高一数学-苏教版高一数学平面向量 精品
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件2.3.1 平面向量基本定理
问题导学
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迁移与应用 e1,e2 是表示平面内所有向量的一组基底,则下列各组向量中,不能 作为一组基底的序号是
1 1 e2,e1- e2. 5 10
.
①e1+e2,e1-e2;②3e1-2e2,4e2-6e1;③e1+2e2,e2+2e1;④e2,e1+e2;⑤2e1答案:②⑤ 解析:由题意,知 e1,e2 不共线,易知②中,4e2-6e1=-2(3e1-2e2),即 3e1-
问题导学
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一、平面向量基本定理的理解
活动与探究 如果 e1,e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,λ,μ 是实数,判断下列说 法是否正确,并说明理由. (1)若 λ,μ 满足 λe1+μe2=0,则 λ=μ=0; (2)对于平面 α 内任意一个向量 a,使得 a=λe1+μe2 成立的实数 λ,μ 有无数对; (3)线性组合 λe1+μe2 可以表示平面 α 内的所有向量; (4)当 λ,μ 取不同的值时,向量 λe1+μe2 可能表示同一向量. 思路分析:运用基底概念与平面向量基本定理进行判断 .
预习交流 1
基底中的向量 e1,e2 可以为零向量吗? 提示:不可以.倘若向量 e1,e2 中有一个向量为零向量,那么两向量必 为共线向量,这与基底的定义相矛盾,故基底中的向量 e1,e2 均不可以为 零向量.
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预习导引
预习交流 2
在表示向量时,基底唯一吗? 提示:不唯一,同一平面可以有无数组不同的基底.因此,对不同的基 底,同一向量的分解是不唯一的,但基底给定时,向量的表示方法唯一.
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二、用基底表示向量
高一数学最新课件-江苏地区数学学科向量1到8节的复习课资料 精品
1、向量 2、向量的加法与减法 3、实数与向量的积 4、平面向量的坐标运算 5、线段的定比分点 6、平面向量的数量积及运算律 7、平面向量数量积的坐标表示 8、平移
1、向量
知识点：向量、向量的长度（模）、零向量与单位向量、 平行向量（零向量）共线向量、相等向量。 例题：1、下列结论中，正确的是
A、零向量只有大小没有方向。 B、若非零向量︱AB︱= ︱CD︱，则AB=CD。 C、若AB是单位向量，则BA不是单位向量。 D、位移、力、重力加速度是向量；温度、质量、路程
功都不是向量。
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2、向量的加法与减法
知识点 ：向量的加法以及法则。 1、共线的向量相加。a + 0 = a ; a + b = ;(分同向或反向) 2、不共线的两个向量相加。AB + BC = AC
向量的线性运算时，可以像多项式加法和数乘多 项式那样进行运算。
例题：如图，在平行四边形ABCD中，Ｍ、Ｎ分别为ＤＣ、ＢＣ
的中点，用c,d表示ＡＢ和ＡＤ
D
C
c d
A
B 返回
4、平面向量的坐标运算
知识点 ： １、平面向量的坐标表示； ２、平面向量的坐标运算； ３、向量平行的充要条件。 X1y2=x2y1 ４、有向线段的坐标。ＡＢ 例题：1、设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b的坐标
B
A
C 3、向量加法的运算律。
a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b +c) 4、相反向量；向量的差；向量不能比较大小。
例题：已知︱a︱= 6 , ︱b︱= 8, 则︱a + b︱的取值范围。
苏教版数学高一必修4素材 2.2平面向量的线性表示
平面向量的线性表示我们在用平面向量基本定理解决向量用基底表示问题时，除了要正确利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应注意封闭图形的利用、已知定理的利用和已知条件的利用。
例1 如图，ABC ∆中，:1:3,:1:4,AM AB AN AC BN ==与CM 相交于点P ，若,AB a AC b ==，试用,a b 表示AP .解析一 充分利用三角形求解 由已知得11,34AM a AN b ==. 设MP tMC =，则()1111(1).3333AP AM MP a t AC AM t a tb t a tb ⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 设NP sNB =， 则()1111(1).4444AP AN NP b s AB AN s b sa s b sa ⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 由于,a b 不共线，据平面向量基本定理，AP 关于,a b 的线性表示是唯一的，所以11333112111144s t s t t s ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩. 故32.1111AP a b =+ 点评： 这是个线段比例且相交问题。
解决这类问题尽可能把所求向量连同用基底,a b 表示出的向量向同一个三角形或平行四边形内转化，再利用三角形法则或平行四边形法则求解；本题即是将相关的向量向APM APN 和中转化.然后再据平面向量基本定理求解.解析二 充分利用共线定理求题由于,,M P C 三点共线，所以()()111.3AP AM AC a b λλλλ=+-=+- 同时,,N P B 三点共线，所以()()111.4AP AN AB b a μμμμ=+-=+- 由于,a b 不共线，据平面向量基本定理，AP 关于,a b 的线性表示是唯一的，所以191311811114λμλμλμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩， 故32.1111AP a b =+ 点评 解析二是利用两次利用三点共线定理，即点M P C 、、和点N P B 、、分别共线，而得出向量AP 的两种线性表示法，使所求向量与已知向量建立直接联系；然后再由平A B C M NP面向量基本定理求解.例2 已知向量()5,0,0,52a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭的起点均为原点，而终点依次对应点,A B ，线段AB边上的点P ，使得OP AB ⊥，则用向量,a b 表示OP =____________.解析 充分利用已知条件求解设OP =()55,00,5,522xa yb x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5,52AB b a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.由于OP AB ⊥，所以252504x y -+=，即4x y =. ① 5,552BP OP OB x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，55,522AP OP OA x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，//BP AP ，所以()()555211155522xy xy x y x y yx -=⇒=--⇒+=-. ② 由①②解得41,55x y ==，所以4155OP a b =+.点评 利用向量的坐标运算，待定系数法，抓住向量垂直，数量积等于0，和向量共线的坐标关系，也可利用三点共线来得到方程.X。
苏教版数学高一苏教版必修42.3.2平面向量的坐标运算第一课时
互动课堂 疏导引导1.向量的直角坐标在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量e 1,e 2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个单位基底{e 1,e 2}.在坐标平面xOy 内，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（a 1,a 2），使得a =a 1e 1+a 2e 2.(a 1,a 2)就是向量a 在基底{e 1,e 2}下的坐标，即a =(a 1,a 2).2.如何求向量a =AB 的坐标分别过向量AB 的始点和终点作x 轴、y 轴的垂线，设垂足分别为A 1、B 1、A 2、B 2.坐标分量a 1为向量11B A 在x 轴上的坐标，坐标分量a 2为向量22B A 在y 轴上的坐标.显然0=（0，0），e 1=(1,0),e 2=(0,1).设向量a =(a 1,a 2),a 的方向相对于x 轴的转角为θ,由三角函数的定义可知a 1=|a |cosθ,a 2=|a |sinθ.3.向量的直角坐标的意义在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定，设点A 的坐标为（x,y ）,容易看出OA =x e 1+y e 2=(x,y)即点A 的位置向量OA 的坐标（x,y ），也就是点A 的坐标；反之点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标.4.向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2)，即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和.（2）若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2)，即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差.（3）若A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，则=（x 2-x 1,y 2-y 1），即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.（4）若a =(a 1,a 2),λ∈R ，则λa =(λa 1,λa 2)即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.