特级教师工作室之变式题组：七下第1章平行线背景下的折叠问题

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七年级数学下平面图形折叠问题

初一数学中的折叠问题张文彩折叠问题是一个热点问题，不仅在中考中居于很重要的地位，而且在初一初二年级的期中期末考试中都是经常遇到的题目。

初一年级的折叠问题大多是与平行有关的问题，然后根据平行线的性质求出有关角的度数问题，初二的折叠问题不仅与平行线有关，还和直角三角形的勾股定理，等腰三角形性质等相关的问题，初三的折叠问题就显得复杂得多，因为与初中阶段所学的各个知识点都有可能相关。

下面就从最简单的初一数学知识有关折叠的问题进行总结。

一．折叠矩形的一个角，求角的度数问题。

例1.如图，将矩形ABCD 沿AE 对折，使点D 落在点F 处，若∠CEF=60°，则∠EAF 等于（）；∠AED 的大小为（）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°解析：根据折叠的性质，折叠的角等于原图形中的角，也就是∠DEA=∠FEA ；再根据平角的度数是180°和条件∠CEF=60°，先求出∠DEA ，然后根据三角形内角和是180°求出∠DAE ，最后求出∠EAF 。

解：∵∠CEF=60°，∴∠DEA=21（180°-60°）=60°．在Rt △ADE 中，∠DAE=90°-∠DEA=90°-60°=30°．∵△EAF 由△EAD 翻折而成，∴∠EAF=∠EAD=30°．故选D．例2.将矩形ABCD沿折线EF折叠后点B恰好落在CD边上的点H处，且∠CHE=40°，求∠EFB的度数．解析：折叠的性质：折叠后得到的角等于原来的角，也就是∠EHF=∠B=90°，∠EFH=∠BFE. 因为∠CHE=40°，所以∠FHC=90°+40°=130°，再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求得∠HFB，最后求得∠EFB的度数。

初一下学期-平行线与相交线-折叠问题

折叠问题一．选择题（共9小题）1．如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C、D分别落在M、N的位置，且∠MFB=∠MFE．则∠MFB=（）A．30°B．36°C．45°D．72°2．如图，等边三角形ABC的边长为1cm，DE分别是AB、AC上的点，将△ABC 沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm3．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=4，BC=8，则△BC′F的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．244．如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=20°，AB+BD=AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于（）A．80°B．60°C．40°D．30°5．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的大小为（）A．30°B．40°C．45°D．60°6．如图，D是AB的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上点F处，若∠B=50°，则∠EDF的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将△BCD沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，则∠ADE等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°二．填空题（共2小题）10．如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM=∠EFM，则∠BFM=度．11．如图所示，把△ABC沿直线DE翻折后得到△A'DE，如果∠A=45°，∠A'EC=25°，那么∠A'DB的度数为．折叠问题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C、D分别落在M、N的位置，且∠MFB=∠MFE．则∠MFB=（）A．30°B．36°C．45°D．72°【分析】由折叠的性质可得：∠MFE=∠EFC，又由∠MFB=∠MFE，可设∠MFB=x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2x=180，解此方程即可求得答案．【解答】解：由折叠的性质可得：∠MFE=∠EFC，∵∠MFB=∠MFE，设∠MFB=x°，则∠MFE=∠EFC=2x°，∵∠MFB+∠MFE+∠EFC=180°，∴x+2x+2x=180，解得：x=36°，∴∠MFB=36°．故选：B．【点评】此题考查了折叠的性质与平角的定义．此题比较简单，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．2．如图，等边三角形ABC的边长为1cm，DE分别是AB、AC上的点，将△ABC 沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm【分析】由题意得到DA′=DA，EA′=EA，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC的周长即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得：DA′=DA，EA′=EA，∴阴影部分的周长=DA′+EA′+DB+CE+BG+GF+CF=（DA+BD）+（BG+GF+CF）+（AE+CE）=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．故选：C．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是准确找出该题图形中隐含的等量关系，灵活分析判断，准确计算解答．3．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=4，BC=8，则△BC′F的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．24【分析】根据折叠得出BC'=CD=AB=4，C'F=CF，进而得到BF+C'F=BF+CF=BC=8，再根据△BC′F的周长=BC'+BF+C'F，进行计算即可．【解答】解：由折叠可得，BC'=CD=AB=4，C'F=CF，∴BF+C'F=BF+CF=BC=8，∴△BC′F的周长=BC'+BF+C'F=4+8=12，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=20°，AB+BD=AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于（）A．80°B．60°C．40°D．30°【分析】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE，然后根据AC=AE+EC，AB+BD=AC，证得DE=EC，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．【解答】解：根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE．∵AC=AE+EC，AB+BD=AC，∴DE=EC．∴∠EDC=∠C=20°，∴∠AED=∠EDC+∠C=40°．故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明DE=EC是本题的关键．5．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的大小为（）A．30°B．40°C．45°D．60°【分析】连接BD，根据菱形的性质得到AD=AB，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，求出∠ADP=∠ADB=30°，根据折叠的性质计算即可．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，又∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∵P为AB中点，∴∠ADP=∠ADB=30°，∵AB∥CD，∴∠ADC=120°，∴∠CDP=90°，由折叠的性质可知，∠CDE=∠C′DE=∠CDP=45°，故选：C．【点评】本题考查的是菱形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图，D是AB的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上点F处，若∠B=50°，则∠EDF的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】连接AF交DE于G，由翻折的性质可知点G是AF的中点，故此DG是△ABF的中位线，于是得到DG∥BF，由平行线的性质可求得∠ADE=50°．【解答】解：如图所示：连接AF交DE于G．∵由翻折的性质可知：AG=FG．∴点G是AF的中点．又∵D是AB的中点，∴DG是△ABF的中位线．∴DG∥FB．∴∠ADE=∠B=∠EDF=50°．故选：B．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、三角形中位线的定义和性质、平行线的性质，证得DG是△ABF的中位线是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将△BCD沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，则∠ADE等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CED的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDE由△CDB反折而成，∴∠CED=∠B=65°，∵∠CED是△AED的外角，∴∠ADE=∠CED﹣∠A=65°﹣25°=40°．故选：D．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出∠ADE=∠CED﹣∠A是解题关键．8．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．【解答】解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．故选：A．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．9．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S1【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA=60°，∴∠COB=120°，则∠COD=60°．∴S扇形AOC=；S扇形BOC=．在三角形OCD中，∠OCD=30°，∴OD=，CD=，BC=R，∴S△OBC =，S弓形==，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：B．【点评】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．二．填空题（共2小题）10．如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM=∠EFM，则∠BFM=36度．【分析】由折叠的性质可得：∠MFE=∠EFC，又由∠BFM=∠EFM，可设∠BFM=x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2x=180，解此方程即可求得答案．【解答】解：由折叠的性质可得：∠MFE=∠EFC，∵∠BFM=∠EFM，可设∠BFM=x°，则∠MFE=∠EFC=2x°，∵∠MFB+∠MFE+∠EFC=180°，∴x+2x+2x=180，解得：x=36°，∴∠BFM=36°．故答案为：36．【点评】此题考查了折叠的性质与平角的定义．此题比较简单，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．11．如图所示，把△ABC沿直线DE翻折后得到△A'DE，如果∠A=45°，∠A'EC=25°，那么∠A'DB的度数为65°．【分析】根据折叠的性质可知，∠A′ED=∠AED，再根据平角的定义和已知条件即可求解．【解答】解：∵把△ABC沿直线DE翻折后得到△A′DE，∴∠A′ED=∠AED，∵∠A′EC=25°，∴∠A′ED=（180°﹣25°）÷2=77.5°．∴∠A'DE=180°﹣45°﹣77.5°=57.5°，∴∠ADE=∠A'DE=57.5°，∴∠A'DB=180°﹣57.5°﹣57.5°=65°，故答案为：65°；【点评】考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．。

