【名师导学】高考数学文(北师大版)大一轮总复习练习：高考大题规范练4(含答案解析)

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北师大版高考数学(文)大一轮复习---第一章 1.3--(附答案)

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲考情考向分析1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2.理解全称量词和存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.1．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．2．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.4．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q綈p綈q p或q p且q 真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p或q：p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真．(2)p且q：p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p或q是真命题．(√)(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(×)(5)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．3．命题“正方形都是矩形”的否定是______________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p 且q 为假”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析由綈p 为真知，p 为假，可得p 且q 为假；反之，若p 且q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p 且q 为假”的充分不必要条件，故选A.5．下列命题中，为真命题的是( ) A ．任意x ∈R ，－x 2－1<0 B ．存在x ∈R ，x 2＋x ＝－1 C ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2<0 答案 A6．若“任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数，∴y max＝tan π4＝1.依题意知，m≥y max，即m≥1.∴m的最小值为1.题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为()A．p且q B．p或qC．p且(綈q) D．綈q答案B解析函数y＝log2(x2－2x)的递增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．由3x>0，得0<1<1，3x＋1的值域为(0,1)，所以函数y＝13x＋1故命题q为真命题．所以p且q为假命题，p或q为真命题，p且(綈q)为假命题，綈q为假命题．故选B. 2．(2017·山东)已知命题p：任意x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A．p且q B．p且(綈q)C．(綈p)且q D．(綈p)且(綈q)答案B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p且q为假命题，p且(綈q)为真命题，(綈p)且q为假命题，(綈p)且(綈q)为假命题．故选B.3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p且q为真；②p或q为假；③p或q为真；④(綈p)或(綈q)为假．其中，正确的是________．(填序号)答案②解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华“p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、特称命题的真假典例 (2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是( )A ．任意x ∈R,2x －1>0 B ．任意x ∈N ＋，(x －1)2>0 C ．存在x ∈R ，lg x <1 D ．存在x ∈R ，tan x ＝2答案 B解析当x ∈N ＋时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“任意x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是( ) A ．存在x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 B ．任意x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．任意x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．存在x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0答案 D解析全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“存在x ∈R,1＜f (x )≤2”的否定形式是( )A ．任意x ∈R,1＜f (x )≤2B ．存在x ∈R,1＜f (x )≤2C ．存在x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2D ．任意x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”．思维升华 (1)判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ，使p (x )成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是( ) A ．存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．任意x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．存在x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；设f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0，∴任意x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图像在y ＝3x 的图像上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin x <cos x ，故D错误．故选B.(2)(2017·福州质检)已知命题p：“存在x∈R，e x－x－1≤0”，则綈p为()A．存在x∈R，e x－x－1≥0B．存在x∈R，e x－x－1>0C．任意x∈R，e x－x－1>0D．任意x∈R，e x－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“任意x∈R，e x－x－1>0”，故选C.题型三含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p 且q 是真命题，∴p ，q 均为真，∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“存在x 2∈[1,2]”改为“任意x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“存在x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1)答案 B解析原命题的否定为任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案 A解析依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断典例(1)(2017·佛山模拟)已知a，b都是实数，那么“a＞b”是“ln a＞ln b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p：任意x∈R，3x<5x；命题q：存在x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p且q B．(綈p)且qC．p且(綈q) D．(綈p)且(綈q)解析(1)由ln a＞ln b⇒a＞b＞0⇒a＞b，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足a＞b，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)若x ＝0，则30＝50＝1，∴p 是假命题，∵方程x 3＝1－x 2有解，∴q 是真命题，∴(綈p )且q 是真命题．答案 (1)B (2)B 二、充要条件的判断典例 (1)(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2＋xx －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则下列说法正确的是( ) A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，又不是乙的必要条件(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 (1)x 2＋xx －1≥0等价于x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，解得－1≤x ≤0或x >1.由log 3(2x ＋1)≤0，得0<2x ＋1≤1，得－12<x ≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.(2)圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C.答案 (1)B (2)C 三、求参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：任意x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，存在x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)命题“p 且q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2 x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0. 答案 (1)[e ,4] (2)(－∞，0]1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则下列判断正确的是()A．p或q为真B．p且q为真C．p真q假D．p或q为假答案D解析∵p假，q假，∴p或q为假．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p 且q 为假D ．p 或q 为真答案 C解析函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p 且q 为假．故选C.3．(2017·唐山一模)已知命题p ：存在x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：任意a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图像过点(2,0)，则下列判断正确的是( ) A ．p 假q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 假 D ．p 真q 真答案 A解析对任意x ∈N ，x 3≥x 2，∴p 假，又当x ＝2时，f (2)＝log a 1＝0，∴f (x )的图像过点(2,0)，∴q 真．4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．任意x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．任意x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．存在x ∈R ，f (－x )≠f (x )D ．存在x ∈R ，f (－x )＝－f (x ) 答案 C解析由题意知任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，存在x ∈R ，f (－x )≠f (x )是真命题，故选C.5．(2017·安庆二模)设命题p ：存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x ＞3；命题q ：任意x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p 且(綈q )B ．(綈p )且qC ．p 且qD ．(綈p )或q答案 A解析对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174＞3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即存在x ∈(2，＋∞)，使得2x ＝x 2成立，故命题q 为假命题，所以p 且(綈q )为真命题，故选A.6．已知命题p ：存在α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：任意x ∈R ，x 2＋1＞0，则下列结论正确的是( ) A ．p 且q 是真命题B ．p 且q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题答案 A解析对于p ：取α＝π2，则cos(π－α)＝cos α，所以命题p 是真命题；对于命题q ：因为x 2≥0，所以x 2＋1＞0，所以q 是真命题．由此可得p 且q 是真命题．7．下列命题中，真命题是( ) A ．存在x ∈R ，e x ≤0 B ．任意x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件答案 D解析因为y ＝e x ＞0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确；因为当x ＝－5时，2－5＜(－5)2，所以B 不正确；“ab＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确；当a ＞1，b ＞1时，显然ab ＞1，D 正确．8．命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析因为命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以綈p ：存在x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.9．命题“存在n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是________________．答案任意n ∈N ，n 2≤2n10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 答案 0解析若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①任意x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②存在x ∈Q ，x 2＝2；③存在x ∈R ，x 2＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对任意x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．已知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫56，＋∞解析由“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图像恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞.13．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．答案 [－1,6]解析 p ：－4<x －a <4等价于a －4<x <a ＋4；q ：(x －2)(3－x )>0等价于2<x <3.又綈p 是綈q 的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4>3，或⎩⎪⎨⎪⎧a －4<2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.14．下列结论：①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案①③解析①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且(綈q)为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：存在x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p 或(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析若p 或(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e xx，x ≠0，设f (x )＝e xx，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上是递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 在(0,1)和(－∞，0)上是递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e xx的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p 或(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若存在x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________； (2)若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为_______________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若存在x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1，解得a ∈(1，3]．。

