数学模型5

合集下载

数学模型(第五版)

数学模型（第五版）
2018年高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材特色 05 作者简介
目录
02 内容简介 04 教学资源
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写，高等教育出版社出版的 “十二五”普通高等教育本科国家级规划教材，适合作为高等学校各专业学生学习数学建模课程的教材和参加数学建模竞赛的辅导材第五版）习题参考解答》是为配合《数学模型（第五版）》而编写的学习指导书，书号为9787-04--4，2018年5月23日由高等教育出版社出版，170千字、128页。
《数学模型（第五版）》开通有数字课程、MOOC课程的资源。
作者简介
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写。姜启源：同济大学应用数学系教授。谢金星：清华大学数学科学系教授。叶俊：清华大学数学科学系教授。
内容简介
《数学模型（第五版）》共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
教材特色
教材参考中国国内外数学建模教材和教学单元，第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行补充与修订：增加了一些实用性较强、生活气息浓烈、数学推导简化的案例，改写、合并、调整了若干案例和章节，删除了个别案例，并对习题作了相应的修订。
全书共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
成书过程
第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行增删与修订，新增和改编的案例接近案例总数的一半，新版本于2018年5月由高等教育出版社出版（《即数学模型（第五版）》）。
感谢观看

§5 数学模型：定积分的应用

438§5 数学模型：定积分的应用定积分的概念来源于几何学上求曲边梯形的面积和物理学中的实际问题，因而有着广泛的应用。

由于定积分定义为积分和的极限，因此当所研究的量可以归结为求类似积分和的和式的极限时，就可用定积分来求解。

其思想方法为：“分割，代替，求和，取极限。

”定积分的思想常应用在建立求总量的数学模型中，它在几何、物理、经济、社会学等几乎每一门学科中都有着广泛的用途，成为定量研究各种自然规律与社会现象的必不可少的工具。

各种在整体范围内为变化的或弯曲的几何或物理对象，在经过分割后的局部范围内可以近似的认为是不变的或直的，然后用定积分（求和）的思想建立定积分模型。

为了今后讨论方便，需要寻找建立这一类模型的共同的简单方法，从而在建立积分模型时，不必重复定积分概念引入时的分析和推导过程。

5.1 定积分的微元法 1 定积分概念的实质分析引例(积水问题) 设水流到水箱的速度为)(t r 升／分钟，问从0=t 到2=t 这段时间水流入水箱的总量W 是多少？利用定积分的思想，这个问题要用以下几个步骤来解决。

Step(1) 分割：用任意一组分点把区间[]2,0分成长度为),,2,1(1n i t t t i i i =-=∆-的n 个小时间段；Step(2) 代替：设第i 个小时间段里流入水箱的水量是i W ∆ ，在每个小时间段上，水的流速可视为常量，得i W ∆的近似值i i i t r W ∆≈∆)(ξ （i i i t t ≤≤-ξ1）； Step(3) 求和：得W 的近似值∑=∆=ni i i t r W 1)(ξ；439Step(4) 取极限：得W 的精确值⎰∑=∆==→21d )()(lim t t r t r W ni i i ξλ。

上述四个步骤 “分割－代替－求和－取极限” 可概括为两个步骤。

第一个步骤：包括分割和求近似．其主要过程是将时间间隔细分成很多小的时间段，在每个小的时间段内，“以常代变”，将水的流速近似看作是匀速的，设为)(i t r ，得到在这个小的时间段内流入水箱的水量i i i t t r W ∆≈∆)(。

模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义

模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型例题精讲考点一、A字相似模型【例1】．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则＝．解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为．【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．解：（1）∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝AD+BD＝16，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC；（2）由（1）可知，△ACD∽△ABC，∴∠ABE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AE＝＝．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴＝，∵，∴CD＝BD，∴，∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴．变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∵EA∥BC，∴△AEF∽△CBF，∵AE＝DE＝AD，CB＝AD，∴＝＝＝＝，∴AF＝AC，EF＝BF，＝S△ABC，∴S△ABF＝S△ABF＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△AEF＝2，∵S△AEF＝6S△AEF＝6×2＝12，故选：C．∴S△ABC【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝1：2．解：如图，∵在△ADC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，∴∠ACD＝30°，∴＝．又∵在△ABE中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，∴∠ABE＝30°，∴＝，∴＝．又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DE：BC＝AD：AC＝1：2．故答案是：1：2．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB＝2OE，＝2S△DOE＝2×1＝2，∴S△BOD＝3，∴S△BDE∵AD＝BD，＝2S△BDE＝6，∴S△ABE∵AE＝CE，＝2S△ABE＝2×6＝12．故选C．∴S△ABC变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，＝1，则S△ABC＝24．若S△EFG解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（AAS），＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∴S△DMF∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，＝2S△DMF＝2，∴S△ADM∵DM为△ABG的中位线，∴＝，＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S△ABG＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S梯形DMGB＝S梯形DMGB＝6，∴S△BDE∵DE是△ABC的中位线，＝4S△BDE＝4×6＝24，∴S△ABC方法二：连接AE，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F是DE的中点，∴＝，∴＝＝，＝1，∵S△EFG＝16，∴S△ACG∵EF∥AC，∴＝＝，∴＝＝，＝S△ACG＝4，∴S△AEG＝S△ACG﹣S△AEG＝12，∴S△ACE＝2S△ACE＝24，故答案为：24．∴S△ABC【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴＝，即＝，∴EB＝3．（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴＝，即＝，∴EG＝，∴FG＝EG﹣EF＝．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；：S△EBC：S△ECD．（2）求S△ABE（1）证明：∵AB∥CD，∴＝＝，∵，∴＝，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝（）2＝，＝4m，∴S△CDE∵＝＝，＝2m，∴S△BEC：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．∴S△ABE模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；当时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；故选：D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2解：∵∠ABC+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，∵AD＝2，CD＝4，∴，∴AB2＝12，∴AB＝2或﹣2（不合题意，舍去），故选：D．【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，∴OD：OE＝OA：OB＝：1，∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA即∠DOA＝∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1＝，故答案为：．变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．∴△BAC∽△DAE；（2）∵△BAC∽△DAE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵AC＝，∴BM＝3，在Rt△ABM中，AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）解：如图中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝，故答案为：．实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．解：A、∵EF∥AB，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故A正确，B、易知△ADE∽△EFC，∴＝，∴＝，故B正确．C、∵△CEF∽△CAB，∴＝，∴＝，故C正确．D、∵DE∥BC，∴＝，显然DE≠CF，故D错误．故选：D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．故选：C．3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝，∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF长度最长，故选：A．4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．18解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故选：C．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则BE＝AD＝2，DE＝2，设B′C＝BC＝x，则DC＝x，∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝28+（x﹣2）2，解得：x＝4（负值舍去），∴BC＝4，AC＝，∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴∴△A′CA∽△B′CB，∴，即∴AA′＝，故选：A．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝6．解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴AC2＝AP•AB，即AB＝AC2÷AP＝16÷2＝8，∴BP＝AB﹣AP＝6．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，＝4，＝（）2＝，∵S△AEF＝36，故答案为36．∴S△BCE8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案为：8．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．解：∵将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，∴BD＝AB，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∠DEB＝∠ACB，∴∠D＝∠BAC＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD），∴∠BEC＝（180°﹣∠CBE），∴∠D＝∠BEC，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠DEB+∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠AGB＝∠EGC，∴∠ACE＝∠ABE，∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝DE＝5，过B作BH⊥DE于H，则DH＝AH，BD2＝DH•DE，∴DH＝＝，∴AD＝，∴AE＝DE﹣AD＝，∴sin∠ABE＝sin∠ACE＝＝＝，故答案为：．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如图，∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴＝，且∠ACB＝∠ACB∴△ABC∽△MEC∴∠CAB＝∠CME＝∠ACB∴ME＝CE＝212．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝1；②求的值．（1）证明：如图①，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．（2）解：①如图②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴AD＝＝＝AE，∵＝，∴AD＝BD，∴AE＝BD，∴＝1，故答案为：1．②如图②，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△BAC∽△CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABC＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴＝，由①得AD＝AE，AD＝BD，∴＝＝，∴BD＝CE，∴AD＝×CE＝3CE，∴＝3，∴＝3，∴的值是3．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABN＝∠MBE＝45°，∠BME＝∠ABD+∠BAM＝45°+∠BAM，∵∠EAF＝45°，∴∠BAN＝∠EAF+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠BME，∴△ABN∽△MBE．（2）证明：如图1，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接MH，∴∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，HB＝ND，∵∠MAN＝∠EAF＝45°，∴∠MAH＝∠BAH+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAH＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△MAH≌△MAN（SAS），∴MH＝MN，∵∠ABH＝∠ADN＝45°，∴∠MBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，∴BM2+HB2＝MH2，∴BM2+ND2＝MN2．（3）解：①如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∠ABK＝∠ADF＝90°，∴∠ABK+∠ABE＝180°，∴点K、点B、点E在同一条直线上，∵∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAK＝∠EAFM，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF（SAS），∴EK＝EF，∴BE+DF＝BE+BK＝EK＝EF，∵CB＝CD＝AB＝4，∴CE+EF+CF＝CE+BE+DF+CF＝CB+CD＝4+4＝8，∴△CEF的周长是8．②如图2，∵F是CD的中点，∴CF＝DF＝CD＝2，∵∠C＝90°，∴CF2+EF2＝CE2，∵EF＝BE+DF＝BE+2，CE＝CB﹣BE＝4﹣BE，∴22+（4﹣BE）2＝（BE+2）2，解得BE＝，∴EF＝+2＝，∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴＝，∴＝，∴∠AMB＝∠NME，∴△AMB∽△NME，∴∠NEM＝∠ABM＝45°，∴∠ENF＝∠MAN+∠NEM＝90°，∵G是EF的中点，∴NG＝EF＝×＝，故答案为：．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，∴AD＝．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．解：（1）①猜想：BG ⊥DE ，BG ＝DE ；故答案为：BG ＝DE ，BG ⊥DE ；②结论成立．理由：如图2中，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，∴∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴BG ＝DE ，∠CBG ＝∠CDE ，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG ⊥DE ．（2）∵AB ＝a ，BC ＝b ，CE ＝ka ，CG ＝kb ，∴＝＝，又∵∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ∽△DCE ，∴∠CBG ＝∠CDE ，＝＝，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG⊥DE．故答案为：＝，BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB＝4，BC＝3，CE＝2，CG＝1.5，∵BG⊥DE，∠BCD＝∠ECG＝90°∴BE2+DG2＝BO2+OE2+DO2+OG2＝BC2+CD2+CE2+CG2＝9+16+2.25+4＝．。

数学模型5方人口问题

题：现有5方人口，分别为5117,4400,1162,161,160，试用GR和QM 的方法分配100个席位。

解：一：最大剩余法（GR ）设第i 方人数为p i ，已占有n i 个席位（其中n i 为第i 方人数与总人数的比再乘上总席位数，然后通过取整函数取整所得），(i=1,2,3,4,5) 题意得:p 1=5117,n 1=46;p 2=4400,n 2=40;p 3=1162,n 3=10;p 4=161,n 4=1;p5=160,n 5=1.现在5方人已经分得100个席位中的98个，还有2个未分配。

据Q 值法公式Q i=)1(2+n n p ii i .第99席: Q 1=474651172⨯ =12110.8，Q 2=414044002⨯= 11804.8，Q 3=111011622⨯=12274.9，Q 4=211612⨯=12960.5，Q 5=211602⨯=12800.因为Q 4最大, 所以将第99席分给第4方.第100席: 第4方增加一席之后Q 4=321612⨯=4320, Q 1,Q 2,Q 3,Q 5同上,这时Q 5最大,所以将第100席分给第5方.最后席位的分配如下表：即最后的席位分配为:第1方46个席位,第2方40个席位,第3方10个席位,第4方2个席位,第5方2个席位.二：份额法（QM ）份额法即满足定义：第i 方分配第s+1个席位合格是指 =（s+1）(即不违反份额上线)的前提下，当s 每增加一个席位时，据公式= 来分配新增加的一个席位，而且将新增加的一个席位分给值大的那个.设第i 方人数为p i ，已占有n i 个席位（其中n i 为第i 方人数与总人数的比再乘上总席位数，然后通过取整函数取整所得），(i=1,2,3,4,5) 题意得:p 1=5117,n 1=46;p2=4400,n 2=40;p3=1162,n 3=10;p4=161,n4=1;p5=160,n 5=1.第99席：因为n 2=40〉99⨯110004400=（s+1）Pp2,也就是说第99席如果分给第2方，此时的分配是不合格的.现在只考虑第1，3，4，5方.因为E 1=2558.5，E 3=581，E 4=80.5，E5=80, 此时E1最大，因为n 1=46〉110005117⨯100=46.51，即分配给第1方是不合格的，故排除.此时E 3最大，n 3=10〉110001162⨯100=10.56所以也排除，此时E 4最大，n 4=1<11000161⨯100=1.46将第99席分给第4方.第100席：因为n 2=40=100⨯110004400=40，所以将第100个席位分给第2方. 所以最后的分配如下表n i〈qiPpiEi1+np iiE i三：五种除数法.现在有5方人，共分配100个席位.记第i 方人数为p i ，且记 p =(p 1,p 2,p 3,p 4,p 5),P = ∑=51i ip .席位的分配是寻求n =(n 1,n 2,n 3,n 4,n 5),其中n i 是第i 方分得的席位，满足 ∑=51i i n =N ，且均为非负整数。

