【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题第3章空间向量与立体几何 3.2 第1课时 Word版含答案

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2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题第3章空间向量与立体几何 3.2 第1课时 Word版含答案

第三章 3.2 第1课时一、选择题1．若平面α、β的法向量分别为a ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，3、b ＝(－1，2，－6)，则导学号 33780815( )A ．α∥βB ．α与β相交但不垂直C ．α⊥βD ．α∥β或α与β重合[答案] D[解析] ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)、b ＝(－2，3,2)，则导学号 33780816( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1与l 2相交，但不垂直 C ．l 1⊥l 2 D ．不能确定[答案] C[解析] ∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.3．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则导学号 33780817( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交[答案] B[解析] ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ，∴l ⊥α.4．在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)； ②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)； ③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)； ④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为导学号 33780818( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] DD 1∥AA 1，AA 1→＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，AC 1→与平面B 1CD 不垂直，∴④错．5．已知向量a ＝(2,4,5)、b ＝(5，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则导学号 33780819( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝10，y ＝15D ．x ＝10，y ＝252[答案] D[解析] ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，∴52＝x 4＝y5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝252.6．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝导学号 33780820( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2[答案] C [解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k ，∴k ＝4，故选C. 二、填空题7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (1,2,3)、B (2，－1,1)、C (3，λ，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于________.导学号 33780821[答案]145[解析] AB →＝(1，－3，－2)、AC →＝(2，λ－2，λ－3)，∵AB →⊥AC →， ∴AB →·AC →＝0，∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝145.8．已知直线l 的方向向量为u ＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2,1，－4)，则l 与α的位置关系为________.导学号 33780823[答案] l ∥α或l ⊂α[解析] u ·v ＝2×(－2)＋0×1＋(－1)×(－4)＝0，∴l ∥α或l ⊂α. 三、解答题9.如图，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ︰MA ＝BN ︰ND ＝5︰8.求证：直线MN ∥平面PBC .导学号 33780824 [证明] MN →＝MP →＋PB →＋BN → ＝－PM →＋PB →＋BN → ＝－513P A →＋PB →＋513BD →＝－513(BA →－BP →)＋PB →＋513(BA →＋BC →)＝513BP →－BP →＋513BC →＝513BC →－813BP →， ∴MN →与BC →、BP →共面，∴MN →∥平面BCP ， ∵MN ⊄平面BCP ，∴MN ∥平面BCP .10．已知三棱锥P －ABC ，D 、E 、F 分别为棱P A 、PB 、PC 的中点，求证：平面DEF ∥平面ABC .导学号 33780825[证明] 证法一：如图．设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则由条件知，P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，设平面DEF 的法向量为n ，则n ·DE →＝0，n ·DF →＝0， ∴n ·(b －a )＝0，n ·(c －a )＝0，∴n ·AB →＝n ·(PB →－P A →)＝n ·(2b －2a )＝0，n ·AC →＝n ·(PC →－P A →)＝n ·(2c －2a )＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →， ∴n 是平面ABC 的法向量， ∴平面DEF ∥平面ABC .证法二：设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ， ∴DE →＝b －a ，DF →＝c －a ，AB →＝2b －2a ，AC →＝2c －2a ，对于平面ABC 内任一直线l ，设其方向向量为e ，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对(x ，y )，使e ＝xAB →＋yAC →＝x (2b －2a )＋y (2c －2a )＝2x (b －a )＋2y (c －a )＝2xDE →＋2yDF →，∴e 与DE →、DF →共面，即e ∥平面DEF ，∴l ⊄平面DEF ，∴l ∥平面DEF .由l 的任意性知，平面ABC ∥平面DEF .一、选择题1．下面各组向量为直线l 1与l 2方向向量，则l 1与l 2一定不平行的是导学号 33780826( )A ．a ＝(1,2，－2)、b ＝(－2，－4,4)B ．a ＝(1,0,0)、b ＝(－3,0,0)C ．a ＝(2,3,0)、b ＝(4,6,0)D ．a ＝(－2,3,5)、b ＝(－4,6,8) [答案] D[解析] l 1与l 2不平行则其方向向量一定不共线． A 中：b ＝－2a ，B 中：b ＝－3a ，C 中：b ＝2a .故选D.2．(2015·甘肃天水一中高二期末测试)两个不重合平面的法向量分别为v 1＝(1,0，－1)、v 2＝(－2,0,2)，则这两个平面的位置关系是导学号 33780827( )A ．平行B ．相交不垂直C ．垂直D ．以上都不对[答案] A[解析] ∵v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)， ∴v 2＝－2v 1，∴v 1∥v 2， ∴两个平面平行．3．已知点A (4,1,3)、B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，则点C 的坐标为导学号 33780828( )A ．(72，－12，52)B ．(38，－3,2)C ．(103，－1，73)D ．(52，－72，32)[答案] C[解析] ∵C 在线段AB 上，∴AC →∥AB →，∴设C (x ，y ，z )，则由|AC →||AB →|＝13得，(x －4，y －1，z －3)＝13(2－4，－5－1，1－3)，即⎩⎨⎧x －4＝－23y －1＝－2z －3＝－23，解得⎩⎨⎧x ＝103y ＝－1z ＝73.故选C.4．对于任意空间向量a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，给出下列三个命题：①a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3；②若a 1＝a 2＝a 3＝1，则a 为单位向量； ③a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.其中真命题的个数为导学号 33780829( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3⇒a ∥b ，反之不一定成立，故①不正确；②显然错误；③是正确的，故选B.二、填空题5．过点A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)的平面的一个法向量为________.导学号 33780830 [答案] (1,1,1)[解析] 设法向量n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝0－x ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴n ＝(1,1,1)．6．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知A (1，－2,3)、B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________.导学号 33780831[答案] (53，0，13)[解析] 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC →＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB→共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎨⎧x ＝53z ＝13，所以点C 的坐标为(53，0，13)．三、解答题7．设a 、b 分别是不重合的直线l 1、l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1，l 2的位置关系；导学号 33780832(1)a ＝(4,6，－2)、b ＝(－2，－3,1)； (2)a ＝(5,0,2)、b ＝(0,1,0)；(3)a ＝(－2，－1，－1)、b ＝(4，－2，－8)． [解析] (1)∵a ＝(4,6，－2)、b ＝(－2，－3,1)， ∴a ＝－2b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2. (2)∵a ＝(5,0,2)、b ＝(0,1,0)， ∴a ·b ＝0，a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.(3)∵a ＝(－2，－1，－1)，b ＝(4，－2，－8)， ∴a 与b 不共线也不垂直． ∴l 1与l 2相交或异面．8．在正四棱锥P －ABCD 中，底面正方形边长为32，棱锥的侧棱长为5，E 、F 、G 分别为BC 、CD 、PC 的中点，用向量方法证明下列问题.导学号 33780833(1)EF ⊥P A ； (2)EF ∥平面PBD ；(3)直线P A 与平面EFG 不平行．[解析] 设AC 与BD 的交点为O ，∵P －ABCD 为正四棱锥，∴PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊥BD ，以O 为原点，OB ，OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵正方形ABCD 边长为32，∴OB ＝OC ＝3，又PC ＝5，∴OP ＝4，∴A (0，－3,0)、B (3,0,0)、C (0,3,0)、D (－3,0,0)、P (0，0,4)．(1)∵E 、F 分别为BC 、CD 的中点，∴E (32，32，0)、F (－32，32，0)，∴EF →＝(－3,0,0)、P A →＝(0，－3，－4)，EF →·P A →＝0，∴EF ⊥P A .(2)显然OC →＝(0,3,0)为平面PBD 的一个法向量， ∵EF →·OC →＝0，∴EF ∥平面PBD .(3)∵G 为PC 中点，∴G (0，32，2)，设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0，n ·EG→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＝0－32x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0z ＝0.取n ＝(0,1,0)，∵n ·P A →＝－3≠0，∴P A 与平面EFG 不平行．。