高考数学一轮总复习课时规范练54二项分布超几何分布正态分布北师大版

课时规范练54二项分布、超几何分布、正态分布基础巩固组1.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A.25B.35C.18125D.541252.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤0)=0.2，则P(X≤2)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.83.(2021河南驻马店模拟)已知X~B(20，p)，且EX=6，则DX=()A.1.8B.6C.2.1D.4.24.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)=()A.15B.25C.35D.455.(2021重庆三模)已知随机变量X服从正态分布N(6，σ2)(σ>0)，若P(X>3)=0.8，则P(3<X≤9)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.86.一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别)，任取3球，记其中黑球数为X，则EX=()A.98B.78C.12D.62567.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位:cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)=10√2π-(x-100)2200，x∈(-∞，+∞)，则下列说法正确的是()A.该地水稻的平均株高为100 cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率小D.随机测量一株水稻，其株高在(80，90]和在(100，110](单位:cm)的概率一样大8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯是等可能的，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则EX= .9.(2021山东烟台一模)某企业加工了一批新零件，其综合质量指标值X服从正态分布N(80，σ2)，且P(X≤60)=0.2，现从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于(60，100]的零件个数为.10.(2021广东普宁二中月考)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下:(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列和期望.综合提升组11.某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行n (n ∈N *)次射击，设击中目标的次数记为X ，已知P (X=1)=P (X=n-1)，且EX=4，则DX=( ) A.14B.12C.1D.212.掷一个质地不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为23，恰好出现k 次正面的概率记为P k ，则下列说法正确的是( ) A.P 1=P 5 B.P 1>P 5C.∑k=16P k =1D.P 0，P 1，P 2，…，P 6中最大值为P 413.(2021河北衡水第一中学高三月考)在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X~N (100，225).若成绩不高于m+10的同学人数和不低于2m-20的同学人数相同，则整数m 的值为 . 14.(2021天津河北一模)袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球，从袋中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回.则“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”的概率为，记“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”发生的次数为X ，若重复5次这样的实验，则X 的数学期望为 .15.(2021湖北恩施模拟)目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如下:(1)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望;(2)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P(k)，求使P(k)取到最大值时，k的值.创新应用组16.《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科;2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71，80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60，169).(1)估计物理原始成绩在区间(47，86]的人数;(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望.(附:若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6，P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4，P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4)课时规范练54 二项分布、超几何分布、正态分布1.D 解析: ∵每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为C 32(35)2(1−35)=54125.2.D 解析: 因为P (X ≤0)=0.2，所以P (X ≤2)=1-P (X ≤0)=1-0.2=0.8.故选D .3.D 解析: 因为X 服从二项分布X~B (20，p )，所以EX=20p=6，得p=0.3，故DX=np (1-p )=20×0.3×0.7=4.2.故选D .4.D 解析: P (ξ≤1)=1-P (ξ=2)=1-C 41C 22C 63=45.5.C 解析: 因为X 服从正态分布N (6，σ2)(σ>0)，P (X>3)=0.8，所以P (X>9)=P (X ≤3)=1-P (X>3)=0.2，所以P (3<X ≤9)=1-P (X ≤3)-P (X>9)=0.6. 故选C .6.A 解析: 由题意可知，随机变量X 的可能取值有0，1，2，3，则P (X=0)=C 53C 83=1056，P (X=1)=C 52C 31C 83=3056，P (X=2)=C 51C 32C 83=1556，P (X=3)=C 33C 83=156.故随机变量X 的数学期望为EX=0×1056+1×3056+2×1556+3×156=98. 故选A .7.A 解析: f (x )=10√2π-(x -100)2200，故μ=100，σ2=100，故A 正确，B 错误;P (X>120)=P (X ≤80)>P (X≤70)，故C 错误;根据正态分布的对称性知P (100<X ≤110)=P (90<X ≤100)>P (80<X ≤90)，故D 错误.故选A .8.53 解析: 由题意可知X~B (5,13)，故EX=5×13=53.9.300 解析: 由题意，这种产品的综合质量指标值X 服从正态分布N (80，σ2)，则正态分布的对称轴为x=80，根据正态分布的对称性，得P (60<X ≤100)=2(P (X ≤80)-P (X ≤60))=2×(0.5-0.2)=0.6.所以从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于(60，100]的零件个数为500×0.6=300. 10.解(1)设从这100个水果中随机抽取1个是礼品果为事件A ，则P (A )=20100=15，现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为X ，则X~B (3,15)，故恰好有2个水果是礼品果的概率为P (X=2)=C 32(15)2×45=12125.(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个，再从中随机抽取2个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，则P (X=0)=C 62C 102=13，P (X=1)=C 61C 41C 102=815，P (X=2)=C 42C 102=215. 故X 的分布列为所以EX=1×815+2×215=45.11.D 解析: 设某射手每次射击击中目标的概率为p (0<p<1)，由题意可得击中目标的次数记为X~B (n ，p )，因为P (X=1)=P (X=n-1)，所以C n 1p (1-p )n-1=C n n -1p n-1(1-p )，整理可得(1-p )n-2=p n-2，即1-p=p ，解得p=12.因为EX=np=12n=4，解得n=8，所以DX=np (1-p )=8×12×(1−12)=2. 故选D .12.D 解析: P 1=C 6123×(1−23)5=4243，P 5=C 65235×(1−23)1=64243，P 1<P 5，故A ，B 错误;∑k=06P k =1，故C 错误;由二项分布概率公式可得P 0=1729，P 1=4243，P 2=20243，P 3=160729，P 4=80243，P 5=64243，P 6=64729，最大值为P 4，D 正确.故选D .13.70 解析: 由题意P (X ≤m+10)=P (X ≥2m-20). 又X~N (100，225)，所以m+10+2m-20=200，所以m=70.14.35 3 解析: 设事件A 为“取出3个球中有2个红球，1个黄球”，则P (A )=C 32C 21C 53=35.由题意可得，重复5次这样的实验，事件A 发生的次数X 服从二项分布，即X~B (5,35)，则EX=5×35=3.15.解(1)由题知，10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ服从超几何分布，且ξ的可能取值为0，1，2，3，则P (ξ=0)=C 73C 103=724，P (ξ=1)=C 72C 31C 103=2140，P (ξ=2)=C 71C 32C 103=740，P (ξ=3)=C 33C 103=1120，故随机变量ξ的分布列为所以E ξ=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.(2)由题意知，设从全市住户抽到的年用气量不超过228立方米的用户数为η，则η服从二项分布η~B (10,35)，且P (η=k )=C 10k(35)k (25)10−k(k=0，1，2，3，…，10)，由{C 10k (35)k (25)10−k≥C 10k+1(35)k+1(25)9−k,C 10k (35)k (25)10−k ≥C 10k -1(35)k -1(25)11−k ,解得285≤k ≤335，k ∈N *，所以k=6.故当P (k )取到最大值时，k=6. 16.解(1)因为物理原始成绩ξ~N (60，132)，所以P (47<ξ≤86)=P (47<ξ≤60)+P (60<ξ≤86)=12P (60-13<ξ≤60+13)+12P (60-2×13<ξ≤60+2×13)≈0.68262+0.95442=0.8185.所以物理原始成绩在(47，86]的人数约为2000×0.8185=1637(人).(2)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61，80]内的概率为25.所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X~B (3,25)，所以P (X=0)=(35)3=27125，P (X=1)=C 31×25×(35)2=54125， P (X=2)=C 32×(25)2×35=36125，P (X=3)=(25)3=8125.所以X 的分布列为所以数学期望EX=3×25=65.。

2019大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义选修4-4 第02节参数方程 Word版含答案

第二节参数方程．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标，是某个变数的函数：(\\(＝((，＝((，))并且对于的每一个允许值，由函数式(\\(＝((，＝(())所确定的点(，)都在曲线上，那么方程(\\(＝((，＝(())叫作这条曲线的参数方程，变数叫作参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．．直线、圆、椭圆的参数方程()过点(，)，倾斜角为α的直线的参数方程为(\\(＝＋α，＝＋α))(为参数)．()圆心为点(，)，半径为的圆的参数方程为(\\(＝＋θ，＝＋θ))(θ为参数)．()椭圆＋＝(＞＞)的参数方程为(\\(＝φ，＝φ))(φ为参数)．提醒：在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的，的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)()参数方程(\\(＝＋，＝－))(≥)表示的曲线为直线．( )()参数方程(\\(＝θ＋，＝θ－，))当为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．( )()直线(\\(＝－＋°，＝＋°))(为参数)的倾斜角α为°.( )()参数方程(\\(＝θ，＝θ))表示的曲线为椭圆．( )答案：()×()×()√()×．在平面直角坐标系中，若：(\\(＝，＝－))(为参数)过椭圆：(\\(＝φ，＝φ)) (φ为参数)的右顶点，求常数的值．解：∵＝，且＝－，消去，得直线的方程＝－，又＝φ且＝φ，消去φ，得椭圆方程＋＝，右顶点为(, )，依题意＝－，∴＝．．已知圆的极坐标方程为ρ－ρ＋＝，求ρ的最大值．解：原方程化为ρ－ρ·＋＝，即ρ－(ρθ＋ρθ)＋＝．故圆的直角坐标方程为＋－－＋＝．圆心为()，半径为．故ρ＝＋＝＋＝．参数方程与普通方程的互化[明技法]将参数方程化为普通方程的方法()将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如θ＋θ＝等．()将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．[提能力]。

【6份】2017高考数学文(北师大版)一轮复习高考大题规范练及答案

【6份】2017高考数学文（北师大版）一轮复习高考大题规范练及答案目录高考大题规范练(一) 函数与导数 .................................................................... 1 高考大题规范练(二) 三角函数、解三角形 ...................................................... 6 高考大题规范练(三) 数列 ............................................................................. 12 高考大题规范练(四) 立体几何 ...................................................................... 17 高考大题规范练(五) 平面解析几何 ............................................................... 22 高考大题规范练(六) 概率与统计 (30)高考大题规范练(一) 函数与导数1．(2015·重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值。

(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性。

解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12。

(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x 。

【名师导学】高考数学文(北师大版)大一轮总复习练习：选修4-4-2参数方程(含答案解析)

计时双基练六十五参数方程1．下列叙述正确的个数为( )(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2－t (t≥1)表示的曲线为直线；(2)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos 30°，y ＝1＋tsin 150°(t 为参数)的倾斜角α为30°；(3)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θθ为参数且θ∈0，π2表示的曲线为椭圆。

A ．0B ．1C ．2D ．3解析对于(1)，表示的是射线；对于(2)，方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos 30°，y ＝1＋tsin 30°，表示经过点(－2,1)，倾斜角为30°的直线；对于(3)，表示的是椭圆的一部分，故只有(2)正确。

答案 B2．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3，(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2D ．2 2解析由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2,0)，半径r ＝2，圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为22。

答案 D3．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2,1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的普通方程为x 2＋y 2＝9，且22＋12<9，故点(2,1)在圆O 内，则直线l 与圆O的位置关系是相交。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练4基本不等式北师大版