平行线中的拐点模型之蛇形模型(5字模型)(解析版)-2023-2024学年七年级数学常见几何模型归纳

平行线中的拐点模型之蛇形模型(5字模型)平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就平行线中的拐点模型(蛇形模型(“5”字模型))进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点(平行线)模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型1：蛇形模型(“5”字模型)基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α+γ=β+180°.如图2，已知：AB∥DE，结论：α+β=γ+180°.【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠β=∠FCB.∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠γ+∠FCD=180°，∵∠α=∠FCD+∠FCB，∴∠α+∠γ=∠β+180°在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠β+∠FCB=180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠γ=∠FCD，∵∠α=∠FCD+∠FCB，∴∠α+∠β=∠γ+180°1(2023下·安徽黄山·七年级统考期末)如图，已知AB∥DE，∠A=25°，∠CDE=135°，则∠ACD的度数是()A.45°B.60°C.70°D.90°【答案】C【分析】过C作CM∥CD，求出AB∥CM∥DE，根据平行线的性质得出∠ACM=∠CAB，∠CDE=+∠MCD=180°，即可得出答案．【详解】解：过C作CM∥CD，∵AB∥DE，∴AB∥CM∥DE，∴∠ACM=∠A=25°，∠MCD+∠CDE=180°，∵∠CDE=135°，∴∠MCD=180°-∠CDE=180°-135°=45°,∴∠ACD=∠ACM+∠MCD=25°+45°=70°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．2(2023下·黑龙江鸡西·七年级期中)如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A= 130°，第二次拐角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C 的度数()A.160°B.150°C.140°D.135°【答案】A【分析】延长AB、EC交于点D，根据AF∥DE，得出∠ADC=∠DAF=130°，根据邻补角求出∠DBC= 180°-∠ABC=30°，根据三角形外角的性质得出∠BCE=∠BDC+∠DBC=130°+30°=160°．【详解】解：延长AB、EC交于点D，如图所示：∵AF∥DE，∴∠ADC=∠DAF=130°，∵∠ABC=150°，∴∠DBC=180°-∠ABC=30°，∴∠BCE=∠BDC+∠DBC=130°+30°=160°．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．3(2022下·贵州黔南·七年级统考期中)如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为()A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β+γ=180°D.α+β-γ=180°【答案】D【分析】过点E作EF∥AB，再根据平行线的性质得出α+∠AEF=180°，γ=∠DEF，求解即可．【详解】过点E作EF∥AB，∴α+∠AEF=180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴γ=∠DEF，∵∠AEF=β-∠DEF，∴∠AEF=β-γ，∴α+β-γ=180°，故选：D．4(2023下·四川广安·七年级统考期末)如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母A~H表示，得到如图2的几何示意图，已知AB∥GF．试说明∠ABC=∠BCF+∠CFG．【答案】见解析【分析】方法一：延长AB交CF于点P，则∠CBP=180°-∠ABC，由平行线的性质可得∠CPB=∠CFG，再由三角形内角和定理进行计算即可得到答案；方法二：过点C作CQ∥AB，则CQ∥AB∥GF，由平行线的性质可得∠BCQ+∠ABC=180°，∠FCQ+∠CFG=180°，∠BCQ+∠BCF+∠CFG=180°，进行计算即可得到答案．【详解】解：方法一：如图1，延长AB交CF于点P，，，∴∠CBP =180°-∠ABC ，∵AB ⎳GF ，∴∠CPB =∠CFG ，∴∠BCF =180°-∠CBP -∠CPB =180°-180°-∠ABC -∠CFG ，∴∠ABC =∠BCF +∠CFG ；方法二：如图2，过点C 作CQ ∥AB ，∵AB ∥GF ，∴CQ ∥AB ∥GF ，∴∠BCQ +∠ABC =180°，∠FCQ +∠CFG =180°，∴∠BCQ =180°-∠ABC ，∠BCQ +∠BCF +∠CFG =180°，∴180°-∠ABC +∠BCF +∠CFG =180°，即∠ABC =∠BCF +∠CFG ．(任选一种方法说明即可)【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等，是解题的关键．5(2023下·浙江绍兴·七年级统考期末)如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAN ，AE 的反向延长线交∠CDN 的平分线于点M ，则∠M 与∠N 的数量关系是()A.∠M =2∠NB.∠M =3∠NC.∠M +∠N =180°D.2∠M +∠N =180°【答案】D【分析】先利用角平分线的定义得到∠BAE =12∠BAN ，∠CDM =12∠CDN ，过M 作MF ∥AB ，过N 作NH ∥AB ，再利用平行线的判定与性质得到∠FME =∠BAE =12∠BAN ，∠BAN =∠ANH ，∠FMD =∠CDM =12∠CDN ，∠CDN +∠HND =180°，经过角度之间的运算得到∠CDN -∠BAN =180°-∠AND ，∠DMA =12180°-∠AND ，即2∠DMA +∠AND =180°可求解．【详解】解：∵AE 平分∠BAN ，DM 平分∠CDN ，∴∠BAE =12∠BAN ，∠CDM =12∠CDN ，过M 作MF ∥AB ，过N 作NH ∥AB ，则∠FME =∠BAE =12∠BAN ，∠BAN =∠ANH ，∵AB∥CD，∴MF∥CD，NH∥CD，∴∠FMD=∠CDM=12∠CDN，∠CDN+∠HND=180°，∴∠AND=∠ANH+∠HND=∠BAN+180°-∠CDN，即∠CDN-∠BAN=180°-∠AND，又∵∠DMA=∠FMD-∠FME=12∠CDN-∠BAN=12180°-∠AND，∴2∠DMA+∠AND=180°，即2∠M+∠N=180°，故选：D．【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键．6(2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．(1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数；(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．(3)如图3，在(2)的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB=∠APD，求∠AND的度数．【答案】(1)∠APD=80°；(2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)∠AND=45°．【分析】(1)首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；(2)作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)先证明∠NOD=12∠PAB，∠ODN=12∠PDC，利用(2)的结论即可求解．【详解】解：(1)∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD =∠APQ +∠DPQ =50°+30°=80°；(2)∠PAB +∠CDP -∠APD =180°，如图，作PQ ∥AB ，∴∠PAB =∠APQ ，∵AB ∥CD ，∴PQ ∥CD ，∴∠CDP +∠DPQ =180°，即∠DPQ =180°-∠CDP ，∵∠APD =∠APQ -∠DPQ ，∴∠APD =∠PAB -(180°-∠CDP )=∠PAB +∠CDP -180°；∴∠PAB +∠CDP -∠APD =180°；(3)设PD 交AN 于O ，如图，∵AP ⊥PD ，∴∠APO =90°，由题知∠PAN +12∠PAB =∠APD ，即∠PAN +12∠PAB =90°，又∵∠POA +∠PAN =180°-∠APO =90°，∴∠POA =12∠PAB ，∵∠POA =∠NOD ，∴∠NOD =12∠PAB ，∵DN 平分∠PDC ，∴∠ODN =12∠PDC ，∴∠AND =180°-∠NOD -∠ODN =180°-12(∠PAB +∠PDC )，由(2)得∠PAB +∠CDP -∠APD =180°，∴∠PAB +∠PDC =180°+∠APD ，∴∠AND =180°-12(∠PAB +∠PDC )=180°-12(180°+∠APD )=180°-12(180°+90°)=45°，即∠AND =45°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7(2023下·陕西汉中·七年级校考期中)如图，已知直线AB ∥CD ，P 是平面内一点，连接PA 、PD ．(1)如图①，若∠PAB =130°，∠PDC =120°，求∠APD 的度数；(2)如图②，若∠A =50°，∠D =150°，求∠APD 的度数；(3)如图③，试判断∠PAB 、∠CDP 和∠APD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)110°(2)80°(3)∠CDP +∠PAB -∠APD =180°，见解析【分析】(1)过点P 作PE ∥AB ，根据两直线平行同旁内角互补可得答案；(2)过点P 作EF ∥AB ，根据两直线平行内错角相等可得出∠APE =50°，根据平行线公理及性质可得出∠EPD =30°，最后根据角的和与差即可得出答案；(3)过点P 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，据平行线的性质及角的和与差即可得出答案．【详解】(1)解：如图，过点P 作PE ∥AB ，∵AB∥PE，∴∠PAB+∠APE=180°，∵∠PAB=130°，∴∠APE=180°-130°=50°，∵AB∥CD，AB∥PE，∴PE∥CD，∴∠PDC+∠DPE=180°，∵∠PDC=120°，∴∠DPE=180°-120°=60°，∵∠APE+∠DPE=∠APD，∴∠APD=50°+60°=110°；(2)解：如图1，过点P作EF∥AB，∵∠A=50°，∴∠APE=∠A=50°．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDP+∠EPD=180°．∵∠D=150°，∴∠EPD=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°(3)解：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．理由：如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠CDP=∠DPF,∠FPA+∠PAB=180°，∴∠FPA=∠DPF-∠APD，∴∠DPF-∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．8(2023下·广东广州·七年级统考期末)甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：第一步：将一根铁丝AB在C，D，E处弯折得到如下图①的形状，其中AC∥DE，CD∥BE．第二步：将DE绕点D旋转一定角度，再将BE绕点E旋转一定角度并在BE上某点F处弯折，得到如下图②的形状．第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成∠G，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若∠C=2∠D，求∠E；(2)如图②，若AC∥BF，请判断∠C，∠D，∠E，∠F之间的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，如图③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，设∠D=x，∠F=y，求∠G．(用含x，y的式子表示)【答案】(1)∠E=60°(2)∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，理由见解析(3)∠G=23x+13y【分析】(1)根据平行线的性质得出∠C+∠D=180°，根据解题得出∠D=60°，进而根据CD∥BE，即可求解；(2)过点D,E分别作AC的平行线DN,EM，根据平行线的性质得出∠MED=∠NDE设∠MED=∠NDE=α，进而根据平行线的性质得出∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，即可得出结论；(3)根据(2)的结论可得∠ACD+x=∠DEF+y，∠G+∠ACG=∠F+∠GEF，根据已知∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，可得∠G+23∠ACD=23∠DEF+y，进而即可求解．【详解】(1)解：∵AC∥DE，∴∠C+∠D=180°，∵∠C=2∠D，∴3∠D=180解得：∠D=60°，∵CD∥BE．∴∠E=∠D=60°；(2)解：如图所示，过点D,E分别作AC的平行线DN,EM，∴EM∥DN，∴∠MED=∠NDE，设∠MED=∠NDE=α，又∵AC∥BF，∴AC∥DN，ME∥BF，∴∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，∴∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，；(3)∵∠D=x，∠F=y，∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，即∠ACD+x=∠DEF+y，∴∠DEF-∠ACD=x-y，由(2)可得∠G+∠ACG=∠F+∠GEF，∵∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，∴∠G+23∠ACD=23∠DEF+∠F，即∠G+23∠ACD=23∠DEF+y，∴∠G=y+23∠DEF-∠ACD=y+23x-y=23x+13y，∴∠G=23x+13y．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．课后专项训练1(2023下·山东泰安·七年级统考期末)如图，已知直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1的大小是()A.13°B.15°C.16°D.17°【答案】D【分析】过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，∠4=∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°，然后计算出∠1+∠2=30°，结合∠1比∠2大4°，即可得解．【详解】解：如图，过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，即l1∥AC，l2∥BD，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∵l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∴∠3+∠4=125°+85°-180°=30°，∴∠1+∠2=30°，∵∠1比∠2大4°，即∠1=∠2+4°，∴∠2=13°，∴∠1=17°，故选：D．【点睛】本题考查平行公理的推论，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．掌握平行线的性质并作辅助线是解题的关键．2(2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习)如图，是一段赛车跑道的示意图，其中AB∥DE，测得∠B =130°，∠D=70°．那么∠C=()A.90°B.100°C.110°D.120°【答案】D【分析】过“拐点”C作AB∥CF，利用平行线的性质即可求解．【详解】解：过点C作AB∥CF，如图所示：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF=180°-∠B=50°,∠DCF=∠D=70°，∴∠C=∠BCF+∠DCF=120°；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质．正确作出辅助线是解题关键．3(2023下·浙江杭州·七年级统考期末)如图，AB∥DE，∠ABC=α，∠CDE=β，则∠BCD的度数为()A.α+βB.β-αC.180°+α-βD.180°-α+β【答案】C【分析】过点C作CF∥DE，根据平行线的性质和判定即可判断．【详解】过点C作CF∥DE∵AB∥DE，CF∥DE，∴AB∥CF，∵AB∥CF，∴∠ABC=∠BCF=α，∵CF∥DE，∴∠CDE+∠FCD=β+∠FCD=180°，∴∠FCD=180°-β，∴∠BCD=∠BCF+∠FCD=α+180°-β=180°+α-β．故选：C【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．4(2023·河南驻马店·三模)如图，已知AB∥DE，∠ABC=150°，∠CDE=75°，则∠BCD的度数为()A.55°B.60°C.45°D.50°【答案】C【分析】过点C作CF∥AB，则AB∥DE∥CF，根据平行线的性质可得到∠BCF=∠ABC=150°，∠DCF =180°-∠CDE=105°，即可求得∠BCD=∠BCF-∠DCF=45°．【详解】如图，过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，CF∥AB，∴AB∥DE∥CF．∴∠BCF=∠ABC=150°，∠DCF+∠CDE=180°．∵∠CDE=75°，∴∠DCF=180°-75°=105°．∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=150°-105°=45°．故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．5(2023下·江西景德镇·七年级统考期末)如图所示，一艘轮船从A地出发，沿北偏东45°方向航行至B 地，再从B地出发沿南偏东25°，方向航行至C地，则∠ABC的度数为()A.70°B.65°C.50°D.45°【答案】A【分析】根据平行线的性质得出∠DBA=∠A=45°，进而即可求解．【详解】解：如图所示，∵AE∥BD，∴∠DBA=∠A=45°，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=25°+45°=70°，故选：A．【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．6(2023·河南·统考三模)如图，已知AB∥DE，∠ABC=150°，∠CDE=75°，则∠BCD的度数为()A.55°B.60°C.45°D.50°【答案】C【分析】过点C作CF∥AB，则AB∥DE∥CF，根据平行线的性质可得到∠BCF=∠ABC=150°，∠DCF =180°-∠CDE=105°，即可求得∠BCD=∠BCF-∠DCF=45°．【详解】如图，过点C作CF∥AB，∠DCF+∠CDE=180°∵AB∥DE，CF∥AB，∴AB∥DE∥CF．∴∠BCF=∠ABC=150°，．∵∠CDE=75°，∴∠DCF=180°-75°=105°．∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=150°-105°=45°．故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．7(2023下·上海·七年级期中)如图，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为()A.α+β+γB.β+γ-αC.180°-α-γ+βD.180°+α+γ+β【答案】C【分析】过C作CD∥AB，过M作MNEF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出α+∠BCD =180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．【详解】解：过C作CD∥AB，过M作MNEF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，∴x=∠BCD+∠DCM=180°-α+β-γ，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．8(2023下·广东深圳·七年级校考期中)如图，AB∥DE，∠B=60°，∠D=150°，则∠BCD=()A.30°B.60°C.15°D.45°【答案】A【分析】首先过点C作CF∥AB，由AB∥DE，即可得AB∥DE∥CF，然后由平行线的性质，即可证得∠BCF与∠DCF的度数，继而求得答案．【详解】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠BCF=∠B=60°，∠DCF+∠D=180°，∵∠D=150°，∴∠DCF=180°-∠DCF=30°．∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=60°-30°=30°．故选：A．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．9(2023下·广东江门·七年级统考期末)如图，已知AB∥PG，BC∥DE，BD∥EF，则α，β，γ三者之间的关系是()A.α+β+y=180°B.β=α+γC.α-β=γD.γ-α=β【答案】D【分析】延长DE,PQ，分别交AB的延长线于点F,Q，根据平行线的性质可得∠EFQ=∠ABC=α,∠PQA =∠GPQ=γ,∠FEQ=∠D=β，根据三角形的外角的性质可得∠PQA=∠FEQ+∠EFQ，进而即可求解．【详解】解：如图所示，延长DE,PQ，分别交AB的延长线于点F,Q，∵AB∥PG，BC∥DE，BD∥EF，∴∠EFQ=∠ABC=α,∠PQA=∠GPQ=γ,∠FEQ=∠D=β，∵∠PQA=∠FEQ+∠EFQ∴γ=α+β，即γ-α=β故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10(2023上·贵州六盘水·八年级校考阶段练习)如图，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为．