3.1园的对称性
青岛版九年级数学上册课件：3.1圆的对称性2
推理格式：
B
B′
O A
O′ A′
如图所示： (1)∵⊙O 和⊙O′是等圆,且
A O B= A′O′B′, ∴A B=A′B′，A B= A′B′.
(2) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
条弦，OE⊥AB，OF⊥CD,垂足
分别为E，F.
B
F O
D
⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小 有什么关系？为什么？
⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关 系？为什么？ ∠ AOB与∠ COD呢？
• 如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线
与CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午3时32分26秒03:32:2622.4.13
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午3时32分22.4.1303:32April 13, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三3时32分26秒03:32:2613 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
(3) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
探索总结
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两 条弧、两条弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等.
九年级上册数学补充习题答案【三篇】
九年级上册数学补充习题答案【三篇】
【导语】数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
下面是xx为您整理的九年级上册数学补充习题答案【三篇】，仅供大家查阅。
3.1圆的对称性第1课时答案
1、CE=DE，BC=BD，AC=AD
2、3
3、D
4、D
5、作OG⊥CD，垂足为G，
∴EG=FG，
∵AC∥OG∥BD，OA=OB，
∴CG=DG，
∴CE=DF.
6、22cm或8cm.
7、（1）设OB与CC′的交点为P，则Rt△OCP≌Rt△OC′P，
∴OC′=OC；
（2）OC=BC；
（3）32
3.1圆的对称性第2课时答案
1-2、略
3、∠BOC=∠BOD，∠AOC=∠AOD.
4、D.
5、连接DB，△ABD≌△CDB（SAS）.
6、（1）连接OC，∠DOC=∠OCA=∠CAO=∠DOB；
（2）AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，如果CD=BD，那么AC∥OD，证明：连接AC，
∵∠DOC=∠BO D，∠A=∠C
∴∠BOC=∠A+∠C，即∠BOD=∠A，
∴AC∥OD.
7、不相等，略
3.1圆的对称性第3课时答案
1、50
2、70
3、D
4、B
5、70°
6、AB=CD=EF
7、作OD⊥AB，垂足为D，交CD于E，设⊙O半径为R，则R -3 -R -4 =1. ∴R=5，MN=10。
九年级数学上册(青岛版)课件：3.1 圆的对称性 (共16张PPT)
3.1 圆的对称性
初中数学
《高效课时通》
你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角 形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？
初中数学
《高效课时通》
圆绕着圆心 旋转任何角度后, 都能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
初中数学
《高效课时通》
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O和⊙O′. (2)在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角
3．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
初中数学
《高效课时通》
初中数学
谢谢！
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
3.1圆的对称性
C
D
自主学习：
1、圆是轴对称图形吗？ • 圆是轴对称图形.
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？
圆的对称轴是任意一条经过 ●O
圆心的直线,它有无数条对称轴. 你是用什么方法找到对称轴的? 利用折叠的方法即可解决上述问题.
自主学习：
2、按下面的步骤做一做： 1）拿出一张圆形纸片，把这个圆对折， 使圆的两半部分重合． 2）得到一条折痕CD． 3）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
探究二：垂径定理的应用
例１：如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交 AB于点C、D，且AC=BD。
求证：OA＝OB。
探究二：垂径定理的应用
例2：如图，已知在⊙O A 中，弦AB的长为8厘米， 圆心O到AB的距离为3厘 米，求⊙O的半径。
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧 AB”小. 于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用两个字母).
大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒DB
(用三个字母).
B
连接圆上任意两点间的线段叫做弦
(如弦AB).
A
●O
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
你说、我说、大家说：
当堂达标：
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径， A
则下A列、结A⌒C论=不A⌒D正确的B、是B（⌒C=CB⌒）D
3.1圆的对称性
探究一：垂径定理的三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
A B O
M└
●
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC = BC, AD = BD. ③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
D
条件
①一条直径 ②垂直于弦
垂 直 直 径
C
半 径
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
想一想:排水管中水最深多少?
