2012年北京市怀柔区高三二模文科科数学试题

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北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷1.pdf

北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷1 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合，，则等于 A B C D 2.已知，，，当∥时，实数等于 A B 0 C D 3.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是A 若，则B 若，则C 若，则D 若，则 4.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于 A B C D 5.设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为，A -4B 4C - 8D 8 6. a=0是函数为奇函数的 A 充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 7.已知点的坐标满足条件，那么点P到直线的距离的最小值为 A B C 2 D 1 8.已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，，如果关于的方程有解，记所有解的和为S, 则S不可能为 A B C D 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.在复平面内，复数对应的点的坐标为________________________. 10. 在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为______________________. 11.在△ABC中，若b=1,c=,,则a=________,________________. 12.如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则____________________. 13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）。

所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，由图中数据可知_______，在抽测的100根中，棉花纤维的长度在内的有__________根。

14.给定集合A，若对于任意，有，且,则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合为闭集合，则为闭集合；其中正确结论的序号是________________________. 三．解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15. （本小题满分13分）已知函数，求函数的最小正周期；（2）求f(x)在区间上的最小值及f(x)取最小值时x的值。

2012北京市高三二模文科数学分类汇编(12)圆锥曲线

十二、圆锥曲线（选修2-1）1.（2012年东城二模文7）设00(,)M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是（ A ）A ．(2,)+∞B.(4,)+∞C.(0,2)D.(0,4)2.（2012年西城二模文5）已知双曲线221x ky -=的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ D ） A ．14y x =±B.4y x =±C.12y x =± D.2y x =± 3.（2012年朝阳二模文5）已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ C ）A ．6B ．32 D ． 344.（2012年丰台二模文13）已知双曲线2222128x y m m -=+上一点M 到两个焦点的距离分别为20和4，则该双曲线的离心率为______．答案：54。

5.（2012年昌平二模文11）已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为___________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =.答案：x y 21±= , 52。

6.（2012年海淀二模文10）已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是x y 2±=，那么此双曲线的离心率为 .7.（2012年西城二模文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，且经过点31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．解：（Ⅰ）由 222222213a b b e a a -==-=，得 b a =． ① ………2分由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b +=． ② …3分联立① ②，解得 1b =，a = ……4分所以椭圆C 的方程是 2213x y +=． ……5分（Ⅱ）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2+=kx y ．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得 0912)31(22=+++kx x k ． ……7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k =+． ……9分所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=-． ……10分因为 22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++，设 21(0)k t t -=>，则212236363()16(34)4924t x x t t t -==≤=+++． …13分当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值23…14分 8.（2012年朝阳二模文19）在平面直角坐标系xOy 中，点E 到两点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之和为E 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的斜率为k （0k ≠）的直线l 与曲线C 交于不同的两点M ,N ，点P 在y 轴上，且PM PN =，求点P 纵坐标的取值范围.解：（Ⅰ）由题设知1212||||||EF EF F F +=>,根据椭圆的定义，E 的轨迹是焦点为1F ，2F，长轴长为设其方程为222210x y (a b )a b+=>>则1c =，a =1b =，所以C 的方程为2212x y +=. ……5分（II ）依题设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-= . 2880k ∆=+>. …6分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+ ……7分设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21QQ k y k x k =-=-+，即2222(,)2121k kQ k k -++. ……8分因为0k ≠，所以直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，…9分令0x =解得，211212P k y k k k==++， ……10分当0k >时，因为12k k +≥04P y <≤； …12分当0k <时，因为12k k +≤-0P y ≤<. ……13分综上得点P纵坐标的取值范围是[(0,44-. ……14分 9.（2012年丰台二模文19）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x轴上，焦距为P 是椭圆上一动点，12PF F ∆的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于点N ，若1NA AM λ=，2NB BM λ=，求证：12λλ+为定值．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22221x y a b+=．因为焦距为当点P 在短轴的顶点时，P 到F 1F 2的距离最大，所以此时△PF 1F 2的面积最大，所以121222PF F S c b =⋅⋅= ，所以b = 因为2224a b c =+=，所以24a =，椭圆方程为22142x y +=． …………5分（Ⅱ）依题意，直线l 的斜率存在，可设为k ，则直线l ：(1)y k x =-．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22240(1)x y y k x ⎧+-=⎨=-⎩ 消y 得 2222(21)4240k x k x k +-+-=．显然0∆>，且 2122421k x x k +=+，21222421k x x k -=+．因为直线l 交y 轴于点N ，所以(0,)N k -．所以 11(1,)AM x y =-- ，11(,)NA x k y =+ ，且1NA AM λ=所以 1111x x λ=-，同理2221x x λ=-．所以 12121212121212()28111()3x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++. 即12λλ+为定值是83-. ………14分 10.（2012年昌平二模文19）已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>，过点B （0，1）, 离心.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(0,2)P 的直线l 与椭圆交于M ，N 两个不同的点，且使12PM PN =成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）由题意可知1=b ,32211)(122=-=-=aa b a c 解得92=a 故椭圆M 的方程为1922=+y x ……4分（Ⅱ） 12PM PN =点M 为PN 的中点，设)()(2211y ,x N ,y ,x M 则 122x x = ① ……5分（1）当直线的斜率k 不存在时，P(0,2)),10()10(-,N ,,M ,易知不符合条件，此时直线方程不存在. ………7分（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为2+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x kx y ，消去y 得 027361922=+++kx x )k ( 得072)19(4)36(22>⋅+⋅-=∆k k 解得312>k （*） ……9分 1936221+-=+k k x x ② ，1927221+=k x x ③ 由① ②③可得消去21x ,x ，可得532=k ，故515±=k ……13分综上可知：存在这样直线l 的方程为： 2515+±=x y ………14分 11.（2012年东城二模文19）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点1(1,0)F -，长轴长与短轴长的比是.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m n ⊥，求证：11AB CD+为定值. 解：（Ⅰ）由已知得2222:221,.a b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得 2a =, b =……4分故所求椭圆方程为22143x y +=. ……5分证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知()11,0F -，当直线m 斜率存在时，设直线m 的方程为：()()10y k x k =+≠.由22(1),1,43y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 ()22223484120k x k x k +++-=. ……7分由于0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，则有2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+， AB ==()2212134k k +=+. ……9分同理()2212134k CD k +=+. …11分所以11AB CD +()2234121k k +=++()2234121k k ++()()2271121k k +=+712=. …12分当直线m 斜率不存在时，此时3,4AB CD ==，11AB CD +1173412=+=. 综上，11AB CD+为定值712. ……14分 12.（2012年海淀二模文19）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点5(,0)4Q ，动直线l 过点F ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，证明：QA QB ⋅为定值.解：（Ⅰ）由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：2a =，即a =.…3分所以 2211b =-=. 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=. …4分证明：（Ⅱ）当直线l 的斜率为0时，(A B .则557,0)(,0)4416QA QB ⋅=⋅=- . …6分当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=.显然0∆>. 1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……9分因为 111x ty =+，221x ty =+，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+. 即 716QA QB ⋅=- . …………13分。

北京市怀柔区高三数学4月调研考试试题文北师大版

Q2012年怀柔区高三年级调研考试数学（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，则=A C UA ．{0,1}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是A ．21B ．1C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则 OP OQ +=A ．OHB ．OGC ．EOD ．FO7．设x>1，S=min ｛log x 2，log 2（4x 3）｝，则S 的最大值为A ．3B ．4C ． 5D ．68．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，主视图俯视图函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A ．5B ．7C ．8D ．10 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数xx f )21(1)(-=的定义域是 . 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是．11．如图，ABC ∆中，90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ，见图中非阴影部分），则该半圆的半径长为．12．当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为M ，若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.sin 2sin ,3,5A C b a === （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求)32sin(π-A 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ．17．（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．20．（本题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是“T 数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“T 数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则数列}{1++n n a a 也是“T 数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2013项的和．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．9．),0[∞ 10．2011≤i 11．3312．]2,1( 13．)0,31[- 14．936- 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.sin 2sin ,3,5A C b a === （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求)32sin(π-A 的值．解：（Ⅰ）根据正弦定理，sin sin c a C A =,所以sin 2sin Cc a a A===分（Ⅱ）根据余弦定理，得222cos 2c b a A bc +-==于是sin A==从而4sin22sin cos5A A A==223cos2cos sin5A A A=-=………12分所以4sin(2)sin2cos cos2sin33310A A Aπππ--=-=-------------------13分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC．证明：（Ⅰ）连接OE，由条件可得SA∥OE.因为SAË平面BDE，OEÌ平面BDE，所以SAB（Ⅱ）证明：由已知可得，SB SD=,O是BD中点，所以BD SO^，又因为四边形ABCD是正方形，所以BD AC^因为AC SO O=，所以BD SAC⊥面.又因为BD BDE⊂面，所以平面BDE⊥平面SAC.-----------14分17．（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以40M =.------------------------------------------------------------------------------2分因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.----------------------3分40.1040m p M ===.---------------------------------------------------------------------4分因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯------6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人--------8分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，-------------10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种，------------------------------------------12分所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.）--------------------------------------13分 18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()x g x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，所以1a =．经检验，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．即1a =．----------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由题设，'322()(336)x g x e ax x ax x =-+-，又0xe >，所以，(0,2]x ∀∈，3223360ax x ax x -+-≤，这等价于，不等式2322363633x x x a x x x x++≤=++对(0,2]x ∈恒成立．令236()3x h x x x+=+（(0,2]x ∈），则22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++，---------------------------10分所以()h x 在区间0,2]（上是减函数，所以()h x 的最小值为6(2)5h =．----------------------------------------------------12分所以65a ≤．即实数a的取值范围为6(,]5-∞．-----------------------------------13分19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．解：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c ====-= 得 3,2==b a 故C的方程为13422=+y x .-----------------------------------------------------4分解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，依题意，122=-b a ①，将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫⎝⎛+b a ② 由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+y x .-------------------.4分（Ⅱ）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n +=，则1342222=+>+n m n m ，从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O相交.------------------------------------------------------------------8分直线l 被圆O 所截的弦长为22211212nm d L +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m-----------------------------------------------------------------------------------10分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m 3362≤≤∴L .-----------------------------------------------------------------------14分 20．（本题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “T 数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“T 数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则数列}{1++n n a a 也是“T 数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2013项的和．解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“T 数列”，对应的实常数分别为1,2．因为32n n b =⋅，则有12n n b b += *n N ∈故数列{}n b 是“T 数列”，对应的实常数分别为2,0．---------------4分（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则存在实常数,p q ，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，故数列{}1n n a a ++也是“T 数列”．对应的实常数分别为,2p q ．------------------------------------8分（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈，则有22332a a t +=⋅，44532a a t +=⋅，=+20112010a a 201023⋅t ，=+20132012a a 201223⋅t 。