【答案】40°/40度【分析】过C作CF∥AB，结合AB∥DE可得∠B=∠BCF，∠D+∠DCF=180°，结合∠ABC=80°，∠CDE=140°即可得到答案；【详解】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠B=∠BCF，∠D+∠DCF=180°，∵∠ABC=80°，∠CDE=140°，∴∠BCF=80°，∠DCF=180°-140°=40°，∴∠BCD=80°-40°=40°，故答案为：40°；【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，根据平行线性质得到角度关系．11(2023下·七年级课时练习)如图，∠2=∠3，∠1=60°，若a∥b，则∠4的度数为．【答案】120°/120度【分析】延长AE交直线b于B，依据∠2=∠3，可得AE∥CD，当a∥b时，可得∠1=∠5=60°，依据平行线的性质，即可得到∠4的度数．【详解】解：如图，延长AE交直线b于B，∵∠2=∠3，∴AE∥CD，∴∠4+∠5=180°，当a∥b时，∠1=∠5=60°，∴∠4=180°-∠5=120°，故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．12(2023下·上海闵行·七年级统考期末)我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶(沿箭头方向)时，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，且AB∥DE，则α、β和θ之间的数量关系是．【答案】α+β=θ【分析】根据转弯角的定义及平行线的性质即可得出α、β和θ三角的关系式．【详解】根据题干中的“规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角”可知，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，如下图所示．过点C作MN∥AB，则∠ECM=∠CBG=α(两直线平行，则同位角相等)．∵AB∥ED，∴MN∥ED，∴∠FDC=∠DCM(两直线平行，则内错角相等)，又∵∠DCM=∠DCE+∠ECM=β+α，∠FDC=θ∴α+β=θ．故答案为：α+β=θ．【点睛】本题考查了平行线的性质和对转弯角名称定义的理解，解题的关键是利用平行线的性质把相关的角联系在一起．13(2023下·上海浦东新·七年级校考期中)如图，直线AB∥EF，∠B、∠C、∠D、∠E之间的数量关系是．【答案】∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=360°【分析】过点C作CG∥AB，DH∥EF，根据平行线的性质，可得∠B+∠BCG=180°，∠E+∠HDE= 180°，∠GCD=∠HDC，继而可得∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=360°．【详解】解：如图，过点C作CG∥AB，过D作DH∥EF∵AB∥CG，AB∥EF∴∠B+∠BCG=180°，EF∥CG∵DH∥EF∴∠E+∠HDE=180°，CG∥DH∴∠GCD=∠HDC∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=∠B+∠BCG+∠HDE+∠E=180°+180°=360°故答案为：∠B+∠C+∠D+∠E=360°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．14(2023下·辽宁丹东·七年级统考期末)如图，若AB∥CD，∠1=70°，∠2=140°，则∠3=°．【答案】30【分析】首先据平行线的性质可得∠1+∠AFD=180°，再有∠1=70°可算出∠AFD的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得到∠3+∠AFD=∠2，代入∠2、∠AFD的度数即可得到∠3的度数．【详解】解：延长AE交CD于点F，如图：∵AB∥CD，∴∠1+∠AFD=180°，∵∠1=70°，∴∠AFD=180°-∠1=180°-70°=110°，∵∠3+∠AFD=∠2，∠2=140°，∴∠3=∠2-∠AFD=140°-110°=30°．故答案为：30．【点睛】本题主要利用平行线的性质及三角形外角的性质求解．熟练掌握平行线的性质及添加辅助线的方法是解题的关键．15(2023下·重庆綦江·七年级校考阶段练习)如图某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，在B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，使所修路段CE∥AB，则∠ECB=度．【答案】90【分析】先根据平行线的性质求出∠2的度数，再由平角的定义求出∠CBA的度数，根据CE∥AB即可得出结论．【详解】解：如图所示，∵∠1=67°，∴∠2=67°．∵∠3=23°，∴∠CBA=180°-67°-23°=90°．∵CE∥AB，∴∠ECB=∠CBA=90°．故答案为：90．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．16(2023上·广东广州·八年级校考开学考试)如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ的关系是．【答案】∠α+∠β-∠γ=180°【分析】过点E作EF∥CD，则EF∥AB，根据平行线的性质计算求解即可．【详解】解：如图，过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴α+∠AEF=180°，γ=∠DEF，∵∠AEF=β-∠DEF，∴∠AEF=β-γ，∴α+β-γ=180°，故答案为：α+β-γ=180°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．17(2023下·北京石景山·七年级统考期末)某篮球架及侧面示意图如图所示，若∠EDC=150°，DE∥AB，CB⊥AB于点B，则∠GCB=°．【答案】60【分析】过点C作CM∥DE，由平行线的性质求得∠DCM=30°，由DE∥AB，得到CM∥AB，进一步得到∠BCM=180°-∠CBM=90°，即可得到∠GCB的度数．【详解】解：过点C作CM∥DE，如图，∴∠DCM+∠EDC=180°，∵∠EDC=150°，∴∠DCM=180°-∠EDC=180°-150°=30°，∵DE∥AB，∴CM∥AB，∵CB⊥AB于点B，∴∠CBM=90°，∴∠BCM=180°-∠CBM=90°，∴∠GCB=180°-∠BCM-∠DCM=180°-90°-30°=60°．故答案为：60【点睛】此题考查了平行线的性质、垂直定义等知识，作CM∥DE是解题的关键．18(2023下·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习)如图所示，已知FC∥AB∥DE，∠BCD:∠D:∠B=2:3:4，求∠B，∠D的度数．【答案】∠B=144°，∠D=108°【分析】由比例式可设∠BCD=2x，∠D=3x，∠B=4x，由平行得∠D=∠2+∠BCD，∠B=∠1+∠BCD，于是3x+4x-2x=180°，进一步求解．【详解】解：设∠BCD=2x，∠D=3x，∠B=4x，∵FC∥AB∥DE∴∠D=∠2+∠BCD，∠B=∠1+∠BCD∴∠2=∠D-∠BCD，∠1=∠B-∠BCD∴∠D-∠BCD+∠B-∠BCD+∠BCD=180°∴3x+4x-2x=180°解得x=36°∴∠B=144°，∠D=108°故答案为：∠B=144°，∠D=108°．【点睛】本题考查平行线的性质，比例的应用，一元一次方程求解，由平行推出角之间的数量关系是解题的关键．19(2023下·福建龙岩·七年级校考阶段练习)完成下面的证明．(1)如图，AB∥CD，CB∥DE．求证：∠B+∠D=180°．证明：∵AB∥CD，∴∠B=()，∵CB∥DE，∴∠C+∠D=180°()，∴∠B+∠D=180°；(2)如图，AB和CD相交于点O，∠C=∠COA，∠D=∠BOD．求证AC∥BD．证明：∵∠C=∠COA，∠D=∠BOD又∠COA=∠BOD()∴∠=∠D∴AC∥BD()．【答案】(1)∠C；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补(2)对顶角相等；∠C；内错角相等，两直线平行【分析】(1)利用两直线平行，内错角相等推出∠B=∠C，再根据两直线平行，同旁内角互补推出∠C+∠D =180°，等量代换即可结论成立；(2)利用对顶角相等推出∠COA=∠BOD，等量代换得到∠C=∠D，再利用平行线的判定即可证明AC∥BD．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C(两直线平行，内错角相等)，∵CB∥DE，∴∠C+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠B+∠D=180°；故答案为：∠C；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；(2)证明：∵∠C=∠COA，∠D=∠BOD又∠COA=∠BOD(对顶角相等)∴∠C=∠D∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．故答案为：对顶角相等；∠C；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握运用平行线的性质定理是解题关键．20(2023下·青海西宁·七年级统考期末)阅读下面材料：小亮同学遇到这样一个问题：如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED=∠B+∠D．(1)小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB∴∠BEF=()∵AB∥CD∴∥()∴∠FED=∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D；(2)请你参考小亮的方法，解决下列问题：①如图2，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠B+∠BED+∠D=360°；②如图3，AB∥CD，则∠B，∠BEC，∠C之间的数量关系是．【答案】(1)∠B；两直线平行，内错角相等；EF；CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠D(2)①见解析；②∠B+∠BEC-∠C=180°【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等和平行线的判定公理解答即可；(2)①过点E作EF∥AB，利用两直线平行，同旁内角互补解答即可；②过点E作EF∥AB，利用两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等解答即可．【详解】(1)证明：过点E作EF∥AB，∴∠BEF=∠B(两直线平行，内错角相等)，∵AB∥CD，∴EF∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D，故答案为：∠B；两直线平行，内错角相等；EF；CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠D；(2)①证明：过点E作EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，∵AB∥CD，∴EF∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，∴∠FED+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补)，∵∠BED=∠BEF+∠FED，∴∠B+∠BED+∠D=∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°；②过点E作EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，∵AB∥CD，∴EF∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，∴∠C=∠CEF(两直线平行，内错角相等)，∵∠B+∠BEC-∠CEF=180°，∴∠B+∠BEC-∠C=180°，故答案为：∠B+∠BEC-∠C=180°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行线的判定公理，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．21(2023下·辽宁抚顺·七年级统考期末)如图，AB∥DC，点E在直线AB，DC之间，连接DE，BE．(1)写出∠ABE，∠BED，∠EDC之间的数量关系，并说明理由；(2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B，求∠B的度数；【答案】(1)∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，证明见解析(2)∠B=67°【分析】(1)过点E作EF∥CD，利用平行线的判定及性质即可得解；(2)由(1)得∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，将∠BED=2∠B代入即可得解．【详解】(1)解：∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，理由如下：过点E作EF∥CD，如图，∴∠EDC=∠DEF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，∴∠ABE+∠BEF=180°，∴∠BEF=180°-∠ABE，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠EDC+180°-∠ABE，∴∠BED+∠ABE-∠EDC=180°；(2)解：由(1)得∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，∴2∠B+∠B-∠EDC=180°，∴3∠B-21°=180°，解得∠B=67°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．22(2023下·辽宁大连·七年级统考期末)阅读材料：如图1，点A是直线MN上一点，MN上方的四边形ABCD中，∠ABC=140°，延长BC，2∠DCE=∠MAD +∠ADC，探究∠DCE与∠MAB的数量关系，并证明.小白的想法是：“作∠ECF=∠ECD(如图2)，通过推理可以得到CF∥MN，从而得出结论”.请按照小白的想法完成解答：拓展延伸：保留原题条件不变，CG平分∠ECD，反向延长CG，交∠MAB的平分线于点H(如图3)，设∠MAB=α，请直接写出∠H的度数(用含α的式子表示).【答案】阅读材料：∠ECD=40°+∠MAB，见解析；拓展延伸：∠CHA=120°-α.【分析】(1)作∠ECF=∠ECD，DG∥MN，BH∥MN，由平行线性质可得∠MAD+∠ADG=180°，结合已知2∠DCE=∠MAD+∠ADC，可证∠CDG+∠DCF=180°，进而得到DG∥CF，从而CF∥BH，∠BCF +∠MAB=∠ABC=140°，将∠BCF=180°-∠ECF=180°-∠ECD代入可得∠ECD=40°+∠MAB. (2)过H点作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，结合(1)的结论和CG平分∠ECD可得∠PHC =∠FCH=120°-32∠MAB，即可得∠CHA=120°-α.【详解】解：【阅读材料】作∠ECF=∠ECD，DG∥MN，BH∥MN(如图1).∵DG∥MN，∴∠MAD+∠ADG=180°.∴∠CDG+∠MAD+∠ADC=180°.∵2∠DCE=∠MAD+∠ADC，∴∠CDG+2∠DCE=180°.∴∠CDG+∠DCF=180°.∴DG∥CF.∵DG∥MN，∴MN∥CF.∵BH∥MN，∴CF∥BH.∴∠BCF=∠CBH，∠MAB=∠ABH.∴∠BCF+∠MAB=∠ABC=140°.∵∠BCF=180°-∠ECF=180°-∠ECD，∴∠ECD=40°+∠MAB.【拓展延伸】结论：∠CHA=120°-α.理由：如图，作∠ECF=∠ECD，过H点作HP∥MN，∴∠PHA=∠MAH=12∠BAM，由(1)得FC∥MN，∴FC∥HP，∴∠PHC=∠FCH，∵∠ECD=40°+∠MAB,CG平分∠ECD，∴∠ECG=20°+12∠MAB，∴∠FCH=180°-∠ECF-∠ECG=180°-(40°+∠MAB)-20°+12∠MAB=120°-32∠MAB∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=12∠MAB+120°-32∠MAB=120°-∠MAB即：∠CHA=120°-α.【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角(补角)相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．23(2023下·山东枣庄·七年级统考期中)(1)问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC.请把下面的说理过程补充完整：解：过点E作EF∥AB，因为AB∥CD(已知)，EF∥AB，所以EF∥DC，()所以∠C=.()因为EF∥AB，所以∠B=，所以∠B+∠C=∠BEF+∠CEF.即∠B+∠C=∠BEC．(2)拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，则∠B、∠C、∠BEC的关系为.(直接写出结论，不用说明理由)(3)解决问题：如图③AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=.(直接写出结果，不用写计算过程)【答案】(1)平行于同一直线的两直线平行∠CEF两直线平行，内错角相等∠BEF；(2)∠B+∠C= 360°-∠BEC；(3)20°.【分析】(1)根据平行公理，平行线的性质即可求证出答案．(2)类比1 ，过点E作EF∥AB，然后根据平行公理、平行线的性质即可求证出答案．(3)过点E作EF∥AB，然后根据平行公理、平行线的性质即可求证出答案．【详解】解：(1)过点E作EF∥AB，因AB∥CD(已知)，因为EF∥AB，所以EF∥DC(平行于同一直线的两直线平行)，所以∠C=∠CEF(两直线平行，内错角相等)，因为EF∥AB，所以∠B=∠BEF，所以∠B+∠C=∠BEF+∠CEF，即∠B+∠C=∠BEC．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；∠CEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；(2)∠B+∠C=360°-∠BEC，理由如下：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥AB∥DC，∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠C+∠BEC=360°，∴∠B+∠C=360°-∠BEC，故答案为：∠B+∠C=360°-∠BEC；(3)如图③，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥AB∥DC，∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠AEF，∵∠C=120°，∠AEC=80°，∴∠CEF=180°-120°=60°，∴∠AEF=80°-60°=20°，∴∠A=∠AEF=20°．故答案为：20°．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、平行公理等知识点，灵活运用平行公理以及平行线的性质是解题的关键．24(2023下·广西柳州·七年级统考期末)综合与实践【课题学习】：平行线的“等角转化”功能．如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．解：过点A作ED∥BC，∴∠B=______，∠C=∠DAC，又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．∴∠B+∠BAC+∠C=______．【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程．【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．【方法运用】(2)如图2所示，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC=80°，在图2的情况下求∠B-∠C 的度数．【拓展探究】(3)如图3所示，已知AB∥CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直线交于点F，过F作FH∥AB，若∠BFC=36°，在图3的情况下求∠BEC的度数．【答案】(1)∠EAB，180°；(2)∠B-∠C=100°；(3)108°．【分析】(1)过点A作ED∥BC，如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，然后利用平角的定义得到∠B+∠BAC+∠C=180°；(2)过点E作ME∥AB，如图2，利用平行线的性质得到ME∥AB，则∠B+∠BEM=180°，∠MEC=∠C，然后把两式相加可得∠B-∠C=100°；(3)过E点作EM∥AB，根据平行线的性质得到AB∥ME∥CD∥FH，根据角平分线的定义得到∠ABF=∠EBF，∠ECG=∠DCG，设∠ABF=∠EBF=α，∠ECG=∠DCG=β，结合平行线的性质得到α-β= 36°，利用∠BEC=∠BEM+∠MEC代入求解即可．【详解】(1)解：过点A作ED∥BC，∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°；故答案为：∠EAB，180°；(2)解：过点E作ME∥AB，如图，∵AB∥CD，∴ME∥CD，∴∠B+∠BEM=180°，∠MEC=∠C，∴∠B+∠BEM+∠MEC=180°+∠C∴∠B-∠C=180°-∠BEC=180°-80°=100°；(3)过E点作EM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD∥FH，∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD，∴∠ABF=∠EBF，∠ECG=∠DCG，设∠ABF=∠EBF=α，∠ECG=∠DCG=β，∵AB∥FH，CD∥FH，∴∠BFH=∠ABF=α，∠CFH=∠GCD=β，∵∠BFH-∠CFH=∠BFC，∴α-β=36°，∵AB∥ME∥CD，∴∠BEM=180°-∠ABE=180°-2α，∠MEC=∠ECD=2β，∵∠BEC=∠BEM+∠MEC=180°-2α+2β=180°-2α-β=180°-2×36°=108°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键．。