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2同步练习第3章3.1第2课时

第三章 3.1 第2课时一、选择题1．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值为 A ．－1 B ．4 C ．－1和4 D ．－1和6答案] C解析] 由题意解得m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.故选C. 2．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案] C解析] z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限.3．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是 A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2答案] A解析] 由(x －1)2＋(2x －1)2<10，解得－45<x <2.故选A.4．下列命题中假命题是 A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2| 答案] D解析] ①任意复数z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0.⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1、b 1、a 2、b 2∈R ) 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2| 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．故选D.5．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点的位置关系是A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称答案] B解析]在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．6．在下列结论中正确的是A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴B．任何两个复数都不能比较大小C．如果实数a与纯虚数a i对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的D．－1的平方根是i答案] A解析]两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，a i是实数，排除C，－1的平方根是±i，排除D，故选A.7．(2016·全国卷Ⅰ理，2)设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝()A．1 B. 2C. 3 D．2答案] B解析]因为(1＋i)x＝x＋x i＝1＋y i，所以x＝y＝1，|x＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，选B.8．复数z1＝a＋2i (a∈R)，z2＝2＋i且|z1|<|z2|，则a的取值范围是A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案] C解析]∵|z1|<|z2|，∴a2＋4<5，∴a2＋4<5，∴－1＜a＜1.故选C.二、填空题9．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝______.答案]±15－8i解析]设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17，∴a2＝225.a＝±15.则z＝±15－8i.10．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________. 答案] 3i解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵|z |＝3， ∴a 2＋b 2＝9.又w ＝z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠－3，又a 2＋b 2＝9，∴a ＝0，b ＝3.11．(2015·徐州期末)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a ＋2i(a ≥0)的模等于3，则a 的值为________．答案] 5解析] 因为复数z ＝a ＋2i(a ≥0)的模等于3，所以a ＋4＝9，解得a ＝5. 三、解答题12．复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析] 因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ理，1)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)答案] A解析] 由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0m －1<0，解得－3<m <1，故选A.2．复平面内，向量OA →表示的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i答案] C解析] 向量OA →向右平移一个单位后起点O ′(1,0)，∵OA ′→＝OO ′→＋O ′A ′→＝OO ′→＋OA →＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)， ∴点A ′对应复数2＋i ，又O ′A ′→＝OA →， ∴O ′A ′→对应复数为1＋i.故选C.3．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是 A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不是纯虚数 C ．z 对应的点在实轴上方 D ．z 一定是实数答案] C解析] ∵2t 2＋5t －3＝(t ＋3)(2t －1)的值可正、可负、可为0，t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1≥1，∴排除A 、B 、D.故选C.4．若cos2θ＋i(1－tan θ)是纯虚数，则θ的值为 A ．k π－π4(k ∈Z )B ．k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π2＋π4(k ∈Z )答案] A解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝0 ①1－tan θ≠0 ②∴选项B 、C 不满足②.D 中若k 为偶数(如k ＝0)也不满足②.故选A. 二、填空题5．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cot B －tan A )＋i(tan B －cot A )的对应点位于复平面的第______象限.答案] 二解析] 由于0<A <π2，0<B <π2且A ＋B >π2∴π2>A >π2－B >0， ∴tan A >cot B ，cot A <tan B ，故复数z 对应点在第二象限．6．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3)(m ∈R )，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是____________．答案] 15解析] ∵log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0，整理得log 22(m 2－3m －3)(m －3)2＝0，∴2m 2－6m －6＝m 2－6m ＋9，即m 2＝15，m ＝±15. 又 ∵m －3>0且m 2－3m －3>0，∴m ＝15.7．复数z 满足|z ＋3－3i|＝3，则|z |的最大值和最小值分别为________．答案] 33， 3解析] |z ＋3－3i|＝3表示以C (－3，3)为圆心，3为半径的圆，则|z |表示该圆上的点到原点的距离，显然|z |的最大值为|OC |＋3＝23＋3＝33，最小值为|OC |－3＝23－3＝3.三、解答题8．(2015·泰安高二检测)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围．解析] (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0. 9．若复数z 满足|z ＋2|＋|z －2|＝8，求|z ＋2|的最大值和最小值．解析] 由题意知，|z ＋2|＋|z －2|＝8表示椭圆，由椭圆的几何性质知，椭圆长轴上的两个顶点到焦点(－2,0)的距离分别是最大值和最小值，因此当z ＝4，即复数z 对应的点是椭圆右顶点时，|z ＋2|有最大值6，当z ＝－4，即复数z 对应的点是椭圆左顶点时，|z ＋2|有最小值2.。

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题第3章空间向量与立体几何 3.1.5 Word版含答案

第三章 3.1 3.1.5一、选择题1．已知A (3，－2,4)、B (0,5，－1)，若OC →＝23AB →，则C 的坐标是导学号 33780784( )A ．(2，－143，103)B ．(－2，143，－103)C ．(2，－143，－103)D ．(－2，－143，103)[答案] B[解析] ∵AB →＝(－3,7，－5)，∴OC →＝23(－3,7，－5)＝⎝⎛⎭⎫－2，143，－103. 故选B.2．设M (5，－1,2)、A (4,2，－1)，若OM →＝AB →，则点B 应为导学号 33780785( ) A ．(－1,3，－3) B ．(9,1,1)C ．(1，－3,3)D ．(－9，－1，－1)[答案] B[解析] ∵OM →＝AB →＝OB →－OA →， ∴OB →＝OM →＋OA →＝(9,1,1)．故选B.3．已知点A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是导学号 33780786( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] AB →＝(3,4，－8)、AC →＝(5,1，－7)、BC →＝(2，－3，1)， ∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋1＝14， ∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2. ∴△ABC 为直角三角形．4．已知a ＝(1,2，－y )、b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则导学号 33780787( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1[答案] B[解析] a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )， 2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)， ∵(a ＋2b )∥(2a －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ(2－x )，4＝3λ，4－y ＝(－2y －2)λ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－4.5．(2015·河南郑州市高二期末测试)已知a ＝(2,4，x )、b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，a ⊥b ，则x ＋y 的值是导学号 33780788( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1[答案] A[解析] ∵|a |＝6，∴|a |2＝36， ∴4＋16＋x 2＝36，∴x 2＝16，x ＝±4. 又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4＋4y ＋2x ＝0， ∴x ＋2y ＋2＝0.当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1， ∴x ＋y ＝1或－3.6．已知a ＝(x,2,0)、b ＝(3,2－x ，x )，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是导学号 33780789( )A ．x <－4B ．－4<x <0C ．0<x <4D ．x >4 [答案] A[解析] ∵a 、b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0. ∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使b ＝λa ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝λx ，2－x ＝2λ，x ＝0.此方程组无解，因此选A.二、填空题7．已知a ＝(2，－3,0)、b ＝(k,0,3)，<a ，b >＝120°，则k ＝________.导学号 33780790 [答案] －39[解析] ∵a ·b ＝2k ，|a |＝13，|b |＝k 2＋9， ∴cos120°＝2k13×k 2＋9， ∴k ＝－39.8．(2015·山东临沂市高二期末测试)已知a ＝(2，－1，3)、b ＝(－1,4，－2)、c ＝(7,7，λ)，若a 、b 、c 共面，则实数λ＝________.导学号 33780791[答案] 9[解析] 若a 、b 、c 共面，∴c ＝x a ＋y b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7－x ＋4y ＝73x －2y ＝λ，∴λ＝9. 三、解答题9．已知点A (2,3，－1)、B (8，－2,4)、C (3,0,5)，是否存在实数x ，使AB →与AB →＋xAC →垂直？导学号 33780792[解析] AB →＝(6，－5,5)，AC →＝(1，－3,6)， AB →＋xAC →＝(6＋x ，－5－3x,5＋6x )， ∵AB →⊥(AB →＋xAC →)∴6(6＋x )－5(－5－3x )＋5(5＋6x )＝0， ∴x ＝－8651，∴存在实数x ＝－8651，使AB →与AB →＋xAC →垂直．10．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,2).导学号 33780793 (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标；(2)问是否存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)．因为DB →∥AC →，DC →∥AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－x ，1－y ，－z )＝m (－1，0，2)(－x ，－y ，2－z )＝n (－1，1，0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1z ＝2.即D (－1,1,2)．(2)依题意AB →＝(－1,1,0)、AC →＝(－1,0,2)、BC →＝(0，－1,2)，假设存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，所以⎩⎪⎨⎪⎧α＝1α－β＝02β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立.一、选择题1．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)、B (4，－3,7)、C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为导学号 33780794( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] B[解析] 设BC 边上的中点为D ，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－1，－2,2)，所以|AD →|＝1＋4＋4＝3.2．下列各组向量中共面的组数为导学号 33780795( ) ①a ＝(1,2,3)、b ＝(3,0,2)、c ＝(4,2,5)②a ＝(1,2，－1)、b ＝(0,2，－4)、c ＝(0，－1,2) ③a ＝(1,1,0)、b ＝(1,0,1)、c ＝(0,1，－1) ④a ＝(1,1,1)、b ＝(1,1,0)、c ＝(1,0,1) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] ①设a ＝x b ＋y c ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝3x ＋4y 2＝0·x ＋2y 3＝2x ＋5y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1.故存在实数x ＝－1，y ＝1使得a ＝－b ＋c ， ∴a ，b ，c 共面．②中b ＝－2c ，③中c ＝a －b .故②③中三个向量共面．④设a ＝x b ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x ＝1y ＝1显然无解，故a 、b 、c 不共面．3．已知向量a ＝(1,2,3)、b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为导学号 33780796( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°.4．已知A (1,2,3)、B (2,1,2)、C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为导学号 33780797( )A ．(43，43，43)B ．(83，43，83)C ．(43，43，83)D ．(83，83，43)[答案] C[解析] 点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )、DA →＝(1－a,2－a,3－2a )、DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →最小为－23，此时OD →＝(43，43，83)，故选C.二、填空题5．已知a ＝(2，－3,1)、b ＝(2,0,3)、c ＝(0,0,2)，则a ·(b －c )＝________.导学号 33780798 [答案] 5[解析] b －c ＝(2,0,1)，a ·(b －c )＝(2，－3,1)·(2,0,1)＝4＋0＋1＝5.6．已知正三棱柱ABC －DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF＝________.导学号 33780799[答案]116[解析] 设CN CF ＝m ，则CN →＝mCF →＝mAD →，∵M 为BC 中点，∴MN →＝MC →＋CN →＝12BC →＋mAD →，又AE →＝AB →＋BE →，由条件知，AE →·MN →＝(AB →＋BE →)·(12BC →＋mAD →)＝12AB →·BC →＋12BE →·BC →＋mAB →·AD →＋mBE →·AD → ＝－14＋4m ＝0，∴m ＝116.三、解答题7．已知空间三点A (0,2,3)、B (－2,1,6)、C (1，－1,5).导学号 33780800 (1)求以AB →、AC →为邻边的平行四边形面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标． [解析] (1)由题中条件可知AB →＝(－2，－1,3)、AC →＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋614×14＝12，∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为邻边的平行四边形面积 S ＝|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．8．设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)、OB →＝(2,1,2)、OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标.导学号 33780801[解析] 设OQ →＝λOP →， ∴QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP → ＝(1,2,3)－λ(1,1,2) ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝OB →－OQ →＝OB →－λOP → ＝(2,1,2)－λ(1,1,2) ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10，∴当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值．又OQ →＝λOP →＝43(1,1,2)＝(43，43，83)．所以，所求点Q 的坐标为(43，43，83)．。

