1.3.2等比数列导学案

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等比数列(优秀导学案)

§6.3 等比数列考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( × ) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D ．±12答案 D解析设等比数列的公比为q ，∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12， ∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14， ∴q ＝±12. 2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列，且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．答案 1,3,9或9,3,1解析设这三个数为a q ，a ，aq ，则⎩⎨⎧ a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3， ∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1 答案 B解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1.所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n . 方法二设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2.将q ＝2代入①，解得a 3＝4.所以a 1＝a 3q 2＝1，下同方法一． (2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案 1213解析设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________.答案 54或24解析由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于() A ．－2或32 B ．－2或64C ．2或－32D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2，解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64，当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.①求{a n }的通项公式；②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1. 教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列．(2)解由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1. 思维升华等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q ＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12. (2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2 019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023等于( )A.2 0243B ．1 011 C.2 0232D ．1 012答案 C解析由题意得a 5a 2 019＝3，根据等比数列性质知，a 1a 2 023＝a 2a 2 022＝…＝a 1 011a 1 013＝a 1 012a 1 012＝3，于是a 1 012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023＝log 3(a 1a 2a 3…a 2 023) 11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50答案 B解析数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60.教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，又由已知得S 6＝3S 3，∴S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案 2解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20答案 C解析易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0.因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16，∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 8＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 7＋⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 6＋⎝⎛⎭⎫1a 4＋1a 5 ＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5)＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( )A.643 B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8，所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1，所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( )A ．2B ．4 C.92 D ．6答案 B解析根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为() A.13 B ．－13 C.19 D ．－19答案 B解析由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13. 4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里答案 C解析由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24. 5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列答案 AD解析对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列；对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( )A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2 答案 ABD解析由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)，又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2. 当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1，又S 1＝a 1＝1，适合上式，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n 3n －1＝3，所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3.∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________. 答案 3 81解析由{a n }是等比数列，得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，故a 7＝3，a 4＝a 7q 3＝81. 9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *.(1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．(1)解 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1) ＝n 2＋(a 1－1)n ，又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，所以q ＝3，所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13，所以T n ＝13(1－3n )1－3＝3n －16，所以T n ＋16＝3n 6，又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列． 10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10.(1)证明由S n ＋1＝4a n ＋1，得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1 ＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列．(2)解由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，所以c n ＝|2n －100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n ，n ≤6，2n －100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400＝200－2(1－26)1－2＋27＋28＋29＋210 ＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3D ．S 20＝23(410－1) 答案 ABD解析因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1，所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；若a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3，则a 2＝23＋(－1)23＝3，但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2(1－410)1－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7 答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误；又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2 015＝T 2 021，则log 3a 2 019log 3a 2 021＝________. 答案 15解析由题意得，T 2 015＝T 2 021＝T 2 015·a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021，所以a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021＝1，根据等比数列的性质，可得a 2 016a 2 021＝a 2 017a 2 020＝a 2 018a 2 019＝1，设等比数列的公比为q ，所以a 2 016a 2 021＝(a 2 021)2q 5＝1⇒a 2 021＝52,q a 2 018a 2 019＝(a 2 019)2q ＝1⇒a 2 019＝12,q 所以log 3a 2 019log 3a 2 021＝123523log 1.5log q q= 14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案 132解析由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( )A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0答案 AD解析对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。

《等比数列的概念》导学案

《等比数列的概念》导学案一、学习目标1、理解等比数列的定义，能够根据定义判断一个数列是否为等比数列。

2、掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决相关问题。

3、了解等比数列的性质，能灵活运用性质简化运算。

二、学习重难点1、重点（1）等比数列的定义和通项公式。

（2）等比数列性质的应用。

2、难点（1）等比数列通项公式的推导。

（2）灵活运用等比数列的定义、通项公式和性质解决问题。

三、知识回顾1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。

2、数列的通项公式：如果数列\（＼｛a_n\｝＼）的第\（n\）项\（a_n\）与\（n\）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式。

四、新课导入观察以下几个数列：（1）＼（1\），＼（2\），＼（4\），＼（8\），＼（16\），＼（＼cdots\）（2）＼（5\），＼（25\），＼（125\），＼（625\），＼（＼cdots\）（3）＼（＼frac{1}｛2}＼），＼（＼frac{1}｛4}＼），＼（＼frac{1}｛8}＼），＼（＼frac{1}｛16}＼），＼（＼cdots\）思考：这些数列有什么共同特点？五、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母\（q\）表示（＼（q\neq 0\））。