(完整版)姜启源数学模型第五版-第6章

建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
k 1
2
例2 x0 =100(万元), r=0.0655/12, n=1220=240(月) x1=9625元, x240=4189.41(元), A2=1657729.17(元).
与房贷计算器给出的相同
等额本息与等额本金方式的比较
• 等额本息方式简单，便于安排收支. • 等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,
贷款购房——最简单的差分方程模型
输入必要信息轻击鼠标即得
单利和复利两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.70.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
c 20000 0.025
w 8000100
每周每千克体重消耗 20000/100=200kcal 正常代谢消耗相当弱.
2. 正常代谢情况下的第一阶段计划 • 吸收热量由20000kcal每周减少1000kcal, 直至达到安全下限10000 kcal/周. c(k) 200001000k, k 1,2, ,10 c(10)= 10000 第一阶段需10周 w(k 1) (1 )w(k) (20000 1000 k)

姜启源数学模型第五版-第1章

1.3
问题
建模示例之一包饺子中的数学
通常，1kg馅, 1kg面, 包100个饺子. 今天，馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完.
应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)？
分析
直观认识——“大饺子包的馅多”! 但是：“用的面皮也多”!
需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.
C
C´ B´ B A´
O

A
x
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型建立
地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地椅子旋转900, 对角线AC和BD互换 f() , g()是连续函数对任意, f(), g() 至少一个为0 g(0)=0，f(0) > 0， f(/2)=0, g(/2)>0.
不平的地面上的椅子，通常三只脚着地—— 放不稳！挪动几下，使四只脚着地——椅子放稳！
讨论椅子能放稳的条件.
椅子能在不平的地面上放稳吗
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
模型建立
椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性. 用表示椅子位置. 四只脚着地椅脚与地面距离为零距离是的函数. 四个距离 (四只脚) 对称性两个距离
模型构成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤模型求解模型分析模型检验各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析. 与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性.

