全等三角形辅助线之截长补短和倍长中线(原题+解析)

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全等三角形经典题型——辅助线问题

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线

一、截长补短

1.如图所示，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上，求

证：AB＝AC＋BD．

2.如图,在四边形ABCD中,AD=CD,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,求证:AE+BC=BE.

3.如图,△ABC中,∠CAB=∠CBA=45∘,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于点N,连接EN.

求证AE=CN+EN.

4.如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A=60°，

（1）求∠BFC的度数．

（2）求证：BC=BE+CD．

5.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是

∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：

第2页，共28页

BC=AB+CE．

6.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的

点，且∠EAF=1

∠BAD，求证：EF=BE+DF；

(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上

的点，且∠EAF=1

∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?

(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD

延长线上的点，且∠EAF=1

∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；

若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别

是BC，CD上的点，且∠EAF = 60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.

全等模型-倍长中线与截长补短模型(解析版)

全等模型-倍长中线与截长补短模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】

1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.

证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；

2、中点型:如图2，C 为AB

证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;

若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.

3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.

证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.

例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：

如图①，在ABC 中，若8AB =，5AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．

可以用如下方法：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；

第19章《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法(含答案)

《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法（含答案）

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”

或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线（线段）造全等（一）例题讲解例1、

（“希望杯”试题）已知，如图ABC ∆中，5=AB ，

=AC ，求中线AD 的取值范围。

2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型全等模型-倍长中线与截长补短(原卷版)

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.倍长中线模型

【常见模型及证法】

1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.

证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；

2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.

证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;

若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.

3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.

证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.

1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：

如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；

三角形全等证明常用辅助线作法(倍长中线、截长补短)

倍长中线专题

初中阶段三角形有三条重要的、也是最基本的线段：三角形的高线、中线、角平分线。三种线段各有其重要信息反馈，就中线而言，它具有的功能：

①必有相等的线段

②必有相等的面积

③必有倍长中线构成全等。本专题只讨论倍长中线的问题。

【基本原理】：如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至E点，使DE＝AD，得到△ADC≌△EDB。

口诀：图形有中线，倍长延中线，连接另一端，全等尽呈现。

【模型实例】：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F 点，AF=EF ，求证：AC=BE

证明：如图所示。延长AD 至G 点，使DG=AD ，连接BG 。

在△ADC 与△GDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BD GDB ADC GD AD

∴△ADC ≌△GDB

∴BG =AC ，∠1=∠G

又因为AF=EF

∴∠1=∠2=∠3

∴∠3=∠G

∴BG=BE （等角对等边）

∴AC=BE

②证全等

①作倍长中线 ③列出需要用的结果

④转化替代 ⑤得出结果

【练习1】：如图，在在△ABC中，D为BC的中点，求证：AD

AB2

【练习2】：如图，在△ABC中，D为B C的中点,且AD是角平分线。

求证：AB=AC

【练习3】：AD是△ABC的中线，分别以AB边、AC边为直角边向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD

【练习4】：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于F点。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。

倍长中线、截长补短

三角形全等之倍长中线、截长补短

所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE

△ABC 中

AD 是BC

边中线

方式2：间接倍长

①作CF ⊥AD 于F ，②延长MD 到N ，

作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ，连接BE 连接CD

【经典例题】

例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：

BD=CE

例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：

AF=EF

例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.

求证：AE 平分BAC ∠

练习：

1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：AC=BF

2、如图，AB=AE ，A B ⊥AE ，AD=AC ，A D ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM

第 1 题图

C M

角平分线中截长补短方法

在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗。

倍长中线与截长补短

例题六
笔记
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD且 BD=CD,∠DBC=45°，过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，连接AF，求证：AB+AF=CF.
补短：延长BA，CD交于点M
∵BD⊥CD，CE⊥AB，BD=CD ∴∠MBD+∠M=90°，∠FCD+∠M=90° ∴∠MBD=∠FCD
C
A
E
B
D
练习一
笔记
如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE，求证：CD=2CE
C
2 3
A
E
ห้องสมุดไป่ตู้
1 B
F
证明：延长CE到点F使得CE=EF，连结BF ∵E是AB的中点∴AE=EB ∵在△AEC和△BEF中 CE=EF，∠AEC=∠BEF，AE=EB ∴△AEC≌BEF（SAS） ∴∠A=∠1，∠F=∠ACE,FB=AC D ∵AC=AB=BD ∴∠2=∠3，FB=BD=AC=AB ∵∠CBF=∠1+∠3，∠CBD=∠A+∠2 ∴∠CBF=∠CBD ∵CB=CB ∵△CBF≌△CBD（SAS） ∴CD=CF ∴CD=2CE
F
E 截长：在AB上截取AF=AC 补短：延长AC到点E使得CE=CD
例题六
笔记
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD且 BD=CD,∠DBC=45°，过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，连接AF，求证：AB+AF=CF. 截长法：在线段CF上截取CH，使CH=AB，连接DH ∵CE⊥AB，BD⊥CD，BD=CD