对以上运算规则证明如下，①设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a +b =（a 1e 1+a 2e 2）+(b 1e 1+b 2e 2) =(a 1+b 1)e 1+(a 2+b 2)e 2即a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2)用同样的方法可以证明：a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2)λa =λ(a 1,a 2)=(λa 1,λa 2)②已知：A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)则AB =OB -OA =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).5.中点公式设线段AB 两端点的坐标分别为A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则其中点M （x,y ）的坐标计算公式为x=221x x +,y=221y y +. 推导如下：设点M （x,y ）是线段AB 的中点，则OM =21（OA +OB ）. 上式换用向量的坐标得（x,y ）=21［(x 1,y 1)+(x 2,y 2)］，即x=221x x +，y=221y y +. 活学巧用【例1】已知作用在原点的三个力F 1=（1，2），F 2=（-2，3），F 3=（-1，-4），则它们的合力的坐标为________________.解析：F=F 2+F 2+F 3=(1,2)+(-2,3)+(-1,-4)=(-2,1).答案：(-2,1)【例2】若{e 1,e 2}为单位基底，设a =(x 2+x+1)e 1-(x 2-x+1)e 2，（其中x ∈R ），则向量a 位于（ ）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三象限D.第四象限 解析：a =(x 2+x+1,-x 2+x-1)x 2+x+1=x 2+x+41+43=(x+21)2+43≥43＞0 -x 2+x-1=-(x 2-x)-1=-(x 2-x+41)-43 =-(x-21)2-43≤-43＜0, ∴a 位于第四象限.答案：D【例3】在直角坐标系xOy 中，向量a ,b ,c 的方向和长度如右图所示，分别求它们的坐标.解析：设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2)，c =(c 1,c 2),则a 1=|a |·cos45°=2×22=2, a 2=|a |·sin45°=2×22=2， b 1=|b |·cos120°=3×(-21)=23-,b 2=|b |·sin120°=3×23=233. c 1=|c |·cos(-30°)=4×23=32,c 2=|c |·sin(-30°)=4×(-21)=-2. ∴a =(2,2),b =(-23,233),c =(32,-2). 【例4】 设向量a ,b 的坐标分别是（-1，2），（3，-5），求a +b ,a -b ，3a ,2a +3b 的坐标. 解析：a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3).a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7).3a =3(-1,2)=(-3,6).2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).【例5】已知点A （-1,2）,B(2,8)及=31AB ,DA =-31BA ,求点C 、D 和的坐标. 解析：设C 、D 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2)由题意可得=（x 1+1,y 1-2）,=(3,6)，DA =(-1-x 2,2-y 2),BA =(-3,-6). ∵=31, =-31. ∴(x 1+1,y 1-2)=31(3,6),(-1-x 2,2-y 2)=-31(-3,-6)也就是(x 1+1,y 1-2)=(1,2)，(-1-x 2,2-y 2)=(1,2). ∴⎩⎨⎧=-=+,22,1111y x 和⎩⎨⎧=-=--,22,1122y x ∴⎩⎨⎧==,4,011y x 和⎩⎨⎧=-=.0,222y x ∴C 、D 坐标分别为（0，4）和（-2,0）.因此，CD =（-2，-4）.。
高一数学暑假专题平面向量的坐标运算苏教版知识精讲
高一数学暑假专题平面向量的坐标运算苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：暑假专题——平面向量的坐标运算二、教学目标：1. 了解平面向量的基本定理。
理解平面向量的坐标的概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；2. 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；3. 学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题。
三、本周知识要点：1. 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对（x ，y ）是一一对应的，因此把（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a ＝（x ，y ），其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标。
（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。
（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。
2. 平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- （3）若a ＝（x ，y ），则λa ＝（λx ， λy ）（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= （5）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3.)(b a b a -+=-OB OA AB -=a a )()(λμμλ=【典型例题】例1. 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x 的值。
苏教版数学高一-2.2素材 平面向量的线性表示
平面向量的线性表示我们在用平面向量基本定理解决向量用基底表示问题时，除了要正确利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应注意封闭图形的利用、已知定理的利用和已知条件的利用。
例1 如图，ABC ∆中，:1:3,:1:4,AM AB AN AC BN ==与CM 相交于点P ，若,AB a AC b ==，试用,a b 表示AP .解析一 充分利用三角形求解 由已知得11,34AM a AN b ==. 设MP tMC =，则()1111(1).3333AP AM MP a t AC AM t a tb t a tb ⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 设NP sNB =， 则()1111(1).4444AP AN NP b s AB AN s b sa s b sa ⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 由于,a b 不共线，据平面向量基本定理，AP 关于,a b 的线性表示是唯一的，所以11333112111144s t s t t s ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩. 故32.1111AP a b =+ 点评： 这是个线段比例且相交问题。
解决这类问题尽可能把所求向量连同用基底,a b 表示出的向量向同一个三角形或平行四边形内转化，再利用三角形法则或平行四边形法则求解；本题即是将相关的向量向APM APN 和中转化.然后再据平面向量基本定理求解.解析二 充分利用共线定理求题由于,,M P C 三点共线，所以()()111.3AP AM AC a b λλλλ=+-=+- 同时,,N P B 三点共线，所以()()111.4AP AN AB b a μμμμ=+-=+- 由于,a b 不共线，据平面向量基本定理，AP 关于,a b 的线性表示是唯一的，所以191311811114λμλμλμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩， 故32.1111AP a b =+ 点评 解析二是利用两次利用三点共线定理，即点M P C 、、和点N P B 、、分别共线，而得出向量AP 的两种线性表示法，使所求向量与已知向量建立直接联系；然后再由平A B C M NP面向量基本定理求解.例2 已知向量()5,0,0,52a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭的起点均为原点，而终点依次对应点,A B ，线段AB边上的点P ，使得OP AB ⊥，则用向量,a b 表示OP =____________.解析 充分利用已知条件求解设OP =()55,00,5,522xa yb x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5,52AB b a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.由于OP AB ⊥，所以252504x y -+=，即4x y =. ① 5,552BP OP OB x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，55,522AP OP OA x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，//BP AP ，所以()()555211155522xy xy x y x y y x -=⇒=--⇒+=-. ②由①②解得41,55x y ==，所以4155OP a b =+.点评 利用向量的坐标运算，待定系数法，抓住向量垂直，数量积等于0，和向量共线的坐标关系，也可利用三点共线来得到方程.X。