解决求赵州桥拱半径的问题
例2、赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：连结OA． ∵OM⊥AB， 1 ∴ AM AB
AM OA 2 OM 2 3
∴AB＝2AM＝6(cm)．
2、 如图，已知在⊙O中，弦AB的长
为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
A
E
. O
B
题后小结：
1．作圆心到弦的距离和连 半径是圆中常见的辅助线；
8
C D
10
C
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
D
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
B C
O
O
A
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
D
A
青岛版数学九年级上册同步导学案：3.1.1圆的对称性
3.1.1 圆的对称性【学习目标】1、探索圆的轴对称性和垂径定理、推论2、能用垂径定理及推论进行计算和简单的证明【学习重难点】1、探索垂径定理的性质2、垂径定理及推论的应用【学习过程】 一、学习准备：填空:(1) 圆上任意两点间的部分叫做 。
大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫 。
(2) 连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫 .二、自主探究如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥ AB 于点M.右图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是 ;根据轴对称性质图中相等线段有 ;相等的劣弧有 .垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的弧.把垂径定理用符号语言表示为： 在⊙O 中，⎭⎬⎫⊥是直径CD M 于AB CD ⇒⎪⎩⎪⎨⎧2.以小组为单位交流讨论以下问题：如图：AB 是⊙O 的弦（不是直径）作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点E.(1)图形是轴对称图形吗？(2)发现的等量关系有： _________________________ .垂径定理的推论：平分弦( )的直径垂直 .几何语言表示：在⊙O 中精讲点拨，深化新知1、尝试证明例1，与课本所给方法比较，哪种方法更简洁？2、阅读例2，画出图形，以小组为单位讨论理清解答思路。
板演解答过程。
3、垂径定理及推论与勾股定理进行计算是常考内容，一般是在三角形中研究。
所以常见辅助线，常用数学思想有三、课堂小结：1、谈一谈，这节课你有哪些收获？2、对于本节所学内容你还有哪些疑惑？四、随堂训练1填空在直径650mm的圆柱形油槽中倒一些油后，截面如图。
若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
⊥于E，交⊙O于F，连接OA解: 过⊙O作OF AB设EF=x mm,∴OE=1⨯650-x=325-x2OE⊥AB∴AE= ，AB= .在Rt∆AOE中， OA2= + ,即= + .解得x1= ，x2= .答：油槽的最大深度为.2. 已知圆的半径为5，两平行弦长为6和8，则这两条弦的距离为.3. 已知AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，OE交AC于D，AC=8，DE=2OD = .4、下列命题正确的是( )A．弦的垂线平分弦所对的弧 B. 平分弦的直径垂直于这条弦C. 过弦的中点的直线必过圆心D. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心5、如图已知⊙Ｏ的半径为30mm, 弦AB=36mm,点O到AB的距离是，OAB 的余弦值为。
2022年九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.1圆的对称性教案新版青岛版
3.1圆的对称性教学目标【知识与能力】(1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；(2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题．【过程与方法】(1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；(2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧．【情感态度价值观】经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．教学重难点【教学重点】对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．【教学难点】能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．课前准备多媒体课件教学过程一、创设情境，导入新课问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？(如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴)．问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？生：折叠．今天我们继续来探究圆的对称性．问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？生：圆心和半径．问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？忆一忆：1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧．3．___________叫做等圆，_________叫做等弧．4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．二、探究交流，获取新知知识点一：圆的对称性1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．知识点二：垂径定理按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD ．3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．师：老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)师：通过第一步，我们可以得到什么？学生齐声：可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．师：很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？生：我发现了，AM =BM ，AC BC =，AD BD =．师：为什么呢？生：因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．师：还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？师生共析：如下图示，连接OA 、OB 得到等腰△OAB ，即OA =OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM =BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合．因此AM =BM ，AC =BC ，AD =BD ．师：在上述操作过程中，你会得出什么结论？