2012年北京市高考文科数学试卷真题及参考答案(文科)

20XX 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}320A x x =∈+>R ，()(){}130B x x x =∈+->R ，则A B =（）.A.(),1-∞-B.21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.()3,+∞ 2.在复平面内，复数10i3i+对应的点的坐标为（）. A.()1,3B.()3,1C.()1,3- D.()3,1- 3. 设不等式组0202x y⎧⎨⎩剟剟，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）. A.π4B.π22- C.π6D.4π4- 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）.A.2B.4C.8D.165. 函数121()2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（）.A.0B.1C.2D.36. 已知{}n a 为等比数列. 下面结论中正确的是（）.A.1322a a a +…B.2221322a a a +…C.若13a a =，则12a a =D.若31a a >，则42a a > 7. 某三棱锥的三视图如图所所示，该三棱锥的表面积是（）.A.28+30+C.56+60+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（）.A.5B.7C.9D.11第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.09.直线y x =被圆()2224x y +-=截得的弦长为. 10. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则2a =； n S =.11.在△ABC 中，若3a =，b =π3A ∠=，则C ∠的大小为. 12.已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则()()22f a f b +=.13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为；DE DC ⋅的最大值为.14.已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <，则m的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题共13分）已知函数()sin cos sin 2()sin x x x f x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期；（2）求()f x 的单调递减区间.16.（本小题共14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点. 将△ADE 沿DE折起到△1A DE 的位置，使1A F CD ⊥. 如图2. （1）求证：DE ∥平面1A CB ；（2）求证：1A F BE ⊥；（3）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ17.（本小题共13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物与其他垃圾三类分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中0a >，600a b c ++=，当数据a ，b ，c 的方差2s 最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明）. 并求此时2s 的值.（求：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均数）.18.（本小题共13分）已知函数()2()10f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当3a =，9b =-时，求函数()()f x g x +在区间[],2k 上的最大值为28.求k 的取值范围.19.（本小题共14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A ，离心率为. 直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N .（1）求椭圆C 的方程；（2）当△AMN的面积为3时，求k 的值. .20.（本小题共13分）设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f []1,1∈-，且0a b c d e f +++++=.记()i r A 为A 的第i 行各数之和（1,2i =），()j c A 为A 的第j 列各数之和（1,2,3j =）；记()k A 为1()r A ，2()r A ，1()c A ，2()c A ，3()c A 中的最小值.（1）对如下数表A ，求()k A 的值；（2）设数表形如其中10d -剟. 求()k A 的最大值；（3）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值.。

2012北京高考二模试题

2012北京高考二模试题已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是（A ）0x ∀∈R ，021x ≠ （B ）0x ∀∉R ，021x ≠ （C ）0x ∃∈R ，021x ≠（D ）0x ∃∉R ，021x ≠在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________．某同学为研究函数()1)f x x=＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象的对称轴是；函数()4()9g x f x =-的零点的个数是 .某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A ,B 两个项目可供选择： (1)投资A 项目一年后获得的利润X且X 1的数学期望E (X 1)=12；(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p (0< p <1)和1-p . 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X (次)与X 2的关系如下表所示：（Ⅱ）求X 2的分布列；（Ⅲ）若E (X 1)< E (X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.(18)（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=- 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分14分）已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+；（Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.（本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln 0.5945≈≈≈）（1）下列命题中，真命题是（A ）x ∀∈R ,210x --< （B ）0x ∃∈R ,2001x x +=-（C ）21,04x x x ∀∈-+>R （D ）2000,220x x x ∃∈++<R（2）将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为（A ）70 （B ）60 （C ）50 （D ）40（3）41(2)x x-的展开式中的常数项为（A ）24- （B ）6- （C ）6 （D ）24已知函数sin 1()1x x f x x -+=+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为__.某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为2141，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为4121，；两人租车时间都不会超过三小时. （Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE .已知函数11()()ln f x a x x a x=++-（1a >）．（Ⅰ）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性；（Ⅱ）当[)3,a ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x ，使得曲线()y f x =在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：1265x x +>5．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（）（注：标准差s =x 为12,,,n x x x 的平均数）（B ）12x x >，12s s < （A ）12x x >，12s s > （D ）12x x <，12s s > （C ）12x x <，12s s <6．已知函数()1f x kx =+，其中实数k 随机选自区间[2,1]-．对[0,1]x ∀∈，()0f x ≥的概率是（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =_____．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)||f x x -< 的解集为___甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二项式25(ax展开式中的常数项为5，则实数a =_______..若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 .一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x （x *∈N ）件.当20x ≤时，年销售总收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为，该工厂的年产量为件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望.已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤复数1i2i-+的虚部是 (A) i - (B) 3i 5-(C) –1(D) 35-由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln 41+盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 81125某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有种某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望E ξ=22．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有 A. 60种 B. 120种 C. 144种 D. 300种若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，则当-42≤≤a 时，动直线ay x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________.某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3 次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分; 在B 区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p .(Ⅰ) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率； (Ⅱ) 我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围. 已知函数∈+--=a x a xax x f ,ln )1()(R . （Ⅰ）当1>a 时，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若)(x f 在]1[e ,上的最小值为2-，求a 的值.．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（）（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6如图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有（）（A ）a 1>a 2 （B ）a 1<a 2（C ）a 1=a 2 （D ）a 1，a 2的大小与m 的值有关复数()3i 1i - 的共轭复数．．．．是 . 10．二项式7)12(xx +的二项展开式中x 的系数是____ （用数学作答）某工厂2011年生产的A,B,C,D 四种型号的产品产量用条形图表示如图,现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加今年五月份的一个展销会. (I)问A,B,C,D 型号的产品各抽取多少件?(II)从50件样品中随机地抽取2件,求这2件产品恰好是不同型号产品的概率;(III) 50件样品中，从A,C 型号的产品中随机抽取3件,用X 表示抽取的A 种型号产品的件数,求X 的分布列和数学期望.已知函数2()(2)e x af x x ax =-，其中a 为常数.（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点())0(,0f 处的切线方程; （II ）求函数()f x 的单调区间.。

(整理)北京怀柔高三二模数学文试卷及答案4

Q2012年怀柔区高三年级调研考试数学（文科） 2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，则=A C UA ．{0,1}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是A ．21B ．1C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=A ．OHB ．OG主视图俯视图C ．EOD ．FO7．设x>1，S=min ｛log x 2，log 2（4x 3）｝，则S 的最大值为A ．3B ．4C ． 5D ．68．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为 A ．5B ．7C ．8D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数xx f )21(1)(-=的定义域是 . 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是． 11．如图为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s = 厘米．12. 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为．13. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为M ，若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.s i n 2s i n ,3,5A C b a ===（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求)32sin(π-A 的值．-中，底面ABCD是正如图，在四棱锥S ABCD Array方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是“T 数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“T 数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则数列}{1++n n a a 也是“T 数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2009项的和．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．．9．),0[∞ 10．2011≤i 11．11 12．(]1,2 13．)0,31[- 14．936-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.s i n 2s i n ,3,5A C b a ===（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求)32sin(π-A 的值．解：（Ⅰ）根据正弦定理，sin sin c a C A =,所以sin 2sin Cc a a A===-------------5分（Ⅱ）根据余弦定理，得222cos 25c b a A bc +-==于是sin 5A ==从而4sin 22sin cos 5A A A == 223cos 2cos sin 5A A A =-=………12分所以4sin(2)sin 2coscos 2sin33310A A A πππ--=-=-------------------13分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ．证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE（Ⅱ）证明：由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^因为ACSO O =，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面17．（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以40M =.------------------------------------------------------------------------------2分因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.----------------------3分40.1040m p M ===.---------------------------------------------------------------------4分因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯------6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人--------8分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b .则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，-------------10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种，------------------------------------------12分所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93）--------------------------------------13分18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，所以1a =．经检验，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．即1a =．----------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由题设，'322()(336)xg x e ax x ax x =-+-，又0xe >，所以，(0,2]x ∀∈，3223360ax x ax x -+-≤，………………7分这等价于，不等式2322363633x x x a x x x x++≤=++对(0,2]x ∈恒成立．-------------9分令236()3x h x x x+=+（(0,2]x ∈），则22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++，---------------------------10分所以()h x 在区间0,2]（上是减函数，所以()h x 的最小值为6(2)5h =．----------------------------------------------------12分所以65a ≤．即实数a 的取值范围为6(,]5-∞．-----------------------------------13分 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．解：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c ====-= 得 3,2==b a故C 的方程为13422=+y x .-----------------------------------------------------------4分解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，依题意，122=-b a ①，将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫⎝⎛+b a ② 由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+y x .----------------------.4分（Ⅱ）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n +=，则1342222=+>+n m n m ，从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O 相交.------------------------------------------------------------------------8 分直线l 被圆O 所截的弦长为22211212n m d L +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m-----------------------------------------------------------------------------------------10 分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m3362≤≤∴L .------------------------------------------------------------------------------14 分 20．（本题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “T 数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“T 数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则数列}{1++n n a a 也是“T 数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2009项的和．解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“T 数列”，对应的实常数分别为1,2．---------------2分因为32n n b =⋅，则有12n n b b += *n N ∈故数列{}n b 是“T 数列”，对应的实常数分别为2,0．---------------4分（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则存在实常数,p q ，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，故数列{}1n n a a ++也是“T 数列”．对应的实常数分别为,2p q ．-------------------------------------8分（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有22332a a t +=⋅，44532a a t +=⋅，20062006200732a a t +=⋅， 20082008200932a a t +=⋅故数列{}n a 前2009项的和2009S =1a +()23a a ++()45a a +++()20062007a a ++()20082009a a +()24200620082010232323232224t t t t t =+⋅+⋅++⋅+⋅=+----------------13分。

