中国人民大学附属中学2016届高三12月月考数学理试题

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辽宁省大连市2016届高三数学12月月考试题理

2015-2016学年度上学期十二月考试高三数学试卷（理）考试时间：120分钟试题分数：150分第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z +=1的虚部是（）A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知全集U=R ，集合2{|1}M y y x ==-，集合{|N x y ==，则()U C M N ⋂=（）A ．（-2，-1）B ．[-2，-1）C ．[-2，1）D ．[-2，1]3．若数列}{n a 的前n 项和为n S )(2R a n an ∈+=，则下列关于数列}{n a 的说法正确的是（）A ．}{n a 一定是等差数列B ．}{n a 从第二项开始构成等差数列C ．0≠a 时，}{n a 是等差数列D ．不能确定其为等差数列4．抛物线212x y =的焦点F 到准线l 的距离是（） A ． 2 B ．1 C ．21 D ．415．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 6．非零向量b a ,满足⊥，则函数)()()(2R x b x a x f ∈+=是( ) A ．既是奇函数又是偶函数 B ．非奇非偶函数 C ．偶函数 D ．奇函数 7．为得到函数)6sin(π+=x y 的图象，可将函数x y sin =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则||n m -的最小值为( ) A ．3π B ．35πC ．πD ．π28．下列说法中，正确的是 A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C ．已知∈x R ，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件D ．命题“∈∃x R ，02>-x x ”的否定是：“∈∀x R ，02≤-x x ”9．函数672)(2-+-=x x x f 与函数x x g -=)(的图象所围成的封闭图形的面积为（）A ．32 B ．2 C ．38 D ．310．21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于B A ,两点．若△2ABF 是等边三角形，则该双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．7 C ．13 D ．1511．已知(,2)M a 是抛物线22y x =上的一点，直线MP 、MQ 分别与抛物线交于P 、Q 两点，且直线MP 、MQ 的倾斜角之和为π，则直线PQ 的斜率为（）A ．12 B ．14 C ．12- D ．14-12．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且()(0,1)()x f x a a a g x =>≠且，(1)(1)5()()()(),(1)(1)2f f f xg x f x g x g g -''<+=-，则a 的值为（）A ．12B ．35 C ．53D ．2第Ⅱ卷二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．14. 已知实数y x 、满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤++≤--≥+-1012401201222y x y x y x y x ，则y x +3的取值范围为_____________15．函数()31a y log x =+-(0a >且)1a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ___ ． 16．已知双曲线1322=-y x 上存在两点N M ,关于直线m x y +=对称，且MN 中点在抛物线x y 182=上，则实数m 的值为________．三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围 . 18．（本小题满分12分）已知函数2()4cos()sin 3f x x x πωω=-),(R x ∈>0ω，且)(x f 在y 轴右侧的第一个最低点的横坐标为12π.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调减区间；（Ⅱ）若],[πα0∈，且1-=)(αf ，求α. 19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．20．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB //CD ，090DAB ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且21===DC AD PA ，1=AB ，M 是PB 的中点。

中国人民大学附属中学高三数学12月月考试卷理(含解析)

中国人民大学附属中学2016届12月月考数学试题（理科）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“答题纸”第1—8题的相应位置上．）（1）定积分121x dx -=⎰（ B ）（A ）0 （B ）23（C ）1 （D ）2 【考点】积分【试题解析】【答案】B（2）已知全集U R =，集合M={|R}y y x ∈，1{21,}x N x x R -=≥∈，则()U M N ⋂=ð（ B ）（A ）[2,2]- （B ）[)0,1 （C ）[)2,1- （D ）[1,4] 【考点】集合的运算【试题解析】，所以，故选B【答案】B（3）抛物线22x y =-的准线方程为（ B ）（A ）12x =（B ）18x = （C ）18x =- （D ）12x =- 【考点】抛物线【试题解析】将抛物线化成标准方程为，所以，所以准线方程为，故选B【答案】B（4）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（D ）（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4 【考点】等差数列【试题解析】由已知为等差数列，首项为，公差为，所以，所以，故选D【答案】D（5）若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ C ）.（A ）8π （B ）4π （C ）38π （D ）2π 【考点】三角函数的图像与性质【试题解析】图象向右平移个单位后得得函数解析式为，因为图象关于轴对称，所以为偶函数，故（），即（），当时取得最小正值，故选C【答案】C（6）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，31()(1)e x f x x e +=+-.那么函数()f x 的极值点的个数是（ A ）（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5【考点】利用导数求最值和极值【试题解析】当时，令得，令得，令得，所以函数在单调递增，在单调递减，1所以为函数的一个极值点，又因为是定义域为的奇函数，所以也为函数的一个极值点，所以极值点的个数为2，故选A【答案】A（7）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（A）（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁【考点】合情推理与演绎推理【试题解析】假设甲说的是真话，即甲没有偷，则其他人说的是假话，此时丙与丁矛盾；假设甲说的是假话，即甲偷，则丁：我没有偷是真的，乙：丙是小偷是假的，丙：丁是小偷是假的，此时均成立，故选A【答案】A（8）在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D-中，若点P是棱上一点（含顶点），则满足11PA PC?-的点P的个数为（ C ）（A）6 （B）8 （C）12 （D）241A21111+2412=4PA PC PO POPA PCPA PC C Aìï=-ï拮íï-=ïïî【考点】点线面的位置关系【试题解析】如图，连接，取的中点，连接，则有所以，即，所以，而，所以，即，所以为各棱中点，故有12个点，故选C【答案】C二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将填空题的答案写在答题纸上相应位置．)（9）函数12y x x=+的值域为_______________。

2016届重庆市一中高三12月月考数学(理)试题(解析版)