生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．结论：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.例1：如教材69页图3-4，以△OAB 的顶点O 为圆心的⊙O 交AB 于点C ，D ，且AC =BD .求证：OA =OB .例2:1400多年前，我国隋唐时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度为37.02m ，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.23m.求拱桥所在圆的半径(精确到0.1m).知识点三：圆的中心对称性．问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．知识点四：同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系做一做：在等圆⊙O 和⊙O '中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠(如图3-8)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．小红认为''=AB A B ，''=AB A B ，她是这样想的：∵半径OA 重合，'''∠∠=AOB A O B ，∴半径OB 与OB '重合，∵点A 与点A '重合，点B 与点B '重合，∴AB 与A B ''重合，弦AB 与弦A B ''重合，∴AB =A B ''，AB =A B ''．生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例3：如书本71页图3-11，AB 与DE 是⊙O 的两条直径，C 是⊙O 上一点，AC ∥DE .求证：(1)弧AD =弧CE ；(2)BE =EC .知识点五：圆心角的度数与它所对弧的度数之间的关系思考：（1）把顶点在圆心的周角等分成360份，每份圆心角的度数是多少？（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，整个园被分成了多少份？每一份的弧是否 相等？为什么？ 师：整个圆1360的叫做1°的弧.1°的圆心角所对的弧是多少度；反之，1°的弧所对的圆心角是多少度.圆心角与它所对的弧有什么关系？生：1°的圆心角所对的弧是1°；1°的弧所对的圆心角是1°.结论：圆心角的度数与它所对弧的度数相等.例4：如书本73页图3-14，OA ，OC 是⊙O 中两条垂直的直径，D 是⊙O 上的一点.连接AD 并延长与OC 的延长线相交于点B ，∠B =25°.求弧AD ，弧CD 的度数.例5：如书本73页图3-15，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长. 三、随堂练习1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例．2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：(1)是轴对称图形但不是中心对称图形；(2)是中心对称图形但不是轴对称图形；(3)既是轴对称图形又是中心对称图形．3．已知，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是AB 的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．四、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2．对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3．对老师说，你还有哪些困惑？。
《圆的对称性》
01
在古希腊和古埃及，数学家们开始研究圆的对称性，并探索其
几何性质。
欧几里得几何
02
在欧几里得几何中，圆被定义为所有到定点距离相等的点的集
合，这个定点被称为圆心。
反射对称性
03
圆的反射对称性是指，如果一个点在圆上，那么与它关于圆心
对称的点也在圆上。
圆的对称性的发展现状
微积分学的发展
在微积分学中，圆的对称性被进一步研究，并应用于解决各种 问题。
更广泛的应用
随着科技的发展，圆的对称性将会在更多的领域得到应用，例如 计算机图形学、人工智能等。
感谢您的观看
THANKS
。
03
工程学
在工程学中，圆的对称性被广泛应用于机械设计、建筑设计等领域。
例如，许多机械零件和建筑结构都采用了旋转对称性和反射对称性的
பைடு நூலகம்
原理进行设计和建造。
02
圆的基本性质
圆的定义
圆是平面上所有与给定点（称为圆心）的距离等于给定长度（称为半径）的点的 集合。
圆的方程通常表示为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是 半径。
测量与计算
圆的对称性在测量和计算 中也经常用到，如计算圆 的周长、面积等。
在物理学中的应用
运动学
圆的对称性在运动学中有着重要的应用，如物体 做圆周运动时的向心力和离心力。
光学
圆的对称性在光学中也有着重要的应用，如各种 光学仪器（如望远镜、显微镜等）的设计。
电磁学
在电磁学中，圆的对称性对于理解电磁场的分布 和性质非常重要。
在日常生活中的应用
建筑设计
圆的对称性在建筑设计中有着广泛的应用，如圆形屋顶、圆形窗 户等。
青岛版-数学-九年级上册-3.1 圆的对称性第3课时 课件
弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
对应练习2 1.一条弦把圆分成3:6两部分,则优弧所对的圆心角
为 240 o.
2.A、B、C为⊙O上三点,若 AB、BC、CA的度数之比为1:2:3,
则∠AOB= 60 °,∠BOC= 120°, ∠COA=180 °.
1
3.在⊙O中,AB弧的度数为60o,AB弧的长是圆周长的 6 . 4.一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆
在Rt△AOC中，AC OAsin AOC 2 sin 60 2
3 2
3
AB 2AC 2 3(cm)
对应练习1
1.一条弦把圆分成1:2两部分,则优弧所对的 圆心角为 240 o.
2.下列命题中正确的是（ C ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的弦所对的弧相等 C．垂直于弦的直径必平分弦 D．平分弦的直径必垂直于弦
4.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8 等分,那么每一份弧是多少度? 72o
45o
例2. 如图,在⊙O中,弦AB所对的劣弧为圆的 1 ,圆的半径
3
为2 cm，求AB的长.
解:连接OA,OB.由题意可知,
AB 的度数为 1 ×360o=120o
3
∴∠AOB=120o
作OC⊥AB,垂足为C,由OA=OB,所以∠AOC=60o,AC=BC.
1o弧的概念：
顶点在圆心的圆心角等分成360份时,每一份ห้องสมุดไป่ตู้圆心角
是1o的角,整个圆周被等分成360份,我们把每一份这样
的弧叫做1o的弧.(同圆中,相等的圆心角所对的弧相等)
结论：圆心角的度数和
1度 弧
C D
它所对的弧的度数相等.
1度 圆 心 角
O A
青岛版九年级数学上册课件3.1 圆的对称性
E D
A
C
课堂练习
1．如图1,在⊙O中,AC＝BD,∠AOB＝50º,求
∠COD的度数.
C
A
D
B
O
A
O
B
C
图1
图2
2．如图2,在⊙O中, AB＝ AC ,∠A＝40º，求
∠ABC的度数.
3.如图,在同圆中,若AB＝2CD,则AB与2CD的大小
关系是( B )．
A
C
A．AB＞2CD C． AB＝2CD
∠AOB ,∠A′OB′，连接AB、 A′B′ .
(3)将两张纸片叠在一起,使⊙O与⊙O′重合. (4)固定圆心,将其中一个圆旋转某个角度,使得OA 与OA′重合.你发现了什么?请与同学交流.
