第2章 数学模型2

=
⎡ ⎢⎣
A01 t (r −1)!
r −1
+
(r
A02 − 2)!
t
r
−2
+
+
A0r
⎤ ⎥
e−
p0t
⎦
+
A e− pr+1t r +1
+
+ Ane− pnt
(t ≥ 0)
+ An ] (s + pn )
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二、数学模型
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例：求
F(s)
=
(s
+
s+3 2)2 (s
序号
典型函数
拉式变换值
1
单位阶跃
1
2
指数函数
f (t) = e−at
3
正弦函数
sin ωt
4
余弦函数
cos ω t
5
单位脉冲函数
1 lim ε→0 ε
6
单位速度函数 t
7
单位加速度函数 1 t2
2
1 s 1 s+a
ω s2 +ω2
s s2 +ω2
1
1 s2 1 s3
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=
s2 − s + 2 s(s2 − s − 6)
i1
=
s2 − s + 2 s(s2 − s − 6)
(4)通过，获得系统响应；——通过拉式反变换
y(t) = L −1 [Y (s)]
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二、数学模型
∫ F (s) = L [ f (t)] ≡ ∞ f (t)e−stdt 0
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二、数学模型
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¾ F(s)只含有不同的实数极点
F (s) = B(s) = A1 + A2 + A(s) s + p1 s + p2
∑ +
An
n
=
Ai
s + pn i=1 s + pi
式中，Ai为待定常数，称为s = -pi极点处的留数。
Ai = [F ( s ) ⋅ ( s + ] pi ) s = − pi
5
二、数学模型
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¾ 部分分式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：
F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s) 假定F1(s), F2(s), …，Fn(s)的拉氏反变换可以容易 地求出，则： L -1[F(s)] = L -1[F1(s)]+ L -1[F2(s)]+…+ L -1[Fn(s)]
r重极点-p0
F(s)
=
B(s) A(s)
=
b0sm (s +
+ b1sm−1 + + p0)r (s + pr+1)
bm−1s + bm (s + pn)
=
A01 (s + p0)r
+
(s
A02 + p0
)r
−1
+
+ A0r + Ar+1 + (s + p0) (s + pr+1)
+ An (s + pn)
由于p1、p2为共轭复数，因此， A1和A2的也为共轭 复数。
Ai = [F ( s) ⋅ ( s + ] pi ) s = − pi
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2
二、数学模型
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例：求
F(s)
=
s(s2
ω
2 n
+ 2ξωns
+ ωn2 ) ,
0
<ξ
<1
的原函数。[略]
= f1(t) + f2(t) + … + fn(t)
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1
二、数学模型
F(s) =
s2 - s+ 2 s(s2 - s - 6)
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在控制理论中，通常：
F(s)
=
B(s) A(s)
=
b0 s m a0 s n
+ b1sm−1 + a1sn−1
+ +
s
⎜⎛ ⎝
s
+
1 2
⎟⎞2 ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
3 2
⎟⎟⎠⎞
2
3
⎜⎛ ⎝
s
+
1 2
⎟⎞2 ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
3 2
⎟⎟⎠⎞
2
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位移定理：L ⎡⎣e−at f (t)⎤⎦ = F (s + a)
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查拉氏变换表得：
f (t) = 1− e−t 2 cos 3 t + 1 e−t 2 sin 3 t
=
⎡ ⎢ ⎣
(s
+
3)′(s
+1) − (s (s +1)2
+
3)(s
+
1) ′
⎤ ⎥ ⎦
s=−2
= −2
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二、数学模型
A3 = [F (s)(s + 1)]s=−1 = 2
F(s)
=
(s
−1 + 2)2
−
s
2 +
2
+
s
2 +1
于是：
f (t) = L −1[F (s)] = −(t + 2)e−2t + 2e−t
例：求
F(s)
=
s +1 s(s2 + s +1)
的原函数。
解：F (s) =
s +1
= A0 + A1s + A2
s⎜⎜⎝⎛
s
+
1 2
+
j
3 2
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
s
+
1 2
−
j
3 2
⎟⎟⎠⎞
s
s2 + s +1
A0
=
sF (s) s=0
=1
(s2 + s + 1)F (s) s=−1 − j 2
3 2
F (s) = B(s) = A1s + A2 + A3 + + An
A(s) (s + p1)(s + p2 ) s + p3
s + pn
式中，A1和A2的值由下式求解：
[ ] [ ] F (s)(s + p1)(s + p2 ) s=− p1或s=− p2 = A1s + A2 s=− p1或s=− p2
= ( A1s +
A2 ) s=− 1 − j 2
3 2
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二、数学模型
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即：⎪⎪⎨⎧−
1 2
( A1
+
A2 )
=
1 2
⎪ ⎪⎩
3 2
(
A1
−
A2
)
=
−
3 2
⇒
A1 = −1,
A2 = 0
所以： F
(s)
=
1 s
−
s2
s +s
+1
=1−
s
s
⎜⎛ ⎝
+ bm−1s + bm + an−1s + an
(n ≥ m)
为了应用部分分式法，将F(s) 分母分解成下面形式：
F (s) = B(s) = b0sm + b1sm−1 + + bm−1s + bm A(s) (s + p1)(s + p2 ) (s + pn )
式中，p1，p2，…，pn为方程A(s)=0的根的负值，称为 F(s)的极点。
上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相
等即可确定A1和A2的值。
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二、数学模型
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注意：此时F(s)仍可分解为下列形式：
F (s) = B(s) = A1 + A2 + A(s) s + p1 s + p2
∑ +
An
n
=
Ai
s + pn i=1 s + pi
∑ ∑ 于是：
f (t) = L
−1[F (s)] = L
−1
⎡ ⎢
n
⎣ i=1
s
Ai + pi
⎤ ⎥ ⎦
=
n i =1
Aie− pit
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例：求
F(s)