2016届重庆市一中高三12月月考数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}23|1,|1213nM x N n n Z x ⎧⎫=<=≤≤∈⎨⎬⎩⎭且，则N M = （）A ．{}2,3B ．{}3C ．⎡⎣D ．[)2,+∞ 【答案】A【解析】试题分析：由{}|1213={1,2,3}nN n n Z =≤≤∈且知N M = {}2,3，故选A ．【考点】集合的交集．2．已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(21)(5)P c P X c X <+=>+，则c =（） A ．43-B ．-1C ．0D ．4 【答案】C【解析】试题分析：因为(21)(5)P X c P X c <+=>+，由正态分布的对称性知，=21X c +与=5X c +关于对称轴3X =对称，从而21+5=23c c ++⨯，所以0c =，故选C ．【考点】正态分布．3．已知复数()z x yi x y R =+∈、，且有11xyi i=+-，则z =（）A ．5B ．3 D 【答案】B【解析】试题分析：因为(1)112x x i yi i +==+-，所以(1)2(1)x i yi +=+，从而2,1x y ==，z =，故选B ．【考点】复数的运算．4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)20,60元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有30人，则n 的值为（）A ．100B ．1000C ．90D ．900 【答案】A试卷第2页，总16页【解析】试题分析：由频率分布直方图知，支出在[)50,60的频率为10.10.240.360.3---=，所以301000.3n ==，故选A ．【考点】频率分布直方图．5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（） A．2x y =± B．2y x =± C．4x y =± D．4y x =± 【答案】D【解析】试题分析：由题意知椭圆焦距和双曲线焦距相等，所以22223523m n m n -=+，即228m n =，所以双曲线的渐近线方程是y ===，故选D ．【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的几何性质．6．在区间(0,1)内任取两个数,x y ，则满足2y x ≥概率是（） A ．34 B ．14 C ．12 D ．23【答案】B【解析】试题分析：由题意，01,01x y <<<<，所以基本事件空间是边长为1的正方形面积，满足2y x ≥的事件区域是三角形区域，所以1u Ω=，1111224A u =⨯⨯=，根据几何概型得：14A u P u Ω==，故选B ．【考点】几何概型．7．如图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的体积为（）A ．362π+B ．365π+C ．368π+D ．3620π+ 【答案】A【解析】试题分析：该几何体是由一个长宽高分别为3,3,4的长方体，高是1，底面直径为2的两个圆柱构成的组合体，其体积为2334211362V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选A ．【考点】三视图．8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】试题分析：设每个人由少到多的顺序得到面包数分别为12345,,,,a a a a a ，因为每个人所得的面包成等差数列，设公差为d ，则有1120510a d =+ ①；又最大的三份之和是较小的两份之和的7倍，得到：1111208a a d ++=⨯②，联立①②解得12a =，故选C ．【考点】1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式．9．若实数,x y 满足条件120y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．-1B ．-2C ．52-D ．72- 【答案】D【解析】试题分析：作出可行域，如图所示.作直线0:l 20x y -=，再作一组平行于0l 的直线:l 2z x y =-，当直线l 经过点A 时，2z x y =-取得最小值，由21y x y x =+⎧⎨=-+⎩得：1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点A 的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以min 17322z =--=-，故选D ．【考点】线性规划．试卷第4页，总16页10．执行下图所示框图，若输入6,4n m ==，则输出的p 等于（）A ．120B ．240C ．360D ．720 【答案】C【解析】试题分析：初始条件6,4n m ==；运行第一次，133p =⨯=，2k =；运行第二次，13412p =⨯⨯=，3k =；运行第三次，134560p =⨯⨯⨯=，4k =；运行第四次，13456360p =⨯⨯⨯⨯=，不满足条件，停止运行，所以输出的360p =，故选C ．【考点】程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“4k <”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．【考点】程序框图．11．已知函数())cos()sin()cos()2f x x x x x πππ=--++-图像上的一个最低点为A ，离A最近的两个最高点分别为B 与C ，则AB AC ⋅=（）A ．299π+B ．299π-C ．244π+D ．244π-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：2(3s i n ()o s ()s i n (22f x x x xx x x πππ=--++-=-1cos 212sin(2)262x x x π-=-=+-，所以T π=，由正弦型函数图象的对称性知：AB AC = ，所以2cos AB AC AB BAC ⋅=⋅∠ ，设AB 、AC 分别交对称轴:l 12y =-于M 、N 点，过A 做AE l ⊥于E ，由周期知4ME π=，由()f x 知1AE =，在直角三角形AME 中，AM =，1cos MAE AM ∠=，又222c o s c o s 22c o s 11B A CM A E M A E AM ∠=∠=∠-=-，所以2222222cos 4(1)8484(1)4164AB AC AB BAC AM AM AM ππ⋅=⋅∠=-=-=-+=-，故选D ．【考点】1、诱导公式；2、二倍角的正弦、余弦公式；3、两角和正弦公式；4、正弦型函数图象与性质；5、向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查的是向量的数量积、诱导公式、二倍角的正弦、余弦公式、两角和正弦公式及正弦型函数的图象与性质，属于难题．解题时一定要注意三角函数化简要准确，得到正弦型函数之后，充分考虑周期，对称性等性质．在求向量的数量积时，注意平面几何的运用，通过直角三角形的处理，求得AM 及1cos MAE AM∠=，再利用2AB AM =，cos cos 2BAC MAE ∠=∠进行处理．12．已知函数42421()()1x kx f x k R x x ++=∈++，若对任意三个实数a 、b 、c ，均存在一个以()f a 、()f b 、()f c 为三边之长的三角形，则k 的取值范围是（）A ．24k -<<B ．142k -<< C ．21k -<≤ D ．112k -<≤【答案】B 【解析】试题分析：当x ≠时，4224242221(k 1)1()()11111x kx x k f x k R x x x x x x++--=∈=+=+++++++，令2211t x x =++，则3t ≥，所以①10k -=时，即1k = ，()()()1f a f b f c ===，满足题意； ②10k ->时，当0x ≠时，111113k k y t --<=+≤+，又0x =时，(0)1f =，所以11()13k f x -≤≤+，所以2(1)2()()23k f a f b -≤+≤+，11()13k f c -≤≤+，由()()f(c)f a f b +>恒成立，所以11+23k -<，所以14k <<；③10k -<时，111113k k y t --+≤=+<，所以11()13k f x -+≤≤，2(1)2()()23k f a f b -+≤+≤，11()13k f c -+≤≤，由题意，2(1)213k -+>，所以112k >>-，综上故142k -<<，试卷第6页，总16页故选B ．【考点】1、函数的值域；2、基本不等式；3三角形的性质；4、分类讨论．【方法点晴】本题主要考查的是利用基本不等式研究函数的值域及根据值域研究构成三角形的问题，属于难题．本题需要将均存在一个以()f a 、()f b 、()f c 为三边之长的三角形，转化为任意两边之和大于第三边，即()()f(c)f a f b +>，然后利用()()f a f b +的最小值大于f(c)的最大值，所以这类问题重点转化为函数最值及恒成立问题，难度较大．二、填空题13．已知曲线2()ln(1)f x x a x =++在原点处的切线方程为y x =-，则a =________．【答案】-1【解析】试题分析：由题意()21a f x x x '=++，所以(0)f a '=，又切线方程为y x =-，所以1a =-，所以答案应填：1-．【考点】导数的几何意义． 14．已知51(1)(1)x x-+ 的展开式中(15)r x r Z r ∈-≤≤且的系数为0，则r =________．【答案】2【解析】试题分析：由二项式展开式的通项知：51(1)(1)x x-+ 的通项为1551(1)()r r r r r C x C x x x--=-，所以51(1)(1)x x-+ 的展开式为0011102233244355555C ()C ()C ()C ()C ()x x x x x x x x x x --+-+-+-+-5545C ()x x +-，因为2355C C =，所以展开式中不含有2x 的项，所以答案应填：2．【考点】二项式定理．15．设ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若ABC ∆的面积为2，AB 边上的中且cos sin b a C c A =+，则ABC ∆中最长边的长为________．【答案】4【解析】试题分析：因为c o s s i n b a C c A =+，根据正弦定理得：sin sin cos sin sin B A C C A =+，所以sin(A C)sin cos sin sin A C C A +=+，展开整理得：tan 1A =，因为A 是三角形内角，所以4A π=，因为1sin 224s bc π==，解得bc =，设中点为M ，在A M C ∆中，由余弦定理得：2264c b +=，所以22cb +=+bc =2,b c ==4b c ==，所以最大的边是4，所以答案应填：4．【考点】1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式；4、余弦定理．【方法点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理，两角和正弦公式和三角形面积公式，属于难题题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．当确定角A 后，充分使用这一条件，得出bc =22c b +=43A ππ=<，必定不是最大角，从而a 不是最大边．16．如图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：[]22,0,10x y y =∈．在杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为________．【答案】1【解析】试题分析：设小球截面球心)b （0，，抛物线上任意点)x y （，，则点到圆心距离的平方是222()r x y b =+-2222222(1)y y by b y b y b =+-+=+-+，当2r 的最小值在(0,0)处取得时，小球触及杯底，即y 0=时二次函数取最小值，所以对称轴y 10b =-≤，解得：01b <≤，所以球的半径最大值为1，所以答案应填：1．【考点】1、圆的性质；2、抛物线的的性质．【方法点晴】本题主要考查的是二次函数单调性的应用、抛物线的性质及圆与圆锥曲线的的综合，属于难题．解题时要把球与酒杯底部相切，转化为抛物线上动点到球心距离的最小值在抛物线顶点取得，进而转化为二次函数的最小值在0y =处取得，从而二次函数对称轴在0y =左侧，求出圆的圆心范围，从而得出半径的最大值，注意转化的数学思想在解题中的应用． 17．（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该试卷第8页，总16页（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由．附：独立性检验卡方统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量，独立性检验临界值表为：【答案】（1）15%；（2）有关，理由见解析；（3）分层抽样较好，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由22⨯列联表知需要帮助的有75人，共500人，占比7515%500=；（2）根据独立性检验的公式计算2K ，根据检验临界值表得出结论；（3）由题意男性女性需要帮助的比例有显著差异，所以应采取分层抽样．试题解析：（1）调查的500位老年人中有75位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为15%．（2）22500(5022525200)5006.6352502507542551K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【考点】1、22⨯列联表；2、独立性检验；3、分层抽样．三、解答题18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13(1),n n S a n Z +-=-∈．（1）求出数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足13()2n na b n a -= ，若n b t ≤对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）13()2n n a -=；（2）43t ≥．【解析】试题分析：（1）由已知32n n S a =-，令1n =可得11a =，又11113332n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-⇒=，知数列是等比数列，写出通项公式；（2）已知可求得211122(),(3)33n n n n n n b n b b n ----=-=- ，当4n ≥时，10n n b b -->，所以数列是递减数列，此时3n b b >，当3n =时，23b b =，又12b b <，所以数列中最大的项是23b b =，从而2t b ≥即可．试题解析：（1）由已知32n n S a =-，令1n =可得11a =，又11113332n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-⇒=，所以数列{}n a 是以1为首项，32为公比的等比数列，所以13()2n n a -=．（2）有已知可求得211122(),(3)33n n n n n n b n b b n ----=-=-，所以max 234()3n b b b ===，则43t ≥．【考点】1、数列的递推关系；2、等比数列的通项；3、作差比较大小；4、恒成立问题． 19．我国政府对PM2.5采用如下标准：某市环保局从一年365天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求这10天数据的中位数；（2）从这10天数据中任取4天的数据，记ξ为空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望；（3）以这10天的数据来估计这一年365天的空气质量情况，并假定每天之间的空气质量相互不影响．记η为这一年中空气质量达到一级的天数，求η的平均值．【答案】（1）41；（2）见解析；（3）146天．【解析】试题分析：（1）由茎叶图及中位数概念知，中位数为41；（2）由二项分布知，(10,4,4)H ξ ，所以446410()(0,1,2,3,4)k kC C P k k C ξ-=== ，441.610E ξ⨯==；（3）试卷第10页，总16页一年中每天空气质量达到一级的概率为25，由2(365,)5B η ，得到23651465E η=⨯=（天）．试题解析：（1）10天的中位数为(3844)/241+=（微克/立方米）（2）由于(10,4,4)H ξ ，所以446410()(0,1,2,3,4)k kC C P k k C ξ-=== ，即得分布列如下：所以441.610E ξ⨯== （3）一年中每天空气质量达到一级的概率为25，由2(365,)5B η，得到23651465E η=⨯=（天），一年中空气质量达到一级的天数平均为146天．【考点】1、茎叶图；2、样本的数字特征（中位数）；3、二项分布；4、分布列、期望．20．已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C的离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1(0,)3M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在一个定点(0,1)T ．【解析】试题分析：（1）因为直线截圆的弦长为1，所以1b =，又离心率e =，可求a =（2）假设存在(,)T u v ，斜率存在时设直线方程13y kx =-，联立直线与椭圆，根据直线与圆锥曲线的位置关系得12212189kx x k +=+，12216189x x k -=+，因为以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以0TA TB ⋅= ，将TA TB ⋅ 表示为12x x +，12x x ，然后代入整理得：222222(666)4(3325)062u v k ku u v v k +--+++-=+恒成立，即不论k 取何值，22222(666)4(3325)0u v k ku u v v +--+++-=，因此系数及常数项恒为0，解得0,1u v ==，当斜率不存在时，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点(0,1)T ．试题解析：（1）则由题设可求的1b =，又e =，则a =C 的方程是2212x y +=．（2）解法一：假设存在点(,)T u v ，若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理得22(189)12160k x k +--=．设点A B 、的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189kx x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为111222(),()TA x u y v TB x u y v =--=-- 及112211,33y kx y kx =-=-，所以2121()3v T A⋅=222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-+．当且仅当0TA TB ⋅= 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以222266604033250u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩，解得0,1u v ==，此时以AB 为直径的圆恒过定点(0,1)T ．当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点(0,1)T ．综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T ，满足条件．解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为221x y +=，若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为试卷第12页，总16页22116()39x y ++=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分由22221116()39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0,1)．．．．．．7分事实上点(0,1)T 就是所求的点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点(0,1)T ；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程并整理得22(189)12160k x kx +--=，设点A B 、的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=- ，所以有2222121212121224161616163216()1(1)()039189k k k TA TA x x y y y y k x x k x x k ---++⋅=+-++=+-+==+ ，所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒定过点(0,1)T ，综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T 满足条件．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、圆的几何性质；4、向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系及定点的存在型问题，属于难题．解题时的突破点在于以AB 为直径的圆恒过定点T ，利用圆的几何性质知TA TB ⊥ ，从而只需计算0TA TA ⋅= 恒成立，进入常规直线与圆锥曲线位置关系的计算即可，同时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．21．已知存在实数,,a b c和,,αβγ使得32()f x x ax bx c =+++()(x x x αβγ=---．（1）若1a b c ===-，求222αβγ++的值；（2）当11()32αβγαβ-=>+且时，若存在实数,m n 使得()()2f m x f m x n ++-=对任意x R ∈恒成立，求()f m 的最值．【答案】（1）3；（2）最大值486，无最小值．【解析】试题分析：（1）当1a b c ===-时，32()1()()()f x x x x x x x αβγ=---=---，展开，对应项系数相等，所以1αβγ++=，1αββγγα++=-，从而2222()2()3αβγαβγαβ++=++-++；（2）由存在实数,m n 使得()()2f m x f m x n++-=对任意x R ∈恒成立，可以证明(,)m n 是函数对称中心，又2()320f x x ax b '=++=的解12,x x 是()f x 的极值点，(,)m n 是对称中心，所以1223x x a m +==-，计算()()()()()3333a a a a f m f αβγ=-=------，又a αβγ++=-，13αβ-=，代入整理得： [][][]21()3()23()116()27f m γβγβγβ=---+-- ，换元得：21()(32)(31)(16)27f m t t t =-+-，利用导数求其最值．试题解析：（1）由题意1,1a b αβγαββγγα++=-=++==-2222()2()3αβγαβγαββγγα⇒++=++-++=（2）由题意知()y f x =关于(,)m n 中心对称，所以m 取两个极值点的平均值，即3a m =-，则有 [][][]22()()()()()33331(2)(2)(2)2713()23()116()271(32)(31)(16)27a a a a f m f t t t αβγβγααγβαβγγβγβγβ=-=------=+-+-+-=---+--=-+- 其中11()26t γβαβ=->-=，令()(32)(g t t t t=-+-，则2()9(1861g t t t '=---，所以()g t在1(6上递增，在)+∞上递减．试卷第14页，总16页由此可求出max 21()27f m g ==，()f m 无最小值．【考点】1、利用导数研究函数的最值；2多项式的性质；3、函数图像的中心对称性；4换元法．【方法点晴】本题主要考查的是多项式恒等、函数图象的中心对称性质、利用导数研究函数的最值，属于难题．本题最大特点在于运算，利用多项式恒等得,,a b c 与,,αβγ关系，222αβγ++变形为2()αβγ++与αββγγα++的形式，求解，而第二问根据中心对称的性质处理m ，对()()3a f m f =-进行大量变形，换元后利用导数求最值，对思维能力，运算能力要求较高．22．如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为3与2，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），AD 是圆1O 的一条直径．（1）求AC AB的值；（2）若BC =，求2O 到弦AB 的距离．【答案】（1）23；（2）１．【解析】试题分析：（1）设AD 交圆2O 于点E ，连接,BD CE ，由圆直径性质得：2ABD ACE π∠=∠=，所以//BD CE ，利用平行线分线段成比例求解；（2）RT ABD ∆中，解出030A ∠=，再利用直角三角形求解．试题解析：（1）设AD 交圆2O 于点E ，连接,BD CE ，∵圆1O 与圆2O 内切于点A ，∴点2O 在AD 上．∴AD ，AE 分别是，圆1O 与圆2O 的直径．∴2ABD ACE π∠=∠=．∴//BD CE ． ∴23AC AD AB AE ==．（2）若BC =，由（1）问结果可知AB =6AD =，所以在RT ABD ∆中，030A ∠=，又由22AO =，推得2O 到弦AB 的距离为1【考点】1、圆的直径的性质；2、平行线判定与性质；3、直角三角形中角的三角函数．23．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1242x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 将于点A 、B ，若点M 的坐标为(2,1)-，求MA MB +的值．【答案】（1）22(2)4x y +-=；（2）【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标互化公式；（2）写出过点M 的直线l 的标准参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆的方程，得：210t -=，利用参数的几何意义表示MA MB +，从而求解．试题解析：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为22(2)4x y +-=，（2）直线l 的普通方程为3y x =+，点M 在直线上l 的标准参数方程为221x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．代入圆方程得：210t -=．设A B 、对应的参数分别为12t t 、，则12t t +=121t t =．于是1212MA MB t t t t +=+=+=【考点】1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化；3、参数的几何意义．24．已知函数()21,f x x x R =-∈．（1）解不等式()1f x x <+；（2）若对于,x y R ∈，有111,2136x y y --≤+≤．求证：()1f x <．【答案】（1）02x <<；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）利用绝对值的性质()()f x a a f x a <⇔-<<求解即可；（2）试卷第16页，总16页将21x -用1x y --和21y +表示出来，得：()212(1)(21)f x x x y y =-=--++，再利用绝对值的性质a b a b +≤+证明．试题解析：（1）()1121102f x x x x x <+⇔-<-<+⇔<<．（2）()212(1)(21)f x x x y y =-=--++115212121366x y y ≤--++≤⨯+=<．【考点】1、绝对值不等式； 2、绝对值不等式的性质．。