B′
O
O
A′
AB
AB
议一议
当OA与O′A′重合时， ∵∠AOB＝∠A′O′B′， ∴OB与O′B′重合.
又∵OA＝O′A′，OB＝O′B′，
1°的圆心角 O
C 1°的弧 D
B n°的弧
A n°的圆心 角
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
典型例题
例1 如图, AB、AC、BC都是⊙O的弦,∠AOC＝ ∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
O
A
B
C
例2 如图,在△ABC中, ∠C＝90°, ∠B＝ 28°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC与 点E．求AD、DE的度数.
∴点A与点A′重合，点B与点B′重合.
∴ AB ＝ AB 重合，AB与A′B′重合，即
AB＝ AB ，AB＝A′B′ .
B A
O
B′ A′
O′
∠AOB ＝∠ A′O ′ B ′
《圆的对称性》圆圆的对称性
圆对称性的性质被广泛应用于工程设计中，例如建筑设计、机械设计等领域。
自然界中的圆
很多自然现象中都涉及到圆，例如天体运动、植物生长等，这些现象中圆对称性 的应用也体现了数学在实际生活中的应用。
04
与圆对称性有关的问题
如何判断一个图形是否具有圆对称性
01
判断一个图形是否具有圆对称性，需要观察该图形的形状和特征，判断其是否 具有旋转对称性和反射对称性。
圆的直径
直径是圆中最长的弦，其长度为圆的半 径的两倍。
圆心角
顶点在圆心，一个角两边都是半径的角 叫做圆心角。
02
圆的对称性分类
轴对称
定义
将圆形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合， 这种特性称为轴对称。
例子
圆心为轴对称中心，圆的任意一条直径所在的直线都是圆的 对称轴。
中心对称
定义
将圆形绕着圆心旋转180度后能够与原来的圆形重合，这种特性称为中心对 称。
学习圆对称性的相关数学定理
学习圆的周长公式和面积公式
圆的周长和面积是圆的两个重要的量，学生需要掌握它们的计算方法，并能 够用它们来解决问题。
学习圆的弧长公式
弧长是圆中一个重要的量，学生需要了解弧长的计算方法，并能够用它来解 决问题。
学习圆对称性在日常生活中的应用
学习圆在日常生活中的应用
圆在日常生活中有很多应用，例如车轮、方向盘、呼啦圈等都是圆的应用。学生 需要了解这些应用中圆的作用，并能够解释这些应用的原理。
2023
《圆的对称性》圆圆的对 称性
目录
• 圆的性质介绍 • 圆的对称性分类 • 圆对称性的应用 • 与圆对称性有关的问题 • 圆对称性的拓展学习
01
3.1圆的对称性(3)(弧度)
n°弧 ∵把圆心角等分成360份,则每一
份的圆心角是1º.同时整个圆也 被分成了360份.
Ｂ Ａ n°
则每一份这样的弧叫做1º的弧.
这样,1º的圆心角对着1º的弧,
Ｏ
1°
1º的弧对着1º的圆心角.
1°弧
n º的圆心角对着nº的弧,
n º的弧对着nº的圆心角.
C
D
O
A
解：连接OD.由已知∠AOB=90°，
∠B=25°，则∠A=65°. ∵OA=OD
∴AD的度数为50°.
∴ ∠ODA= ∠A=65°.
∵AC的度数为90°,
于是∠DOA=180°-（ ∠ODA+∠A ）∴CD的度数= AC的
= 180°-（ 65°+65° ）=50°
度数- AD的度数 =90°-50°=40°.
（1）弧AB和弧CD相等；
（）
（2）弧AB所对的圆心角和弧CD所对的圆心角相等。 （）
O
C
D
A
B
度数相等的角是等角， 但度数相等的弧不一 定是等弧（除非在同 圆或等圆中）。
例题4
B
如图，OA,OC是⊙O中两条垂直的半径，D是 ⊙O上的一点.连接AD并延长与OC的延长 线相交于点B， ∠B=2A5D°,C.求D的度数.