高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)

祈福教育高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于（） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝（） A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是（）A. ⋅B. ⋅C.⋅D.⋅4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{c b a ,,}是空间的一个基底，向量b a n b a m -=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是（） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为（）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为（）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是 AB 、AD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a＋b与k a－2b互相垂直，求k的值．22.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝22，BF＝ 2.(1)求证：CF⊥C1E；(2)求二面角E-CF-C1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(3，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2，32)，E(0，0，22)，F(3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)， C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0，所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)．设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)，可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得 cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°，即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4＋2＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12.4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面． 5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209.8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9. 解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形． 10. 解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)，∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11\ A 解析由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c .12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC →共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面．14.433 解析向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14.18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225.19. 解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0， a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1， ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21. 解析 ∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →， ∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，则k ＝－52或k ＝2.。

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3习题 2-3 模块综合检测(能力卷) Word版含答案

模块综合检测(能力卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·福州高二检测)某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝45x ＋a ，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力为导学号 03960726( )A ．9.2B ．9.8C ．9.5D ．10[答案] C[解析] ∵x －＝14(4＋6＋8＋10)＝7；y －＝14(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴样本的中心点坐标为(7,5.5)，代入回归方程得：5.5＝45×7＋a ^，∴a ^＝－0.1. ∴y ^＝0.8x －0.1，当x ＝12时，y ^＝0.8×12－0.1＝9.5，故选C ．2．(2016·四川理，2)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为导学号 03960753( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4[答案] A[解析] (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x6－r i r (r ＝0,1,2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A ．3．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率导学号 03960727( )A ．(2,4]B ．(0,2]C ．[－2,0)D ．(－4,4][解析]此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．4．设A＝37＋C27·35＋C47·33＋C67·3，B＝C17·36＋C37·34＋C57·32＋1，则A－B的值为导学号03960728()A．128 B．129C．47D．0[答案] A[解析]A－B＝37－C17·36＋C27·35－C37·34＋C47·33－C57·32＋C67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A．5．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(k2≥6.635)＝0.010表示的意义是导学号03960729()A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%[答案] D[解析]由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y有关系的概率为99%.6．(2016·四川理，4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为导学号03960730()A．24 B．48C．60 D．72[答案] D[解析]由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72，故选D．7．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为导学号03960731()A．360 B．520C．600 D．720[解析]当甲、乙两人中只有一人参加时，有C12·C35·A44＝480种方法；当甲、乙两人都参加时，有C22·C25(A44－A22A23)＝120种方法．由分类加法计数原理知，不同的发言顺序共有480＋120＝600种，故选C．8．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为导学号03960732() A．0.9 B．0.8C．1.2 D．1.1[答案] A[解析]X的取值为0、1、2，P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.9．(2016·长沙二模)二项式(x－1x)6的展开式中常数项为导学号03960733()A．－15 B．15 C．－20 D．20 [答案] B[解析]二项式(x－1x)6的展开式的通项是T r＋1＝C r6·x6－r·(－1x)r＝C r6·(－1)r·x6－32r，令6－32r＝0，得r＝4.因此，二项式(x－1x)6的展开式中的常数项是C46·(－1)4＝15，故选B．10．某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k，那么二项式(1＋kx2)6的展开式中x4的系数为导学号03960734()A．50000 B．52000C．54000 D．56000[答案] C[解析]A、B均未被选中的种数有C23C25＝30，∴k＝C24C26－30＝60.在(1＋60x2)6展开式中，T r＋1＝C r6(60x2)r，令r＝2，得T3＝C26602x4＝54000x4.故选C．11．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是导学号 03960735( )A ．18125B ．36125C ．44125D ．81125[答案] B[解析] 每次取到红球的概率为35，所求概率为C 12×35×25×35＝36125.故选B ． 12．已知0<a <1，方程a |x |＝|log a x |的实根个数为n ，且(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10＋a 11(x ＋2)11，则a 1等于导学号 03960736( )A ．－10B ．9C ．11D ．－12 [答案] B[解析] 作出y ＝a |x |(0<a <1)与y ＝|log a x |的大致图象如图所示，所以n ＝2.故(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝(x ＋2－1)2＋(x ＋2－1)11，所以a 1＝－2＋C 1011＝－2＋11＝9.故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．某校1000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是________.导学号 03960737[答案] 682[解析] 由题图知X ～N (μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，∴P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝P (52<X ≤68)＝0.6826. ∴人数为0.6826×1000≈682.14．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.1，则D (X )＝________.导学号 03960738[答案] 0.49[解析] p ＝1－⎝⎛⎭⎫15＋310＝12，E (X )＝1.1＝0×15＋1×12＋310x ，解得x ＝2，所以D (X )＝15×(0－1.1)2＋12×(1－1.1)2＋310×(2－1.1)2＝0.49.15．(2016·临沂高二检测)如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.导学号 03960739[答案] 45[解析] 由已知X 的取值为7,8,9,10.∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25， P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110.∴X 的概率分布列为∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝310＋25＋110＝45.16．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O (0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m ，n )，(m ，n ∈N *)，记可能的爬行方法总数为f (m ，n )，则f (m ，n )＝________.导学号 03960740[答案] C m m ＋n[解析] 从原点O 出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m ，n )需m 个0和n 个1.这样爬行方法总数f (m ，n )是m 个0和n 个1的不同排列方法数．m 个0和n 个1共占m ＋n 个位臵，只要从中选取m 个放0即可．∴f (m ，n )＝C m m ＋n .(例如f (3,4)＝C 37其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．) 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可)导学号 03960741(1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)种排法．方法二：甲在首位的共有A 99种，乙在末位的共有A 99种，甲在首位且乙在末位的有A 88种，因此共有(A 1010－2A 99＋A 88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有A 1010A 33种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010种排法．18．(本题满分12分)已知(x －12x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.导学号 03960742(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有整式项．[解析] (1)T r ＋1＝C r n·(x )n －r·(12x )r ·(－1)r ， ∴前三项系数的绝对值分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由题意知C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，∴n ＝1＋18n (n －1)，n ∈N *，解得n ＝8或n ＝1(舍去)， ∴T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·(－12x)k＝C k 8·(－12)k ·x 4－k,0≤k ≤8，令4－k ＝0得k ＝4，∴展开式中的常数项为T 5＝C 48(－12)4＝358. (2)要使T k ＋1为整式项，需4－k 为非负数，且0≤k ≤8，∴k ＝0,1,2,3,4. ∴展开式中的整式项为：x 4，－4x 3,7x 2，－7x ，358.19．(本题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.导学号 03960743(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.)(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？[解析] (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50， P (700<X ≤900)＝0.9544. 由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900) ＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.9772. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1600x ＋2400y 依题意，x 、y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900. 于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .且使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．20．(本题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ文，15)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值导学号 03960744表中w i ＝x i ，w ＝18 i ＝1w i.(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝ ni ＝1 (u i －u )(v i －v ) ni ＝1(u i －u )2，α^＝v －β^u . [解析] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2) 令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)(ⅰ)由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝0.2×576.6－49＝66.32. (ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．21．(本题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.导学号 03960745(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解析] (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，因为P (X ＝0)＝(1－23)×(1－25)＝15，P (X ＝2)＝23×(1－25)＝25，P (X ＝3)＝(1－23)×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1、X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．22．(本题满分12分)(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：导学号 03960746(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；百度文库百度文库 (2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．[解析] (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －.由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A －)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B －)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C －)P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D －)＝34×23×34×23＋2×(14×23×34×23＋34×13×34×23) ＝23. 所以“星队”至少猜对2个成语的概率为23. (2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144， P (X ＝1)＝2×(34×13×14×13＋14×23×14×13)＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2×(34×23×34×13＋34×23×14×23)＝60144＝512， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14. 可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.。