课时规范练4 基本不等式基础巩固组1.下列不等式正确的是( ) A.x-1+1x -1≥2(x>0) B.(a+4)1a +1≥8(a>0)C.lg x ·lg y ≤[lg(xy)]24(x>1,y>1)D.lg(a 2+1)>lg |2a|(a ≠0)2.(2021河北邯郸高三月考)函数y=4x 2(6-x 2)的最大值为( ) A.36 B.6C.9D.183.(2021广东惠州高三期末)若a<1则a+1a -1的最大值是( ) A.3 B.aC.-1D.2√aa -14.(2021北京西城高三月考)设正实数a ,b 满足a+b=1,则下列说法错误的是( ) A.√ab 有最大值12B.1a+2b+12a+b有最小值3C.a 2+b 2有最小值12D.√a +√b 有最大值√25.(2021浙江丽水高三模拟)设x ,y>1,z>0,z 为x 与y 的等比中项,则lgz 2lgx+lgz 4lgy的最小值为( )A.38+√24 B.2√2+12C.43+√22D.2√26.下列不等式一定成立的是( ) A.x+1x ≥2B.2x(1-x)≤14C.x2+3x2+1>2√3-1D.√x√x≥27.若非负实数a,b满足a+b2=1,则下列不等式不成立的是()A.ab2≤14B.a2+b4≥12C.√a+b≥√2D.a2+b2≥348.已知x>0,y>0,且x2+xy-x+5y=30,则()A.xy的最大值为9B.1x +1y的最小值为1C.x-1y的最小值为4 D.x2+y2的最小值为209.(2021湖北黄冈高三期中)当x>1时不等式x 2+3x-1>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是.10.(2021天津耀华中学高三二模)如果a>b>0,那么a 4+1b(a-b)的最小值是.综合提升组11.(2021天津高三一模)已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值为()A.4B.8C.7D.612.(2021贵州贵阳高三月考)若圆x2+y2-4x+2y+1=0被直线ax-2by-2=0(a>0,b>0)截得的弦长为4,则1a +1b的最小值是()A.9B.4C.12D.1413.(2021浙江镇海中学高三模拟)已知a,b,c是不同时为0的实数,则2ab+bca2+4b2+c2的最大值为.创新应用组14.(2021江苏南京高三期中)已知α,β∈0,π2,sin(2α+β)=2sin β,则tan β的最大值为()A.√33B.23C.1D.√32课时规范练4 基本不等式1.C 解析:当x>1,y>1时,lg x>0,lg y>0,所以lg x ·lg y ≤lgx+lgy22=lg(xy)22=[lg(xy)]24,当且仅当x=y 时,不等式中的等号成立,故C 正确.2.A 解析:由基本不等式可得y=4x 2(6-x 2)≤4·x 2+6-x 222=36,当且仅当x 2=6-x 2,即x=±√3时,等号成立,函数取得最大值36.3.C 解析:因为a<1,所以a-1<0,因此a+1a -1=a-1+1a -1+1≤-2√(1-a)·11-a +1=-1,当且仅当1-a=11-a ,即a=0时,等号成立,故a+1a -1(a<1)的最大值是-1,故选C .4.B 解析:对于A,由基本不等式可得√ab ≤a+b 2=12,当且仅当a=b=12时,等号成立,故A 正确;对于B,由基本不等式可得1a+2b +12a+b=13[(a+2b )+(2a+b )]1a+2b+12a+b=132+2a+b a+2b +a+2b 2a+b ≥132+2√a+2b 2a+b·2a+b a+2b=43,当且仅当a=b=12时,等号成立,故B 错误;对于C,因为1=(a+b )2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2),所以a 2+b 2≥12,当且仅当a=b=12时,等号成立,故C 正确;对于D,(√a +√b )2=a+b+2√ab ≤2(a+b )=2,则√a +√b ≤√2,当且仅当a=b=12时,等号成立,故D 正确.故选B . 5.A 解析:因为x ,y>1,z>0,且z 为x 和y 的等比中项,所以z 2=xy ,lgz 2lgx +lgz4lgy =12lg(xy)2lgx+12lg(xy)4lgy=lgx+lgy 4lgx+lgx+lgy 8lgy=38+lgy 4lgx +lgx 8lgy ≥38+2√lgy 4lgx ·lgx 8lgy =38+√24当且仅当lgy 4lgx =lgx8lgy ,即lg x=√2lg y 时,等号成立,故选A .6.D 解析:对于A,当x<0时,x+1x<0,故A 错误;对于B,2x (1-x )=-2x 2+2x=-2x-122+12≤12,故B 错误;对于C,x 2+3x 2+1=x 2+1+3x 2+1-1≥2√(x 2+1)·3x 2+1-1=2√3-1,当且仅当x 2=√3-1时,等号成立,故C 错误;对于D,√x +1√x≥2√√x ·1√x=2,当且仅当x=1时,等号成立,故D 正确.故选D .7.C 解析:对于A,利用基本不等式可得ab 2≤a+b 222=14,当且仅当a=b 2=12时,等号成立,故A 正确;对于B,1=(a+b 2)2=a 2+b 4+2ab 2≤2(a 2+b 4),所以a 2+b 4≥12,当且仅当a=b 2=12时,等号成立,故B 正确;对于C,(√a +b )2=a+b 2+2√ab 2≤2(a+b 2)=2,即√a +b ≤√2,当且仅当a=b 2=12时,等号成立,故C 错误;对于D,因为a+b 2=1≥a ,又a ≥0,所以0≤a ≤1,所以a 2+b 2=a 2+1-a=a-122+34≥34,当且仅当a=12时,等号成立,故D 正确.故选C .8.A 解析:由题可得(x 2-x-30)+(xy+5y )=0,整理得(x+5)·(x+y-6)=0,因为x>0,所以x+y=6.对于A,x+y ≥2√xy ,所以xy ≤9,当且仅当x=y=3时,等号成立,故A 正确;对于B,1x+1y=16(x+y )1x+1y=162+yx +xy ≥23,当且仅当x=y=3时,等号成立,故B 错误;对于C,x-1y =6-y-1y =6-y+1y ≤6-2=4,当且仅当x=5,y=1时,等号成立,故C 错误;对于D,x 2+y 2=(x+y )2-2xy=36-2xy ≥36-2x+y 22=18,当且仅当x=y=3时,等号成立,故D 错误.故选A . 9.(-√5,√5) 解析:因为x 2+3x -1=(x -1)2+2(x -1)+4x -1=(x-1)+4x -1+2≥2√4+2=6,当且仅当x=3时,等号成立,所以要使不等式恒成立,应有m 2+1<6,解得-√5<m<√5. 10.8 解析:因为a>b>0,所以a-b>0,所以b (a-b )≤b+a -b 22=a 24,当且仅当b=a-b ,即a=2b 时,等号成立.所以a 4+1b(a -b)≥4(a 4+1)a 2=4a 2+1a 2≥8,当且仅当a=1,b=12时,等号成立.故a 4+1b(a -b)的最小值是8.11.D 解析:∵ab=a+b+3,a>0,b>0,∴a+b+3≤a+b 22,当且仅当a=b ,即a=b=3时,等号成立,解得a+b ≥6或a+b ≤-2(舍去),∴a+b 的最小值为6,故选D .12.B 解析:圆x 2+y 2-4x+2y+1=0的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,它表示以(2,-1)为圆心,以2为半径的圆.设弦心距为d ,由题意可得22+d 2=4,求得d=0,可得直线经过圆心,故有2a+2b=2,即a+b=1.再由a>0,b>0,可得1a+1b =1a+1b(a+b )=2+b a+a b≥2+2√b a·a b=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1a+1b的最小值是4,故选B .13.√54 解析:由于a 2+4b 2+c 2=a 2+165b 2+c 2+45b 2,又a 2+165b 2≥2a ×4√5b=8√55ab ,当且仅当a=4√5b 时,等号成立,c 2+45b 2≥2c ×2b√5=4√55bc ,当且仅当c=2√5b 时,等号成立,所以a 2+4b 2+c 2≥8√55ab+4√55bc=4√55(2ab+bc ),当且仅当a=2c=4√5b 时,等号成立,所以2ab+bca 2+4b 2+c 2≤2ab+bc 4√55(2ab+bc)=√54,当且仅当a=2c=4√5b 时,等号成立.14.A 解析:∵sin(2α+β)=sin2αcos β+cos2αsin β, ∴sin2αcos β=2sin β-cos2αsin β=sin β(1+2sin 2α). ∵α,β∈0,π2,∴tan β=sin2α1+2sin 2α=2sinαcosαcos 2α+3sin 2α=2tanα1+3tan 2α=21tanα+3tanα,且tan α∈(0,+∞),∴tan β=21tanα+3tanα≤2√1tanα·3tanα=√33,当且仅当tan α=√33时,等号成立,故选A .。

高考数学大一轮总复习大题规范练4 立体几何文北师大版

高考大题规范练(四) 立体几何1．如图，在等腰梯形PDCB 中，PB ∥CD ，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边上一点，且PA ＝1，将△PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD 。

(1)求证：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)若M 为线段PB 的中点，求多面体PADCMA 的体积。

解 (1)证明：在等腰梯形PDCB 中，∵PB ＝3，PA ＝1，DC ＝1， ∴AD ⊥AB ，又CD ∥AB ，∴CD ⊥AD 。

∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ， ∴DC ⊥平面PAD 。

∵DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD 。

(2)在梯形PDCB 中，PA ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ， ∴PA ⊥平面ABCD 。

