3.1 简谐近似和简正坐标、一维单原子链
3.1 一维单原子链
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
简谐近似和简正坐标
N个原子的位移矢量 N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
取
平衡位置
—— 不计高阶项
系统的势能函数
V
1 2
i
3N , j1
(
2V
i
j
)0
i
j
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的势能函数
系统的动能函数
系统的哈密顿量
H
1 2
3N i1
mi i 2
1 3N 2V (
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1, Q3N )
i1
E (Q1,
Q3N )
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
任意一个简正坐标
(
)
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数
声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子
一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为
当这种振动模处于
时，说明有 个声子
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动 —— 声子体系 —— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用 —— 声子具有能量_动量，看作是准粒子 —— 晶格振动的问题 声子系统问题的研究 —— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的 —— 声子系宗是无相互作用的声子气组成的系统
2 i, j1 i j
固体物理：3_1 简谐近似和简正坐标
由简正坐标来描述
一个振动模: 指体系中所有原子一起参与的共同振动
所以，通常采用谐振子模型来描述晶格振动。 （1）晶格振动等价于N个独立谐振子体系。 （2）晶格振动总能量等于N个谐振子能量之和。
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质
主要内容
• §3-1简谐近似和简正坐标（理解） • §3-2一维单原子链（掌握） • §3-3一维双原子链 声学波和光学波（掌握） • §3-4三维晶格振动（理解） • §3-5离子晶体的长光学波（理解） • §3-6确定晶格振动谱的实验方法（理解） • §3-8晶格热容的量子理论（掌握） • §3-9晶格振动模式密度（掌握） • §3-10晶格的状态方程和热膨胀（理解） • §3-11晶格的热传导（理解）
设V0=0
( V i
)0
0
略去二阶以上的高阶项,
体系势能可表示为
V
1 3N ( 2V
2 i, j1 i j
)0 i j
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3-1 简谐近似和简正坐标
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
简谐近似与非谐近似
• 处理小振动问题一般都只取简谐近似，对 于一个具体物理问题是否可以采用简谐近 似，要看在简谐近似条件下得到的理论是 否与实验相一致。有些问题必须考虑高阶
T
1 2
3N i 1
Q i 2
V
1 2
3N
i 2Qi 2
i 1
显然是线性 谐振子的能 量形式。
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3-1 简谐近似和简正坐标
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
简正坐标描述的晶格振动
一般讲: 一个 简正振动 并不是表示某一个原子的振动
03_01简谐近似和简正坐标
n=0,1,2…… （3－57）
这表明谐振子处于不连续的能量状态。
1 ,称为零点能。 当n＝0时，它处于基态，E0＝ 2
相邻状态的能量差为,它是谐振子的能量量子， 称它为声子 ，正如人们把电磁辐射的能量量子称 为光子一样。 3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，因此式 （3－57）也是一个频率为ω的格波的能量。频率 为ωi(q)的格波被激发的程度，用该格波所具有的 能量为ωi (q)的声子数n的多少来表征。