七年级数学下册平行线【折叠问题】专项练习题+答案

七年级数学下册平行线【折叠问题】专项练习题+答案1、把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若∠CDF=38°，则∠EFD的度数是（ B ）A.72°B.64°C.48°D.52°ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处.若△AFD的周长为18，△ECF的周长为6，四边形纸片ABCD的周长为（ B ）A.20B.24C.32D.48解：由折叠的（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）性质知，AF=AB，EF=BE. 所以四边形纸片ABCD的周长等于△AFD和△ECF的周长和为18+6=24. 故四边形纸片ABCD的周长为24.3.将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．则下列说法错误的是（ D ）A.AE⊥MNB.AM=EMC.∠BNO=∠FNOD.∠OEF=90°解：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．∠BAM和∠FEM是对应角，所以∠BNO=∠FNO，∠BAM=∠FEM=90°，4.如图，先将正方形ABCD对折，折痕为EF，将这个正方形展平后，再分别将A，B 折叠到折痕EF，使点A，B都与折痕EF上的点G重合，则下列说法错误的是（ B ）A.∠MGD=90°B.∠DGF=∠MGEC.DG=CGD.∠BCN=∠GCN解：将A，B折叠到折痕EF，使点A，B都与折痕EF上的点G重合，则直线MD，NC 分别是对称轴，根据轴对称图形中，（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）对应线段相等，对应角相等，5.图1的长方形ABCD中，点E在AD边上，AD∥BC，∠A=∠D=90°，∠BEA=60°．（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）现分别以BE，CE为折线，将A，D向BC的方向折过去，图2为对折后A，B，C，D，E五点在同一平面上的位置图．若，则∠BCE的度数为（ D ）A.30°B.32.5°C.35°D.37.5°解：分别以BE，CE为折线，将A，D向BC的方向翻折，则直线BE，CE分别是对称轴，6.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC于D，交AC于E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是多少cm．（ D ）A.26B.16C.18D.22由轴对称图形的性质，（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）得AD=CD，AE=CE．7.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，将△ABC对折，使A与B重合，折痕为DE，（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）若△BCD的周长为27cm，则BC的长为多少cm．（ C ）A.10B.9C.7D.138.在Rt△ABC中，CD=3cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上，且与BE重合，△ABD的面积是12cm²，则AB的长是多少cm（ A ）A.8B.4C.9D.3。

七年级数学下平面图形折叠问题

七年级数学下平面图形折叠问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初一数学中的折叠问题张文彩折叠问题是一个热点问题，不仅在中考中居于很重要的地位，而且在初一初二年级的期中期末考试中都是经常遇到的题目。

下面就从最简单的初一数学知识有关折叠的问题进行总结。

一．折叠矩形的一个角，求角的度数问题。

解：∵∠CEF=60°，∴∠DEA=21（180°-60°）=60°．在Rt △ADE 中，∠DAE=90°-∠DEA=90°-60°=30°．∵△EAF 由△EAD 翻折而成，∴∠EAF=∠EAD=30°．故选D ．例2. 将矩形ABCD 沿折线EF 折叠后点B 恰好落在CD 边上的点H 处，且 ∠CHE=40°，求∠EFB 的度数．解析：折叠的性质：折叠后得到的角等于原来的角，也就是∠EHF=∠B=90°，∠EFH=∠BFE. 因为∠CHE=40°，所以∠FHC=90°+40°=130°，再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求得∠HFB，最后求得∠EFB的度数。

七年级下册数学折叠问题

七年级下册数学折叠问题七年级下册数学折叠问题一、问题描述在许多数学教材中，有一种经典问题，被称为折叠问题。

正是通过这个问题，我们可以更深刻地认识盘古开天辟地所存在的数学逻辑和美学意义。

现在我们介绍七年级下册数学折叠问题。

二、问题求解首先，我们需要从一个长方形纸片中，剪出一个正方形。

然后，我们把长方形对折，将一条边与另一条边平行，并把两个角对齐。

接着，我们把纸片展开成一张长方形，再折成一个正方形。

最后，我们可以欣赏到一个美丽的完整图形，这个图形刚好是我们在前面剪下的那个正方形。

三、进一步探究这个问题看起来无聊而琐碎，但是，它引出了一个深刻的数学原理，即：等角定理。

我们在进行折叠操作时，实际上是在改变长方形内角的角度，从而使得边界在不同的位置相遇。

如果将这个长方形对折了一次，就相当于将其中一个内角旋转了180度，而且这个角度保存不变。

因此，无论我们如何对折纸片，都不会改变纸片的形状和大小，只会改变它的位置和朝向。

这个问题还揭示了一些有趣的数学性质。

例如，我们可以证明，无论我们从一个长方形纸片中剪下多大的正方形，最终都能通过折叠成一个新的完整图形。

这个结论对于我们理解数学的整体性非常重要，尤其是在计算几何和复杂图形识别中，也有着广泛的应用。

四、数学美学折叠问题还体现了一种数学美学的思维方式，即从简单的问题出发，然后探究它背后的数学原理。

这种思维方式和传统的数学教学方式不同，传统的数学教学常常是先讲授理论，再解决具体问题。

但是，从折叠问题这个例子来看，我们可以把具体的问题作为引子，然后再从中发掘出一些通用的数学原理和思维方式。

五、总结在这个文章中，我们介绍了七年级下册数学折叠问题，并探讨了它背后的数学原理和应用。

这个问题看起来非常简单，但是它通过一种独特的思维方式，揭示了一些深刻的数学原理和美学意义。

因此，我们应该从这个问题中受到启发，学会从简单问题中发掘出深刻的数学思维。

初中数学折叠问题(全)精品

初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x ，然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是．对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可GA'C D4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等321FEDCBA54132G D‘FC‘DBCAE9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B’C’与DN 交于P ．(1)连接BB’，那么BB’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y ，AB’=x ，求y 与x 的函数关系式；(3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．PC'NB CADMB'QPH C'N BCADM B'二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQa2130°BEFACD14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（）本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC -∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（）16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB BGE F D A EF D B C AB C60c m三、三角形中的折叠17．如图，把Rt△ABC（∠C=90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。