2012年北京市各区二模试题汇编--三角函数

2012年北京市各区二模试题汇编--三角函数一填空选择（2012年东城二模文科）（5）将函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为（A ）1sin y x =- （B ）1sin y x =+ （C ）1cos y x =- （D ）1cos y x =+（2012年东城二模文理科）(12)在平面直角坐标系xOy 中，将点)1,3(A 绕原点O 逆时针旋转 90到点B ，那么点B 坐标为____，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为．（2012年西城二模文理科）9．在△ABC 中，BC =，AC π3A =，则B =_____．（2012年海淀二模文科）3、22cos 15sin 15 -的值为（A ）12 （B ）2（C ）2 （D ）2（2012年海淀二模文科）11、在ABC ∆中，若120A ? ，6c =，ABC ∆的面积为则a = .（2012年海淀二模理科）（1）若sin cos 0θθ<，则角θ是（A ）第一或第二象限角（B ）第二或第三象限角（C ）第三或第四象限角（D ）第二或第四象限角（2012年海淀二模理科）（11）在ABC ∆中，若120A ? ，5c =，ABC ∆的面积为，则a = .（2012年朝阳二模文理科）4. 已知△ABC 中，2AB = ，3AC =，0AB AC ⋅< ，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=A ．150B ．120C ．60 或120D ．30 或150（2012年朝阳二模文科）9. 函数2cos y x =，[0,2]x ∈π的单调递增区间是 .（2012年丰台二模文理科）6．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 的中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅ =(A) -7(B) 72-(C) 72(D) 7 （2012年丰台二模文科）11．已知cos 2sin θθ=，则cos 2θ 的值为______．（2012年丰台二模文理科）7．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是(A)(B)(C)(D)（2012年顺义二模文科）4.下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是A.12sin()23y x π=+ B. 12sin()23y x π=- C. 2sin(2)6y x π=+D. 2sin(2)6y x π=- （2012年顺义二模文科）13.函数11y x =-的图象与函数2cos 2y x π=(46)x -≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于 ______ .（2012年昌平二模文科）5. 已知函数()sin f x A =的部分图象如图所示，则ϕ=A. 4π- B. 6πC.3π D.125π（2012年昌平二模理科）9．在∆ABC 中，4,2,2π===A b a 那么角C =_________.（2012年怀柔二模文理科）5．函数是A ．最小正周期为的奇函数B ．最小正周期为的偶函数C ．最小正周期为的奇函数D ．最小正周期为的偶函数（2012年房山二模理科）4．在中，，( )(A) (B) (C) 或 (D) 或二解答题（2012年东城二模文理科）（15）（本小题共13分）已知函数()sin()f x A x =+ωϕ（其中∈R x ，0A >，ππ0,22ωϕ>-<<）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求A ，ω，ϕ的值；（Ⅱ）已知在函数()f x 图象上的三点,,M N P 的横坐标分别为1,1,3-，求sin MNP ∠的值.（15）（共13分）解：（Ⅰ）由图可知，1A =. ………1分()f x 的最小正周期428,T =⨯= 所以2ππ8,.4T ωω===……3分 2(sin cos )1y x x =+-π2π2ππABC ∆6A π=1,a b ==B =4π43π4π43π6π65π又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<< 所以πππ,424+==ϕϕ. …………6分（Ⅱ）因为(1)0,(1)1,f f -==(3)0f =，所以(1,0),(1,1),(3,0)M N P -. 设(1,0)Q ， …………7分在等腰三角形MNP 中，设MNQ ∠=α，则sinα=, cos α=，所以4sin sin 22sin cos 25MNP ∠====ααα. ……13分（2012年西城二模文科）16．（本小题满分13分）已知函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-．（Ⅰ）求ω与ϕ的值；（Ⅱ）若554)4(=αf ，求αααα2sin sin 22sin sin 2+-的值．16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分设()f x 的最小正周期为T ．由图可得 πππ()2442T =--=，所以 πT =，2=ω．……4分由 2)0(=f ，得 πsin()13ϕ+=，因为 ππ(,)22ϕ∈-，所以 π6ϕ=．……6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos 22f x x x =+=． …………8分由 5542cos2)4(==ααf ，得 5522cos =α， ………………9分所以 5312cos2cos 2=-=αα． ………………11分所以2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． …………13分（2012年西城二模理科）15．（本小题满分13分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．（Ⅰ）求π()12f 的值；（Ⅱ）若对于任意的π[0,]2x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：22ππππ()cos ()sin cos 1212126f =--==． ……………5分（Ⅱ）解： 1π1()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x =+--- ……………7分1π13[cos(2)cos 2]2cos 2)2322x x x x =-+=+………8分π)3x =+． ………………9分因为 π[0,]2x ∈，所以 ππ4π2[,]333x +∈， ………10分所以当 ππ232x +=，即 π12x =时，()f x ………………11分所以 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤ 等价于c ≤．故当 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤时，c 的取值范围是)+∞． ………………13分（2012年朝阳二模文科）15. (本小题满分13分)已知函数2()cos cos f x x x x m =-+()m R ∈的图象过点(,0)12M π. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s 2c o s c B b C a B +=，求()f A 的取值范围． 15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1()2(cos 21)2f x x x m =-++1sin(2)62x m π=--+． ……3分由已知点(,0)12M π在函数()f x 的图象上，所以1sin(2)01262m ππ⋅--+=，12m =.………5分(Ⅱ) 因为cos cos 2cos c B b C a B +=，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin()2sin cos B C A B +=，即sin 2sin cos A A B =. ………7分因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =， ………8分又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ………10分所以2π03A <<，π26A -∈7(,)66ππ-， ………11分所以()f A =sin(2)6A π-∈1(,1]2-. ………13分（2012年朝阳二模理科）15. （本小题满分13分）已知函数()2cos cos f x x x x m -+()R m ∈的图象过点π(,0)12M . （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围． 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()12(cos 21)2f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．……3分因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上，所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=，解得12m =. ……5分(Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……7分又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……8分又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分所以2π03A <<， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…12分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……13分（2012年丰台二模文科）15.（本小题共13分）已知函数1()cos (cos )2f x x x x =-．（Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．15．解：因为1()cos (cos )2f x x x x =-＝21cos cos 2x x x -＝1cos 232222x x +--＝1cos 222x x ＝cos(2)3x π+．（Ⅰ）()6f π＝cos(2)63ππ⨯+＝12-． …………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以 42333x πππ≤+≤．当 23x π+=π，即3x π=时，函数()y f x =有最小值是1-．当 3x π=时，函数()y f x =有最小值是1-． ………………13分（2012年丰台二模理科）15.（本小题共13分）已知函数()cos sin )f x x x x =-．（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．15.解：因为()cos sin )f x x x x =-2sin cos x x x -1cos 21)sin 222x x +--＝1cos 2sin 2222x x --＝cos(2)62x π+-．（Ⅰ）()cos(2)336f πππ=⨯+== ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤．当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是1-．当512x π=时，函数()y f x =有最小值是1--． ………………13分（2012年顺义二模文科）15．（本小题共13分）已知向量(2cos ,1)2x m =u r ，(cos ,1)2xn =-r ，()x R ∈，设函数()f x m n =⋅u r r .(Ⅰ)求函数()f x 的值域；(Ⅱ)已知锐角ABC V 的三个内角分别为A 、B 、C ，若53(),()135f A f B ==，求()f C 的值. 15．（本小题共13分）解：(Ⅰ)2()2cos1cos 2x f x m n x =⋅=-=u r r ，__________4分 x R ∈Q ∴()cos f x x =的值域为[]1,1-.__________6分(Ⅱ) Q 5()cos 13f A A ==，3()cos 5f B B ==__________8分 Q A 、B 、C 均为锐角∴12sin ,13A =4sin 5B =__________10分∴33()cos cos()cos cos sin sin 65f C C A B A B A B ==-+=-+=.__________13分（2012年顺义二模理科）15．（本小题共13分）已知向量(2cos ,1)2x m =u r ，(cos ,1)2xn =-r ，()x R ∈，设函数()f x m n =⋅u r r .(Ⅰ)求函数()f x 的值域；(Ⅱ)已知ABC V 的三个内角分别为A 、B 、C ，若1(),3f A =3BC AC ==，求边长AB 的值. 15．（本小题共13分）解：(Ⅰ)2()2cos1cos 2x f x m n x =⋅=-=u r r ，__________4分 x R ∈Q ∴()cos f x x =的值域为[]1,1-. __________6分(Ⅱ) 1()cos 3f A A ==，由余弦定理2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅__________8分∴21129233c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=__________10分∴3AB c ==.__________13分（2012年昌平二模文科）15．（本小题满分13分）已知向量 (cos ,sin )θθ=a ，(=b ,22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值；（Ⅱ）求b a ⋅的取值范围.15.解：（Ⅰ）b a ⋅0sin cos 3=+-=θθ 得3tan =θ 22π≤θ≤π-即：θ=3π （Ⅱ）由=⋅b a )sin(θθ32sin cos 3π-θ=+- 22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ 21)3sin(1≤π-≤-∴θ 1)3sin(22≤π-≤-∴θ 12≤⋅≤-∴b a （2012年昌平二模理科）15．（本小题满分13分）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值; （Ⅱ）求||b a +的取值范围. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） a ⊥b ∴b a ⋅0sin cos 3=-=θθ ……… 2分得3tan =θ 又∵22π≤θ≤π-……… 4分即：θ=3π………6分（Ⅱ）||b a +=4)sin cos 3(21||2||22+-+=+⋅+θθb b a a)3sin(45π--=θ ……… 9分22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ ……… 11分 21)3s i n (1≤π-≤-∴θ 4)3sin(42≤π--≤-∴θ ∴33≤+≤||b a ……… 13分（2012年怀柔二模文科）15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求的值．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据正弦定理，,所以-------------5分（Ⅱ）根据余弦定理，得于是………12分所以-------------------13分（2012年怀柔二模理科）15．（本小题满分13分）在中，分别为角的对边，且满足．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若的大小为，的周长为，求的最大值．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵，∴又，∴；（Ⅱ）∵，∴.sin 2sin ,3,5A C b a ===)32sin(π-A sin sin c a C A =sin 225sin Cc a a A===222cos 2c b a A bc +-==sin A ==4sin 22sin cos 5A A A ==223cos 2cos sin 5A A A =-=sin(2)sin 2coscos 2sin333A A A πππ-=-=ABC ∆a b c 、、A B C 、、222b c a bc +-=A a =B x ABC ∆y ()y f x =222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==0A π<<3A π=Aax b sin sin =x x x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理∴ ∵∴， ∴即时，.------------13分（2012年房山二模文科）15．已知函数. （I ）求函数的最小正周期;(II ) 当时,求函数的最大值与最小值. 15．解：（I ）∵∴的最小正周期正周期为 ……………………………6分（II ）∵∴ ∴ ∴当时，有最大值；当时，有最小值………………13分（2012年房山二模理科）15．已知函数.（I ）求函数的最小正周期; )32sin(sin sin x C A a c-=⋅=π3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y 320,3ππ<<∴=x A )65,6(6πππ∈+x 62x ππ+=3x π=max y =x x x x f 2cos 32cos sin 2)(+=()f x 3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x x x x x f 2cos 32cos sin 2)(+=22cos 1322sin x x ++=32cos 32sin ++=x x 3)2cos 232sin 21(2++=x x 332sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx ()f x π434ππ≤≤x 2322ππ≤≤x 6113265πππ≤+≤x =+32πx 65π()f x 31+=+32πx 23π()f x 32+-()2sin sin()2f x x x x π=++()f x(II ) 当时,求函数的最大值与最小值. 15．解：∵ …………………………………………4分 ∴函数的最小正周期为…………………………………………6分（II ）∵ ∴ ∴………………………………………………9分 ∴当时，…………………11分当时，有最小值………………………13分集所能集，不足之处敬请见谅！3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()2sin sin()2f x x x x π=++()x x x 2cos 123cos sin ++=232cos 212sin 21++=x x 2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx ()f x π434ππ≤≤x 2322ππ≤≤x 6113265πππ≤+≤x =+32πx 65π()f x =+32πx 23π()f x 12-+。