学习目标
• 1、了解1度的弧，知道圆心角与其所对弧 的度数的关系。
• 2、会进行弧的度数的有关计算。
• 重点：进行弧的度数的有关计算 • 难点：进行弧的度数的有关计算
1、把顶点在圆心的周角等分成360份，每一 份圆心角的度数是多少 ？
2、把顶点在圆心的周角等分为360份时，整 个圆被分成了多少份？ 每一份的弧是否相等？为什么？
圆的对称性教学反思
3.1圆的对称性教学反思九年级上册第三章第一节圆的对称性分为3个课时，今天我讲授的是第一课时。
这节课结束了，喜忧掺半，我进行了课后反思，反思如下：圆的轴对称性、垂径定理是圆的重要性质之一，在圆的有关内容中占有举足轻重的地位，是今后研究圆与直线的位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，垂径定理反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、弧相等的重要依据，因此，它是整节书的重点，理解和证明垂径定理是本节课的难点，尤其学生在证明弧相等时比较吃力，语言表达不好。
在教学中也是一节较难把握的课.1、依据学生的实际水平，在课堂上我采用“积极评价”的思想，通过自评互评的方式鼓励学生积极回答问题，找到数学课堂中的自信。
通过自主探索，合作交流的学习方式，培养学生的合作意识，及时反馈学生的学习效果。
在教学设计上重视了现实生活对数学的需要，重视了不同的学生对数学不同的需要，让绝大部分学生都有所得。
在教学中，我注意了前后知识的链接，为学生创设了轻松、愉快、的学习氛围，真正让学生在学习中感悟到了生活中的数学美。
2、整节课有些“前松后紧”，垂径定理的认识中，用时过长。
课堂教学中发现学生知识点掌握比较好，学习中投入性和主动性比较高，乐于发表自己的见解，借助于课件既提高了学习效率，学生又格外感兴趣。
3、教学过程设计中，在认识垂径定理后有一环节“以下6幅图判断是否符合垂径定理的条件，牢记巩固垂径定理的必备条件。
”此处忘记及时的拓展总结：只要是过圆心的直线垂直于弦，都可以等到平分弦，平分弦对的优弧及劣弧，不一定非要是直径。
4、严谨的课堂结构，严谨的知识结构，是实现高效课堂的必备条件。
要让学生轻松、准确的掌握数学知识教师必须交给学生严谨的学习方法。
因此，以后的教学中我要努力提高自身的数学素养。
首先自己的数学语言应准确、严谨和简练的。
教师的数学语言给学生起示范作用，使学生潜移默化的学习数学语言，这便要求教师的教学语言要准确。
3.1圆的对称性
2、如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm， 求圆心O到弦AB的距离。
O
∟
A
E
B
3、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 四边形ADOE的形状？
C
E
·
D B
O
A
4、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为 AC和BD有什么关系？为什么？
AB的中点吗？
①
垂径定理：
②
如何判断圆的圆心的位置
弦的垂直平分线必定经过圆心！
③ 在解有关题目的时候，
常利用直角三角形的勾股定理！
M A
. O
B A C
C A O E
.
.O
N
D B
D
B
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
它有无数条对称轴.
●
O
交流合作探究：
CD为⊙O 直径，作弦 AB，使
AB⊥CD,若将⊙O 沿直径CD所
D
在的直线折叠，
A M C
B
D
探究总结：
根据前面的分析， 我们用数学语言表示一下条件和结论 条件： CD是直径 CD⊥AB 总结：垂径定理 结论： AM=BM AC BC
⌒= ⌒
过圆心的直线或线段
3.1 圆的对称性
一、圆的定义(旋转法定义)
1、在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点 O旋转一周，则• 另一个端点P所形成的封闭曲线 叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OP叫做半径。
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
第三章 对圆的进一步认识
A B O. .A C DB O 第三章 对圆的进一步认识 3．1圆的对称性(第一课时)【学习目标】1.会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；2.能利用垂径定理进行相关的计算和证明； 3、掌握垂径定理的推论学习重点：垂径定理的证明与简单应用；。
学习难点：垂径定理的证明及其简单应用。
【预习检测】 （1）、我们是用什么方法研究了轴对称图形?圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? （2）、垂径定理的内容是什么？它是圆中哪些元素的关系？ 【当堂训练】 1、判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧。
( ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心。
( ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分。
( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
( ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分。
( )2、如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径。
3、已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。
求证：AC ＝BD 。
. AOBE CDF4、已知：如图,AB 是⊙O 直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD. 求证：EC ＝DF5、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，C 为 AB 的中点，OC 交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.【达标检测】1、在圆中某弦长为8cm ，圆的直径是10cm ，则圆心到弦的距离是( )cm2、如图①，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB•的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A ．3：2 B2 C D ．5：4① ② ③3．如图②，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于E ，则下列结论中错误的是（ ） A ．∠COE=∠DOE B．CE=DE C ．AE=BE D ．弧BD=弧BC4、如图③，EF 是⊙O 的直径，OE=5，弦MN=8，则E 、F 两点到直线MN 的距离之和（ ）A A ．3B ．6C ．8D ．12【拓展提升】如图,在下列五个条件中:① CD 是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, 如果具备其中两个条件,能否推出其余三个结论成立？举例说明。
青岛版九年级数学上册《第3章对圆的进一步认识》PPT课件
O·
102 62 8 cm.