初中折叠问题解题技巧

初中折叠问题解题技巧
一、解题步骤
1、首先分析题目
通过阅读题目，了解题目的大致意思，从中抽出关键词，弄清楚题目问的到底是什么。

2、判断条件
根据题目内容，设置好条件，以便在继续解答题目之前，先将条件判断清楚。

3、运用初中数学知识
依据所判断的条件，运用基本的初中数学知识，选择合适的方法，解决问题。

4、完善解题
根据给出的条件，完善解题。

二、解题技巧
1、把折叠图当成二维坐标，运用初中数学中的直角坐标系来求解。

2、在解题的过程中，要注意各种图形之间的差异，避免将不同图形混为一谈。

3、把折叠模型画出来，用几何图形思维观察几何位置关系，得出结果。

4、对题目进行分解，从而将整体折叠模型的问题分解成两个或多个直角坐标系，以此类推，进行下一步的解答。

5、在解题过程中，要注意各种折叠的类型，例如横折叠、竖折叠、对折、三折等，要根据不同的类型，用不同的方法求解。

七年级下册期末复习第一章平行线常考经典较难题、压轴题例题(含解析)

平行线常考经典较难题、压轴题例题例1 翻折（2018•仙居县一模）如图，把一张长方形纸带沿着直线GF折叠，∠CGF=30°，则∠1的度数是．【练习】（2018春•莒县期中）如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为．例2 旋转（2017•上海中考）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是．【练习】1.（2017秋•前郭县期末改编）将一副直角三角尺ABC 和CDE 按如图方式放置，其中直角顶点C 重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE 绕点C 旋转，若DE ∥BC ，则直线AB 与直线CE 的较大的夹角∠1的大小为度．2.（2018春•滨海县期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是a°/秒，灯B 转动的速度是b°/秒，且a 、b 满足|a ﹣3b |+（a +b ﹣4）2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ ∥MN ，且∠BAN=45° （1）求a 、b 的值；（2）若灯B 射线先转动20秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作CD ⊥AC 交PQ 于点D ，则在转动过程中，∠BAC 与∠BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．1A EDBC例3 平行线的性质（2017春•南沙区期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC 有何数量关系？并说明理由．【练习】1. （2017春•武侯区校级期中）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．若∠E n=1度，那∠BEC等于度2．（2018春•宿豫区期中）如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=720°．3.（2018春•黄陂区期中）已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则=．4.（2017春•丰城市期末）数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BA n，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠B n﹣1、∠A n的关系拓展应用：（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为( )A.180°+α+β﹣γB.180°﹣α﹣γ+βC．β+γ﹣αD．α+β+γ②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是．例4 平移（2017春•上虞区期末）如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°（1）说明OB∥AC成立的理由．（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．【练习】如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是．例5 作图—应用作图题（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，在一条河的两岸有A，B两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置．【练习】（2016春•湖州市吴兴区期末）如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．（1）过点P画一条直线m，使得m∥a；（2）过B作BH⊥直线m，并延长BH至B′，使得BB′为直线a、m之间的距离；（3）若直线a、m表示一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．【巩固练习】一、选择题图2图1PBA1．（2018春•洪山区期中）如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK 的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°，则∠C等于（）A．24°B．34°C．26°D．22°第1题图第2题图2．（2018春•高新区校级期中）如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76°B．78°C．80°D．82°3．（2017春•祁阳县期末）在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定4．（2013春•汉阳区期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第4题图第5题图5．（2018•丰南区一模）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（）A．180° B．360°C．540° D．720°二、填空题6．（2018春•雁塔区校级月考）平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为个．7．（2018•河南模拟）如图所示，AB∥EF，∠B=35°，∠E=25°，则∠C+∠D的值为．第7题图第8题图第9题图8．（2018•昆山市二模）如图所示，AB∥CD，∠E=35°，∠C=20°，则∠EAB的度数为．9．（2017秋•遂宁期末）如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B﹣∠D=24°，则∠GEF=．10．（2017秋•福田区校级期末）已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直接于F，DE∥AB交AC所在直线于E．若∠A=80°，则∠FDE的度数是．11．（2018春•开福区校级期末）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小敏画平行线的依据可以是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，两直线平行．12．（2018春•青山区期中）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB=32°，则∠D′FD的度数为．13．（2018春•宁波期中）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是．三、解答题14. （余姚市校级期中）按要求解答下列问题：（1）分别按下列要求作出经过平移后的图形①把三角形ABC向右平移3格．②把第①题所得图形向上平移4格．（2）经（1）中二次平移后所得的图形，能通过三角形ABC一次平移得到吗？如果你认为可以，描述这个平移过程．（3）如图：直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路程最短？画出示意图，并用平移的原理说明理由15．（2018春•甘井子区期中）如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．16．（2017春•嘉祥县期中）（1）如图甲，AB∥CD，∠2与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程；（2）如图乙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系；（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．17．（2017春•成都期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．18．（2017春•乐亭县期中）已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．19．（2017春•碑林区校级期中）探究：如图①，已知直线l1∥l2，直线l3和l1，l2分别交于点C和D，直线l3上有一点P．（1）若点P在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有怎样的关系？并说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（点P与点C、D不重合），请尝试自己画图，写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由．（3）如图②，AB∥EF，∠C=90°，我们可以用类似的方法求出∠α、∠β、∠γ之间的关系，请直接写出∠α、∠β、∠γ之间的关系．20．（2017春•汉阳区期中）如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．21．（2015春•越秀区校级期中）已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）22．（2015春•巴南区校级期末）如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．23．（2017春•江北区校级期中）已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD 和∠BED的数量关系．24．（2017春•锡山区校级月考）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：（1）若∠DCE=35°，求∠ACB的度数；（2）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；（3）请你动手操作，现将三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE边与CA边重合，绕点C顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．21世纪教育网–中小学教育资源及组卷应用平台。