【成才之路】高中数学人教A版选修2-1练习：3.1.1、3.1.2空间向量的数乘运算(含答案解析)

第三章 3.1 3.1.1 3.1.2一、选择题1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于导学号 33780691( ) A.DB → B ．AC → C.AB → D ．BA →[答案] D[解析] 解法一：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.解法二：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →) ＝DA →＋BD →＝BA →.2．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是导学号 33780692( ) A.AB →＝BC →＋CD →B ．AB →－DC →＋BC →＝AD →C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D ．BC →＝BD →－DC →[答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．3．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，则AM →为导学号 33780693( ) A.b －c 2 B ．c －b 2C.b －c 3D ．c －b 3[答案] D[解析] M 为△ABC 重心，则AM →＝23⎣⎡⎦⎤12 AB →＋AC → ＝13(AB →＋AC →)＝13(c －b)． 4．如图所示，已知A 、B 、C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为导学号 33780694( )A.OA →＋2AB →＋2AC → B ．OA →－3AB →－2AC → C.OA →＋3AB →－2AC → D ．OA →＋2AB →－3AC → [答案] C[解析] 根据A 、B 、C 、P 四点共面的条件可知AP →＝xAB →＋yAC →.由图知x ＝3，y ＝－2，∴OP →＝OA →＋3AB →－2AC →，故选C.5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y(AB →＋AD →)，则导学号 33780695( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14[答案] D[解析] AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1，y ＝14.6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于导学号 33780696( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c[答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12c.二、填空题7．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.导学号 33780697[答案] 0[解析] 解法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 解法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝x·AB →＋2y·BC →＋3z·C 1C →，则x ＋y ＋z ＝________.导学号 33780698[答案] 76[解析] 如图所示，有AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →.又∵AC 1→＝x·AB →＋2y·BC →＋3z·C 1C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝13z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝12z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.三、解答题9.在四棱柱ABCD —A′B′C′D′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式.导学号 33780699(1)AB →＋BB′→－D′A′→＋D′D →－BC →；(2)AC′→－AC →＋AD →－AA′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA′→＋AD →－AA′→－AD →＝AB →. (2)原式＝CC′→＋AD →－AA′→＝AD →.10．已知平行六面体ABCD －A′B′C′D′，点E 在AC′上，且AE ︰EC′＝1︰2，点F 、G 分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x 、y 、z 的值.导学号 33780700(1)AE →＝x AA′→＋yAB →＋zAD →； (2)BF →＝x BB′→＋yBA →＋zBC →； (3)GF →＝x BB′→＋yBA →＋zBC →. [解析] (1)∵AE ︰EC′＝1︰2， ∴AE →＝13AC′→＝13(AB →＋BC →＋CC′→)＝13(AB →＋AD →＋AA′→) ＝13AA′→＋13AB →＋13AD →， ∴x ＝13，y ＝13，z ＝13.(2)∵F 为B′D′的中点，∴BF →＝12(BB′→＋BD′→)＝12(BB′→＋BA →＋AA′→＋A′D′→)＝12(2BB′→＋BA →＋BC →)＝BB′→＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12.(3)∵G 、F 分别为BD′、B′D′的中点， ∴GF →＝12BB′→，∴x ＝12，y ＝0，z ＝0.一、选择题1．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c|等于导学号 33780701( )A ．0B ．3C ．2＋ 2D ．2 2[答案] D[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c|＝2|AC →|＝2 2. 2．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a|＝|b|，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向．其中假命题的个数是导学号 33780702( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同．③真命题．向量的相等满足递推规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错．⑤假命题．零向量的方向是任意的．3．已知正方体ABCD －A′B′C′D′ ，点E 是A′C′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于导学号 33780703( )A.AA′→＋12AB →＋12AD →B ．12AA′→＋12AB →＋12AD →C.12AA′→＋16AB →＋16AD → D ．13AA′→＋16AB →＋16AD →[答案] D[解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA′→＋A′E →)＝13(AA′→＋12A′C′→)＝13AA′＋16(A′D′→＋A′B′→)＝13AA′→＋16AD →＋16AB →. 4．对于空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x 、y 、z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点P 、A 、B 、C 共面的导学号 33780704( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →＝xOA →＋yOB →＋(1－x －y)OC →， ∴OP →－OC →＝x(OA →－OC →)＋y(OB →－OC →)，∴CP →＝xCA →＋yCB →，即CP →、CA →、CB →共面，又有公共点C ， ∴P 、A 、B 、C 共面，反之也成立．二、填空题5．已知平行六面体ABCD —A′B′C′D′，则下列四式中：导学号 33780705①AB →－CB →＝AC →；②AC′→＝AB →＋B′C′→＋CC′→；③AA′→＝CC′→；④AB →＋BB′→＋BC →＋C′C →＝AC →. 正确的是________． [答案] ①②③[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B′C′→＋CC′→＝AB →＋BC →＋CC′→＝AC′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB′→＋BC →＝AC′→，∴④不正确．6．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ︰MC ＝2︰1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ＝________，y ＝________，z ＝________.导学号 33780706[答案] －23 －16 16[解析] 在PD 上取一点F ，使PF ︰FD ＝2︰1，连接MF ，则MN →＝MF →＋FN →， ∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →)， MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB →，∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16AP →，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.三、解答题7．已知三个向量a 、b 、c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，向量p 、q 、r 是否共面？导学号 33780707[解析] 假设存在实数λ、μ，使p ＝λq ＋μr ，则a ＋b －c ＝(2λ－7μ)a ＋(－3λ＋18μ)b ＋(－5λ＋22μ)c ，∵a ，b ，c 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－7μ＝1－3λ＋18μ＝1－5λ＋22μ＝－1，∴⎩⎨⎧λ＝53μ＝13.即存在实数λ＝53，μ＝13，使p ＝λq ＋μr ，故p 、q 、r 共面．8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E 、F 、B 三点共线.导学号 33780708[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c. ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c. ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25(a －23b －c)．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.所以E 、F 、B 三点共线．。

高二数学人教版选修2-1(第03章空间向量与立体几何) Word版含解析

绝密★启用前人教版选修2-1 第3章空间向量与立体几何一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【题文】向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1,－2y ,9)，若a 与b 共线，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝12-C ．x ＝16，y ＝32-D ．x ＝16-，y ＝232．【题文】已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．33．【题文】设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．124．【题文】若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【题文】在△ABC 中，AB =c ，AC =b .若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A.2133+b cB.5233-c bC.2133-b cD.1233+b c6．【题文】已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则下列向量中可以与p ，q 一起构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对7．【题文】已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．647D ．6578．【题文】与向量a ＝(2,3,6)共线的单位向量是( )A ．236,,777⎛⎫⎪⎝⎭B ．236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．236,,777⎛⎫-- ⎪⎝⎭和236,,777⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．236,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭和236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭9．【题文】已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6且a ⊥b ，则x ＋y 为( ) A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3 D ．110．【题文】已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( )A ．x >4B ．x <－4C ．0<x <4D ．－4<x <0.11．【题文】已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30° B．45° C．60° D．90°12．【题文】已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．【题文】已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别是________，________.14．【题文】在△ABC 中，已知AB ＝(2,4,0)，BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.15．【题文】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所成角的大小为．16．【题文】在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ，其中不正确的命题为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）【题文】如图，空间四边形OABC 中，E ，F 分别为OA ，BC 的中点，设=OA a ，OB =b ，OC =c ，试用a ，b ，c 表示EF .18．（本题满分12分）【题文】已知{},,i j k 是单位正交基底，设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝aa 1＋ba 2＋ca 3 成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．19．（本题满分12分）【题文】四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝5，AD ＝3，AA ′＝7，∠BAD ＝60°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝45°，求AC ′的长．20．（本题满分12分）【题文】如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB ＝2，PC 与平面ABCD 所成角是45°，F 是AD 的中点，M 是PC 的中点．求证：DM ∥平面PFB .21．（本题满分12分）【题文】如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC . (1)证明：A 1C ⊥平面BED ； (2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．22．（本题满分12分）【题文】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.人教版选修2-1 第3章空间向量与立体几何答题卡注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和班级填写在答题卡上。