∴ AB=2AE=16cm.
例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB
于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
E
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm)
22
设OC=xcm，则OD=x-2,根据
·O
勾股定理，得 x2=42+(x-2)2，
（3）如果∠AOB=∠COD，那么___A_B__=_C_D_____，
__A_B__=_C_D_．
A
E
B
O·
D
F C
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE
与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF. 理由如下：
A
E
B
Q OE AB,OF CD,
O·
D
AE 1 AB,CF 1 CD.
的关系是（ A ） A. A⌒B=2⌒CD B. A⌒B>C⌒D C. A⌒B<C⌒D D. 不能确定
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， A⌒D＝B⌒C
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵ A⌒D＝B⌒C
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
B
经过两个已知点 A，B所作的圆的圆 心有什么规律?
●O3
它们的圆心都在线段AB的垂
直平分线上.
• 作图： 过已知点A,B作圆.
经过两点A,B的圆的圆心在线段 AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任 意一点为圆心,这点到A或B的距 离为半径作圆.
圆的对称性
知识点3.圆的对称性
圆的对称性包括：轴对称性、中心对称性、旋转不变性。
圆的轴对称性：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
旋转不变性：圆围绕着圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
提醒：（1）圆的对称轴是一条直线，所以不能说“直径就是圆的对称轴”，而是要注意强调“直径所在的直线”是圆的对称轴。
（2）圆的对称轴有无数条。
例1如图所示的是两个相等的圆相交形成的图形，下列结论
正确的是（）
A、它既是中心对称图形，又是轴对称图形。
B、它是中心对称图形，但不是轴对称图形。
C、它是轴对称图形，但不是中心对称图形。
D、它既不是中心对称图形，也不是轴对称图形。
提醒：
应用上面的结论时应注意以下几点：
①因为给出一个已知能够得出三个结论，所以在具体运用时，可以根据需要选择结论中的有关部分，如“在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等”。
②千万不能忽略了“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果没有这个前提条件，
即使圆心角相等，所对弧、弦也不一定相等，如图所示，两个圆的圆心
相同，AB与对应同一个圆心角，但AB与不是等弧,AB≠。
③因为一条弦所对的弧有两条，所以由“弦相等”得出“弧相等”时，
这里的“弧相等”指的是对应劣弧与劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。
例：如图所示⊙O的直径BC为一边作等边三角形ABC,AB,AC分别交⊙O于D,E两点。
求证BD=DE=EC 。
3.1.1 圆的对称性 第2课时湘教版九年级下册
失败是坚韧的最后考验. ——俾斯麦
●
O
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端
点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆平分成两条弧，每一
条弧都叫做半圆．
B O
·
C
A
劣弧与优弧 小于半圆的弧（如图中的 AC ）叫做劣弧； 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC ）叫
在⊙O中，CD⊥AB ∴ AB =2AM △OMA是直角三角形 在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6 根据勾股定理，得： AO 2 OM 2 AM 2 ∴
AM AO OM 10 6 8
2 2 2 2
B
O
D
∴ AB = 2AM = 2
×
8 = 16
例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对 的另一条弧.
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
（ 错 ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（ 对 ）
1.（绵阳·中考）如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且 AB=1，BC=2，则OA=（
B
）．
C
A O
D
A．
1 2
3
B．
2
C.
