<，则(,)(4,3)m n λλ=，又1a =，22(4)(3)1λλ∴+=。
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第二章平面向量综合测试卷(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1.在五边形ABCDE 中(如图)，AB →＋BC →－DC →＝( )A.AC →B ．AD → C.BD →D ．BE →解析：选B ∵AB →＋BC →－DC →＝AC →＋CD →＝AD →.2．(全国大纲卷)已知向量m ＝(λ＋1,1), n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：选B m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.3．若|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B ．π4C.π3D ．π2解析：选B 由于(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝|a |2＝2， 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝222＝22，即a 与b 的夹角是π4.4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB →＝a ，AC →＝b ，则下列向量中与AD →同向的是( )A.a ＋b |a ＋b |B ．a |a |＋b |b |C.a －b |a －b | D ．a |a |－a |b |解析：选A AD →＝12AB →＋12AC →＝12(a ＋b )，而a ＋b |a ＋b |是与a ＋b 同方向的单位向量．5．已知边长为1的正三角形ABC 中，BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D ∵AB →＋BC →＋CA →＝0， ∴(AB →＋BC →＋CA →)2＝0.∴|AB →|2＋|BC →|2＋|CA →|2＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →)＝0. ∴1＋1＋1＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →)＝0. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－32.6．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB →＝13OA →＋23OC →，则|AB →|∶|BC →|＝( )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶2D ．2∶1 解析：选D AB →＝OB →－OA →＝⎝⎛⎭⎫13OA →＋23OC →－OA →＝23(OC →－OA →)，BC →＝OC →－OB →＝OC →－⎝⎛⎭⎫13OA→＋23OC →＝13(OC →－OA →)，∴|AB →|∶|BC →|＝2∶1.7．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心D ．重心解析：选C ∵P A →·PB →＝PB →·PC →， ∴PB →·(P A →－PC →)＝0， ∴PB →·CA →＝0，∴PB →⊥CA →. 同理PC →⊥AB →，P A →⊥BC →，∴P 是△ABC 的垂心．8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D ．22解析：选C ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，展开(a －c )·(b －c )＝0⇒|c |2＝c ·(a ＋b )＝|c |·|a ＋b |cos θ[θ为c 与(a ＋b )的夹角]，∴|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ，则|c |的最大值是 2.9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2 C.3D ．4解析：选B 由已知得BC ＝2，∠BCD ＝135°， 所以MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD → ＝22×22×cos 180°＋22×1×cos 135°＋2×22×cos 45°＋2×1×cos 0°＝2. 10.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是( )A.92 B ．9 C.－92D ．－9解析：选C ∵P A →＋PB →＝2PO →， ∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →. ∵PO →与PC →方向相反，设|PO →|＝x ，∴2PO →·PC →＝－2x (3－x )＝2x 2－6x ＝2x －322－92(0<x <3)，当x ＝32时，有最小值－92.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的值为______．解析：若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝6＋k ＝0，k ＝－6；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝0,2＋k －1＝0，k ＝－1； 若∠C ＝90°，则AC →·CB →＝AC →·(AB →－AC →)＝0，k 2－k ＋3＝0，无解． 综上，k 可能取－6，－1两个数． 答案：－6或－112．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.解析：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则由A (0,0)，B (2,0)，E (2，3)，D (1，3)，可得AE →·BD →＝1. 答案：113.如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域(不含边界)内运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是______．当x ＝－12时，y 的取值范围是________．解析：∵OM ∥AB ，∴OP →＝nOB →＋mAB →(m >0，n >0)． 又∵AB →＝OB →－OA →，∴OP →＝nOB →＋m (OB →－OA →)＝－mOA →＋(m ＋n )OB →. ∵OP →＝xOA →＋yOB →，∴x ＝－m <0，即x ∈(－∞，0)，y ＝m ＋n .由图形可知，0<n <1，∴当x ＝－12，即m ＝12时，12<m ＋n <32，即y ∈⎝⎛⎭⎫12，32. 答案：(－∞，0) ⎝⎛⎭⎫12，3214．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1)，P 2(－1,3)，且向量OP 3→与向量a ＝(1,1)垂直，则向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数为________．解析：设OP 3→＝(x ，y )，则由OP 3→⊥a 知x ＋y ＝0， 于是OP 3→＝(x ，－x )， 设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，则(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，于是4λ－1＋3－2λ＝0，λ＝－1. 答案：－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝4＋16＝2 5.综上所述，|a －b |为2或2 5.16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →. 解：(1)∵M 为DC 的中点， ∴DM →＝12DC →，又DC →＝AB →，∴AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，∵H 为AD 的中点，BF ＝13BC ，BC →＝AD →∴AH →＝12AD →，BF →＝13AD →，∴HF →＝HA →＋AB →＋BF → ＝－12AD →＋AB →＋13AD →＝AB →－16AD →＝a －16b .(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6， AM →·HF →＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a －16b ＝12a 2＋⎝⎛⎭⎫1－112a ·b －16b 2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113. 17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则A B →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC →＝(－2，－1)， AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0， 得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 即(3＋2t )×(－2)＋(5＋t )×(－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.18．(本小题满分14分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)， 得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x,5－y )， ∵BC →＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．。