《指数函数、对数函数的综合应用》指数函数、对数函数与幂函数优质课件PPT

高一数学对数函数课件

计算机科学
在计算机科学中，对数函数常被用于数据结构和算法设计，如二叉查找树、哈希表等。
04
对数函数与其他函数的关系
与指数函数的关系
指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。
对数函数和指数函数在解决实际问题中经常一起出现，例如在计算复利、解决声音强度问题等。
对数函数的定义是基于指数函数的，即如果a的x次方等于N（a>0，a不等于1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logₐN。
05
对数函数的综合题解析
综合题类型与解题思路
类型一：换底公式应用
换底公式是解决对数函数问题的重要工具，能够将不同底数的对数转化为同底数的对数，便于比较和计算。
换底公式为log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，其中c是任意正实数且c ≠ 1 ，a > 0，b > 0。在解题时，首先观察题目中给出的对数是否可以直接使用换底公式进行转换。
02
对数函数的运算
运算规则
01
02
03
乘法法则
log(a * b) = log(a) + log(b)
除法法则
log(a / b) = log(a) - log(b)
指数法则
log(a^n) = n * log(a)
04
换底公式

指数、对数、幂函数学习课件

2
x 2 2 ) ( x1 x 2 ) (
2
x1 2
2
x2 2 )
2
( x1 x 2 )
( x 1 x 2 )( x 1 x 2 ) x1 2
2
2
x2 2
2
2
( x 1 x 2 )[ 1
( x1 x 2 ) x1 2
3 )上单调递减。
(1
a 2
2
1
3 3) a 0
3 ) a (1
解得2(1
3 ) a 2, 故所求a的取值范围[2 - 2 3 ,2)。
《基于网络环境下的高中数学基本函数图像与性质（动态动画）教学资源库建设与应用的研究》
10
8 .证明：函数
令 u 2 ax , 则 y log
a
u
由于 a 0 , 因此 u 2 ax 为定义域上的减函数， y log a u 在定义域上为增函数， a 1 又函数在 [ 0 ,1 ] 上有意义， 2 函数的定义域为 ( , ), 函数在 [ 0 ,1 ] 上有意义， a 2 2 [ 0 ,1 ] ( , ), 1 ,即 a 2 . a a
2
]
2
x2 2
( x1 x 2 )
(
x1 2 x1 ) ( x1 2

高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数51几种函数增长快慢的比较课件必修第一册

C.y=log2 021x D.y=2 021 x
(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5
10
15
20
25
y1 2 26
101
226
401
626
y2 2 32
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107
y3 2 10
20
30
40
50
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322
图象的变化
增长速度不变
渐变“陡”
趋于稳定
形象描述
指数爆炸
对数增长
直线上升
y=ax(a>1)的增长速度最终会大大超过y=kx(k>0)的增长
增长速度
速度;总存在一个x0,当x>x0时,恒有logax<kx
增长结果
存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax
名师点析 1.对数函数y=logbx(b>1)在区间(0,+∞)上,随着x的增长,增长得越
的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xc.
3.当幂指数大于1时,不论一次函数的一次项系数和常数项多么大,只要自
变量足够大,幂函数的增长就比一次函数快得多.类似地,一次函数

高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对

2.2.3 对数函数的图象和性质

第1课时反函数及对数函数的图象和性质

[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．

[知识]

1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．

2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象与性质.

a＞10＜a＜1 图象

定义域R

值域(0，＋∞)

性质

过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1

函数值的变化

当x＞0时，y＞1；

当x＜0时，0＜y＜1

当x＞0时，0＜y＜1；

当x＜0时，y＞1 单调性是R上的增函数是R上的减函数

[预习导引]

1．对数函数的概念

把函数y＝log a x(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

2．对数函数的图象与性质

a＞10＜a＜1 图象

性质定义域(0，＋∞)值域R

过点过点(1,0)，即x＝1时，y＝0

函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；

当x＞1时，y＞0

当0＜x＜1时，y＞0；

当x＞1时，y＜0

单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数

3.反函数

(1)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．

(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).