倍长中线与截长补短

1 / 15

倍长中线与截长补短

例题精讲

【例1】已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．【解析】延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．则CDE BDA △≌△，

∴CE AB =，CED BAD ∠=∠，

∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．

【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：

已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1；已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1；已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．

【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ．【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD

∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．

题型一：倍长中线

B C D

【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ．【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =

∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线

根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等故AB =AC ．

典题精练

【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使

BD AB =．

给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是．

辅助线专题之倍长中线与截长补短法含练习及参考答案

三角形全等之倍长中线（讲义）

➢ 课前预习

1. 填空（1）三角形全等的判定有：

三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；

两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；

斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．

（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA ，SSA 不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．

2. 想一想，证一证

已知：如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB 的中点．（1）当OC =OD 时，求证：△AOC ≌△BOD ；（2）当AC ∥BD 时，求证：△AOC ≌△BOD ．

➢ 知识过关

1. “三角形全等”辅助线：

见中线，要__________，________之后______________． 2. 中点的思考方向：

①（类）倍长中线

延长AD 到E ，使DE =AD ，延长MD 到E ，使DE =MD ，连接BE 连接CE ②平行夹中点

D C

B C

D O

C D

延长FE 交BC 的延长线于点G

➢ 典型题型

1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．

（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ．（2）求证：△ACD ≌△EBD ．（3）求证：AB +AC >2AD ．

全等三角形作辅助线专题一(重点：截长补短法)-可打印版.doc

全等三角形作辅助线经典例题

常见辅助线的作法有以下几种：

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全

等变换中的“旋转”．

3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中

的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻

转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是

之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、

倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

B D C

2：如图，△ABC中，E、F 分别在AB、AC上，D E⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大A

小.

D E C

3：如图，△ABC中，BD=DC=A，C E是DC的中点，求证：A D平分∠BAE.

中考应用：

以ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，

北师大版七年级下册数学《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法【含答案】

《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线（线段）造全等（一）例题讲解

例1、（“希望杯”试题）已知，如图中，，，求中线AD 的取值范围。

ABC ∆5=AB 3=AC 分析：本题的关键是如何把AB ，AC ，AD 三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD 到E ，使，连接BE DA DE =又∵，CD BD =CDA BDE ∠=∠∴，()SAS CDA BDE ∆≅∆3

全等三角形辅助线 - 角平分线截长补短倍长中线三垂直半角模型-教师

全等三角形辅助线的作法

一．中点类辅助线作法

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是ABC

∆底边的中线)．

二．角平分线类辅助线作法

有下列三种作辅助线的方式：

1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；

2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；

3．OA OB

=，这种对称的图形应用得也较为普遍．

三．截长补短类辅助线作法

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．易错点：

1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；

2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．

图3

图2

图1

B C

知识精讲

题模一：角平分线类

例1.1.1如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．

【答案】见解析

全等三角形作辅助线经典例题

常见辅助线的作法有以下几种：

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一” 的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全

等变换中的“旋转” ．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中

的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻

转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是

之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、

倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

1：已知，如图△ABC中， AB=5， AC=3，则中线 AD的取值范围是_________.

B D

C 2：如图，△ ABC中， E、F 分别在 AB、 AC上， DE⊥DF，

D 是中点，试比较BE+CF与 EF 的大

A 小.

D C

B D E C

3：如图，△ ABC中，BD=DC=AC，E 是 DC的中点，求证：AD平分∠ BAE.

中考应用

1 、以ABC 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，

全等三角形辅助线之截长补短和倍长中线(原题+解析)

全等三角形经典题型——辅助线问题

全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线

全等模型-倍长中线与截长补短模型(解析版)

第19章《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法(含答案)

2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型 全等模型-倍长中线与截长补短(原卷版)

三角形全等证明常用辅助线作法(倍长中线、截长补短)

倍长中线、截长补短

倍长中线与截长补短

倍长中线与截长补短

辅助线专题之倍长中线与截长补短法含练习及参考答案

全等三角形作辅助线专题一(重点：截长补短法)-可打印版.doc

北师大版七年级下册数学《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法【含答案】

全等三角形辅助线 - 角平分线截长补短倍长中线三垂直半角模型-教师

全等三角形作辅助线经典例题

2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型全等模型-倍长中线与截长补短(原卷版)