数值计算方法马东升等第版习题解答
数值计算方法马东升等第 版习题解答
第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。
1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。
这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。
例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。
例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。
二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。
令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。
2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。
在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。
令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。
3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。
设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。
数值分析习题解答
解：(1) 由Lagrange 插值公式00112233()()()()()L x f l x f l x f l x f l x =⋅+⋅+⋅+⋅其中()()()()()()()()()()123001020311112233122x x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭===----⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭()()()()()()()()()()()()02311012131111221112112x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x ⎛⎫+-- ⎪---⎛⎫⎝⎭===+-- ⎪---⎛⎫⎝⎭⋅-⋅- ⎪⎝⎭()()()()()()()()()()()0132202123118113113222x x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ---+-+-===----⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭可得()231()12L x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)同理，利用Lagrange 插值公式可得231()2L x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方法二：由于题设有4 个条件（4个点），故只能确定一个至多3次的多项式，所以不妨设()()312L x x x Ax B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （又120f f ==⇒1x 和2x 为()3L x 的根）又由()()33312112L L ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ⇒()()()3312211122A B A B ⎧⎛⎫---+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒10A B =⎧⎨=⎩ 所以()231122L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明：(1)由于(),i jij l xδ=，故()()0nkn ii i L x x l x ==∑，当j x x =时，有(),0,1,,kn j j L x x j n ==，()n L x 即为kx 的插值多项式.由唯一性，可得()0nk ki i i x l x x ==∑，0,1,,k n =.(2)利用Newton 插值多项式()()[]()[]()()0010001,,,n n n N x f x f x x x x f x x x x x x -=+-++--，()*()()()()()()10010n n x x x x f x l x x x x x --==--差商表()f x一阶 二阶N 阶0x11x011x x-2x()()01011x x x x --n x0 0 0()()()010101n x x x x x x ---代入()*，有()()()()()()()01001010101n n n x x x x x x x x N x x x x x x x x x ----=+++---- ()0l x 为n 次代数多项式，由插值多项式的唯一性，得()()0n l x N x =解：作()f x 以,,a a b ε+为节点的Lagrange 插值多项式，有()()22()f x L x R x =+其中：()()()()()()()()()()()()()()()()()()2x a x b x a x a x a x b L x fa f a fb a b a b b a b a εεεεεεε-+---+--=+++--+---+()()()()()()23!f R x x a x a x b ξε'''=--+- a b ξ<<令0ξ→()()()()()226f R x R x x a x b ξ'''→=--又()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()22222x a x a x a x a L x b x f a f a f a f a b a b a b a b a x a x a f b b a b a b x x b a b x x a x a f a f a f b P x b a b a b a εεεεεεεεεεε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦-+---=-+-+-+--+-+-+--++--+-+----'→++=---故当0→ε时，公式()()()x R x P x f +=成立. 2.4解：设()f x 的插值多项式为： ()00n n p x a a x a x =+++则20010200210112212012n n n n nnn n n f a a x a x a x f a a x a x a x f a a x a x ax ⎧=++++⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩ 添加一个方程后，得：00001001011101()n n n n nn nn n n p x a a x a x f a a x a x f a a x a x f a a x ax ⎧=+++⎪=+++⎪⎪=+++⎨⎪⎪⎪=+++⎩线性方程组有非零解()01,,,Tn a a - ，因而行列式000()1101nn n nnnp x xx f x x f x x =或者001100010111()011n nnn n n nnn nnx x xx x x f x x p x x x f x x ⋅+=记01()j i i j nC x x ≤<≤-=-∏ ，得0011()1nn n nx f x p x Cfx = .2.5略 2.6解：73()1f x x x =++ ，有(7)()17!f ξ= ， (8)017017()[3,3,,3][2,2,,2]08!f f f η===2.7证明：1.1()f x a x=- .