2012年北京市怀柔区二模文科数学(含答案)

Q2012年怀柔区高三年级调研考试数学（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，则=A C UA ．{0,1}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是A ．21B ．1C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=A ．OHB ．OGC ．EOD ．FO 7．设x>1，S=min ｛log x 2，log 2（4x 3）｝，则S 的最大值为A ．3B ．4C ． 5D ．68．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，主视图俯视图函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为 A ．5B ．7C ．8D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数xx f )21(1)(-=的定义域是 . 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是． 11．如图为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s = 厘米．12. 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为．13. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为M ，若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.sin 2sin ,3,5A C b a ===（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求)32sin(π-A 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ．17．（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．．9．),0[∞ 10．2011≤i 11．11 12．(]1,2 13．)0,31[- 14．936-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.sin 2sin ,3,5A C b a ===（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求)32sin(π-A 的值．解：（Ⅰ）根据正弦定理，sin sin c a C A =,所以sin 2sin Cc a a A===分（Ⅱ）根据余弦定理，得222cos 25c b a A bc +-==于是sin 5A ==从而4sin 22sin cos 5A A A == 223cos 2cos sin 5A A A =-=………12分所以4sin(2)sin 2coscos 2sin33310A A A πππ--=-=-------------------13分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ．证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE （Ⅱ）证明：由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^因为AC SO O = ，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面17．（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：求出表中,M p 及图（Ⅰ）中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有人，试估计该校高三240学生参加社区服务的次数在[10, 15)内的人数；区间（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以40M =.------------------------------------------------------------------------------2分因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.----------------------3分40.1040m p M ===.---------------------------------------------------------------------4分因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯------6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人--------8分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，-------------10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种，------------------------------------------12分所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93）--------------------------------------13分 18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，所以1a =．经检验，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．即1a =．----------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由题设，'322()(336)xg x e ax x ax x =-+-，又0xe >，所以，(0,2]x ∀∈，3223360ax x ax x -+-≤，………………7分这等价于，不等式2322363633x x x a x x x x++≤=++对(0,2]x ∈恒成立．-------------9分令236()3x h x x x+=+（(0,2]x ∈），则22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++，---------------------------10分所以()h x 在区间0,2]（上是减函数，所以()h x 的最小值为6(2)5h =．----------------------------------------------------12分所以65a ≤．即实数a 的取值范围为6(,]5-∞．-----------------------------------13分 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．解：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c ====-= 得 3,2==b a故C 的方程为13422=+y x .-----------------------------------------------------------4分。

北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷5

北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若2∈{1，a ，a 2-a }，则a =(A) -1(B) 0(C) 2(D) 2或-12．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x > (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，xy a =在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a = (A) 12-(B) 23-(C) 35 (D) 525．如图所示，已知2AB BC = ，OA a = ，OB b = ，OC c =，则下列等式中成立的是(A) 3122c b a =-(B) 2c b a =-(C) 2c a b =-(D) 3122c a b =-6．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+7．已知x ，y 的取值如下表：x0 1 3 4 y2.24.34.86.7从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为 0.95y x a =+，则a = (A) 3.25(B) 2.6(C) 2.2(D) 08．用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设22()max{84,log }f x x x x =-+-，若函数()()g x f x kx =-有2个零点，则k 的取值范围是 (A) (0,3)(B) (0,3](C) (0,4)(D) [0,4]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于第象限． 10．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是． 11．若[0,2]x ∈π，则函数sin cos y x x x =-的单调递增区间是．12．已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是___元． 13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于P 1，然后以B 为圆心，BP 1长为半径画弧，交CB 的延长线于P 2，再以C 为圆心，CP 2长为半径画弧，交DC 的延长线于P 3，再以D 为圆心，DP 3长为半径画弧，交AD 的延长线于P 4，再以A 为圆心，AP 4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是___，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧长之和为___．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()sin 3sin cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）求()12f π-的值；（Ⅱ）若[0,]2x π∈，求函数()y f x =的最小值及取得最小值时的x 值．16.（本小题共13分）已知梯形ABCD 中，//BC AD ，112BC AD ==，3CD =，G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD AB C A D P 1 P 2P 3P 4P 51 1正视图侧视图20.62.4 俯视图 0.6的中点，且2CG =，沿CG 将△CDG 翻折到△CD G '．（Ⅰ）求证：EF //平面AD B '；（Ⅱ）求证：平面CD G '⊥平面AD G '．17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[)70,80内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．18.（本小题共14分）已知函数21(),(0)2af x x a x=+≠．（Ⅰ）当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．19.（本小题共14分）已知椭圆C 的长轴长为22，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l 斜率k =1，求△ABP 的面积；（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．20.（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，数列{}n c 中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDCAABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．Ⅲ 10．3 11．(0,)π写成闭区间也给满分12．15 13．12 14． 8，(1)4n n +π注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解：（Ⅰ）∵21()sin 3sin cos 2f x x x x =+-31sin 2cos 222x x =- sin(2)6x π=-， ………………5分∴3()sin(2)sin()1212632f ππππ-=-⨯-=-=-． ………………7分（Ⅱ）∵02x π≤≤∴02x π≤≤．∴52666x πππ-≤-≤． ………………9分∴1sin(2)126x π-≤-≤，即1()12f x -≤≤． ………………11分 ∴min 1()2f x =- 此时266x ππ-=-∴0x =． ………………12分∴当0x =时，m i n 1()2f x =-． ………………13分16.（本小题共13分）证明：（Ⅰ）∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，即E ，F 分别是BC ，C D '的中点， ∴EF 为△D BC '的中位线． ∴EF //D B '． ………………2分又∵EF ⊄平面AD B '，D B '⊂平面AD B '， ………………4分∴EF // 平面A DB '． ………………6分（Ⅱ）∵G 是AD 的中点，112BC AD ==，即2AD =， ∴1DG =．又∵3CD =，2CG =，∴在DGC∆中，222DG GC DC += ∴DG GC ⊥． ………………9分∴GC D G '⊥，GC AG ⊥． ∵AG ∩D G '=G ， ∴GC ⊥平面A DG '． ………………12分又∵GC ⊂平面CD G '， ∴平面CD G'⊥平面AD G '． ………………13分17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）分数在[)70,80内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=． ………………3分（Ⅱ）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (6)分（Ⅲ）由题意，[)80,90分数段的人数为：0.256015⨯=人； ………………7分[]90,100分数段的人数为：0.05603⨯=人； ………………8分∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[)80,90分数段抽取5人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ；[]90,100分数段抽取1人，记为M ． ………………9分因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的分数一定是在[)80,90分数段，所以只需在分数段[)80,90抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A ， ………………10分则基本事件空间包含的基本事件有：(A ，B )，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E)，(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )共15种．事件A 包含的基本事件有(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )5种．………………12分∴恰有1人的分数不低于90分的概率为51()153P A ==． ………………13分18.（本小题共14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞， ………………1分2()af x x x'=-． ………………3分∵1x =时函数()y f x =取得极小值， ∴(1)0f '=． (4)分∴1a =． ………………5分当1a =时，在(0,1)内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>， ………………6分∴1x =是函数()y f x =的极小值点．∴1a =有意义． ………………7分（Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞，322()a x af x x x x-'=-=．令()0f x '=，得3x a =． ………………9分（ⅰ）当0a <时，x3(,)a -∞3a3(,0)a(0,)+∞'()f x-+ +()f x极小值………………11分（ⅱ）当0a >时，x(,0)-∞3(0,)a3a3(,)a +∞'()f x --+()f x极小值综上所述： ………………13分当0a <时，函数()y f x =的单调递减区间为3(,)a -∞，单调递增区间为3(,0)a ，(0,)+∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为(,0)-∞，3(0,)a ，单调递增区间为3(,)a +∞．………………14分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x 轴上，且1c =，222a =， ………………1分∴2a =，2221b a c =-=． ………………2分∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ………………4分（Ⅱ）（ⅰ）2222x y y x⎧+=⎨=⎩ ………………5分 ∴ 6363x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6363x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ………………7分即66(,)33A ，66(,)33B --， (2,0)P ．所以126232233ABP S ∆=⋅⋅=． ………………9分（ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．椭圆的右顶点为(2,0)P2222x y y kx⎧+=⎨=⎩ ，消y 整理得 22(21)2k x +=，不妨设x 1>0>x 2， ∴12221x k =+，22221x k =-+；12221y kk =+，22221y kk =-+．……………12分1212121212222)2AP BP y y y y k k x x x x x x ⋅=⋅=---++（ ………………13分2222212221k k k -+=-+22212422k k -==--++ ∴AP BPk k ⋅为定值12-． ………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，∴ 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时，111a S ==亦满足上式，故21n a n =-，(*)n ∈N ． ………………3分又数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，∵ 11b =，3418b b q ==， ∴2q =．∴ 12n n b -= (*)n ∈N ． ………………6分（Ⅱ）2121n n n b n c a b ==-=-．123n n T c c c c =+++ 12(21)(21)(21)n =-+-++- 12(222)n n =++-2(12)12n n -=--．所以 122n n T n +=--． ………………9分（Ⅲ）假设数列{}n c 中存在三项,,m k l c c c 成等差数列，不妨设(,,*)m k l m k l <<∈N因为 21n n c =-，所以 m k l c c c <<，且三者成等差数列．所以 2k l m c c c =+，即2(21)(21)(21)k m l-=-+-， 2222k m l ⋅=+，即222m k l k --=+．（方法一）因为 (,,*)m k l m k l <<∈N ，所以1l k -≥，0m k -<．所以 22l k -≥，20m k ->，所以 222m k l k --+> 与222m k l k --=+矛盾．所以数列{}n c 中不存在成等差数列的三项． ………………13分（方法二）2222k m l ⋅=+2(12)m l m -=+所以 12122k l m m +-=+，即1212k m l m+--=+．所以 1221k m l m +---=．因为(,,*)m k l m k l <<∈N ，所以 12k m +-，2l m -均为偶数，而1为奇数，所以等式不成立．所以数列{}n c 中不存在三项，使得这三项成等差数列． ………………13分。