2016届吉林长春高三数学12月月考试卷理科附答案

2016届吉林长春高三数学12月月考试卷（理科附答案）长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期阶段考试数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若复数满足：，则（）A.B.C.D.3.已知，则（）A.B.C.D.4.已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或75.已知，，，则（）A．22B．48C．D．326.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则（）A．B．C．D．8.设，且，则（）A．B．C．D．9.曲线与直线围成的封闭图形的面积是（）A.B.C.D.10．已知为区域（）内的任意一点，当该区域的面积为时，的最大值是（）A.B.C.D.11.是椭圆：上的动点，以为切点做椭圆的切线，交圆于两点，当的面积最大时，直线的斜率（）A.B.C.D.12.如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，则当时，函数的值域为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是.14.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于_______________.15.设为等差数列，从中任取个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有个.16.给定下列四个命题：（1）若，，则；（2）是等比数列的前项和，则必有：；（3）函数的图像有对称轴；（4）是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心；其中正确命题的序号为.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分12分）在中，已知，（1）求的取值范围；（2）若边上的高，求面积的最小值.18.（本小题满分12分）设数列满足：，，，（1）设，求证：为等差数列；（2）设，且的前项和为，证明：.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，，点为中点，平面平面.（1）求异面直线和所成角的余弦值；（2）求二面角的大小.20.（本小题满分12分）已知曲线的图形如图所示，其上半部分是半椭圆，下半部分是半圆，（），半椭圆内切于矩形，且交轴于点，点是半圆上异于的任意一点，当点位于点时，的面积最大. （1）求曲线的方程；（2）连接分别交于，求证：是定值.21.（本小题满分12分）设函数，（1）证明：是上的增函数；（2）设，当时，恒成立，求的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点.（1）求证：；（2）求的值.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（是参数，是常数）（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）若与有两个不同的公共点，求的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知：（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且，求的取值范围.长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期阶段（12月）考试数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）题号123456789101112答案BDBCABCADDCD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.且14.15.16.①②三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解析：（1）在中，，……2分,由，都是锐角，所以，当时……5分有最小值，故……6分（2）设，则，……….8分所以，即：，且，……分10所以：，当时“等号”成立面积的最小值为………12分18.解析：（1）由条件知：时，，所以：.............3分由于，即：，故是首项为，公差的等差数列 (5)分（2）由（1）知：，………….6分所以：…………8分所以：………….12分19.解析：解：取的中点，连接，为等边三角形，，又平面平面，……2分以为原点，过点垂直的直线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.，不妨设,依题意可得：………3分（1）,从而,………5分于是异面直线和所成角的余弦值为………….6分（2）因为，所以是平面的法向量，……….8分设平面的法向量为，又，由即，令得………….10分于是………….11分从而二面角的大小为.……………12分20.解析（1）已知点在半圆上，所以，……………2分当半圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，此时的面积最大.所以，由于，所以，由，所以…………4分曲线C的方程为：或………5分（2），设，则有：：，令，，所以：同理：………8分所以：，又由，得，代入上式得………12分所以为定值21.解：若证明是上的增函数，只需证明在恒成立，即：-------4分设，所以：在上递减，上递增，最小值故：，所以：是上的增函数.------6分（2）由得：在上恒成立，------------8分设,则，所以在递增，递减，递增------------9分所以的最小值为中较小的，，所以：，即：在的最小值为，--------11分只需-------12分22.解：（1）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理得………………2分另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得………………4分故………………5分（2）连结，∵BC为圆O直径，∴在RT△EBC中，有……………7分又在中，由射影定理得……………10分23.解：（1）由极直互化公式得，所以；---------------2分消去参数得的方程：----------------------4分（2）由（1）知是双曲线，是直线，把直线方程代入双曲线方程消去得：，-------------------------7分若直线和双曲线有两个不同的公共点，则，解得：-----------10分24.解：（1），所以，若，只需，即：---------------------5分（2）由于，所以，，又，所以，这样，所以---------------------10分。

{高中试卷}北京中国人民大学附属中学高三上月考理科数学[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：中国人民大学附属中学20XX 届高三12月月考数学试题（理科）制卷人：赵婷、肖警庆、张端阳审卷人：梁丽平、吴中才 20XX.12.20XX 说明：本试卷共三道大题、20道小题，共4页，满分150分.考试时间120分钟.考生务必按要求将答案答在答题纸上.在试题上作答无效.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）1.设全集为R ，集合{}012>-=x x A ，{}R x y y B x ∈==,3,则=B A （）A. ()1,-∞-B. (]1,-∞-C. ()+∞,1D.[)+∞,12.若直线012=-+y ax 与0163=--y x 垂直，则a 的值为（）A.4B.-4C.1D.-1 3.将函数)4sin(π+=x y 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21倍，再向右平移4π个单位，所得到的图像解析式是（）A.x y 2sin =B.x y 21sin= C.)42sin(π+=x y D.)42sin(π-=x y 4.已知非零向量a 、b ，“b a b a -=+”是“b a ⊥”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知方程181722=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线，下列结论正确的是（） A.k 的取值范围为178<<k B.k 的取值范围为8<k C.双曲线的焦距为10 D.双曲线的实轴长为106.设函数)(x f y =是R 上的偶函数，在[)∞+，0是减函数，则)(e f -，)(πf ，)3(-f 的大小关系为（）A.)()3()(e f f f ->->πB.)()()3(πf e f f >->-C.)()3()(πf f e f >->-D.)3()()(->->f e f f π7.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x xy 4，且y x z +=2的最小值为-4，则k =（）A.34-B.34C.43-D.43 8.定义全集U 的子集A 的特征函数⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x f A ,0,1)(对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（）A.若B A ⊆，则)()(x f x f B A ≤，对于任意的U x ∈成立；B.)()(x f x f f B A B A += ，对于任意的U x ∈成立；C.)()(x f x f f B A B A = ，对于任意的U x ∈成立；D.若B C A U =，则1)()(=+x f x f B A ，对于任意的U x ∈成立.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9.抛物线22x y =的焦点坐标为.10.在等差数列{}n a 中，11=a ，4108=+a a ，则公差=d ，前17项的和=17S .11.若曲线x y =与直线)0(>=a a x ，0=y 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a .12.已知a 与b 的夹角为4π，且12==a b ，则()a a b -2的值为. 13.若双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02=±x y ，则椭圆12222=+by a x 的离心率为.14.设{}0),(),(==y x F y x M 为平面直角坐标系xOy 内的点集，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121<+y y x x ，则称点集M 满足性质P .给出下列三个点集：①{}x y y x R cos ),(==； ②{}x y y x S ln ),(==； ③{}1),(22=-=y x y x T . 其中所有满足性质P 的点集的序号是.三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15.（本小题满分13分）已知函数x x x f 2cos 22)62sin(2)(+-=π.（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 的最值.16. （本小题满分13分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，272cos 2sin 42=-+A C B . （I ）求角A 的大小；（II ）若3,3=+=c b a ，求b 和c 的值.17.（本小题满分13分）已知圆M 过点（0，3），（1，0），（-3，0）. （I ）求圆M 的方程；（II ）过点（0，2）的直线l 交圆M 于A 、B ，圆M 上有一点P 使得△PAB 是等边三角形，求直线l 的方程.18.（本小题满分13分）已知函数()()0ln 2>+-=a x x ax x f（I ）当1=a 时，求)(x f 在点（1，)1(f ）处的切线；（II ）若)(x f 有两个极值点1x ，2x ，求证：)()(21x f x f +<3-2ln 2.19.（本小题满分14分）已知圆()16222=++yx B ：，定点()02，A ，P 是圆周上任一点，线段AP 的垂直平分线与BP 交于点Q .（I ）求点Q 的轨迹C 的方程；（II ）直线l 过点A 且与x 轴不重合，直线l 交曲线C 于M 、N 两点，过A 且与l 垂直的直线与圆B 交于D 、E 两点，求四边形MDNE 面积的取值范围.20.（本小题满分14分）若数列)3(,,,21≥n a a a A n ：满足：①n a a a <<< 21；②),2,1(n i N a i =∈*；③任意1-n 项的算术平均值是整数，则称数列A 为“Z-数列”. （I ）若数列1，x ，y ，13为“Z-数列”，写出所有可能的y x ,；（II ）是否存在正整数654321,,,,,b b b b b b ，使得654321bbbbbb2,2,2,2,2,2为“Z-数列”？若存在，请写出一组654321,,,,,b b b b b b 并验证，若不存在，请说明理由；（III ）若“Z-数列”n a a a A ,,,21 ：中，2017,11==n a a ，求n 的最大值.。

北京市中国人民大学附属中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案

人大附中2015～2016学年度第一学期期末高二年级数学(理）练习&选修2—1模块考核试卷2016年1月14日命题人：吴中才候立伟审卷人：梁丽平说明:本试卷分I 卷和II 卷，I 卷17道题，共100分，作为模块成绩；II 卷4道题，共50分；I 卷、II 卷共21题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在密封线内填写个人信息.I 卷（共17题,满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1。

集合{}1,A a =，{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆"的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分也不必要条件2。

若:p x R ∀∈，20x>,则（）A 。

:,20xp x R ⌝∀∈≤ B 。

:,20x p x R ⌝∀∉≤C.:,20xp x R ⌝∃∈≤ D.:,20x p x R ⌝∃∉≤3. 如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA =a ，OB =b ，OC =c ，则BD 等于（ )A 。

-+-a b cB 。

-+a b cC 。

1122-+a b c D.1122-+-a b c4. 给定原命题：“若220ab +=，则a b 、全为0”，那么下列命题形式正确的是（）A. 逆命题:若a b 、全为0，则220a b +=B 。