∵M 为PB 的中点，∴点M 到平面ACB 的距离等于12PA ＝12。

∴V M －ACB ＝13×12·S △ACB ＝16。

∵V P －ABCD ＝13PA ·S 梯形ABCD ＝13×1×1＋2×12＝12，∴多面体PDCMA 的体积V PDCMA ＝V P －ABCD －V M －ACB ＝13。

2．(2015·湖南卷)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点。

(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－ABC的体积。

解(1)证明：如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1。

又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC。

因此，AE⊥平面B1BCC1。

而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1。

(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB。

2024年高考总复习优化设计一轮用书数学配北师版(适用于新教材)课时规范练42

课时规范练42《素养分级练》P375基础巩固组1.(2023·江西上饶六校联考)若经过点P (-1,-2)的直线与圆x 2+y 2=5相切,则该直线在y 轴上的截距为( ) A.52B.5C.-52D.-5答案:C解析:∵(-1)2+(-2)2=5,∴点P 在圆上.设圆心为O ,则k OP =-2-1=2,则过点P 的切线的斜率k=-12, ∴切线方程为y+2=-12(x+1),令x=0,得y=-52.2.点G 在圆(x+2)2+y 2=2上运动,直线x-y-3=0分别与x 轴、y 轴交于M ,N 两点,则△MNG 面积的最大值是( ) A.10 B.232C.92D.212答案:D解析:易知点M (3,0),N (0,-3),则|MN|=√32+32=3√2.圆(x+2)2+y 2=2的圆心坐标为(-2,0),半径为√2,圆心到直线x-y-3=0的距离为√2=5√22,所以,点G 到直线x-y-3=0的距离的最大值为5√22+√2=7√22,所以,△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22=212. 3.(多选)已知直线l :x+y-√2=0与圆C :(x-1)2+(y+1)2=4,则( ) A.直线l 与圆C 相离 B.直线l 与圆C 相交C.圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D.圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个答案:BD解析:由圆C :(x-1)2+(y+1)2=4,可知其圆心坐标为(1,-1),半径为2,圆心(1,-1)到直线l :x+y-√2=0的距离d=√2|√12+12=1,故B,D 正确,A,C 错误.故选BD .4.(2023·河北石家庄模拟)已知圆C :x 2+y 2+2ay=0(a>0)截直线√3x-y=0所得的弦长为2√3,则圆C 与圆C':(x-1)2+(y+1)2=1的位置关系是 ( )A.相离B.外切C.相交D.内切答案:C解析:圆C 的圆心为(0,-a ),半径为a ,其圆心到直线√3x-y=0的距离为√3+1=a 2,则2√a 2-(a 2) 2=√3a=2√3,解得a=2.所以C :x 2+(y+2)2=4,C 的圆心为(0,-2),半径为2.又C'的圆心为(1,-1),半径为1,|CC'|=√(0-1)2+(-2+1)2=√2,故可得2-1<|CC'|<2+1,所以两圆的位置关系是相交.5.已知圆O :x 2+y 2=1,点A (0,-2),B (a ,2),从点A 观察点B ,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.-∞,-4√33∪4√33,+∞ C.-∞,2√33∪2√33,+∞D.-4√33,4√33答案:B解析:易知点B (a ,2)在直线y=2上.过点A (0,-2)作圆的切线,设切线的斜率为k ,则切线方程为y=kx-2,即kx-y-2=0,由d=|0-0-2|√1+k 2=1,得k=±√3,则切线方程为y=±√3x-2.切线和直线y=2的交点坐标分别为-4√33,2,4√33,2.故从点A 观察点B ,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是-∞,-4√33∪4√33,+∞.6.(2022·山东聊城二模)已知点P 在圆O :x 2+y 2=4上,点A (-3,0),B (0,4),满足AP ⊥BP 的点P 的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0答案:B解析:设点P (x ,y ), 则x 2+y 2=4,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+3,y ),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-4).由AP ⊥BP ,得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (x+3)+y (y-4)=x 2+y 2+3x-4y=0,即x+322+(y-2)2=254,故点P 的轨迹为一个圆心为-32,2,半径为52的圆.则两圆的圆心距为52,半径和为52+2=92,半径差为52-2=12,有12<52<92,所以两圆相交,满足AP⊥BP的点P有2个.7.(2023·山东胜利一中模拟)已知圆C:x2+y2-4x=0,过点M(1,1)的直线截圆所得的弦长的最小值为.答案:2√2解析:圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,圆心为C(2,0),半径为r=2,|CM|=√(2-1)2+(0-1)2=√2,与CM垂直的弦的弦长为l=2√r2-|CM|2=2√4-2=2√2,即为所求弦长的最小值.8.过P(-2,-3)作圆(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为.答案:6x+5y-25=0解析:圆(x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C(4,2),半径为3,以线段PC为直径的圆的方程为(x-1)2+y+122=614,将两圆的方程相减得公共弦AB的方程为6x+5y-25=0.综合提升组9.(2023·浙江杭州学军中学高三月考)已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动,据监测,目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向,距城市A 300 km的海面点P处,并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动.已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100√3 km,则城市A受台风影响的时间为()A.5 hB.5√3 hC.52√3 h D.4 h答案:B解析:如图,AP=300 km,∠APB=30°,台风中心沿PB方向以20 km/h的速度移动,台风中心距离城市A的最短距离为AB=AP sin 30°=300×12=150(km).又以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100√3 km,则台风中心在以城市A为圆心,半径为100√3 km的圆内时,城市A受台风影响.以城市A为圆心,半径为100√3 km的圆截直线PB所得弦长为2√(100√3)2-1502=100√3(km),则城市A受台风影响的时间为100√320=5√3(h).10.(2023·河南安阳模拟)已知圆C :(x-2)2+(y-6)2=4,M 为直线l :x-y+8=0上一个动点,过点M 作圆C 的两条切线,切点分别为A ,B ,则当四边形CAMB 周长取最小值时,四边形CAMB 的外接圆的方程为( ) A.(x-7)2+(y-1)2=4 B.(x-1)2+(y-7)2=4 C.(x-7)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-7)2=2 答案:D解析:圆C :(x-2)2+(y-6)2=4的圆心C (2,6),半径r=2, 点C 到直线l 的距离d=√12+(-1)=2√2.依题意,CA ⊥AM ,四边形CAMB 的周长为2|CA|+2|AM|=4+2√|CM |2-|CA |2≥4+2√d 2-4=4+2√(2√2)2-4=8,当且仅当CM ⊥l 时,等号成立,此时直线CM :x+y-8=0. 由{x -y +8=0,x +y -8=0,得点M (0,8). 四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 的中点(1,7),半径为√2,方程为(x-1)2+(y-7)2=2. 11.(2022·山东烟台三模)已知动点P 到点A (1,0)的距离是到点B (1,3)的距离的2倍,记点P 的轨迹为C ,直线y=kx+1交C 于M ,N 两点,Q (1,4).若△QMN 的面积为2,则实数k 的值为 . 答案:-7或1解析:设P (x ,y ),则有√(x -1)2+y 2=2√(x -1)2+(y -3)2,整理得(x-1)2+(y-4)2=4,即点P 的轨迹C 为以(1,4)为圆心,以2为半径的圆. 点Q (1,4)到直线y=kx+1的距离为√1+k 2=√1+k 2,直线y=kx+1交C 于M ,N 两点,则|MN|=2√4-(√1+k2) 2,则△QMN 的面积S=12×2√4-(√1+k2) 2 √1+k 2=2,解得k=-7或k=1.创新应用组12.(2022·新高考Ⅰ,14)写出与圆x 2+y 2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .答案:x=-1或y=-34x+54,或y=724x-2524解析:在平面直角坐标系中,画出圆x 2+y 2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O (0,0),O 1(3,4),由图得两圆外切,则☉O 与☉O 1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l 的方程为x=-1.由图可知,内公切线l 1与另一条外公切线l 2的斜率均存在.∵l 1与直线OO 1垂直,直线OO 1的斜率k OO 1=43,∴直线l 1的斜率k l 1=-34,直线OO 1的方程为y=43x. 可设直线l 1的方程为y=-34x+b (b>0). 又圆心O 到直线l 1的距离d 1=√(-4)2+1=1,解得b=54(负值舍去).故内公切线l 1的方程为y=-34x+54.由{y =43x ,x =-1,得直线l 与直线OO 1的交点为A (-1,-43). 则可设直线l 2的方程为y+43=k (x+1). 又圆心O 到直线l 2的距离d 2=|k -43|√k 2+1=1,解得k=724,故直线l 2的方程为y=724x-2524.由上可知,与圆x 2+y 2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-34x+54,或y=724x-2524.。

2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习试题：大题专项突破+高考大题专项1+Word版含答案

2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题高考大题专项一突破1利用导数求极值、最值、参数范围1.已知函数f(x)=(x-k)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.2.(2018山东潍坊一模,21)已知函数f(x)=a ln x+x2.(1)若a=-2,判断f(x)在(1,+∞)上的单调性;(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值.3.(2018山东师大附中一模,21)已知函数f(x)=(x-a)e x(a∈R).(1)当a=2时,求函数f(x)在x=0处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.4.(2018辽宁抚顺3月模拟,21改编)已知函数f(x)=ax-2ln x(a∈R).若f(x)+x3>0对任意x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值范围.5.设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.6.(2018江西南昌一模,21改编)已知函数f(x)=e x-a ln x-e(a∈R),其中e为自然对数的底数.若当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.突破2利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2018全国3,文21)已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.2.(2018河北保定一模,21改编)已知函数f(x)=x+.设函数g(x)=ln x+1.证明:当x∈(0,+∞)且a>0时,f(x)>g(x).3.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,求a的取值范围.4.(2018安徽芜湖期末,21改编)已知函数f(x)=x3-a ln x(a∈R).若函数y=f(x)在区间(1,e]上存在两个不同零点,求实数a的取值范围.5.设函数f(x)=e2x-a ln x.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+a ln.6.(2018衡水中学押题三,21)已知函数f(x)=e x-x2+a,x∈R,曲线y=f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.。

(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习集合文课后训练题含解析

课后限时集训(一)(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )A．4 B．2 C．0 D．0或4A[由题意知方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解或两个相等的根．当a＝0时，方程无实根，则a≠0，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4，故选A.]2．(2019·济南模拟)已知集合A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{－1,1}，则A∪B＝( ) A．{1} B．{－1,1,3}C．{－3，－1,1} D．{－3，－1,1,3}C[A＝{－3,1}，B＝{－1,1}，则A∪B＝{－3，－1,1}，故选C.]3．(2019·重庆模拟)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{x|3x－x2≥0}，则A∩B的子集的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．8C[B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{0,2}，故其子集的个数是22＝4个．]4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5B[当m＝2时，n＝3或4，此时x＝6或8.当m＝3时，n＝4，此时x＝12.所以B＝{6,8,12}，故选B.]5．设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2B[满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．]6．(2019·衡水模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝( )A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}A[由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]7．(2019·青岛模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝( ) A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞－1}．]二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018＜0}，B ＝{x |x ≥a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1] [A ＝{x |1＜x ＜2 018}，B ＝{x |x ≥a }，要使A ⊆B ，则a ≤1.]9．若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则A ∩B ＝________. {x |x ≥0} [A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}．]10．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．－2或1 [由A ∩B ＝{－1,2}得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.]B 组能力提升1．(2019·潍坊模拟)已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝(3,10)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]D [由M ＝{x |lg x ＜1}得M ＝{x |0＜x ＜10}；由－3x 2＋5x ＋12＝(－3x －4)(x －3)＜0得N ＝x ⎪⎪⎪x ＜－43或x ＞3，所以∁R N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－43≤x ≤3，则有M ∩(∁R N )＝(0,3]，故选D.] 2．(2019·南昌模拟)在如图所示的Venn 图中，设全集U ＝R ，集合A ，B 分别用椭圆内图形表示，若集合A ＝{x |x 2＜2x }，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则阴影部分图形表示的集合为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |1≤x ＜2}D [由x 2＜2x 解得0＜x ＜2，∴A ＝(0,2)，由1－x ＞0，解得x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，阴影部分图形表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}，故选D.]3．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [由A ∩B ≠∅，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.]4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(－∞，4] [当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]。

北师大版高考数学(文)大一轮复习---第二章 2.1--(附答案)