高一数学苏教版必修四教学案29平面向量坐标表示1
§29 平面向量的坐标表示一、教学目标：掌握平面向量的坐标表示及坐标的线性运算。
二、教学重难点：平面向量的坐标表示及坐标的线性运算三、新课导航:1.在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个___________作为基 底,i j ，对任一向量a 有且只有一对实数x ，y ，使a xi y j =+，则实数对(),x y 叫向量a 的直角坐标，记为a =_____________2.设1122(,),(,)a x y b x y ==，那么-=a b=a λ____________3.若1122(,),(,)A x y B x y ，则AB4.预习自测:(1)已知→a =（3，2），→b =（0，-1），则-2→a +4→b = ，4→a +3→b =(2)直角坐标系中，已知点(23),(32)-A B ，，,则AB =(3)点(1,2),(3,2)A B ,向量)43,(--+=y x y x 与AB 相等，则x=四、合作探究活动1 已知O 为坐标原点，点A 在第一象限，43,60︒=∠=OA xOA ,求向量OA 的坐标.活动2 已知(1,3),(1,3),(4,1),(3,4)--A B C D ,求向量,,,OA OB AO CD 的坐标活动3 已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），点P 是直线P 1P 2上的一点，且P 1＝λ2PP （λ≠－1），求点P 的坐标．五、知识网点六、反思§29 平面向量坐标表示作业班级 姓名 学号 日期 得分1．若向量(1,2),(2,1),==-a b ，则32-=a b _______________2．已知(6,1)=AB ，→BC =（-2,4）,→CD =(-2,-3),则→AD =3.已知向量)1,2(-=表示该向量的有向线段的起点(1,5)A 的坐标，则它的终点B 的 坐标是4. 已知作用在坐标原点的三个力)1,3(),5,2(),4,3(321=-==F F F ，则作用在原点的 合力321F F F ++的坐标为5.已知平行四边形ABCD 的顶点)6,5(),1,3(),2,1(C B A ---，则顶点D 的坐标为6．已知)3,1()2,1(),0,0(-B A O ，且OB OB OA OA 3,211==，那么点1A 的坐标 为 ，点1B 的坐标为 ，向量11B A 的坐标为7.已知)5,4()2,1(),0,0(B A O ，t +=，求当2,2,21,1-=t 时，其对应P 的 坐标，并在平面内画出这些点。
苏教版数学高一-2.1素材 从多个角度理解平面向量
从多个角度理解平面向量向量是教材改革的新增内容之一，它具有一套优良的运算通性，又有几何表示，它是数与形更完美的结合，从近年高考来看，向量与其他章节的综合题已经出现，因此，要重视教材的基础作用，加强基础知识的学习，做到概念清楚，运算准确的同时，也要加强向量的工具作用，注意综合能力的训练.下面通过实例对平面向量的数、形、几何意义三个方面作简单剖析： 一、平面向量数的运算考查——向量的坐标运算：例1 ⑴（06 已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b =，则b =A ．（122） B ．（1,22） C ．（1,44） D ．（1,0） 解析：设()(),,0b a b b =≠，且221a b +=又∵3a b b =⇒+= 解得：1,22x y == 所以，13,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故答案选 B点评：对于向量的数乘与向量的数量积的考查，要紧紧的把握好数乘与数量积的定义，适当对公式进行变形处理，从而有效的解决实际问题。
⑵设(43)a =，，a 在b 上的投影为2，b 在x 轴上的投影为2，且||14b ≤，则b 为（ ）A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，解析：设向量(),b x y =，由b 在x 轴上的投影为2得2x = 又5222cos 2a b a baθ===，将()(43),2,a b y ==，代入上式计算， 得2147y y =-=或，又14b ≤，故14y =舍去，即227b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，故答案B 二、向量的形的运算考查——向量的线性运算：例2、⑴在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用，，a b c 表示）．解析：由平面向量的三角形与平行四边形法则可得：OC()()()121144111111244244OE OA AE OA AD OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC a b c =+=+⎡⎤=++=+-+-⎣⎦=++=++⑵在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） （A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅ （C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=解析：A 中，2cos AC AB AC AB CAB AC =∠=成立； B 中，2cos BA BC BC BA CBA BC =∠=成立；D 中，由AB 可得：()()2222AC AB BA BC AC BC ABAB⨯=，又∵ABC ∆为直角三角形，所以由面积公式得：222AC BC AB CD ⋅=⋅，故D 是成立的。
苏教版高中数学高一课件 平面向量基本定理
方法技巧 用待定系数法确定向量的表示 例4 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC， AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
解析答案
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12345
1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为 基底的是_②___.(填序号)
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与 e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其 中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__①__②__④__.(写出所有满足 条件的序号) 解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2 ＝－2(e1－2e2)， ∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
解析答案
题型二 用基底表示向量 例 2 如图所示，已知▱ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC 边上的中点，
若A→B＝a，A→D＝b，试以 a、b 为基底表示D→E、B→F.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等
分点，若A→B＝a，A→C＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F. 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C ＝a＋13(b－a)＝23a＋13b； A→F＝A→B＋B→F＝A→B＋23B→C＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何 问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归， 使问题得以解决.
高中数学第1部分第2章2.32.3.1平面向量基本定理课件苏教版必修.pptx
[例 3] 如图，△ABC 中，D 为 BC 的中 点，G 为 AD 的中点，过点 G 任作一直 线 MN 分别交 AB、AC 于 M、N 两点， 若 AM ＝x AB， AN ＝y AC ，试问：1x＋1y是否为定值？
5. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M， AB＝a， AD＝b， 试用 a，b 表示 MC ， MA， MB和 MD. 解：∵ AC ＝ AB＋ AD＝a＋b， 又∵平行四边形的对角线互相平分， ∴ MC ＝12 AC ＝12a＋12b， MA＝－ MC ＝－12a－12b， ∴ MB＝12 DB＝12( AB－ AD)＝12a－12b， MD＝－ MB＝12b－12a.
(2)平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的唯一性是相 对于基底e1，e2而言的．一旦选定一组基底，则给定向量 沿着基底的分解是唯一的．
[例1] 若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断c，d能否作为基底．
[思路点拨] 要判断c，d能否作为基底，只需看c，d是 否共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．
4. 如图所示，△ABC 中，若 D、E、F
依次是 AB 的四等分点，则以CB＝e1， CA＝e2 为基底时，CF ＝________. 解析： CB ＝e1， CA＝e2， ∴ AB＝e1－e2. ∵ AF ＝34 AB，∴ AF ＝34(e1－e2)． ∴CF ＝CA＋ AF ＝e2＋34(e1－e2)＝34e1＋14e2. 答案：34e1＋14e2
问题4：根据问题2的作图过程，你认为如何用e1和e2表示a? 提示：因OM ＝λ1e1，ON ＝λ2e2， OC ＝OM ＋ON ，则 a＝λ1e1＋λ2e2，λ1、λ2 是常数．
1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内两个 不共线 的向量，那么对 于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2 .