七年级折叠问题知识点

七年级折叠问题知识点折叠问题是数学中的一个经典问题。

在数学竞赛和考试中，被认为是一种基本函数，是考察数学运算能力和思维逻辑的基本题型之一。

而在七年级的数学课中，也会接触到一些折叠问题。

本文将介绍七年级折叠问题的知识点，供大家参考。

一、折纸图形的平移、旋转和对称在折叠问题中，图形的平移、旋转和对称是常见的变换方式。

因此，掌握这些变换的基本概念及性质是十分重要的。

1.平移变换平移变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形沿着某一方向移动一定距离后得到的新图形。

平移变换的性质是：对于平面上任意两点A和B，其平移后的位置A'和B'可以由向量AB和A'B'相等得到。

2.旋转变换旋转变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形绕给定的点（旋转中心）顺时针或逆时针旋转一定角度后得到的新图形。

旋转变换的性质是：任何平面上的图形旋转一周后均回到原来的位置。

3.对称变换对称变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形绕某条直线对称后得到的新图形。

对称变换的性质是：对称变换前后的图形具有相等的形状和大小。

二、折纸图形的叠合和重合折叠问题中，叠合和重合是两个核心概念。

只有掌握了这些概念，才能更好地解决折叠问题。

1.叠合叠合指的是将两个相同的图形重叠在一起，使它们完全重合的过程。

叠合要求两个图形的形状和大小完全相同。

2.重合重合指的是将两个不完全相同但有一定相似之处的图形重合在一起，使它们重合的程度最大。

重合要求两个图形的形状和大小不需要完全相同。

三、折纸图形的解析与构造折叠问题通常需要进行图形的解析和构造。

下面介绍两个基本的解析和构造方法。

1.解析方法解析方法指的是通过观察图形特征，确定图形各个部分的位置、大小和形状的方法。

解析方法的关键在于观察，要将图形各个部分的位置、大小和形状仔细观察、分析和比较，找出它们之间的关系，以便在后续的折叠中更好地处理图形。

2.构造方法构造方法指的是通过折叠纸张的方式，得到所需的图形的方法。

部编数学七年级下册专题4平行线中的翻折求角度问题及角度之间的关系(解析版)含答案

专题4 平行线中的翻折问题解题技巧（解析版）第一部分专题典例分析+针对训练类型一翻折一次典例1（2022春•大渡口区期末）如图，长方形纸片ABCD中，AB，DC边上分别有点E，F，将长方形纸片ABCD沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若∠GEB＝28°，则∠DFE的度数是（）A．75°B．76°C．77°D．78°思路引领：延长AB，FH交于点P，根据矩形的性质可得AB∥CD，从而利用平行线的性质可得∠P＝∠PFC，然后根据题意可得GE∥FH，从而利用平行线的性质可得∠GEB＝∠P，进而可得∠PFC＝28°，最后利用折叠的性质进行计算即可解答．解：延长AB，FH交于点P，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠P＝∠PFC，由题意得：GE∥FH，∴∠GEB＝∠P，∴∠GEB＝∠PFC＝28°，∴∠DFH＝180°﹣∠PFC＝152°，由折叠得：∠DFE＝∠EFH=12∠DFH＝76°，故选：B．总结提升：本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022春•渝北区月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B，C分别落在点M，N的位置，且∠AFM=12∠EFM，则∠NED的度数为（）A．72°B．35°C．43°D．36°思路引领：由折叠的性质可得：∠MFE＝∠BFE，得2∠MFA＝∠MFE，可设∠MFA＝x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2x＝180，解此方程即可求得答案．解：折叠的性质可得：∠MFE＝∠BFE，∴2∠MFA＝∠MFE，设∠MFA＝x°，则∠MFE＝∠BFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠BFE，∵AB∥CD，∴∠DEF＝∠BFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠NED＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故选：D．总结提升：此题考查了折叠的性质、平行线的性质，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．典例2（北仑区期末）如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°思路引领：设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．总结提升：本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．针对训练1．（2021春•达州期末）如图，长方形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE＝65°，则∠AEB＝．思路引领：依据平行线的性质可求得∠DEF的度数，然后依据翻折的性质可求得∠BEF的度数，于是可求得∠AEB的度数．解：∵AD∥BC，∠BFE＝65°，∴∠BFE＝∠FED＝65°．由翻折的性质可知：∠BEF＝∠DEF＝65°．∴∠AEB＝180°﹣65°﹣65°＝50°．故答案为：50°．总结提升：本题主要考查的是翻折的性质以及平行线的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．类型二翻折两次或多次典例3（2022春•潍坊期中）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD∥BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1+∠2＝90°C．∠1﹣∠2＝30°D．2∠1﹣3∠2＝30°思路引领：根据平行线的性质和补角的定义解答即可．解：如图所示：∵AD∥BC，∴∠DAE＝2∠2，即180°﹣2∠1＝2∠2，∴∠1+∠2＝90°，故选：B．总结提升：本题考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质以及补角的定义是解答本题的关键．典例4（2021秋•临海市期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F 位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着MP翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q 处．（1）若∠BMN＝70°，求∠AME的度数．（2）若∠PMQ＝α，试用含α的式子表示∠AMQ，并说明理由．思路引领：（1）根据翻折变换的性质可得：∠EMN＝∠BMN＝70°，再运用平角的定义即可求得答案；（2）由翻折可得：∠PMN＝∠PMQ＝α，∠BMN＝∠NMQ＝2α，再运用平角的定义即可求得答案．解：（1）如图1，∵将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置，∴∠EMN＝∠BMN＝70°，∴∠AME＝180°﹣（∠EMN+∠BMN）＝180°﹣（70°+70°）＝40°；（2）∠AMQ＝180°﹣4α．理由如下：如图2，∵将△PMN沿着PM翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处，∴∠PMN＝∠PMQ＝α，∴∠BMN＝∠NMQ＝2α，∴∠AMQ＝180°﹣（∠BMN+∠NMQ）＝180°﹣（2α+2α）＝180°﹣4α．总结提升：本题考查了几何变换﹣翻折的性质，平角定义的应用等，熟练掌握翻折变换的性质是解题关键．针对训练1．