全等三角形辅助线之截长补短和倍长中线(原题+解析)

全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线

一．填空题（共1小题）

1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC

交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是．二．解答题（共10小题）

2．（2010秋?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．

3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．4．（2013秋?藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN

经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系请你直接写出这个数量关系，不要证明．

5．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．

6．（2012秋?西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE 的数量关系，并证明你的结论．

7．（2010秋?丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明．

8．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N．

（1）求证：DM=MN；

（2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立请你画出图形并证明你的结论．

9．（2015春?闵行区期末）如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E 是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．

10．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．11．（2010秋?巢湖期中）如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．

全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线

参考答案与试题解析

一．填空题（共1小题）

1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC

交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是15．【考点】角平分线的性质．

【专题】计算题．

【分析】作DE⊥AB于E，如图，则DE=6，根据角平分线定理得到DC=DE=6，再由BD：DC=3：2可计算出BD=9，然后利用BC=BD+DC进行计算即可．

【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，则DE=6，

∵AD平分∠BAC，

∴DC=DE=6，

∵BD：DC=3：2，

∴BD=×6=9，

∴BC=BD+DC=9+6=15．

故答案为15．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．二．解答题（共10小题）

2．（2010秋?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED （AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．

【解答】证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE．

∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，

∴∠B=∠CAB=（180°﹣∠ACB）=45°，∠E=∠CDE=45°，

∴∠B=∠E．

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2

在△ABD和△AED中，

，

∴△ABD≌△AED（AAS）．

∴AE=AB．

∵AE=AC+CE=AC+CD，

∴AB=AC+CD．

证法二：如答图所示，在AB上

截取AE=AC，连接DE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2．

在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（SAS）．

∴∠AED=∠C=90，CD=ED，

又∵AC=BC，

∴∠B=45°．

∴∠EDB=∠B=45°．

∴DE=BE，

∴CD=BE．

∵AB=AE+BE，

∴AB=AC+CD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系．

3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．

【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．

【专题】计算题．

【分析】可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之．

【解答】证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE．

在△ACD和△EBD中：

∴△ACD≌△EBD（SAS），

∴AC=BE（全等三角形的对应边相等），

在△ABE中，由三角形的三边关系

可得AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC，

∴AD＜（AB+AC）．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．

4．（2013秋?藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN

经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系请你直接写出这个数量关系，不要证明．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【专题】证明题．

【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得

∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；