高一数学苏教版2019必修第二册单元复习课件单元复习09+平面向量
21
[解] ∵c＝(－2 3，2)，∴|c|＝4， 又 a⊥c，∴a·c＝0. ∵b·c＝|b||c|cos 23π＝|b|×4×－12＝－4， ∴|b|＝2.又 c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋n·b·c， ∴16＝－4n，∴n＝－4.
22
又 a·c＝ma2＋na·b，
∴0＝8m－4a·b.
苏教版2019选择性必修第一册
单元复习09 平面向量
1．五种常见的向量 (1)单位向量：模为1的向量． (2)零向量：模为0的向量． (3)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量． (4)相等向量：模相等，方向相同的向量． (5)相反向量：模相等，方向相反的向量．
2．两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ， 使b＝λa.
4．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos
θ＝
a·b |a||b|
＝
x21＋x1xy221＋ ·y1xy222＋y22.
“ THANKS ”
P→G＝O→G－O→P＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b.
15
由 P，G，Q 共线得，存在实数 λ 使得P→Q＝λP→G，
即 nb－ma＝λ13－ma＋13λb，
则－m＝λ31－m， n＝13λ，
消去 λ，得1n＋m1 ＝3.
16
向量数量积的运算
【例 2】 设向量O→A＝a，O→B＝b，且|O→A|＝|O→B|＝4，∠AOB＝ 60°.
高一数学苏教版课件：向量概念
[当堂检测] (2)由于点 B 在点 A 正东方向处，且|A→B|＝4，所以在坐标纸上点
类型二、向量的表示
【例 2】 一辆汽车从 A 点出发，向西行驶了 100 千米到达点 B，然后又 改变方向向西偏北 50°行驶了 200 千米到达点 C，最后又改变方向，向东 行驶了 100 千米到达点 D. (1)作出向量A→B，B→C，C→D；
→ (2)求|AD|. [思路点拨] 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向 量，进而求解．
【解析】
(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比 较大小． (2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a|＝|b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件，可得 a＝b. (4)不正确．依据规定：0 与任一向量平行．
[当堂检测]
(1)23 (2)O→D，B→C，A→O，F→E (3)E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O， A→O，D→A，A→D (4)与 a 相等的有E→F，D→O，C→B；与 b 相等的有D→C，E→O， F→A；与 c 相等的有E→D，F→O，A→B [(1)满足条件的向量有 23 个．
()
(5)单位向量的模都相等．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
[基础自测]
2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密 度；⑧功．其中不是向量的有______(填序号)．
苏教版数学高一-必修4学案 平面向量基本定理
2．3 向量的坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量基本定理的含义，了解基底的含义.2.理解并掌握平面向量基本定理．1．如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答 通过观察，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 2．0能不能作为基底？答 由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底． 3．平面向量的基底唯一吗？答 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．正交分解：一个平面向量用一组基底e 1，e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的分解．当e 1，e 2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解.要点一 平面向量基本定理的理解 例1 下列说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0； ⑤e 1与e 2是一组基底，则λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面内． 其中正确的是________．(写出正确的所有序号) 答案 ②③④解析 平面向量的基底不唯一，在同一平面内任何一组不共线向量都可以作为平面向量的一组基底．零向量可看成与任何向量平行，故零向量不能作为基底中的向量，故②③正确；④正确；⑤错，因为在平面内任一向量都可以表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2表示的向量在平面内．规律方法 对平面向量基本定理的理解是解题的关键，因为零向量与任意向量共线，故不能作基底，λ1e 1＋λ2e 2＝0，在e 1与e 2不共线时，有λ1＝λ2＝0. 跟踪演练1 给出下面四个命题：①若a ∥b ，则必存在唯一的实数λ，使b ＝λa ； ②若λa ＝μ a ，则λ＝μ(λ，μ∈R )；③若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么向量e 1＋e 2和e 1－e 2也能作为一组基底； ④若λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2(λ1，λ2，μ1，μ2∈R )，则λ1＝μ1，λ2＝μ2. 写出其中所有正确命题的序号________． 答案 ③解析 ①若a 为零向量，满足a ∥b (b ≠0)，但不存在实数λ，使b ＝λa ；②若a 为零向量满足3a ＝2a ，但3≠2；③假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)．即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2，所以e 1和e 2共线，与e 1和e 2不共线矛盾．从而e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，故它们可以作为一组基底；④当e 1与e 2共线时，结论不一定成立． 要点二 用基底表示向量例2 如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解 NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则，结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．(2)将向量c 用a ，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，然后得到关于x ，y 的方程组求解．跟踪演练2 已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →. 解 如图，连结FD .∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴DC ∥FB 且DC ＝FB ， ∴四边形DCBF 为平行四边形． ∴DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝⎛⎭⎫a －12b －12×12b ＝14b －a . 要点三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC .AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．解 设BM →＝e 1，CN →＝e 2， 则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ，使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，∴AP ∶PM ＝4∶1.规律方法 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．注意方程思想的应用．(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握． 跟踪演练3 如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值． 解 (1)∵A 为BC 中点，∴OA →＝12(OB →＋OC →)，∴OC →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)∵OE →＝λOA →，∴CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa －2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b .∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →， 即(λ－2)a ＋b ＝m ⎝⎛⎭⎫－2a ＋53b ， 即(λ＋2m －2)a ＋⎝⎛⎭⎫1－53m b ＝0. ∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.1．若e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是________．①e 1－2e 2和e 1＋2e 2；②e 1与3e 2；③2e 1＋3e 2和－4e 1－6e 2；④e 1＋e 2与e 1. 答案 ③解析 2e 1＋3e 2与－4e 1－6e 2共线不能作为基底．2．若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为_______________________________________________________________． 答案 －8解析 当a ∥b 时，a ，b 不能作为一组基底，故存在λ，使得a ＝λb ，即3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)，∴6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝12，k ＝－8.3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →. 解 如图，连结AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点，AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23×⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任一向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、基础达标1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1；②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2；③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2；④e 1＋e 2，e 1－e 2. 答案 ②④2．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝________. 答案 AD →解析 如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.3．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝________________________________________________________________________. 答案11＋λa ＋λ1＋λb 解析 ∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)， ∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→，∴OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .4.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足________．①a >0，b >0；②a >0，b <0；③a <0，b >0；④a <0，b <0. 答案 ③解析 当点P 落在第Ⅰ部分时，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→同向，故a <0，b >0.5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.所以p ＝－74m ＋138n .6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________. 答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c .7．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .二、能力提升8．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AEEB＝________.答案110解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，AE EB＝λ.∵AFFD＝15，∴CF→＝CA→＋AF→＝CA→＋16AD→＝112(AB→＋AC→)－AC→＝112AB→－1112AC→＝112a－1112b.CE→＝CA→＋AE→＝CA→＋λ1＋λAB→＝λ1＋λAB→－AC→＝λ1＋λa－b.∵CF→∥CE→，∴λ1＋λ112＝11112.∴λ＝110.9．如图，已知△ABC中，AD→＝2DB→，BE→＝2EC→，若F为DE的中点，AF→＝λAB→＋μAC→，则λ＝________，μ＝________.答案1213解析AF→＝AD→＋DF→＝23AB→＋12DE→＝23AB→＋12(DB→＋BE→)＝23AB→＋12(13AB→＋23BC→)＝23AB→＋16AB→＋13 (AC→－AB→)＝12AB→＋13AC→，∴λ＝12，μ＝13.10．如图，△ABC中，CDDA＝AEEB＝12，若BC→＝a，CA→＝b，DE→＝λa＋μb，则λ＋μ＝________.答案0解析∵DE→＝AE→－AD→＝13AB→－23AC→＝13(AC→＋CB→)＋23CA→＝－13b－13a＋23b＝13b－13a，∴λ＋μ＝－13＋13＝0.11．在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示BF→，DE→.(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示AG→.解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点，∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .12.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN →与CM →相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足 AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b .∴⎩⎨⎧1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎨⎧λ＝35，μ＝45.∴AE →＝25a ＋15b .三、探究与创新13．如图，在△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AGGD 及BGGE的值．解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →. 又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →. 又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →. ∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4，μ＝32. ∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
高一数学苏教版2019必修第二册同步课件931+平面向量基本定理
4
量的运算法则，我们很容易作出平面内一个新的向量 + 。
a
探究新知
如图，在平面内任取一点O，作 = 1 ， = 2 ， = 。过点C
作平行于OB的直线，交直线OA于点M；过点C作平行于OA的直线，
交直线OB于点N，则有且只有一对实数1 ，2 使得 = 1 1 ，
中点，所以 = = − ，
因为点E是BD的中点，
所以 =
+ =
+
=
−
+
− =
−
.