否命题：若220ab +≠，则a b 、全不为0C 。

逆否命题:若a b 、全不为0,则220a b +≠D 。

否定：若220a b +=，则a b 、全不为05。

已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程是（ ) A.30x =B 。

20x y ±= C 。

北京市海淀区中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

北京市海淀区中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程2350+-=x x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．3，1，5B ．3，1，5-C ．3，1-，5D ．3，1-，5-2．将抛物线2y x =向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A ．21y x =+B ．21y x =-C ．2(1)y x =-D ．2(1)y x =+3．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．用配方法解方程2620x x -+=，变形后结果正确的是（）A ．2(3)7x +=B ．2(3)11x +=C ．2(3)7x -=D ．2(3)11x -=5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,3A ，以原点O 为圆心，5为半径作O ，则（）A ．点A 在O 上B ．点A 在O 内C ．点A 在O 外D ．点A 与O 的位置关系无法确定6．如图，在正方形网格中，将MNP △绕某一点旋转某一角度得到M N P '''△，则旋转中心是（）A ．点AB ．点7．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．右面图本图案以点O 为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角转角α的值不可能是（）A ．36︒B ．8．已知抛物线(429y x =--结论中正确的是（）A ．若11x 2<，则10y <<C ．若11x 2<，则12y y <二、填空题9．点()1,2A -关于原点对称的点的坐标是10．方程29x =的解是11．若关于x 的一元二次方程12．请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式13．如图，点A ，B ，C 在 14．在△ABC 中，BAC ∠=15．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x (2)-1-01…y…0466…据此我们可以推知一元二次方程16．在ABC 中，90ABC ∠=直线CB 与直线DE 交于点F 出下面四个结论：①BF 的值一直变大；BF EF -的值一直变小；④当所有正确结论的序号是三、解答题17．解方程：241x x x -=-．18．如图，在ABC 中，AB AC =，80BAC ∠=︒，D 在BC 边上，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转80︒得到线段AE ，连接CE ．(1)依题意补全图形；(2)求证：BD CE =．21．如图，小明同学用一张长为无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，可（损耗不计）．求剪去的正方形的边长．22．已知关于x 的方程2x -(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根中有且仅有一个正根，求23．已知二次函数2y ax =+(1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系(2)当22x -<<时，对于x 的每一个值，函数()20y ax k a =+≠的值且不大于24．如图，AB 是O 的直径，点是等边三角形；(1)求证：ACD(2)若点F是 AC的中点，连接求线段CG的长．25．篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是明站在距篮圈中心水平距离触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是小明进行了多次定点投篮练习，并做了记录：(1)第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度x0123水平距离/my 2.0 2.7 3.2 3.5竖直距离/m①结合表中数据，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求足的函数解析式；②判断小明第一次投篮练习是否投进篮筐，并说明理由；(2)将小明第i次投篮后，篮球运行到最高点时，篮球运行的水平距离记为次训练时将球投进了篮筐，已知第二次训练与第一次训练相比，出手高度相同，篮球运的取值范围．27．已知ABC 是等边三角形，点D 在ABC 内部，且120BDC ∠=︒．(1)如图1，设ABD α∠=，求ACD ∠的度数（用含α的式子表示）；(2)如图2，点E 是BC 的中点，连接AD ，DE ，用等式表示线段AD 与DE 之间的数量关系，并证明．28．对于C 和C 内一点P （P 与C 不重合）给出如下定义：过点P 可以作出无数条C 的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有k 条，则称点P 为C 的k 属相关点，k 为点P 关于C 的相关系数．在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为3．(1)若点M 的坐标为()2,0，则经过点M 的O 的所有弦中，最短的弦长为_______，点M 关于O 的相关系数为_______；(2)若点()3,4Q ，点N 为O 的4属相关点，求线段NQ 长的取值范围；(3)点T 是x 轴正半轴上一点，T e 的半径为2，点R ，S 分别在O 与T e 上，点R 关于T e 的相关系数记为r ，点S 关于O 的相关系数记为s ．当点T 在x 轴正半轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，且r s <．直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．。

【最新资料】北京市人大附中2016届高三高考适应性练习(三模)(理数)(1)

中国人民大学附属中学高三模拟考试数学试题（理科）2012．5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}2|4A x x =∈<N ，{}2|230B x x x =∈--<R ，则A B =（）、A ．{}101-，，B ．{}01，C ．{}|12x x -<<D ．{}|23x x -<<2.已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3.一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A ．4B ．8C ．43D ．834.已知向量a b ，满足1a b a b ==+=，则向量a b ，夹角的余弦值为（） A ．12 B ．12- C ．32 D ．32-5.已知数列{}n a 是等差数列，38a =，44a =，则前n 项和n S 中最大的是（）A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ．6S6.已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（）A ．5B ．52C ．5或3D ．5或527.已知x y ，满足()2221x y x y y a x ⎧-⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，且z x y =+能取到最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．1a <-B ．2a ≥C ．12a -<≤D ．1a <-或2a ≥ 8.已知函数：①()12f x x =，②()πsin2x f x =，③()1ln 12f x x =+．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（）命题():1p f x +是偶函数；命题():1q f x +在()01，上是增函数；命题():r f x 恒过定点()11，；命题11:22s f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．A ．命题p 、qB ．命题q 、rC ．命题r 、sD ．命题s 、p第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中横线上． 9. 51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为．10.已知直线():12l y k x =++，圆2cos 1:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，则圆心C 的坐标是；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是．11.如图，已知PAB 是O ⊙的割线，点C 是PB 的中点，且PA AC =，PT 是O ⊙的切线，TC 交O ⊙于点D ，8TC =，7CD =，则PT 的长为．12.如图所示程序图运行的结果是．13.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成30︒角．轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东15︒方向．则此时轮船到灯塔B 的距离CB 为米．14.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对0x ∀≥，总存在正常数T ，使得()T f x +()T f x =+成立，则称()f x 满足“性质P ”．已知函数()g x 满足“性质P”，且()g x 在[]0T ，上的解析式为()2g x x =，则常数T = ；若当[]3T 3T x ∈-，时，函数()y g x k x =-恰有9个零点，则k = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin cos 23sin 3444x x xf x =-+．⑴ 求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 取值集合；⑵ 令π1035f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()0πα∈，，求tan 2α的值．16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且602DAB AB ∠=︒=，，E 为AD 的中点．⑴ 求证：AD PB ⊥；⑵ 求二面角A PD C --的余弦值；⑶ 在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17.（本小题满分13分）如图，某工厂2011年生产的A B C D ，，，四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会．⑴ 问A B C D ，，，型号的产品各抽取了多少件？ ⑵ 从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号的产品的概率；⑶ 在50件样品中，从A C ，两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．18.（本小题满分13分）已知函数()()2121ln 12f x mx x x =-+++．⑴ 当32m =-时，求函数()f x 的极值点；⑵ 当1m ≤时，曲线():C y f x =在点()01P ，处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m的范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>经过点312M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且其右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合．⑴ 求椭圆1C 的方程；⑵ 直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A B ，两点，与抛物线2C 相交于C D ，两点．求AB CD的最大值．20.（本小题满分13分）已知集合{}12320112012S =，，，，，，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中任意两个不同的元素()x y x y >，，若x y -都不能整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集”．⑴ 分别判断数集{}2468P =，，，与{}147Q =，，是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；⑵ 求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值；⑶ 设123m A A A A ，，，，是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为()12i k i m =，，，，求证：()1!2012!2012!mi i i k k =⋅-∑≤中国人民大学附属中学高三模拟考试数学参考答案（理科）一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B A A B B AC C二、填空题题号9 10 11 12 13 14答案 5- ()1,0；(],0-∞471050021；264-三、解答题15、（I ）()f x 的最大值为2，相应的x 取值集合为π|4π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（II ）24tan 27α=-．16、（I ）略；（II ）二面角A PD C --的余弦值为55-；（III ）在棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ．17、（I ）A 型号的产品10件，B 型号的产品20件，C 型号的产品5件，D 型号的产品15件；（II ）这两件产品恰好是不同类型的产品的概率为57；（III ）随机变量X 的分布列为X0 1 2 3 P291 2091 4591 2491数学期望()2E X =．18、（I ）()f x 的极大值点为13x =-；（II ）m 的取值范围为(]{},01-∞．19、（I ）椭圆的方程为22143x y +=；（II ）AB CD 的最大值为34．20、（I ）P 不是S 的“好子集”；Q 是S 的“好子集”；（II ）A 的最大值为671；（III ）略．提示：（II ）考虑1,2a b -≠，作S 的模3同余类，可构造{}1,4,7,,2011A =即可．（III ）12,,,m A A A 是S 的“好子集”的条件多余，可直接改为“子集”；考虑2012个数的全排列即可．以下是附加文档，不需要的朋友下载后删除，谢谢顶岗实习总结专题13篇第一篇:顶岗实习总结为了进一步巩固理论知识，将理论与实践有机地结合起来，按照学校的计划要求，本人进行了为期个月的顶岗实习。

北京中央民族大学附属中学高三数学12月月考试题理新人教A版

中央民族大学附属中学2014届高三年级12月月考数学试题（理科）2013.12.7一．选择题（每小题5分，共40分）1．设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．2iB ．2C ．1-D ．i -2．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则（） A ．4=a B ．5=aC ．6=aD ．7=a3．若方程21x --x -a=0有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ( )（A ）(-2，2) （B ）22]（C ）[-12) （D ） [12)4．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为（）(A) -3 (B) 1 (C) 2 (D) 35．已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）（A ）1 （B 3（C ）2 （D ）3 6．在圆22260x y x y +--=内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 A ．25B ．210C ．152D ．2207．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）（A ）,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒ （B ）//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒开始S =1，k =1k >a ? S =S +1k (k +1) k =k+1输出S结束是否（第2题图）（C ）,//m m n n αα⊥⊥⇒ （D ）//,m n n m αα⊥⇒⊥8．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •u u u v u u u v的最小值为（）(A) 3-+(B)3-(C) 4-+ (D)4-二．填空题（每小题5分，共30分） 9．若函数()f x ax b =-的零点是1，则2()g x bx ax =-的零点是 .10．例6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为______11．直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .12．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2，若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f(x+t) ≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围为__13．在直角坐标系xOy 中，M 是曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)上任意一点，N 是曲线2C ：1cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上任意一点，则MN 的最小值为 .14．已知关于x 的方程x 3+ax 2+bx+c=0有三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率（抛物线的离心率为1），则1a 1+-b 的取值范围为三．解答题（共80分）15．（本小题共13分）已知函数2()22sin f x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（II ）求函数()f x 的零点的集合。