《成才之路》2015-2016学年高中数学人教A版选修2-1课件第三章间向量与立体几何3.1空间向量及其运算第1课时

4．已知空间四边形 ABCD 中，A→B＝a，B→C＝b，A→D＝c，
则C→D＝( )
A．a＋b－c
B．c－a－b
C．c＋a－b
D．c＋a＋b
[答案] B [解析] C→D＝C→B＋B→A＋A→D＝－b－a＋c，故选 B.
5．已知 A、B、C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任一点，
若由O→P＝15O→A＋23O→B＋λO→C确定的一点 P 与 A、B、C 三点共面，
• [点评] 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．
在六棱柱 ABCDEF－A1B1C1D1E1F1 中，化简A→1F1－E→F＋D→F ＋A→B＋C→C1，并在图中标出化简结果的向量．
[解析] 如图所示． C→A＝C→B＋C→D＝a＋b， C→A′＝C→A＋CC→′＝a＋b＋c， C→M＝C→A＋A→M＝C→B＋C→D＋ 12CC→′＝a＋b＋12c， C→G＝23C→A′＝23(a＋b＋c)．
课堂典例讲练
空间向量的加减运算
如图，已知长方体 ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
• (3)___长__度_为__0__的向量叫做零向量，记为0；模
为1 __________的向量叫做单位向量． • (4)___方__向_相__同_且__模_相__等_____的向量称为相等向
量长度．相与等向方向量相a反__________________的向量－称a 为
a的相反向量，记为_______.
则 λ＝__________________.[答案]2 15
[解析] 由 P 与 A、B、C 三点共面，

人教A高中数学选修21作业：第3章空间向量与立体几何322 含解析

第三章 3.2考点对应题号基础训练能力提升 1.基本初等函数导数公式的应用 1,2,3,4,7 6,11,12 2.导数的运算法则的应用 10 3.求复合函数的导数5,8,9131．已知函数f (x )＝35，则f ′(x )＝( ) A ．3 B ．5 C ．0D ．不存在C 解析因为f (x )＝35＝243为一个常数，所以f ′(x )＝0.故选C 项． 2．函数f (x )＝x 2在x ＝6处的导数为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．12D 解析因为f ′(x )＝2x ，所以f ′(6)＝2×6＝12. 3．已知函数f (x )＝x ，则f ′(3)＝( ) A ．36B ．0C ．12xD ．32A 解析因为f ′(x )＝12x ，所以f ′(3)＝123＝36.故选A 项． 4．曲线y ＝x 2在x ＝12处的切线的倾斜角α是( )A ．0°B ．45°C ．135°D ．60°B 解析因为y ′＝2x ，所以y ′|x ＝12＝1，所以k ＝1，所以α＝45°.故选B 项． 5．已知函数f (x )＝ax 2－1，且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ． 2D ．0B 解析因为f ′(x )＝12(ax 2－1) －12 ·2ax ＝ax ax 2－1，所以f ′(1)＝aa －1＝2，所以a ＝2.故选B 项． 6．若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A 解析设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cos x 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 项，f ′(x )＝1x (x ＞0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 项，f ′(x )＝e x ＞0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 21·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A 项．二、填空题7．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为____________．解析因为y ′＝(x 2)′＝2x ，所以y ′|x ＝1＝2，即所求切线的斜率为2，所以所求切线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案 2x －y －1＝08．曲线y ＝sin 2x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，14处的切线的斜率是________．解析因为y ′＝(sin 2x )′＝2sin x (sin x )′＝2sin x cos x ＝sin 2x ，所以y ′|x ＝π6 ＝sin π3＝32，所以曲线在点A ⎝⎛⎭⎫π6，14处的切线的斜率为32. 答案329．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________. 解析因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)]′＝1(2x －1)ln 3(2x －1)′＝2(2x －1)ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3. 答案23ln 3三、解答题10．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4； (3)y ＝log 2x 2－log 2x .解析 (1)令u ＝2x －1，则y ＝u 4，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝4u 3·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3. (2)因为y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1 ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，所以y ′＝(sin x )′＝cos x . (3)因为y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，所以y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2.11．求证：双曲线y ＝1x 上任意一点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积S 为常数．证明设P (x 0，y 0)是曲线y ＝1x 上任意一点．因为y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，所以y ′|x ＝x 0＝－1x 20，所以切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝x 0＋x 20y 0＝2x 0；令x ＝0，得y ＝y 0＋1x 0＝2x 0.所以S ＝12|xy |＝12⎪⎪⎪⎪2x 0·2x 0＝2为常数． 12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解析根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线所对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，得x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.四、选做题13．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为y ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715时的导数，并解释它的实际意义．解析函数y ＝5－25－9t 2可以看作函数f (x )＝5－x 和x ＝φ(t )＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得f ′(x )＝－12x －12，φ′(t )＝－18t .再由复合函数求导法则得y ′t ＝s ′(t )＝f ′(x )·φ′(t )＝⎝⎛⎭⎫－12x －12·(－18t )＝9t 25－9t 2，将t ＝715代入s ′(t )，得s ′⎝⎛⎭⎫715＝0.875(m/s)．它表示当t ＝715时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.。

高二数学《选修２－1》第三章：空间向量与立体几何练习新人教版选修2-2

高二数学《选修２－1》第三章：空间向量与立体几何 3.1.1. 空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算姓名班级学号编号01一、课前练习1. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则（） A ．c b a -+ B ．c b a +- C ．c b a ++- D ．c b a -+-2.在空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则21AB +→--(+)等于 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、二、课堂练习1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点 A 、B 、C 一定共面的是（） A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++=2．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的充要条件是（）A ．b a =B ．b a -=C ．a b λ=D ．b a λ=3.如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是____ ________。

三、课后练习1. 已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 .2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ，则1A B = （）（A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c3.空间四边形OABC ，点M ，N 分别是OA ，OB 的中点，设=，，，则用，，表示=→--MN 的结果是____________。

4.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，+=____________ 。

5. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是上底面A 1B 1C 1D 1和侧面CDD 1C 1的中心，如果+x+y ，则x=________，y=________。

【成才之路】高中数学人教A版选修2-1练习：3.1.3空间向量的数量积运算(含答案解析)