利用数学归纳法证明： （1） 当1n = 时，有001[]f x a x =-显然成立； （2） 假设n k = 时，有01011[,,,]()()()k k f x x x a x a x a x =--- 成立，则当1n k =+ 时，有：11010111011011001011101001110[,,,][,,,][,,,,]11()()()()()()()()()()()()()()()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k f x x x f x x x f x x x x x x a x a x a x a x a x a x x x a x a x a x a x a x a x x x x x a x a x a x a x x x +++++++++++-=--------=--------=------=-0111()()()()k k a x a x a x a x +=----也成立 综上（1）（2），故原等式成立 所以01011[,,,]()()()n n f x x x a x a x a x =---2.由01011[,,,]()()()n n f x x x a x a x a x =---可得：01011[,,,,]()()()()n n f x x x x a x a x a x a x =----因为()()[]()[]()()()()001000100,,,[,,,]n n n n f x f x f x x x x f x x xx x x f x x x x x x x -=+-++--+--故有0000101()()11()()()()()n x x x x x x a x a x a x a x a x a x a x ---=+++-------2.8 2.9 证明：（1）0n = 时，结论显然成立. 假设结论对0n ≥ 成立，即0(1)nnk ki n n i k k f C f +-=∆=-∑ 下面考虑 1n i f +∆()111001111101111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()n n n n i i i innkkk knn i k n n i kk k nn kkk k nn i k n n i kk k n n kk k k n i nn i k n n i k k k k k k n i n n n i f f f f C f C f C f C f f C f C f f C C f ++++-+-==+--++-++-==+-++++-++-==-++++∆=∆∆=∆-∆=---=---=+-+-=+-+∑∑∑∑∑∑111111111110(1)(1)(1)(1)nn nk n ik nk k n n i n n i k i k n k k n n i k k C f f C f f C f +-=++++++-=++++-=+-=+-+-=-∑∑∑即结论对也成立.由数学归纳法可得原等式成立. （2）。
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
《数值计算方法》试题集和答案解析
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题和答案解析(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x x k k n k k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
《数值计算方法》试题集及答案(1-6)-2..
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
数值计算方法答案
1数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，92习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？3解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
《数值计算方法》试题集及标准答案（-）-
《数值计算⽅法》试题集及标准答案（-）-《数值计算⽅法》试题集及答案(-)-————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：《计算⽅法》期中复习试题⼀、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则⽤⾟普⽣（⾟⼘⽣）公式计算求得≈31_________)(dx x f ,⽤三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的⼆次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗⽇插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算⽅法主要研究( 截断 )误差和( 舍⼊ )误差；7、⽤⼆分法求⾮线性⽅程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，⼆分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则⼆次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式⾼斯型求积公式?1d )(xx f ≈(++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍⼊误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
数值计算课后习题答案
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x-==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10)22 3.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生(辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ，用三点式求得≈')1(f 。
答案:2。
367,0。