2016,10,7人大附中高三(理科)数学试题

中国人民大学附属中学 2017 届高三 10 月考试
数学(理)试题
2016.10.7 命题：候立伟吴中才审题：梁丽平说明：本试卷共三道大题 20 道小题，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟；考生务必按要求将答案答在答题纸上．在试卷上作答无效．一、选择题（本大题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在 “答题纸 ”第 1-8 题的相应位置上．） 1．已知集合 A {x | x 2 x 0} ， B {x | x ≥1} ，则 A
17．（本小题 13 分）已知函数 f ( x) A sin( x ) ( 其中 x R ， A 0 ， 0 ，象如图所示．（Ⅰ）求函数 f ( x) 的解析式；（Ⅱ）若 x[0, 4] ，求函数 f ( x) 的值域．
2 1 y 1 O 1 1 2 3 4 5 6 x
A B ，且 A C ，则 a
a 10( x 6)2 ，其中 3 x 6 ，a 为常数，已知销售价格为 5 x 3
14．若定义域为 D 的函数 f ( x) 满足：对于常数 t ，使得 f ( x0 t ) f ( x0 ) f (t ) 成 x0 D ，立，则称 f ( x) 为 D 上的 t 级分裂函数．研究下列问题：（Ⅰ）已知两个函数：① f ( x) 2 x ，② g ( x) 其中是 1 级分裂函数的是（Ⅱ）若函数 ( x)
）二、填空题（本大题共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分．请将每道题的最简答案填写在 “答题纸 ”第 9-14 题的相应位置上．） 9．若点 (2, ） 10．计算：