数学表达式：＼（＼frac{a_{n+1}｝｛a_n} ＝ q\）（＼（n\in N^＼），＼（q\）为常数）例如，在数列（1）中，＼（＼frac{2}｛1} ＝ 2\），＼（＼frac{4}｛2} ＝ 2\），＼（＼frac{8}｛4} ＝ 2\），＼（＼cdots\），公比\（q ＝ 2\）。

六、等比数列的通项公式若等比数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项为\（a_1\），公比为\（q\），则其通项公式为：＼（a_n ＝ a_1q^｛n-1}＼）推导过程：＼＼begin{align}a_2 ＆＝ a_1q\＼a_3 ＆＝ a_2q ＝ a_1q^2\＼a_4 ＆＝ a_3q ＝ a_1q^3\＼＆＼cdots\＼a_n ＆＝ a_{n-1}q ＝ a_1q^｛n-1}＼end{align}＼七、等比数列通项公式的应用例 1：在等比数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 2\），＼（q ＝3\），求\（a_5\）。

等比数列前n项和导学案

等比数列前n项和导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§３.２等比数列前n 项和导学案【学习要求】1．掌握等比数列前n 项公式；（重点）2．等比数列前n 项公式的推导方法；（难点）2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．（拓展）【知识要点】1．等比数列前n 项和公式：（1）公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ＝ q ≠1 q ＝1.（2）注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝ .3．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A ．1－x n1－x B ．1－x n －11－x C ．⎩⎨⎧ 1－x n 1－x ，x ≠1n ，x ＝1 D ．⎩⎨⎧1－x n －11－x ，x ≠1n ，x ＝1 【问题探究】国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩．高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢数学家开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．”“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求．国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋．假定一千粒麦的质量为40 g ，那么，数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢(将超过7 000亿吨)这实际上是求数列1,2,4，…，263的和．据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，显然国王无法满足数学家的要求．这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题，那么等比数列的求和公式是怎样的呢怎样的等比数列才能应用这个公式呢这一节我们就来学习等比数列的求和公式．探究点一等比数列前n 项和公式的推导探究1 阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，由等比数列的通项公式可将S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1. ①则qS n ＝ ② .由①－②得：(1－q )S n ＝ .当q ≠1时，S n ＝ .当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝ .综上所述，S n ＝⎩⎨⎧ ，q ＝1 ， q ≠1当q ≠1时，因为a n ＝a 1q n －1.所以S n 可以用a 1，q ，a n 表示为S n ＝⎩⎨⎧ na 1，q ＝1，q ≠1探究2 下面提供了两种推导等比数列前n 项和公式的方法．请你补充完整．方法一由等比数列的定义知：a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . 当q ≠1时，由等比性质得：a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即＝q . 故S n ＝＝a 11－q n1－q .当q ＝1时，易知S n ＝ .方法二由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 得：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q · ＝a 1＋q ·从而得(1－q )·S n ＝ .当q ≠1时，S n ＝；当q ＝1时，S n ＝na 1.探究点二错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{n 2n }前n 项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，∴12S n ＝，∴S n －12S n ＝，即12S n ＝＝ .∴S n ＝＝ .【典型例题】例1 在等比数列{a n }中，a 1＋a ３＝10，a 4 + a 6＝５４，求a 4和S 5.例2 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .小结涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错．跟踪训练1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．小结一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n b n}的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·a n－1的前n项和【当堂检测】1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则S n等于()A．(1)12nnB．1(1)12nC．(1)12n D．(1)12n2．等比数列{a n}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是()A．179 B．211 C．243D．2753．在等比数列{a n}中，已知a3＝32，S3＝92，则a1＝______.4．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n＝_____________【课堂小结】1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，a n，n，q，S n，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列且公比为q，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．。

北师大版必修5高中数学1.3等比数列导学案(二)

高中数学 1.3等比数列导学案北师大版必修5【学习目标】个性笔记1.在等差数列的基础上，通过类比的方法复述等比数列的定义；2．利用上述的定义、公式能判断一个数列是否为等比数列，并能确定其公比；3.记住等比数列的通项公式，能类比等差数列通项公式的推导方法推导等比数列的通项公式。