2.声子是一种准粒子
声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用， 满足能量守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的
粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。
准动量。
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何 一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh q1＋q2＝q3＋Gh
系统的势能函数
系统的动能函数
系统的哈密顿量 H
1 1 V 2 i ( mi ) 0 i j 2 i 1 2 i , j 1 i j
3N 3N 2
—— 含有坐标的交叉项
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来 假设存在线性变换
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi ) iຫໍສະໝຸດ iexp(
2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
晶格振动与晶体的热学性质
3.1 简谐近似和简正坐标、一维单原子链PPT参考课件
玻恩-卡曼的模型起着一个边界条件的作用, 用这个 模型并未改变运动方程的解, 而只是对解提出一定条 件 , 称它为玻恩－卡曼条件, 或称为周期性边界条件27
色散关系的两点讨论:
2
2 [1 cos aq]
m
4
m
sin
2
体系的势能函数展开至位移坐标的二次方项, 称为 简谐近似
简正坐标是通过正交变换引入的, 使内能函数和动 能函数同时化为平方项之和而无交叉项的坐标
由简正坐标所代表的, 体系中所有原子一起参与的 共同振动, 常常称为一个振动模（或简正模） 14
§3-2 一维单原子链
晶格具有周期性, 因而晶格的振动模具有波的形式, 称为
3
以后的研究确立了晶格振动采取 "格波" 的形式
这一章的介绍格波的概念, 并在晶格振动理 论的基础上扼要讲述晶体的宏观热学性质
晶格振动是研究固体宏观性质 和微观过程的重要基础
对晶体的电学性质、光学性质、超导电
性、磁性、结构相变… …等一系列物理
问题, 晶格振动都有着很重要的作用
4
§3-1 简谐近似和简正坐标
E
3N i 1
i
3N i 1
ni
1 2
hi
3N
(Q1，Q2，L ，Q3N ) ni (Qi ) i 1
可见只要能找到该体系的简正坐 标, 或者说振动模, 问题就解决了
下面将结合简单的例子, 把这里的一般性结论具体化13
§3-1 简谐近似和简正坐标 小结
每个原子的位移画在 垂直链的方向
清华大学考研专业课839固体物理考试范围及历年真题汇编
第二卷固体物理知识点（参考黄昆的书，学有余力也建议学习韦丹固体物理，各有特色）第一章晶体结构1.1 晶格的相关概念及几种不同晶格1.2 理解原胞概念1.3 晶面晶向的标定1.4 倒易点阵的定义及相关性质1.5 立方体、正四面体、正六角柱的对称操作1.6 五种旋转对称的推导1.7 十四种布拉伐格子，结合材料科学基础，弄清楚。
1.8 表1-2记住，材科基会考第二章固体的结合2.1 离子性结合的特点，推导马德隆常数，系统内能的表示，求平衡距离和体变模量2.2 共价结合的特点2.3 金属性结合的特点，排斥作用来源2.4 范德瓦尔斯结合的特点，Lennard-Jones 势的相关推导第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 了解简谐近似、简正坐标、振动模的概念3.2 格波、声子概念，一维单原子链的色散关系等计算，q 的范围，长波极限特点3.3 一维双原子链相关推导，q 的取值范围，声学波光学波的概念，长波极限的特点3.4 声学波，光学波的数量判断，q 的分布密度，第一布里渊区的概念，画法3.5 了解LST 关系3.6 确定色散关系的几种方法及其原理3.8 爱因斯坦模型和德拜模型的假设、结果、适用范围、缺陷及全部推导过程3.9 不同条件下推导晶格振动模式密度3.10 热膨胀产生原因3.11晶格热传导原理，热导率的影响因素，N、U过程，不同温度下晶格热导原理第四章能带理论4.1 布洛赫定理内容，简约波矢概念4.2 一维周期长中求带隙大小，解释其成因4.3 三维周期场的布里渊区和能带，SC、BCC、FCC的简约布里渊区及相关数据。