三角形全等几何模型5一线三等角专项练习20202021学年七年级数学下册基础知识专项讲练北师大版

CD E BA专题4.23 三角形全等-几何模型5（一线三等角）（专项练习）模型三垂直全等模型图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA一、解答题1．如图，∠A ＝∠B ＝90°，E 是线段AB 上一点，且AE ＝BC ，∠1＝∠2 ．（1）求证：ADE V ≌BEC △；（2）若CD ＝10，求DEC V 的面积．2．已知，如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D，P 是BD 上一点，且AP=PC ，AP ⊥PC ．（1）求证:△ABP ≌△PDC（2）若AB=3，CD=4，连接AC ，求AC 的长．3．如图，在ABC V 中，AB AC ＝，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ÐÐÐ＝＝，求证：DE BD CE =+．4．已知：如图，MS ⊥PS ，MN ⊥SN ，PQ ⊥SN ，垂足分别为S ，N ，Q ，MS ＝PS ，SN ＝4，MN ＝3．求NQ 的长．5．如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：△ADC ≌△CEB ；（2）猜想线段AD 、BE 、DE 之间具有怎样的数量关系，并说明理由；（3）题设条件不变，根据图2可得线段AD 、BE 、DE 之间的数量关系是．6．如图，已知：ABC V 中，AB AC =，BAC 90Ð=°，分别过B ，C 向经过点A 的直线EF 作垂线，垂足为E ，F ．（1）当EF 与斜边BC 不相交时，请证明EF BE CF(=+如图1)；（2）如图2，当EF 与斜边BC 这样相交时，其他条件不变，证明：EF BE CF =-；7．如图，一条河流MN 旁边有两个村庄A ，B ，AD ⊥MN 于D ．由于有山峰阻挡，村庄B 到河边MN 的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C 能到达A ，B 两个村庄，与A ，B 的连接夹角为90°，且与A ，B 的距离也相等，测量C ，D 的距离为150m ，请求出村庄B 到河边的距离．8．已知：AB BD ^，ED BD ^，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ^还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ^还成立吗？请说明理由．9．如图，90ACB Ð=°，AC BC =，AD CE ^，BE CE ^，垂足分别为D ，E ，若9AD =，6DE =，求BE 的长．10．如图所示，A ，C ，E 三点在同一直线上，且ABC DAE △△≌．（1）求证：BC DE CE =+；（2）当ABC V 满足什么条件时，//BC DE ？11．已知：D ，A ，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作ABC V ，使AB AC =，连接BD ，CE ．（1）如图①，若90BAC Ð=°，BD m ^，CE m ^，求证ABD ACE @V V ；（2）如图②，若BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð，请判断BD ，CE ，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．12．如图，点C 在BE 上，AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，且AB ＝CE ，AC ＝CD ．判断AC 和CD 的关系并说明理由．13．直线CD 经过BCA Ð的顶点C ，CA=CB ．E ，F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA a Ð=Ð=Ð．（1）（数学思考）若直线CD 经过BCA Ð的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90BCA Ð=°，90a Ð=°，求证：EF BE AF =-；②如图2，若090BCA °<Ð<°，当a Ð与BCA Ð之间满足________关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．（2）（问题拓展）如图3，若直线CD 经过BCA Ð的外部，BCA a Ð=Ð，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．14．如图，已知在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．15．在Rt ABC △中，90C Ð=°，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ^（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ^时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ^于点F 时，求此时t 的值．16．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线EF 经过点C ，BF ⊥EF 于点F ，AE ⊥EF于点E ．（1）求证：△ACE ≌△CBF ；（2）如果AE 长12cm ，BF 长5cm ，求EF 的长．17．如图，90ACB Ð=°，AC BC =，AD CE ^，BE CE ^，垂足分别为D ，E ，2.5cm AD =，求1cm BE =，求DE 的长．18．已知AD ⊥AB 于A ，BE ⊥AB 于B ，点C 在线段AB 上，DC ⊥EC ，且DC=CE ．（1）求证：AD+BE=AB ；（2）将△BEC 绕点C 逆时针旋转，使点B 落在AC 上，如图（2），试问：AD ，BE ，AB 又怎样的数量关系？说明理由．19．如图（1），已知ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =；AE 是过A 的一条直线，且B ，C 在AE 的异侧，BD AE ^于D ，CE AE ^于E ．（1）求证：BD DE CE =+；（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD CE >），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE 在不同位置时BD 与DE ，CE 的位置关系．20．如图，在ABC V 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E ，F 在线段AD 上，且2DF AF =，12BAC Ð=Ð=Ð．若BE 的长为5，求AD 的长．21．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，l 是过点A 的一条直线，BD ⊥l ，CE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．(1) 如图(1)，求证：DE ＝BD ＋CE ；(2) 若直线l 绕A 点旋转到图(2)位置时，其余条件不变，请把图形补充完整，写出BD 、CE 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．22．（1）如图1，已知OAB V 中，OA OB =，90AOB Ð=°，直线l 经过点O ，BC ⊥直线l ，AD ^ 直线l ，垂足分别为点C ，D ．依题意补全图l ，并写出线段BC ，AD ，CD 之间的数量关系为______；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在OAB V 中，OA OB =，C ，O ，D 三点都在直线l 上，并且有BCO ODA BOA Ð=Ð=Ð，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在ABC V 中，AB AC =，90CAB Ð=°，点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，请直接写出点B 的坐标．23．在△ABC 中，AC=BC ，直线MN 经过点C ，AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ，且AD=CE ；（1）当直线MN 绕点C 旋转到如图1的位置时，求证：AC ⊥BC ．（2）判断AD 、BE 、DE 这三条线段之间的数量关系，并说明理由．（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图2的位置时，线段DE 、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明．24．如图1所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC= BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图2(a)的位置，求证：①△ADC ≌△CEB;②DE=AD- BE ．(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2(b)的位置时，求证：DE= BE-AD ．25．如图，90B C Ð=Ð=°，BAE CED Ð=Ð，且AB CE =．（1）试说明：ADE V 是等腰直角三角形；（2）若2CDE BAE Ð=Ð，求CDE Ð的度数．26．如图，已知在ABC V 中，AC BC AD ==，CDE B Ð=Ð，求证：ADE BCD △≌△．27．如图1，已知AB ＝AC ，AB ⊥AC ．直线m 经过点A ，过点B 作BD ⊥m 于D ， CE ⊥m 于E ．我们把这种常见图形称为“K”字图．（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE ＝BD ＋CE ，现请你替悟空同学完成证明过程．（2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB ＝AC ，∠BAC ＝∠BDA ＝∠AEC ，则结论DE ＝BD ＋CE ，还成立吗？如果成立，请证明之．28．（1）如图①，已知：ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ^于D ，CE m ^于E ，请探索DE 、BD 、CE 三条线段之间的数量关系，直接写出结论；（2）拓展：如图2，将（1）中的条件改为：ABC V 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且BDA AEC BAC a Ð=Ð=Ð=，a 为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否还成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在ABC V 中，BAC Ð是钝角，AB AC =，BAD CAE ÐÐ>，BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð，直线m 与BC 的延长线交于点F ，若2BC CF =，ABC V 的面积是16，求ABD △与CEF △的面积之和．29．如图（1）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ．（1）求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ．（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，DE 、AD 、BE 又怎样的关系？并加以证明．30．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ^于点D ，BE MN ^于点E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC CEB △≌△；②DE AD BE =+；（2）当直线MN 绕点C 旋转到如图2所示的位置时，求证：DE AD BE =-；（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．31．已知：如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点E 在AC 上，且AE BC =，ED AB ^于点D ，过A 点作AC 的垂线，交ED 的延长线于点F ．求证：AB EF =．32．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA 、PB 与直线MN 重合，且三角板PAC 、三角板PBD 均可绕点P 逆时针旋转（1）试说明∠DPC=90°；（2）如图②，若三角板PBD 保持不动，三角板PAC 绕点P 逆时针旋转旋转一定角度，PF 平分∠APD ，PE 平分∠CPD ，求∠EPF ；（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC 开始绕点P 逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD 绕点P 逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC 、PB 、PD 三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．33．（1）如图1，∠MAN =90°，射线AE 在这个角的内部，点B 、C 在∠MAN 的边AM ，AN 上，且AB =AC ，CF ⊥AE 于点F ，BD ⊥AE 于点D ．求证：ABD CAF @V V ．（2）如图2，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部射线AD 上，∠1，∠2分别是ABE △，CAF V 的外角，已知AB =AC ，∠1=∠2=∠BAC ，求证：ABE CAF @V V ；（3）如图3，在ABC V 中，AB =AC ，AB >BC ，点D 在边BC 上，CD =2BD ，点E 、F 在线段AD 上，12BAC Ð=Ð=Ð，若ABC V 的面积是15，则ACF V 与BDE V 的面积之和是_________．34．如图（1）AB=9cm ，AC ⊥AB ，AC=BD=7cm ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动,它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的速度与点P 的速度相等，当t=1时．①求证：△ACP ≌△BPQ ；②判断此时PC 和PQ 的位置关系，并证明；（2）将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB”，改为“∠CAB=∠DBA=70°”，得到图（2），其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s ，请问是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在，求出相应的x 和t 的值；若不存在，请说明理由．35．如图1，2OA =，4OB =，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰直角ABC D ．（1）求点C 的坐标；（2）如图2，P 是y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，若以P 为直角顶点，PA 为腰作等腰直角APD D ，过点D 作DE x ^轴于点E ，求OP DE -的值；（3）如图3，已知点F 坐标为()3,3--，当G 在y 轴运动时，作等腰直角FGH D ，并始终保持90GFH Ð=°，FG 与y 轴交于点()0,G m ，FH 与x 轴交于点(),0H n ，求m 、n 满足的数量关系．36．已知：在ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，AE 是过点A 的一条直线，且BD AE ^于D ，CE AE ^于E ．（1）当直线AE 处于如图①的位置时，有BD DE CE =+，请说明理由；（2）当直线AE 处于如图②的位置时，则BD 、DE 、CE 的关系如何？请说明理由．参考答案1．（1）证明见解析；（2）25【分析】（1）根据12Ð=Ð，∠A ＝∠B ＝90°，可得DE CE =，ADE V 和BEC △为直角三角形，利用“HL ”即可证明Rt ADE △≌Rt BEC △；（2）根据（1）中Rt ADE △≌Rt BEC △，则ADE BEC Ð=Ð，根据直角三角形的性质推出90AED BEC Ð+Ð=°，则可得DEC Ð为直角，又因为∠1＝∠2，则可知DEC Ð为等腰直角三角形，进而通过等腰直角三角形的性质求出其面积．【详解】（1）∵12Ð=Ð，∴DE CE =，∵∠A ＝∠B ＝90°，在Rt ADE △和Rt BEC △中，DE EC AE BC =ìí=î，∴Rt ADE △≌Rt BEC △；（2）∵Rt ADE △≌Rt BEC △，∴ADE BEC Ð=Ð，∵90ADE AED Ð+Ð=°，∴90AED BEC Ð+Ð=°，∴90DEC Ð=°，∵12Ð=Ð，∴DE CE =，∴DEC V 为等腰直角三角形，∴其斜边CD 上的高为5，∴1105252DEC S =´´=△．【点拨】本题考查了直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据等角的余角相等证明BAP CPD Ð=Ð，继而证明()ABP PDC AAS @V V ；（2）根据全等三角形对应边相等性质及勾股定理解题.【详解】（1）证明：,AB BD CD BD^^Q 90B D \Ð=Ð=°90BAP APB \Ð+Ð=°AP PC^Q 90APB CPD \Ð+Ð=°BAP CPD\Ð=ÐAP PC=Q ()ABP PDC AAS \@V V ；（2）连接AC ，()ABP PDC AAS @QV V 3,4AB BP CD ===Q5AP \===在,5Rt APC AP PC ==VAC \==.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.3．见解析【分析】首先根据等量代换得出CAE ABD Ð=Ð，从而可证ADB CEA △≌△，最后利用全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：设BDA BAC a Ð=Ð=，∴180-DBA BAD BAD CAE a Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴CAE ABD Ð=Ð，∵在ADB △和CEA V 中ABD CAE BDA CEA AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()ADB CEA AAS ≌△△，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形判定方法和性质是解题的关键．4．NQ ＝1．【分析】首先求出∠M=∠PSQ ，进而利用AAS 证明△MNS ≌△SQP ，所以MN=SQ 问题可解．解：,MS ,PS MN SN PQ SN ^^^Q ，90MSP N SQP \Ð=Ð=Ð=°，M MSN MSN PSQ \Ð+Ð=Ð+Ð，M PSQ \Ð=Ð，在MNS △和SQP V 中，M PSQ MNS SQP MS PS Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()MNS SQP AAS \△≌△，SQ MN \=，∵SN ＝4，MN ＝3，431NQ SN SQ SN MN \=-=-=-= ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直定义，根据条件证MNS SQP △≌△是解此题的关键．5．（1）见解析；（2）AD ＝BE ＋DE ，见解析；（3）DE ＝AD ＋BE【分析】（1）由已知推出∠CDA=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，推出∠DAC=∠ECB ，根据AAS 即可得到△ADC ≌△CEB ；（2）由（1）得到AD=CE ，CD=BE ，即可求出答案；（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠CBE ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到DE 、AD 、BE 之间的等量关系．（1）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠CDA ＝∠BEC ＝90°．∴∠ACD ＋∠DAC ＝90°．∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°．∴∠DAC ＝∠ECB ．在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC CB ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ADC ≌△CEB ．（2）AD ＝BE ＋DE ．理由如下：由（1）知△ADC ≌△CEB ．∴AD ＝CE ，CD ＝BE ．∴AD ＝CE ＝CD ＋DE ＝BE ＋DE ．（3）DE ＝AD ＋BE ．理由：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=90°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠CBE ，又∵∠ADC=∠CEB ，AC=CB ，∴△ADC ≌△CEB ，∴AD=CE ，CD=BE ，∵CD+CE=DE ，∴DE=AD+BE ．【点拨】本题主要考查了余角的性质，直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证明△ADC ≌△CEBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．6．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据已知条件容易证明△BEA ≌△AFC ，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA ≌△AFC 仍然成立，则BE=AF ，AE=CF ，就可以求出EF=BE-CF ．解：（1）BE EA ^Q ，CF AF ^，BAC BEA CFE 90ÐÐÐ\===°，EAB CAF 90ÐÐ\+=°，EBA EAB 90ÐÐ+=°，CAF EBA ÐÐ\=，在ABE V 和CAF V 中，BEA AFC EBA FACAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îBEA \V ≌()AFC AAS V ，EA FC \=，BE AF =，EF EA AF BE CF \=+=+．（2）BE EA ^Q ，CF AF ^，BAC BEA CFE 90ÐÐÐ\===°，EAB CAF 90ÐÐ\+=°，ABE EAB 90ÐÐ+=°，CAF ABE ÐÐ\=，在ABE V 和ACF V 中，EBA FAC BEA CFAAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îBEA \V ≌()AFC AAS V ，EA FC \=，BE AF =，∵EF AF AE =-，∴EF BE CF=-【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．7．150米【分析】根据题意，判断出△ADC ≌△CEB 即可求解．解：如图，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠BCE （同角的余角相等）．在△ADC 与△CEB 中，90ADC CEB A BCEAC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．∴BE ＝CD ＝150m ．即村庄B 到河边的距离是150米．【点拨】本题主要考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解答本题的关键．8．（1）AC CE ^，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE Ð=Ð，进而判断出90DCE ACB Ð+Ð=°，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ^理由如下：∵AB BD ^，ED BD ^，∴90B D Ð=Ð=°在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE=ìí=î∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌，∴A DCEÐ=Ð∵90B Ð=°，∴90A ACB Ð+Ð=°，∴()18090ACE DCE ACB Ð=°-Ð+Ð=°，∴AC CE ^；（2）成立，理由如下：∵AB BD ^，ED BD ^，∴90B D Ð=Ð=°，在1Rt ABC V 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE=ìí=î，∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D Ð=Ð，∵90B Ð=°，∴190B A AC Ð+Ð=°，∴2190DC E AC B Ð+Ð=°，在12C FC V 中，()122118090C FC DC E AC B Ð=°-Ð+Ð=°，∴12AC C E ^；（3）成立，理由如下：∵AB BD ^，ED BD ^，∴190ABC D Ð=Ð=°在1Rt ABC V 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =ìí=î，∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D Ð=Ð，∵190ABC Ð=°，∴190B A AC Ð+Ð=°，在12C FC V 中，()2112180=90C FC DC E AC B Ð=°-Ð+Ð°，∴12AC C E ^．【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．9．3【分析】根据同角的余角相等可得EBC DCA Ð=Ð，根据“AAS”可证CEB △≌ADC V ，可得9AD CE ==，即可求BE 的长．解：∵BE CE ^，AD CE ^，∴90E ADC Ð=Ð=°，∴90EBC BCE Ð+Ð=°．∵90BCE ACD Ð+Ð=°，∴EBC DCA Ð=Ð．在CEB △和ADC V 中，E ADC EBC ACD BC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴CEB △≌ADC V （AAS ），∴BE CD =，9AD CE ==，∴963BE CD CE DE ==-=-=．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．10．