§2.1函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1．函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某个对应关系f，使对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射函数记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．知识拓展简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×)(3)函数f(x)的图像与直线x＝1最多有一个交点．(√)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(×)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×)题组二教材改编2．函数f(x)＝4－xx－1的定义域是________．答案(－∞，1)∪(1,4]3．函数y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三易错自纠4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______．答案 2解析当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.5．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝________.答案 12解析因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f(f(－2))＝f⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12.6．已知函数f(x)＝ax3－2x的图像过点(－1,4)，则a＝________.答案－2解析由题意知点(－1,4)在函数f(x)＝ax3－2x的图像上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.题型一函数的概念1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是()答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图像不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B.2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．答案 ②解析对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确；对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确．综上可知，正确的判断是②.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．题型二函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域典例 (1)函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[1,2]答案 B解析要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2.∴函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1,2)．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 018]D ．[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]．得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1，则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]．命题点2 已知函数的定义域求参数范围典例 (1)(2018·衡水联考)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，34B.⎝⎛⎭⎫0，34 C.⎣⎡⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案 (1)D (2)－92解析 (1)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立，①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0，得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝ba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3]答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．(3)(2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,4]解析当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，得0<m ≤4，综上，m 的取值范围是[0,4]．题型三求函数解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.答案23x ＋13(x ＞0) 解析在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型四分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．答案－34解析当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意．(2)(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是______________．答案 {x |－4≤x ≤2}解析当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x ＞0时，由题意得－(x －1)2≥－1，解之得0＜x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}．思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x＝122－.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1]C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．[1, ＋∞)(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ，当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )>0，∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解．当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1可知，当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23，故选C.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋122x －＞2x ＞2＞1；当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1；当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．下列图像可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是()答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图像，由函数的定义可知选项C 正确．2．(2018·郑州调研)函数f (x )＝lnx x －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎨⎧xx －1＞0，x ≥0，解得x ＞1，故函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为(1，＋∞)．3．(2016·全国Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D解析函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D. 4．(2017·湖南衡阳八中一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( ) A ．－2 B ．－3 C ．9 D ．－9 答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1) D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图像是( )答案 A解析观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图像，只有选项A 符合条件，故选A.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127 D.1243答案 B解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×(t －1)12＝6，∴t ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x，x ≥0，∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0，f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．10．已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝2logf (x )的定义域是__________．答案 (2,8]解析要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图像可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是____________．答案 (－1，2－1)解析由题意得⎩⎨⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．12．(2018届全国名校第一次联考)定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________．答案 [－2,0]∪(4,60]解析由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，3]答案 D解析令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选D.14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 答案 7解析由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.实用文档 31 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.。

高考数学大一轮总复习大题规范练4 立体几何理北师大版-北师大版高三全册数学试题

高考大题规X 练(四) 立体几何1．(2014·某某卷)四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H 。

(1)证明：四边形EFGH 是矩形；(2)求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值。

解 (1)证明：由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，由题设，BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ， ∴BC ∥FG ，BC ∥EH 。

∴FG ∥EH 。

同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， ∴EF ∥HG 。

∴四边形EFGH 是平行四边形。

又∵AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BDC 。

∴AD ⊥BC 。

∴EF ⊥FG 。

∴四边形EFGH 是矩形。

(2)解法一：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，DA →＝(0,0,1)，BC →＝(－2,2,0)，BA →＝(－2,0,1)。

设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵EF ∥AD ，FG ∥BC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA →＝0，n ·BC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1,1,0)。

∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105。

解法二：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)， ∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别是BD ，DC 的中点，得E ⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12，F (1,0,0)，G (0,1,0)。

2024年高考总复习优化设计一轮用书数学配北师版(适用于新教材)课时规范练40

课时规范练40《素养分级练》P374基础巩固组1.(2023·山东青岛模拟)设集合A={(x ,y )|y=2x-3},B={(x ,y )|4x-2y+5=0},则A ∩B= ( )A.⌀B.{(118,14)} C.{(18,-114)} D.{(-18,-134)} 答案:A解析:由直线4x-2y+5=0,得y=2x+52.因为直线y=2x+52与直线y=2x-3的斜率相等,截距不相等,所以两直线相互平行,故A ∩B=⌀. 2.(2023·江苏无锡高三检测)在平面直角坐标系xOy 中,点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点为( ) A.(-1,2) B.(2,-1) C.(1,3) D.(3,1)答案:D解析:设点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点是(a ,b ),则{a 2-b+42+1=0,b -4a=-1,解得{a =3,b =1.3.(多选)(2023·山东青岛高三开学考试)已知直线l 1:4x-3y+4=0,l 2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m ∈R ),则( )A.直线l 2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l 1⊥l 2C.当m=2时,l 1∥l 2D.当l 1∥l 2时,两直线l 1,l 2之间的距离为1 答案:ACD解析:对于A,l 2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m ∈R )变形为m (x-y+2)+2x-y+5=0,令{x -y +2=0,2x -y +5=0,则{x =-3,y =-1,因此直线l 2过定点(-3,-1),故A 正确;对于B,当m=1时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:3x-2y+7=0,4×3+(-3)×(-2)≠0,故两直线不垂直,故B 错误;对于C,当m=2时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,44=-3-3≠94,故两直线平行,故C 正确;对于D,当l 1∥l 2时,则满足m+24=-(m+1)-3≠2m+54⇒m=2,此时l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,则两直线间的距离为√42+(-3)=1,故D 正确.故选ACD .4.已知A (4,0),B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后,再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( ) A.3√3 B.6 C.2√10 D.2√5答案:C解析:由题意直线AB 的方程为x+y=4,设P 关于直线AB 的对称点Q (a ,b ),则{ba -2=1,a+22+b2=4,解得{a =4,b =2,即Q (4,2).又P 关于y 轴的对称点为T (-2,0),所以光线所经过的路程为|QT|=√(-2-4)2+(0-2)2=2√10.5.(2023·福建福州高三检测)若直线ax+2y+1=0与直线x cos 2π3+y-1=0互相垂直,则a= . 答案:4解析:由题意得a2·cos 2π3=-1,解得a=4.6.已知直线l 过点P (-1,2),且点A (2,3),B (-4,5)到直线l 的距离相等,则直线l 的方程为 . 答案:x+3y-5=0或x=-1解析:(方法1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k (x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知√k 2+1=√k 2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13,所以直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=-1,符合题意.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法2)当AB ∥l 时,直线l 的斜率k=k AB =-13,则直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 过AB 的中点(-1,4)时,直线l 的方程为x=-1.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.综合提升组7.(2023·湖北武汉模拟)某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+c 1=0和3x-4y+c 2=0,则|c 1-c 2|=( ) A.2√3 B.2√5 C.2 D.4答案:B解析:设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为A ,联立{x +2y +1=0,3x -4y +c 2=0,解得{x =-c 2+25,y =c 2-310,故A -c 2+25,c 2-310.同理,设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为B ,则B -c 1+25,c 1-310,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为C ,则C -c 1+65,c 1-910,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为D ,则D -c 2+65,c 2-910.由菱形的性质可知AC ⊥BD ,且AC ,BD 的斜率均存在,所以k AC ·k BD =-1,则c 2-310-c 1-910-c 2+25+c 1+65·c 1-310-c 2-910-c 1+25+c 2+65=-1,即36-(c 2-c 1)24[16-(c 2-c 1)2]=-1,解得|c 1-c 2|=2√5.8.(2023·河北大名高三检测)已知点P (-2,2),直线l :(λ+2)x-(λ+1)y-4λ-6=0,则点P 到直线l 的距离的取值范围为 . 答案:[0,4√2)解析:把直线l :(λ+2)x-(λ+1)y-4λ-6=0化为(2x-y-6)+λ(x-y-4)=0,联立{2x -y -6=0,x -y -4=0,解得{x =2,y =-2,即直线l 过定点M (2,-2).又k PM =-2-22-(-2)=-1,且λ+2λ+1×(-1)≠-1,所以直线PM 与l 不垂直,所以点P 到直线l 的距离的最大值小于|PM|=√(2+2)2+(-2-2)2=4√2,即点P 到直线l 的距离的取值范围为[0,4√2).9.(2023·四川成都七中高三检测)已知△ABC 的顶点B (5,1),AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0.(1)求直线AB 的方程.(2)在①②两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. ①角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0; ②BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0.,求直线AC 的方程.解:(1)因为AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,所以直线AB 的斜率为k=-2. 又因为△ABC 的顶点B (5,1),所以直线AB 的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0.(2)若选①:角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0, 由{2x +y -11=0,x +2y -13=0,解得{x =3,y =5,所以点A (3,5).设点B 关于x+2y-13=0的对称点B'(x 0,y 0),则{y 0-1x 0-5×(-12)=-1,x 0+52+2×y 0+12-13=0,解得{x 0=375,y 0=295,所以B'375,295.又点B'375,295在直线AC 上,所以k AC =5-2953-375=211.所以直线AC 的方程为y-5=211(x-3),即2x-11y+49=0. 若选②:BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0, 由{2x +y -11=0,2x -y -5=0,解得{x =4,y =3,所以点A (4,3).设点C (x 1,y 1),则BC 的中点在直线2x-y-5=0上,所以2×5+x 12−1+y 12-5=0,即2x 1-y 1-1=0,所以点C 在直线2x-y-1=0上.又点C 在直线x-2y-5=0上,由{x -2y -5=0,2x -y -1=0,解得{x =-1,y =-3,即C (-1,-3),所以k AC =-3-3-1-4=65.所以直线AC 的方程为y-3=65(x-4),即6x-5y-9=0.创新应用组10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A (2,0),B (0,4),C (-4,0),则其欧拉线方程为 . 答案:x-y+2=0解析:设△ABC 的重心为G ,垂心为H ,由重心坐标公式得x=2+0+(-4)3=-23,y=0+4+03=43,所以G -23,43.由题,△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x=0,直线BC :y=x+4,A (2,0),所以△ABC 的边BC上的高线所在直线方程为y=-x+2,联立{x =0,y =-x +2⇒H (0,2).所以欧拉线GH 的方程为y-2=2-430-(-23)x ,即x-y+2=0.。

2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习试题：第一章+集合与常用逻辑用语+课时规范练3+Word版含答案

2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题课时规范练3命题及其关系、充要条件基础巩固组1.命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是()A.若a>b,则a-1≤b-1B.若a>b,则a-1<b-1C.若a≤b,则a-1≤b-1D.若a<b,则a-1<b-12.(2018天津和平区期末,2)“a=1”是“关于x的方程x2-3x+a=0有实数根”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若实数a,b满足a>0,b>0,则“a>b”是“a+ln a>b+ln b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2018上海,14)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5.( 2018北京海淀期末,4)设m是不为零的实数,则“m>0”是“方程=1表示的曲线为双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.下列命题为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题7.(2018天津一中四月模拟,2)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是.9.已知p:|x-1|≤2,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0).若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.10.已知集合A=,B={x|-1<x<m+1,x∈R}.若使x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是.11.若“任意x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.综合提升组12.在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,真命题的个数记为f(p),已知命题p:“若两条直线l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0平行,则a1b2-a2b1=0”,那么f(p)等于()A.1B.2C.3D.413.(2018陕西西安期末,5)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件14.下列命题是真命题的是()①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;④“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④15.已知p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.创新应用组16.(2018广东深圳模拟,3)对于任意实数x,<x>表示不小于x的最小整数,例如<1.1>=2,<-1.1>=-1,那么“|x-y|<1”是“<x>=<y>”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.(2018广东汕头高考冲刺,12)已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),则“a=”是“=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件。