252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微，求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f ( 1 ）,=]4,3,2,1,0[f （ 0 ）；6、计算方法主要研究（ 截断 ）误差和（ 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程f (x ）=0在区间（a ,b ）内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n ab ）；8、已知f (1)＝2，f （2）＝3,f （4）＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ）； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f ），代数精度为( 5 ）；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ,为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为 199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间［0,1]内的根，进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5,0.75 。
《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2..
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
《数值计算方法》试题集及答案(1-6)-2..
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
数值计算方法答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时 444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈=== 2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5 3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯ （2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯=0.3456210⨯ 易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =；（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法答案
n i =1
f
( x1 ,
xi x2 ,⋯ ,
xn
)
∂f
( x1 ,
x2 ,⋯ , ∂xi
xn
)
δ
(
xi
)
。
得
a ∂S(a, b, C)
b ∂S(a, b, C)
C ∂S(a,b,C)
δ (S(a, b, C)) =
δ (a) +
δ (b) +
δ (C)
S(a,b,C) ∂a
S(a,b,C) ∂b
S(a,b,C) ∂C
内， f (x) =0 有根。
同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为
[0,1]
；
⎡⎢⎣0,
π 2
⎤ ⎥⎦
；
[
0,1]
6
2．用二分法求方程 x sin x −1 = 0 在[0, 2] 内的根的近似值并分析误差。
解 ： 令 f (x) = x sin x −1 ， 则 有 f (0) = −1 < 0 ， f (2) = 0.8186 > 0 ，
= 0.123 ×101 × 0.219 ×101 − 1= 0.169 ×101 即 f (x) = 0.167 ×101 ， g(x) = 0.169 ×101 而当 x = 2.19 时 x3 − 3x2 + 3x −1的精确值为 1.6852，故 g(x) 的算法较正确。
8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：
x
Байду номын сангаас
x
（4）（A） y = 9 − 80 ，（B） y = 1 9 + 80
解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两
数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
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第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。
1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。
这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。
例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。
例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。
二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。
令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。
2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。
在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。
令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。
3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。
设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。
有效数字位数越多，绝对误差越小。
4． 有效数字和相对误差若近似值m n x x x x 10.021*⨯±= 具有n 位有效数字，则其相对误差)1(1*1021||--⨯≤n r x e有效数字位数越多，相对误差越小。
若近似值m n x x x x 10.021*⨯±= 的相对误差)1(1*10)1(21||--⨯+≤n r x e则该近似数*x 至少有n 位有效数字。
三．数值计算误差分析1． 函数运算误差设一元函数)(x f ，自变量x 的近似值为*x ，函数)(x f 的近似值为)(*x f ，则函数)(x f 的绝对误差限)(|)(|)]([***x x f x f εε'≈相对误差限)(|)()(|)]([****x x f x f x f r εε'≈设多元函数),,,(21n x x x f y =，自变量n x x x ,,,21 的近似值为**2*1,,,n x x x ，函数y 的近似值为),,,(**2*1*n x x x f y =，则函数y 的绝对误差限)(|)(|)(*1**x x f y ni iεε∑=∂∂=相对误差限**1**)(|)(|)(yx xfy ni iεε∑=∂∂=上二式中in ix x x x f x f ∂∂=∂∂),,,()(**2*1*2． 算术运算误差以21,x x 两数为例，设*2*1,x x 分别为准确值21,x x 的近似值，其误差限分别为)(),(*2*1x x εε，则)()(),(*2*1*2*1x x x x εεε+≈±)(||)(||)(*1*2*2*1*2*1x x x x x x εεε+≈0,)()(||)(||)(*22*2*1*2*2*1*2*1≠+≈x x x x x x x x εεε三．数值稳定性和减小运算误差1． 数值稳定性在数值计算过程中，舍入误差在一定条件下能得到控制，或者说是舍入误差的增长不影响产生可靠的结果，则该计算是数值稳定的，否则是数值不稳定。