（2022•南京模拟）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿看BD翻折，使点A落在点A'处，且A′D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB＝75°，则∠C＝ °思路引领：先由平行线性质得：∠A′＝∠CBE，再由折叠可得：∠A＝∠A'，∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∠BC'E＝∠C，则∠A＝∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，由三角形内角和定理知∠BC'E+∠C'EB+∠DBE＝180°，而∠C'EB＝75°，可求得∠C+∠DBE＝105°，然后由∠A+∠C+∠ACB＝180°，则∠C+4∠DBE ＝180°，即可求出∠C度数．解：∵A′D∥BC，∴∠A′＝∠CBE，由折叠可得：∠A＝∠A'，∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∠BC'E＝∠C，∴∠A＝∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∵∠BC'E+∠C'EB+∠DBE＝180°，∠C'EB＝75°，∴∠BC'E+∠DBE＝105°，∴∠C+∠DBE＝105°，∵∠A+∠C+∠ACB＝180°，∴∠C+4∠DBE＝180°，∴∠C＝80°，故答案为：80°．总结提升：本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，求出∠C+∠DBE＝105°和∠C+4∠DBE＝180°是解题的关键．2．（2022•市南区校级一模）如图，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝α，按图进行翻折，使MD∥NG∥BC，ME∥FG，则∠NFE的度数是．思路引领：利用平行线的性质以及翻折的性质求解即可．解：∵MD∥NG∥BC，∴∠M＝∠MEF，∠N＝∠NFE，∵ME∥FG，∴∠MEF＝∠GFC，由翻折可知，∠ABC＝∠M，∠GFC＝∠NFG，∠N＝∠C，∵∠NFE+∠GFC+∠NFG＝180°，∠ABC+∠ACB＝α，∴∠NFE＝2α﹣180°．故答案为：2α﹣180°．总结提升：本题考查平行线的性质、翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．3．（2022春•九龙坡区校级期中）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝　度．思路引领：利用角的和差关系及对折后对应角的特点，先用含∠DEF的代数式表示出∠A′EF，再用含∠A″EF、∠DEF表示出∠A′ED，最后根据∠A′EF＝∠AEF得关于∠DEF的方程，先求出∠DEF，再求出∠CFE．解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，∴∠A′EF＝∠AEF．∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，∴∠A′ED＝∠A″ED．∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，∴∠A′ED＝105°+∠DEF．∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．∴∠DEF＝25°．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝25°．∴∠CFE＝180°﹣∠EFB＝180°﹣25°＝155°．故答案为：155．总结提升：本题考查了图形的折叠及平行线的性质，掌握“折叠后重合的两个图形全等”、“两直线平行，内错角相等”及角的和差关系是解决本题的关键．4．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿EF 折叠成图（2），再第二次沿BF 折叠成图（3），继续第三次沿EF 折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFB Ð，整个过程共折叠了11次，问图（1）中DEF Ð的度数是( )A ．20°B ．19°C ．18°D ．15°答案：D类型三因翻折的不确定性引发的分类讨论典例5（2021春•奉化区校级期末）如图，长方形ABCD 中，AD ＞AB ．E ，F 分别是AD ，BC 上不在中点的任意两点，连接EF ，将长方形ABCD 沿EF 翻折，当不重叠（阴影）部分均为长方形时，所有满足条件的∠BFE 的度数为度．思路引领：如图分两种情形分别求解即可解决问题．解：有两种情形：如图1中，满足条件的∠BFE ＝135°图4图3图1如图2中，满足条件的∠BFE＝45°，综上所述，满足条件的∠BFE的值为135°或45°．故答案为135°或45°．总结提升：本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．针对训练1．（2021春•奉化区校级期末）如图，长方形ABCD中，沿折痕EF翻折四边形CDEF得四边形C′D′EF，已知∠EFC′被FB分成的两个角相差15°，则图中∠1的度数为．思路引领：分两种情况：①∠1﹣∠BFC′＝15°；②∠BFC′﹣∠1＝15°；进行讨论，由折叠的性质即可求解．解：①∠1﹣∠BFC′＝15°时，∠1+∠EFC＝180°，即∠1+∠1+∠BFC′＝180°，解得∠1＝65°；②∠BFC′﹣∠1＝15°时，∠1+∠EFC＝180°，即∠1+∠1+∠BFC′＝180°，解得∠1＝55°．综上所述，图中∠1的度数为65°或55°．故答案为：65°或55°．总结提升：本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．第二部分专题提优训练1．（2022秋•咸安区期中）如图所示，△ABC中∠C＝60°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC 沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝度．思路引领：先由平行线的性质得到∠CBA′与∠A′的关系，再由折叠得到∠A与∠A′、ABD与∠A′BD的关系，最后利用三角形的内角和定理求出∠ABC．解：∵A'D∥BC∴∠CBA′＝∠A′．∵△ABD沿BD翻折得△A'BD，∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD．∵∠A＝∠ABD，∴∠CBA′＝∠A′BD＝∠ABD＝∠A．∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+3∠A＝120°．∴∠A＝30°．∴∠ABC＝90°．故答案为：90．总结提升：本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行内错角相等”及“三角形的内角和是180°”等知识点是解决本题的关键．2．（2022春•满城区校级期末）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C，D分别落在点M，N 的位置．（1）若∠AEN＝20°，则∠AEF的度数为；（2）若∠BFM=12∠EFM，则∠DEF的度数为．思路引领：（1）由折叠的性质可得∠FEN＝∠FED，结合平角的定义可求得∠FEN的度数，再根据角的和差关系即可求解；（2）由折叠的性质可得∠CFE＝∠MFE，结合平角的定义可求得∠BFM的度数，从而可求∠CFE，再利用平行线的性质即可求∠DEF的度数．解：（1）由折叠得∠FEN＝∠FED，∵∠AEN＝20°，∴∠FEN+∠FED＝180°+20°＝200°，∴∠FEN＝100°，∴∠AEF＝∠FEN﹣∠AEN＝100°﹣20°＝80°．故答案为：80°；（2）由折叠得∠CFE＝∠MFE，∵∠BFM=12∠EFM，∴∠EFM＝2∠BFM，∵∠BFM+∠EFM+∠CFE＝180°，∴∠BFM+2∠BFM+2∠BFM＝180°，解得：∠BFM＝36°，∴∠CFE＝72°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠CFE+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝108°．故答案为：108°．总结提升：本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．