怀柔二模数学试卷答案

怀柔区2012年中考模拟练习(二)数学试卷评分标准及参考答案 2012.6.813．解：原式=1232+⨯+ ………………………………4分 =4+ ………………………………………………5分14．解：由①得x ≥－2．………………………………… 1分由②得x ＜3．……………………………………2分不等式组的解集在数轴上表示如下：···································3分 ···············································4分所以原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2． ········································5分 15．证明：如图， ∵ AB=CD ，∴ AB +BC=CD +BC ，即 AC=DB ．………………………………1分在△AEC 和△DFB 中，分 ∴ △AEC ≌△DFB ． ·································································· 4分 ∴ AE = DF ． ··············································································· 5分16解：原式=y x y y x y x y x y x x -+++-⋅-2))(()(22………………………………2分= y x y y x x-+-2)(2= )()(2y x y x -+． ························································· 3分当21=y x 时，x y 2=. ············································································· 4分原式=)2()2(2x x x x -+=－6. ············································································ 5分17．解：．解：（1）∵点P （1,1）是一次函数b kx y +=和反比例函数xky 2=图象的交点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=211k b k ------------------------------------------------------1分解得：⎩⎨⎧-==12b k ------------------------------------------------------2分C B E A FD G50∴一次函数解析式为12-=x y ，反比例函数解析式为xy 1=------------------3分（2）点A 的坐标为 (1，0) 或．(2，0) -----------------------------------5分18．列方程或方程组解应用题：解：设观看NBA 比赛的观众有x 人，现场观看110米栏比赛的观众有（2x+2000）人，........1分依题意，列方程，得：x ＋(2x ＋2000)=38000................................................3分解得：x=12000, ........................................…………………………………4分 ∴2x+2000=26000. ................………………………………………….5分答：观看NBA 比赛的观众大约有12000人，观看110米栏比赛的观众大约有26000人.本题还可以列二元一次方程组来解. 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解: ∵∠ABC =90︒，AE=CE ，EB =12， ∴ EB=AE=CE =12. ……………………1分 ∴ AC =AE+CE =24.∵在Rt △ABC 中，∠CAB =30︒,∴ BC=12, cos30AB AC =⋅︒= ……………………2分 ∵ DE AC ⊥， DE=5， ∴四边形ABCD 的面积=1122AB BC AC DE ⋅+⋅=60.………………3分在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AD13==．………4分∴sin ∠DAC=513．……………… ………………………………………………5分 20.（1）证明：连结O C .………………1分∵ CDAC =，120A C D ︒∠=， ∴ 30A D ︒∠=∠=.…………………………2分 ∵ OCOA =,∴ 230A ︒∠=∠=. ∴ 290O C D A C D ︒∠=∠-∠=. ∴ C D 是O ⊙的切线. ………………………………3分（2）解:∵∠A=30o ， ∴ 1260A ︒∠=∠=. ∴ 2602360O B CS π⨯==扇形23π. ……………………4分在Rt △OCD 中,tan 60CD OC =⋅︒=∴Rt 11222OCD S OC CD ∆=⨯=⨯⨯=∴ 图中阴影部分的面积为-3223π. ……………5分21. 解：(1)-------2分 -----4分(2) 全体学生家庭月人均用水量为1505164323502421103000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯9040=（吨）. -------------------------- -5分答：全校学生家庭月用水量约为 9040吨. 22．答案：（说明：本题分割方法不唯一）(1)…………………2分方法一、方法二、方法三、方法四、（2） ……5分方法一、方法二、五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）由题意可知，△=()222-1-4(-1)m m ＞0，解得m ＜54.…………………1分又抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，当m=1时，2=+y x x .当m=－1时，2=-3.y x x …………………………………………2分 ∴只有m=1或m=－1……………………………………………3分（2）∵抛物线顶点在第三象限，∴只有m=1符合题意，抛物线的解析式为2=+y x x .…………………………………………4分（3）∵点M ()11,x y 与N ()12,x k y +在抛物线2=+y x x 上，∴2111=+y x x ，2211=(+)++y x k x k∵,21y y =∴()221111+=+++.x x x k x k整理，得()12++1=0k x k∵点M 、N 不重合，∴k ≠0.∴2x 1 =－k －1.…………………………………………………………6分∴21116+6+5-+1x x k k ⋅=()2+116-3(k+1)+5-4+1k k k ⋅=6.………………7分 24. 解：（1）过A 点作AM BC ⊥，垂足为M ，交DE 于N 点，则BM=12BC=3，∵DE ∥BC ，∴AN DE ⊥.在Rt △ABM 中,4AM ==，------------------------------1分 ∵DE BC ∥,∴ADE △∽△ABC-,∴AMAN AB AD =, ∴45y x =, ∴54x y = (05).x <<-------------------------------2分（2）∵A DE '△由ADE △折叠得到，∴AD ＝A D ',AE ＝A E ',∵由（1）可得ADE △是等腰三角形，∴AD A D AE A E ''===,∴四边形ADA E '是菱形，------------------------------3分 ∴AC ∥DA ', ∴BDA A '∠=∠. 又∵BDA ABC '∠≠∠，BDA C '∠≠∠ ∴只有当BD A D '=时，BDA '∆∽BAC ∆. ∴当BD A D '=，即5-x x =时,∴25=x . ∴当25=x 时，BDA '∆∽BAC ∆.--------------------------------4分（3）第一种情况：当BDA '∠＝90°, ∵BDA A '∠=∠ ,而A ∠≠90°， ∴BDA '∠≠90°.-----------------------------------------------………………………5分第二种情况：当BA D '∠=90°，∵四边形ADA E '是菱形，∴点A '必在DE 垂直平分线上，即直线AM 上，∵45x AN A N y '===，4AM =，∴845A M x '=-，在Rt △BA M '中2222283(4)5BA BM MA x ''=+=+-，在Rt △BA D '中22222(5)A B BD DA x x ''=-=--，∴22228(5)3(4)5x x x --=+-，解得3235=x ，x=0（舍去）.---------------------------------6分第三种情况：当A BD '∠=90°， ∵ Rt △BA M '～ Rt △ABM ,∴AM BM AB BA =', ∴415'=BA 在Rt △DBA '中,2'2'2DA BA DB =+,2216225)5(x x =+-, 解得:12532x =. ------…………………7分NA 'x25．解：(1) ∵抛物线对称轴为x=4，且在x轴上截得的线段长为6，∴ A( 1 , 0 )、B( 7 , 0 );………………………1分设抛物线解析式为：y=a(x－h)2+k，D(0，397)，∴解得，93=a，3=k.∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3，或y=93x2－9316x+937……………2分（2）∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点P在线段DB上时，PA+PD取得最小值，……………………3分∴DB与对称轴的交点即为所求点P.设直线x=4与x轴交于点M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴BOBMDOPM=，∴3373397=⨯=PM，∴点P的坐标为(4，33)………………………4分（3）由⑴可知，C(4，3-)，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=33，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o，∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q(10，33)，…………………………………………………5分如果AB=AQ，由对称性可知Q(－2，33)………………………6分②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，3-)，………………………………………7分经检验，点(10，33)与(－2，33)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为(10，33)或(－2，33)或(4，3-)．…………………………8分。