【学习重点】等比数列的定义和通项公式。

【学法指导】通过类比等差数列的知识研究等比数列的定义和通项公式。

【使用说明】．．．．．．1．请同学们认真阅读课本21-----23页内容，规范完成导学案上的内容，用红笔做好疑难标记。

2．该学案分为AB三个层次，其中A,B每个同学都必须完成；C为拓展延伸，供学有余力的同学选作。

3．在课堂上联系课本知识和已学过的知识，小组合作、讨论完成导学案上的内容；组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。

【学习过程】一、基础学习1. 自主阅读课本第21页至23页内容，思考：（1）等比数列的定义是什么？焦点词语有哪些？（用红笔画出来）（2）类比等差数列的定义，请你用数学符号表示出等比数列的定义。

（3）定义的作用是什么？2．自主阅读课本第22页至23页内容，思考：（1）等比数列的通项公式是？怎样推导？除了课本的方法，你还有没有其他的方法进行推导？（请类比等差数列推导方法，即等差数列用“累加法”，想一想，等比数列用什么方法？请你动手推导，将你所用到的方法写在下面的空白处。

）（2）它的作用是什么？(B)【探究二】（1）已知等比数列的第2项与第3项分别是10与20，求这个数列的第1项与第4项。

（2）已知{a n }为等比数列，且a 5＝8，a 7＝2，该数列的各项都为正数，求a n .. （思路点拨：结合知识点2完成）【探究三】(C)+11{}3a 2 4.(1){}12n n n n a a a a ==-已知数列满足，且求证：是等比数列。

（2）-13是否是这个数列中的项？如果是，是第几项？(请参照结合课本24也例3，写出详细规范的解答过程，相信你一定能做到。

新人教版高中数学《等比数列》导学案

《等比数列》导学案【学习目标】1. 明确等比数列的定义并学会用定义判断一个数列是否为等比数列2. 掌握等比数列的通项公式及推导方法并能在解题中应用3. 学会与等差数列类比并掌握等比数列的相关性质【重难点】重点：理解等比数列的概念及通项公式的含义难点：等比数列的有关性质及应用【学习过程】一．预习新知 1.等比数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的都等于常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用表示2.等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使，那么G 叫做a 与b 的等比中项3.等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项公式n a = 4.等比数列的性质（1）m n m n q a a -=（n m <）（2）若m+n=p+q(m 、n 、p 、q *N ∈)时，（3）若{}n a 是等比数列，当{}n k )(*N k n ∈是等差数列时，{}n k a 是________数列。

（4）若{}n a 是等比数列且1-≠q 时，则,321k a a a a ++++ ,221k k k a a a +++++,32212k k k a a a +++++是等比数列（5）若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}{}{}2,),0(nn n a a m ma ≠，{}n n b a ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是等比数列（6）若{}n a 是等比数列，公比q ，当q=1时，{}n a 是常数列；当0<q 时，{}n a 是摆动数列；当时，且或且01q 0,0111<<<>>a a q {}n a 是递数列；当时，且或且01q 0,0111><<<>a a q {}n a 是递数列。

二．探究新知（一）等比数列的判定证明例1.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n a S ，求证{}n a 是等比数列，并求出通项公式变式训练：已知数列{}n a 满足53lg +=n a n ，求证{}n a 是等比数列（二）等比数列的通项公式例2．在等比数列{}n a 中，（1）n a a a 求,8,274==；（2）n a a a a a 求,9,186352=+=+变式训练：在等比数列{}n a 中，（1）n a q a 求,31,949-==（2）n a a a a 求,320,2423=+=（三）等比中项例3.已知等比数列的前三项和为168，7552,,42a a a a 求=-的等比中项（四）等比数列的性质例4. 在等比数列{}n a 中，已知n ,21,18,367463求==+=+n a a a a a例5. 在等比数列{}n a 中，各项均为正值，且848453106,5,41a a a a a a a a +==+求变式训练：在等比数列{}n a 中，107483q ,512,124a a a a a 为整数，求且公比-==+（五）等差，等比数列综合问题例6.设各项均为正数的数列{}n a ，{}n b 满足15,5,5+n n n a b a 成等比数列，11lg ,lg ,lg ++n n n b a b 成等差数列，且n n b a a b a ,,3,2,1211求===变式训练：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。

