北师大版选修2-1模块综合检测(C)
高中数学 模块综合测评2 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n，则綈p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2＞2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n【解析】 依据含有一个量词的命题的否定判定即可．因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n”．故选C.【答案】 C2．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 的值为( )A ．5B ． 5C ．52D ．54【解析】 由焦点在x 轴上的渐近线方程为y ＝±12x ，可得b a ＝12，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a＝52. 【答案】 C3．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β ”是“α∥β ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 结合平面与平面平行的判定与性质进行判断．当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．【答案】 B4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为( ) A.55B ．555C.355 D ．115【解析】∵b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝1＋t2＋2t －12＝5t 2－2t ＋2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， 当t ＝15时，|b －a |min ＝355.【答案】 C5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D ．74【解析】∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.【答案】 C6．下列四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( )【导学号：32550103】A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3【解析】 要求a ＞b 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a ＞b ，而由a ＞b 不能推出选项．在选项A 中，a ＞b ＋1能使a ＞b 成立，而a ＞b 时，a ＞b ＋1不一定成立，故正确；在选项B 中，a ＞b －1时，a ＞b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2＞b 2时，a ＞b 也不一定成立，因为a ，b 不一定同为正数，故C 错误；在选项D 中，“a 3＞b 3”是“a＞b ”成立的充要条件，故D 错误．【答案】 A7．与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上D ．一个圆上【解析】 将x 2＋y 2－8x ＋12＝0配方，得(x －4)2＋y 2＝4，设所求圆心为P ，设两圆的圆心分别为O 1，O 2，则由题意知||PO 2|－|PO 1||＝|R －r |＝1，根据双曲线的定义可知其轨迹是双曲线的一支．【答案】 B8．点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s ＝(1，－1,1)的直线l 的距离为6，则点M 的坐标是( )A ．(0,0，±2)B ．(0,0，±3)C ．(0,0，±3)D ．(0,0，±1)【解析】 设M (0,0，z )，直线的一个单位方向向量s 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33，故点M 到直线l 的距离d ＝|OM →|2－|OM →·s 0|2＝z 2－13z 2＝6，解得z ＝±3.【答案】 B9．如图1，已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( )图1A ．1B ． 2C ．2D ．4【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2.【答案】 C10．在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角正弦值为( )A.15 B ．255C.55D ．25【解析】 以A 为原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0，0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1， ∴AP →＝(0,0,2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1，设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，则n ＝(2,0,1)，设PA 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝|PA →·n ||PA →|·|n |＝55，∴PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55，故选C.【答案】 C11．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0B ．3x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，∴PF 1→＋PF 2→＝2PO →，∴(PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.即|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2.又∵|PO |＝7a ，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→|·|PF 2→|＝28a 2.① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2.② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2.即b 2a 2＝2，ba＝ 2. ∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0. 【答案】 D12．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A BD C 的正弦值为( )A.55 B ．33 C.255D ．63【解析】取BC 中点O ，连结AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0.∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0.由于OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA →〉＝55，∴sin 〈n ，OA →〉＝255.【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题是________．【解析】 根据逆否命题的定义知“若p 则q ”与“綈q 则綈p ”互为逆否命题． 【答案】 若AB ，则A ∪B ≠B14．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 【解析】a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∵(a ＋b )⊥c ，∴(a ＋b )·c ＝0， 即－2×1＋1×(－x )＋(x ＋3)×2＝0. 解得x ＝－4. 【答案】 －415．如图2，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，点M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，则用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →为________．图2【解析】OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋OB →＋12OC →－12OB → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →.【答案】16OA →＋13OB →＋13OC →16．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【导学号：32550104】【解析】 根据双曲线的定义等价转化|PF |，分析何时△APF 的周长最小，然后用间接法计算S △APF .由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋662＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图像可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 【答案】 12 6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．【解】 解不等式x 2－8x －20＞0得p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0得q ：B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}． 依题意，p ⇒q 但qp ，说明A B .于是，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2.解得0＜a ≤3.∴正实数a 的取值X 围是0＜a ≤3.18．(本小题满分12分)已知p ：－2＜m ＜0,0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．【解】 若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1，有0＜x 1＋x 2＜2且0＜x 1x 2＜1.根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜－m ＜2，0＜n ＜1，即－2＜m ＜0,0＜n ＜1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12＜0，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以pq .综上所述，p 是q 的必要不充分条件．19．(本小题满分12分)在如图3所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：图3(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．【解】 (1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AE ＝a ，则M (a ，－a ，0)，E (0，－2a ，a )，所以CM →＝(a ，－a,0)，EM →＝(a ，a ，－a )， 所以CM →·EM →＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0， 所以CM ⊥EM .(2)CE →＝(0，－2a ，a )，CD ＝(2a,0,2a )，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1， 则n ＝(－2,1,2)， cos 〈CM →，n 〉＝CM →·n |CM →||n |＝a ×－2＋－a ×1＋0×22a ×3＝－22，所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.20．(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图4，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、图4M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)、B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设所求曲线方程为y ＝ax 2＋647，由题意可知，0＝a ·64＋647，解得a ＝－17.所以曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，y ＝－17x 2＋647，得4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意，舍去)．所以x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)． 所以C (6,4)，|AC |＝25，|BC |＝4.故当观测点A ，B 测得AC ，BC 距离分别为25，4时应向航天器发出变轨指令． 21．(本小题满分12分)如图5所示，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E .图5(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D AF E 的余弦值．【解析】 (1)由题意可知DA ⊥DC ，DA ⊥DP ，DC ⊥DP ，则以D 为原点，DP 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为a ， 则C (0，a,0)，且A (0,0，a )， 由平面几何知识可求得F ⎝⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0， 所以CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0，DA →＝(0,0，a )，所以CF →·DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0＝0，CF →·DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0·(0,0，a )＝0，故CF ⊥DF ，CF ⊥DA ；又DF ∩DA ＝D ，所以CF ⊥平面ADF . (2)易得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，0，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，－a ， 又AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，－a ， 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AE →＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，－a ＝34ax －az ＝0，n ·AF →＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，－a ＝34ax ＋34ay －az ＝0， 取x ＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，34. 由(1)知平面ADF 的一个法向量为CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0， 故cos 〈n ，CF →〉＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，34·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0194×12a ＝25719，由题图可知二面角D AF E 为锐二面角，所以其余弦值为25719. 22．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .图6(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图6，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【导学号：32550105】【解】 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2k ＋11＋4k 2，x 1x 2＝42k ＋12－4b 21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k 2k ＋11＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝10b 2－2. 由|AB |＝10，得10b 2－2＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，得点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2， 两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得 x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52x1＋x22－4x1x2＝10b2－2.由|AB|＝10，得10b2－2＝10，解得b2＝3.故椭圆E的方程为x212＋y23＝1.。
2019_2020学年高中数学模块综合检测北师大版选修2_1
模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题“若p 则q ”的逆否命题为“若綈q 则綈p ”．故应选D.2．命题p ：若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：选B ∵当a ·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，综上可知，“p 或q ”是假命题，选B.3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选 D 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.4．设a ，b 为向量，则“|a ·b|＝|a||b|”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C a ，b 为向量，设a 与b 的夹角为θ.由|a ·b|＝||a|·|b|cos θ |＝|a||b|从而得|cos θ|＝1，cos θ＝±1，所以θ＝0或π，能够推得a ∥b ，反之也能够成立，为充分必要条件．5.x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标为( )A ．±34B.33C.32 D.34解析：选A 设F 1为椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点，F 2为右焦点，PF 1与y 轴的交点为M .∵M 是PF 1的中点，∴MO ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴． 又半焦距c ＝12－3＝3， ∴设P (x ，y )，则x ＝3，代入椭圆方程得912＋y 23＝1，解得y ＝±32.∴M 点纵坐标为±34. 6．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：选D 双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.7.已知正四面体A －BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF夹角的余弦值为( )A.413B.313C ．－413D ．－313解析：选A 设正四面体的棱长为4.∵正四面体A －BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又ED ―→＝EA ―→＋AD ―→＝14BA―→＋AD ―→，BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋14CD ―→，∴ED ―→·BF ―→＝14BA ―→·BC ―→＋14AD ―→·CD ―→＝4，|ED ―→|2＝116BA 2―→＋12BA ―→·AD ―→＋AD 2―→＝1－4＋16＝13.|ED ―→|＝13，同理|BF ―→|＝13. ∴cos 〈ED ―→，BF ―→〉＝ED ―→·BF ―→| ED ―→||BF ―→|＝413.8．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x ＋y ＋4＝0解析：选A 设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得：得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)， 又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4， ∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， ∴直线l 的方程为2x －y －4＝0.9．