第三章 3.1 3.1.3一、选择题1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则 ①(a·b)c －(c·a)b ＝0； ②|a|－|b|<|a －b|；③(b·a)c －(c·a)b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b)·(3a －2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的是导学号 33780723( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④[答案] D[解析] 根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D.2．若a 、b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b|是a 与b 共线的导学号 33780724( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] A[解析] a·b ＝|a||b|⇒cos 〈a ，b 〉＝1⇒〈a ，b 〉＝0°，即a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，a·b ＝－|a||b|.3．如图，正四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，那么导学号 33780725( )A.AE →·BC →<AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小[答案] C[解析] ∵AE →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝0， AE →·CD →＝(AB →＋BE →)·CD → ＝AB →·(BD →－BC →)＋12BC →·CD →＝|AB →|·|BD →|·cos120°－|AB →|·|BC →|cos120°＋12|BC →|·|CD →|cos120°<0.∴AE →·BC →>AE →·CD →.4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中正确命题的个数是导学号 33780726( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个[答案] B[解析] 根据数量积的定义知：①②正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确，故选B.5．已知|a|＝1，|b|＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为导学号 33780727( ) A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° [答案] D[解析] ∵a －b 与a 垂直，∴(a －b)·a ＝0， ∴a·a －a·b ＝|a|2－|a|·|b|·cos 〈a ，b 〉＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22. ∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°.6．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b|导学号 33780728( ) A.7 B ．10 C ．13 D ．4[答案] C[解析] |a ＋3b|2＝(a ＋3b)2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝|a|2＋6|a||b|cos<a ，b>＋9|b|2， ∵|a|＝|b|＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴|a ＋3b|2＝13，∴|a ＋3b|＝13. 二、填空题7．设|m|＝1，|n|＝2,2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ，则〈a ，b 〉＝________.导学号 33780729[答案] 0°[解析] ∵(2m ＋n)⊥(m －3n)，∴(2m ＋n)·(m －3n)＝0，化简得m·n ＝－2. 又∵|a|＝a 2＝－2＝16＋4＋16＝6，|b|＝b 2＝＋2＝49＋16－56＝3，a·b ＝(4m －n)·(7m ＋2n)＝28|m|2－2|n|2＋m·n ＝18，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝186×3＝1，〈a ，b 〉＝0°.8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________.导学号 33780730 [答案] a 2[解析] A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D → ＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →〉＝2a×2a×cos60°＝a 2.三、解答题9．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，求〈a ，b 〉.导学号 33780731 [解析] (a ＋3b)·(7a －5b) ＝7|a|2－15|b|2＋16a·b ＝0，(a －4b)·(7a －2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b ＝0，解之得，|b|2＝2a·b ＝|a|2， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝12，∴〈a ，b 〉＝60°.10．已知向量a 、b 、c 中每两个的夹角都是π3，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，计算|a ＋b ＋c|.导学号 33780732[解析] ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝π3，∴|a ＋b ＋c|2＝(a ＋b ＋c)·(a ＋b ＋c) ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a|·|b|·cos 〈a ，b 〉＋2|a|·|c|cos 〈a ，c 〉＋2|b|·|c|cos 〈b ，c 〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100， ∴|a ＋b ＋c|＝10.一、选择题1．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是导学号 33780733( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定[答案] B[解析] BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－ AB →·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉＝BC →·BD →|BC |·|BD |>0，∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角， ∴△BCD 为锐角三角形．2．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是导学号 33780734( )A ．2B ． 3C ． 5D ．7[答案] C[解析] 如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1→＋A 1F → ＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以|EF →|2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2(－12a·12b ＋12b·c －12a·c) ＝14×22＋14×22＋22＋2×(－14)×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF|＝ 5.3．已知PA ⊥平面ABC ，垂足为A ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于导学号 33780735( )A ．62B ．6C ．12D ．144[答案] C[解析] ∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →，∴PC →2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144. ∴|PC →|＝12.4．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为导学号 33780736( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°[答案] D[解析] 由条件知，|BA 1→|＝2a ，|AC →|＝2a ， BA 1→·AC →＝(AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →) ＝AA 1→·AB →－|AB →|2＋AA 1→·AD →－AB →·AD → ＝－|AB →|2－AB →·AD →＝－a 2，∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA →|·|AC →|＝－a 22a·2a ＝－12.∴向量BA 1→与AC →所成的角为120°，故选D. 二、填空题5．已知|a|＝2，|b|＝2，a·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________.导学号 33780737 [答案]3π4[解析] cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝－22，∴〈a ，b 〉＝3π4.6．已知正方体ABCD －A′B′C′D′的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA′→＝c ，则导学号 33780738(1)AC′→·DB′→＝________；cos 〈AC′→，DB′→〉＝________； (2)BD′→·AD →＝________. [答案] (1)1 13(2)1[解析] (1)AC′→·DB′→＝(a ＋b ＋c)·(a －b ＋c) ＝a 2＋c 2＋2a·c －b 2＝1，|AC′→|2＝(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c ＝3，∴|AC′→|＝3， |DB′→|2＝(a －b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2－2a·b ＋2a·c －2b·c ＝3，∴|DB′→|＝3， ∴cos 〈AC′→，DB′→〉＝AC′→·DB′→|AC′→|·|DB′→|＝13.(2)BD′→·AD →＝(b ＋c －a)·b ＝|b|2＋b·c －b·a ＝1. 三、解答题7．如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ADC ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，求线段PC 的长.导学号 33780739[解析] ∵PC →＝PA →＋AD →＋DC →， ∴|PC →|2＝(PA →＋AD →＋DC →)2＝|PA →|2＋|AD →|2＋|DC →|2＋2PA →·AD →＋2AD →·DC →＋2DC →·PA →＝62＋42＋32＋2|AD →||DC →|cos120°＝61－12＝49.∴|PC →|＝7，即PC ＝7.8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为D 1C 1的中点，试求A 1C 1→与DE →所成角的余弦值.导学号 33780740[解析] 设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.∵A 1C 1→＝AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DE →＝DD 1→＋D 1E →＝DD 1→＋12D 1C 1→＝c ＋12a ，∴A 1C 1→·DE →＝(a ＋b)·(c ＋12a)＝a·c ＋b·c ＋12a 2＋12a·b ＝12a 2＝12.又∵|A 1C 1→|＝2，|DE →|＝12＋122＝52， ∴cos 〈A 1C 1→，DE →〉＝A 1C 1→·DE →|A 1C 1→||DE →|＝122×52＝1010，∴A 1C 1→与DE →所成角的余弦值为1010.。

高中数学人教版选修2-1习题第3章空间向量与立体几何 3.1.4 含答案

第三章 3.1 3.1.4一、选择题1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是导学号 33780753( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c [答案] B[解析] a ·b ＝0⇒a ⊥b ，|a|2＝|b|2⇒(a ＋b)·(a －b)＝0⇒(a ＋b)⊥(a －b)； a ·b ＝a ·c ⇒a ⊥(b －c)；故A 、C 、D 均错．2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则AC 1→＝导学号 33780754( ) A ．i ＋j ＋k B ．13i ＋12j ＋15kC ．3i ＋2j ＋5kD ．3i ＋2j －5k[答案] C[解析] AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k. 3．给出下列命题：①若{a ，b ，c}可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d}也可作为空间的基底；②已知向量a ∥b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A 、B 、M 、N 是空间四点，若BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底，那么A 、B 、M 、N 共面；④已知向量组{a ，b ，c}是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是导学号 33780755( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA →、BM →、BN →共面且过相同点B ，故A 、B 、M 、N 共面．下面证明①④正确．①假设d 与a 、b 共面，则存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使d ＝kc ，∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μkb ，∴c 与a 、b 共面与条件矛盾．∴d 与a ，b 不共面．同理可证④也是正确的．4．已知a ＋b ＋c ＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为导学号 33780756( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对[答案] C[解析] 由题意a ＋b ＝－c ，两边平方得， |c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 〈a ，b 〉，即19＝4＋9＋2×2×3cos 〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.5.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N.设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，用a 、b 、c 表示向量MN →为导学号 33780757( )A.13a ＋13b －c B ．a ＋13b ＋13cC.13a －13b ＋13c D ．13a ＋13b ＋13c[答案] D[解析] MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a)＋a ＋13(b －a)＝13a ＋13b ＋13c. 6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1＋e 2，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3({e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底)且d ＝xa ＋yb ＋zc ，则x ，y ，z 分别为导学号 33780758( )A.52，－12，－1 B ．52，12，1C ．－52，12，1D ．52，－12，1[答案] A[解析] d ＝xa ＋yb ＋zc＝x(e 1＋e 2＋e 3)＋y(e 1－e 2－e 2)＋z(e 1＋e 2) ＝(x ＋y ＋z)e 1＋(x －y ＋z)e 2＋(x －y)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3∴⎩⎨⎧x ＋y ＋z ＝1x －y ＋z ＝2x －y ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52y ＝－12z ＝－1二、填空题7．若{a ，b ，c}是空间的一个基底，且存在实数x 、y 、z 使得xa ＋yb ＋zc ＝0，则x 、y 、z 满足的条件是________.导学号 33780759[答案] x ＝y ＝z ＝0[解析] 若x ≠0，则a ＝－y x b －zxc ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c}是空间向量的一个基底知a 、b 、c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.8．设命题p ：{a ，b ，c}为空间的一个基底，命题q ：a 、b 、c 是三个非零向量，则命题p 是q 的________条件.导学号 33780760[答案] 充分不必要。

高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案

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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数是（）
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
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A．4 B．3 C．2 D．1 解：C．当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ，但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2