（1）证明见解析；（2）ACB Ð为直角时，//BC DE【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE ，AD=CE ，代入求出即可；2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA= 90°，推出∠BDE=90° ，根据平行线的判定求出即可．【详解】（1）证明：∵ABC DAE △△≌，∴AE=BC ，AC=DE ，又∵AE AC CE =+，∴BC DE CE =+．（2）若//BC DE ，则BCE E Ð=Ð，又∵ABC DAE △△≌，∴ACB E Ð=Ð，∴ACB BCE Ð=Ð，又∵180ACB BCE Ð+Ð=°，∴90ACB Ð=°，即当ABC V 满足ACB Ð为直角时，//BC DE ．【点拨】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论．11．（1）见详解；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由见详解【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA ＝∠CEA ＝90°，而∠BAC ＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE ＝∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ABD ≌△CAE ；（2）由∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，就可以求出∠BAD ＝∠ACE ，进而由ASA 就可以得出△ABD ≌△CAE ，就可以得出BD ＝AE ，DA ＝CE ，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图①，∵D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ADB AEC ABD CAE AB AC ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由如下：如图②，∵∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD ＋∠ABD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∠BAD ＝∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE AB ACBAD ACE ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．12．AC ⊥CD ，理由见解析【分析】根据条件证明△ABC ≌△CED 就得出∠ACD=90°，则可以得出AC ⊥CD ．【详解】解：AC ⊥CD ．理由：∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，∴∠B ＝∠E ＝90°．在Rt △ABC 和Rt △CED 中，AB CE AC CD =ìí=î，∴Rt △ABC ≌Rt △CED （HL ），∴∠A ＝∠DCE ，∠ACB ＝∠D ．∵∠A+∠ACB ＝90°，∴∠DCE+∠ACB ＝90°．∵∠DCE+∠ACB+∠ACD ＝180°，∴∠ACD ＝90°，∴AC ⊥CD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．13．（1）证明见解析；（2）180ACB a Ð+Ð=°，证明见解析；（3）EF BE AF =+，证明见解析．【分析】（1）①求出∠BEC ＝∠AFC ＝90°，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；②当∠α＋∠ACB ＝180°，证明∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；（2）求出∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE＝AF 即可．【详解】（1）①在图1中，90BEC AFC Ð=Ð=°Q ，90ACB Ð=°，90BCE ACF Ð+Ð=°，90EBC BCE Ð+Ð=°，EBC ACF \Ð=Ð，在BCE V 和CAF V 中，EBC ACF BEC AFC BC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BCE CAF AAS \@V V ，BE CF \=，CE AF =，EF CF CE BE AF \=-=-；②当180ACB a Ð+Ð=°时，①中结论仍然成立；证明：在图2中，BEC CFA a Ð=Ð=ÐQ ，180ACB a Ð+Ð=°，BCE ACF EBC BCE \Ð+Ð=Ð+Ð，EBC ACF \Ð=Ð，在BCE V 和CAF V 中，EBC ACF BEC AFC BC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BCE CAF AAS \@V V ，BE CF \=，CE AF =，EF CF CE BE AF \=-=-．故答案为180ACB a Ð+Ð=°；（2）不成立，结论：EF BE AF =+．理由：在图3中，BEC CFA a Ð=Ð=ÐQ ，a BCA Ð=Ð，又180EBC BCE BEC +Ð+Ð=°Q ，180BCE ACF ACB Ð+Ð+Ð=°，EBC BCE BCE ACF \Ð+Ð=Ð+Ð，EBC ACF \Ð=Ð，在BEC △和CFA △中，EBC FCA BEC CFA BC CA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BEC CFA AAS \@V V ，AF CE \=，BE CF =，EF CE CF =+Q ，EF BE AF \=+．【点拨】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．14．见解析【分析】证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．证明：BE EA ^Q ，CF AF ^，90BAC BEA AFC \Ð=Ð=Ð=°，90EAB CAF \Ð+Ð=°，90EBA EAB Ð+Ð=°，CAF EBA \Ð=Ð，在ABE △和AFC △中，BEA AFC EBA CAF AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，(AAS)BEA AFC \△≌△．AE CF ∴=，BE AF =．EF AF AE BE CF \=+=+．．【点拨】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．15．（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD Ð=Ð，又有90PAD C Ð=Ð=°，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF Ð=Ð，又因为90PAD C Ð=Ð=°，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．（1）证明：PD BD ^Q，90PDB \Ð=°，即90BDC PDA Ð+Ð=°又90C Ð=°Q ，90BDC CBD Ð+Ð=°PDA CBD\Ð=Ð又AE AC ^Q ，90PAD \Ð=°90PAD C \Ð=Ð=°又6cm BC =Q ，6cmAD =AD BC\=在PAD △和DCB V 中PAD C AD CBPDA DBC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()PDA DBC ASA \△≌△（2）PD AB ^Q ，90AFD AFP \Ð=Ð=°，即90PAF APF Ð+Ð=°又AE AC ^Q ，90PAF DAF \Ð+Ð=°APF DAF\Ð=Ð又90PAD C Ð=Ð=°Q ，AD BC=在APD △和CAB △中APD CAB PAD CAD BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()PAD ACB AAS \△≌△8cmAP AC \==即8t =秒．【点拨】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．16．（1）证明见解析；（2）EF=17cm ．【分析】（1）根据垂直的定义可得∠AEC=∠CFB=90°，然后求出∠EAC=∠FCB ，再利用“角角边”证明即可；（2）由全等三角形的性质可得：AE=CF ，CE=BF ，再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：在Rt △ACB 中，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF∴∠ACE+∠EAC=90°∴∠CAE=∠BCF又∵ AC=CB∴△ACE ≌△CBF(ASA)(2)由△ACE ≌△CBF 可得:AE=CF=12cm ， EC=BF=5cm ，∴EF=EC+CF=12+5=17cm ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并找出全等的条件是解题的关键．17． 1.5cm DE =．【分析】根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证明△BCE ≌△CAD ；根据全等三角形的对应边相等得到AD ＝CE ，BE ＝CD ，利用DE ＝CE−CD ，即可解答．【详解】AD CE ^Q ,BE CE^90ADC CEB \Ð=Ð=°90BCE CBE \Ð+Ð=°又90ACB Ð=°Q 90BCE ACD \Ð+Ð=°CBE ACD\=Ð在ACD △和CBE △中ADC CEB ACD CBEAC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()AAS ACD CBE \△≌△CD BE \=,AD CE=又 2.5cm AD =Q ,1cmBE =2.5cm CE \=,1cm=CD 2.51 1.5cm DE CE CD \=-=-=．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ACD CBE \V V ≌的三个条件．18．（1）见解析；（2）BE= AB+AD ，理由见解析．【分析】（1）利用余角的性质得到∠ACD=∠BEC ，从而证明△ACD ≌△BEC ，得到AD=BC ，AC=BE ，从而得到结论；（2）根据△ACD ≌△BEC ，得到AD=BC ，AC=BE ，从而得到BE=AC=AB+BC=AB+AD ．【详解】解：（1）∵BE ⊥AB ，∴∠BCE+∠BEC=90°，∵DC ⊥EC ，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠BEC ，在△ACD 和△BEC 中，A B ACD BECCD CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ACD ≌△BEC （AAS ），∴AD=BC ，AC=BE ，∴AD+BE=AC+BC=AB ；（2）由（1）可得：△ACD ≌△BEC ，∴AD=BC ，AC=BE ，∴BE=AC=AB+BC=AB+AD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，找出条件，证明全等，利用全等的性质得到线段的数量关系是本题考查的内容．19．（1）见解析；（2）BD DE CE =-，见解析；（3）BD DE CE =-；（4）当B ，C 在AE 的同测时，BD DE CE =-；当B ，C 在AE 的异侧时，若BD CE >，则BD DE CE =+，若BD CE <，则BD CE DE=-【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC ，又有AB=AC ，则有一个角及斜边相等，则可判定△BAD ≌△AEC ，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；（2）由题中条件同样可得出△BAD ≌△AEC ，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系；（3）同（2）的方法即可得出结论．（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．【详解】解：（1）∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD 与△ACE 中ADB CEA ABD CAEAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABD ≌△ACE∴BD=AE ，AD=EC ，∴BD=DE+CE（2）∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD 与△ACE 中ADB CEA ABD CAEAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABD ≌△ACE∴BD=AE ，AD=EC∴BD=DE-CE ，（3）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°，又∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠EAC ，在△ABD 与△CAE 中，BDA AEC ABD EACAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABD ≌△CAE ，∴BD=AE ，AD=CE ，∵DE=AD+AE=BD+CE ，∴BD=DE-CE ．（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B ，C 在AE 的同侧时，若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE- DE.【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．15．【分析】解：由∠1=∠2=∠BAC ，得到∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF 从而证明△ABE ≌△CAF(ASA).得到AF=BE ，再根据DF=2AF ，BE 的长为5，求得AD 的长．【详解】解：∵12BAC Ð=Ð=Ð，且1BAE ABE Ð=Ð+Ð，2CAF ACF Ð=Ð+Ð，∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∴∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF ．在ABE △和CAF V 中，BAE ACF AB CAABE CAF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ABE CAF ASA ≌△△.∴AF BE=∵2DF AF =，BE 的长为5，∴10DF =，5AF BE ==，∴51015AD AF DF =+=+=．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明．21．（1）详见解析；（2）结论：DE ＝CE ﹣BD ，详见解析【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD ，进而利用AAS 得出则△ABD ≌△CAE ，即可得出DE=BD+CE ；（2）利用已知得出∠CAE=∠ABD ，进而利用AAS 得出则△ABD ≌△CAE ，即可得出BD 、CE 与DE 之间的数量关系．【详解】解：(1)证明：∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，∴∠BD A ＝∠AEC ＝90°又 ∵Rt ABC D ，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中=ABD CAE ADB CEAAB AC =ìïíï=î∠∠∠∠∴△ABD ≌ △CAE∴BD ＝AE ，AD ＝CE∵DE ＝AD ＋AE ，∴DE ＝CE ＋BD ．(2) 如图②所示：结论：DE ＝CE ﹣BD证明：∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，∴∠BD A ＝∠AEC ＝ 90°∵∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中==ABD CAE ADB CEAAB AC ìïíï=î∠∠∠∠∴△ABD ≌△CAE (AAS )∴BD ＝AE ，AD ＝CE∵DE ＝AD ﹣AE∴DE ＝CE ﹣BD【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△ABD ≌△CAE 是解题关键．22．（1）补全如图所示见解析；CD BC AD =+；（2）成立，证明见解析；（3）点B 的坐标为()1,2-．【分析】（1）依题意补全图，易证△AOD ≌△OBC ，则有AD =CO ，OD =BC ，从而可得CD BC AD =+；（2）利用三角形内角和易证23ÐÐ=，再证明BCO ODA V V ≌，同（1）即可证明结论；（3）过B 、C 两点作y 轴垂线，构造如（1）图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可求出点B 坐标．【详解】（1）补全图1如图所示，CD BC AD =+；证明：∵90AOB Ð=°，BC ⊥直线l ，AD ^ 直线l ，∴∠BCO =∠ODA =90°，∴∠BOC +∠OBC =90°，又∵90AOB Ð=°，∴∠BOC +∠AOD =90°，∴∠OBC =∠AOD ，在△AOD 和△OBC 中BCO ODA OBC AOD BO AO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AOD ≌△OBC （AAS ）∴AD =CO ，OD =BC ，∵CD OD CO =+，∴CD BC AD =+．（2）成立．证明：如图，∵12180BOA Ð+Ð=°-Ð，13180BOA Ð+Ð=°-Ð，BOA BCOÐ=Ð∴23ÐÐ=在BCO V 和ODA V中32BCO ODABO OA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴BCO ODA V V ≌（AAS ）∴BC OD =，CO AD=∴CD CO OD AD BC=+=+（3）点B 的坐标为()1,2-．过程如下：过B 、C 两点作y 轴垂线，垂足分别为M 、N ，同理（1）可得，CN =AM ，AN =MB ，∵点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，∴CN =AM =3，ON =2，OA =1,∴MB =AN =ON -OA =1，OM =AM -OA =2，∵点B 在第四象限，∴点B 坐标为：()1,2-．【点拨】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换，构造出全等三角形是解本题的关键．23．（1）见解析；（2）DE =AD +BE ；见解析；（3）AD =DE +BE【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC =∠CEB =90°，再利用HL 证明Rt △ADC ≌Rt △CEB ，得到∠DAC =∠BCE ，再根据余角的定义得到∠ACD +∠BCE =∠ACB =90°，可得结论；（2）根据Rt △ADC ≌Rt △CEB 得到DC =BE ，从而利用等量代换得到DE =AD +BE ；（3）同理可证：Rt △ADC ≌Rt △CEB ，利用等量代换可得AD =DE +BE ．【详解】解：（1）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠CEB =90°，在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，AC BC AD CE =ìí=î，∴Rt △ADC ≌Rt △CEB （HL ），∴∠DAC =∠BCE ，∵∠ADC =90°，即∠DAC +∠ACD =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，即∠ACB =90°，∴AC ⊥BC ；（2）DE =AD +BE ，理由如下：∵Rt △ADC ≌Rt △CEB ，∴DC =BE ，∵AD =CE ，∴DE =DC +CE =AD +BE ；（3）AD =DE +BE ，同理可证：Rt △ADC ≌Rt △CEB （HL ），∴CD =BE ，∴AD =CE =DE +CD =DE +BE ，∴即AD =DE +BE ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“HL ”；全等三角形的对应边、对应角相等．24．（1）①见解析；②见解析；（2）见解析．【分析】（1）①根据已知可利用AAS 证明△ADC ≌△CEB ；②由①证得△ADC ≌△CEB ，得出对应边相等，CE ＝AD ，CD ＝BE 由此可证DE ＝AD−BE ；（2）根据已知可利用AAS 证明△ADC ≌△CEB ，得出对应边相等，AD ＝CE ，CD ＝BE ，由此可证DE ＝BE−AD ．【详解】证明：（1）①∵∠ADC ＝∠ACB ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠BCE ＋∠CBE ＝90°，∠ACD ＋∠BCE ＝90°．∴∠CAD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∴△ADC ≌△CEB ．②由①证得△ACD ≌△CBE ．∴CE ＝AD ，CD ＝BE ．∴DE ＝CE−CD ＝AD−BE ．（2）∵∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE ，又∵AC ＝BC ，∴△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CD−CE ＝BE−AD ．【点拨】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得出结论．25．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）利用ASA 证明△BAE ≌△CED ，可证AE=DE ，后利用∠BAE+∠BEA=90°，证明∠BEA+∠CED=90°，问题得证；（2）利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可．【详解】（1）∵90B C Ð=Ð=°，BAE CED Ð=Ð，且AB CE =，∴△BAE ≌△CED ，∴AE=DE ，∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BEA+∠CED=90°，∴∠AED=90°，∴△AED 是等腰直角三角形；（2）∵2CDE BAE Ð=Ð，BAE CED Ð=Ð，∴2CDE CED Ð=Ð，∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE=60°．【点拨】本题考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定义，直角三角形的锐角互余的性质，根据图形，结合条件选择对应判定方法，根据性质构造基本的计算等式是解题的关键．26．见解析．【分析】证明ADE BCD Ð=Ð，为三角形的全等提供条件即可．证明：ADE CDE B BCD Ð+Ð=Ð+ÐQ ，CDE B Ð=Ð，ADE BCD \Ð=Ð，AC BC =Q ，A B \Ð=Ð，在ADE V 和BCD △中A B AD BCADE BCD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，ADE \V ≌BCD △(ASA) ．【点拨】本题考查了ASA 证明三角形的全等，抓住题目的特点，补充全等需要的条件是解题的关键．27．（1）见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先证∠ABD=∠EAC ，再证△ABD ≌ △CAE （AAS ）即可；（2）先证出∠ABD ＝ ∠EAC ，再证△ABD ≌ △CAE （AAS ）即可．证明：（1）∵AB ⊥AC,BD ⊥DE,CE ⊥DE,∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°,∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°,∴∠ABD=∠EAC,在△ABD 和 △CAE 中，ABD EAC BDA AEC AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ △ABD ≌ △CAE （AAS ），∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE ，∴ DE ＝ AE ＋ DA ；（2）成立，理由如下：∵ ∠BAC ＋ ∠BAD ＋ ∠EAC ＝ 180° ，∠ADB ＋ ∠BAD ＋ ∠ABD ＝ 180°，∠BAC ＝ ∠BDA ，∴∠ABD ＝ ∠EAC ，在△ABD 和 △CAE 中，ABD EAC BDA AEC AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ △ABD ≌ △CAE （AAS ），∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE ，∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE．【点拨】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．28．（1）DE BD CE =+；（2）成立，证明见详解；（3）8．【分析】（1）通过题中的直角和垂直条件，可得到CAE ABD Ð=Ð，然后证明△CAE ≌△ABD ，即得到BD AE =，AD CE =，然后通过等量代换即可得到结论；（2）同（1）中类似，先证明△CAE ≌△ABD 后得到对应边成比例即可；（3）证明△CAE ≌△ABD ，发现ABD △与CEF △的面积之和即为△ACF 的面积，然后根据2BC CF =即可得到答案．解：（1）DE BD CE =+，∵90BAC Ð=°，∴90BAD CAE Ð+Ð=°，∵BD m ^，CE m ^，∴90CEA BDA Ð=Ð=°，∴90BAD ABD Ð+Ð=°，∴CAE ABDÐ=Ð在△CAE 和△ABD 中，90CAE ABD AB ACCEA BDA Ð=Ð=Ð=Ð=°ìïíïî∴△CAE ≌△ABD ，∴BD AE =，AD CE =，∵DE AD AE =+，∴DE BD CE =+；（2）成立，∵BDA AEC BAC a Ð=Ð=Ð=，且180BAD BAC CAE Ð+Ð+Ð=°，∴180BAD CAE a Ð+Ð+=°，在△ABD 中，180BAD ABD BDA Ð+Ð+Ð=°，∴180BAD ABD a Ð+Ð+=°，∴CAE ABD Ð=Ð，在△CAE 和△ABD 中，。