要点一对数函数的概念

例1 指出下列函数哪些是对数函数？

(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；

新教材人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数 2022新高考一轮复习课件

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义
4.有理数指数幂的运算性质
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).
(2)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q).
(3)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
5.指数函数
(1)定义:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,
数幂.
对点训练1
求值与化简:
2
3
3
2
ab
(1) 1 1
(a>0,b>0);
1
1
4 (a4 2 ) 3 3
3 -3
1
1
2 + 2 +2
-
(2)若 2 + 2 =3,求
2 +-2 +3
的值.
1 2 1
2
3 1
1
1 1
(3 3 3 ) 2
+ -1+ 1+ -22 6
形结合求解.
对点训练2
(1)函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x在同一平面直角坐标系内的
图象可能是( C )
当 a>1 时,函数 y=ax 为增函数;函数 y=(a-1)x2-2x 的图象开口向上,

高考复习-指、对、幂函数的综合应用

指、对、幂函数的综合应用

知识集结

知识元

指数与指数函数

知识讲解

1．函数的最值及其几何意义

【知识点的认识】

函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．

【解题方法点拨】

①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；

②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；

③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．

【命题方向】

本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．

2．指数函数的定义、解析式、定义域和值域

【知识点归纳】

指数函数的解析式、定义、定义域、值域

1、指数函数的定义：

一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．

2、指数函数的解析式：

y＝a x（a＞0，且a≠1）

3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．

②规定底数a大于零且不等于1的理由：

如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；

如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x ＝，x ＝在实数范围内函数值不存在．

人教B版高中数学必修第二册 4.3 指数函数与对数函数的关系【课件】

2
2
函数，y＝log1u 为减函数，所以 h(x)在(0，1)上为增函数，故 D 错误．故
2
选 BC.
二、填空题 6．已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1，3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2，0)，则f(x)的表达式为________．
答案 f(x)＝2x＋1
解析 ∵y＝f－1(x)的图像过点(2，0)，∴y＝f(x)的图像过点(0， 2)，∴2＝a0－k，∴k＝－1，∴f(x)＝ax＋1.又y＝f(x)的图像过点(1， 3)，∴3＝a1＋1，∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
[解题通法] 反函数的求法 (1)先确定原函数的值域，即反函数的定义域． (2)对调原函数解析式中的x和y，解出y. (3)写出反函数．
3．已知函数 y＝3x－2a 的反函数是 y＝bx＋23，则(
)
A．a＝－6，b＝13
B．a＝1，b＝13
C．a＝6，b＝－13
D．a＝23，b＝－13
y＋2a 解析 ∵函数 y＝3x－2a，∴x＝ 3 ，互换 x，y，得函数 y＝3x －2a 的反函数是 y＝13x＋23a，x∈R.∵函数 y＝3x－2a 的反函数是 y＝bx ＋23，∴b23＝ a＝13， 32，解得 a＝1，b＝13.故选 B.
[易错分析] 本题容易误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数．

新教材人教B版高中数学必修2精品教学课件：第四章指数函数、对数函数与幂函数(6课时)

常考题型
一指数函数的概念问题例1
A
判断一个函数是不是指数函数的方法（1）看形式：判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ ax（a>0，且a≠1）这一结构形式. （2）明特征：指数函数具有以下特征： ①底数a为大于0且不等于1的实数； ②指数位置是自变量x，且x的系数是1； ③ax的系数是1.
例8
1. 2.
（3）利用指数函数的单调性解指数不等式
知识梳理一、指数函数的概念
二、指数函数的性质与图像
指数函数y＝ax（a>0且a≠1）具有下列性质：（1）定义域是实数集R . （2）值域是（0，+∞），因此，对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方. （3）函数图像一定过点（0，1） . （4）当a>1时，y＝ax是增函数；当0<a<1时，y＝ax是减函数.
三利用乘法公式化简含指数幂的代数式
例3
-23
四含附加条件的求值问题
例4
条件求值解题技巧条件求值是代数式求值中的常见题型，解决条件求值问题的一般方法是整体代入法.一般先化简代数式，再将字母取值代入求值，但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构或联系，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.