2015-2016北京海淀人大附高三上12月月考【理】数学试卷

2015-2016学年北京人大附中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“答题纸”第1-8题的相应位置上．） 1．（5分）定积分121d x x -=⎰（）．A ．0B ．23C ．1D ．2【答案】B【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：定积分12311112d (11)1333x x x-==+=-⎰，故选B ．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．2．（5分）已知全集U =R ，集合{}|M y y x =∈R ，{}11,|2x N x x -=∈R ≥，则()U M N ð等于（）．A ．[]2,2-B ．[2,1)-C ．[1,4]D ．[0,1)【答案】D【分析】求出M 中的值域确定集合M ，根据不等式的解集定出N ，根据全集U =R 求出N 的补集，找出N 补集与M 的交集即可．【解答】解：∵集合{}[0,2|]M y y x =∈=R ，∵10212x -==≥， ∴1x ≥，∴,)[1N =+∞， ∴(,1)N =-∞R ð， ∴()0,1)[U M N = ð．故选D ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（5分）抛物线2 2x y =-的准线方程是（）．A ．12y =B ．18y =C ．14x =D ．18x =【答案】D【分析】由于抛物线22(0)y px p =->的准线方程为2p x =，则抛物线22x y =-即212y x =-的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线22(0)y px p =->的准线方程为2px =，则抛物线22x y =-即212y x =-的准线方程为18x =，故选D ．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题． 4．（5分）已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，2221122)(n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（）．A ．16B ．8C ．D ．4【答案】D【分析】由题设知222211n n n n a a a a +-=--，且数列{}2n a 为等差数列，首项为1，公差22213d a a =-=，故213(1)32n a n n =+-=-，由此能求出6a ．【解答】解：∵正项数列{}n a 中，11a =，22a =，2221122)(n n n a a a n +-=+≥， ∴222211n n n n a a a a +--=-，∴数列{}2n a 为等差数列，首项为1，公差22213d a a =-=，∴213(1)32na n n =+-=-， ∴2636216a =⨯-=， ∴64a =．故选D ．【点评】本题考查数列的递推式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意等差数列的性质和应用．5．（5分）若将函数π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（）．A ．π8B ．π4C ．3π8D ．π2【答案】C【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为πsin 224y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据所得图象关于y 轴对称可得ππ2π42k ϕ-=+，k ∈Z ，由此求得ϕ的最小正值．【解答】解：将函数π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象对应的函数解析式为ππsin 2()sin 2244y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭关于y 轴对称，则ππ2π42k ϕ-=+，k ∈Z ，即ππ28k ϕ=--，故ϕ的最小正值为3π8，故选C ．【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．6．（5分）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，31()(1)e e x f x x +=+-．那么函数()f x 的极值点的个数是（）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】求导数确定函数的单调性，即可得出函数()f x 的极值点的个数．【解答】解：当0x <时，31()(1)e e x f x x +=+-， ∴21()(4)(1)e x f x x x +'=++，∴4x <-时，()0f x '<，40x -<≤时，()0f x '>， ∴4x =-是函数的极值点，∵()f x 是定义域为R 的奇函数， ∴4x =是函数的极值点，故选A ．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值点，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的单调性是关键． 7．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选A ．【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．（5分）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点（含顶点），则满足11PA PC ⋅=-u u u r u u u u r的点P 的个数为（）．A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，则点(2,0,0)A ，10,(2,2)C ，考虑P 在上底面的棱上，设点P 的坐标为(,,2)x y ，则由题意可得02x ≤≤，02y ≤≤，计算2222122(1)(1)21PA PC x x y y x y ⋅=-+-=-+--=-u u u r u u u u r，即可得出结论．【解答】解：如图所示：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．则点(2,0,0)A ，10,(2,2)C ，考虑P 在上底面的棱上，设点P 的坐标为(,,2)x y ，则由题意可得02x ≤≤，02y ≤≤．∴(2,,2)PA x y =--- ，1(,2,0)PC x y =--， ∴22221(2)(2)022(1)(1)21PA PC x x y y x x y y x y ⋅=----+=+=-+----=-，∵点P 是棱上一点（含顶点），∴22(1)(1)1x y -+-=与正方形1111A B C D 切于4个点，同理P 在右侧面的棱上，也有4个点，下底面中(2,1,0)P ，1(0,1,0)(2,1,2)1PA PC ⋅=-⋅-=-，(0,1,0)P ，1(2,1,0)(0,1,2)1PA PC ⋅=-⋅=-u u u r u u u u r ，内侧面，(0,0,1)P ，1(2,0,1)(0,2,1)1PA PC ⋅=-⋅=-u u u r u u u u r ，(0,2,1)P ，1(2,2,1)(0,0,1)1PA PC ⋅=--⋅=-u u u r u u u u r，∴满足11PA PC ⋅=-u u u r u u u u r的点P 的个数为12．故选C ．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将填空题的答案写在答题纸上相应位置．） 9．（5分）函数12y x x=+的值域为__________．【答案】(,)-+U ∞∞【分析】根据基本不等式的性质通过讨论x 的范围求出函数的值域即可．【解答】解：0x >时，12y x x =+=≥x =“=”成立， 0x <时，12y x x =+-≤x =时“=”成立，故函数的值域是：(,)-+U ∞∞，故答案为：(,)-+U ∞∞．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查对勾函数的性质，是一道基础题．10．（5分）已知点(,)P x y 的坐标满足4160404x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤，O 为坐标原点，记||PO 的最大值为m ，最小值为n ，则双曲线22221x y m n-=的离心率为__________．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合求出m ，n 的值，再由隐含条件求出双曲线的半焦距，代入离心率公式得答案．【解答】解：由约束条件4160404x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤作出可行域如图，联立44160x x y =⎧⎨+-=⎩，解得(4,3)A ，由图可知，||PO 的最大值为5m =，最小值为n = 双曲线22221x y m n -=的实半轴长5m =，半焦距c∴双曲线22221x y m n-=．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了双曲线的简单性质，是中档题． 11．（5分）设正数a ，b 满足23log log a b =，给出下列五个结论，其中不可能成立的结论的序号是__________．①1a b <<；②01b a <<<；③a b =；④1b a <<；⑤01a b <<<．【答案】④⑤【分析】在同一坐标系中做出2log y x =和3log y x =两个函数的图象，结合图象求解即可．【解答】解：实数a ，b 满足等式23log log a b =，即2l o g y x =在x a =处的函数值和3log y x =在x b =处的函数值相等，当1a b ==时，23log log 0a b ==，此时③成立做出直线1y =，由图象知，此时23log log 1a b ==，可得2a =，3b =，由此知①成立，④不成立作出直线1y =-，由图象知，此时23log log 1a b ==-，可得12a =，13b =，由此知②成立，⑤不成立综上知不可能成立的结论的序号是④⑤．故答案为：④⑤．y 16=0【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，取特殊值法是常用的方法，属于基础题． 12．（5分）已知两点(1,0)A ，(,0)B b ，若抛物线24y x =上存在点C ，使得ABC △为正三角形，则b =__________．【答案】5或13-【分析】过点C 做x 轴垂线，垂足为D ，根据正三角形性质可知D 为A ，B 的中点，坐标为1,02b +⎛⎫⎪⎝⎭求得DC 的长，从而得到C 点的坐标代入抛物线方程即可求得b ．【解答】解：过点C 做x 轴垂线，垂足为D ，根据正三角形性质可知D 为A ，B 的中点，坐标为1,02b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，|1|2b DC -， ∴C点坐标为1,2b +⎛ ⎝代入抛物线方程得 21214324b b b +-+⨯=⨯，整理得231450b b --=，求得5b =或13-．故答案为5或13-．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是充分利用正三角形的性质，求出C 点的坐标． 13．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为__________．log 2x【答案】15【分析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，利用体积公式求值．【解答】解：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15．故答案为：15．【点评】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答．14．（5分）记11210011n n n n n mn n a a a a a a a m a m a m ----=+⨯++⨯+⨯ ，其中n m ≤，m 、n 均为正整数，{}0,1,2,,10,1,2,,)(k a m k n ∈-= 且0n a ≠；（1）计算72016=__________．（2）设集合{}1210(,)|n n n mA m n x x a a a a a --== ，则(,)A m n 中所有元素之和为__________．【答案】【分析】（1）37201661727699=+⨯+⨯=；（2）分别求出含有1a 、、1n a -，n a 的项共有1(1)n m m m -⋅-项及和，即可得出结论．【解答】解：（1）37201661727699=+⨯+⨯=；（2）由题意，0a 、1a 、、1n a -，各有m 种取法，n a 有1m -中取法． 00a =，1，2，1m - 时，1a 、、1n a -，各有m 种取法，n a 有1m -中取法，所以含有0a 的项共有1(1)n m m --项，和为11((1)(0121)1)(1)2n n m m m m m m m ---++++--=- ，同理10a =，1，2，1m - 时，0a 、2a 、L 、1n a -，各有m 种取法，n a 有1m -中取法，俯视图正视图侧视图C 1D 1B 1A 1CBAD所以含有1a 的项共有1(1)n m m m -⋅-项，和为11(1)(0121)1)1)2((n n m m m m m m m m ---++++--=⋅- ，，1n a =，2，1m -L 时，0a 、1a 、L 、1n a -，各有m 种取法，所以含有n a 的项共有n n m m ⋅项，和为(1)(121)2n nn nm m m m m m m -+++-=⋅⋅⋅ ，所以所有元素之和为111(1)(1)(1)()1)(122)2(n n n n n nn n m m m m m m m m m m m m m m ++---+---++++=．故答案为：699；11(1)()2n n n n m m m m +++--．【点评】本题考查新定义，考查数列的求和公式，考查学生分析解决问题的能力，难度大．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的大小．（Ⅱ）已知2a =，设函数2()cos cos 222x x x f x =+，当x B =时，()f x 取最大值，求ABC △的面积．【答案】见解析．