新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.1.4

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.2已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.3在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是()⃗⃗⃗⃗⃗ 与点B的坐标相同A.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与点A的坐标相同B.向量ABC.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同 D.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同4点A (-1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( ) A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)A 在x 轴投影知y=0,z=0,由点A 在xOy 平面投影知z=0.故选B .5设{i ,j ,k }是空间的一个单位正交基底,a =2i -4j+5k ,b=i+2j-3k ,则向量a ,b 的坐标分别为 , .-4,5) (1,2,-3)6已知{a ,b ,c }是空间的一个基底,下列向量可以与p =2a -b ,q =a +b 构成空间的另一个基底的是 (填序号).①2a ②-b ③c ④a +c7如图,在边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,取点D 为原点建立空间直角坐标系,已知O ,M 分别是AC ,DD 1的中点,写出下列向量的坐标.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ,OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .-2,0,1) (1,1,2)8如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间任一点,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ,b ,c 表示为 .-12b +c9如图所示,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1).10已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 3,以{e 1,e 2,e 3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ,求向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.DC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2. ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1-e 3, ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PC ⃗⃗⃗⃗⃗=-12e 2+e 3+12(e 2-e 1-e 3)=-12e 1+12e 3.∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 能力提升1有下列叙述:①在空间直角坐标系中,x 轴上的点的坐标一定是(0,b ,c );②在空间直角坐标系中,在yOz 平面上点的坐标一定可写成(0,b ,c ); ③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标可记作(0,0,c ); ④在空间直角坐标系中,在xOz 平面上点的坐标是(a ,0,c ).其中正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4错,x 轴上的点的坐标应是(a ,0,0).②③④正确.2如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,设A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是 ( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.12a -12b +cD.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .3设p :a ,b ,c 是三个非零向量;q :{a ,b ,c }为空间的一个基底,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件a ,b ,c 不共面时,{a ,b ,c }可以当基底,否则不能当基底.当{a ,b ,c }为基底时,一定有a ,b ,c 为非零向量.4如图,在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在OA 上,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,N 是BC 的中点,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 的值为( ) A.12,-23,12B.-23,12,12C.12,12,-23 D.23,23,-125已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3,-1),把AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量(2,1,1)平移后所得向量的坐标是 .-4,-3,-1)6设{i ,j ,k }是空间向量的单位正交基底,a =3i+2j-k ,b=-2i+4j+2k ,则向量a ,b 的关系是 .a ·b =-6i 2+8j 2-2k 2=-6+8-2=0,∴a ⊥b .⊥b7已知在空间四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2c ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a+6b-8c ,对角线AC ,BD 的中点分别为E ,F ,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ = .EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴两式相加,得2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∵E 为AC 的中点,F 为BD 的中点,∴EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2c )+(5a+6b-8c )=6a+6b-10c .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a+3b-5c .a+3b-5c8已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标是(2,3,-1),求p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标.p =2a +3b -c .设p =x a +y (a +b )+z (a +b +c )=(x+y+z )a +(y+z )b +z c ,则有{x +y +z =2,y +z =3,z =-1,解得{x =-1,y =4,z =-1,故p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标为(-1,4,-1).9已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中x ,y ,z 的值.⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x=12,y=12,z=1.★10如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,把向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1和B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别用a ,b ,c 表示出来,证明A F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0. 则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b . ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b ) =12(|b |2-|a |2)=0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1. 同理EF ⊥B 1C.∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题第3章空间向量与立体几何 3.2 第3课时 Word版含答案