北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷4.pdf

北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷4 第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．全集，，则=（A）（B）（C）（D）（2）设，那么“”是“ ”的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（3）已知，，则=（A）（B）-1 （C）（D）（4）双曲线的焦点到渐近线的距离为（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （5）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为（A） 8 （B） 4 （C）（D）（6）连续抛两枚骰子分别得到的点数是，，则向量与向量垂直的概率是（A）（B）（C）（D）（7）已知函数，则，，的大小关系是（A）（B）（C）（D）（8）已知点是的中位线上任意一点，且. 设，，，的面积分别为，，，，记，，，定义．当取最大值时，则等于（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. （9）设为虚数单位，复数满足，则 . （10）已知向量，的夹角为，，，若，则实数的值为 . （11）如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距n mile，则此船的航行速度是 n mile/h. （12）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 . （13）某射击运动员在一组射击训练中共次平均数为：则的最小值是；若圆C：与区域有公共点，则实数的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及值域；（Ⅱ）求的单调递增区间. （16）（本小题满分13分）设是一个公差为的等差数列，，，成等比数列. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）数列满足，求（用含的式子表示）. （17）（本小题满分13分）在长方形中，，，分别是，的中点（如左图）.将此长方形沿对折，使平面平面（如右图），已知，分别是，的中点. （Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积. （18）（本小题满分13分）已知函数，. （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，都有成立，求实数的取值范围. （19）（本小题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，设直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值．（20）（本小题满分14分）对于整数，存在唯一一对整数和，使得，. 特别地，当时，称能整除，记作，已知. （Ⅰ）存在，使得，试求，的值；（Ⅱ）若，（指集合B 中的元素的个数），且存在，，，则称B为“谐和集”.请写出一个含有元素7的“谐和集”和一个含有元素8的非“谐和集”，并求最大的，使含的集合有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由. 参考答案 1. C 【解析】分别把两个集合表示为，所以， 2. B【解析】当时成立，若，则出现和两种情形。

2012年北京市各区二模试题分类解析【数学文】(3)：导数及其应用.pdf

三、导数及其应用（选修2-2） 1.（2012年西城二模文18）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间．解：（Ⅰ）当时，，． ……2分由，得曲线在原点处的切线方程是．……4分（Ⅱ）． ………6分 ① 当时，．所以在单调递增，在单调递减． …7分当，． ② 当时，令，得，，与的情况如下：故的单调减区间是，；单调增区间是．……10分 ③ 当时，与的情况如下：所以的单调增区间是；单调减区间是，． ……13分综上，时在单调递减；在单调递增. 时，在单调递增，在单调递减；时在单调递增；在单调递减． 2.（2012年朝阳二模文18）设函数.（Ⅰ）已知曲线在点处的切线的斜率为，求的；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的一个，都有．解：（Ⅰ）的定义域为 …1分 . ……2分根据题意，，所以，即，解得 ………4分（Ⅱ）（1）当时，因为，所以，，所以，函数在上单调递减. ………6分（2）当时，若，则，，函数在上单调递减；若，则，，函数在上单调递综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减在上单调递增………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知设，即. . …10分当变化时，，的变化情况如下表：－0＋极小值是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点. 可见 ……13分所以，即，所以对于定义域内的每一个，都有. ……14分，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求证：当x>1时，f(x) 0可得x >2或x <1，由f ′ (x) < 0可得1< x <2． ∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，单调递减区间为 (1 , 2 )． …9分 (Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．且当x=1或x=2时，f ′ (x)=0． …10分 ∴ f (x) 的极大值为 ………11分 f (x)的极小值为 ……12分则 ………14分 .（Ⅰ）若，求在处的切线方程；（Ⅱ）若在上是增函数，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）由，，， ……1分所以. ……3分又，所以所求切线方程为即. ……5分（Ⅱ）由已知，得. 因为函数在上是增函数，所以恒成立，即不等式恒成立. ………9分整理得. 令 …11分的变化情况如下表： +极小值由此得的取值范围是. ……13分 6.（2012年海淀二模文18）已知函数（，）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值. 解：. 令，解得或. …2分（Ⅰ）当时，，随着的变化如下表极小值极大值函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，. 当时，，随着的变化如下表极小值极大值函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，. （Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得是上的增函数，是上的减函数. 又当时，. 所以在上的最小值为，最大值为. 所以对任意，. 所以对任意，使恒成立的实数的最小值为.。

2012怀柔高三(二模)数学(文)

Q2012年怀柔区高三年级调研考试数学（文科） 2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，则=A C UA ．{0,1}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是 A ．21 B ．1 C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=A ．OHB ．OGC ．EOD ．FO7．设x>1，S=min ｛log x 2，log 2（4x 3）｝，则S 的最大值为A ．3B ．4C ． 5D ．68．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A ．5B ．7C ．8D ．10主视图俯视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数xx f )21(1)(-=的定义域是 . 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是．11．如图，ABC ∆中，90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点 C 、M ，与AC 交于N ，见图中非阴影部分），则该半圆的半径长为．12．当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为M ，若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.sin 2sin ,3,5A C b a ===（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求)32sin(π-A 的值．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ．17．（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：求出表中,M p 及图（Ⅰ）中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有人，试估计该校高三240学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．20．（本题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是“T 数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32nn b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“T 数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则数列}{1++n n a a 也是“T 数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a nn n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2013项的和．参考答案一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．．9．),0[∞ 10．2011≤i 11．3312．]2,1(13．)0,31[-14．936-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据正弦定理，sin sin c a C A =,所以sin 2sin Cc a a A===分（Ⅱ）根据余弦定理，得222cos 25c b a A bc +-==于是sin 5A ==，从而4sin 22sin cos 5A A A == 223cos 2cos sin 5A A A =-=………12分所以4sin(2)sin 2coscos 2sin33310A A A πππ--=-=-------------------13分 16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OEÌ平面BDE ，所以SA ∥平面BDE （Ⅱ）证明：由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^. 因为AC SO O = ，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面SAC 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以40M =.---------------2分因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.----------------------3分40.1040m p M ===.---------------------------------------------------------------------4分因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯------6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人--------8分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，-------------10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种，------------------------------------------12分所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93）--------------------------------------13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，所以1a =．经检验，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．即1a =．---------------6分（Ⅱ）由题设，'322()(336)xg x e ax x ax x =-+-，又0x e >，所以，(0,2]x ∀∈，3223360ax x ax x -+-≤，这等价于，不等式2322363633x x x a x x x x ++≤=++对(0,2]x ∈恒成立．令236()3x h x x x +=+（(0,2]x ∈），则22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++，---------------------------10分所以()h x 在区间0,2]（上是减函数，所以()h x 的最小值为6(2)5h =． ---------------12分所以65a ≤．即实数a 的取值范围为6(,]5-∞．-----------------------------------13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c ====-=得 3,2==b a 故C 的方程为13422=+y x .--------------------- ----------4分解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，依题意，122=-b a ①，将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫⎝⎛+b a ② 由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+y x .-------------------.4分（Ⅱ）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n +=，则1342222=+>+n m n m ，从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O 相交.---- -------8分直线l 被圆O 所截的弦长为22211212n m d L +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m -----------10分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m 3362≤≤∴L .---------------------------14分 20．（本题满分13分）解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈，故数列{}n a 是“T 数列”，对应的实常数分别为1,2．因为32nn b =⋅，则有12n n b b += *n N ∈故数列{}n b 是“T 数列”，对应的实常数分别为2,0．---4分（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则存在实常数,p q ，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，故数列{}1n n a a ++也是“T 数列”．对应的实常数分别为,2p q ．---------------------8分（Ⅲ）因为 *132()nn n a a t n N ++=⋅∈，则有22332a a t +=⋅，44532a a t +=⋅ ，=+20112010a a 201023⋅t ，=+20132012a a 201223⋅t 。

2012年北京市怀柔区高考数学二模试卷(文科)(附答案解析)