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A BD C 的正弦值为( ) A.55 B.33 C.255D.63解析：选C 取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32， B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0. ∴OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，∴sin 〈n ，OA ―→〉＝255.10．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.①又双曲线的离心率e ＝c m＝ m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316. 11．在正棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝2，直线AC 与平面A 1BC 的夹角为θ，平面ABC 与平面A 1BC 的夹角为φ，则θ与φ的大小关系是( )A ．θ>φB ．θ<φC ．θ＝φD ．大小不确定解析：选B 建立空间直角坐标系，如图．则B (3，1,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，BC ―→＝(－3，1,0)，A 1C ―→＝(0,2，－2)，AC ―→＝(0,2,0)．设平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，则⎩⎨⎧－3＋y ＝0，2y －2z ＝0，得y ＝z ＝3，n ＝(1，3，3)，∴sin θ＝|cos 〈AC ―→，n 〉|＝2327＝217.又AA 1―→＝(0,0,2)是平面ABC 的一个法向量， ∴cos φ＝|cos 〈AA 1―→，n 〉|＝2327＝217，sin φ＝1－cos 2φ＝277>sin θ.∴φ>θ. 12．若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1，F 2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则1e 21＋1e 22＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 设椭圆的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，它们的半焦距为c ，不妨设P 为它们在第一象限的交点，因为PF 1―→·PF 2―→＝0，故|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2①.由椭圆和双曲线的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，代入①式，得(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝4c 2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以1e 21＋1e 22＝a 21c 2＋a 22c 2＝a 21＋a 22c2＝2. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13．命题“存在x ∈R ，使2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0为假命题， ∴任意x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]14．设点O (0,0,0)，A (1，－2,3)，B (－1,2,3)，C (1,2，－3)，若OA ―→与BC ―→的夹角为θ，则cos θ＝________.解析：OA ―→＝(1，－2,3)，BC ―→＝(2,0，－6)，∴cos θ＝OA ―→·BC ―→| OA ―→||BC ―→|＝－43535.答案：－4353515．已知点A (－1，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上，记C 的焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M ，N 两点，则|MN |＝________.解析：因为点A (－1，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上，所以－p2＝－1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)，当x ＝1时，y ＝±2，则M (1,2)，N (1，－2)或N (1,2)，M (1，－2)，所以|MN |＝2－(－2)＝4.答案：416．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→，F 1B ―→·F 2B ―→＝0，则C 的离心率为________．解析：法一：由F 1A ―→＝AB ―→，得A 为F 1B 的中点． 又∵O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2.又F 1B ―→·F 2B ―→＝0，∴∠F 1BF 2＝90°. ∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B . 又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图所示，不妨设B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－32c .∵点B 在直线y ＝－ba x 上，∴b a＝3，∴离心率e ＝ca ＝1＋b 2a2＝2. 法二：∵F 1B ―→·F 2B ―→＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又∵F 1A ―→＝AB ―→，∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝bc －a，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：任意x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )且q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m >2.q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3.∵(綈p )且q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2.∴所求m 的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)如果l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2)设|FA |＝2|BF |，求直线l 的方程． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，又∵直线l 的斜率为1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，代入y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1，易得AB 的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，∴圆的半径r ＝4， ∴所求的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. (2)∵|FA |＝2|BF |，∴FA ―→＝2BF ―→， 而FA ―→＝(x 1－1，y 1)，BF ―→＝(1－x 2，－y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝2(1－x 2)，y 1＝－2y 2，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)·x ＋k 2＝0， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1·x 2＝1，∵x 1－1＝2(1－x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝12，∴k ＝±22，∴直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B CG A 的大小． 解：(1)证明：由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ， 所以AD ∥CG ，所以AD ，CG 确定一个平面， 从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面BCGE . 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面BCGE . (2)作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°， 可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC ―→的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz ，则A (－1,1,0)，C (1,0,0)，G (2,0，3)， CG ―→＝(1,0，3)，AC ―→＝(2，－1,0)．设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧CG ―→·n ＝0， AC ―→·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0.所以可取n ＝(3,6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取m ＝(0,1,0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n||m|＝32.因此二面角B CG A 的大小为30°.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 为其焦点，点E 的坐标为(2,0)，设M 为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，连接ME ，NE 并延长分别交抛物线C 于点P ，Q .(1)当MN ⊥x 轴时，求直线PQ 与x 轴交点的坐标；(2)当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：k 1＝2k 2.解：(1)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．当MN ⊥x 轴时，直线MN 的方程为x ＝1.将x ＝1代入抛物线方程y 2＝4x ，得y ＝±2.不妨设M (1,2)，N (1，－2)，则直线ME 的方程为y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，于是得P (4，－4)．同理得Q (4,4)，所以直线PQ 的方程为x ＝4.故直线PQ 与x 轴的交点坐标为(4,0)．(2)证明：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，于是y 1y 2＝－4 ①，从而x 1x 2＝y 214·y 224＝1 ②.设直线MP 的方程为x ＝ty ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋2，y 2＝4x ，得y 2－4ty －8＝0.所以y 1y 3＝－8 ③，x 1x 3＝4 ④. 同理y 2y 4＝－8 ⑤，x 2x 4＝4 ⑥.由①②③④⑤⑥，得y 3＝2y 2，x 3＝4x 2，y 4＝2y 1，x 4＝4x 1.从而k 2＝y 4－y 3x 4－x 3＝2y 1－2y 24x 1－4x 2＝12·y 1－y 2x 1－x 2＝12k 1，即k 1＝2k 2. 21．(本小题满分12分)(2019·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA ＝AD ＝CD ＝2，BC ＝3，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF PC ＝13.(1)求证：CD ⊥平面PAD ； (2)求二面角F AE P 的余弦值；(3)设点G 在PB 上，且PG PB ＝23.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD . 又因为AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD .(2)过点A 作AD 的垂线交BC 于点M . 因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD .以A 为坐标原点，AM ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (2，－1,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．因为E 为PD 的中点， 所以E (0,1,1)．所以AE ―→＝(0,1,1)， PC ―→＝(2,2，－2)， AP ―→＝(0,0,2)． 所以PF ―→＝13PC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，－23，所以AF ―→＝AP ―→＋PF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，43.设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ―→＝0，n ·AF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1，x ＝－1. 于是n ＝(－1，－1,1).又因为平面PAD 的一个法向量为p ＝(1,0,0)， 所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n||p|＝－33.由图知，二面角F AE P 为锐角，所以二面角F AE P 的余弦值为33. (3)直线AG 在平面AEF 内，理由如下：因为点G 在PB 上，且PG PB ＝23，PB ―→＝(2，－1，－2)， 所以PG ―→＝23PB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－23，－43， 所以AG ―→＝AP ―→＋PG ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－23，23. 由(2)知，平面AEF 的一个法向量n ＝(－1，－1,1)，所以AG ―→·n ＝－43＋23＋23＝0. 所以直线AG 在平面AEF 内．22．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .①证明：△PQG 是直角三角形；②求△PQG 面积的最大值．解：(1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12， 化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)， 所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上不含长轴端点的椭圆．(2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k >0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2 . 设u ＝21＋2k 2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0)．于是直线QG 的斜率为k 2，其方程为y ＝k2(x －u )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 2(x －u )，x 24＋y22＝1消去y ，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.(*) 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程(*)的解， 故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2.从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u (3k 2＋2)2＋k 2－u＝－1k .所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．②由①得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝2uk k 2＋12＋k 2，所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 2.设t ＝k ＋1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号． 因为S ＝8t1＋2t 2在[2，＋∞)上单调递减， 所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169.因此，△PQG 面积的最大值为169.。
高中数学北师大版选修2-1模块综合测试1 Word版含解析
模块综合测试(一)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x ∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D2．不等式x －1x >0成立的一个充分不必要条件是( )A ．－1<x <0或x >1B ．x <－1或0<x <1C ．x >－1D ．x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图像，两图像的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1x >0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D3．[2014·西安模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤bD ．若a ＋1<b ，则a <b解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C4．[2014·山东省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0B ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC ．函数y ＝2sin(x ＋π5)的图像的一条对称轴是x ＝45πD ．若“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值范围为(－2,2)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π5时，y ＝0，故C 错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值范围为(－2,2)．故选D.答案：D5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23， 所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．y 24－x 22＝1D ．y 22－x 24＝1解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.答案：D7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c 2>a ，∴c a>2. 答案：C8．[2013·课标全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )解析：本题主要考查空间直角坐标以及三视图的有关知识．利用正方体模型，建立空间直角坐标系，根据点的坐标确定几何体形状，注意画三视图中的正视图时，是以zOx 平面为投影面，故选A.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A ． 3B ．2C ． 5D ． 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A ．1010B ．15C ．31010D ．35解析：以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则AA 1＝2，依题设有B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)，E (1,0,1)，∴BE →＝(0，－1,1)，CD 1→＝(0，－1,2)． ∴cos 〈BE →·CD 1→〉＝0＋1＋22·5＝31010.