第三章 3.2 第3课时一、选择题1．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)、(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为导学号 33780881( )A.156 B ．－156C.153D ．以上都不对[答案] D[解析] ∵(0，－1，3)·(2，2，4)1＋94＋4＋16＝156，∴这个二面角的余弦值为156或－156.2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为导学号 33780882( )A ．－105 B ．105 C ．－155D ．155[答案] B[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)、B (2,2,0)、B 1(2,2,2)、E (0,2,1)．∴BD →＝(－2，－2,0)、BB 1→＝(0,0,2)、BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥BD →，n ⊥BB 1→，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2y ＝02z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y z ＝0. 令y ＝1，则n ＝(－1,1,0)．∴cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n ||BE →|＝105，设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BE →〉|＝105.3．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值为导学号33780883( )A.32B ．1010C.35 D ．25[答案] D[解析] 解法一：∵AM →＝AA 1→＋A 1M →，CN →＝CB →＋BN →， ∴AM →·CN →＝(AA 1→＋A 1M →)·(CB →＋BN →) ＝AA 1→·BN →＝12.而|AM →|＝(AA 1→＋A 1M →)·(AA 1→＋A 1M →)＝|AA 1→|2＋|A 1M →|2＝1＋14＝52. 同理，|CN →|＝52.如令α为所求角，则cos α＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.应选D.解法二：如图以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)、M (1，12，1)、C (0,1,0)、N(1,1，12)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎫1，12，1－(1,0,0)＝(0，12，1)，CN →＝(1,1，12)－(0,1,0)＝(1,0，12)．故AM →·CN →＝0×1＋12×0＋1×12＝12，|AM →|＝02＋⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， |CN →|＝12＋02＋⎝⎛⎭⎫122＝52.∴cos α＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1252·52＝25.4．(2015·河南洛阳市高二期末测试)正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝AB ＝2，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为导学号 33780884( )A.36 B ．66 C.33D ．63[答案] C[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题意得A (1，－1,0)、C (－1,1,0)、B (1,1,0)、S (0,0，2)． ∴CA →＝(2，－2,0)，BS →＝(－1，－1，2)，CS →＝(1，－1，2)．设平面SBC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BS →＝0n ·CS →＝0，∴⎩⎨⎧－x －y ＋2z ＝0x －y ＋2z ＝0，令z ＝2，得x ＝0，y ＝2， ∴n ＝(0,2，2)．设直线AC 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AC →〉|＝422×6＝33.5．已知向量n ＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A (－1,2,1)在α内，则 P (1,2,2)到α的距离为导学号 33780885( )A.55B ．5C ．25 D.510[答案] A[解析] ∵P A →＝(－2,0,3)，∴点P 到平面α的距离为d ＝|P A →·n ||n |＝|－4＋3|5＝55.6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM MC 1＝12，N 为BB 1的中点，则|MN |的长为导学号 33780886( )A.216a B ．66a C.156a D ．153a [答案] A[解析] 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，由条件知，MN →＝AN →－AM → ＝12(AB →＋AB 1→)－13AC 1→ ＝12(AB →＋AB →＋AA 1→)－13(AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→) ＝12(2a －c )－13(－c ＋a ＋b )＝23a －13b －16c ， |MN →|2＝⎝⎛⎭⎫23a －13b －16c 2＝19(2a －b －12c )2 ＝19(4|a |2＋|b |2＋14|c |2－4a ·b －2a ·c ＋b ·c ) ＝21a 236，∴|MN →|＝216a . 二、填空题7．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，CD ＝217cm ，则这个二面角的度数为________.导学号 33780887[答案] 60°[解析] 设〈AC →，BD →〉＝θ，∵CA ⊥AB ，AB ⊥BD ， ∴AC →·AB →＝BD →·AB →＝0，〈CA →，BD →〉＝180°－θ， ∴|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos(180°－θ)． ∴(217)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cos θ)， ∴cos θ＝12，∴θ＝60°.因此，所求二面角的度数为60°.8．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________.导学号 33780888[答案]64[解析] 解法一：取AC 、A 1C 1的中点M 、M 1，连接MM 1、BM .过D 作DN ∥BM ，则容易证明DN ⊥平面AA 1C 1C .连接AN ，则∠DAN 就是AD与平面AA 1C 1C 所成的角．在Rt △DAN 中， sin ∠DAN ＝ND AD ＝322＝64.解法二：取AC 、A 1C 1中点O 、E ，则OB ⊥AC ，OE ⊥平面ABC ，以O 为原点OA 、OB 、OE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC 中，BM ＝32AB ＝32， ∴A ⎝⎛⎭⎫12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，32，0，D ⎝⎛⎭⎫0，32，1， ∴AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，1，又平面AA 1C 1C 的法向量为e ＝(0,1,0)，设直线AD 与平面AA 1C 1C 所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AD →，e 〉|＝|AD →·e ||AD →|·|e |＝64.解法三：设BA →＝b ，BC →＝a ，BD →＝c ，由条件知a ·b ＝12，a ·c ＝0，b ·c ＝0，又AD →＝BD →－BA →＝c －b ，平面AA 1C 1C 的法向量BM →＝12(a ＋b )．设直线AD 与平面AA 1C 1C 成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AD →，BM →〉|＝|AD →·BM →||AD →|·|BM →|，∵AD →·BM →＝(c －b )·12(a ＋b )＝12a ·c －12a ·b ＋12b ·c －12|b |2＝－34. |AD →|2＝(c －b )2＝|c |2＋|b |2－2b ·c ＝2， ∴|AD →|＝2，|BM →|2＝14(a ＋b )2＝14(|a |2＋|b |2＋2a ·b )＝34，∴|BM →|＝32，∴sin θ＝64.三、解答题9．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点.导学号 33780889(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．[解析] (1)以A 为原点，AB →、AD →、AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)、D (0,1,0)、D 1(0,1,1)、E (a 2，1,0)、B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝(－a 2，1，－1)，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝(a2，1,0)．∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥ AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE .此时DP →＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥ AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0ax 2＋y ＝0，取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，－a2，－a )．要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.(3)连接A 1D 、B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则 cos θ＝n ·AD 1→|n |·|AD 1→|＝－a 2－a 21＋a 24＋a2 .∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos30°，即3a221＋5a 24＝32. 解得a ＝2，即AB 的长为2.10．(2015·福建理，17)如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB ＝BE ＝EC ＝2，G 、F 分别是线段BE 、DC 的中点.导学号 33780890(1)求证：GF ∥平面ADE ；(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．[解析] 解法一：(1)如图，取AE 的中点H ，连接HG、HD ，又G 是BE 的中点，所以GH ∥AB ，且GH ＝12AB .又F 是CD 中点，所以DF ＝12CD ，由四边形ABCD 是矩形得，AB ∥CD ，AB ＝CD ，所以GH ∥DF ，且GH ＝DF .从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF ∥DH .又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE, 所以GF ∥平面ADE . (2)如图，在平面BEC 内，过点B 作BQ ∥EC ，因为BE ⊥CE ，所以BQ ⊥BE . 又因为AB ⊥平面BEC ，所以AB ⊥BE ，AB ⊥BQ .以B 为原点，分别以BE ―→、BQ ―→、BA ―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)、B (0,0,0)、E (2,0,0)、F (2,2，1)．因为AB ⊥平面BEC ，所以BA ―→＝(0,0,2)为平面BEC 的法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量．又AE ―→＝(2,0，－2)、AF ―→＝(2,2，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AE ―→＝0n ·AF ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2z ＝02x ＋2y －z ＝0，取z ＝2，得n ＝(2，－1,2)．从而cos 〈n ，BA ―→〉＝n ·BA ―→|n |·|BA ―→|＝43×2＝23，所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23.解法二：(1)如图，取AB 中点M ，连接MG 、MF ，又G 是BE 的中点，可知GM ∥AE ，又AE ⊂平面ADE, GM ⊄平面ADE ，所以GM ∥平面ADE .在矩形ABCD 中，由M 、F 分别是AB 、CD 的中点得MF ∥AD . 又AD ⊂平面ADE, MF ⊄平面ADE ，所以MF ∥平面ADE .又因为GM ∩MF ＝M ，GM ⊂平面GMF ， MF ⊂平面GMF ，所以平面GMF ∥平面ADE ，因为GF ⊂平面GMF ，所以GF ∥平面ADE . (2)同解法一.一、选择题1．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于导学号 33780891( )A.23 B ．33C.23D ．13[答案] A[解析] 如图，连接C 1O ，过C 作CM ⊥C 1O .∵BD ⊥平面C 1CO ， ∴BD ⊥CM ， ∵C 1O ∩BD ＝O ， ∴CM ⊥平面BC 1D ，∴∠CDM 即为CD 与平面BDC 1所成的角，令AB ＝1，∴AA 1＝2，CO ＝22， C 1O ＝22＋(22)2＝92＝322，由CM ·C 1O ＝CC 1·CO 得，CM ＝23，∴sin ∠CDM ＝CM CD ＝23.2．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为导学号 33780892( )A ．(0°，90°)B ．90°C ．120°D ．(60°，120°)[答案] C[解析] OE →＝12(OA →＋OD →)，OF →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →·OF →＝14(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OD →·OB →＋OD →·OC →)＝－14|OA →|2.又|OE →|＝|OF →|＝22|OA →|，∴cos 〈OE →，OF →〉＝－14|OA →|212|OA →|2＝－12.∴∠EOF ＝120°，故选C.3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为导学号 33780893( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° [答案] C[解析] 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A (a ，a,0)，B (a,0,0)，D 1(0，a ，a )，B 1(a,0，a )，∴BA →＝(0，a,0)，BD 1→＝(－a ，a ，a )，BB 1→＝(0,0，a )，设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BA →＝(x ，y ，z )·(0，a,0)＝ay ＝0，n ·BD 1→＝(x ，y ，z )·(－a ，a ，a )＝－ax ＋ay ＋az ＝0， ∵a ≠0，∴y ＝0，x ＝z ，令z ＝1，则n ＝(1,0,1)，同理平面B 1BD 1的法向量m ＝(－1，－1,0)， cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－12，而二面角A －BD 1－B 1为钝角，故为120°.4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若F 、G 分别是棱AB 、CC 1的中点，则直线FG 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值等于导学号 33780894( )A.23 B ．54 C ．33D ．36[答案] D[解析] 解法一：如图，过F 作BD的平行线交AC 于M ，则∠MGF 即为所求．设正方体棱长为1，MF ＝24，GF ＝62，∴sin ∠MGF ＝36. 解法二：如图，分别以AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(－1,1,0)，∵F (12，0,0)、G (1,1，12)，∴FG →＝⎝⎛⎭⎫12，1，12，设直线FG 与平面A 1ACC 1所成角θ，则sin θ＝|cos 〈n ，FG →〉|＝|n ·FG →||n |·|FG →|＝122·62＝36.二、填空题5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，则A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小为________.导学号 33780895[答案] 30°[解析] 解法一：连接BC 1，设与B 1C 交于O 点，连接A 1O .∵BC 1⊥B 1C ，A 1B 1⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ，∴A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影为A 1O .∴∠OA 1B 就是A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角，设正方体的棱长为1.在Rt △A 1OB 中，A 1B ＝2，BO ＝22， ∴sin ∠OA 1B ＝BO A 1B ＝222＝12.∴∠OA 1B ＝30°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角为30°.解法二：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1(1，0,1)、C (0,1,0)．∴DA 1→＝(1,0,1)、DC →＝(0,1,0)．设平面A 1B 1CD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0y ＝0，令z ＝－1得x ＝1.∴n ＝(1,0，－1)，又B (1,1,0)，∴A 1B →＝(0,1，－1)， cos 〈n ，A 1B →〉＝A 1B →·n |A 1B →||n |＝12·2＝12.∴〈n ，A 1B →〉＝60°，∴A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角为30°.6．(2015·浙江理，13)如图，在三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则异面直线AN 、CM 所成的角的余弦值是________.导学号 33780896[答案] 78[解析] 如图，连接DN ，取DN 中点P ，连接PM 、PC ，则可知∠PMC 即为异面直线AN 、CM 所成角(或其补角)易得PM ＝12AN ＝2，PC ＝PN 2＋CN 2＝2＋1＝3，CM ＝AC 2－AM 2＝22，∴cos ∠PMC ＝8＋2－32×22×2＝78，即异面直线AN 、CM 所成角的余弦值为78.三、解答题7．(2016·北京理，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.导学号 33780897(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)因为平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥PD . 又P A ⊥PD ，所以PD ⊥平面P AB . (2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为PO ⊂平面P AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .如图建立空间直角坐标系O －xyz .由题意得，A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0,0,1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0，令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2.所以n ＝(1，－2,2)．又PB →＝(1,1，－1)，所以cos<n ，PB →>＝n ·PB →|n ||P B →|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33. (3)设M 是棱P A 上一点，则存在λ∈[0,1]，使得AM →＝λAP →. 因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)．因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD ，则BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0，解得λ＝14.所以在棱P A 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.8．(2015·陕西理，18)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.导学号 33780898图1 图2(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．[解析] (1)在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B (22，0,0)、E (－22，0,0)、A (0,0，22)、C (0，22，0)，得BC ―→＝(－22，22，0)、A 1C ―→＝(0，22，－22)，CD ―→＝BE ―→＝(－2，0,0)．设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC ―→＝0n 1·A 1C ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0y 1－z 1＝0，取n 1＝(1,1,1)；又⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD ―→＝0n 2·A 1C ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0y 2－z 2＝0，取n 2＝(0,1,1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63，即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63.。

人教版高中数学选修2-1第三章-空间向量与立体几何练习题及答案

第三章空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 及不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 及b 所在直线平行。

A .1 B .2 C .3 D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 及1CD 所形成角的余弦值为( )A .1010 B . 15C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ；_C_D_A_P_ N_B_M（2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a=-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( )A ．可构成直角三角形B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25]4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1及平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ；D 1C 1B 1A 1DABCC 1 B 1 A 1B A（2）求1C 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，1AC AA ==(1)证明：1ABA C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小（3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求S E ：EC 的值；若不存在，试说明理由.参考答案第三章空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-. 连结AC ，则§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x，设1,,A A a AD b DCc ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-，令24260xx +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），_C_D _A_P_ N _B _M _EA 1§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.A 2.D 3.B 4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ，于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1及AM 所成的角就是AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°. ∴AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 3.2立体几何中的向量方法新课标第一网1.A2.C3. （1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DEAC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥，又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得t =.设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,n =-，所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==7. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =，故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向，可知二面角1A A B C --的余弦值大小为77. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由正弦定理030ACB∠=.如右图，建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量，设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =，则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，），不妨取1,(3,1,1)mn ==则，1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DSa =，平面DAC 的一个法向量600aOS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°._C_A_S_F_BO（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且),(0,)DS CS ==.设,CEtCS = 则((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面. 作者于华东责任编辑庞保军。