重点探究
例2：如图，∆中，点D是AC的中点，点E是BD的中点
，设 = ， = ；
（2）若点F在AC上，且 =
+ ，求AF:CF
【解析】（2）设 = ，
所以 = + = + = + − = − + .
又 = + ，所以 = ，
所以 = ，
所以AF:CF=4:1.
重点探究
例3：已知 与 不共线， = + ， = +
4．在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是 CD 和 BC 边上的动点，连接 EF ，交 AC 于点 G ，若 AC AE AF ，其中， , R
9.1向量概念高一数学(苏教版必修第二册)课件
（2）存在， AF 是 OB 的相反向量
课堂小结
1.向量的概念：
向量的概念，向量的模，零向量，单位向量。
2.向量间的关系：
（1）平行向量（共线向量）；
（2）相反向量；
（3）向量间的夹角。
谢谢~
物理学中的，力、速度、加速度以及位移既有大小又有方
向，它们是向量。
在生活中的距离、身高、体重等一些量只有大小没有方向，
它们是数量而不是向量。
探究新知
核心知识点一： 向量的表示
向量常用一条有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小；箭头所指的方向表示向
量的方向。
如下图，以A为起点，B为终点的向量，可以表示为：。
故 a b 未必成立，所以 A 错误；
B：根据零向量的定义可判断 B 正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故 C 错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故 D 错误.
故选：B.
随堂练习
3．给出下列四个命题：①若 | a || b | ，则 a b ；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ AB DC ”是“四边
形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若 a b , b c ，则 a c ；④ a b 的充要条件是| a || b | 且 a / /b .其中正
确命题的序号是（
A．②③
A）
B．①②
C．③④
D．②④
【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
向量也可以用小写
字母a、b、c来表示。
探究新知
核心知识点二： 向量的有关概念
向量 AB 的大小称为向量的长度，（或称为模），记为：AB
苏教版数学高一必修4素材 2.2平面向量的线性运算考点解析
2.2 平面向量的线性运算考点解析向量的线性运算是向量的基础部分，考查主要在选择题、填空题形式出现，侧重于对向量的基本概念、向量运算的关系的考查；在解答题中侧重于向量与其他章节的综合考查，预计高考中向量的内容所占的比重还会较大.下面对平面向量的线性运算的考点作简单的探究：考点一、平面向量基本概念的考查：例1、给出下列命题：⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； ⑵若=，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四各顶点； ⑶若,a b b c ==，则a c =； ⑷若//,//a b b c ，则//a c其中所有正确命题的序号为 .解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点与终点的位置无关，故⑴不正确；当DC AB =时，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故⑵不正确；由b a =，则a b =，且与的方向相同；由b c =，则b c =，且与的方向相同，则与的长度相等且方向相同，故=，⑶是正确的；对于⑷，当=时，与不一定平行，故⑷是不正确的. 所以正确命题的序号为⑶.考点二、向量加法、加法的考查：例2、下列命题：①如果非零向量与的方向相同或相反，那么+的方向必与,之一方向相同； ②在ABC ∆中，必有=++；③若0AB BC CA ++=，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若b a ,均为非零向量，则a b +与a b +一定相等. 其中真命题的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3解析：①假命题，当0a b +=时，命题不成立.②真命题. ③假命题，当A 、B 、C 三点共线时，也可以有0AB BC CA ++=. ④假命题，只有当a 与b 同向时相等，其他情况均为a b a b +>+.点评：对于①②③，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于④，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.例3、已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为,,a b c ，则向量等于（ ）A 、a b c ++B 、a b c -+C 、a b c +-D 、a b c -- 解析：如图所示，点O 到平行四边形的三个 顶点A 、B 、C 的向量分别为c b a ,,， 结合图形有：OD OA AD OA BC OA OC OB a c b=+=+=+-=+- 故答案：B点评：掌握向量加法、减法的三角形法则的灵活应用，相等向量是指长度相等方向相同的向量，与它的位置没有关系.考点三、平面向量的共线定理的考查：例4、如图所示，在OAB ∆的边OB OA ,上分别有一点M 、N ，已知2:1:=MA OM2:3:=NB ON ，连结AN ，在AN 上取一点R ，满足1:5:=RN AR .⑴用向量,表示向量； ⑵证明：R 在线段BM上. 解析：⑴∵2:1:=MA OM ， ∴13OM OA =∵2:3:=NB ON ， ∴35ON OB =∵1:5:=RN AR ， ∴56AR AN =DN MO BAR又35AN ON OA OB OA =-=- ∴1526AR OB OA =-， ∴()151266BR AR AB OB OA OB OA OA OB ⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭. ⑵证明：∵1162BR OA OB =- ∴2=， ∴R 在线段BM 上.点评：利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，但是向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合情况.。
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件2.3.2 平面向量的坐标运算
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(1)在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量������������=a,点 A 的位置被 向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与向量 a 的坐标统一为(x,y). (2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关,而与它们的具体 位置无关. (3)将平面图形放置在直角坐标系中,必须说明“以点×为坐标原点, 以××所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系”,当坐标系建立的方法不同时, 各点坐标也有所不同,但不影响最终结论的成立.
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2.已知向量 a 与 x 轴的正方向成 60° 角,且|a|=2,求 a 的坐标. 解:设������������=a,坐标为(x,y). 如图,若 a 在第一象限, 则∠POP'=60° ,|������������|=2, 则 x=|������������|cos 60° =2× =1,y=|������������|sin 60° =2×
,c=(2 3,-2).