答案：C11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)． ∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：B12．[2013·浙江高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意a 2＋b 2＝3＝c 2 ②，|OA |＝|OF 1|＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2 ③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于__________．解析：∵a ，b ，c 三向量共面，∴a ＝x b ＋y c (x ，y ∈R )， ∴(2，－1,3)＝x (－1,4，－2)＋y (7,5，λ)，∴λ＝657.答案：65714．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．[2014·湖南省长沙一中月考]已知正三棱柱ABC －DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF＝__________________.解析：本题主要考查空间向量基本定理和数量积．设CN CF＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →，又CF →＝AD →MN →＝12BC →＋mAD →，又AE →·MN →＝0，得12×1×1×(－12)＋4m ＝0，解得m ＝116. 答案：11616．[2014·河北省邢台一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －12λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，p 是q 的什么条件？(2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |x －2x －3<0}＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ， 由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2. 18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x 为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围．解：由y ＝c x 为减函数，得0<c <1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤12.若p 假q 真，则c ≥1且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，12]∪[1，＋∞)．19．(12分)[2014·天津高考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值． 解：法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)．(1)证明：向量BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC →＝0. 所以BE ⊥DC .(2)向量BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0. 不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)向量BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)．由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以其余弦值为31010.法二：(1)证明：如图，取PD 的中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC ，又由已知，可得EM∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面P AD ，因为AM ⊂平面P AD ，于是CD ⊥AM ，又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD ，而EM ∥CD ，故PD ⊥EM .又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD .所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 的中点，可得AM ＝2，进而BE ＝ 2.故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33. 所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图，在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H .因为P A ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥AG .所以∠P AG 为二面角F －AB －P 的平面角．在△P AG 中，P A ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°，由余弦定理可得AG ＝102，cos∠P AG ＝31010.所以二面角F －AB －P 的余弦值为31010.20．(12分)已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点．求|P A |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|P A |＋|PF 1|＝6＋|P A |－|PF 2|.求|P A |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|P A |－|PF 2|的最大值问题， 即求|P A |－|PF 2|的最大值问题，如图在△P AF 2中，两边之差小于第三边， 即|P A |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时， 此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值， 易求|AF 2|＝2，这样|P A |－|PF 2|的最大值为2， 故|P A |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.21．(12分)[2014·湖北高考]在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， x ≥0，0， x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)， 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①(ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (ⅱ)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③1°若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．2°若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，则由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．3°若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，则由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 22．(12分)[2014·广东省广州六中期末考试]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD .若P A ＝AB ＝BC ＝12AD .(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；(3)求二面角A －PD －C 的余弦值．解：因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD .又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD .又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)，可得AP →·CD →＝0，AC →·CD →＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E (0,0，12)，BE →＝(－1,0，12)．设平面PCD 的法向量是n＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝02y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)．所以n ·BE →＝(1,1,2)·(－1,0，12)＝0，所以n ⊥BE →. 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD .(3)由已知，AB ⊥平面P AD ，所以AB →＝(1,0,0)为平面P AD 的一个法向量．由(2)知，n ＝(1,1,2)为平面PCD 的一个法向量．设二面角A －PD －C 的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以cos θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝|(1，1，2)·(1，0，0)|6×1＝66. 即二面角A －PD －C 的余弦值为66.。
单元质量评估(二)(北师大版选修2-1)
单元质量评估(二)第二章 空间向量与立体几何(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知a =(1，-2，1)，a +b =(-1,2,-1),则b等于( )(A)(2，-4，2) (B)(-2，4，-2) (C)(-2，0，-2) (D)(2，1，-3)2.如果向量AB AC BC、、满足AB AC BC =+ ,则( ) (A)AB AC BC =+ (B)AB AC BC =--(C)AC 与BC 同向 (D)AC 与BC同向3.已知空间四边形OABC 其对角线为OB 、AC,M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用基底向量OA OB OC 、、表示向量OG，设OG xOA yOB zOC =++,则x,y,z 的值分别为( )(A)x=13,y=13,z=13 (B)x=13,y=13,z=16(C)x=13,y=16,z=13 (D)x=16,y=13,z=134.O 、A 、B 、C 为空间四个点，又OA OB OC、、为空间的一个基底，则( ) (A)O 、A 、B 、C 四点不共线(B)O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 (C)O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 (D)O 、A 、B 、C 四点不共面5.O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是△ABC的( )(A)三个内角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条高的交点 (D)三条中线的交点6.已知a,b 是异面直线,A 、B ∈a,C 、D ∈b,AC ⊥b,BD ⊥b 且AB=2，CD=1.则a 与b 的夹角为( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°7.a =(2，-1,2),b =(2,2,1),则以a ，b为邻边的平行四边形的面积为( )8.(2011·永嘉高二检测)在如图所示的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 的夹角为( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°9.已知AB =(1，5，-2)，BC =(3，1，z),若AB BC ⊥ ，BP =(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC ，则BP等于( )(A)(337，157-，-3) (B)(407，157-，-3)(C)(407，157，-3) (D)(337，157，-3)10.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 、AC 上的点，且A 1M=AN=3a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 夹角的正弦值为( )(B)1212.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被 截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3， BE=1，则点C 到平面AEC 1F 的距离为( )11 (C)4 (D)11二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.已知向量p 关于基底{a b,c ，}的坐标为(3，2，-1)则p 关于基底{12a b,c 2-，}的坐标是 .14.(2011·海口高二检测)已知向量a b,c，两两夹角都是60°，其模都为1,则|a b 2c -+|等于 .15.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，当底面四 边形ABCD 满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有的 可能的情形).16.正方形ABCD 与ABEF 的边长都为a,若平面EAB 与平面ABC 夹角的大小为 30°，则EF 与平面ABCD 的距离为 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)如图，已知ABCD-A ′B ′C ′D ′是平行六面体.(1)化简12AA BC AB 23'++，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面 BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN AB AD AA =α+β+γ'，试求α、β、γ的值.18.(12分)(2011·哈尔滨高二检测)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1=2,∠ACB=90°,E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. (1)确定点G 的位置;(2)求直线AC 1与平面EFG 夹角θ的大小.19.(12分)(2010·湖南高考)如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1夹角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.20.(12分)(2011·杭州高二检测)如图，已知三棱锥A-BCD的侧视图，俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示.(1)求异面直线AB与CD夹角的余弦值;(2)在线段AC上是否存在点F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在，说明理由.21.(12分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)若平面B1DC与平面DCC1的夹角为60°，求AD的长.22.(14分)(2011·辽宁高考改编)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD, PD∥QA,QA=AB=1PD.2(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求平面QBP 与平面BPC 夹角的余弦值.答案解析1.【解析】选B.b (a b)a =+-=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).2.【解析】选D.∵AB AC BC =+，∴A 、B 、C 共线且点C 在AB 之间，即AC CB与同向.3.【解析】选D.MG 2GN =∴()OG OM 2ON OG -=-∴()()111OG OM 2ON OA OB OC 332=+=++ ［］=111OA OB OC 633++∴x=16,y=z=13.4.【解析】选D.由基底定义，OA OB OC、、三向量不共面，但选项A 、B 、C 三种情形都有可能使OA OB OC、、共面，只有选项D 才能使这三个向量不共面. 5.【解析】选C.∵OA OB OB OC =∴()OB OA OC 0-=即OB CA 0=，∴OB ⊥AC.同理OC ⊥AB ，OA ⊥BC∴O 为△ABC 的三条高的交点.6.【解析】选C.()2AB CD AC CD DB CD CD 1=++==∴cos 〈AB CD 〉=AB CD 11212AB CD ==⨯∴AB 与CD 的夹角为60°，即异面直线a,b 的夹角为60°.7.【解析】选D.|a |3|b |3,== ，四边形为菱形,|a b |a b |+=-=∴S=1|a b ||a b |2+-=8.【解析】选C.设正方体棱长为1，则A(1,0,0),C(0,1,0),M(12,1,0),N(0,1,12),∴AC =(-1,1,0),MN =(11,0,22-).设AC 与MN的夹角为θ, 则cos θ=1MN AC1.2MN AC== ∴θ=60°.9.【解析】选A.∵AB BC ⊥ ,∴AB BC 0352z ==+-, ∴z=4,又BP⊥面ABC.∴BP AB BP BC ⊥⊥ 且.∴()()15y x 15y 607,.40333x 1y 120x x 177⎧=-⎪-++=⎧⎪⎪∴⎨⎨-+-=⎪⎪⎩=-=⎪⎩， 10. 独具【解题提示】利用三角形法则进行向量间的相互表示，寻找MN与平面BB 1C 1C 内向量的线性关系.【解析】选B.∵1A M AN 3==, ∴1111A M A B,AN AC,33==∴11MN MA A A AN =++=1111A B A A AC 33-++=11111111A B A A A A AB BC 3333--+++=121A A AD 33+=11121B B B C ,33+∴111MN B B B C 、、共面. 又∵MN 面BB 1C 1C, ∴MN ∥平面BB 1C 1C.11.【解析】选C.方法一：如图，取BC 的中点M ， 连接OM 、AM. 则OM ⊥平面ABCD. ∴∠OAM 为AO 与平面ABCD 的夹角. 令AB=2，则OM=1，∴. ∴sin ∠OAM=6. 方法二：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，令AB=2，则A(2，0，0)，O(1，2，1)，∴AO=(-1，2，1).又1DD=(0，0，2)为平面ABCD 的法向量.设AO 与平面ABCD 的夹角为α,则sin α=|cos 〈1AO DD ，〉|=11|AO DD |6AO DD ==12.独具【解题提示】以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，E(2，4，1)，C(0，4，0)， C 1(0，4，3) 设F(0，0，z),∵四边形AEC 1F 是平行四边形，∴1AF EC =∴(-2，0，z)=(-2,0,2) ∴z=2,即F(0，0，2)设1n 为平面AEC 1F 的法向量，显然1n 不垂直于平面ADF ，故可设1n=(x,y,1)由11n AE 00x 4y 10,2x 0y 20n AF 0⎧=⨯++=⎧⎪⎨⎨-⨯+⨯+==⎩⎪⎩ ，得 即x 1,4y 10,12x 20y .4=⎧+=⎧⎪∴⎨⎨-+==-⎩⎪⎩又1CC =(0，0，3)，设1CC 与1n的夹角为α,则|cos α|=1111|CC n |CC |n |==∴C 到平面AEC 1F的距离1d CC |cos |33311=α=⨯= 故选D.13.【解析】设p 关于基底{12a b,c 2-，}的坐标为(x,y,z)，则z p 2xa yb c 2=-+∴3x 2x 32y 2,y 2.z z 212⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-=∴=-⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪=-⎩⎩答案：(32，-2，-2)独具【误区警示】此处的坐标不是直角坐标，是在新的基底下的一种坐标形式.14.【解析】|a b 2c |-+==15.【解析】∵A 1C ⊥B 1D 1，∴111A C B D 0=∴()1AC AA BD 0.