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导数概念课件
泰勒展开的应用
泰勒公式不仅仅应用于提高函数的逼近精 度，更可将问题转化成求某个数列的极限 问题。
总结
导数是微积分学中基础和重要的概念。在本节中我们介绍了导数的本质、作用和局限性。
1
导数的本质
导数是用于衡量函数在某一点上的切线斜率或增长速率的概念。
2
导数的作用
导数在最值问题、曲率问题和斜率问题的解法中具有重要作用。
导数概念ppt课件
本PPT课件将教授导数的概念和应用。了解导数的定义、性质和求法，为最值 问题、曲率问题和斜率问题的解法提供基础。
导数的定义
导数用于衡量函数在某一点上的切线斜率或增长速率。本节将讲解坡度与导数、切线与导数之间 的关系。
坡度
斜率的简称，描述了曲 线的陡峭程度。
导数
函数在某一点上的切线 斜率,
利用导数求曲线的斜率
导数可用于计算曲线在某一 点上切线的斜率。
利用导数求曲线的凹凸 性及驻点
导数可以描述函数凹凸性 及驻点，对函数图像进行全 面分析。
练习题
本节将提供练习题，让您巩固导数的概念和常见的应用场景之间的联系。
选择题
加深对导数基本概念的 认知和理解。
计算题
巩固求导数的方法和技 巧。
应用题
切线
曲线在某一点上的切线， 与导数相关。
导数的求法
本节主要介绍三种求导数的方式：函数图像、函数公式和复合函数。对于函数图像，可以通过 绘制切线并计算斜率来求导数。而对于函数公式，可以通过求导数公式计算更为方便。
1
函数图像
通过绘制切线并计算斜率来求导数。
2
函数公式
通过求导数公式计算，比如可用一元多次函数求导法。
应用
导数不仅在理论中具有重要性，也在实际问题中发挥巨大作用。本节将从最值问题、曲率问题和 斜率问题三个方面，介绍导数在不同应用场景中的运用。
导数的概念ppt课件
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几个重要结论： 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续，连续未必可导
第13页/共15页
课堂练习
1：已知函数f(x)＝x2＋x－6． (1)在x＝－3处的导数是多少？ (2) 求f’(0)，f’(3)； (3)求f’(x).
2. 求下列函数的导函数． (1) f(x) ＝kx＋b； (2) f(x) ＝c；(3) f(x) ＝x2；
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
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导数的概念
第3页/共15页
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
如果自变量x在 x0处有增量x，那么函数 y相应地有
增量y f ( ( x)在x0到x0 x之间的 平均变化率 ,即
y f ( x0 x) f ( x0 ) .
x
x
如果当x 0时，
y A x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处 可导，
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f (x 0)f (x) xx0 ．．
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
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例2 .已知 y x , 求y' ,并求出函数 在x 2处的切线方程.
解: y x x x,
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
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几个重要结论： 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续，连续未必可导
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课堂练习
1：已知函数f(x)＝x2＋x－6． (1)在x＝－3处的导数是多少？ (2) 求f’(0)，f’(3)； (3)求f’(x).
2. 求下列函数的导函数． (1) f(x) ＝kx＋b； (2) f(x) ＝c；(3) f(x) ＝x2；
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
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导数的概念
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一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
如果自变量x在 x0处有增量x，那么函数 y相应地有
增量y f ( ( x)在x0到x0 x之间的 平均变化率 ,即
y f ( x0 x) f ( x0 ) .
x
x
如果当x 0时，
y A x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处 可导，
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f (x 0)f (x) xx0 ．．
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
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例2 .已知 y x , 求y' ,并求出函数 在x 2处的切线方程.
解: y x x x,
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
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x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
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感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数的概念PPT课件
△ｔ＜0时
2＋△ｔ
计算区间2 t, 2和区间2, 2 t
内平均速度v, 可以得到如下表格.
2
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形 式,Δy也必须选择与之相对应的形式.
一差、二商、三极限
求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率， 并求出在该点处的导数．
(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时 速度.
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解：Δy f (1 Δx) f (1) 3(1 Δx)2 3 6Δx 3(Δx)2
Δy 6Δx 3(Δx)2 6 3Δx
Δx
Δx
f '(1) lim Δy lim (6 3Δx) 6 x0 Δx x0
(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时 速度.