结合2015年十一题和课后4.8弄懂图4-114.5 紧束缚近似的概念，该近似下求SC、BCC、FCC的能带函数E（k）4.7 不同维度下求能态密度，近自由电子的等能面，费米面，费米半径的相关计算第五章晶体中电子在电场和磁场中的运动5.1 波包概念，E、F、v、a、m*的相关公式及计算5.2 恒定电场下电子的运动过程，振荡频率5.3 导体、半导体、绝缘体的能带特点5.4 了解廊道能级概念5.5 回旋共振的应用5.6 德·哈斯-范·阿尔芬效应的原理及作用第六章金属电子论（可参考材科学习辅导第九章：功能材料基础）6.1 电子热容量公式（掌握大致证明过程），电子热容量与晶格热容量大小比较及原理6.3 了解定态导电过程中的玻尔兹曼方程6.4 了解弛豫时间的概念及电导率公式6.5 了解对各向同性散射过程中弛豫时间表达式的理解6.6 晶格散射的 U 过程和 N 过程，弛豫时间公式中包含的两个重要结论第七章至第十一章：出现频率极低，搞懂相关真题，学有余力关注其中一些概念即可。
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
03-01简谐近似和简正坐标
固 体 物 理
Solid State Physics
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简 简谐近似下， 谐振动哈密顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量 这些模式是相互独立的， 值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独 立而又分立的振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
Solid State Physics
引入简正坐标 —— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来 假设存在线性变换
系统的哈密顿量
拉格朗日函数 正则动量
固 体 物 理
Solid State则动量
—— 3N个独立无关的方程 个独立无关的方程 简正坐标方程解 所有原子参与的振动， 简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一 个振动
固 体 物 理
Solid State Physics
摩尔热容量 —— 与温度无关 —— 杜隆－珀替经验规律 杜隆－ —— 实验表明较低温度下，热容量随着温度的 实验表明较低温度下， 降低而下降 晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、 导电性、磁性、结构相变有密切关系 导电性、磁性、
固 体 物 理
Solid State Physics
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算 正则动量算符 系统薛定谔方程
固 体 物 理
Solid State Physics
任意一个简正坐标
—— 谐振子方程 能量本征值
固体物理学教学大纲
《固体物理学》教学大纲（适用于本科物理学专业）课程编码：140613040学时：64学分：4开课学期：第七学期课程类型：专业必修课先修课程：理论力学，电动力学，热力学与统计物理，量子力学教学手段：多媒体一、教学目的与任务：本课程是物理学专业本科生的专业选修课。
通过本课程的学习，使学生了解固体物理学发展的基本情况，以及固体物理学对于近代物理和近代科技的发展起的作用，培养学生的科学素质和科学精神；了解固体物理所研究的基本内容和固体物理研究前沿领域的概况，培养学生的现代意识和科学远见；掌握固体物理学的基本概念和基本规律，培养掌握科学知识的方法；掌握应用固体物理学理论分析和处理问题的手段和方法，培养科学研究的方法。
二、课程的基本内容：1.晶体的结构2.固体的结合3.晶格振动与晶体的热学性质4.能带理论5.晶体中电子在电场和磁场中的运动6.金属电子论三、课程的教学要求：（1）掌握晶体的空间点阵，晶体基矢的表达，倒易点阵，晶面、晶向的概念以及正点阵和倒易点阵的关系。
（2）掌握晶体的结合类型和结合性质。
（3）掌握一维晶体振动模式的色散关系，晶格振动的量子化、声子的概念。
爱因斯坦模型和德拜模型解释固体的比热性质。
（4）掌握自由电子气的概念，自由电子气的费密能量，布洛赫波以及自由电子模型。
（5）掌握布里渊区的概念以及近自由电子近似和紧束缚近似方法计算能带的理论。
（6）了解晶体的对称操作类型，了解非谐效应，确定振动谱的实验方法以及晶格的自由能。
（7）了解金属中电子气的热容量，金属、半导体、绝缘体以及空穴的概念。