小学数学几何五大模型教师版

几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。

例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。

例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。

2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。

数学模型第五章练习题

数学模型第五章练习题一、基础题1. 已知函数f(x) = 3x^2 4x + 1，求f(2)的值。

2. 若直线y = kx + b经过点(1, 3)和点(3, 7)，求k和b的值。

3. 解方程组：2x + 3y = 8，x y = 1。

4. 求下列函数的定义域：f(x) = √(x^2 5x + 6)。

5. 已知等差数列的前三项分别为1、3、5，求第10项的值。

二、应用题1. 某企业生产一种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品可变成本为200元。

若产品售价为500元，求该企业至少生产多少件产品才能盈利。

2. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶了2小时后，因故减速至40km/h，继续行驶了3小时。

求汽车行驶的总路程。

3. 某商品进价为1000元，售价为1500元，若商家进行8折优惠，求优惠后的利润。

4. 一根绳子长20米，将其折成相等的四段，每段绳子再对折一次。

求对折后的绳子长度。

5. 某班级有男生30人，女生20人，从中随机抽取5人参加比赛。

求抽取到3名男生和2名女生的概率。

三、综合题1. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x，求f(x)的单调区间。

2. 设平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，求点B的坐标。

3. 某企业生产两种产品，产品A的利润为100元/件，产品B的利润为200元/件。

若企业每月固定成本为5000元，生产A、B产品的可变成本分别为50元/件和100元/件，求企业每月至少生产多少件A、B产品才能盈利。

4. 已知等比数列的前三项分别为2、6、18，求第6项的值。

5. 在一个等边三角形中，边长为10cm，求三角形的高。

四、拓展题1. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的极值。

2. 设平面直角坐标系中，直线y = kx + b与圆(x 1)^2 + (y +2)^2 = 16相切，求k和b的值。

3. 某企业生产三种产品，产品A、B、C的利润分别为100元/件、200元/件和300元/件。

几何的五大模型(五)等积变换模型2021-2022学年人教版九年级数学下册

几何的五大模型之等积变换模型☆基础题1、已知平行四边形的面积是32平方厘米，三角形DEC的面积是多少平方厘米？2、如图，△ABC被分成两个三角形，其中△ABD的面积是△ACD的3倍，若BC长为84厘米，那么DC是多少厘米？3、如图，四边形面积为45平方厘米，被分成四个小三角形，面积分别标在图中．那么问号所在小三角形面积是多少平方厘米？4、如图，四边形面积为60平方厘米，被分成四个小三角形，面积分别标在图中．那么问号所在小三角形面积是多少平方厘米？5、已知平行四边形的面积是33平方厘米，那么长方形的面积是多少平方厘米？☆☆提高题1、如图所示，平行四边形ABCD的面积是90平方厘米，EF平行于AB，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？2、如图，三角形ABC的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形．请求出CE和CF的长度之和．3、如图，三角形ABC的每边长都是48厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形．请求出CE和CF的长度之和．4、如图，正方形ABCD的面积是42，E是DC上任意一点，BE与AF垂直，已知AF长是6，求BE的长度是多少？5、如图，AD:DB=10:7，BE:EC=3:4，三角形ABC的面积是170平方厘米，则三角形CED的面积为多少平方厘米？6、如图，AE:EB=3:2，S△ACD =70平方厘米,S△ADB=30平方厘米，则S△CDE为多少平方厘米？7、如图所示，在长方形ABCD中，三角形ADE的面积是18平方厘米，三角形BEF的面积是6平方厘米，那么三角形CDF的面积是多少平方厘米？☆☆☆竞赛题1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分是面积是多少？2、如图所示，Q、E、P、M分别是直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD＝5，BC＝7，AE＝5，EB＝3，求阴影部分三角形PQM的面积？3、如图△ABC的面积为14平方厘米，DC＝3DB，AE＝ED。