等比数列的性质导学案.doc

《等比数列的性质》导学案学习目标：1 •理解并掌握等比数列的性质及其初步应用。

2•引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。

学习重点：等比数列性质的应用学习难点：等比数列性质的应用学习过程：一课前自主学习 1.旧知复习等差数列等比数列定义符合语言通项公式2」日知练习(1.)在等差数列｛an ｝中，a2=2,a5=54,求 a8= ________ .(2.)在等差数列｛an ｝中，若 a3+a4+a5+a6+a7=450,贝0 a2+a8 的值为 ___________ . (3.)在等差数列｛an ｝中，al5 =10, a45=90,则a60 = __________ .(4.)在等差数列｛an ｝中，al+a2=30, a3+a4=120,则 a5+a6= _________ 二类比探究学习｛an ｝是公差为d 的等差数列｛bn ｝是公比为q 的等比数列性质］:an=am+(n-m)d猜想1:性质2 ：若an-k,an,an+k 是｛an ｝中的三项, 贝0 2an=an-k+an+k猜想2：若an-k,an,an+k 是｛an ｝的三项，贝!JO性质 3 : 若 n+m=p+q 贝［J am+an=ap+aq 猜想3：若n+m=p+q 则。

性质4：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)猜想4：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为。

性质5:若｛cn｝是公差为d'的等差数列，则数列｛an+cn｝是公差为d+d'的等差数列。

猜想5:若｛dn｝是公比为q'的等比数列，则数列｛bn・dn［是公比为的等比数列.@｛lgan2-汝尼％匕匕教列,◎・｛杠"6“ ｝足岑匕匕数列M|｝足咎比数:列.性质4：在等比数列｛an ｝中,% Q" 仍成等比数三尝试练习1. ________________________________________________________ 在等比数列｛an ｝中，已知a2 = 5, a4 = 10,则公比q 的值为 ________________________________ 。

等比数列前n项和导学案

等比数列前n项和导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)JINGBIAN§3.2等比数列前n 项和导学案【学习要求】1 .掌握等比数列前〃项公式；（重点）2 .等比数列前〃项公式的推导方法；（难点）3 .会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题.（拓展）【知识要点】 1 .等比数列前"项和公式：（1）公式：Sn = 5 一个， .、一 Q —1（2）注意：应用该公式时，一定不要忽略q=l 的情况.2 .若｛%｝是等比数列，且公比行1,则前〃项和£ = T-（l — qn ）=A （qn —l ）.其中 A =.3 .等比数列1, x, x2, x3,…的前。

项和Sn 为（）【问题探究】国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和 32个雕刻成六种立体形状，分涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法.国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩.高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢数学家开口说道：“请您在棋盘上的笫一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4 粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求.国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算！ ”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋.假定一千粒麦的质量为40 g,那么，数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢（将超过7 000亿吨）这实际上是求数列12%…，263的和.据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，显然国王无法满足数学家的要求.这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题，那么等比数列的求和公式是怎样的呢怎样的等比数列才能应用这个公式呢这一节我们就来学习等比数列的求和公式.A. 1—X 0 1—X探究点一等比数列前。

等比数列学案导学案课件

导学案
【三维目标】 ●知识与技能： 1、等比数列的定义； 2、等比数列的通项公式 ●过程与方法：
1、明确等比数列的定义；
2、掌握等比数列的通项公式，会解决知道n a ，1a ，q ，n 中的三个，求另一个的问题 ●情感态度与价值观：【学习重点】
1.等比数列概念的理解与掌握；
2.等比数列的通项公式的推导及应用【学习难点】等比数列＂等比＂的理解、把握和应用【教学资源】多媒体教师导学过程(导案) 学生学习活动(学案) 【导学过程1:】课前准备
（预习教材P 48 ~ P 51，找出疑惑之处）复习1：等差数列的定义？
复习2：等差数列的通项公式n a ，等差数列的性质有：
【学生学习活动1:】
【导学过程2:】学习探究观察：
①1，2，4，8，16， (1)
12，14，1
8，116
，… ③1，20，220，320，420，… ④......1098.1,1098.1,0198.13
2
【学生学习活动2:】
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数
【归纳小结】：
1. 等比数列定义；
2. 等比数列的通项公式和任意两项n a与m a的关系。