高考文科数学(北师大版)一轮复习练习选修4-4第2讲知能训练轻松闯关 Word版含答案

．(·高考湖北卷改编)在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为ρ(θ－θ)＝，曲线的参数方程为(为参数)，与相交于，两点，求.解：由ρ(θ－θ)＝，得ρθ＝ρθ，则＝.由得－＝.由可得或不妨设，则，故＝＝.．(·唐山模拟)已知椭圆：＋＝，直线：(为参数)．()写出椭圆的参数方程及直线的普通方程；()设(，)，若椭圆上的点满足到点的距离与其到直线的距离相等，求点的坐标．解：()椭圆：(θ为参数)，直线：－＋＝.()设(θ，θ)，则＝＝－θ，点到直线的距离＝＝.由＝得θ－θ＝，又θ＋θ＝，得θ＝，θ＝－.故.．(·沈阳质量监测)在平面直角坐标系中，圆的参数方程为(θ为参数)，直线经过点(，)，倾斜角α＝.()写出圆的标准方程和直线的参数方程；()设直线与圆相交于、两点，求·的值．解：()圆的标准方程为＋＝.直线的参数方程为(为参数)，即(为参数)．()把直线的参数方程代入＋＝，得＋＝，＋(＋)－＝，所以＝－，即·＝.．(·高考陕西卷)在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙的极坐标方程为ρ＝θ.()写出⊙的直角坐标方程；()为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．解：()由ρ＝θ，得ρ＝ρθ，从而有＋＝，所以＋(－)＝.()设，又(，)，则＝＝，故当＝时，取得最小值，此时，点的直角坐标为(，)．．(·唐山统考)极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线的极坐标方程为ρ＝(θ＋θ)，斜率为的直线交轴于点(，)．()求的直角坐标方程，的参数方程；()直线与曲线交于、两点，求＋.解：()由ρ＝(θ＋θ)，得ρ＝(ρθ＋ρθ)，即＋＝＋，即(－)＋(－)＝.的参数方程为(为参数，∈)．()将代入(－)＋(－)＝得－－＝.解得＝，＝，则＋＝＋＝－＝.．(·长春调研)已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为ρ＝.()求圆的直角坐标方程；()点(，)是直线与圆面ρ≤的公共点，求＋的取值范围．解：()因为圆的极坐标方程为ρ＝，所以ρ＝ρ＝ρ.又ρ＝＋，＝ρθ，＝ρθ，所以＋＝－，所以圆的直角坐标方程为＋＋－＝.()设＝＋，由圆的方程＋＋－＝，得(＋)＋(－)＝，所以圆的圆心是(－，)，半径是.将代入＝＋，得＝－，又直线过(－，)，圆的半径是，所以－≤≤，所以－≤－≤，即＋的取值范围是[－，]．．(·太原联考)已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为ρ＋ρθ＝.()写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；()若为曲线上的动点，求中点到直线：(为参数)距离的最小值．解：()点的直角坐标为(，)．由ρ＋ρθ＝，得＋＋＝，即＋(＋)＝，所以曲线的直角坐标方程为＋(＋)＝.()曲线的参数方程为(θ为参数)，直线的普通方程为－－＝.设(θ，－＋θ)，则，那么点到直线的距离为＝＝＝≥＝－，所以点到直线的最小距离为－.．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(>>，φ为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线：θ＝α与曲线、各有一个交点．当α＝时，这两个交点间的距离为，当α＝时，这两个交点重合．()分别说明、是什么曲线，并求出与的值；()设当α＝时，与、的交点分别为、，当α＝－时，与、的交点分别为、，求四边形的面积．解：()由题意可知，曲线为圆，曲线为椭圆，当α＝时，射线与曲线、交点的直角坐标分别是(，)、(，)，因为这两个交点间的距离为，所以＝，当α＝时，射线与曲线、交点的直角坐标分别是(，)、(，)，因为这两个交点重合，所以＝. ()由()可得，曲线、的普通方程分别为＋＝，＋＝，当α＝时，射线与曲线的交点，与曲线的交点；当α＝－时，射线与曲线、的两个交点、分别与、关于轴对称，则四边形为梯形，。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练40圆的方程北师大版

课时规范练40 圆的方程基础巩固组1.与圆(x-1)2+y 2=4圆心相同且过点P (-2,4)的圆的标准方程为( )A.(x-1)2+y 2=17B.(x+1)2+y 2=25C.(x+1)2+y 2=17D.(x-1)2+y 2=252.若点P (1,1)在圆C :x 2+y 2+x-y+k=0外,则实数k 的取值范围是( )A.(-2,+∞)B.[-2,-12)C.(-2,12)D.(-2,2)3.(2021安徽合肥第六中学模拟)点M (0,1)与圆x 2+y 2-2x=0上的动点P 之间的最近距离为( )A.√2B.2C.√2+1D.√2-14.(2021北京高三二模)已知实数x ,y 满足x 2+y 2+4x-6y+12=0,则x 的最大值是( )A.3B.2C.-1D.-35.已知圆M 的一般方程为x 2+y 2-8x+6y=0,则下列说法中错误的是( )A.圆M 的圆心为(4,-3)B.圆M 截x 轴所得的弦长为8C.圆M 的半径为25D.圆M 截y 轴所得的弦长为66.已知圆C 关于y 轴对称,过点(1,0),且被x 轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C 的方程可能为( )①x 2+(y +√33)2=43 ②x 2+(y -√33)2=43③(x-√3)2+y 2=43 ④(x+√3)2+y 2=43A.①②B.②③C.③④D.①④7.(2021江苏扬州中学模拟)已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a+2)y 2+2x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 .8.过圆x 2+y 2-4x=0的圆心且与直线2x+y=0垂直的直线方程为 .9.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 截x 轴所得的线段长为2√2,截y 轴所得的线段长为2√3.(1)求圆心P 的轨迹方程;(2)若P 点到直线y=x 的距离为√22,求圆P 的方程.综合提升组10.(2021重庆巴蜀中学高三月考)圆C 为过点P (4,3),Q (2,5)的圆中最小的圆,则圆C 上的任意一点M 到原点O 距离的取值范围为( )A.[2,5]B.[3,6]C.[5-2√2,5+2√2]D.[5-√2,5+√2]11.实数x ,y 满足x 2+y 2+2x=0,则下列关于yx -1的判断正确的是( )A.y x -1的最大值为√3B.y x -1的最小值为-√3C.y x -1的最大值为√33D.y x -1的最小值为012.已知等腰三角形ABC 的底边BC 对应的顶点是A (4,2),底边的一个端点是B (3,5),则底边另一个端点C 的轨迹方程是 .13.在△ABC 中,AB=4,AC=2,A=π3,动点P 在以点A 为圆心,半径为1的圆上,则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .14.已知圆O :x 2+y 2=1,点A (-1,0),B (1,0),且点P 是圆O 上异于A ,B 的动点.(1)证明:k AP k BP 是定值;(2)过点P 作x 轴的垂线,垂足为点Q ,点M 满足2PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求点M 的轨迹方程; (3)在(2)的条件下证明:k AM k BM 是定值.创新应用组15.(2021江苏南京雨花台中学月考)现有△ABC ,AC=6,sin C=2sin A ,则当△ABC 的面积最大时,BC 的长为 .课时规范练40 圆的方程1.D 解析:由圆(x-1)2+y 2=4的方程可知圆心为(1,0).设所求圆的方程为(x-1)2+y 2=r 2,代入(-2,4)得(-2-1)2+42=r 2,解得r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+y 2=25.故选D .2.C 解析:由题意得{1+1+1-1+k >0,1+1-4k >0,解得-2<k<12. 故选C .3.D 解析:将圆x 2+y 2-2x=0化为标准方程得(x-1)2+y 2=1,所以圆心为(1,0),半径为1,所以点M 到圆心的距离为√(0-1)2+(1-0)2=√2,所以点M 与圆上的动点P 之间的最近距离为√2-1.故选D .4.C 解析:方程可化为(x+2)2+(y-3)2=1,所以(x ,y )在圆心(-2,3),半径r=1的圆上,所以x 的最大值是-2+1=-1.故选C .5.C 解析:由x 2+y 2-8x+6y=0,得(x-4)2+(y+3)2=25,所以圆M 的圆心坐标为(4,-3),半径为5,圆M 截x 轴所得的弦长为8,圆M 截y 轴所得的弦长为6.故选C .6.A 解析:由已知得圆C 的圆心在y 轴上,且被x 轴所截得的劣弧所对的圆心角为2π3. 设圆心的坐标为(0,a ),半径为r ,则r sin π3=1,r cos π3=|a|,解得r=2√33,即r 2=43,|a|=√33,即a=±√33.故圆C 的方程为x 2+(y +√33)2=43或x 2+(y -√33)2=43. 故选A .7.(-1,-4) 解析:因为方程a 2x 2+(a+2)y 2+2x+8y+5a=0表示圆,所以a 2=a+2≠0,解得a=-1或a=2. 当a=-1时,方程x 2+y 2+2x+8y-5=0,即(x+1)2+(y+4)2=22,所求圆的圆心坐标为(-1,-4);当a=2时,方程4x 2+4y 2+2x+8y+10=0,即x 2+y 2+12x+2y+52=0,此时(12)2+22-4×52=-234<0,方程不表示圆.综上所述,圆心坐标是(-1,-4).8.x-2y-2=0 解析:由x 2+y 2-4x=0,得(x-2)2+y 2=4,所以圆心为(2,0).由2x+y=0得直线2x+y=0的斜率为-2,所以与直线2x+y=0垂直的直线的斜率为12,所以所求直线的方程为y-0=12(x-2),即x-2y-2=0.9.解(1)设P (x ,y ),圆P 的半径为r ,则y 2+2=r 2,x 2+3=r 2,∴y 2+2=x 2+3,即y 2-x 2=1,∴圆心P 的轨迹方程为y 2-x 2=1.(2)设P 点的坐标为(x 0,y 0), 则00√2=√22,即|x 0-y 0|=1,∴y 0-x 0=±1,即y 0=x 0±1.①当y 0=x 0+1时,由y 02−x 02=1,得(x 0+1)2-x 02=1,∴{x 0=0,y 0=1,∴r 2=3,∴圆P 的方程为x 2+(y-1)2=3.②当y 0=x 0-1时,由y 02−x 02=1,得(x 0-1)2-x 02=1,∴{x0=0,y 0=-1,∴r 2=3,∴圆P 的方程为x 2+(y+1)2=3.综上所述,圆P 的方程为x 2+(y-1)2=3或x 2+(y+1)2=3.10.D 解析:过点P ,Q ,以线段PQ 为直径的圆最小,则圆心为C (3,4),半径为√2.∵圆心到原点的距离为5,∴点M 到原点O 距离的取值范围为[5-√2,5+√2].故选D .11.C 解析:由题意可得方程x 2+y 2+2x=0表示圆心为点C (-1,0),半径为1的圆,则yx -1为圆上的点到定点P (1,0)的斜率.设过P (1,0)的直线为y=k (x+1),即kx-y+k=0,则圆心到直线kx-y+k=0的距离d=r ,即√1+k 2=1,整理可得3k 2=1,解得k=±√33,所以y x -1∈[-√33,√33],即y x -1的最大值为√33,最小值为-√33. 故选C .12.(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点) 解析:设C (x ,y ).由题意知,|AB|=√(3-4)2+(5-2)2=√10.因为△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形,所以|CA|=|AB|=√10,即点C 的轨迹是以点A 为圆心,√10为半径的圆.又点A ,B ,C 构成三角形,所以三点不可共线,所以轨迹中需去掉点B (3,5)及点B 关于点A 对称的点(5,-1),所以点C 的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点).13.5-2√7 解析:如图,以点A 为原点,AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (4,0),C (1,√3).设P (x ,y ),则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ,-y ),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,√3-y ),所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x )(1-x )-y (√3-y )=x 2-5x+y 2-√3y+4=(x -52)2+(y -√32)2-3.因为(x -52)2+(y -√32)2表示圆A 上的点P 与点M (52,√32)之间的距离|PM|的平方,由图得|PM|min =|AM|-1=√(52)2+(√32)2-1=√7-1,所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为(√7-1)2-3=5-2√7. 14.(1)证明由题意可知直线AP ,BP 的斜率均存在.因为线段AB 是圆O 的直径,所以AP ⊥BP ,所以k AP k BP =-1,即k AP k BP 是定值.(2)解设P (m ,n ),M (x ,y ),则Q (m ,0),所以PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-n ),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-m ,y-n ).因为2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{2×0=-(x -m),-2n =-(y -n),所以{m =x,n =13y.① 因为点P 在圆O 上,所以m 2+n 2=1.② 将①代入②,得x 2+y 29=1. 又点P 异于A ,B 两点,所以m ≠±1,即点M 的轨迹方程为x 2+y 29=1(x ≠±1). (3)证明由题可知直线AM ,BM 的斜率均存在.由M (x ,y ),得k AM =y x+1,k BM =y x -1.由(2)可知x 2-1=-y 29,所以k AM k BM =y x+1·yx -1=y 2x 2-1=-9,即k AM k BM 是定值.15.2√5 解析:如图所示,以线段AC 的中点为原点,AC 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.因为AC=6,所以A (-3,0),C (3,0).设B (x ,y ).因为sin C=2sin A ,由正弦定理可得c=2a ,即|AB|=2|BC|,所以(x+3)2+y 2=4(x-3)2+4y 2,化简得(x-5)2+y 2=16,且x ≠1或9,所以圆的位置如图所示,圆心为(5,0),半径r=4.观察可得,三角形底边长AC 不变的情况下,当B 点位于圆心D 的正上方或正下方时,高最大,此时△ABC 的面积最大,B 点坐标为(5,4)或(5,-4),所以BC=√(5-3)2+42=2√5.。