-=∴1AC BD AA BD 0-=又11AA BD AA BD 0⊥∴=，∴AC BD 0=∴AC ⊥BD.答案：AC ⊥BD(答案不唯一)16.【解析】如图，因为ABCD ，ABEF 均为正方形， 所以EF ∥平面ABCD ， 又AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，所以∠EBC 就是平面EAB 与平面ABC 的夹角，所以∠EBC=30°， 因为AB ⊥平面EBC ，而AB Ü平面ABCD ， 所以面EBC ⊥面ABCD ，过E 作EG ⊥BC 于G ， 则EG ⊥面ABCD ，在Rt △EBG 中，EG=EBsin30°=12a. 答案：12a17.【解析】(1)取DD ′的中点G ，过点G 作DC 的平行线GH ，使GH=23DC ，连接AH ，则12AH AA BC AB.23='++AH如图所示. (2)MN MB BN =+=13DB BC 24+'=()13AB AD (AA AD)24-+'+=113AB AD AA 244++'. ∴113,,.244α=β=γ=18.独具【解题提示】(1)设出G 点坐标，利用AC 1⊥EG 求出G 的坐标，确定G 的位置.(2)先求平面EFG 的法向量，代入公式求θ.【解析】(1)以C 为原点，分别以CB 、CA 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,0),C 1(0,0,2),1AC=(0,-2,2),EF=(0,-1,0).设G(0,2,h),则EG=(-1,1,h). ∵11AC EG,EG AC 0.⊥∴=∴-1×0+1×(-2)+2h=0. ∴h=1，即G 是AA 1的中点.(2)设m=(x,y,z)是平面EFG 的一个法向量，则m FE,m EG ⊥⊥ .所以y 0x y z 0=⎧⎨-++=⎩,平面EFG 的一个法向量m=(1,0,1).∵sin θ=11|m AC |1,2|m |AC == ∴θ=6π,即AC 1与平面EFG 的夹角θ为6π. 19.【解析】设正方体的棱长为1，如图所示，以1AB AD AA ，，为单位正交 基底建立空间直角坐标系.(1)依题意，得B(1，0，0)，E(0，1，12)， A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以BE =(-1，1，12)，AD =(0，1，0)，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， 因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 和平面ABB 1A 1的夹角为θ,则sin θ=|BE AD |12.33BE AD 12==⨯ 即直线BE 和平面ABB 1A 1的夹角的正弦值为23. (2)依题意，得A 1(0，0，1)，1BA =(-1，0，1)，BE =(-1，1，12)，设n=(x,y,z)是平面A 1BE 的一个法向量， 则由1n BA 0n BE 0==，，得x z 0,1x y z 02-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩所以x=z,y=12z.取z=2，得n=(2,1,2).设F 是棱C 1D 1上的点， 则F(t,1,1)(0≤t ≤1).又B 1(1，0，1)，所以1B F=(t-1,1,0),而B 1F 平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ()()11B F n 0t 1,1,0(212)02t 110t 2⇔=⇔-=⇔-+=⇔=⇔ ，，F 为C 1D 1的中点.这说明在棱C 1D 1上存在点F(C 1D 1的中点)， 使B 1F ∥平面A 1BE.20.独具【解题提示】(1)转化为AB CD与的夹角，注意角的范围；(2)先确定F的位置，然后求|CF|.【解析】(1)取BD 的中点O ，连接AO ， 则AO ⊥平面CBD.以O 为原点建立空间直角坐标系，如图. A(0,0,1),B(1,0,0),AB=(1,0,-1),CD =(-2,- ,0),cos 〈AB,CD 〉=-4.所以所求异面直线AB 与CD 夹角的余弦值为4.(2)设CF CA =λ ,由(1)知CAAD=(-1,0,-1),BF BC CF =+=(-λ(1-λ),λ), BF CA 212(1)0BF AD 0⎧=λ--λ=⎪⎨=λ-λ=⎪⎩,解得λ=67,∴存在点F ，6CF CA 7==独具【方法技巧】另有妙招利用空间向量解决立体几何中的空间位置关系、空间角以及空间距离，主要方法是建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后代入公式求解，在此过程中，运算量比较大，需要我们有较好的运算能力,但有些立体几何题目利用传统的解题方法，依据立体几何中的定理和结论，加上灵活的思维，同样能较为便捷地解题.21.【解析】(1)如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B 1(0，2，2)，C 1(0，0，2)， D(1，0，1).即11C B =(0,2,0),1DC =(-1,0,1),CD=(1,0,1). 由11CD C B=(1,0,1)·(0,2,0)=0+0+0=0,得CD ⊥C 1B 1;由1CD DC=(1,0,1)·(-1,0,1)=-1+0+1=0得CD ⊥DC 1; 又DC 1∩C 1B 1=C 1, ∴CD ⊥平面B 1C 1D. 又CD Ü平面B 1CD ， ∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D.(2)设AD=a ，则D 点坐标为(1，0，a)，CD=(1,0,a),1CB =(0,2,2),设平面B 1CD 的一个法向量为m=(x,y,z).则由1m CB 02y 2z 0,x az 0m CD 0⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩令z=-1. 得m =(a,1,-1),又平面C 1DC 的一个法向量为n=(0,1,0), 则由cos60°=|m n |12|m ||n |== ,即故独具【方法技巧】另有妙招利用空间向量解决立体几何中的空间位置关系、空间角以及空间距离，主要是建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后代入公式求解，在此过程中，运算量比较大，需要我们有较好的运算能力；但有些立体几何题目利用传统的解题方法，依据立体几何中的定理和结论，加上灵活的思维，同样能解题，以下是本题的传统解法. 【解析】(1)∵∠A 1C 1B 1=∠ACB=90°, ∴B 1C 1⊥A 1C 1,又由直三棱柱性质知B 1C 1⊥CC 1， ∴B 1C 1⊥平面ACC 1A 1. 又∵CD Ü平面ACC 1A 1，∴B 1C 1⊥CD ① 由D 为中点可知，DC=DC 1∴DC 2+DC 12=2+2=4=CC 12，即CD ⊥DC 1 ②由①②可知CD ⊥平面B 1C 1D ， 又CD Ü平面B 1CD ， 故平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D.(2)由(1)可知B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作C 1E ⊥CD ，交CD 或其延长线于E ，连EB 1，由三垂线定理可知∠B 1EC 1为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ∴∠B1EC 1=60°.由B 1C 1=2知，C 1设AD=x ，则∵△DC 1C 的面积S=11ACC A 11S 121,22=⨯⨯=∴11,23=解得22.【解析】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.(1)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)， P(0，2，0)，则DQ=(1，1，0)，DC =(0，0，1)， PQ=(1，-1，0)， 所以PQ DQ 0PQ DC 0==，，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1，0，1)，CB=(1，0，0)，BP=(-1，2，-1).设n=(x ，y ，z)是平面PBC 的法向量，则n CB 0n BP 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，即x 0x 2y z 0=⎧⎨-+-=⎩， 因此可取n=(0，-1，-2).设m 是平面PBQ 的法向量，则m BP 0m PQ 0⎧=⎪⎨=⎪⎩， 可取m =(1，1，1)，所以cos 〈m,n 〉=-5. 故平面QBP 与平面BPC夹角的余弦值为5.。
综合质量评估(一) (北师大版选修2-1)
【解析】选B.由题意可知|AB|=|AF|+|BF|（F为抛物线焦点）， 又抛物线准线为x=-1,则|AF|=x1+1,|BF|=x2+1，所以 |AB|=x1+x2+2=8.
x 2 y2 12.椭圆 + =1 上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则 9 25
当m取最大值时，点P的坐标是(
(A)（0，5）及（0，-5） (C)（0，3）及（0，-3）
(第一～三章) (120分钟 150分)
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.“x＞-1”是“x2＜1”的( (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 )
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
1 命题q:由Δ＜0得，c＞ . 2
∵命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p、q中有且只有一个真命题.
∴实数c的取值范围是{c|0＜c≤
1 或c＞1}. 2
18.（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，P、Q分别是线段 AD1和BD上的点，且D1P∶PA=DQ∶QB
=5∶12.
（2）由（1）得 CM =（3， 3 ，0），MN =（-1，0，2）, 设 n =（x,y,z)为平面CMN的一个法向量, CM n=3x+ 3y=0, 则 MN n=-x+ 2z=0,
取z=1，则x= 2 ,y=- 6 , 所以 n=( 2,- 6,1), 又 OS=(0,0,2 2)为平面ABC的一个法向量，
n OS 1 所以 cos n,OS = = , |n||OS| 3
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-1模块综合测试2 Word版含解析
北师大版2019-2020学年数学精品资料模块综合测试(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x <－1解析：全称命题的否定是特称命题． 答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝2 B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－y 2＝3D ．x 2－y 23＝1解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，已知命题p ：a >b ，命题q ：tan 2A >tan 2B ，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查充要条件的判定以及三角形、三角函数的有关知识．在三角形中，命题p ：a >b ⇔A >B .命题q ：tan 2A >tan 2B ⇔sin(A ＋B )sin(A －B )>0⇔A >B ，显然p 是q 的充要条件，故选C.答案：C5．如右图，在三棱锥A —BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：如右图，建立空间直角坐标系． 设DC ＝DB ＝a ，DA ＝b ，则B (a,0,0)、C (0，a,0)、A (0,0，b )，E (a 2，a2，0)，所以BC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(a 2，a 2，－b )，AE →·BC →＝－a 22＋a 22＋0＝0.答案：A6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB →|等于( )A ．43B ．423C ．83D ．823解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得A (0,1)，B (－43，－13)，所以|AB →|＝(－43－0)2＋(－13－1)2＝423. 答案：B7．[2014·浙江省杭州二中期末考试]给出下列命题：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在直线平行； ②若三个向量a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面；③已知空间中三个向量a ，b ，c ，则对空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c 成立．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：本题主要考查空间向量的共线、共面、空间向量的基本定理等基础知识．若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在直线平行或在同一条直线上，故①不正确；在三棱锥P －ABC 中，取P A →，PB →，PC →分别为向量a ，b ，c ，则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不共面，故②不正确；在三棱锥P －ABC 中，取AB →，BC →，CA →分别为向量a ，b ，c ，则对向量P A →，不存在实数x ，y ，z 使得P A →＝x a ＋y b ＋z c 成立，故③不正确；综上，正确命题的个数是0，故选A.答案：A8．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”； ②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p ∧q 为真命题； ③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有③中结论正确． 答案：B9．[2014·河南省开封高中月考]如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为( )A ．1B ．52C ．62 D ．32解析：本题主要考查空间中两点间的距离．以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1,1，2)，F (2,1，22)， 所以|EF |＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－22)2＝62，故选C. 答案：C10．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，则直线B 1B 和平面CDB 1所成角的正切值为( )A ．2 2B ．322C ． 2D ．22解析：如右图，建立空间直角坐标系，可设AC ＝BC ＝CC 1＝1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，D (12，12，0)，B 1(0,1,1)，CD →＝(12，12，0)，CB 1→＝(0,1,1)，B 1B →＝(0,0，－1)．设平面CDB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋12y ＝0，y ＋z ＝0，不妨取n ＝(1，－1,1)，所以cos 〈n ，B 1B →〉＝n ·B 1B →|n ||B 1B →|＝－13＝－33.设直线B 1B 和平面CDB 1所成角为α，则sin α＝33，故cos α＝63，tan α＝22. 答案：D11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．83B ．163C ．833D ．823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝3(x －1)得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||F A |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A ．233B ．62C ． 2D ． 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则该双曲线的离心率e 为__________．解析：当m >0，n >0时，可设a ＝3k ，b ＝4k ， 则c ＝5k ，所以离心率e ＝53；当m <0，n <0时，可设a ＝4k ，b ＝3k ， 则c ＝5k ，所以离心率e ＝54.答案：53或5415．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0(λ∈R )，则λ＝__________.解析：如右图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →， 即EF →－12A 1D →＝0，∴λ＝－12.答案：－1216. [2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件． 解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)． 因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )． 但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0. 又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立， 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.18．(12分)[2014·福建省质检]某几何体ABC －A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示．(1)求证：A 1C ⊥平面AB 1C 1； (2)求二面角C 1－AB 1－C 的余弦值．解：(1)由三视图可知，在三棱柱ABC －A1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，且AA 1＝AC ＝4，BC ＝3.以点C 为原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (4,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,0)，A 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(0,0,4)，∴CA 1→＝(4,0,4)，C 1A →＝(4,0，－4)，C 1B 1→＝(0,3,0)．∴CA 1→·C 1A →＝4×4＋0×0＋4×(－4)＝0，CA 1→·C 1B 1→＝4×0＋0×3＋4×0＝0. ∴CA 1⊥C 1A ，CA 1⊥C 1B 1，又C 1A ∩C 1B 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1. (2)由(1)得，CA →＝(4,0,0)，CB 1→＝(0,3,4)，设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则CA →⊥n ，CB 1→⊥n ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧CB 1→·n ＝0CA →·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝03y ＋4z ＝0，即x ＝0，令y ＝4，则z ＝－3，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(0,4，－3)． 由(1)知，CA 1→是平面AB 1C 1的一个法向量， cos 〈n ，CA 1→〉＝n ·CA 1→|n ||CA 1→|＝－12202＝－3210.由图可知，二面角C 1－AB 1－C 为锐角， 故二面角C 1－AB 1－C 的余弦值为3210.19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程．(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1. (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2， 整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1. 解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )． 