3 3
2
D．
1 2
可推得
③AM BM, ④ AC BC, ⑤ AD =OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∠AMO=∠BMO=90° ∴AM=BM.∴点A和点B关于直径CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
圆的对称知识点总结
圆的对称知识点总结一、基本概念圆是平面上所有点到一个固定点的距离都相等的集合。
这个固定点叫做圆心，相等的距离叫做半径。
圆通常用一个大写字母表示圆心，用一个小写字母r表示半径。
二、对称性圆具有很强的对称性，主要表现在以下几个方面：1. 中心对称：圆的中心是对称轴，圆上的每一个点关于圆心都有对称点。
2. 旋转对称：以圆心为中心，任意角度旋转圆都不变。
3. 轴对称：圆上的任意一条直径都是圆的轴对称线，即圆上的任意一点与圆心连线的垂直平分线。
三、对称性的运用圆的对称性在数学、几何学和物理学等领域都有着广泛的应用。
在几何学中，圆的对称性在解题过程中经常发挥重要作用，可以帮助我们简化问题、找到解题的突破口。
在建筑设计和艺术创作中，圆的对称性也常被运用，可以创造出和谐美观的作品。
四、圆的对称性性质圆的对称性具有以下性质：1. 对称轴上的任意两点的对称点也在对称轴上。
2. 对称轴上的点到对称轴的距离相等。
3. 对称变换保持了图形的大小和形状不变。
五、圆的对称性的应用圆的对称性在日常生活中也有着广泛的应用。
如镜子、会旋转的木马等等都具有对称性，因此在制作这些用具时，需要考虑图形的对称性，这样会使产品更加美观，使用起来也更加安全。
六、圆的对称图形圆拥有非常丰富的对称图形，例如：1. 圆形2. 半圆形3. 扇形4. 弧形5. 弦形这些对称图形在实际生活中都有着广泛的应用，如构造街道的拱门、钟表的表盘等。
七、圆的对称性的研究圆的对称性不仅仅在几何学中有重要的应用，在现代数学中也有着广泛的研究。
在拓扑学中，圆是一个最基本的几何图形，对称性是研究圆的基本属性的重要内容之一。
在几何结构、代数结构等领域中，圆的对称性也有着深入的研究和运用。
八、总结圆是一个非常特殊的几何图形，具有很强的对称性，对称性在数学、几何学和现实生活中都有着广泛的应用。
圆的对称性性质以及对称图形的研究都是数学领域的重要内容，对于学生来说，深入理解圆的对称性有助于提高他们的数学素养和数学思维能力。
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圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象. 圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
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？ ？
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为什么圆的任意一条直径所在的直线是它的对称轴
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如图， 是 的任意一条直径， 如图，EF是⊙O的任意一条直径， 的任意一条直径 P是⊙O上任意一点， 是 上任意一点， 上任意一点 过点P作 的垂线 的垂线， 交点Q， 过点 作EF的垂线，与⊙O交点 ， 交点 F 直线EF与线段 的关系如何 直线 与线段PQ的关系如何？ 与线段 的关系如何？ Q E P M
能够重合的两个圆叫作相等的圆， 能够重合的两个圆叫作相等的圆，或等圆
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•教师点评 教师点评
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1、这个以点O为圆心，以OA的长为半径的圆称 、这个以点 为圆心 为圆心， 的长为半径的圆称 作“圆O”，记作“⊙O”． ，记作“ ． r O A 注意： 注意： (1)圆心和半径是确定一个 圆心和 圆心 半径是确定一个 圆的两个必要条件， 必要条件 圆的两个必要条件，圆心 决定圆的位置 位置， 决定圆的位置，半径决定 圆的大小 二者缺一不可． 大小， 圆的大小，二者缺一不可． (2)圆心相同，但半径不相等的圆称为 圆心相同， 圆心相同 同心圆；圆心不同， 同心圆；圆心不同，半径相等的圆是 等圆． 等圆．
r
·
我国古人很早对 圆就有这样的认 识了， 识了，战国时的 墨经》 《墨经》就有 “圆，一中同长 的记载． 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径． 都等于半径．
线段OA叫做半径 线段 叫做半径 叫做 以点O为圆心的圆，记作“ 以点 为圆心的圆，记作“⊙O”， 为圆心的圆 ， 读作“ 读作“圆O”． ．
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动态：在一个平面内，线段 动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一 绕它固定的一 个端点O旋转一周 另一个端点A所形成的图 旋转一周， 个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图 形叫做圆 形叫做圆．
静态：圆心为 、半径为r的圆可以看成是所有 静态：圆心为O、半径为 的圆可以看成是所有 到定点O的距离等于定长 的点组成的图形． 的距离等于定长r 到定点 的距离等于定长 的点组成的图形．
圆是轴对称图形， 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
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探究
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把车轮做成圆形， 把车轮做成圆形，车轮上各点到车 轮中心（圆心） 轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半 当车轮在平面上滚动时， 径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心 与平面的距离保持不变，因此， 与平面的距离保持不变，因此，当车辆 在平坦的路上行驶时， 在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉 到非常平稳， 到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的 数学道理． 数学道理．
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从画圆的过程可以看出什么呢？ 从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心 ）的距离都等于定长 ）圆上各点到定点（圆心O） 半径r）； （半径 ）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． ）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
归纳：圆心为 、半径为r的圆可以看成是所有 归纳：圆心为O、半径为 的圆可以看成是所有 到定点O的距离等于定长 的点的集合． 的距离等于定长r 到定点 的距离等于定长 的点的集合．
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Your site 足为 垂足为D 如图作 垂足为 在Rt △ ADO中 中 连结OA 连结
OD = OA − AD
2 2
2
∴OD 2 = 52 − 32
∴ OD=4 的距离为4㎝ ∴圆心到AB的距离为 ㎝ 圆心到 的距离为
A
O ·
D
B
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预习课本P61 63 预习课本P61—63， P61 63， 尝试完成课本P61 P61的练习 尝试完成课本P61的练习
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圆的位置由什么来确定？ 1. 圆的位置由什么来确定？圆的大小由什么 来确定?要画一个圆需要哪些元素? 来确定?要画一个圆需要哪些元素? 以点O为圆心的圆怎么表示? 2. 以点O为圆心的圆怎么表示?什么样的 两个圆叫等圆？ 两个圆叫等圆？
是什么呢~!