四、课程学时分配：第一章晶体结构(8学时)【教学目的】通过本章的教学，使学生了解晶格结构的一些实例；理解和掌握晶体结构的周期性特征及其描述方法；理解和掌握晶体结构的对称性特征及其描述方法；理解和掌握倒格子的定义及其与正格子的关系。
【重点难点】重点：晶体结构的周期性特征及其描述方法、晶体结构的对称性特征及其描述方法、倒格子及其与正格子的关系。
固体物理复习思考题
第一部分晶体结构和晶体缺陷1. 原子的负电性：原子得失价电子能力的一种度量。
其定义为：负电性＝0.18（电离能＋亲和能）2. 共价键的定义和特性能把两个原子结合在一起的一对为两个原子所共有的自旋相反配对的电子结构，称为共价键。
3.金刚石结构为什么要提出杂化轨道的概念？金刚石中的C原子不是以单独C原子的基态为基础的，每个C原子与周围形成四个等价的共价键。
4．V、VI、VII族元素仅靠共价键能否形成三维晶体？Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ族元素也可以形成共价键，但由于共价键的饱和性，Ⅴ族元素只能形成三个共价键，Ⅵ、Ⅶ族元素则只能分别形成二个，一个共价键，但仅有三个、二个、一个共价键不能形成三维晶体。
所以对Ⅴ族元素三个共价键常在一个平面上，形成层状结构，而各原子间则靠范德瓦尔斯力结合，对Ⅵ族元素，二个共价键常形成环状结构，各个环之间依靠范德瓦尔斯力结合；对于Ⅶ族元素，常由一个共价键先组成分子，而分子之间依靠范德瓦尔斯力形成分子晶体。
5．.晶体结构，空间点阵，格点，布拉菲格子、单式格子和复式格子之间的关系和区别。
（课本第3页）晶体结构＝基元＋空间点阵6．配位数的定义是什么？点阵中和一个原子相邻的原子数称为配位数（CN）7．晶体中有哪几种密堆积，密堆积的配位数是多少？8．晶向指数，晶面指数是如何定义的？（课本第14页）9．七种晶系和十四种B格子是根据什么划分的？（课本第8页）10．肖特基缺陷、费仑克尔缺陷、色心、F心、V心是如何定义的？色心是一种非化学计量比引起的空位缺陷。
该空位能够吸收可见光使原来透明的晶体出现颜色，因而称它们为色心,最简单的色心是F心。
所谓F心是离子晶体中的一个负离子空位束缚一个电子构成的点缺陷。
（课本第84-89页）11．刃位错和螺位错分别与位错线的关系如何？刃型位错的特点是位错线垂直于滑移矢量；螺型位错的特点是位错线平行于滑移矢量。
12．位错线的定义和特征如何？1.滑移区与未滑移区的分界线；2.位错线附近原子排列失去周期性；3.位错线附近原子受应力作用强，能量高，位错不是热运动的结果；4.位错线的几何形状可能很复杂，可能在体内形成闭合线，可能在晶体表面露头，不可能在体内中断。
晶格振动的经典理论
这种性质称作格波的简约性。一维 单原子链的倒格矢：
第十四页，共65页。
Gn
n 2
a
1 4a
2
4 5
a
q1
2 1
2a
q2
2 2
5 2a
参考黄昆书 p85 图
由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一种振动状
态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与连续介质弹性
波的重大区别。
第十五页，共65页。
β称为恢复力常数
d 2V dr2
a
第十页，共65页。
如只考虑最近邻原子间的相互作用，第 n 个原子受到的力：
f n f 1 f 2 n n 1 n n 1 n 1 n 1 2 n
于是第n个原子的运动方程可写为：
mdd22tnn1n12n
一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应有 同样的方程，所以它是和原子数目相同的 N个联立的线性齐 次方程。
其中L1、L2、L3＝0，±1, ±2 ······，b1、b2、b3是倒格子基矢，
N1，N2，N3是a1，a2，a3方向的初基原胞数。
第二十页，共65页。
每一组整数（L1,L2,L3 ）对应一个波矢量q。将这些波矢在倒
空间逐点表示出来，它们仍是均匀分布的。每个点所占的“体
积”等于“边长”为(b1/N1)、(b2/N2)、(b3/N3)的平行六面体 的“体积”，它等于：
第二十三页，共65页。
vs
Y
a m
a
随着 q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里
渊区边界，格波频率达到极大值。
q a
max
4
m
相速和群速：
固体物理教学大纲
《固体物理》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号:13103104课程类别:专业核心课程适应专业:材料物理总学时:64学时总学分:3学分课程简介:固体物理学是研究固体的结构及其组成粒子之间相互作用与运动规律的学科,也是材料物理的重要基础课程。
