第1章_效用理论与保险2007

E[u ( w − Y )] 的大小来决定
为比较X 为比较 和Y，效用函数与其线性变换是等价 ， 即无论选择哪个效用函数会得出相同的决策。 的，即无论选择哪个效用函数会得出相同的决策。
当且仅当
u (x)
与
是等价的。 au ( x ) + b 是等价的。
效用函数的确定
效用函数是存在的。但很难给出一个明 确的解析式。 可以向决策都提出大量的问题，通过他 对这些问题的回答来决定该决策都的效 用函数。 如“为了避免以概率q损失1个单位货币， 你愿意支付多少保费这P？”
１.３效用函数族
例1.3.1（指数保费） 假设一保险人使用参 （指数保费） 数为 α 的指数效用函数，对于风险X ，最小 的指数效用函数，对于风险 保费 P 应为多少？ 应为多少？
−
U ( x) = −αe−α x 代入均衡方程（1.11）得 把
mx (α ) = E eα x 是X 其中
2
w ∈ [0.5]
例1.3.3（不可保的风险） 某决策者使用风 险厌恶系数为 α > 0的指数效用函数，他想 对分布为 Γ ( n,1)的风险进行投保，其中 Γ ( n,1) 表示参数为a, b的伽玛分布．确定 P + 并证 明 P + > n ，何时 P + = ∞此时说明了什么？
因为log (1 + x ) < x, ∀x > −1, x ≠ 0 , 我们有 log (1− α ) < −α . P + > E [ X ] = n 所以，计算出的保费大于纯保 因而 费．如果 α ≥ 1 ，则 P + = ∞ ，这表明决策者愿 意支付任何有限的保费．按照效用理论，如果 风险厌恶系数为 α ≥ 1 .那么承保该风险的保险 人对于任何有限的保费P，都会遭受损失，因 P − = ∞．对于这些保险人来说，这种风险是 为 不可保的．
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） （偏好风险与厌恶风险） 临两种选择： 临两种选择： A． 以概率 1/2 损失 b 元， ． B． 仅支付固定的 b/2 元． ． 他的决策是这样的： 他的决策是这样的： 当 b = 1 时，他选择 A； ； 当 b =4 时，他选择 B； ； 两种选择等价． 当 b =2 时，两种选择等价．
F 在离散情形， X ( x ) 为阶梯函数，其在x 处的 F 跳为 f X ( x) ；在连续情形，X ( x )有导函数 f X ( x) 两种情形下的停止损失保费都可由下式给出
为 什 么 ？
定理1.4.l （停止损失再保险的最优性）用I ( X ) 停止损失再保险的最优性） 定理 记当损失为 X ( X ≥0) 时，某再保险合同约定的理 赔支付．假设 0 ≤ I ( x ) ≤ x 对于任意 x ≥ 0成立 则 成立,则 赔支付．
( ⋅ ) ，他以保费 P 获得对损失
如果上面的不等号成立，那么他会提高期望效用． 如果 P 代表被保险人愿意支付的最大保费， 它是以 下效用均衡方程的解
+
如果 u ( ⋅) 是一个非减的连续函数，则有 P ≤ P + 。
保险人方面： 保险人方面：
设保险人的效用函数为 U ( ⋅ ) ，资本为 W． 如果 损失 X 。
取 Y = exp ( γ X )则 v (Y ) = exp (α X ) 且
对任意 γ > α 有
例 1.3.2 （ 平 方 效 用 函 数 ） 假 设 被 保 险 人 的 效 用 函 数 为
u( x) = 10w − w2 , w < 5 ， 对损失额为 1， ， 以概率 1 / 2 发生的风险
选择 w=0．假设 u ( 0 ) = 0 和 u ( −1) = −1 ．
他选择A； 当b = 1 时，他选择 ； u (− 1 ) < 1 [u (0) + u (−1)]
2 2
1 他选择B； 当b =4 时，他选择 ； u ( −2) > [u (0) + u ( −4)] 2
当b =2 时，两者等价． 两者等价．
≥ W
(X )− d
停止损失保费不仅使自留风险的方差达 到最小，而且还使被保险人的期望效用 达到最大。
例1.4.2 （比例再保险的最优性） 假设保险人 收取保费 (1 + θ ) E [ X ] ,正寻求最有利的再保险 I ( X) 满足 0 ≤ I ( X ) ≤ X ，且自留风险的方差给定如下：
2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益 因此， 就可以获得
1 2n = ∞ ．然而，除非 然而， 是∑ 2 n =1
∞ n
很小， P 很小，否则很少有人会
参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望 参加这样的游戏， 收益． 收益．
在经济学中，由冯· 诺伊曼（ Neumann） 在经济学中，由冯· 诺伊曼（ von Neumann）和 摩根斯特恩（Morgenstern） 摩根斯特恩（Morgenstern）于 1947 年引入的模型描 述了决策者怎样在不确定的结果中做出选择． 述了决策者怎样在不确定的结果中做出选择． 一个评估财富 w 的效用函数 u ( ⋅) ， 决策基于期望 决策基于期望 E u ( w − X ) 如 果 有 二 个 损失 X ， Y ， 比 较 E u ( w − X ) 与