【分析】（I ）利用余弦定理即可得出；（II ）利用倍角公式、和差公式可得：π1()sin 62f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的单调性与值域可得B ，进而得出三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）在ABC △中， ∵222b c a bc +-=，由余弦定理222 2cos a b c bc A =+-可得1cos 2A =． ∵0πA <<， ∴π3A =．（Ⅱ）211π1()cos cos cos sin 2222262x x x f x x x x ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭，当x B =时，π1()sin 62f B B ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵π3A =， ∴2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ5π666B <+<， ∴当ππ62B +=时，即π3B =时，()f B 有最大值是32．又∵π3A =，∴π3C =． ∴ABC △为等边三角形．∴21πsin 23S a =【点评】本题考查了余弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性与值域、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 16．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()(010)35kC x x x =+≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．【答案】见解析．【分析】（I ）由建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()(010)35kC x x x =+≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得(0)8C =，得40k =，进而得到40()35C x x =+．建造费用为1)(6C x x =，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为()f x ，我们不难得到()f x 的表达式．（II ）由（1）中所求的()f x 的表达式，我们利用导数法，求出函数()f x 的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用()f x 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35kC x x =+．再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+．而建造费用为1)(6C x x =，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+++≤≤．（Ⅱ）22400()6(35)f x x '=-+，令()0f x '=，即224006(35)x =+．解得5x =，253x =-（舍去）．当05x <<时，()0f x '<，当510x <<时，()0f x '>，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．17．（14分）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =．D 、E 分别是AC 、AB 上的点，且DE BC ∥，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面1A DC ．（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值．（Ⅲ）当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．【答案】见解析．【分析】（I ）由Rt ABC △中，90C ∠=︒且DE BC ∥，证出1A D DE ⊥．结合1A D CD ⊥，可得1A D ⊥面BCDE ，从而得到1A D BC ⊥．最后根据线面垂直判定定理，结合BC CD ⊥可证出BC ⊥面1A DC ．（II ）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系如图所示．可得D 、E 、B 、1A 各点的坐标，从而算出CB u u u r 、1CA u u ur 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出(2,0,1)n =-r为平面1A BC 的一个法向量．根据空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的性质，即可算出BE 与平面1A BC 所成角的正弦值．（III ）设(,0,0)D x ，可得1,0)(,6A x x -，由此得到1AB 得当D 为AC 中点时1A B的长度最小，并且这个最小值为【解答】解：（Ⅰ）∵在ABC △中，90C ∠=︒，DE BC ∥， ∴AD DE ⊥，可得1A D DE ⊥．又∵1A D CD ⊥，CD DE D =I ， ∴1A D ⊥面BCDE ． ∵BC ⊂面BCDE ， ∴1A D BC ⊥．∵BC CD ⊥，CD BC C =I ， ∴BC ⊥面1A DC ．（Ⅱ）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．可得(2,0,0)D ，(2,2,0)E ，(0,3,0)B ，12,(0,4)A ．设(,,)n x y z =r为平面1A BC 的一个法向量， ∵(0,3,0)CB =u u u r ，1(2,0,4)CA =u u u r， ∴30240y x z =⎧⎨+=⎩，图1E CBAD图2A 1ECD令2x =，得0y =，1z =-．所以(2,0,1)n =-r 为平面1A BC 的一个法向量．设BE 与平面1A BC 所成角为θ，则4sin |cos |5BD n θ=⋅=u u u r r ．所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为45．（Ⅲ）设(,0,0)D x ，则1,0)(,6A x x -，∴1AB 根据二次函数的图象与性质，可得当3x =时，1A B的最小值是D 为AC 的中点，即D 为AC 中点时，1A B的长度最小，最小值为【点评】本题在四棱锥中求证线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值并探索线段长度的最小值．着重考查了线面垂直的判定与性质、利用空间向量研究直线与平面所成角和二次函数的性质等知识，属于中档题．18．（13分）已知函数e ()e 1xx f x =-，(0)x >．（1）求函数()y f x =的图象在点(ln 2,(ln 2))f 处的切线方程．（2）函数()1k g x x =+，*()0,x k >∈N ，若()()f x g x >在定义域内恒成立，求k 的最大值．【答案】见解析．【分析】（1）利用导数求在该点的斜率(ln2)2k f '==-，利用点斜式求出方程；（2）不等式可转化为e (1)e 1x x x k +<-，构造函数利用导函数，设e (1)()e 1x x x g x +=-，2e (e 2)()(e 1)x x x x g x --'=-，二次求导令()e 2x h x x =--，()e 10x h x '=-＞，得出函数的最小值．【解答】解：（1）e ()e 1xx f x =-， ∴(ln 2)2f =，2e ()(e 1)xx f x -'=-， (ln2)2k f '==-，∴切线方程为22ln 22y x =-++．（2）()()f x g x >在定义域内恒成立， ∴e e 11x x k x >-+， ∴e (1)e 1x x x k +<-，设e (1)()e 1x x x g x +=-，2e (e 2)()(e 1)x x x x g x --'=-，令()e 2x h x x =--，()e 10x h x '=->，()h x 在(0,)+∞递增，∵(1)e 30h =-<，2(2)e 40h =->，∴存在0(1,2)x ∈，0)(0h x =，即0(0)g x '=，∵当0)(0,x x ∈，()0g x '<，()g x 递减，当0(),x x ∈+∞，()0g x '>，()g x 递增，∴00)()(2(3,4)g x g x x =+∈≥，∴k 的最大值为3．【点评】利用导数求切线方程是基础题型，难点是构造函数，利用二次求导，设出临界值，最后得出函数的最小值．19．（14分）已知椭圆的长轴长为6，离心率为13，2F 为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）点M 在圆228x y +=上，且M 在第一象限，过M 作圆228x y +=的切线交椭圆于P ，Q 两点，判断2PF Q △的周长是否为定值并说明理由．【答案】见解析．【分析】（Ⅰ）由题意可知：26a =，13c e a ==，求得a 和c 的值，由222b a c =-，求得b ，写出椭圆方程；（Ⅱ）设11)(,P x y ，22)(,Q x y ，分别求出2||F P ，2||F Q ，结合相切的条件可得222||||||PM OP OM =-，可得21111||||3333PF PM x x +=-+=，同理2||||3QF QM +=，即可证明；【解答】解：（I ）根据已知，设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∴26a =，3a =，13c e a ==，1c =； 2228b a c =-=， 22198x y +=．（II ）2PF Q △的周长是定值，设11)(,P x y ，22)(,Q x y ，则2211198x y +=，2||PF ∵103x <<， ∴12||33x PF =-，在圆中，M 是切点，∴11||3PM x ， ∴21111||||3333PF PM x x +=-+=，同理2||||3QF QM +=，∴22||||||336F P F Q PQ ++=+=，因此2PF Q △的周长是定值6．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）设有穷数列{}1,2,3,4,,;2,3,4(,,)m a m n n ==L L 满足以下两个条件：①10n i i a ==∑；②1||1ni i a ==∑；称{}m a 为n 阶“单位数列”．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“单位数列”．（Ⅱ）若某*2)1(k k +∈N 阶“单位数列”是等差数列，求该数列的通项公式．（Ⅲ）记n 阶“单位数列”的前k 项和为1,2,3,(,)k S k n =L ．求证：（1）1||2k S ≤．（2）11122ni i a i n =-∑≤．【答案】见解析．【分析】（Ⅰ）结合已知新定义即可写出符合条件的数列；（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d ，由题意可得，12320130a a a a ++++=L ，结合等差数列的求和公式可求120130a a +=，从而可求得10070a =，进而可得1008a d =，分0d >及0d <两种情况可求通项公式；（Ⅲ）（1）判断k n =时，1||2k S ≤，然后证明k n <时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可；（2）通过数列求和，以及绝对值三角不等式和放缩法，利用裂项法求和，即可证明11122n i i a i n=-∑≤．【解答】解：（Ⅰ）数列12-，0，12为三阶单位数列，数列38-，18-，18，38为四阶单位数列，（Ⅱ）设等差数列1a ，2a ，3a ，L ，21(1)k a k +≥的公差为d ，∵123210k a a a a +++++=L ， ∴12(21)(21)02k k d k a +++=， ∴10a kd +=，即10k a +=，∴2k a d +=，当0d =时，与单位数列的条件①②矛盾，当0d >时，据单位数列的条件①②得：232112k k k a a a ++++++=L ， ∴(1)122k k kd d -+=，即1(1)d k k =+，由10k a +=得110(1)a k k k +⋅=+，即111a k =-+， ∴*111(1)(,21)1(1)(1)n n a n n n k k k k k k k=-+-=-∈++++N ≤．当0d <时，同理可得(1)122k k kd d -+=-，即1(1)d k k =-+，由10k a +=，得110(1)a k k k -⋅=+，即111a k =+， ∴*111(1)(,21)1(1)(1)n n a n n n n k k k k k k=--=-+∈++++N ≤．（Ⅲ）证明：（1）当k n =时，显然1||02n S =≤成立；当k n <时，据条件①得1212()k k k k n S a a a a a a ++=+++=-+++L L ，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=+++=+++L L ，∴121212122||||||||||||||||1||k k k k n k k k n S a a a a a a a a a a a a ++++=++++++++++++++=L L L L ≤， ∴1||(1,2,3,,)2k S k n =L ≤．（2）31124112341ni n n i a a a a a a a i n n -==++++++-∑L ， 32431212112341n n n n S S S S S S S S S S S n n --------=++++++-L ， 311242233445(1)n n S S S S S S n n n-=++++++⨯⨯⨯-L ，311242233445(1)n S S S S S n n-+++++⨯⨯⨯-L ≤， 11111122233445(1)n n ⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯-⎝⎭L ≤， 1111111111222334451n n ⎛⎫=+-+-+-++- ⎪-⎝⎭L ， 1122n=-．【点评】本题考查新数列新定义的应用，数列求和的方法，放缩法以及绝对值三角不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度较大，考查计算能力，属于难题．。