2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习试题：第九章+解析几何+课时规范练41+Word版含答案

2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题课时规范练41点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.(2018湖北稳派教育二联,3)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为()A. B.4C. D.22.直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为()A.y=-x+B.y=-x+1C.y=3x-3D.y=x+13.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c=()A.-2B.-4C.-6D.-84.三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是()A.-2B.-1C.0D.15.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.(2018山东栖霞期末,5)过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A.x+2y-5=0B.2x-y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=08.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.2B.6C.3D.29.(2018河北廊坊期末,13)若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m,1)到y轴的距离为.10.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=.11.点A(3,-4)与点B(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程为.12.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.综合提升组13.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.[,2]B.[,2]C.[,4]D.[2,4]14.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-16.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为.创新应用组17.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1,l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为.18.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是.。

2020版高考数学一轮复习高考大题专项四高考中的立体几何理北师大版

高考大题专项四高考中的立体几何1.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且BD∥平面AEF.(1)求证:EF∥平面ABD;(2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求证:平面AEF⊥平面ACD.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面EGF∥平面ABD.3.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得⏜的中点.到的,G是DD⏜上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(1)设P是DD(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.4.(2018山西晋中调研,18)如图,已知四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,底面ABCD中,BC∥AD,AB⊥AD,且PA=AD=AB=2BC=2,M为AD的中点.(1)求证:平面PCM⊥平面PAD;(2)问在棱PD上是否存在点Q,使PD⊥平面CMQ,若存在,请求出二面角P-CM-Q的余弦值;若不存在,请说明理由.5.(2018河南郑州外国语学校调研,19)如图,在底面为等边三角形的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=√3AB,四边形B1C1CB为矩形,过A1C作与直线BC1平行的平面A1CD交AB于点D.(1)证明:CD⊥AB;(2)若直线AA1与底面A1B1C1所成的角为60°,求二面角B-A1C-C1的余弦值.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=√6,AB=4.(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.7.(2018河北衡水中学适应性考试,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形A1C1CA为菱形,∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AC=4,AB=2,平面ACC1A1⊥平面ABB1A1,Q在线段AC上移动,P为棱AA1的中点.(1)若Q为线段AC的中点,H为BQ中点,延长AH交BC于D,求证:AD∥平面B1PQ;,求点P到平面BQB1的距离.(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为√13138.(2018山西大同一模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点且AM=√2.(1)求证:AM∥平面PCD;(2)设点N是线段CD上一动点,且DN=λDC,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.9.(2018山西晋城一模,20)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PD=AD=2CD=2BC=2,且∠ADC=∠BCD=90°. (1)当PB=2时,证明:平面PAD⊥平面ABCD;(2)当四棱锥P-ABCD的体积为3,且二面角P-AD-B为钝角时,求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.4参考答案高考大题专项四高考中的立体几何1.证明 (1)∵BD ∥平面AEF ,BD ⫋平面BCD ,平面BCD ∩平面AEF=EF ,∴BD ∥EF.又BD ⫋平面ABD ,EF ⊈平面ABD ,∴EF ∥平面ABD.(2)∵AE ⊥平面BCD ,CD ⫋平面BCD ,∴AE ⊥CD.由(1)可知BD ∥EF ,又BD ⊥CD ,∴EF ⊥CD. 又AE ∩EF=E ,AE ⫋平面AEF ,EF ⫋平面AEF ,∴CD ⊥平面AEF ,又CD ⫋平面ACD , ∴平面AEF ⊥平面ACD.2.证明 (1)以B 为坐标原点,BA ,BC ,BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B (0,0,0),D (0,2,2),B 1(0,0,4),C 1(0,2,4),设BA=a ,则A (a ,0,0),所以DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,0),DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+4-4=0,即B 1D ⊥BA ,B 1D ⊥BD.又BA ∩BD=B ,BA ⫋平面ABD ,BD ⫋平面ABD ,所以B 1D ⊥平面ABD.(2)由(1)知,E (0,0,3),G (D2,1,4),F (0,1,4),则DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(D2,1,1),DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2-2=0,D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2-2=0,即B 1D ⊥EG ,B 1D ⊥EF.又EG ∩EF=E ,EG ⫋平面EGF ,EF ⫋平面EGF ,所以B 1D ⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD.3.解 (1)因为AP ⊥BE ,AB ⊥BE ,AB ,AP ⫋平面ABP ,AB ∩AP=A ,所以BE ⊥平面ABP ,又BP ⫋平面ABP ,所以BE ⊥BP ,又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°.(2)(方法一)取DD⏜的中点H ,连接EH ,GH ,CH.因为∠EBC=120°, 所以四边形BEHC 为菱形,所以AE=GE=AC=GC=√32+22=√13. 取AG 中点M ,连接EM ,CM ,EC ,则EM ⊥AG ,CM ⊥AG , 所以∠EMC 为所求二面角的平面角.又AM=1,所以EM=CM=√13-1=2√3.在△BEC 中,由于∠EBC=120°,由余弦定理得EC 2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,所以EC=2√3,因此△EMC 为等边三角形,故所求的角为60°.(方法二)以B 为坐标原点,分别以BE ,BP ,BA 所在的直线为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得A (0,0,3),E (2,0,0),G (1,√3,3),C (-1,√3,0),故DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-3),DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,3),设m=(x 1,y 1,z 1)是平面AEG 的一个法向量. 由{D ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{2D 1-3D 1=0,D 1+√3D 1=0.取z 1=2,可得平面AEG 的一个法向量m=(3,-√3,2). 设n=(x 2,y 2,z 2)是平面ACG 的一个法向量.由{D ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{D 2+√3D 2=0,2D 2+3D 2=0.取z 2=-2,可得平面ACG 的一个法向量n=(3,-√3,-2). 所以cos <m ,n>=D ·D |D ||D |=12.因此所求的角为60°.4.解以A 为原点,射线AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图.PA=AD=AB=2BC=2,A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2),DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),∵M 为AD 的中点,∴M (0,1,0),DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0). (1)∵DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴CM ⊥PA ,CM ⊥AD.PA ⫋平面PAD ,AD ⫋平面PAD ,且PA ∩AD=A ,∴CM ⊥平面PAD. ∵CM ⫋平面PCM ,∴平面PCM ⊥平面PAD.(2)存在点Q 使PD ⊥平面CMQ ,在△PAD 内,过M 作MQ ⊥PD ,垂足为Q , 由(1)知CM ⊥平面PAD ,PD ⫋平面PAD ,∴CM ⊥PD ,MQ ∩CM=M ,∴PD ⊥平面CMQ.设平面PCM 的一个法向量为n=(x ,y ,z ),则n·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x=0⇒x=0, n·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,1,-2)=y-2z=0⇒y=2z , 取n=(0,2,1).∵PD ⊥平面CMQ ,∴DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2)是平面CMQ 的一个法向量. 由图形知二面角P-CM-Q 的平面角θ是锐角,故cos θ=D ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |D ||DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5√8=√1010, 所以二面角余弦值为√1010.5.(1)证明如图,连接AC 1交A 1C 于点E ,连接DE.因为BC 1∥平面A 1CD ,BC 1⫋平面ABC 1,平面ABC 1∩平面A 1CD=DE , 所以BC 1∥DE.