3．（2022春•海州区期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数为 °．思路引领：首先利用平行线的性质得出∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN ＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，∴∠BMF＝∠A＝100°，∠FNB＝∠C＝70°，∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，故答案为：95．总结提升：此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝∠MNB是解题关键．4．（2021春•汝阳县期末）如图，△ABC中，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，若∠B＝40°，则∠BDA′的度数是．思路引领：根据平行线的性质，可得∠ADE与∠B的关系，根据折叠的性质，可得△ADE与△A′DE的关系，根据角的和差，可得答案．解：DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝40°．△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，∴∠A′DE＝∠ADE＝40°．由角的和差，得∠BDA′＝180°﹣∠A′DE﹣∠ADE＝180°﹣40°﹣40°＝100°．故答案为：100°．总结提升：本题考查了平行线的性质，折叠问题，折叠得到的图形与原图形全等是解题关键．5．（2018春•江岸区期中）如图，纸片ABCD，AD∥BC，点M、N分别在AD、BC上，沿MN折叠纸片，点C′、D′分别与点C、D对应．如果在翻折之后测量得∠C′NC＝140°，则∠AMN＝．思路引领：根据折叠的性质得出∠MNC＝∠MNC'，利用平行线的性质解答即可．解：由折叠可得：∠MNC＝∠MNC'，∵∠C′NC＝140°，∴∠MNC=12×(360°−140°)=110°，∵AD∥BC，∴∠AMN＝∠MNC＝110°，当向上翻折时，∠AMN＝70°，故答案为：110°或70°总结提升：此题考查平行线的性质，关键是根据折叠的性质得出∠MNC＝∠MNC'．6．（2018•东西湖区模拟）如图，矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．G为AD上一点，将△ABG 沿BG翻折，使A点的对应点恰好落在EF上，则∠ABG＝．思路引领：连接AN，根据轴对称的性质，即可得到△ABN是等边三角形，根据轴对称的性质，即可得到∠ABG=12∠ABN＝30°．解：如图，连接AN，由折叠可得，EF垂直平分AB，∴NA＝NB，由折叠可得，AB＝NB，∠ABG＝∠NBG，∴AB＝BN＝AN，∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN＝60°，∴∠ABG=12∠ABN＝30°，故答案为：30°．总结提升：本题主要考查了轴对称的性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．（2016春•黄陂区期中）如图，将长方形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，连接BD，若∠ADB＝∠ACB，AE∥BD，则∠EAC的度数为 °．思路引领：直接利用翻折变换的性质，结合矩形的性质得出∠CBN＝∠2＝∠3，进而得出∠BOC＝90°，求出答案即可．解：∵将长方形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，∴∠2＝∠3，∠ABC＝∠E＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BN＝NC，∴∠3＝∠CBN，∴∠CBN＝∠2＝∠3，∵AE∥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠CBN＝∠2＝∠3＝30°，∴∠EAC的度数为60°．故答案为：60．总结提升：此题主要考查了平行线的性质以及矩形的性质和翻折变换，根据题意得出∠CBN＝∠2＝∠3是解题关键．8．（2021春•高新区校级期中）已知，直线PQ∥MN，点C是直线PQ和MN之间的一点．（1）如图1，点D，E分别在PQ，MN上，∠1和∠2为锐角，求证：∠C＝∠1+∠2；（2）把一块三角板ABC（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图2放置，点D，E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDQ的度数；（3）如图3，将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EM沿直线AC翻折，交BC于点G，试判断∠BDQ和∠GEN有何数量关系？写出你的结论并说明理由．思路引领：（1）过C作CH∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠DCE＝∠1+∠2；（2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论；（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，得到∠GEN＝180°﹣2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP＝90°﹣∠CEM ＝90°﹣x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF＝90°﹣x，据此可得结论．解：（1）∠DCE＝∠1+∠2．理由：如图，过C作CH∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥CH∥MN，∴∠1＝∠DCH，∠2＝∠ECH，∴∠DCE＝∠DCH+∠ECH＝∠1+∠2；（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDQ＝∠PDC＝60°；（3）∠GEN＝2∠BDQ，理由如下：设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDQ＝90°﹣x，∴∠GEN∠BDQ=180°−2x90°−x=2．即∠GEN＝2∠BDQ．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．9．（2021春•溧阳市期中）折叠（折）问题是几何变换问题中的常见问题，它体现了平面几何图形变换中基本数量关系和几何关系，是考查几何知识的常见类型．（1）操作与探究：如图1，我们将一张上下平行的纸片，沿MN折叠得到如图所示图形．①如图2，若∠1＝90°，则∠2＝．②如图3，请你探案∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；（2）拓展与延伸：若以点M为公共点，分别沿MN、MP翻折该纸片，翻折后如图4所示，当∠1＝90°时，请直接写出∠2与∠3的数量关系．思路引领：（1）①根据折叠的性质即可求解；②如图3：延长FN交ME于H，根据折叠的性质以及平行线的性质、三角形外角的性质即可求解；（2）如图4，延长AP交CM于C，延长BN交CM于D，根据折叠的性质以及平行线的性质、平角的定义即可求解．解：（1）①如图2，∵∠1＝90°，由折叠得：∠2＝∠3，∴∠2＝∠3＝45°，故答案为：45°；②∠2＝2∠1，理由如下：如图3：延长FN交ME于H，由折叠得：∠1＝∠GMN，∵MG∥FN，ND∥ME，∴∠GMN＝∠MNH，∠2＝∠NHE，∴∠1＝∠MNH，∴∠2＝∠NHE＝∠1+∠MNH＝2∠1；（2）∠2+∠3＝90°，理由如下：如图4，延长AP交CM于C，延长BN交CM于D，∵PN∥CD，∴∠2＝∠6，∠3＝∠7，∵∠1＝90°，∴∠4+∠PMC+∠5+∠NMD＝90°，∵纸片的上下平行，∴∠4+∠PMC＝∠6，∠5+∠NMD＝∠7，∴∠6+∠7＝90°，总结提升：本题考查了平行线的性质和判定，折叠的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键。