在实际计算时，要选用数值稳定的方法，不稳定的数值方法不能使用。
2． 减小运算误差（1） 避免相近的数相减，防止有效数字位数损失。
（2） 防止大数“吃掉”小数，保护重要的物理参数。
（3） 绝对值小的数不宜做除数。
（4） 简化计算步骤，减少运算次数。
1．2 习题及解答1．已知π=3.141 592 654S ，问：（1）若其近似值取5位有效数字，则该近似值是多少？其误差限是多少？（2）若其近似值精确到小数点后面4位，则该近似值是什么？其误差限是什么？ （3）若其近似值的绝对误差限为5105.0-⨯, 则该近似值是什么？ 解 （1）近似值 *π= 3.141 6，误差限4*1021-⨯=ε。
（2）和（1）相同，*π= 3.141 6，4*1021-⨯=ε。
（3）*π= 3.141 59。
2．下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，求各数的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。
（1）3 580解 绝对误差限 5.010210*=⨯=ε。
相对误差限%014.0104.135805.0||4***=⨯===-x rεε。
经过四舍五入得到的近似值3 580，其各位都是有效数字，故有4位有效数字。
（2）0.047 6解 绝对误差限44*105.01021--⨯=⨯=ε。
相对误差限%11.000105.00476.0105.0||4***≈≈⨯==-x rεε。
经过四舍五入得到的近似值0.047 6，其各位都是有效数字，故有效数字的位数为3位。
（3）30.120解 绝对误差限0005.010213*=⨯=-ε相对误差限%0017.0120.300005.0||***≈==x rεε经过四舍五入得到的近似值30.120，其各位都是有效数字，故有效数字的位数为5位。
（4）5103012.0-⨯ 解 绝对误差限954*105.0101021---⨯=⨯⨯=ε相对误差限%017.0103012.0105.0||59***≈⨯⨯==--x rεε经过四舍五入得到的近似值5103012.0-⨯，其各位都是有效数字，故有效数字的位数为4位。
1． 确定圆周率π如下近似值的绝对误差限、相对误差限，并求其有效数字的位数。
（1） 722解 722 = 3.142 857…，π=3.141 592…。
|π-722| = | 3.141 592… - 3.142 857…| = 0.001 264…，取绝对误差*e =0.001 3，则相对误差%04138.00013.0||***===πx ee r或取绝对误差限2*1021005.0-⨯==ε。
因为m=1，m-n=-2，所以n=3，有3位有效数字。
此时相对误差限%159.0314.01021||2***=⨯==-x r εε。
又解，相对误差限%17.010321)13(*=⨯⨯=--r ε。
前者比后者更精确。
（2）71223解 71223=3.140 84…，π=3.141 59…。
|π-71223| = | 3.141 59… - 3.140 84…| = 0.000 75…，取绝对误差*e =0.000 76，则相对误差%02419.000076.0||***===πx ee r或取绝对误差限2*1021005.0-⨯==ε。
因为m=1，m-n=-2，所以n=3，有3位有效数字。
此时相对误差限%159.0314.01021||2***=⨯==-x r εε。
又解，相对误差限%17.010321)13(*=⨯⨯=--r ε。
前者比后者更精确。
（3）113355解 113355=3.141 592 92…，π=3.141 59…。
|π-113355| = | 3.141 592 654… - 3.141 592 920…| = 0.000 000 266…，取绝对误差*e =0.000 000 267，则相对误差%0000085.0000000267.0||***===πx ee r或取绝对误差限6*10210000005.0-⨯==ε。
因为m=1，m-n=-6，所以n=7，有7位有效数字。
此时相对误差限%0000159.0314.01021||6***=⨯==-x r εε。
又解，相对误差限%000017.010321)17(*=⨯⨯=--r ε。
前者比后者更精确。
设x =108.57t ln ，其近似值*x 的相对误差1.0)(*≤x e ，证明*t 的相对误差%1.0)(*<t e r 。
证 )(*x e =108.57（lnt - lnt *）= 108.57ln(*t t )≤0.10<*tt≤57.1081.0e%1.01021.911)(457.1081.0****<⨯≈-≤-=-=-ett tt t t e r 。
1． 要使6近似值的相对误差限小于0.1%，需取几位有效数字？解 方法1：因为6=2.449 4…，有1x =2，设近似值*x 有n 位有效数字，由定理)1(1*1021--⨯=n r x ε有%1.010221)1(<⨯⨯--n3)1{1011041---⨯<⨯n比较不等式141<，所以n-1=3，n=4，故取4位有效数字，*x =2.449。
方法2：根据相对误差限||***x rεε=，有||***x r εε=，所以*3310210005.00012247.0449.21021ε=⨯=<=⨯⨯--即m-n=-3，由于m=1，所以n=4，故取*x =2.449。
方法3：解法1和解法2的结果都是偏于保守的。
在解法1中，对定理所有具有n 位有效数字的近似值都正确，故对误差估计偏大；在解法2中，取绝对误差限确定有效数字n 位是偏大的。
对于本例题，根据上述的结论，试取3位有效数字2.45进行试算，其相对误差%1.0000208.045.2|45.26|<=-实际已满足要求。
1． 已知近似数*x 的相对误差限为0.3%，问*x 至少有几位有效数字？ 解 由*r ε=0.3%，根据定理，有0.3%=)1(110)1(21--⨯+n x1x 的取值范围是1~9，由于1x 未给出，取1x =1，n=2.92；取1x =9，n=2.22，按量不利的情况，*x 至少有2位有效数字。
2． 设x > 0，其近似数*x 的相对误差限对δ，求*ln x 的绝对误差和相对误差。
解 由函数运算的误差限***|)(|)]([εεx f x f '≈，并考虑到x>0，有δεεε=='≈*****)(ln ))(ln(xx x或解|ln||ln||ln ln |)(ln ******xxx x xx x x x +-==-=ε=δδ≈+=+-|)1ln(||1ln|**xx x由函数运算的相对误差限****|)()(|)]([εεx f x f x f r '≈，有|ln ||ln 1||ln )(ln |)(ln ********x xxxx x r δεεε=='≈8．计算球体积334r V π=时，为使V 的相对误差不超过0.3%，问半径r 的相对误差允许是多少？解 设r 的近似值为*r ，V 的近似值为*V解法1：根据定义 3*3*33*3*3*343434)(rr rrrr V e r -=-=πππ=2*2**2**rrrr rrr r ++-注意到2*r r ≈，有)(33)()(*2*2***r e rr r e V e r r r =≈令|%3.0|)(3||)(**≤≈r e V e r r ，可知半径r 允许的相对误差%1.0|)(*≤V e r 。