全等三角形中的常见五种基本模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

模型介绍全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型二、平移全等模型模型三、对称全等模型模型四、旋转全等模型模型五、手拉手全等模型例题精讲模型一、截长补短模型【例1】.如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝．变式训练【变式1-1】．如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB ＝60°，且CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．【变式1-3】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB 上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC 于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．模型二、平移全等模型【例2】．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB＝6时，求CD的长．变式训练【变式2-1】．如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【变式2-2】．如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【变式2-3】．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的长．模型三、对称全等模型【例3】．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．变式训练【变式3-1】．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．【变式3-2】．如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度．【变式3-3】．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．模型四、旋转全等模型【例4】．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．变式训练【变式4-1】．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．【变式4-2】．如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA＝3，PB＝4，则PC的最大值是3+4．模型五、手拉手全等模型【例5】．如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由．变式训练【变式5-1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的结论有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-2】．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式5-3】．（1）如图1，等腰△ABC 与等腰△DEC 有公共点C ，且∠BCA ＝∠ECD ，连接BE 、AD ，若BC ＝AC ，EC ＝DC ，求证：BE ＝AD ．（2）若将△DEC 绕点C 旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗？为什么？实战演练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒2．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC2＝．4．正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，CE＝2DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE，＝6；延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②S△FGC③EG＝DE+BG；④BG＝GC．其中正确的有（填序号）．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．（1）求证：AF＝CF（2）求AF的长度．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝3cm，则BE＝cm．（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）求证：CD＝2BE+DE．8．如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．（1）若设BE＝a，CF＝b，满足+|b﹣5|＝+，求BE及CF的长．（2）求证：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．9．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE 交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．（1）线段AE与DB的数量关系为；请直接写出∠APD＝；（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．10．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC＝AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因为∠AC'D ＞∠B，所以∠C＞∠B．感悟与应用：（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC 和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，①求证：∠B+∠D＝180°；②求AB的长．11．如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．（1）李明同学作了如图乙的辅助线，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP'，可说明△APP'是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答．（2）如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且AP＝，BP＝，PC＝1：类比第一小题的方法求∠BPC的度数，并直接写出正方形ABCD的面积．12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为．（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．。

数学建模：第五章运筹与优化模型

max c j x j
n
s.t aij x j bi
j 1
n
j 1
i 1.2 m
xj 0
j 1.2 n
8
二、整数规划模型
n min f c j x j j 1 n aij x j bi j 1 x j 0
对于线性规划：
22
二、货机装运
问题某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表 3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
重量限制（吨）
前仓中仓后仓 10 16 8 6800 8700 5300
体积限制（米3）
5
解：设x ij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j （j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费此问题归结为：
min f 10 x11 5 x12 6 x13
s.t
x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
s.t gi ( X ) 0
hi ( X ) 0
(1)
(2)
(3)
i 1,2,, m .
j 1,2,, l .
X D
其中X ( x1 , x2 ,, xn )T , D R n为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束；若只有(1)称为无约束问题。
max f x1 x2 15 x1 12 x2 85 如 5 x1 11 x , x 0 1 2 x1 , x2 为整数

中考数学几何模型专题专题五—轴对称

专题五轴对称模型21 将军饮马之“两点一线”模型模型故事唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?模型展现基础模型怎么用?1.找模型遇到两个定点和一条定直线,求定直线上一点,与两点的连线和最小,考虑“两点一线”求最值模型2.用模型异侧两点则直接连接,同侧两点,则需要通过轴对称性质转化为异侧,利用“两点之间线段最短”求最值结论分析结论1:连接AB交直线l于点P,此时P A+PB值最小,最小值为AB的长证明:当点A,B,P共线时,P A+PB=AB，当点A,B,P不共线时,P A+PB>AB，∴P A+PB≥AB，∴当点A,B,P共线时,P A+PB的值最小,最小值是线段AB的长.结论2:作点B关于直线∴的对称点B',连接AB',交直线l于点P,此时P A+PB值最小,最小值为AB'的长证明:由轴对称性质可知,PB=PB'，∴P A+PB=P A+PB'≥AB'，∴当点A,B' ,P共线时,P A+PB的值最小,最小值是线段AB'的长.(也可以作点A关于直线l的对称点A',同理也可求出P A+PB的最小值)满分技法1.两点之间,线段最短.如图,点A和点B之间的3条线中,线段AB的距离最短,是线路∴.2.对称的性质.如图,若点A,A’关于直线l对称,P是直线l上一点，则P A= P A'.模型拓展模型拓展巧学巧记“两点一线”型问题简记为:线段和最小时,异侧直接连,同侧找对称;线段差最大时,同侧直接连,异侧找对称.典例小试例1 （2020贺州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=6√3，BD=6，点P是AC上一动点（点拨：一动点P），点E是AB的中点，则PD+PE（点拨：两定点D，E，一定线AC，求线段和最小值）的最小值为_________.考什么？轴对称的性质，两点之间线段最短（三角形三边关系），菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判断与性质思路点拨线段和最值问题，先根据已知条件判断定点、动点的个数及定点与定线的位置关系，确定模型，再按照模型结论确定最值点。

中考数学几何模型5：角含半角模型

中考数学几何模型5：角含半角模型名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。

它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。

解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（2）（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF 的长为．变式练习>>>1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（）A．B．C．D．例题2. 在正方形ABCD中，连接BD．（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD 交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）变式练习>>>2. （1）【探索发现】如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为3．（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD 上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长．例题3. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K，N分别是AB，BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数.变式练习>>>3. 如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论.例题4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．达标检测领悟提升强化落实1. 请阅读下列材料：问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°，当∠MAN交边CB、DC 于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是：延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．2. （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG＝DF，连结AG，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．…（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图（2）），是探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图（3）），试求EG的长度．4. 已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．（1）填空：与△ABM相似的三角形是_________，BM•DN=_________；（用含a的代数式表示）（2）求∠MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.中考数学几何模型5：角含半角模型TH 名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。

解析数学模型（第五版）

解析数学模型（第五版）摘要就记录了少部分题解，主要是太懒了（下次补坑可能就到明年建模了吧哈哈）⽂章中⼀律以 BD 代替 Brief Description（题⽬简述），SAT 代替 Solve and Thinking（解法和思路）初等模型⼀、双层玻璃窗的功效在这⾥插⼊图⽚描述BD：单层玻璃窗和双层玻璃窗的热量传导进⾏对⽐，双层玻璃窗能减少多少热量损失？SAT：简单的，不考虑热对流和热辐射，在室内外温度恒定的假设下，⽤傅⾥叶热传导定律Q=k ΔTd，玻璃和空⽓厚度的⽐例h=ld，再对两者进⾏对⽐Q1Q2，最后列⼀张⽐例图在这⾥插⼊图⽚描述⼆、划艇⽐赛的成绩在这⾥插⼊图⽚描述BD：探究划艇⽐赛成绩和桨⼿数量的关系SAT：（物理⽼师见了要吐⾎的假设和模型），⾸先有两个假设：lb和w0n设为常数，因为它们的变化不⼤。

那么lb不变可以得出艇的形状是⼀样的，推出s∝A 23【艇浸没⾯积s和艇排⽔体积A成正⽐；w0n不变得出w0∝n【艇重w0和桨⼿数n成正⽐】，⼜由于w′=w0+nw【总质量等于艇重加桨⼿数的总质量】，推出w′∝n【艇重w0和桨⼿数量n成正⽐】SAT2：众所周知，空⽓阻⼒的公式F=12CρSV2【C为空⽓阻⼒系数，即常数；ρ是空⽓密度，⼀般情况也取常数；S为物体迎风⾯积；V为物体与空⽓的相对运动速度】，那么根据空⽓阻⼒的公式，可以类似的推导出艇的阻⼒公式f∝sv2【f是艇与⽔的摩擦阻⼒；s是艇浸没⾯积；v2是划艇速度的平⽅】SAT3：假设所有桨⼿的体重相同，划艇的速度是匀速的，那么根据功率公式P=FV，推导出np∝fv【np是所有桨⼿的总功率；f是艇与⽔的摩擦阻⼒；v是划艇速度】，⽽p∝w可以解释为：桨⼿的功率p与肌⾁体积、肺的提及成正⽐，对于⾝材均匀的运动员，肌⾁、肺的体积与体重w成正⽐STA4：⽐赛时间t与速度v成反⽐，把上述所有公式进⾏整合可得到t∝n−19，即划艇⽐赛成绩和桨⼿数量的关系模型三、实物交换BD：甲只有⼀定量的物品 X，⼄只有⼀定量的物品 Y，所以他们之间想进⾏交换，⽤作图的⽅法对双⽅交换实物建⽴⼀个模型STA：⽆差别曲线⽤于描述甲或⼄对物品X和Y的偏爱程度（但下图为甲的），甲有⽆数条⽆差别曲线（⼄也⼀样），越靠近右上⾓，代表甲的满意程度越⾼。

初中数学几何模型(五)一线三等角模型

初中数学几何模型（五）一线三等角模型一线三等角模型：指有三个相等角的顶点在同一直线上构成的相似或全等（相等角所对的边相等）图形，相等的角可以是锐角，也可以是直角或钝角。

（一）全等1、相等的三个角和全等三角形在直线同侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD≌△BEC。

证明：∵∠BCD=∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。

2、相等的三个角和全等三角形在直线异侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD ≌△BEC。

证明：∵∠2=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠2=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠2=∠1，∴∠DAC=∠CBE，∵CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。

一线三等角结论1：当等角所对边相等时，则两个三角形全等。

（二）相似1、相等的三个角和相似三角形在直线同侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。

证明：∵∠BCD+∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴△ACD∽△BEC。

2、相等的三个角和相似三角形在直线异侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。

证明：∵∠1=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE，∴△ACD∽△BEC。

一线三等角结论2：一线三等角两个三角形相似。

（三）一线三等角变式：中点型如图，点C在相等AB上，且AC=BC，∠1=∠2=∠3。

求证：△ACD∽△BEC∽△CED证明：∵∠1=∠2=∠3，∴△ACD ∽△BEC ，∴AD BC =CD CE ， ∵AC=BC ，∴AD AC =CD CE ，∵∠1=∠3，∴△ACD ∽△CED ，∴△ACD ∽△BEC ∽△CED ，∴∠4=∠5=∠8，∠9=∠6=∠7。

数学建模作业5数学规划模型----供应与选址的问题

对于问题（2），需要重新改建六个新的料场，使得在在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，使总的吨千米数最小，则需要确定新的料场的具体位置，这是非线性问题。
三、模型假设
1、假设料场和建筑工地之间都可以由直线到达；
2、运输费用由“吨千米数”来衡量；
3、两料场的日存储量够向各建筑工地供应；
f1=0;
fori=1:6
s(i)=sqrt((x(13)-a(i))^2+(x(14)-b(i))^2);
f1=s(i)*x(i)+f1;
end
f2=0;
fori=7:12
s(i)=sqrt((x(15)-a(i-6))^2+(x(16)-b(i-6))^2);
f2=s(i)*x(i)+f2;
end
一、问题提出
某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系(a，b)表示，距离单位：km）及水泥日用量d（吨）由下表给出。目前有两个料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。
（1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少水泥，可使运输费用（总的吨千米数）最小，并求出吨千米数。
d=[3 5 4 7 6 11];
x=[5 2];
y=[1 7];
e=[20 20];
fori=1:6
forj=1:2
aa(i,j)=sqrt((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2);
end
end
CC=[aa(:,1); aa(:,2)]'
A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
(注：先画图，在坐标上标出各工地位置（用蓝色*标示）和料场位置（用红色o标示）)

数学模型第五版

水箱中的舰艇风洞中的飞机…
~ 物理模型
地图电路图、分子结构图…
~ 符号模型
模型是为了一定目的;对客观事物的一部分进行简缩抽象、提炼出来的原型的替代物
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——航行问题
甲乙两地相距750km;船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少
计算测试数据作图大致线性关系 t = cv+d
t
6
5 加速行驶
4
3
5
2
1
40
v
0
0
10
20
30
40
t
7 6
减速行驶 1m/s=
5
4
3 6km/h
37
2
d1 , d2 ≈ 0
1
40
v
0
0
10
20
30
40
估算
c1
53.6 40
0.45(s2/m)
c2 7430.60.63(s2/m)
a1=1/c1;a2=1/c2 vmax=11 1m/s
1 3 建模示例之一包饺子中的数学
问题通常;1kg馅, 1kg面, 包100个饺子
今天;馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完应多包几个每个小些, 还是少包几个(每个大些)
分析
直观认识——大饺子包的馅多但是：用的面皮也多
需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系
分析
建立馅皮与数学概念的：
数学模型
数
学
求解世
界
数学模型的解答
将实际问题翻译成数学问题两次翻译

数学模型5

数学模型(第五版)

§5 数学模型：定积分的应用

模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义

数学模型5方人口问题

平行线中的拐点模型之蛇形模型(5字模型)(解析版)-2023-2024学年七年级数学常见几何模型归纳

(完整版)姜启源数学模型第五版-第6章

姜启源 数学模型第五版-第1章

三角形全等几何模型5一线三等角专项练习20202021学年七年级数学下册基础知识专项讲练北师大版

小学数学几何五大模型教师版

数学模型第五章练习题

几何的五大模型(五)等积变换模型2021-2022学年人教版九年级数学下册

全等三角形中的常见五种基本模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

数学建模：第五章 运筹与优化模型

中考数学几何模型专题专题五—轴对称

中考数学几何模型5：角含半角模型

解析数学模型（第五版）

初中数学几何模型(五)一线三等角模型

数学建模作业5数学规划模型----供应与选址的问题

数学模型第五版

姜启源数学模型第五版-第1章

数学建模：第五章运筹与优化模型