1.3.2 等比数列(2)

1．3．2 等比数列（2）【教学目标】:（1）进一步熟练掌握等比数列的通项公式；（2）培养学生的应用意识。

【教学重点】等比数列定义及通项公式的应用，以及性质的应用。

【教学难点】等比数列“等比”特点的理解、把握和应用.【教学过程】☆复习回顾:等比数列定义：)2(1≥=-n q a a n n 等比数列通项公式：11-=n n q a a （叠乘）公式：m n n n q a a -⋅= ☆学生活动：思考：等比数列}{n a 中，观察各项，有没有类似等差数列相关的性质？ ☆建构数学：1、等比数列的证明：回归为“定义证明”2、性质：①若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅②若q p m +=2，则q p m a a a ⋅=23、用方程的思想去解决“等差、等比混合”问题。

☆数学运用：例1：（1）若}{}{n n b a ⋅是等比数列，求证：}{n n b a ⋅也是等比数列.（2）n n a -⨯=1102，求证：}{n a 是等比数列，并求公比.例2：等比数列}{n a 中，（1）若10053=⋅a a ，则=4a __________________.（2）若2,274321==⋅⋅a a a a ，则n a =___________________.（3）若252,0645342=⋅+⋅+>a a a a a a a n ，则=+53a a ________.（4）若125,5654321==a a a a a a q ，则63a a ⋅=___________________. 例3：（1）各项均为正数的等比数列}{n a 中，653,,a a a 成等差数列，求6453a a a a ++的值.（2）等差数列}{n a 中，若103=a ，且1073,,a a a 又成等比数列，求公差d.例4．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

高中数学《等比数列》导学案

第二章数列2.4等比数列一、学习目标1.理解等比数列的定义，会用定义判断等比数列2.掌握等比数列的通项公式并能应用3.掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题4.能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题【重点、难点】重点：等比数列的概念以及通项公式难点：等比数列通项公式以及等比中项的认识和应用，等比数列的性质二、学习过程【导入新课】1．等比数列的定义定义：从第项起，每一项与它的的比等于，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示。

2.等比数列的通项公式a n =_______ 。

3.等比中项若______成等比数列,称G 为a,b 的等比中项且4. 等比数列项的运算性质数列{a n }是等比数列，若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *) 则a n a m =____【典型例题】例1.(1)等比数列1,5,25,125，…的通项公式为_______.(2)等比数列 …的公比为________. (3)在等比数列{a n }中，已知a n =4n －3，则a 1=________，q=________.(4)3与6的等比中项为________.例2.在等比数列{a n }中，(1)若a 4＝27，q ＝－3，求a 7.(2)若a 2＝18，a 4＝8，求a 1和q.(3)若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3.例3.等比数列的性质(1)等比数列{a n }中，a 4=3,a 6=12,a 2·a 8=______.(2)等比数列{a n }中，a 5a 7a 9=27，则a 7=_______.【变式拓展】 1.已知{a n }是等比数列，a 2=2,a 5=14，则公比q=( ) A.-12 B.-2 C.2 D.122.在等比数列{a n }中，已知a 1=1，a 4=8，则a 6=( )A.16B.16或-16C.32D.32或-323.若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( ) A. 3B. 4C. 5D. 6111,,,10100 1 000－－－三、总结反思1.推导等比数列通项公式的常见方法(1)迭代法：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由等比数列的定义得，a n =a n －1q=a n －2q 2=a n －3q 3=…=a 2q n －2=a 1q n －1.(2)归纳法：a 2=a 1q ，a 3=a 2q=a 1q 2，a 4=a 3q=a 1q 3，…，a n =a n －1q=a 1q n －1.(3)累乘法：=q ·q ·q ·…·q ，即故a n =a 1q n －1 2.理解等比数列通项公式应注意的三点(1)由等比数列的首项和公比可以写出其通项公式.(2)根据等比数列的通项公式，已知四个量a 1,n,q,a n 中的三个，就可以求出第四个.(3)由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列的项.四、随堂检测1.已知a 是1，2的等差中项,b 是－1，－16的等比中项，则ab=( )A.6B.-6C.±6D.±122.1的等比中项是( )A.±2B.2C.-2D.43.在等比数列{a n }中，若a n =2n ，则a 7与a 9的等比中项为（）A.a 8B.-a 8C.±a 8D.前3个选项都不对4.设a 1=2，数列{a n +1}是以3为公比的等比数列，则a 4=__________.5.已知数列{a n }的通项公式a n =2n －6(n ∈N *).(1)求a 2，a 5.(2)若a 2 ，a 5分别是等比数列{b n }的第1项和第2项，求数列{b n }的通项公式b n .6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n a 13-(n ∈N *). (1)求a 1,a 2.(2)求证：数列{a n }是等比数列.324n 123n 1a a a a a a a a ⋯－n 1n 1a q a =－，。