§第1章
效用理论与保险
1.1引言
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9% 的机会什么也得不到。 B：100%的机会得到10元。 选择A？或B？Fra bibliotek喜好风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9% 的机会不损失。 B：100%的机会夫去10元。 选择A？或B？
的矩母函数．
假设损失X 分布， 假设损失 服从 E x p ( β )分布，其中 E x p ( β 表示参数为 β 的指数分布．令 β ＝0.01 ，则 的指数分布． EX=100． ． 如果被保险人的效用函数是参数为 α = 0.005 的指数效用函数， 的指数效用函数，
)
138.6>100
厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9% 的机会不损失。 B：100%的机会夫去20元。 选择A？或B？
1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为B 发生概率0.01 假设一个个体面临损失额为 ，发生概率 的风险，他可以将损失进行投保， 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份 保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？ 之间有何种关系？ 保单支付保费 ， 之间有何种关系
证明
因为
E V ( X ) = E W ( X )
，所以只需证明
上式成立的一个充分条件是 V ( X ) − d 以概率1 成立． 以概率 成立． 显然成立； 当 X ≥ d 时， W ( X ) ≡ d ．显然成立； 当 X < d 时, 我们有W ( X ) ≡ X ，有
定理1.2.3 ( Jensen 不等式） 如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则
其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集 支撑集上是线性的或 支撑集 Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效 用函数，有
被保险人方面： 被保险人方面：
现在，假设一个厌恶风险型的被保险人拥有财富 w，使用效用函数是 u X 的保险保障．如果
假设一个拥有资
衡量其财富的价值． 本 w 的个体使用效用函数 u ( ⋅) 衡量其财富的价值．他面
这个人喜欢一定程度的冒险，但他又害怕大的损失。 这个人喜欢一定程度的冒险，但他又害怕大的损失。 ） （这样的人会购买火灾保单，同时愿意参与抽奖的活动． 这样的人会购买火灾保单，同时愿意参与抽奖的活动． 对于这样的决策，效用函数 u ( ⋅ ) 应该具有怎样的形式？ 对于这样的决策， 应该具有怎样的形式？
这既不是凸函数也不是凹函数。 这既不是凸函数也不是凹函数。
有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。 有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。 被保险人是风险厌恶者。 被保险人是风险厌恶者。 风险厌恶者的效用函数的特点： 风险厌恶者的效用函数的特点：
． 1． 边际效用递减 u ' ( x) ≥ 0 ； ． 2． 凹函数 u ' ' ( x) ≤ 0 。
−
是一个非减的连续函数， 如果 U (x) 是一个非减的连续函数，则有 P ≥ P 。
−
P+ ≥ P− ， 那么交易会同时增加保险人与被保险 如果
人双方的期望效用。 人双方的期望效用。
买卖成功！ 买卖成功！
实际风险是中性的，即对于任意的风险X，有 期望保费EX就够了。 由大数定律可知：
X1 + X 2 +L X n → EX n
在后面式子的两边同时取期望， 在后面式子的两边同时取期望，得到
P+
因此，风险 因此，风险X 的最大保费 P
+
近似为
于是风险X 于是风险 的最大保费 P 近似为
+
替换时， 注意到 u ( x ) 用 au ( x ) + b 替换时，r ( w) 并没有改 变．从（1.18) ，我们可以看到风险厌恶系数真正 反映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，准 反映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高， 备支付的保费也越大． 备支付的保费也越大．
因此被保险人愿意在纯保费 E [ X ] 之上 附加相当数量的额外保费． 附加相当数量的额外保费．
由例1.2.4中近似式(1.18)得
显然，近似表达式(1.22)随α 递增，如果X 是 (1.22) X 方差有限的非负随机变量，则(1.20)所决定的 保费也是递增的，具体证明如下。令
由Jensen 不等式知