七年级下册数学折叠知识点

七年级下册数学折叠知识点数学中的折叠，是一种将平面图形沿着一条或多条直线折叠的方法，通过折叠，可以使得原本的形状变化或被拼合成为其他图形。

折叠不仅能加强数学的直观性和形象性，也能深化对立体几何的理解。

在七年级下册的学习中，折叠是一个重要的知识点，下面我们来看看具体的内容。

一、折叠的基本概念折叠是指将纸张或橡皮等平面物体按照一定的方法折叠成为一定形状的技巧。

在数学中，折叠不仅可以用来解决平面几何中的问题，还可以用来研究立体几何的性质。

二、折叠的方法与技巧1. 对称折叠对称折叠是将一张图案沿着它的对称线对折，使得图案的两侧完全重合的过程。

对称折叠常用于几何中，可以用来证明几何定理，也可以用来解决折纸难题。

2. 拼合折叠拼合折叠是指将图案中的不同部分通过折叠和组合的方式拼合成为一个整体的过程。

拼合折叠可以帮助学生理解平面图形的构造，也可以拓展他们的空间想象能力。

3. 折叠展开图折叠展开图是指将一个立体图形通过分解折叠成为平面图形后，再将平面图形展开为一个二维图形的过程。

折叠展开图可以帮助学生理解立体几何图形的构造和性质，并且可以用来计算面积和体积等问题。

三、折叠的应用领域1. 数学在数学中，折叠可以用来解决几何问题，比如通过折叠构造等获得图形的性质，或通过折叠展开图计算各种图形的面积和体积。

2. 工程学在工程学中，折叠可以用来制作各种模型和原型，比如汽车、船只、房屋等，可以帮助工程师们更好地理解和设计产品。

3. 艺术设计在艺术设计中，折纸、折扇等技巧十分常见，是展示创意的一种手段。

折纸艺术能够通过不同的折叠方式，来创造出各种美观、有趣的形态。

四、折叠的重要性折叠不仅能够锻炼学生的思维能力和空间想象能力，还能够拓展他们的艺术视野和文化素养。

通过折叠，学生们不仅可以加深对几何和数学的理解，还可以培养创造力和审美能力。

总之，折叠是一项充满趣味和挑战的技能，它不仅能够加强学生对数学的直观理解，也能够帮助他们在实践中掌握几何的基本概念和方法。

人教版初中数学七下小专题(三) 与平行线相关的折叠问题

D.122° A.108°
B.30°
A C.40°
D B.114° C.118°
D.50°
第2题图Leabharlann D.122°第3题图
4.（2022·黄冈市期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF
折叠后，点D，C分别落在点D'，C'的位置上，ED'与BC交
于点68G°.若∠EFG＝56°，则∠AEG的度数为
图1
图2
图3
解：（1）∵AD∥BC， ∴在图1中，∠CFE＝180°－∠DEF＝180°－20°＝ 160°，∠BFE＝∠DEF＝20°， ∴在图2中，∠BFC＝160°－20°＝140°. ∵在图3中，∠CFE＋∠BFE＝∠BFC， ∴在图3中，∠CFE＋20°＝140°， ∴∠CFE＝120°.
小专题（三）与平行线相关的折叠
问题
（教材P32数学活动1的应用）
1.在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断
纸带两条边Ca，b互相平行的是（
）
图1
图2 图3
D.
如 A.如图1，展开后测得∠1＝∠2
图 B.如图2，展开后测得∠1＝∠2
4，且∠3＝∠4
展 C.如图3，测得∠1＝∠2
开
D.50° A.20°
（2）若图1中∠DEF＝α，请你直接用含α的式子表示图3中∠CF 解：（2）∠CFE＝180°－3α.
.
⁠
5.一条两边互相平行的围巾按如图1所示的方式折叠，并将其
绘制成图2.若∠DAB－∠ABC＝10°，且D2F3∥0°CG，则
3∠DAB＋2∠ABC＝
.
⁠
图1
图2
6.如图，将一条对边互相平行的长方形纸带进行两次折叠，

七年级数学下专题——折叠问题

七年级数学下专题——折叠问题1、七年级数学下专题——折叠问题叠,若∠1 = 50°,则∠2的度数为 .2、如图,矩形ABCD中(AD>AB),M为CD上一点,若沿着AM折叠,点N恰落在BC上,∠ANB+∠MNC=____________；3、把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G,D、C分别在M、N的位置上,若∠EFG=55°,则∠1=_______°,∠2=_______°4、如图,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,得到的图形是（）5、如图,把矩形ABCD纸对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕上,得到Rt△ABE,EB延长线交AD或AD的延长线于F,则△EAF是（）A.底边与腰不相等的等腰三角形 B.各边均不相等的三角形；C.或是各边不相等的三角形,或是底边与腰不相等的等腰三角形；D.6、如图(5),将标号A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后,得到标号为P、Q、M、N的四个图形。

按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形,”的对应关系,填空：A与______对应,B与 ______对应,C与______对应,D 与______对应。

A B C DP Q MAB CDNM右下方折右折沿虚线剪开A B C D图37、如图3,将一张正方形纸片经两次对折,并剪出一个菱形小洞后展开铺平,得到的图形是（）.8、如图1,将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞,最后将正方形纸片展开,得到的图案是（）.图1 A B C D9、将一圆形纸片对折后再对折,得到右图,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是( )10、如图,ABC ∆沿DE 折叠后,点A 落在BC 边上的A '处, 若点D 为AB 边的中点, 50=∠B ,则A BD '∠的度数\ 为 .11、如图8裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠, 使D 点落在BC 边的F 处,若∠BAF=60º,则∠DAE=______。

数学人教版七年级下册平行线的性质应用折叠问题

平行线性质的综合应用：折叠问题折叠问题（翻折变换）折叠是一种对称变换，它属于轴对称。

（1）对称轴是对应点的连线的垂直平分线；（2）折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化；（3）对应边和对应角相等。

对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系。

例1、如图所示。

已知AB∥CD，∠B＝100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF。

求∠BEG和∠DEG。

例2、如图所示，将宽为4厘米的纸条折叠，折痕为AB，如果∠ACB＝30°，折叠后重叠部分的面积为多少平方厘米？综合平行线性质和折叠不变性的题目灵活性较强，关键要找准平行线再确定角的关系。

1、如图，直线l1∥l2，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是（）A. 70°B. 80°C. 65°D. 60°2、如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD＝70°，那么∠ACD的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 140°3、如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为（）A. 140°B. 60°C. 50°D. 40°4、下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（）A. B. C. D.5、如图，直线a∥b，∠1＝120°，∠2＝40°，则∠3等于（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°6、如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1＝20°，则∠2＝（）A. 80°B. 70°C. 40°D. 20°7、如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上。

初中数学精品教案：平行线中的折叠问题

《0109平行线中的折叠问题》微设计学习目标:1.会用平行线的有关知识解决简单“折叠问题”；2.初步体会方程思想来求角度问题；3.体验用转化思想将特殊角度变成一般角度、将一般图形变成特殊图形来解决问题. 学习重点：利用方程思想和转化思想解决平行线中的折叠问题. 学习难点：用转化思想将一般图形变形成特殊图形. 教学过程：一、探索发现在折纸游戏中，将一条两边互相平行的纸带如图折叠，小明在游戏中发现：不管折叠角度∠1是锐角、直角或钝角， ∠1和∠2始终是相等.你认为他的想法对吗？请说明理由. 分析：利用翻折的特征和平行线的性质，再结合等量代换列出∠1、∠2的数量关系. 解：小明的想法正确。

