2018届苏教版推理与证明单元测试12

2017-2018学年度xx学校xx月考卷
一、选择题(共0小题,每小题5.0分,共0分)
二、填空题(共15小题,每小题5.0分,共75分)
1.用数学归纳法证明：2n＋1n2＋n＋2 (n∈N*)时，第一步应验证________________________．
2.设e1，e2是两个不共线向量，则向量e1＋λe2(λ∈R)与向量2e1－e2共线的充要条件是________．
3.用反证法证明结论“a，b，c至少有一个是正数”时，应假设．
4.证明命题“f(x)＝e x＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：
∵f(x)＝e x＋，∴f′(x)＝e x－.
∵x>0，∴e x>1,0<<1
∴e x－>0，即f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是
5.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：∈R，结论是：2＞0，那么这个演绎推理出错在
6.下列推理形式正确的有个
A．大前提：老虎是食肉者小前提：老李是食肉者结论：所以老李是老虎
B．大前提：凡对顶角都相等小前提：∠A=∠B 结论：∠A和∠B是对顶角
C．大前提：白马是马小前提：白马有四条腿结论：马有四条腿
D．大前提：所有演说家都是骗子小前提：所有说谎者都是演说家结论：所有说谎者都是骗子
7.已知a>0，且a≠1，P＝log a(a3＋1)，Q＝log a(a2＋1)，则P，Q的大小关系是_______．
8.已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的_________条件
9.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”时，第一步是：“假设．
10.已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是
11.用反证法证明命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则d、b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是
12.证明不等式<的最适合的方法是
13.设＝＋…＋(N*)，那么于
14.用反证法证明“若a，b，c＜3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为
15.观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__________________．
三、解答题(共5小题,每小题12.0分,共60分)
16.数列{n}满足Sn＝2n－n(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
17.若1、2∈R＋，则有不等式成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．
18.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>1 (n>1，n∈N*)．
19.正弦函数是奇函数，f（）=sin（2+1）是正弦函数，因此f（）=sin（2+1）是奇函数，以上推理是否正确，请说明原因。

20.设x，y为正实数，且x＋y＝1，求证：9.
答案解析
1.【答案】n＝1时，2212＋12＋2，即4＝4
【解析】
2.【答案】λ＝－
【解析】依题意得e1＋λe2＝k(2e1－e2)，
整理得(2k－1)e1＋(－λ－k)e2＝0.
由于e1与e2不共线，则必有2k－1＝0且－λ－k＝0，
解得k＝，λ＝－k＝－.
若λ＝－，则e1＋λe2＝e1－e2
＝(2e1－e2)
即e1＋λe2与2e1－e2共线，
故λ＝－为所求．
3.【答案】a，b，c都不是正数
【解析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“a，b，c都不是正数”．
4.【答案】综合法
【解析】该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．
5.【答案】大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的
【解析】∵任何实数的平方大于0，因为是实数，所以a2＞0，
其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，
6.【答案】1
【解析】因为大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对
象，对于A，B，C小前提不是大前提中的个别对象，故不符合演绎推理的形式，即A，B，C不正确；
对于D，满足大前提是一般原理（规律），小前提是个别对象，从而可的结论
7.【答案】P>Q.
【解析】当a>1时，a3＋1>a2＋1，所以P>Q；当0<a<1时，a3＋1<a2＋1，所以P>Q.
8.【答案】充要
【解析】由正弦定理＝，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.
9.【答案】三角形的内角中至少有两个钝角
【解析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，
而命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”的否定为：“三角形的内角中至少有两个钝角”
10.【答案】k－1＋k＋…＋2k－2
【解析】利用归纳推理可知，第项中第一个数为ak－1，且第项中有项，且次数连续，故第项为k－1＋k＋…＋2k－2，
11.【答案】a、b都小于2
【解析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，
而命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则d、b中至少有一个不小于2”的否定为“a、b都小于2”，
12.【答案】分析法
【解析】要证明不等式<，只要证＜，即证9+2＜9+2，
故只要证＜，即证14＜18．
以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法．
13.【答案】
【解析】
＝
－＝
＝
14.【答案】a，b，c都不小于1
【解析】由于命题：“若a，b，c中至少有一个小于1”的反面是：“a，b，c都不小于1”，
故用反证法证明“若a，b，c＜3，则，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为“a，b，c都不小于1”，
15.【答案】13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)
【解析】根据已知条件，第四个等式应用13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)．
16.【答案】n＝
【解析】(1)1＝1，2＝，3＝，4＝，
由此猜想n＝(n∈N*)．
(2)证明：当n＝1时，1＝1，结论成立．
假设)时，结论成立，
即k＝，
那么N*)时，
k＋1＝Sk＋1－＝k＋1－2＋＝2＋－
∴2k＋1＝2＋k，
∴k＋1＝＝＝，
这表明时，结论成立．
∴n＝(n∈N*)．
17.【答案】
【解析】本例可以从1、2的个数以及指数上进行推广．
第一类型：，
…，
；
第二类型,,…，；
第三类型：…，
上述1、2、…、n∈R＋，∈N*.
18.【答案】(1)当n＝2时，＋＋＝＝>1，即n＝2时命题成立.
(2)设n＝k(k≥2)时，命题成立，
即＋＋＋…＋>1，
当n＝k＋1时，
左边＝＋…＋＋
>1＋(2k＋1)·－＝1＋.
∵k>2，令f(k)＝k2－k－1，对称轴为k＝，
∴(2，＋∞)为t的增区间，∴f(k)>f(2)，即k2－k－1>22－2－1＝1，
∴>0，∴n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，当n>1，n∈N*时，命题都成立．
【解析】
19.【答案】错误
【解析】大前提：正弦函数是奇函数，正确；
小前提：f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：f（x）=sin（x2+1）是奇函数，因为该函数为偶函数，故错误．
20.【答案】法一∵x>0，y>0且x＋y＝1，∴y＝1－x>0，
只需证明≥9，
即证(1＋x)(1－x＋1)x(1－x)，
即证2＋x－x2≥9x－9x2，
即证4x2－4x＋1，
即证(2x－1)2≥0，此式显然成立，
所以原不等式成立．
法二：左边＝
+1
【解析】。