由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0， 则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0， 化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1) 代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2013·江西高考]如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连结CE 并延长交AD于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．解：(1)证明：在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ， 所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (32，32，0)，D (0，3，0)，P (0,0，32)，故BC →＝(12，32，0)，CP →＝(－32，－32，32)，CD →＝(－32，32，0)．设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧12＋32y 1＝0，－32－32y 1＋32z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝(1，－33，23)． 设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧ －32＋32y 2＝0，－32－32y 2＋32z 2＝0，解得⎩⎨⎧ y 2＝3，z 2＝2， 即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169·8＝24. 22．(12分)[2014·山东高考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t 4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①由(1)知F (1,0)，设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0. 设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20， 当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0， 整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0)． 当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)，所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0， 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)， 由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0. 所以y 0＋y 1＝－8y 0， 可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4， 所以点B 到直线AE 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2 ＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4·⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16，1当且仅当x0＝x0，即x0＝1时等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.。
高中数学北师大版必修三、选修二--1、选修二--2综合检测试题
高二期末复习一、选择题1. 在下列命题中：①若向量,a b 共线，则向量,a b所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b一定不共面；③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c共面；④已知是空间的三个向量,,a b c，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x,y,z 使得p x a y b z c =++；其中正确的命题的个数是 （ A ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2. 方程 2x +6x +13 =0的一个根是( )A -3+2iB 3+2iC -2 + 3iD 2 + 3i3.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i+为纯虚数”的（ B ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B.4.执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 【答案】C5.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 ( C )（A ）2211612xy+= （B ）221128xy+=（C ）22184xy+= （D ）221124xy+=6．设集合A p a a x a x A ∈><<--=1:},0,2|{命题，命题.2:A q ∈若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则a 的取值范围是（ C ）A ．210><<a a 或B ．210≥<<a a 或C ．21≤<aD ．21≤≤a7．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x =25；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2+x +1>0. ( C )给出下列结论： ① 命题“q p ∧”是真命题③命题“q p ∨⌝”是真命题；② 命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 ④命题“q p ⌝∧”是假命题 其中正确的是A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③8.设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①22(3)2611a a a +>++；②)1(222--≥+b a b a ；③332a b a b a b +>+；④2>+ab b a 。
高中数学 模块综合检测 北师大版选修21
"【三维设计】高中数学 模块综合检测 北师大版选修2-1 "(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于正实数a ，b ，有a ＋b ≥2ab 成立，所以x ＋1x≥2x ·1x ，即x ＋1x≥2，以上推理过程中( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论错误D ．无错误解析：∵x 的正负不确定，∴小前提错误． 答案：B2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则复数z 1z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z 1z 2＝3＋i 1－i＝3＋i1＋i 1－i1＋i ＝2＋4i2＝1＋2i ，位于第一象限． 答案：A3．(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ＋b i ＝a －b i ，所以当ab ＝0时，a ＋b i 不一定是纯虚数；反之，a ＋bi 为纯虚数时a ＝0，则ab ＝0.答案：B4．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—分析法 B ．①—分析法，②—综合法C ．①—综合法，②—反证法D ．①—分析法，②—反证法解析：由综合法与分析法的特点分析可知． 答案：A5．掷一枚硬币，记事件A ＝“出现正面”，B ＝“出现反面”，则有( ) A ．A 与B 相互独立 B ．P (AB )＝P (A )P (B ) C ．A 与B 不相互独立D ．P (AB )＝14解析：由于事件A 和事件B 是同一个试验的两个结果，且不可能同时发生，故A 与B 为互斥事件．∵P (AB )＝0≠P (A )·P (B )＝14，∴A 与B 不独立答案：C6．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b ∈R)”，其反设正确的是( ) A ．a ，b 至少有一个不为0 B ．a ，b 至少有一个为0 C ．a ，b 全不为0 D ．a ，b 中只有一个为0解析：对“全为0”的否定是“不全为0”，即至少有一个不为0. 答案：A7．某单位为了了解用电量y (千瓦时)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x (℃) 18 13 10 －1 用电量y (千瓦时)24343864由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为( )A ．58千瓦时B ．66千瓦时C ．68千瓦时D ．70千瓦时解析：x ＝18＋13＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，所以a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60.所以，当x ＝－4时，y ＝bx ＋a ＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：C8．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出：“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出：“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出：“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出：“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比结论正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：①②正确，③④错误，因为③④中虚数不能比较大小．答案：B9．(2012·天津高考)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为( )A．－1 B．1C．3 D．9解析：由程序框图可知，该程序运行2次后退出循环，退出循环时x＝1，所以输出的x的值为3.答案：C10．(2012·江西高考)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( ) A．76 B．80C．86 D．92解析：由特殊到一般，先分别计算|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数，再猜想|x|＋|y|＝n时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|＋|y|＝n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为80.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．下面结构图是________结构图，根据结构图可知，集合的基本运算有________，________，________.答案：知识 并集 交集 补集 12.2＋i 1＋i 21－2i＝________.解析：2＋i 1＋i21－2i ＝2＋i ·2i·1＋2i 1－2i 1＋2i ＝2i 5i5＝－2.答案：－213．一个口袋内装有大小相同的5个白球和3个黄球，从中任取2个球，在第一次取出是黄球的前提下，第二次取出黄球的概率为________．解析：设第一次取出黄球为事件A ，第二次取出黄球为事件B ，则P (A )＝38，P (AB )＝3×28×7＝328， 所以P (B |A )＝P ABP A ＝32838＝27.答案：2714．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：吃零食 不吃零食 总计 男学生 24 31 55 女学生 8 26 34 总计325789根据上述数据分析，我们得出的χ2＝________. 解析：χ2＝89×24×26－8×31232×57×55×34≈3.688 9.答案：3.688 9三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知z 为复数，且|z |2＋(z ＋z )i ＝3－i 2＋i(i 为虚数单位)，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 代入上述方程得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，∴x 2＋y 2＝1且2x ＝－1，解得x ＝－12且y ＝±32.∴复数z ＝－12±32i.16．(本小题满分12分)如图，设SA ，SB 是圆锥的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点．求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：如图，假设AC ⊥平面SOB ， 连接AB .∵直线SO 在平面SOB 内，∴AC ⊥SO . 又∵SO ⊥底面，∴SO ⊥AB . 又AC ∩AB ＝A ，∴SO ⊥平面SAB . ∴SO ⊥SA ，又SO ⊥AO .这与三角形的内角和定理矛盾．∴假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．17．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，… ∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n＋1－1an＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是以1a1＝1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n＝1a1＋n－12＝n＋12，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1.18．(本小题满分14分)在一段时间内，某种商品价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据如下表：价格x 1.4 1.6 1.82 2.2需求量y 12]1075 3(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程，并在(1)的图形上画出它的图像；(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．(结果精确到0.01 t)解：(1)散点图如下图所示 .(2)x＝1.8，y＝7.4，∑i＝15x i y i＝62，∑i＝15x2i＝16.6，b＝∑i＝15x i y i－5x－y－∑i＝15x2i－5x2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－4.60.4＝－11.5，a＝y－b x＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.所以线性回归方程为y＝－11.5x＋28.1.(3)当价格定为1.9万元，即x＝1.9时，y＝－11.5×1.9＋28.1＝6.25.所以商品价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.。
精品推荐高中数学 模块综合测评 北师大版选修2-1
模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3解析:根据一个命题的否命题的构成,即将条件和结论均否定,因此所求命题的否命题是“若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3”.答案:A2.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)在[0,1]上是增加的”是“f(x)在[3,4]上是减少的”的( )A.既不充分也不必要的条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.充要条件解析:若f(x)在[0,1]上是增加的,则f(x)在[-1,0]上是减少的,根据f(x)的周期为2可推出f(x)在[3,4]上是减少的;若f(x)在[3,4]上是减少的,则f(x)在[-1,0]上也是减少的,所以f(x)在[0,1]上是增加的,故选D.答案:D3.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=对称.则下列判断正确的是( )A.p为真B.非q为假C.p且q为假D.p或q为真解析:因周期T==π,故p为假命题.因cos x的对称轴为x=kπ(k∈Z),故q也为假命题.所以p且q为假.答案:C4.已知a>0,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是( )A.存在x∈R,ax2-bx≥-bx0B.存在x∈R,ax2-bx≤-bx0C.对任意的x∈R,ax2-bx≥-bx0D.对任意的x∈R,ax2-bx≤-bx0解析:由于x0=是抛物线y=ax2-bx的对称轴,且a>0,所以由抛物线的性质可以知道对任意的x∈R,ax2-bx≥-bx0,即为C选项.答案:C5.已知椭圆=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为( )A.±B.C.D.解析:设F1为椭圆=1的左焦点,F2为右焦点,PF1与y轴的交点为M.∵M是PF1的中点,O是F1F2的中点,∴MO∥PF2,∴PF2⊥x轴.又半焦距c==3,∴设P(x,y),则x=3,代入椭圆方程,得=1,解得y=±.∴点M的纵坐标为±.故应选A.答案:A6.(2014湖北高考)设a,b是关于t的方程t2cosθ+t sinθ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析:可解方程t2cosθ+t sinθ=0,得两根0,-.由题意可知不管a=0还是b=0,所得两个点的坐标是一样的.不妨设a=0,b=-,则A(0,0),B,可求得直线方程y=-x,因为双曲线渐近线方程为y=±x,故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.答案:A7.(2014四川高考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.D.解析:设AB所在直线方程为x=my+t.由消去x,得y2-my-t=0.设A(,y1),B(,y2)(不妨令y1>0,y2<0),故=m,y1y2=-t.而·+y1y2=2.解得y1y2=-2或y1y2=1(舍去).所以-t=-2,即t=2.所以直线AB过定点M(2,0).而S△ABO=S△AMO+S△BMO=|OM||y1-y2|=y1-y2,S△AFO=|OF|×y1=y1=y1,故S△ABO+S△AFO=y1-y2+y1=y1-y2.由y1-y2=y1+(-y2)≥2=2=3,得S△ABO+S△AFO的最小值为3,故选B.答案:B8.有以下四个命题:①“对任意x,y∈R,如果xy=0,则x=0”的否命题;②“设a,b为向量,如果a⊥b,则a·b=0”的逆命题;③“如果四边形是菱形,则它的四边相等”的逆命题;④“对任意x,y∈N,如果+|y|=0,则x=0,且y=0”的否命题.其中假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:①判断原命题的否命题“对任意x,y∈R,如果xy≠0,则x≠0”的真假,也可以判断原命题的逆命题“对任意x,y∈R,如果x=0,则xy=0”的真假,因为逆命题与否命题等价,容易得否命题是真命题.②原命题的逆命题是“设a,b为向量,如果a·b=0,则a⊥b”,这是一个真命题.③原命题的逆命题是“如果四边形的四边相等,则它是菱形”,这在立体几何中是不成立的,故它是假命题.④原命题的否命题是“对任意x,y∈N,如果+|y|≠0,则x≠0或y≠0”,它与逆命题“对任意x,y∈N,如果x=0,且y=0,则+|y|=0”的真假性相同.因为逆命题是真命题,所以否命题也是真命题.由以上分析,可知应选A.答案:A9.已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则x等于( )A.4B.-4C.D.-6解析:a+b=(-2,1,x+3),∵(a+b)⊥c,∴(a+b)·c=0,即-2×1+1×(-x)+(x+3)×2=0.解得x=-4.答案:B10.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为( )A. B. C. D.解析:∵b-a=(1+t,2t-1,0),∴|b-a|2=(b-a)2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2.当t=时,|b-a,∴|b-a|的最小值是.答案:C11.