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迁移与应用 1.点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3)(即点 P 的运动 方向与 v 相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点 P 的坐标为 (-10,10),则 5 秒后点 P 的坐标为 答案:(10,-5) .
解析:由速度向量 v=(4,-3)可知点 P 的运动方向,每秒移动的距离为 42 + (-3)2 =5 个单位,如图所示,结合图象易知 P(10,-5).
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二、平面向量的坐标运算
活动与探究 (1)设向量 a,b 的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求 a+b,a-b,3a,2a+3b 的坐 标; (2)已知三点 A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),试求向量 3������������ + ������������; ������������ -2������������ . 思路分析:题目(1)中分别给出了两向量的坐标,欲求 a,b 的和,差或 数乘向量的坐标,可根据向量的直角坐标运算法则进行.题目(2)中给出 了点的坐标,可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标 ,然后 再进行运算.
苏教版数学高一-必修4课件 第二章 平面向量
2.向量的线性运算 主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广 到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向 量运算的性质和法则及运算律.同时要灵活运用这些知识解决三点 共线、两线段相等及两直线平行等问题. 3.向量的坐标运算 主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运 算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线； 能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量.
第二章——
章末复习提升
1 知识网络 2 要点归纳 3 题型研修
系统盘点，提炼主干 整合要点，诠释疑点 突破重点，提升能力
1.平面向量的基本概念 主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一 般都是以填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与 垂直的坐标形式结合考查.
例2 已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4). (1)求证：AB⊥AD； 证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， ∴A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3). ∵A→B·A→D＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴A→B⊥A→D，即 AB⊥AD.
(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两
λ＝1， 即
∴m＝－2，
λm＝－2，∴当m＝－2时，A、B NhomakorabeaC三点共线.
方法二 假设满足条件的m存在，根据题意可知
i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴A→B＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，B→C＝(1,0)
＋m(0,1)＝(1，m)，
由 A、B、C 三点共线，即A→B∥B→C，
故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2， ∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.
高一数学 专题1.2 平面向量(苏教版)(原卷版+解析版)
高一数学2019-2020年度第一学期期末考试总动员（苏教版）第一篇回顾基础篇专题1.2平面向量（苏教版）必考题型一平面向量的概念及线性运算【基础知识】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘实数λ与向量a的积是一个向量记作λa(1)模：|λa|＝|λ||a| ；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；设λ，μ是实数．(1)λ(μa)＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.当λ＝0时，λa ＝03．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【重要结论】1．零向量与任何向量共线．2．与向量a (a ≠0)共线的单位向量±a|a |.3．若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线． 4．首尾相连的一组向量的和为0.5．若P 为AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．6．若a 、b 不共线，且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0. 【典型命题】例1 (1)给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②单位向量都相等；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是 .(2)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ＝－b[引申]若本例(1)⑤中的实数λ，μ满足λ2＋μ2≠0，该结论是否正确？【方法与技巧】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(4)非零向量a 与a |a|的关系是：a|a|是a 方向上的单位向量．例2 (1)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →(2)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →【方法与技巧】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义．(2)求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．(3)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数． (4)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[引申]本例(2)中，若k a ＋b 与a ＋k b 反向，则k ＝－1；若k a ＋b 与a ＋k b 同向，则k ＝ .【方法与技巧】平面向量共线的判定方法(1)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．例4 下列命题正确的是⑤.(填序号)①向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λa ； ②在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0；③不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立； ④只有方向相同或相反的向量是平行向量；⑤若向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线．【方法与技巧】在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．必考题型二 平面向量的基本定理及坐标表示【基础知识】1．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得：a ＝x i ＋y j ，(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a ＝(x ，y )，显然i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0).3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．向量共线的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【重要结论】两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的．平面向量的基底可以有无穷多组．【典型例题】例1 (1)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)(2)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与CO →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为 ..[引申]若将本例(2)中“OC →＝λOA →＋μOB →”改为“OB →＝λOA →＋μOC →”则λ＋μ＝ .【重要结论】应用平面向量基本定理的关键 (1)基底必须是两个不共线的向量．(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．例2 (1)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b . ①求3a ＋b －3c .②求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n . ③求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．(2)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为(－4，－2).【方法与技巧】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．例3 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ .例4 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(－sin θ，0)，c ＝(cos θ，－1)，且(2a －b )∥c ，则sin2θ等于 .【方法与技巧】利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求一个与已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其它条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两个向量共线，求某些参数的值，那么利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是：x 1y 2－x 2y 1＝0”比较简捷．例5 （1）在△ABC 中，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A ．－13B ．－23C ．13D ．23(2)如图△ABC 中，AE →＝EB →，CF →＝2F A →，BF 交CE 于G ，AG →＝xAE →＋yAF →，是x ＋y ＝( )A ．25B ．35C ．45D ．75[引申]本例中若AG →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝ .例6 点O 是△ABC 内部一点，且满足2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△AOB ，△BOC ，△COA 面积的比为( )A ．4︰2︰3B ．2︰3︰4C ．4︰3︰2D ．3︰4︰5【方法与技巧】设OA →、OB →不共线，且OP →＝λOA →＋μOB →，则P 、A 、B 共线的充要条件是λ＋μ＝1.证明：充分性：∵λ＋μ＝1，∴OP →＝λOA →＋μOB →＝(1－μ)OA →＋μOB →＝OA →＋μ(OB →－OA →)＝OA →＋μAB →.∴OP →－OA →＝μAB →.∴AP →＝μAB →，∴AP →，AB →共线．∵有公共点A ，∴A ，P ，B 三点共线．必要性：若P ，A ，B 三点共线，则AP →＝μAB →＝μ(OB →－OA →)．∴OP →－OA →＝μOB →－μOA →.∴OP →＝(1－μ)OA →＋μOB →.令λ＝1－μ，则OP →＝λOA →＋μOB →，其中μ＋λ＝1.必考题型三 平面向量的数量积【基础知识】 1．向量的夹角两个非零向量a 与b ，过O 点作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角；范围是[0，π]. a 与b 的夹角为π2时，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． ①数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.②模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. ④夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. ⑤已知两非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；a ∥b ⇔a ·b ＝±|a ||b |.(或|a·b |＝|a |·|b |)．⑥|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22.(2)平面向量数量积的运算律 ①a ·b ＝b ·a (交换律)．②λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．【重要结论】1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a ＝0而0·a ＝0.2．数量积不满足结合律(a·b )·c ≠a ·(b·c )． 3．a·b 中的“·”不能省略．a ·a ＝a 2＝|a |2.4．两向量a 与b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a 与b 不共线；两向量a 与b 的夹角为钝角⇔a·b <0，且a 与b 不共线．当a 、b 为非零向量时a 、b 同向⇔a·b ＝|a||b|；a 、b 反向⇔a·b ＝－|a||b|.5．a 在b 方向上的投影＝|a |·cos θ＝a·b|b |. 【典型例题】例1 (1)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a·b ＝ .(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2(3)已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是 .【方法与技巧】向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos θ.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解． (4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例(3))． 例2 (1)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(x,1)，若a ∥b ，则|a ＋b |＝( ) A ．2 B ．2 C ．22D ．3 2(2)若平面向量a 、b 的夹角为60°，且a ＝(1，－3)，|b |＝3，则|2a －b |的值为( ) A ．13 B ．37 C ．13D ．1(3)已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝ .【方法与技巧】平面向量的模的解题方法(1)若向量a 是以坐标(x ，y )形式出现的，求向量a 的模可直接利用|a |＝x 2＋y 2.(2)若向量a ，b 是非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a·a ，或|a±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．”例3 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,3)，则向量2a －b 与a 的夹角为( ) A ．135° B ．60° C ．45°D ．30°(2)设平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －2b |＝15.则向量a ，b 的夹角的余弦值为( ) A ．13B ．14C ．－13D ．－14[引申]本例(2)中a 在a ＋b 方向上的投影为64.【方法与技巧】求两向量夹角的方法及注意事项 (1)一般是利用夹角公式：cos θ＝a·b|a|·|b|.(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．(3)a 在b 方向上的投影＝|a |cos θ＝a·b |b|；b 在a 方向上的投影＝|b |cos θ＝a·b |a|. 例4 (1)已知向量a ＝(6，－2)，b ＝(1，m )，且a ⊥b ，则|a －2b |＝ . (2)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6(3)向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【方法与技巧】平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a·b ＝0求解．例5 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于 .例6 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 .【方法与技巧】求向量的夹角与模的范围问题经常应用函数思想与数形结合思想．模的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数，利用求函数值域的方法确定最值，体现了函数思想的运算，又多与二次函数、均值不等式相联系；求向量夹角的范围问题，根据条件，利用向量的线性运算的几何意义，依据图形通过数形结合确定夹角的范围．必考题型四 向量在平面几何中的应用【基础知识】用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0 垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题 数量积的定义cos θ＝a ·b |a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )，a为非零向量用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 【重要结论】若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0. 【典型例题】例1 在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(2)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3【方法与技巧】 平面几何问题的向量解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．例2 (1)点P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点P 是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心(2)O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心(3)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心【方法与技巧】三角形各心的概念介绍(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0； (2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →； (3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA 2→＝OB 2→＝OC 2→)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是△ABC 的内心⇔OA →·(AB →|AB →|－AC→|AC →|)＝OB →·(BA →|BA →|－BC →|BC →|)＝OC →·(CA →|CA →|－CB →|CB →|)＝0.注意：向量λ((AB →|AB →|＋AC→|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．例3 33)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[引申](1)若条件改为“|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|”结果如何？ (2)若条件改为“AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →”结果如何？【方法与技巧】三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB →|＝|AC →|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB →·AC →＝0，则△ABC 为直角三角形；③若AB →·AC →<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB →·AC →>0，BA →·BC →>0，且CA →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形．高一数学2019-2020年度第一学期期末考试总动员（苏教版）第一篇回顾基础篇专题1.2平面向量（苏教版）必考题型一平面向量的概念及线性运算【基础知识】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘实数λ与向量a的积是一个向量记作λa(1)模：|λa|＝|λ||a| ；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a设λ，μ是实数．(1)λ(μa)＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝03．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【重要结论】1．零向量与任何向量共线．2．与向量a (a ≠0)共线的单位向量±a|a |.3．若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线． 4．首尾相连的一组向量的和为0.5．若P 为AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．6．若a 、b 不共线，且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0. 【典型命题】例1 (1)给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②单位向量都相等；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是 .(2)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ＝－b解 (1)①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②不正确，单位向量模都相等，但方向不一定相同．③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是充要条件，而是必要不充分条件．⑤是错误的；当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．(2)由a |a |＋b |b |＝0，即a |a |＝－b|b |，从选项入手只有a ＝－b 具有这样的结论，故选D ．[引申]若本例(1)⑤中的实数λ，μ满足λ2＋μ2≠0，该结论是否正确？ 解 由λ2＋μ2≠0知实数λ，μ中至少有一个不为0.①若λ、μ中有一个为0，不妨设λ≠0，μ＝0，则λa ＝0·b ＝0. 因为λ≠0，所以a ＝0，又0与任何向量共线，所以结论正确．②若λ、μ都不为0由λa ＝μb 得a ＝μλb ，由共线向量定理知结论正确．综上所述，该结论正确． 【方法与技巧】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(4)非零向量a 与a |a|的关系是：a|a|是a 方向上的单位向量．例2 (1)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →(2)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →解 (1)如图，在△OAC 中，M 为AC 中点，所以OA →＋OC →＝2OM →，在△OBD 中，OB →＋OD →＝2OM →，故选D ．(2)本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义．∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∵EB →＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →，又∴D 为BC 的中点，∴AD →＝12(AB→＋AC →)，因此EB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →.故选A ．【方法与技巧】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义．(2)求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．(3)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数． (4)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解 (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1. [引申]本例(2)中，若k a ＋b 与a ＋k b 反向，则k ＝－1；若k a ＋b 与a ＋k b 同向，则k ＝ . 解 由本例可知k a ＋b 与a ＋k b 反向时λ<0，从而k ＝－1；k a ＋b 与a ＋k b 同向时λ>0，从而k ＝1.【方法与技巧】平面向量共线的判定方法(1)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．例4 下列命题正确的是⑤.(填序号)①向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λa ； ②在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0；③不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立； ④只有方向相同或相反的向量是平行向量；⑤若向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线． 解 易知①②③④错误． ∵向量a 与b 不共线，∴向量a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 共线，则存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，1＋λ＝0，此时λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不共线．【方法与技巧】在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．必考题型二 平面向量的基本定理及坐标表示【基础知识】1．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得：a ＝x i ＋y j ，(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a ＝(x ，y )，显然i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0).3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．向量共线的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【重要结论】两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的．平面向量的基底可以有无穷多组．【典型例题】例1 (1)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)(2)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与CO →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为 .解 (1)若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a ＝(3,2)表示出来，故选B ．(2)解法一：以λOA →和μOB →为邻边作平行四边形OB 1CA 1，如图，则OC →＝OB 1→＋OA 1→.因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°，在Rt △OB 1C 中，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＋μ＝6.解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，C (23cos30°，23sin30°)，B (cos120°，sin120°)． 即A (1,0)，C (3，3)，B (－12，32)．由OC →＝λOA →＋μOB →＝λ(1,0)＋μ(－12，32)，即(λ－12μ，32μ)＝(3，3)，得⎩⎨⎧λ－12μ＝3，32μ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝2，λ＝4，所以λ＋μ＝6.[引申]若将本例(2)中“OC →＝λOA →＋μOB →”改为“OB →＝λOA →＋μOC →”则λ＋μ＝ .解过点B 作BH ∥OA 交OC 于H ，由例(2)知在Rt △OBH 中，|BH |＝2，|OH |＝3，∴OB →＝OH →＋HB →＝12OC→－2OA →，∴λ＝－2，μ＝12，故λ＋μ＝－32.【重要结论】应用平面向量基本定理的关键 (1)基底必须是两个不共线的向量．(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．例2 (1)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b . ①求3a ＋b －3c .②求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n . ③求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．(2)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为(－4，－2). 解 (1)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． ②因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1..