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解：Δy f (1 Δx) f (1) 3(1 Δx)2 3 6Δx 3(Δx)2
Δy 6Δx 3(Δx)2 6 3Δx
Δx
Δx
f '(1) lim Δy lim (6 3Δx) 6 x0 Δx x0
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
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△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149
当△t = – 0.001时, v 13.0951 当△t =0.001时, v 13.1049 当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
又如何求 瞬时速度呢?
阅读课本P4 5,理解导数的概念
新课讲解：
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同 时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动员相对于水面的高 度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,计算运动员在2秒到2+⊿t秒内的 平均速度。
v h h(2 t) h(2) 13.1 4.9t
定值 13.1".
我们称确定值 13.1是 h2 t h2当t趋近于0时的极限.
t
h h(2 t) h(2) 4.9t 13.1
t
t
当t 0 有 4.9t 13.1 13.1
思考 : 为什么要从t 0和t 0两方面来说明？
h
h(2 t) h(2)
lim lim
13.1
t t 0
t 0
t
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim y
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0 )
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x 0
x 0
存在, 则称函数y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为 函数 y f ( x )在点 x0处关于x的导数, 记为y
d y d f(x ) , . x x x x 0 0 d x d x
医用高等数学
x x0
,
f ( x0 ),即 Nhomakorabeayx x0
医用高等数学
二、导数的定义及导数的几何意义
定义2-1 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内有定义 ,
当自变量 x在 x0处有增量x ( 点x0 x 仍在该邻域内 ) 时, 相应地函数 y有增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与x 之比的极限 lim y x lim f ( x0 x ) f ( x0 ) x
x 0
lim
1 x x x
x 0
1 2 x
y
x 1
1 2
例2-3 据1985年人口调查,我国有10.15亿人口,人口 平均年增长率为1.489％,根据马尔萨斯(Malthus)人口理
论,我国人口增长模型为
0 . 0 1 4 8 9 x f() x 1 0 . 1 5 e
例2-2 已知函数 f (x)
x求导函数 y 及 y
x 1
解
y x
y
x x x
( x x x )( x x x ) x x x x 1 x x x
x x x x
医用高等数学
y lim
y x
2
解 y f ( x x ) f ( x ) ( x x ) 2 x 2 2 xx (x ) 2
导数的概念课件
导数的物理性质
速度与加速度
在物理中，导数可以表示速度和加速度。例如，物体运动的瞬时速度是位移函数 的导数；物体运动的瞬时加速度是速度函数的导数。
斜率与加速度
在工程学中，斜率可以表示物体的加速度。例如，在电路中，电流的变化率可以 表示为电压函数的导数；在机械系统中，速度的变化率可以表示为力函数的导数 。
利用导数研究函数的曲率
总结词
描述函数曲线的弯曲程度
详细描述
导数的二阶导数可以用来描述函数的曲率。二阶导数越大， 表示函数曲线在该点越弯曲；二阶导数越小，表示函数曲线 在该点越平坦。通过计算二阶导数，可以了解函数曲线的弯 曲程度。
04
导数在实际生活中的应用
导数在经济学中的应用
总结词
导数在经济学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解经济现象的变化率和优化经济决 策。
链式法则
商的导数公式
若$u(x)$和$v(x)$在某点可导，且 $v(x) neq 0$，则$frac{u'(x)}{v'(x)}$ 存在。
若$u(x)$在某点可导，$f$是常数，则 复合函数$f(u(x))$在同一点也可导， 且$(f circ u)' = f' times u'$。
导数的几何性质
导数在数学分析、函数研究、优化问题、经济学等领域中 有着广泛的应用，是解决许多问题的重要工具。
导数的发展趋势与未来展望
发展趋势
随着科学技术的发展，导数在各个领域的应 用越来越广泛，如物理学、工程学、经济学 等。同时，对导数本身的研究也在不断深入 ，如对高阶导数、复合导数、变分法等的研 究。
未来展望
导数的起源与早期发展
起源
导数起源于17世纪，最初是为了解决 物理学和几何学中的问题，如速度和 切线斜率等。
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