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是( )A. B. C. D.解析:如图,建立空间直角坐标系,则A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4).设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则解得x=2z且y=-2z.不妨设n=(2,-2,1),设点A1到平面AB1D1的距离为h,则h=.故选C.答案:C12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析:双曲线x2-y2=1的渐近线为y=±x,与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形面积为16,可得四边形为正方形,其边长为4,双曲线的渐近线与椭圆C的一个交点为(2,2),所以有=1,又因为e=,a2=b2+c2,联立解方程组得a2=20,b2=5,故选D.答案:D二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=.解析:c-a=(0,0,1-x),(c-a)·(2b)=2(0,0,1-x)·(1,2,1)=2(1-x)=-2,解得x=2.答案:214.由命题“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,求得m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是.解析:∵“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,∴“任意x∈R,使x2+2x+m>0”是真命题,∴Δ=4-4m<0,解得m>1,故a的值是1.答案:115.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面A1B1C1D1的中心,则OC与BC1夹角的余弦值为.解析:设以D为坐标原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1,O,C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),=(-1,0,1),cos<>==-.∴OC与BC1夹角的余弦值为.答案:16.(2014北京高考)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.解析:双曲线-x2=1的渐近线方程为y=±2x.设与双曲线-x2=1有共同渐近线的方程为-x2=λ,又(2,2)在双曲线上,故-22=λ,解得λ=-3.故所求双曲线方程为-x2=-3,即=1.所求双曲线的渐近线方程为y=±2x.答案:=1 y=±2x三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0.若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围.解:解不等式x2-8x-20>0得p:A={x|x>10,或x<-2}.解不等式x2-2x+1-a2>0得q:B={x|x>1+a,或x<1-a,a>0}.依题意,p⇒q但q不能推出p,说明A⫋B.于是,有解得0<a≤3.∴正实数a的取值范围是0<a≤3.18.(12分)(2014安徽高考)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.分析:(1)先将直线l1,l2的方程设出来,再分别与抛物线y2=2p1x和y2=2p2x联立求出A1与A2的坐标,同理再求得B1,B2的坐标,利用向量这一工具,把的坐标求出,由向量共线(平行)条件知A1B1∥A2B2.(2)由(1)中的结论,得出B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2,进而得出△A1B1C1∽△A2B2C2,以及△A1B1C1与△A2B2C2的相似比,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方从而求解.(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以=2p1.=2p2.故,所以A1B1∥A2B2.(2)解:由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此.又由(1)中的.故.19.(12分)(2014福建高考改编)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD;(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC夹角的正弦值.分析:在第(1)问中,考查线线垂直问题,要寻求线线垂直的条件,可以是线面垂直或面面垂直.结合具体条件,利用面面垂直去证明线线垂直,只需在其中一个平面内的一条直线垂直于交线就可以了.在第(2)问中,欲求直线与平面夹角的正弦值,自然联想到借助于向量解决,建立合适的坐标系之后,求得平面的法向量n,再在直线上确定一个方向向量,求得这两个向量夹角的余弦值,其绝对值即为线面夹角的正弦值.(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⫋平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD⫋平面BCD,∴AB⊥CD.(2)解:过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(1)知AB⊥平面BCD,BE⫋平面BCD,BD⫋平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M,则=(1,1,0),=(0,1,-1).设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),则取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC夹角为θ,则sinθ=|cos<n,>|=,即直线AD与平面MBC夹角的正弦值为.20.(12分)(2013课标全国Ⅱ高考)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M 于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则=1,=1,=-1,由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为=1.(2)由解得因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.21.(13分)(2013广东高考)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解:(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由,结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y'=x,设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0,同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0,因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2.所以-2y0+1=2+2y0+5=2.所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.22.(13分)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求二面角P-CD-B的大小;(2)求证:平面 MND⊥平面PCD;(3)求点P到平面MND的距离.(1)解:∵PA⊥平面ABCD,∴AD是PD在平面ABCD上的射影.由ABCD是正方形知AD⊥CD.∴PD⊥CD.∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角.∵PA=AD,∴∠PDA=45°,即二面角P-CD-B的大小为45°.(2)证明:如图,建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),M(1,0,0),∵N是PC的中点,∴N(1,1,1),∴=(0,1,1),=(-1,1,-1),=(0,2,-2).设平面MND的一个法向量为m=(x1,y1,z1),平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2).∴m·=0,m·=0,即有令z1=1,得x1=-2,y1=-1.∴m=(-2,-1,1).同理,由n·=0,n·=0,即有令z2=1,得x2=0,y2=1,∴n=(0,1,1).∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n.∴平面MND⊥平面PCD.(3)解:设P到平面MND的距离为d.由(2)知平面MND的法向量m=(-2,-1,1).∵·m=(0,2,-2)·(-2,-1,1)=-4,∴|·m|=4,又|m|=,∴d=.即点P到平面MND的距离为.。
2016-2017学年高中数学 模块综合检测(B)北师大版选修2-1
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若命题p ：任意x ∈R,2x 2＋1>0，则綈p 是( )A ．任意x ∈R,2x 2＋1≤0B ．存在x 0∈R,2x 0＋1>0C ．存在x 0∈R,2x 0＋1<0D ．存在x 0∈R,2x 0＋1≤02．“a >0”是“|a |>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <24．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．125．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.y 22－x 24＝1 6．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°7．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010 D.358．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A ．3 2B ．2 3 C.303 D.326 9．命题p ：关于x 的不等式(x －2)x 2－3x ＋2≥0的解集为{x |x ≥2}，命题q ：若函数y ＝kx 2－kx －1的值恒小于0，则－4<k ≤0，那么不．正确的是( ) A ．“綈p ”为假命题 B ．“綈q ”为假命题C ．“p 或q ”为真命题D ．“p 且q ”为假命题10.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( ) A.63 B.255 C.155 D.105二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．12．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________． 13．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率＝__________________________________________________________________.14．给出如下三种说法：①四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc ；②命题“若x ≥3且y ≥2，则x －y ≥1”为假命题；③若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中正确说法的序号为________．15．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知命题p ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数，q ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的命题，并指出其真假．17．(12分)F 1，F 2是椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线引垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹．18.(12分)若r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.已知任意x ∈R ，r (x )为假命题且s (x )为真命题，求实数m 的取值范围．19．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF 2的面积．20.(13分)已知PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别为AB ，PC 的三等分点，且PN＝2NC ，AM ＝2MB ，PA ＝AB ＝1，求MN →的坐标．21．(14分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A —A 1C —B 的正切值大小．模块综合检测(B)1．D [綈p ：存在x ∈R,2x 2＋1≤0.]2．A [因为|a |>0⇔a >0或a <0，所以a >0⇒|a |>0，但|a |>0 a >0，所以a >0是|a |>0的充分不必要条件．]3．C [由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c 2>a ，∴c a >2.]4．C [设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3.]5．D [与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ， 由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.] 6．A [(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋1＋sin 2α)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.]7．C [以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则AA 1＝2，依题设有B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)，E (1,0,1)，∴BE →＝(0，－1,1)，CD 1→＝(0，－1,2)．∴cos 〈BE →·CD 1→〉＝0＋1＋22·5＝31010.] 8．C [令直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4 ①x 22＋2y 22＝4 ② ①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k l ＝－12，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3＝0x 2＋2y 2－4＝0，得6y 2－12y ＋5＝0. ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝56. ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝303.] 9．D10．D [以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)．∴BC 1→＝(－2,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1|→·|AC →|＝45·8＝105.∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105.] 11．012. 3解析 焦点(±2,0)，渐近线：y ＝±3x ， 焦点到渐近线的距离为23(3)2＋1＝ 3. 13. 5解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 14．①②解析 对①a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之不一定．故①正确；对②，令x ＝5，y ＝6，则x －y ＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p 且q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．15．(1,3]解析 设|PF 2|＝m ，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m ，2c ＝|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＝3m .∴e ＝c a ＝2c 2a≤3，又e >1， ∴离心率的取值范围为(1,3]．16．解 “p 或q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数或不相等．“p 且q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不都是实数．∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．∴p 真，q 假．∴“p 或q ”真，“p 且q ”假，“非p ”假．17．解设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，F 1，F 2是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)，过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ，则P 是F 2H 的中点，且|F 2Q |＝|QH |，因此|PO |＝12|F 1H |＝12(|F 1Q |＋|QH |) ＝12(|F 1Q |＋|F 2Q |)＝a ， ∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点)．18．解 由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，任意x ∈R ，r (x )为假命题即sin x ＋cos x >m 恒不成立．∴m ≥ 2.①又对任意x ∈R ，s (x )为真命题．∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立．则Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2.②故任意x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题，应有2≤m <2.19．解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23， ∴|CD |＝1＋(－2)2|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910. 20．解 方法一∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA ⊥面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k ，以{i ，j ，k }为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－23AB →＋AP →＋23PC → ＝－23AB →＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB →) ＝13AP →＋23AD →＝13k ＋23(－DA →) ＝－23i ＋13k . ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13. 方法二 设DA →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k ，以{i ，j ，k }为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E .可知NE ∥PD .∵MN →＝ME →＋EN →＝AD →＋13DP → ＝－DA →＋13(DA →＋AP →)＝－i ＋13(i ＋k ) ＝－23i ＋13k ，∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13. 21．(1)证明 ∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AB ⊥AA 1.在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°， 由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ，如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB →＝(1,0,0)，A 1C →＝(0，3，－3)， ∴AB →·A 1C →＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0， ∴AB ⊥A 1C .(2)解 如图，可取m ＝AB →＝(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量，设平面A 1BC 的法向量为n ＝(l ，m ，n )．则BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，又BC →＝(－1，3，0)， ∴⎩⎨⎧ －l ＋3m ＝0，3m －3n ＝0，∴l ＝3m ，n ＝m . 不妨取m ＝1，则n ＝(3，1,1)． cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n | ＝3×1＋1×0＋1×0(3)2＋12＋12·12＋02＋02＝155. 设二面角A —A 1C —B 的大小为θ，∴cos θ＝cos 〈m ，n 〉＝155，sin θ＝105. 从而tan θ＝63，即二面角A —A 1C —B 的正切值为63.。