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LOGO 随堂巩固
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与圆有关的概念
弦
连接圆上任意两点的线段（如图 ） 连接圆上任意两点的线段（如图AC） 叫做弦， 叫做弦 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 经过圆心的弦（如图中的 ）叫做直径． 直径
B
注意: 注意:
1、弦和直径都是线段。 弦和直径都是线段。 2、直径是弦,是经过圆心的特殊 直径是弦, 弦，是圆中最长的弦但弦不一定 是直径. 是直径.
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2.在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直 在白纸的圆上面画任意一条直径， 在白纸的圆上面画任意一条直径 径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？ 径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？
C
·
E A
O
B D
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LOGO ……
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LOGO 练习
1、请写出图中所有的弦； 、请写出图中所有的弦；
A
B
O D
C
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LOGO 练习 2.下述命题是否正确？为什么？ 下述命题是否正确？为什么？ 下述命题是否正确
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦； ）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦； 正确 根据垂径定理
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如图，在一个平面内，线段 绕它固定的一个 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫做 所形成的图形叫做圆 端点 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． 旋转一周
A
固定的端点O叫做圆心 固定的端点 叫做圆心 叫做
O
圆心 •1.圆是中心对称图形,它的对称中心是___. 1.圆是中心对称图形,它的对称中心是___. 1.圆是中心对称图形 •2.圆的位置由 圆心 来确定,圆的大小 2.圆的位置由 来确定, 2. 来确定. 由 半径 来确定.两个半径相等的圆 叫 等圆 . ⊙O 3.如图 这个以点0为圆心的圆记作_____, 如图: 3.如图:这个以点0为圆心的圆记作_____, C 是它的直径, 线段 ＡC 是它的直径, 2 图中有___条半径, ___条半径 图中有___条半径,它们 B O ＯＡ ＯＢ ___、 是___、__ 和ＯＣ ___. 4.在左图中有几条弦 在左图中有几条弦? 4.在左图中有几条弦?用字母 把它们表示出来. 把它们表示出来 A 条弦，即弦ＡＣ ＡＢ. ＢＣ） ＡＣ. （有３条弦，即弦ＡＣ ＡＢ .ＢＣ）
（2）圆只有一条对称轴 ）圆只有一条对称轴. 错
有无数条对称轴 任意一条直径所在的直线都是它的对称轴. 任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
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练习
3. 已知⊙O的半径为 已知⊙ 的半径为 的半径为5cm，弦AB的长为 的长为6cm求圆心到 的 求圆心到AB的 ， 的长为 求圆心到
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LOGO 定理1 定理
垂直于弦的直径平分这条弦． 垂直于弦的直径平分这条弦．
证明: 证明
如图， 与弦AB垂直 如图，在⊙O中，直径 与弦 垂直， 中 直径CD与弦 垂直， 垂足为E，连结 垂足为 ，连结OA,OB. 由于， 由于，OA=OB OAB是等腰三角形 是等腰三角形. 因此△OAB是等腰三角形. 是底边AB上的高 又OE是底边 上的高， 是底边 上的高， 因而OE也是底边 上的中线 因而 也是底边AB上的中线， 也是底边 上的中线， 从而AE=BE. 从而 现在你能说出道理吗 O· A E D B C
这体现圆具有什么样的对称性？ 这体现圆具有什么样的对称性？
……
你能讲出圆具有这种 对称性的道理吗？ 对称性的道理吗？
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LOGO 现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心， 现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不 让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后， 动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是否 仍然与硬纸板上的圆重合？ 仍然与硬纸板上的圆重合？ ……
·
……
这体现圆具有什么样的性质？ 这体现圆具有什么样的性质？
圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度， 圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自 身重合.特别地 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 特别地， 身重合 特别地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
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O
·
C
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A
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1、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆， 用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆， 它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面， 它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两 个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？ 个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？
这两个圆 重合
·O
根据定理1 EF平分 根据定理1，EF平分 弦PQ，从而直线 是线 ，从而直线EF是线 的垂直平分线． 段PQ的垂直平分线． 的垂直平分线 于是点P与点 关于直线 对称，因此， 关于直线EF对称 于是点 与点Q关于直线 对称，因此，圆O关于直线 对称． 与点 关于直线EF对称 关于直线 对称． 这样我们证明了圆还有下述性质： 这样我们证明了圆还有下述性质：