固体物理学研究的对象是由大量粒子组成的复杂系统。
这些大量粒子之间存在着复杂的相互作用,但同时也包含了丰富的物理现象。
对于这种复杂的系统,人们必须作近似处理,找出描述某种现象的物理本质。
这对学生的抽象、假设、创造力的培养是非常重要的。
授课教材:《固体物理学》,黄昆、韩汝琦,高等教育出版社,1988,1996年获国家科学技术进步二等奖、全国第二届优秀教材特奖参考书目:[1]《固体物理引论》,基特耳著、万纾民等译,人民教育出版社,1962年。
[2]《固体物理学》,H.E.Hall,刘志远等译,高等教育出版社,1983年。
[3]《固体物理学》,谢希德等,上海科学技术出版社,1961年。
[4]《固体物理学》,顾秉林、王喜坤,清华大学出版社,1989年。
[5]《固体物理》,徐毓龙、阎西林,西安电子科技大学出版社,1990年。
[6]《固体物理学》,陈长乐,西北工业大学出版社出版,2000年。
二、课程教育目标固体物理学是物理学中的重要分支,本课程是材料物理学的基础理论课,是物理专业及其相近专业非常重要的基础课、必修课。
课程强调对固体物理学的科学方法、物理图象的理解。
学生通过本课程的学习要求掌握固体物理学的基本概念、基本模型和方法,了解它们在各类技术中的应用,为进一步学习专业课,为毕业后从事科研和高新技术工作打下坚实的基础。
三、教学内容与要求第一章晶体结构教学重点:晶体结构,空间点阵,倒移点阵晶向、晶面指数教学难点:倒格子,晶体对称操作教学时数:10学时教学内容:一些晶格的实例,晶格的周期性,晶向、晶面和它们的标志,倒格子,晶体的宏观对称性。
教学方式:课堂讲授教学要求:(1)掌握晶体的空间点阵,晶体基矢的表达,倒易点阵,晶面、晶向的概念以及正点阵和倒移点阵的关系。
3.1简约近似 简正坐标
ina ( q q )
e
n0
N 1
inah
1 1e 0 2π ia l N Na 1e
iNa
2π l Na
q q ,
1 N
ina ( q q ) e 1 n
由N个原子组成的一维单原子链的振动等价于N个谐振子
的振动，谐振子的振动频率就是晶格振动频率。
据量子力学，频率为i的谐振子的振动能： 1 E ( i ) ( ni ) i 2 N 1 晶格振动能量： E ni i 2 i 1
xn ( t )
1 Nm
inaq Q ( t )e , q q
* (1)证明： Qq (t ) Qq m
inaq Q ( t )e , q q
x (t )
* n
1 * inaq Q ( t )e , q Nm q
xn ( t )
脱离晶体后就没有意义了。
2.一个格波(一种振动模式)，称为一种声子(一个，q就是一
1 n i 本征态时，称为 种声子)，当这种振动模式处于 i 2
有ni个声子，ni为这种声子的声子数。
3.由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以声子是玻 色型的准粒子，遵循玻色统计。 1 n i i
若
q q , s , s , l
2π q s Na
1 N
均为整数。
2π q s Na
1 N
2π 2π q q ( s s ) lh Na Na
1 N 1 1 e iNah (e ) iah N 1 e n0
N 1 iah n
e
1 inaq Q ( t )e , q Nm q
基础课程讲义3
华中科技大学固体物理本次课的讲课内容第三章：晶格振动3.1简谐近似和简正坐标3.2一维单原子链3.3一维双原子链3.4三维晶格振动3.5确定晶格振动的试验方法3.1简谐近似和简正坐标晶格振动的研究最早从晶体的热学性质开始的，高温情况下热熔符合杜隆柏悌定则。
低温情况下，晶体热熔符合3T 律（涉及量子理论），研究晶体晶格振动的意义不限于热学性质，还包括晶体的电学性质，光学性质，超导电性，磁性，及结构相变，，，，从经典力学的观点看，晶格振动是典型的小震动问题，即，，，如果晶体包括N 个原子，平衡位置为n R ，偏离平衡位置的位移矢量为：()n t μ，则原子的实际位置矢量：()()'n n n R t t R μ=+，选用广义坐标系：位移矢量n μ用分量表示，N 个原子的位移矢量共有3N 个分量，写成：()1,2,......,3i i N μ=，以此作为广义坐标系，则整个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：23301,1001......2NN i i j i i j i i jV V V V μμμμμμ==⎛⎫⎛⎫∂∂=+++∑∑⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 零表明是平衡位置时所具有的值。