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(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z＝(1＋i)(－2＋3i)(i为虚数单位)，则z的共轭复数z＝( )A．1＋i B．1－iC．－5＋i D．－5－i解析：z＝(1＋i)(－2＋3i)＝(－2－3)＋(－2＋3)i＝－5＋i，∴z＝－5－i.答案：D2．证明命题：“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增加的”，现给出的证法如下：因为f(x)＝e x＋1e x，所以f′(x)＝e x－1e x.因为x>0，所以e x>1,0<1e x<1，所以e x－1e x>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的，使用的证明方法是( ) A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是答案：A3．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，则可归纳出一般结论为( )A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1nD．1＋122＋132＋…＋1n2<2n2n＋1答案：C4．函数y＝sin(2x＋1)的导数为( )A．cos(2x＋1) B．2cos(2x＋1)C．2cos x D．(2x＋1)sin(2x＋1)解析：y＝sin(2x＋1)是由函数y＝sin μ和μ＝2x＋1复合而成的，∴y′x＝y′μ·μ′x＝cos μ·(2x＋1)′＝2cos μ＝2cos(2x＋1)．答案：B5．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2, p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1.其中的真命题为( )A．p1，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解析：∵复数z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝2，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．答案：C6．已知函数y＝x ln x，则这个函数的图像在点x＝1处的切线方程是( )A．y＝2x－2 B．y＝2x＋2C．y＝x－1 D．y＝x＋1解析：当x＝1时，y＝0；y′＝ln x＋1，k＝1，所以切线方程为y＝x－1.答案：C7．已知数列2,5,11,20，x,47，…，合情推理出x的值为( )A．33 B．32C．31 D．30解析：∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，猜测x－20＝12，即x＝32，此时47－x＝47－32＝15.答案：B8．在区间(0，＋∞)内，函数f(x)＝e x－x是( )A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析：f′(x)＝e x－1，因为x>0 ，所以e x>1，所以e x－1>0，即y′>0在(0，＋∞)上恒成立．故函数在(0，＋∞)上是增函数．答案：A9．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．A．①②③B．①③C．①D．②③解析：类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行．成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案：A10．抛物线y ＝x 2＋x 与x 轴围成的图形面积为( ) A.18 B ．1[ C.16D.12解析：令x 2＋x ＝0，则x ＝0或－1， ∴S ＝－∫0－1(x 2＋x )d x ＝－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋12x 20－1＝16. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得 到的结论是______________________________________________________________． 答案：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大12．已知平行四边形OABC 的顶点A ，B 分别对应复数1－2i,3＋i.O 为复平面的原点，那么顶点C 对应的复数是________．解析：设点C 对应的复数为x ＋y i ，则OA ＝(1，－2)，OB ＝(3－x,1－y )，由题意得3－x ＝1,1－y ＝－2，解得x ＝2，y ＝3，故C 对应的复数是2＋3i. 答案：2＋3i13．已知f (x )为一次函数，且f (x )＝x ＋2∫10f (t )d t ，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)则∫10f (t )d t ＝∫10(at ＋b )d t＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12at 2＋bt 10＝12a ＋b . 又f (x )＝x ＋2∫10f (t )d t 得ax ＋b ＝x ＋a ＋2b ，∴a ＝1，b ＝－1，即f (x )＝x －1. 答案：x －114．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或者t <3<t ＋1，得0<t <1或者2<t <3.答案：(0,1)∪(2,3)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知z 为复数，且|z |2＋(z ＋z )i ＝3－i 2＋i(i 为虚数单位)，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，代入上述方程得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ， ∴x 2＋y 2＝1且2x ＝－1，解得x ＝－12且y ＝±32.∴复数z ＝－12±32i.16．(本小题满分12分)设F (x )＝∫x 0(t 2＋2t －8)d t . (1)求F (x )的单调区间； (2)求F (x )在[1,3]上的最值．解：依题意得：F (x )＝∫x0(t 2＋2t －8)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3＋t 2－8t |x 0＝13x 3＋x 2－8x ，定义域是(0，＋∞)． (1)F ′(x )＝x 2＋2x －8， 令F ′(x )>0得x >2或x <－4， 令F ′(x )<0得－4<x <2， 由于定义域是(0，＋∞)，∴函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0,2)． (2)令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－4舍去)， 由于F (1)＝－203，F (2)＝－283，F (3)＝－6，∴F (x )在[1,3]上的最大值是F (3)＝－6，最小值是F (2)＝－283.17．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，……， ∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋n －12＝n ＋12， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 18．(本小题满分14分)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值． 解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x， 从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3. 当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0， 故g (x )在(－∞，0)上为减函数；当x∈(0,3)时，g′(x) ＞0，故g(x)在(0,3)上为增函数；当x∈(3，＋∞)时，g′(x)＜0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值，g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.。
北师大版数学选修2-1同步作业：模块综合检测
模块综合检测第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题：“若b 2－4ac<0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根”的否命题是( )A ．若b 2－4ac>0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根B ．若b 2－4ac>0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根C ．若b 2－4ac≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根D ．若b 2－4ac≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根 答案 C解析 把命题的条件和结论都进行否定后所得命题是否命题，条件b 2－4ac<0的否定是b 2－4ac ≥0，结论“没有实数根”的否定是“有实数根”．2．(2019·天津，理)设x∈R ，则“x 2－5x<0”是“|x－1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由x 2－5x<0可得0<x<5.由|x －1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x 2－5x<0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．3．向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对 答案 C4．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32D.54答案 B5．如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB′→，CM →〉的值为( )A.12B.21015C.23 D.1115 答案 B解析 以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B ′(1，1，1)，D(0，0，0)，C(0，1，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，∴DB ′→＝(1，1，1)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.故cos 〈DB ′→，CM →〉＝1×1＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1×012＋12＋12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋02＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.6.如图所示，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD 与平面α成30°角，则C ，D 两点间的距离为( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．2 答案 B 解析用向量知识求距离，也就是利用|a |2＝a 2求向量的模．如图所示，过点D 作DD ′⊥平面α于D ′，连接BD ′，则∠DBD ′＝30°.∵BD ＝1，∴BD ′＝32， DD ′＝12.∵CD →＝CA →＋AB →＋BD ′→＋D ′D →＝AB →＋BD ′→＋DD ′→，∴|CD →|2＝AB →2＋BD′→2＋DD ′→2＋2AB →·BD ′→＋2BD ′→·DD ′→＋2AB →·DD ′→＝1＋34＋14＝2.∴|CD →|＝ 2.7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D，都有x ＋2y≥－2； p 2：存在(x ，y )∈D，成立x ＋2y≥2； p 3：任意(x ，y )∈D，都有x ＋2y≤3； p 4：存在(x ，y )∈D，成立x ＋2y≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3 答案 C解析 本题可先画出可行域，然后根据图形求解．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A(2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0.(y＝－x 2＋u 2，u2表示纵截距)结合题意知p 1，p 2正确．8．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点O ，建立如图所示的空间直角坐标系，则与DB 1→共线的向量坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1，1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1) 答案 C解析 设正方体棱长为1， 则D(0，0，0)，B 1(1，1，1)． ∴DB 1→＝(1，1，1)，与DB 1→共线的向量为(2，2，2)．9．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则双曲线的离心率e 等于( )A ．5B.5C.52D.54答案 C解析 由题意知b a ＝12.∴a2＝b.由c 2＝a 2＋b 2＝54a 2，∴e ＝c a ＝52aa ＝52.10．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.92答案 A解析 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线是直线l ，则点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0，2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0，2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0，2)的距离，因此所求的最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172，选A. 11．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都是a ，D 是侧棱CC 1的中点，则点C 到平面AB 1D 的距离是( )A.24aB.28a C.324 a D.22a答案 A解析 ∵四边形ABB 1A 1是正方形，∴A 1B ⊥AB 1.又平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1，∴A 1B ⊥平面AB 1D ，∴A 1B →是平面AB 1D 的一个法向量，则点C 到平面AB 1D 的距离为d ＝|AC →·A 1B →||A 1B →|＝|AC →·（A 1A →＋AB →）|2a ＝|AC →·A 1A →＋AC →·AB →|2a＝|0＋a·a·cos60°|2a＝24a.12．如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝10，P 是y 轴正半轴上一点，PF 1交椭圆于点A ，若AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22，则椭圆的离心率是( )A.54B.53C.510 D.154答案 B 解析 因为AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22， ∴|AF 2|＋|AP|－|PF 2|2＝22，即|AF 2|＋|AP|－（|AF 1|＋|AP|）2＝22.∴|AF 2|－|AF 1|＝ 2.又|AF 2|2＋|AF 1|2＝10，∴|AF 2|＋|AF 1|＝3 2.∴e ＝|F 1F 2||AF 2|＋|AF 1|＝1032＝53.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(1－t ，1－t ，t)，b ＝(2，t ，t)，则|b －a |的最小值为________．答案 355解析 |b －a |2＝(b －a )2＝(1＋t)2＋(2t －1)2＋0＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥95. ∴|b －a |的最小值为35＝355. 14．方程(x ＋y ＋1)·x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线是________．答案 圆x 2＋y 2＝4与直线x ＋y －1＝0在该圆外(包括边界)的部分15．(2019·课标全国Ⅲ，文)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥6，2x －y≥0，表示的平面区域为D.命题p ：∃(x ，y )∈D，2x ＋y≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D，2x ＋y≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ②綈p∨q ③p∧綈q ④綈p∧綈q这四个命题中，所有真命题的编号是________(填上所有正确结论的序号)． 答案 ①③ 解析方法一：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧綈q正确．方法二：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧綈q正确．所以答案为①③.16.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③异面直线AC与A1B成60°角；④AC1与底面ABCD所成角的正切值是 2.答案①②③解析对于①，BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，①正确；对于②，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，连接A1C1，又A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，∴AC1⊥平面CB1D1，②正确；对于③，易知AC∥A1C1，异面直线AC 与A 1B 所成的角为∠BA 1C 1，连接BC 1，又△A 1C 1B 为等边三角形，∴∠BA 1C 1＝60°，异面直线AC 与A 1B 成60°角，③正确；对于④，AC 1与底面ABCD 所成的角的正切值是CC 1AC ＝12＝22≠2，故④不正确．故正确的结论为①②③.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交．”q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根．” 若p 或q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围． 解析 ∵p∨q 为真，綈p 为真， ∴p 假q 真． 由⎩⎨⎧x ＋y －m ＝0，（x －1）2＋y 2＝1，得 2x 2－2(1＋m)x ＋m 2＝0.若p 假，则Δ＝4(1＋m)2－4×2×m 2≤0. ∴m ≥1＋2或m ≤1－ 2.若q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m≠0，m －4m<0.∴0<m<4.∴p 假q 真时，1＋2≤m<4. ∴m 的取值范围是[1＋2，4) 18．