又四边形ACC 1A 1为平行四边形,所以E 为AC 1的中点,所以ED 为△AC 1B 的中位线,所以D 为AB 的中点. 又△ABC 为等边三角形,所以CD ⊥AB.(2)解过A 作AO ⊥平面A 1B 1C 1,垂足为O ,连接A 1O ,设AB=2,则AA 1=2√3.因为直线AA 1与底面A 1B 1C 1所成的角为60°,所以∠AA 1O=60°. 在Rt △AA 1O 中,因为AA 1=2√3, 所以A 1O=√3,AO=3.因为AO ⊥平面A 1B 1C 1,B 1C 1⫋平面A 1B 1C 1,所以AO ⊥B 1C 1, 因为四边形B 1C 1CB 为矩形,所以BB 1⊥B 1C 1, 因为BB 1∥AA 1,所以B 1C 1⊥AA 1.因为AA 1∩AO=A ,AA 1⫋平面AA 1O ,AO ⫋平面AA 1O , 所以B 1C 1⊥平面AA 1O.因为A 1O ⫋平面AA 1O ,所以B 1C 1⊥A 1O.△A 1B 1C 1为等边三角形,边B 1C 1上的高为√3,又A 1O=√3,所以O 为B 1C 1的中点.以O 为坐标原点,分别以DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图.则A 1(√3,0,0),C 1(0,-1,0),A (0,0,3),B 1(0,1,0). 因为DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), 所以B (-√3,1,3),D -√32,12,3,因为DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,-1,0),所以C (-√3,-1,3),D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,1,3),DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,0),D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2√3,-1,3). 设平面BA 1C 的法向量为n=(x ,y ,z ). 由{D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·D =0,DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·D =0, 得{-2√3D +D +3D =0,D =0,令x=√3,得z=2,所以平面BA 1C 的一个法向量为n=(√3,0,2). 设平面A 1CC 1的法向量为m=(a ,b ,c ),由{D 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·D =0,D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·D =0,得{√3D +D =0,2√3D +D -3D =0, 令a=√3,得b=-3,c=1,所以平面A 1CC 1的一个法向量为m=(√3,-3,1).所以|cos <n ,m>|=|D ·D||D ||D |=5√9191.因为所求二面角为钝角,所以二面角B-A 1C-C 1的余弦值为-5√9191.6.(1)证明设AC ,BD 交点为E ,连接ME.因为PD ∥平面MAC ,平面MAC ∩平面PDB=ME ,所以PD ∥ME. 因为ABCD 是正方形,所以E 为BD 的中点.所以M 为PB 的中点. (2)解取AD 的中点O ,连接OP ,OE.因为PA=PD ,所以OP ⊥AD.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且OP ⫋平面PAD ,所以OP ⊥平面ABCD. 因为OE ⫋平面ABCD ,所以OP ⊥OE. 因为ABCD 是正方形,所以OE ⊥AD.如图建立空间直角坐标系O-xyz ,则P (0,0,√2),D (2,0,0),B (-2,4,0),DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-4,0),DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-√2).设平面BDP 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{D ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4D -4D =0,2D -√2D =0.令x=1,则y=1,z=√2.于是n=(1,1,√2),平面PAD 的法向量为p=(0,1,0). 所以cos <n ,p>=D ·D |D ||D |=12. 由题知二面角B-PD-A 为锐角,所以它的大小为π3. (3)解由题意知M (-1,2,√22),C (2,4,0),DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2,-√22). 设直线MC 与平面BDP 所成角为α,则sin α=|cos <n ,DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|D ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||D ||DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√69. 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为2√69.7.(1)证明如图,取BB 1中点E ,连接AE ,EH.∵H 为BQ 中点,∴EH ∥B 1Q.在平行四边形AA 1B 1B 中,P ,E 分别为AA 1,BB 1的中点,∴AE ∥PB 1. 又EH ∩AE=E ,PB 1∩B 1Q=B 1,∴平面EHA ∥平面B 1QP.∵AD ⫋平面EHA ,∴AD ∥平面B 1PQ.(2)解连接PC 1,AC 1,∵四边形A 1C 1CA 为菱形, ∴AA 1=AC=A 1C 1=4.又∠C 1A 1A=60°,∴△AC 1A 1为正三角形. ∵P 为AA 1的中点,∴PC 1⊥AA 1.∵平面ACC 1A 1⊥平面ABB 1A 1,平面ACC 1A 1∩平面ABB 1A 1=AA 1,PC 1⫋平面ACC 1A 1,∴PC 1⊥平面ABB 1A 1,在平面ABB 1A 1内过点P 作PR ⊥AA 1交BB 1于点R.建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ,则P (0,0,0),A 1(0,2,0),A (0,-2,0),C 1(0,0,2√3),C (0,-4,2√3),设DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,-2,2√3),λ∈[0,1], ∴Q (0,-2(λ+1),2√3λ),∴DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2(λ+1),2√3λ). ∵A 1B 1=AB=2,∠B 1A 1A=60°,∴B 1(√3,1,0),∴DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0). 设平面PQB 1的法向量为m=(x ,y ,z ),则{D ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D ·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-2(D +1)D +2√3DD =0,√3D +D =0, 令x=1,则y=-√3,z=-D +1D, ∴平面PQB 1的一个法向量为m=1,-√3,-D +1D,设平面AA 1C 1C 的法向量为n=(1,0,0),二面角B 1-PQ-C 1的平面角为θ,则cosθ=D ·D|D ||D |=√1+3+(-D)2=√1313.∴λ=12或λ=-14(舍),∴DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴Q (0,-3,√3). 又B (√3,-3,0),∴DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-√3),∴|DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+3=√6. 连接BP ,设点P 到平面BQB 1的距离为h ,则13×12×4×√3×√3=13×12×4×√6×h ,∴h=√62,即点P 到平面BQB 1的距离为√62.8.(1)证明如图,取PC 中点K ,连接MK ,KD ,因为M 为PB 的中点, 所以MK ∥BC 且MK=12BC=AD , 所以四边形AMKD 为平行四边形, 所以AM ∥DK ,又DK ⫋平面PDC ,AM ⊈平面PDC , 所以AM ∥平面PCD.(2)解因为M 为PB 的中点,设PM=MB=x ,在△PAB 中,∠PMA+∠AMB=π,设∠PMA=θ,则∠AMB=π-θ,所以cos ∠PMA+cos ∠AMB=0, 由余弦定理得DD 2+DD 2-DD 22DD ·DD +DD 2+DD 2-DD 22DD ·DD=0,即2-+2-=0, 解得x=√2,则PB=2√2, 所以PA 2+AB 2=PB 2, 所以PA ⊥AB.又PA ⊥AD ,且AB ∩AD=A ,所以PA ⊥平面ABCD ,且∠BAD=∠ABC=90°.以点A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),D (1,0,0),B (0,2,0),C (2,2,0),P (0,0,2),M (0,1,1),因为点N 是线段CD 上一点,可设DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(1,2,0),故DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)+λ(1,2,0)=(1+λ,2λ,0), 所以DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+λ,2λ,0)-(0,1,1)=(1+λ,2λ-1,-1).又面PAB 的法向量为(1,0,0), 设MN 与平面PAB 所成角为θ,则 sin θ=|(,-,-)·(,,)√(1+D )2+(2D -1)2+1|=|-|=|√5(1+D )2-12(1+D )+10|=|√5-1+D +10(1+D) 2=|√10(1+D -5) 2+5|,所以当11+D =35时,即λ=23时,sin θ取得最大值. 9.(1)证明取AD 的中点O ,连接PO ,BO ,∵△PAD 为正三角形,∴OP ⊥AD , ∵∠ADC=∠BCD=90°,∴BC ∥AD , ∵BC=12AD=1,∴BC=OD ,∴四边形BCDO 为矩形,∴OB=CD=1,在△POB 中,PO=√3,OB=1,PB=2, ∴∠POB=90°,∴PO ⊥OB , ∵AD ∩OB=O ,∴PO ⊥平面ABCD ,∵PO ⫋平面PAD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD.(2)解∵AD ⊥PO ,AD ⊥OB ,PO ∩BO=O ,PO ,BO ⫋平面POB ,∴AD ⊥平面POB , ∵AD ⫋平面ABCD ,∴平面POB ⊥平面ABCD ,∴过点P 作PE ⊥平面ABCD ,垂足E 一定落在平面POB 与平面ABCD 的交线BO 上. ∵四棱锥P-ABCD 的体积为34,∴V P-ABCD =13×PE×12×(AD+BC )×CD=13×PE×12×(2+1)×1=12PE=34,∴PE=32, ∵PO=√3,∴OE=√DD 2-DD 2=√3-94=√32.如图,以O 为坐标原点,以OA ,OB 为x 轴,y 轴.在平面POB 内过点O 作垂直于平面AOB 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O-xyz ,由题意可知A (1,0,0),P 0,-√32,32,D (-1,0,0),C (-1,1,0),DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,-√32,32,DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),设平面PCD 的一个法向量为n=(x ,y ,z ),则{D ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D ·DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{D -√32D +32D =0,D =0,令x=1,则z=-23,∴n=1,0,-23,DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,√32,-32,设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ, 则sin θ=|cos <DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·D ||DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||D |=2×√133=3√1313.则直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值为3√1313.。