指数函数、对数函数、幂函数经典课件(最新)

高中数学课件
2．根式化简与指数运算的误区：混淆“n an”与“(n a)n”；误用性质．
(1) 4 （a－b）4＝________；
1 (2)化简[(－2)6]2－(－1)0 的结果为________．
解析：(1)4 （a－b）4＝|a－b|＝ab－－ba（（aa≥ <bb））. ，
1
1
(2)[(－2)6]2－(－1)0＝(26)2－1＝8－1＝7.
338－π0；
(2)4b23a＋43－238aab13＋b a32÷(a－32－23a b)× 5
a×3 a2 .
a×3 a
【解】
高中数学课件
＝52－32－1＝0.
高中数学课件
【反思·升华】指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；(2)化负数指数幂为正数指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数．
高中数学课件
定义
图象
一般地，函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数
a>1
0<a<1
定义域值域
性质
________
在(0，＋∞)上是 ______
________ 过定点________
在(0，＋∞)上是______
高中数学课件
3.对数函数与指数函数的关系对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)与指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)互为反函数；它们的图象关于直线________对称． (三)幂函数幂函数的定义

2017_2018学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件

【解析】 y＝f(x)＝(1＋10.4%)x＝1.104x 是指数函数，定义域为 {0,1,2,3,4…}，由单调性，结合图像知选 D.
【答案】 D
4．设
a＝log
1
3，b＝310.2，c＝2
1 3
，则(
)
2百度文库
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
【解析】
∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log
【思路点拨】若逐一计算考证，则非常繁琐，故可先通过画图像筛选出较好的方案，再从理论上通过计算进行确认，达到事半功倍的效果．
A．y＝100x C．y＝x100
B．y＝log100x D．y＝100x
【解析】由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时，函数 y＝100x 的增长速度最快．
【答案】 D
3．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长 10.4%，那么，经过 x 年，绿色植被的面积可增长为原来的 y 倍，则函数 y＝f(x)的大致图像为( )
3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【课标要求】结合实例比较指数函数、幂函数、对数函数模型的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
|新知预习|
三种函数的增长对比对数函数 y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数 y＝xn(n>0)，指数函数 y ＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当 x 足够大时，一定有 ax>xa>logax.指数函数值增长非常快，这种现象被称为“指数爆炸”．

高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数2.2.2换底公式课件湘教版必修1

∴log123＝3a. 于是 log312＝3a，即 1＋2log32＝a3.
3－a 因此 log32＝ 2a .
而
log616＝4log62＝log426
＝4 1＋log23
＝1＋l4og132＝1＋342－aa＝433＋－aa.
43－a 故 log616＝ 3＋a .
规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底. 二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值. 三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形 logambn＝mn logab.
[预习导引] 1.对数的换底公式
换底公式： logaN ＝llooggccNa (a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0).
最常用的换底公式是
logaN＝llgg
Na 和
logaN＝llnn
N a.
2.换底公式的两个重要推论 (1)logambn＝mn logab. (2)logab＝log1ba.
第2章——来自百度文库
指数函数、对数函数
2.2 对数函数 2.2.2 换底公式
[学习目标] 1.能记住换底公式，并会证明换底公式. 2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题. 3.能综合利用对数的相关知识解决问题.

知识讲解_指数函数、对数函数、幂函数综合_提高

指数函数、对数函数、幂函数综合

【学习目标】

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．

6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a≠1）．【知识框图】

【要点梳理】

要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念

a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈

当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n a ；当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为n a

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．

n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．n 次方根的性质：

（1）当n n n a a =；当n ,0,

,0;

n n a a a a a a ≥⎧==⎨

-<⎩

（2）

n

a a =

3．分数指数幂的意义：

)0,,,1m n m

n

a a

a m n N n =>∈>；()10,,,1m n

m n

a

a m n N n a

-

=

>∈>

要点诠释：

0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质：

()0,0,,a b r s Q >>∈

（1）r s r s

高考数学第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系讲义

指数函数与对数函数的关系

课标解读

课标要求核心素养

1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互

为反函数,以及它们的图像间的对称关系.(重点)

2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.

3.利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简

单问题.(难点)

1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间

的关系的学习,培养直观想象的核心素养.

2.借助指数函数与对数函数综合应用的学习,提升

数学运算、逻辑推理的核心素养.

观察下面的变换:

y=a x x=log a y y=log a x.

问题1:指数函数y=a x的值域与对数函数y=log a x的定义域是否相同?

答案相同.

问题2:指数函数y=a x的定义域与对数函数y=log a x的值域相同吗?

答案相同.

1.反函数的概念与记法

(1)反函数的概念:

一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有①唯一的x与之对应,那么②x是③y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数,此时,称y=f(x)存在④反函数.

(2)反函数的记法:

一般地,函数y=f(x)的反函数通常用⑤y=f-1(x)表示.