2012年北京市怀柔区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U ={−l, 0, 1, 2}，集合A ={−l, 2}，则∁U A =( ) A.{0, 1} B.{2} C.{0, l, 2} D.⌀2. 已知i 为虚数单位，zi =2，则复数z =( ) A.1−i B.1+iC.2iD.−2i3. “a =3”是“直线ax +3y =0和2x +2y =3平行的”（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（）A.12 B.1C.32D.25. 函数y =(sin x +cos x)2−1是（） A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数6. 如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →+OQ →=( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →7. 设x >1，S =min {log x 2, log 2(4x 3)}，则S 的最大值为（） A.3 B.4 C.5 D.68. 若函数y =f(x)(x ∈R)满足f(x +2)=f(x)且x ∈[−1, 1]时，f(x)=1−x 2，函数g(x)={lg x(x >0)−1x (x <0)，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间[−5, 5]内的与x 轴交点的个数为（） A.5 B.7 C.8 D.10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．函数y =√1−(12)x 的定义域是________．如图给出的是计算1+13+15+...+12011的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________．如图，△ABC 中，∠C =90∘，∠A =30∘，BC =1．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB相切于点C 、M ，与AC 交于N ，见图中非阴影部分），则该半圆的半径长为________．当x ∈(1, 2)时，不等式(x −1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．已知不等式组{x +y ≤2x −y ≥−2y >1表示的平面区域为M 若直线y =kx −3k +1与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是________．手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为√22的圆周上，从整点i 到整点(i +1)的向量记作t i t i+1→，则t 1t 2→⋅t 2t 3→+t 2t 3→⋅t 3t 4→+⋯+t 12t 1→⋅t 1t 2→=________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =√5,b =3,sin C =2sin A (Ⅰ)求c 的值；(Ⅱ)求sin (2A −π4)的值．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =√5,b =3,sin C =2sin A (Ⅰ)求c 的值；(Ⅱ)求sin (2A −π4)的值．如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（1）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA // 平面BDE ；（2）求证：平面BED ⊥平面SAC ．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．设a ∈R ，函数f(x)＝ax 3−3x 2．（1）若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求实数a的值；（2）若函数g(x)＝e x f(x)在[0, 2]上是单调减函数，求实数a的取值范围．)．已知椭圆C的两焦点为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，并且经过点M(1,32（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O:x2+y2=1，直线l:mx+ny=1，证明当点P(m, n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q使得c n+1=pc n+q对于任意n∈N∗都成立，我们称数列{c n}是“T数列”．（1）若a n=2n，b n=3⋅2n，n∈N∗，数列{a n}、{b n}是否为“T数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；（2）证明：若数列{a n}是“T数列”，则数列{a n+a n+1}也是“T数列”；（3）若数列{a n}满足a1=2，a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，t为常数．求数列{a n}前2013项的和．参考答案与试题解析2012年北京市怀柔区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】补集及其运算【解析】根据补集的定义直接求解：∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．【解答】解：根据补集的定义，∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有0，1符合元素的条件．∁U A={0, 1}故选：A．2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】直接根据zi=2，可得复数z=2i．【解答】解：∵zi=2，则复数z=2i，故选C．3.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，是否有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+3y=0和2x+2y=3，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有−a3=−1即a=3，所以“a=3”是“直线ax+3y=0和2x+2y=3平行的”的充分必要条件．故选C．4. 【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，上底是1，下底是2，梯形的高是√1+1=√2四棱锥的高是1×√22=√22，根据四棱锥的体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，上底是1，下底是2，梯形的高是√1+1=√2四棱锥的高是1×√22=√22∴四棱锥的体积是13×(1+2)×√22×√22=12故选A．5.【答案】C【考点】求二倍角的正弦三角函数的周期性及其求法【解析】利用二倍角公式把函数的解析式化为sin2x，再利用函数的奇偶性和周期性得出结论．【解答】解：由于函数y=(sin x+cos x)2−1=2sin x cos x=sin2x，且满足f(−x)=sin(−2x)=−sin2x=−f(x)，故函数为奇函数，且周期为2π2=π，故选C．6.【答案】C【考点】向量的加法及其几何意义【解析】利用平行四边形法则做出向量OP→+OQ→，再进行平移，利用向量相等的条件，可得a→=FO→．【解答】解：设a→=OP→+OQ→，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量a→=OP→+OQ→，由a→和FO→长度相等，方向相同，∴a→=FO→，故选C．7.【答案】A【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】由题意可得S≤log2(4x3)=2+3log2x=2+3log x2≤2+3S，化简可得S2−2S−3≤0，解得S的范围，可得S的最大值．【解答】解：由题意可得S≤logx 2，且S≤log2(4x3)，且S>0．由于S≤log2(4x3)=2+3log2x=2+3log x2≤2+3S，化简可得S2−2S−3≤0，解得−1≤S≤3，当且仅当logx 2=log2(4x3)，即x=√23时，取等号，故S的最大值为3，故选A．8.【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由f(x+2)=f(x)，知函数y=f(x)(x∈R)是周期为2的函数，进而根据f(x)=1−x2与函数g(x)={lg x(x>0)−1x(x<0)的图象得到交点为8个．【解答】解：因为f(x+2)=f(x)，所以函数y=f(x)(x∈R)是周期为2函数，因为x∈[−1, 1]时，f(x)=1−x2，所以作出它的图象，则y=f(x)的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数g(x)={lg x(x>0)−1x(x<0)的图象，容易得出到交点为8个．故选C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．【答案】[0, +∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】由题意可得1−(12)x≥0，即(12)x≤(12)0，由此解得x的范围，即得函数的定义域．【解答】解：由函数y=√1−(12)x可得，1−(12)x≥0，即(12)x≤(12)0，解得x≥0，故函数y=√1−(12)x的定义域是[0, +∞).故答案为：[0, +∞)．【答案】i≤2011【考点】数列的求和循环结构的应用【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一次循环：S=0+1，i=1，第二次循环：S=1+13，i=3，第三次循环：S=1+13+15，i=5，…依此类推，第1006次循环：S=1+13+15+...+12011，i=2011，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i≤2011，故答案为：i≤2011．【答案】√33【考点】直线与圆的位置关系【解析】连接OM，利用切线的性质可得OM⊥AB．设⊙O的半径OM=OC=r．在Rt△OAM中，利用边角关系可得OA=OMsin30∘=2r．在Rt△ABC中，利用边角关系可得AC=BCtan30∘=√3，再由√3=AC=OA+OC=3r，即可得出．【解答】解：连接OM，则OM⊥AB．设⊙O的半径OM=OC=r．在Rt△OAM中，OA=OMsin30∘=2r．在Rt△ABC中，AC=BCtan30∘=√3，∴√3=AC=OA+OC=3r，∴r=√33．故答案为√33．【答案】(1, 2]【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x∈(1, 2)时，不等式(x−1)2<log a x恒成立，则y= log a x必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：∵函数y=(x−1)2在区间(1, 2)上单调递增，∴当x∈(1, 2)时，y=(x−1)2∈(0, 1)，若不等式(x−1)2<log a x恒成立，则a>1且1≤loga2即a∈(1, 2]，故答案为：(1, 2]．【答案】[−13, 0)【考点】二元一次不等式（组）与平面区域直线系方程【解析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件{x+y≤2x−y≥−2y>1的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=kx−3k+1中，求出y=kx−3k+1对应的k的端点值即可．【解答】解：满足约束条件{x+y≤2x−y≥−2y>1的平面区域如图示：因为y=kx−3k+1过定点A(3, 1)．所以当y=kx−3k+1过点B(0, 2)时，找到k=−13当y=kx−3k+1过点(1, 1)时，对应k=0．又因为直线y=kx−3k+1与平面区域M有公共点．所以−13≤k<0．故答案为：[−13, 0)．【答案】6√3−9【考点】平面向量数量积的运算【解析】把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计算出每个向量的模的平方都是1−√32，而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得可到结果．【解答】解：∵整点把圆分成12份，∴每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为1−√32，每对向量的夹角为30∘，∴每对向量的数量积为(1−√32)cos30∘=√32(1−√32)，∴最后结果为12×√32(1−√32)=6√3−9，故答案为：6√3−9．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．【答案】（1）在△ABC中，根据正弦定理csin C=asin A，a=√5，b＝3，sin C＝2sin A，∴c=a sin Csin A=2a＝2√5；（2）在△ABC中，根据余弦定理，得cos A=c2+b2−a22bc=125=5=2√55，∴sin A=√1−cos2A=√55，∴sin2A＝2sin A cos A=45，cos2A＝cos2A−sin2A=35，则sin(2A−π4)＝sin2A cosπ4−cos2A sinπ4=√210．【考点】正弦定理余弦定理【解析】(Ⅰ)利用正弦定理列出关系式，将a 及sin C ＝2sin A 变形后代入，即可求出c 的值；(Ⅱ)在三角形ABC 中，利用余弦定理表示出cos A ，将三边长代入求出cos A 的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sin A 的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin 2A 与cos 2A 的值，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简所求式子，将sin 2A 与cos 2A 的值代入即可求出值．【解答】（1）在△ABC 中，根据正弦定理csin C =asin A ，a =√5，b ＝3，sin C ＝2sin A ， ∴ c =a sin C sin A=2a ＝2√5；（2）在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A =c 2+b 2−a 22bc=12√5=√5=2√55， ∴ sin A =√1−cos 2A =√55， ∴ sin 2A ＝2sin A cos A =45，cos 2A ＝cos 2A −sin 2A =35，则sin (2A −π4)＝sin 2A cos π4−cos 2A sin π4=√210．【答案】证明：（1）连接OE ，当E 为侧棱SC 的中点时，OE 为△SAC 的中位线，所以SA // OE ，因为SA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以SA // 平面BDE ．（2）因为SB =SD ，O 是BD 中点，所以BD ⊥SO ，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，因为AC ∩SO =O ，所以BD ⊥平面SAC ．又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面SAC ．【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）连接OE ，当E 为侧棱SC 的中点时，OE 为△SAC 的中位线，所以SA // OE ，由此能够证明SA // 平面BDE ．（2）因为 SB =SD ，O 是BD 中点，所以BD ⊥SO ，因为四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，因为AC ∩SO =O ，所以BD ⊥平面SAC ．由此能够证明平面BDE ⊥平面SAC ．