可以设00V =,且有:00i V μ⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭ 略去二阶以上的高阶项，就得到：23,1012N i j i j i jVV μμμμ=⎛⎫∂=∑⎪ ⎪∂∂⎝⎭,略去高阶项是有一定意义的，这称为简谐近似。
考虑到高阶项的作用，称为非简谐近似。
N 个原子体系的动能函数：203112N i i i T m μ==∑每个谐振子的波动方程的形式以及对应的能量本征值的形式，一定要记熟。
。
3.2一维单原子链晶体具有周期性，因而，晶格的振动模具有波的形式，称为格波。
将单原子链看做是一个最简单的晶格，平衡时相邻原子的距离为a ，每个原胞只含有一个原子，质量为m ，原子限制在沿链的方向移动，偏离格点的位移用：11......,,......n n n μμμ-+表示，只有相邻原子间存在相互作用，相互作用能可以一般写成：()()21 (2)a a νδνβδ+=++δ表示相对平衡位置a 的偏离。
固体物理(第3章)讲解
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
4 2 aq sin ( ) m 2
—— 常数
—— 平衡条件
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
dv 1 d v v (a ) v (a ) ( )a ( 2 )a 2 High items dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
2 1 2 2 任意一个简正坐标 [ 2 i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi )
i
i
exp(
2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子相位差 格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
格波 格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
第9讲晶格振动一维单原子链
第九讲：晶体振动上一维单原子链简谐近似和简正坐标布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。
只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。
由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。
通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
势能和动能函数设简单晶格晶体包含N 个原子，平衡位置为R n ，偏离平衡位置的位移矢量为µn (t )，则原子的位置为()()R R n n n t t '=+µ。
将位移矢量µn (t )用分量表示，写成µi ( i = 1, 2, ..., 3N )。
N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：⋅⋅⋅++ +=∑∑==j i N i N j i j i i i V V V V µµ∂µ∂µ∂µ∂µ∂03131,20021 (3-1) 下标0表示为在平衡位置时所具有的值。
可以设V 0 = 0，而且在平衡位置相互作用力为零：0 0=i V ∂µ∂ (3-2) 忽略二阶以上的非简谐项可得：j i N j i ji V V µµ∂µ∂µ∂031,221∑==(3-3) N 个原子体系的动能函数为：∑==Ni ii m T 31221µ(3-4)简正坐标 为了使问题简化，引入简正坐标N Q Q Q 321 , , ,⋅⋅⋅简正坐标和原子的位移坐标 µi 之间通过正交变换相互联系：∑==Nj jij i i Qa m 31µ (3-5)引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为：∑==Ni iQT 31221(3-6)∑==N i ii QV 312221ω (3-7)由于动能函数T 是正定的，根据线性代数的理论，总可以找到这样的正交变换，使势能函数和动能函数同时化为平方项之和。
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N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成 泰勒级数