思考:如何准确理解反函数的定义?什么样的函数存在反函数?

提示反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域,反函数也是函数,因为它符合函数的定义.

对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是单调函数时,这个函数才存在反函数.

2.指数函数与对数函数的关系

(1)指数函数y=a x与对数函数y=log a x⑥互为反函数.

(2)指数函数y=a x与对数函数y=log a x的图像关于直线⑦y=x对称.

指数函数与对数函数的关系指数函数对数函数与幂函数PPT精品推荐课件

三写”.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1求函数y=2x+1(x<0)的反函数.
解:由y=2x+1,得2x=y-1,
∴x=log2(y-1),∴y=log2(x-1).
又∵x<0,∴0<2x<1,
∴1<2x+1<2.
∴所求函数的反函数为y=log2(x-1)(1<x<2).
3
∴f (x)=log 1 x(x>0).
-1
3
-1
,
5
(3)由 y=5x+1,得 x=
-1
(x∈R).
5
∴f-1(x)=
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟求函数的反函数的主要步骤:
(1)从y=f(x)中解出x=φ(y);
(2)x,y互换;
(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、
1
2
1
2
是由 y=2x-1 转化而来,因此 y=2x-1 与 y= x+ 不是同一函数.
1
2
课前篇自主预习
一
二
2.填空.
(1)反函数的定义
一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有

人教A版高中数学必修第一册第2课时指数函数图象及性质的应用【课件】

(2)解：当 a＞1 时，因为 a－5x＞ax＋7，所以－5x＞x＋7，解得 x＜－67；当 0＜a＜1 时，因为 a－5x＞ax＋7，所以－5x＜x＋7，解得 x＞－67．综上所述，当 a＞1 时，x＜－67；当 0＜a＜1 时，x＞－67．
方向 3 指数型函数的单调性判断f(x)＝231x的单调性，并求其值域．
•解指数不等式的类型及应注意的问题
• (1)形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为0＜a＜ 1和a＞1两种情况分类讨论．
• (2)形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
•函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性的处理技巧
解：令 t＝1x，则 y＝23t，t≠0．由于 t＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故 y＝23t在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，即 f(x)＝231x在(－ ∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．
又因为 t≠0，故 f(x)的值域为(0，1)∪(1，＋∞)．
•比较幂值大小的三种类型及处理方法
解：(1)设每年砍伐面积的百分比为 x，则 2 021×(1－x)10＝2 021×12，解得 x＝1－21110，故每年砍伐面积的百分比为 1－12110．
(2)设到今年为止，该森林已砍伐了 m 年，则 2 021×(1－x)m＝2 021× 22，又因为 x＝1－12110，故 m＝5．故到今年为止，已经砍伐了 5 年．

高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.2指数函数的性质与图像课件新人教B

∵函数 t＝x－1 4的值域是{t|t≠0}， ∴函数 y＝2t 的定义域是{t|t≠0}．函数 y＝2t(t≠0)的图像如图所示．
1
∴y＝2 x－4 的值域为{y|y>0 且 y≠1}．
(2)y＝12－2x＋1. (2)令 t＝－2x＋1，则 y＝12t， ∵函数 t＝－2x＋1 的定义域是 R. ∴函数 y＝12－2x＋1 的定义域为 R. ∵一次函数 t＝－2x＋1 的值域是 R，
解 (3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1， ∴1.90.4>0.92.4.
题型四定义域、值域问题
例 4 求下列函数的定义域与值域：
1
(1)y＝2 x－4 ； [解] (1)令 t＝x－1 4，则 y＝2t，
∵函数 t＝x－1 4的定义域是{x|x∈R 且 x≠4}，
1
∴函数 y＝2 x－4 的定义域为{x|x∈R 且 x≠4}．
[答案] (1)B
(2)函数 y＝ax－3＋3(a>0 且 a≠1)的图像过定点________． [解析] (2)解法一：因为指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图像过定点 (0,1)，所以在函数 y＝ax－3＋3 中，令 x＝3，得 y＝1＋3＝4，即函数的图像过定点(3,4)．解法二：将原函数变形，得 y－3＝ax－3，把 y－3 看成 x－3 的指数函数，所以当 x－3＝0 时，y－3＝1，即 x＝3 时，y＝4，所以原函数的图像过定点 (3,4)． [答案] (2)(3,4)