【解答】证明：（1）连接OE ，当E 为侧棱SC 的中点时，OE 为△SAC 的中位线，所以SA // OE ，因为SA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以SA // 平面BDE ．（2）因为SB =SD ，O 是BD 中点，所以BD ⊥SO ，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，因为AC ∩SO =O ，所以BD ⊥平面SAC ．又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面SAC ．【答案】解：(1)由分组[10, 15)内的频数是10，频率是0.25知，10M =0.25， ∴ M =40．∵ 频数之和为40，∴ 10+24+m +2=40，解得m =4， p =mM =440=0.10．∵ a 是对应分组[15, 20)的频率与组距的商，∴ a =2440×5=0.12.(2)∵ 该校高三学生有240人，分组[10, 15)内的频率是0.25，∴ 估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为240×0.25=60人．(3)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m +2=6人，设在区间[20, 25)内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25, 30)内的人为b 1，b 2．则任选2人共有(a 1, a 2)，(a 1, a 3)，(a 1, a 4)，(a 1, b 1)，(a 1, b 2)，(a 2, a 3)，(a 2, a 4)，(a 2, b 1)，(a 2, b 2)，(a 3, a 4)，(a 3, b 1)，(a 3, b 2)，(a 4, b 1)，(a 4, b 2)，(b 1, b 2)共15种情况，而两人都在[25, 30)内只能是(b 1, b 2)一种， ∴ 所求概率为P =1−115=1415．【考点】频数与频率用样本的数字特征估计总体的数字特征列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（I）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．(II)根据该校高三学生有240人，分组[10, 15)内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．(III)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2＝6人，设出在区间[20, 25)内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25, 30)内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．【解答】解：(1)由分组[10, 15)内的频数是10，频率是0.25知，10M=0.25，∴M=40．∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，解得m=4，p=mM =440=0.10．∵a是对应分组[15, 20)的频率与组距的商，∴a=2440×5=0.12.(2)∵该校高三学生有240人，分组[10, 15)内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为240×0.25=60人．(3)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[20, 25)内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25, 30)内的人为b1，b2．则任选2人共有(a1, a2)，(a1, a3)，(a1, a4)，(a1, b1)，(a1, b2)，(a2, a3)，(a2, a4)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a3, a4)，(a3, b1)，(a3, b2)，(a4, b1)，(a4, b2)，(b1, b2)共15种情况，而两人都在[25, 30)内只能是(b1, b2)一种，∴所求概率为P=1−115=1415．【答案】f′(x)＝3ax2−6x＝3x(ax−2)．因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a−2)＝0，所以a＝1．经检验，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．即a＝1．由题设，g′(x)＝e x(ax3−3x2+3ax2−6x)，又e x>0，所以，∀x∈(0, 2]，ax3−3x2+3ax2−6x≤0，这等价于，不等式a≤3x 2+6xx+3x =3x+6x+3x对x∈(0, 2]恒成立．令ℎ(x)=3x+6x2+3x(x∈(0, 2])，则ℎ′(x)=−3(x2+4x+6)(x2+3x)2=−3[(x+2)2+2](x2+3x)2<0，所以ℎ(x)在区间(0, 2]上是减函数，所以ℎ(x)的最小值为ℎ(2)=65．所以a≤65．即实数a的取值范围为(−∞,65]．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】（1）由条件“x＝2是函数y＝f(x)的极值点”可知f′(2)＝0，解出a，需要验证在x＝2处附近的导数符号有无改变；（2）由在[0, 2]上是单调减函数可转化成在[0, 2]上导函数恒小于零，再借助参数分离法分离出参数a，再利用导数法求出另一侧的最值即可．【解答】f′(x)＝3ax2−6x＝3x(ax−2)．因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a−2)＝0，所以a＝1．经检验，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．即a＝1．由题设，g′(x)＝e x(ax3−3x2+3ax2−6x)，又e x>0，所以，∀x∈(0, 2]，ax3−3x2+3ax2−6x≤0，这等价于，不等式a≤3x2+6xx3+3x2=3x+6x2+3x对x∈(0, 2]恒成立．令ℎ(x)=3x+6x2+3x(x∈(0, 2])，则ℎ′(x)=−3(x2+4x+6)(x2+3x)2=−3[(x+2)2+2](x2+3x)2<0，所以ℎ(x)在区间(0, 2]上是减函数，所以ℎ(x)的最小值为ℎ(2)=65．所以a≤65．即实数a的取值范围为(−∞,65]．【答案】解：（1）解法一：设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由椭圆的定义知：2a=√(1+1)2+(32−0)2+√(1−1)2+(32−0)2=4，c=1，b2=a2−c2=3得a=2,b=√3故C的方程为x24+y23=1．解法二：设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，依题意，a2=b2+1①，将点M(1,32)坐标代入得12a2+(32)2b2=1②由①②解得a2=4，b2=3，故C的方程为x24+y23=1．（2）因为点P(m, n)在椭圆C 上运动，所以m 24+n 23=1，则m 2+n 2>m 24+n 23=1，从而圆心O 到直线l:mx +ny =1的距离d =22<1=r ，所以直线l 与圆O 相交．直线l 被圆O 所截的弦长为L =2√1−d 2=2√1−1m +n =2√1−1m 2+3(1−m 24)=2√1−114m 2+3∵ 0≤m 2≤4∴ 3≤14m 2+3≤4，14≤114m 2+3≤13，∴2√63≤L ≤√3．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）解法一由椭圆的定义知2a =|MF 1|+|MF 2|=4，得到a =2，又c =1根据a ，b ，c 的关系b 2=a 2−c 2=3故得到a =2,b =√3，进而可得答案；解法二利用待定系数法设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，将M 点的坐标代入得12a 2+(32)2b 2=1又a 2=b 2+1所以可得a 2=4，b 2=3，进而可得答案；（2）点P 在椭圆上即m 24+n 23=1所以m 2+n 2>m 24+n 23=1，所以圆心到直线的距离小于半径r ，所以直线l与圆O 相交．所以弦长l =L =2√1−d 2=2√1−114m 2+3又0≤m 2≤4所以2√63≤L ≤√3．【解答】解：（1）解法一：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由椭圆的定义知：2a =√(1+1)2+(32−0)2+√(1−1)2+(32−0)2=4，c =1，b 2=a 2−c 2=3得a =2,b =√3 故C 的方程为x 24+y 23=1．解法二：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，依题意，a 2=b 2+1①，将点M(1,32)坐标代入得12a 2+(32)2b 2=1②由①②解得a 2=4，b 2=3，故C 的方程为x 24+y 23=1．（2）因为点P(m, n)在椭圆C 上运动，所以m 24+n 23=1，则m 2+n 2>m 24+n 23=1，从而圆心O 到直线l:mx +ny =1的距离d =√m 2+n 2<1=r ，所以直线l 与圆O 相交．直线l 被圆O 所截的弦长为L =2√1−d 2=2√1−1m +n =2√1−1m 2+3(1−m 24)=2√1−114m 2+3∵ 0≤m 2≤4∴ 3≤14m 2+3≤4，14≤114m 2+3≤13，∴2√63≤L ≤√3．【答案】解：（1）因为a n =2n ，则有a n+1=2n +2=1×a n +2(n ∈N ∗)，所以数列{a n }是“T 数列”，对应的实常数分别为1和2．因为b n =3⋅2n ，则有b n+1=3⋅2n+1=2×3⋅2n+1=2b n (n ∈N ∗)，所以数列{b n }是“T 数列”，对应的实常数分别为2和0−−− （2）若数列{a n }是“T 数列”，则存在实常数p 、q ，使得a n+1=pa n +q 对于任意n ∈N ∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q 对于任意n ∈N ∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n +a n+1)+2q 对于任意n ∈N ∗都成立，故数列{a n +a n+1}也是“T 数列”．对应的实常数分别为p 、2q ．---------------------（3）因为 a n +a n+1=3t ⋅2n (n ∈N ∗)，则有a 2+a 3=3t ⋅22，a 4+a 5=3t ⋅23，…，a 2010+a 2011=3t ⋅22010，a 2012+a 2013=3t ⋅22012．故数列{a n }的前2013项的和S 2013=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+...+(a 2010+a 2011)+(a 2012+a 2013) =2+3t ⋅22+3t ⋅24+...+3t ⋅22010+3t ⋅22012=2+3t ⋅4(1−41006)1−4=2+t(22014−4)．---------【考点】数列递推式【解析】（1）根据“T 数列”的定义加以验证，可得{a n }是“T 数列”，对应的实常数分别为1和2；数列{b n }也是“T 数列”，对应的实常数分别为2和0；（2）若数列{a n }是“T 数列”，则存在实常数p 、q ，满足a n+1=pa n +q 、a n+2=pa n+1+q 对于任意n ∈N ∗都成立，两式对应相加即可证出数列{a n +a n+1}也是“T 数列”，对应的实常数分别为p 、2q ；（3）根据等式a n +a n+1=3t ⋅2n (n ∈N ∗)，分别取n =2、4、…、2012，得到1006个等式．而S 2013=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+...+(a 2010+a 2011)+(a 2012+a 2013)，将a 1=2和前面1006个等式代入，结合等比数列求和公式即可算出数列{a n }前2013项的和的表达式．【解答】解：（1）因为a n =2n ，则有a n+1=2n +2=1×a n +2(n ∈N ∗)，所以数列{a n }是“T 数列”，对应的实常数分别为1和2．因为b n =3⋅2n ，则有b n+1=3⋅2n+1=2×3⋅2n+1=2b n (n ∈N ∗)，所以数列{b n }是“T 数列”，对应的实常数分别为2和0−−− （2）若数列{a n }是“T 数列”，则存在实常数p 、q ，使得a n+1=pa n +q 对于任意n ∈N ∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q 对于任意n ∈N ∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n +a n+1)+2q 对于任意n ∈N ∗都成立，故数列{a n +a n+1}也是“T 数列”．对应的实常数分别为p 、2q ．---------------------（3）因为 a n +a n+1=3t ⋅2n (n ∈N ∗)，则有a 2+a 3=3t ⋅22，a 4+a 5=3t ⋅23，…，a 2010+a 2011=3t ⋅22010，a 2012+a 2013=3t ⋅22012．故数列{a n }的前2013项的和S 2013=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+...+(a 2010+a 2011)+(a 2012+a 2013) =2+3t ⋅22+3t ⋅24+...+3t ⋅22010+3t ⋅22012=2+3t ⋅4(1−41006)1−4=2+t(22014−4)．---------。

2012年高考数学(文科)试卷北京卷(含答案)最完美最高清word版

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（2012年北京卷，文科）已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A ．（-∞，-1）B ．（-1，-23）C ．（-23,3） D ． (3,+∞) 2．（2012年北京卷，文科）在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为A ． (1 ,3)B ．(3,1)C ．(-1,3)D ．(3 ,-1) 3．（2012年北京卷，文科）设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-4．（2012年北京卷，文科）执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）165．（2012年北京卷，文科）函数xx x f )21()(21-=的零点个数为（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3 6．（2012年北京卷，文科）已知为等比数列，下面结论种正确的是（A ）a 1+a 3≥2a 2 （B ）2223212a a a ≥+ （C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2（D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 7．（2012年北京卷，文科）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+65（B ）30+65（C ）56+125（D ）60+1258．（2012年北京卷，文科）某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（A ）5（B ）7（C ）9（D ）11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．（2012年北京卷，文科）直线x y =被圆4)2(22=-+y x 截得弦长为__________。