北大附中高16届综合试卷文理含答案2016.2.29

高16届高三数学综合试题（考试时间：120分钟）姓名________1．（1＋i ）3（1－i ）2＝A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i答案 D2．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x解析原命题的否定为“∃x ∈R ，x 2＝x ”．答案 D3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 P A →，则A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案 A 4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解析由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝45，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45. 答案 D6．理科双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于A ．2B ．2 2C ．4D ．42答案 C文科数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于A ．(3n －1)2B.12(9n －1) C ．9n －1D.14(3n －1)答案 B7．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是 A.π2 B.π4C.π6D.π8答案 B8．理科在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有) A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种答案 B文科某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为 A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B9．理科若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝ A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B文科函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是答案 B10．(2015·温州十校月考)已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则A ．f (1)<e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0) 答案 D 二、填空题11．理科 (1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为___2_____．文科课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_____2___．12．已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是___x+y-1=0_____．13．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝ 14．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是___(0, 12)_____．15.坐标平面上有两个定点A ，B 和动点P ，如果直线P A ，PB 的斜率之积为定值m ，则点P 的轨迹可能是下列哪些图形的一部分：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．试将正确的序号填在横线上：__①②④⑤________．三、解答题16．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2)．故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *)． (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）.17．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714， sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．解 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得 cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD .故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2772＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114. 于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，BC sin α＝ACsin ∠CBA. 故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA ＝7×32216＝3.18．理科如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2. (1)证明：DE ⊥平面ACD ； (2)求二面角B －AD －E 的大小．(1)证明在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，DC ∩AC ＝C ，从而DE ⊥平面ACD .(2)解以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x 轴，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0，0，0)，E (1，0，0)，C (0，2，0)，A (0，2，2)，B (1，1，0)．设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，可算得AD →＝(0，－2，－2)，AE →＝(1，－2，－2)，DB →＝(1，1，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0，可取m ＝(0，1，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0，可取n ＝(1，－1，2)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33·2＝32，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B －AD －E 的大小是π6.文科一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 的中点)．(1) 求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A －CDEF 的体积．19．理科某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝25，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －都相互独立．解由三视图可知：AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝π2.(1)证明取BF 的中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别为AF ，BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥AB ∥EF ，且NG ∩MG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ， ∴MN ∥平面CDEF .(2)取DE 的中点H .∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE ，在直三棱柱ADE －BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ∩平面CDEF ＝DE ，AH ⊂平面ADE ， ∴AH ⊥平面CDEF .∴多面体A －CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH ＝ 2.S 矩形CDEF ＝DE ·EF ＝42，∴棱锥A －CDEF 的体积为V ＝13·S 矩形CDEF ·AH ＝13×42×2＝83.(1)记H ＝“至少有一种新产品研发成功”，则H －＝E －F －，于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13 ×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (EF －)＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615.故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615 ＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.文科在一次“知识竞赛”活动中，有A 1，A 2，B ，C 四道题，其中A 1，A 2为难度相同的容易题，B 为中档题，C 为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； (2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．解由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：(A 1，A 1)，(A 1，A 2)，(A 1，B )，(A 1，C )，(A 2，A 1)，(A 2，A 2)，(A 2，B )，(A 2，C )，(B ，A 1)，(B ，A 2)，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A 1)，(C ，A 2)，(C ，B )，(C ，C )．(1)用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：(A 1，A 1)，(A 1，A 2)，(A 2，A 1)，(A 2，A 2)，(B ，B )，(C ，C )，共6个，所以P (M )＝616＝38.(2)用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N 包含的基本事件有：(B ，A 1)，(B ，A 2)，(C ，A 1)，(C ，A 2)，(C ，B )，共5个，所以P (N )＝516.20．已知点C (1，0)，点A ，B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)连接CP ，OP ，由·＝0，知AC ⊥BC ， ∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简，得x 2－x ＋y 2＝4.(2)存在，根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1，0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1.∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4得x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2. 故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).21．理科已知函数f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a ，g (x )＝e xe x ，(1)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求实数a 的最小值； (2)若对任意给定的x 0∈(0，e]，在(0，e]上方程f (x )＝g (x 0)总存在两个不等的实根，求实数a 的取值范围．解 f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，(1)令m (x )＝(2－a )(x －1)，x ＞0；h (x )＝2ln x ，x ＞0，则f (x )＝m (x )－h (x )， ①当a ＜2时，m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即(2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1≥2ln 12，∴a ≥2－4ln 2，∴2－4ln 2≤a ＜2，②当a ≥2时，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上m (x )≥0，h (x )＜0， ∴f (x )＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点．由①②得a ≥2－4ln 2， ∴a min ＝2－4ln 2.(2)g ′(x )＝e 1－x －x e 1－x ＝(1－x )e 1－x ，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当x ∈(1，e]时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，又g (0)＝0，g (1)＝1，g (e)＝e 2－e ＞0， ∴函数g (x )在(0，e]上的值域为(0，1]．方程f (x )＝g (x 0)等价于(2－a )(x －1)－g (x 0)＝2ln x ，令p (x )＝(2－a )(x －1)－g (x 0)，则p (x )过定点(1，－g (x 0))，且－1≤－g (x 0)＜0，令t (x )＝2ln x ，由p (x )，t (x )的图象可知，要使方程f (x )＝g (x 0)在(0，e]上总存在两个不相等的实根，需使⎩⎨⎧a ＜2，p （e ）≥t （e ）在(0，e]上恒成立，即(2－a )(e －1)－g (x 0)≥2ln e ＝2， ∴a ≤2－2＋g （x 0）e －1，北大附中高三备课组刘永芳11 / 11∵0＜g (x 0)≤1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2＋g （x 0）e －1min ＝2－3e －1， ∴a ≤2－3e －1. 综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2－3e －1.文科设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增．(2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，x 2＜1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值.。