理由如下： ∵ ∠1和∠3是翻折前后的角， ∴ ∠1=∠3， ∵AB ∥CD ，∴ ∠2=∠3(两直线平行，内错角相等) ∴ ∠1=∠2.【折叠问题的解决方法】第一步：找到翻折前后的角度，利用翻折前后的角度是相等的，找出相等的角; 第二步：找到平行线中的内错角、同位角和同旁内角，找出相等或互补的角; 第三步：将上述两种有关联的角度结合起来列出等量关系.由上题可知： ∠1=∠2=∠3.在图中你还能说出哪些角度也是相等的? 请说明理由.分析：这个图形除了∠1=∠2=∠3，还可以继续利用翻折的特征和平行线的性质、对顶角找到其他的一些角度也是相等的.解： ∠4=∠5= ∠6 =∠7。

理由如下： ∵AB ∥CD ，∴ ∠4=∠5（两直线平行，同位角相等） ∵ ∠5和∠6是对顶角， ∴ ∠5=∠6， ∵EB′∥FD′，∴ ∠5=∠7（两直线平行，同位角相等）21GDBEFB'C A 3∴∠4=∠5= ∠6 =∠7.二、例题解析（一）完全折叠.例1 如图，有一条直的等宽纸带按图折叠时，当∠CGB′=40°时，求图中∠1的度数．分析：这个图形将翻折的部分完全覆盖过纸条，我们称之为完全折叠图形。

前面已经了解了这个图形中的一些相等的角度，再将这两种角度进行结合，先采用特殊角度进行计算，再将特殊角度一般化进行转化.解：由前面可得∠1=∠2，又由题可知∠3=40°，∵∠1+∠2+∠3 =180°，∴2 ∠1+40° =180°∴∠1=70°变式1：将∠CGB′=40°改为x°，用含有x x的代数式表示∠1.解：∵∠1+∠2+∠3 =180°，∴2 ∠1+x° =180°，∴180-1=2x︒︒∠变式2：将∠CGB′=x°改为∠CFD′ =x°，你会用含有x的代数式表示∠1吗？解∵∠CGB′=∠CFD′∴180-1=2x︒︒∠小结：本题采用的方法是用方程思想列出一些角度的数量关系，再解这个方程得到角度，再利用转化思想把特殊的角度一般化，可得到两种角度之间的数量关系．（二）不完全折叠.例 2 如图，有一张长方形纸片按图折叠时，你能模仿完全折叠的情形找到相等的角吗？分析：例2是在例1的翻折情况下的一种没有彻底翻到底的情形，我们称之为不完全翻折，但是我们可以利用例1的分析思路来分析例2，采用转化的思想来解决.解：延长ED′交BC于点G，则不完全折叠问题就转化为完全折叠问题.由前面可得：∠1= ∠2 =∠3又∵∠4=∠6， ∠6=∠5 ∴ ∠4= ∠5.练习：当∠4=50°时，求∠3的度数. ∵∠1= ∠2 =∠3又∵ ∠1+∠2+∠3 =180°， ∴50°+ 2 ∠3=180° ∴∠3=65°变式：将∠4=50°改为x°，用含有x 的代数式表示∠3.180-3=2x ︒︒∠ 小结：本题在例1的基础上将图形进行改变，但形变质不变，所以仍可采用例1的方法得到类似的结论. 巩固练习1.如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（）（A ） 70° （B ） 65° （C ） 50° （D ） 25°2.如下图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若 ∠ 1= 50°，则∠AEF =( )A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°目的：两题都属于不完全折叠图形，目的在于给出一个具体的角度，利用例2的结论计算其余的某个角度，起到强化巩固练习的作用.三、感悟提升。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题16折叠问题

专题16折叠问题专题解读】折叠问题是近几年来中考岀现频率较高的一类题型，同学们往往由于对折叠的本质理解不够透彻，因此难以找到解题的方向•折叠是现实生活常见的操作活动，而初中几何学习中，以折叠为活动载体的问题很多，这类问题一般都要经历操作、观察、比较、概括、交流、猜想、推理等过程•研究折叠问题，可以帮助学生提髙观察能力、动手能力、想象能力、综合运用知识的能力，发展合情推理和演绎推理能力.思维索引】例1.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合"的基础.小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作研究：操作一：（1）折叠纸面，使1表示的点与-1表示的点重合，则-2表示的点与 ______ 表示的点重合；操作二：（2）折叠纸而，使1表示的点与-3表示的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为8 （A在B的左侧），且A、B两点经折叠重合，则A、B两点表示的数分别是_________ 、_________ : 操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从-1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若这三条线段的长度之比为1： 1： 2,求折痕处对应的点所表示的数？剪1断处折痕例2・如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=\. AB=CD=5・在矩形ABCD的边AB上取一点在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K,得到△MNK.（1）若Zl=70°,求ZMKN的度数.（2）△MNK的面积能否小于丄？若能，求出此时Z1的度数：若不能，试说明理由.2（3）如何折叠能够使△MNK的而积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，画岀相应的图形.素养提升1.如图，把AABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示.若ZA=60。

，Zl=95°,则Z2的度数为（）A. 24°B. 25°C. 30°D. 35°2.如图，将ZkABC 沿DE 、EF 翻折，顶点A 、B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO,若ZCDO+ ZCFO=98。

七年级数学下专题——折叠问题

七年级数学下专题——折叠问题1、将一张等宽的纸条按图中方式折叠,若∠1 = 50°,则∠2的度数为 .2、如图，矩形ABCD中(AD>AB)，M为CD上一点，若沿着AM折叠，点N恰落在BC上，∠ANB+∠MNC=____________；3、把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_______°，∠2=_______°4、如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（）5、如图，把矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，EB延长线交AD或AD的延长线于F，则△EAF是（）A.底边与腰不相等的等腰三角形 B.各边均不相等的三角形；C.或是各边不相等的三角形，或是底边与腰不相等的等腰三角形；D.6、如图(5)，将标号A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四个图形。

按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形，”的对应关系，填空：A与______对应，B与 ______对应，C与______对应，D与______对应。

A B C DP Q MAB CDNM右下方折右折沿虚线剪开A B C D图37、如图3，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（）.8、如图1，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（）.图1 A B C D9、将一圆形纸片对折后再对折，得到右图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是( )10、如图，ABC ∆沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A '处，若点D 为AB 边的中点， 50=∠B ，则A BD '∠的度数\ 为 .11、如图8裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边的F 处，若∠BAF=60º，则∠DAE=______。

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