∂V 1 3 N ∂ 2V V = V0 + ∑ µi + ∑ 2 i , j =1 ∂µi ∂µ j i =1 ∂µi 0
3N
µi µ j + 高阶项 0
下脚标 0 标明是平衡位置时所具有的值. 可设 V0=0, 有
∂ −ih ∂Qi
就得到波动方程
3N 1 2 ∂ 2 2 2 + ωi Qi ψ (Q1 , Q2 ,L , Q3 N ) ∑ −h 2 ∂Qi i =1 2 = Eψ (Q1 , Q2 ,L , Q3 N )
方程表示一系列相互独立的简谐振子
对于其中每一简正坐标有
µi =
aij mi A sin(ω j t + δ )
一个简正振动并不是表示某一个原子的振 动, 而是表示整个晶体所有原子都参与的 (简谐)振动, 而且它们的振动频率相同 由简正坐标所代表的，体系中所有原子一起参与 的共同振动，常常称为一个振动模（或简正模）
3. 量子描述 根据经典力学写出的哈密顿量, 可以直接用来作为量 子力学分析的出发点, 只要把 pi 和 Qi 看作量子力学 中的正则共轭算符 按照一般的方法, 把 pi 写成
应用正则方程得到
&& Qi + ωi2Qi = 0, i = 1, 2,L ,3N
这是 3N 个线性无关的方程 表明各简正坐标描述独立的简谐振动
任意简正坐标的解为
Qi = A sin(ωi t + δ )
ωi 是振动的圆频率 ωi ＝ 2πνi . 原子的位移坐标和简 正坐标之间存在着正交变换关系。当只考虑某一个 Qj 的振动时
实线表示把原子振动看成 q=π/2a (即波长λ=4a 的波) 虚线表示完全相同的原子 振动, 同样可看成 q=5π/2a (即波长λ= 4a/5 的波) 二者 aq 相差 2π, 按前一 种方式, 两相邻原子振动 位相差是π/2, 后一种方 式相当于 (2π+π/2), 效果 完全是一样的
每个原子的位移画在 垂直链的方向
µn = Aei (ωt − naq ) 的物理意义:
Ae
i ( ω t − 2π x
它与一般连续介质波
= Aei (ωt − qx )
λ
)
有完全相同的形式, 其中 ω 是波的圆频率, λ是波长, q = 2π/λ称为波数 区别于连续介质波中 x 表示空间任意一点，而在这里 只取 na 格点的位置，这是一系列呈周期性排列的点 一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动, 不 同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为 aq
格波与连续介质波一个重要的区别在于波数 q 的含义 如果在 Aei (ωt − naq ) 中把 aq 改变一个 2π 的整数倍, 所 有原子的振动实际上完全没有任何不同。这表明 aq 可以限制在下面范围内 或
−π < aq ≤ π
−
π
a
<q≤
π
a
这个范围以外的 q 值, 并不能提供其它不同的波 q 的取值范围常称为布里渊区 (Brillouin zone)
2. 简正坐标与振动模 . N 个原子体系的动能函数为
1 3N & T = ∑ mi µi2 2 i =1
引入简正坐标 (normal coordinates) Q1 , Q2 ,L , Q3 N
mi µi = ∑ aij Q j
j =1 3N
正交变换
使内能函数和动能函数化为平方项之和而无交叉项
1 3N & 2 T = ∑ Qi 2 i =1 1 3N 2 2 V = ∑ ω i Qi 2 i =1
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
Lattice vibrations and thermal properties of crystals
晶格中的格点表示原子的平衡位置 晶格振动指原子在格点附近的振动 晶格振动的研究，最早是从晶体热学性质开始的 热运动在宏观性质上最直接的表现就是热容量 • 经典统计对 Dulong-Petit 经验规律的说明是把 热容量和原子振动具体联系起来的一个重要成就 不能解释在较低温度下热容量 随温度降低而不断下降的现象
若环半径很大, 沿环 的运动仍旧可以看作 是直线的运动 区别只在于必须考虑到链的循环性, 原胞的标数 n 增加 N, 振动情况必须复原, 这要求
e−i ( Naq ) = 1
或
q= 2π h, (h = 整数） Na
前面指出, q 的取值范围由 －π/a 到π/a, h 的 取值只能由－N/2 到 N/2, 一共有 N 个不同数值 所以, 由 N 个原胞组成的链, q 可以有 N 个不同的值, 每个 q 对应一个不同的格波, 共有 N 个不同的格波 N 就是一维单原子链的自由度数, 这表明已经得到链的全部振动模 玻恩-卡曼的模型起着一个边界条件的作用, 用这个 模型并未改变运动方程的解, 而只是对解提出一定条 件 , 称它为玻恩－卡曼条件, 或称为周期性边界条件