③设O 为坐标原点， 因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， 所以M (0,20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)． 所以N (9,2)．所以MN →＝(9，－18)．(2)设a ＝(x ，y )，x <0，y <0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)， 或者x ＝－4，y ＝－2， 即a ＝(－4，－2)．【方法与技巧】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．例3 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ . 解 由已知得2a ＋b ＝(4,2)．又c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.例4 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(－sin θ，0)，c ＝(cos θ，－1)，且(2a －b )∥c ，则sin2θ等于 . 解 由题意知2a －b ＝(3sin θ，2)，又(2a －b )∥c ，∴－3sin θ＝2cos θ，即tan θ＝－23，∴sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝－1213. 【方法与技巧】利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求一个与已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其它条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两个向量共线，求某些参数的值，那么利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是：x 1y 2－x 2y 1＝0”比较简捷．例5 （1）在△ABC 中，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A ．－13B ．－23C ．13D ．23(2)如图△ABC 中，AE →＝EB →，CF →＝2F A →，BF 交CE 于G ，AG →＝xAE →＋yAF →，是x ＋y ＝( )A ．25B ．35C ．45D ．75解 (1)解法一：由AD →＝2DB →，知A ，B ，D 三点共线． ∴13＋λ＝1，从而λ＝23.故选D ． 解法二：由图知CD →＝CA →＋AD →，①CD →＝CB →＋BD →，且AD →＋2BD →＝0.② ①＋②×2，得3CD →＝CA →＋2CB →. ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.故选D ．(2)∵B 、G 、F 三点共线，AG →＝xAE →＋yAF →＝x 2AB →＋yAF →∴x2＋y ＝1，① 又E 、G 、C 三点共线， ∴AG →＝xAE →＋yAF →＝xAE →＋y 3AC →∴x ＋y3＝1，②由①、②可得x ＝45，y ＝35∴x ＋y ＝75，故选D ．[引申]本例中若AG →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝ . 解 AG →＝45AE →＋35AF →＝25AB →＋15AC →∴x ＋y ＝35.例6 点O 是△ABC 内部一点，且满足2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△AOB ，△BOC ，△COA 面积的比为( )A ．4︰2︰3B ．2︰3︰4C ．4︰3︰2D ．3︰4︰5解 延长CO 交AB 于D ．∵2OA →＋3OB →＋4OC →＝0∴2(CA →－CO →)＋3(CB →－CO →)＋4OC →＝0， ∴CO →＝19(2CA →＋3CB →)＝59(25CA →＋35CB →)＝59CD →， (提示∵25＋35＝1，且D 与A 、B 共线)∴OD →＝49CD →∴S △AOB ＝49S △ABC ，同理S △COA ＝39S △ABC∴S △AOB ︰S △BOC ︰S △COA ＝4︰2︰3，故选A ． 另解：(巧妙构图，秒杀面积问题)▱OMQN 中OM →＝2OA →，ON →＝3OB →OC →＝－14OQ →＝14OP →显然2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，且0为△PMN 的重心． 记S △PON ＝S △POM ＝S △MON ＝S .∴S △AOB ︰S △BOC ︰S △COA ＝S 6︰S 12︰S8＝4︰2︰3，故选A ．【方法与技巧】设OA →、OB →不共线，且OP →＝λOA →＋μOB →，则P 、A 、B 共线的充要条件是λ＋μ＝1.证明：充分性：∵λ＋μ＝1，∴OP →＝λOA →＋μOB →＝(1－μ)OA →＋μOB →＝OA →＋μ(OB →－OA →)＝OA →＋μAB →.∴OP →－OA →＝μAB →.∴AP →＝μAB →，∴AP →，AB →共线．∵有公共点A ，∴A ，P ，B 三点共线．必要性：若P ，A ，B 三点共线，则AP →＝μAB →＝μ(OB →－OA →)．∴OP →－OA →＝μOB →－μOA →.∴OP →＝(1－μ)OA →＋μOB →.令λ＝1－μ，则OP →＝λOA →＋μOB →，其中μ＋λ＝1.必考题型三 平面向量的数量积【基础知识】 1．向量的夹角两个非零向量a 与b ，过O 点作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角；范围是[0，π]. a 与b 的夹角为π2时，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． ①数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.②模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. ④夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. ⑤已知两非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；a ∥b ⇔a ·b ＝±|a ||b |.(或|a·b |＝|a |·|b |)．⑥|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22.(2)平面向量数量积的运算律 ①a ·b ＝b ·a (交换律)．②λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．【重要结论】1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a ＝0而0·a ＝0.。
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第二章平面向量本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、ABCD有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：A(起点)B（终点）a①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与．有．向线段的起点无关．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1 书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂD.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE DO CB ,,） 课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D②④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同. 2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题（吴春霞）第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，OAab移到任何位置 2、 情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||； （3）当与同向时，则+、、同向，A B CA BCA BCABCa +ba +baa b b aｂｂ ａa且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量、，求作向量+作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：+=+ ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) ==+ ∴(+) +=+ (+)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例：例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；３、注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：P103第２、３题 六、板书设计（略） 七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60︒，|F|=10N 求F 1和F 2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形（吴春霞）第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 解：=++=++ 二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作= a ， = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.B’A BD CO abBaba -b4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？ 三、 例题：例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d . 解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作， ， 则= a -b ， = c -d例二、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ， 用a 、b 表示向量、. 解：由平行四边形法则得：A BD CABCbad cDOa -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-bAC = a + b ， = - = a -b变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98四、 小结：向量减法的定义、作图法| 五、 作业：P103第4、５题 六、 板书设计（略） 七、 备用习题：1.在△ABC 中， =a ， =b ，则等于( ) A.a +bB.-a +(-b )C.a -bD.b -a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则 A.a +b +c +d =0 B.a -b +c -d =0 C.a +b -c -d =0 D.a -b -c +d =0３.如图，在四边形ABCDa +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出b -c 和a +d .（吴春霞）第３题2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa= 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲解新课：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .例 2 如图ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a，AD =b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD例3已知ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：OA +OB +OC +OD =4OE例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示.（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线. 四、课堂练习：1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.24.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线). 五、小结（略） 六、课后作业（略）： 七、板书设计（略） 八、课后记：第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算 （1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由=得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0) 例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.解：由题设1F +2F +3F =0 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1)四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：（王海）第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：a ∥b (b≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a=(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a=λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b≠ ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y =∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b≠)01221=-=⇔y x y x λ三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b，求y.例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a=(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD 吗？解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×6 0 ∴与不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD 四、课堂练习：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量).AB 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 五、小结 （略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：（王海）§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程： 一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b ≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图C定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b .例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：上述8个命题中只有③⑧正确；。