等比数列(一)导学案

课题：等比数列（一）导学案课型：新授课连山高级中学高二数学备课组一、【学习目标】1．通过实例，理解等比数列的概念并会应用．2．掌握等比中项的概念并会应用．3．探索并掌握等比数列的通项公式．二、【重点难点】重点： 1.等比数列概念及等比中项的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用．难点：等比数列通项公式的推导及应用。

三、【学法指导】1．要善于通过实例的观察、分析、归纳，提炼等比数列的概念．2．学习等比数列时，要注意与等差数列进行类比，掌握两个数列的联系与区别．四、学习过程学案A ：课前预习案—知己知彼百战不殆【设疑导学】——问题是数学的心脏。

问题1：（1）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……一个这样的细胞分裂n次，得到一个怎样的数列？（2）《庄子》：一尺之锤，日取其半，万世不竭。

若把一尺之锤看成单位“1”，那么日取其半得到一个怎样的数列？通过这两个数列，你观察到他们具有什么共同特征？问题2：你能通过对公比q的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？（提示：按q的正负、q与1的大小比较、q能否为0讨论。

）问题3：类比等差中项，等比中项的取值有何特点？【类比探究】问题4：如果等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，你能用归纳的方法给出数列{a n}的通项公式吗？思考：除了利用归纳法，你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗？【典型例题】例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项例2、在等比数列{a n }中，（1）已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6；（2）已知a 3＝20，a 6＝160，求a n.例3、三个数成等比，这三个数的和是13，这三个数的积是27，求这三个数。

【当堂达标】 1.下面有四个结论：（1）由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；（2）常数列b,b,…b 一定为等比数列；（3）等比数列{ a n }中，若公比q=1，则此数列各项相等；（4）等比数列中，各项与公比都不能为零。

【高中数学】【学案导学设计】学年高中数学 1.3.2 等比数列的前n项和(一)课

3.2 等比数列的前n 项和(一)课时目标 1.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法.2.会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1)(q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n－1)．其中A＝____________.3．推导等比数列前n 项和的方法叫________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．一、选择题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－11 2．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．333．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.1724．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.1725．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．26．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510二、填空题7．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 9．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．10．如果数列{a n}的前n项和S n＝2a n－1，则此数列的通项公式a n＝________.三、解答题11．在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a3a n－2＝128，S n＝126，求n和q.12．求和：S n＝x＋2x2＋3x3＋…＋nx n (x≠0)．能力提升13．已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为S n，S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝S n(S2n＋S3n)．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n·log2a n，求数列{b n}的前n项和T n.1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．3．2 等比数列的前n 项和(一)答案知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q na 1 2.a 1q －13.错位相减作业设计1．D [由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.]2．D [由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5＝1＋25＝33.]3．C [方法一由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q ，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152.]4．B [∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.]5．C [当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k )＝3n －3n －1＝2·3n －1.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2，∴k ＝－1.] 6．D [由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.]7．－13解析显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n－1)，又S n ＝13·3n＋t ，∴t ＝－13.8．3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 9．10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q1－q，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.10．2n －1解析当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1， ∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N ＋.11．解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，①或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.②将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q ，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q，可得q ＝2，由a n ＝a 1qn －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.12．解分x ＝1和x ≠1两种情况．(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x. 综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).13．证明设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，则S n ＝a 11－q(1－q n)，S 2n ＝a 11－q(1－q 2n)，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n)，∴S 2n ＋S 22n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )．又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．14．解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N ＋.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2.② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

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