第 n 个原子受到左右两 个近邻原子的作用力 左边第 (n－1) 个原子与它的相对位移是δ＝μn－μn-1, 力为－β(μn－μn-1) 右边第 (n＋1) 个原子与它的相对位移是δ＝µn＋1－µn, 力 为－β(µn＋1－µn) 考虑到两个力的作用方 向相反, 得到运动方程
&& mµn = β ( µn +1 − µn ) − β ( µn − µn −1 ) = β ( µn +1 + µn −1 − 2µn )
以后的研究确立了晶格振动采取 "格波" 的形式 这一章的介绍格波的概念, 并在晶格振动理 论的基础上扼要讲述晶体的宏观热学性质 晶格振动是研究固体宏观性质 和微观过程的重要基础 对晶体的电学性质、光学性质、超导电 性、磁性、结构相变… …等一系列物理 问题, 晶格振动都有着很重要的作用
§3-1 简谐近似和简正坐标
1 2 ∂2 2 2 + ωi Qi ϕ (Qi ) = ε iϕ (Qi ) −h 2 2 ∂Qi
谐振子方程的解
1 ε i = ni + hωi 2
ϕn (Qi ) =
i
ω
ξ2 exp − H ni (ξ ) h 2 ξ=ω Nhomakorabeah
Qi , H n 表示厄米多项式
每个原子对应有一个方程, 若原子链有 N 个原子, 则有 N 个方程, 上式实际上代表着 N 个联立的线性齐次方程 方程具有“格波”形式的解
µn = Aei (ωt − naq )
其中ω、A 为常数. 由于方程是线性齐次的, 可以用复 数形式的解，其实部或虚部部分都代表方程的实解. 有
m(iω ) 2 Aei (ωt − naq ) = β Aei (ωt −( n +1) aq ) + Aei (ωt −( n −1) aq ) − 2 Aei (ωt − naq )
从经典力学的观点, 晶格振动是一个典型的 小振动问题。凡是力学体系自平衡位置发生 微小偏移时, 该力学体系的运动都是小振动 1. 简谐近似 如果晶体包含 N 个原子, 平衡位置为 Rn , 偏离平衡位 置的位移矢量为μn(t), 则原子的位置 R'n(t) = Rn +µn(t) 处理小振动问题时往往选用 位移矢量µn(t) 的 3N 个分 与平衡位置的偏离为宗量 量写成µi (i=1,2,…,3N)
§3-1 简谐近似和简正坐标 小 结
体系的势能函数展开至位移坐标的二次方项, 称为 简谐近似 简正坐标是通过正交变换引入的, 使内能函数和 动能函数同时化为平方项之和而无交叉项的坐标 由简正坐标所代表的, 体系中所有原子一起参与的 共同振动, 常常称为一个振动模（或简正模）
§3-2 一维单原子链
问题：q=7π/2a 波与 q=π/2a 的波等价吗？ 不等价
前面所考虑的运动方程只适用于无穷长的链 在只有近邻相互作用时，最两端的原子只 受到一个近邻的作用，它们将有与其它原 子形式不同的运动方程 虽然仅少数原子运动方程不同，但由于所有原 子的方程都是联立的，具体解方程就复杂得多 为了避免这种情况, 玻恩-卡曼(Born-von Karman) 提出包含 N 个原胞的环状链作为一个有限链的模 型, 它包含有限数目的原子, 然而保持所有原胞完 全等价, 以前的运动方程仍旧有效
2β 4β 21 色散关系的两点讨论: ω = [1 − cos aq] = sin aq m m 2
2
1 sin aq 取正根 ω = 2 m 2
β
由于格波的特性, q 的取 值在-π/a 到 +π/a 之间 由于周期性边界条件, q 的允许值为这一区间 中均匀分布的 N 个点
• Einstein 发展了Planck 的量子假说, 第一次提出了 量子热容量理论, 得出热容量在低温范围下降, 并在 T→ 0K 时趋于 0 的结论 这项在量子理论发展中占有重要地位的成 就，对于原子振动的研究也有重要影响 量子理论的热容量值和经典不同, 它与原子振动 的具体频率有关, 从而推动了对固体原子振动进 行具体的研究
当 q 远小于π/a, 相当于波长λ>>a, ω正比于 q, 即
β ω = a m |q|
这类似于连续介质波的情况。如果注意到相邻原子相 对位移为δ, 相对伸长为δ/a, 相互作用力可以写成
δ βδ = β a a
∂V =0 ∂µi 0
略去二次以上的高阶项, 得到
1 3 N ∂ 2V V = ∑ 2 i , j =1 ∂µi ∂µ j
µi µ j 0
体系的势能函数只保留至 µi 的二次方项, 称为简谐近似 处理小振动问题一般都取简谐近似 对于一个具体问题是否可以采取简谐近似, 要看在简谐近似下得到的理论结果是否与 实验相一致 高阶项的作用, 称为非谐作用