(12分)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PB 与底面所成的角是30°，∠BAD ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝a ，AB ＝2a.若AE⊥PB 于E ，求证：DE⊥PB.证明以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与底面ABCD 所成的角．∴∠PBA ＝30°，∴PA ＝233 a.A(0，0，0)，B(2a ，0，0)，D(0，a ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，233a ，∴AD →＝(0，a ，0)，PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ，0，－233a .∵AD →·PB →＝(0，a ，0)·⎝⎛⎭⎪⎫2a ，0，－233a ＝0，∴PB ⊥AD ，又PB⊥AE， ∴PB ⊥平面ADE ，∴PB ⊥DE.19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．(1)求证：“如果直线l 过点T(3，0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．解析 (1)令直线l 与抛物线两个交点A 、B 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)；由于直线l 过点T(3，0)，从而有TA →∥TB →，再有TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)． 可得(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0.由于交点A 、B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2代入上式y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 22＋3＝0.显然交点A 、B 的纵坐标不可能相等，只有y 1y 22＋3＝0⇒y 1y 2＝－6.同时OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 222＋y 1y 2＝9－6＝3. 所以命题为真命题．(2)逆命题为：“如果OA →·OB →＝3，则直线l 过点T(3，0)”．由于交点A 、B 也在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2x 1，y 22＝2x 2.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 222＋y 1y 2＝3. 可得y 1y 2＝2或y 1y 2＝－6. 又TA →＝(x 1－3，y 1)，TB →＝(x 2－3，y 2)， 若TA →∥TB →⇒(x 1－3)y 2＝(x 2－3)y 1，即x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝0.而x 1y 2－x 2y 1－3y 2＋3y 1＝y 12y 22－y 1y 222－3y 2＋3y 1＝(y 1－y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 22＋3.显然当y 1y 2＝－6时使得“直线l 过点T(3，0)”； 而当y 1y 2＝2时“直线l 不过点T(3，0)”． 所以该命题是假命题．20．(12分)(2019·课标全国Ⅲ，理)图(1)是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图(2)．(1)证明：图(2)中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE. (2)求图(2)中的二面角B －CG －A 的大小．解析 (1)证明：由已知得AD∥BE，CG ∥BE ，所以AD∥CG，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知得AB⊥BE，AB ⊥BC ， 故AB⊥平面BCGE. 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE⊥平面ABC ，所以EH⊥平面ABC.由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°.可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H －xyz ，则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，3)，CG →＝(1，0，3)，AC →＝(2，－1，0)．设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋32z ＝0，2z －y ＝0. 所以可取n ＝(3，6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取为m ＝(0，1，0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝32. 因此，二面角B －CG －A 的大小为30°.21．(12分)已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433. (1)求椭圆C 的方程；(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．解析 (1)在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163.由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos60°)，从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝22，从而b ＝2. 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k （x ＋1），得(1＋2k 2)x2＋4k(k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4k （k －2）1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2. 从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋（k －4）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －(k －4)4k （k －2）2k 2－8k＝4. 当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－142， 得k 1＋k 2＝4.综上，恒有k 1＋k 2＝4.22．(12分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E －BF －C 的正弦值．解析 (1)证明：方法一：如图，过E 作EO⊥BC，垂足为O ，连接OF.(1)由题意得△ABC≌△DBC，可证出△EOC≌△FOC.所以∠EOC＝∠FOC＝π2， 即FO⊥BC.又EO⊥BC，EO ∩FO ＝O ，因此BC⊥平面EFO.又EF ⊂平面EFO ，所以EF⊥BC.方法二：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，3)，D(3，－1，0)，C(0，2，0)，因而E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，BC →＝(0，2，0)．因此EF →·BC →＝0. 从而EF →⊥BC →，所以EF⊥BC.(2)方法一：如图(1)，过O 作OG⊥BF，垂足为G ，连接EG.由平面ABC⊥平面BDC ，从而EO⊥平面BDC.又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF. 因此∠EGO 为二面角E －BF －C 的平面角，在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos 30°＝32， 由△BGO∽△BFC，知OG ＝BO BC ·FC＝34. 因此tan ∠EGO ＝EO OG ＝2，从而sin ∠EGO ＝255， 即二面角E －BF －C 的正弦值为255. 方法二：如图(2)，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)．(2)设平面BEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1)． 设二面角E －BF －C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15. 因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.由Ruize收集整理。
北师大版高中数学选修2-1模块综合测评1
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若p则q”的逆命题是()A．若q则p B．若綈p则綈qC．若綈q则綈p D．若p则綈q【解析】根据原命题与逆命题之间的关系可得：逆命题为“若q则p”，选A.【答案】 A2．已知命题p：在直角坐标平面内，点M(sin α，cos α)与N(1,2)在直线x＋y －2＝0的异侧；命题q：若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角．以下命题中为真命题的是()A．p或q真，p且q真B．p或q真，p且q假C．p或q假，p且q真D．p或q假，p且q假【解析】∵sin α＋cos α－2≤2－2＜0，∴点M(sin α，cos α)在直线x＋y －2＝0的左下侧．又∵1＋2－2＞0，∴N(1,2)在直线x＋y－2＝0的右上侧，故命题p为真．若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角，显然为假．因为当a，b同向时，设a·b＝1＞0，但是a，b夹角为0，所以命题q为假．【答案】 B3．设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 綈p ：－1≤x ≤1；綈q ：－2≤x ≤1，显然{x |－1≤x ≤1}{x |－2≤x ≤1}，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．【答案】 A4．已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 等于( )A ．4B ．2C ．4或－4D ．2或－2【解析】 由已知可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由抛物线的定义知2＋p2＝4，∴p ＝4.∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式得m 2＝16，∴m ＝±4.【答案】 C5．已知E 、F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中BB 1、DC 的中点，则异面直线AE 与D 1F 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°【解析】 以A 1为原点，A 1B 1→、A 1D 1→、A 1A →为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，则A (0,0,2)，E (2,0,1)，D 1(0,2,0)，F (1,2,2)，AE →＝(2,0，－1)，D 1F →＝(1,0,2)，所以AE →·D 1F →＝0，所以AE ⊥D 1F ，即AE 与D 1F 所成的角为90°.【答案】 D6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：32550101】A.12 B ．32 C ．1D ． 3【解析】 由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即±3x －y ＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d ＝|±3－0|2＝32.【答案】 B7．如图1所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →等于( )图1A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c【解析】 连接ON ，由向量加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .故选B.【答案】 B8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段【解析】 ∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a . ∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 【答案】 A9．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1D ．x 28－y 24＝1【解析】 由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a ＝2， ∴双曲线的标准方程为y 24－x 2b 2＝1.根据题意，得2a ＋2b ＝2×2c ，即a ＋b ＝2c . 又∵a 2＋b 2＝c 2，且a ＝2，⎩⎨⎧a ＋b ＝2c ，a 2＋b 2＝c 2，a ＝2，解得b 2＝4，∴适合题意的双曲线方程为y 24－x 24＝1，故选B. 【答案】 B10．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.35 B ．45 C.34D ．55【解析】 如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，则有A (0，－1,0)，D (0,0,2)，C (0，1,0)，B 1(3，0,2)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0,2,1)． ∴sin 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝45.【答案】 B11．如图2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图2A. 2 B ． 3 C.32D ．62【解析】 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. 【答案】 D12．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则双曲线E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B ．x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1【解析】 由已知得k AB ＝－15－0－12－3＝1.设E ：x 2a 2－y 2b 2＝1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，则(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，而⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2＝1，b 2＝54a 2.①又c 2＝a 2＋b 2＝9，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y25＝1.【答案】 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“任意x ∈R ，都有x 2＋x －4＞0”的否定________． 【解析】 全称命题的否定为特称命题．【答案】 存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0－4≤0.14．已知命题p ：函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅.若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．【解析】 p 且q 为真命题⇒p 是真命题，q 是真命题．①p 是真命题⇒c －1＞0⇒c ＞1，②q 是真命题⇒Δ＝(－1)2－4c ＜0⇒c ＞14，故p 且q 为真命题⇒c ＞1⇒c ∈(1，＋∞)．【答案】 (1，＋∞)15．如图3所示，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离是________．图3【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，∴A (1,0,0)，B (1，1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1.设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴n ·AB →＝0，且n ·BC 1→＝0，即(x ，y ，z )·(0,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·(－1,0,1)＝0.∴y ＝0，且－x ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)．∴n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22，又EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为|EC 1→·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22＝22. 【答案】 2216．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系知，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2， 于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k 2－1，把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k ， 根据|FQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解出k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：不等式|x －1|＞m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．【导学号：32550102】【解】 由于不等式|x －1|＞m －1的解集为R ， 所以m －1＜0，m ＜1；又由于f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 所以5－2m ＞1，m ＜2.即命题p ：m ＜1，命题q ：m ＜2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假． 当p 真q 假时应有⎩⎨⎧ m ＜1，m ≥2，m 无解．当p 假q 真时应有⎩⎨⎧m ≥1，m ＜2，1≤m ＜2.故实数m 的取值范围是1≤m ＜2.18．(本小题满分12分)已知p ：{x |x ＋2≥0且x －10≤0}，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 p ：{x |－2≤x ≤10}，綈p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}， 綈q ：B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，m ＞0}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以綈q ⇒綈p ，綈p綈q .所以B A .分析知，B A 的充要条件是⎩⎨⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．19．(本小题满分12分)如图4所示，已知P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，P A ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：图4(1)MN ∥平面P AD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC . 【证明】如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b .(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． 因为M 、N 分别为AB ，PC 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a 2.所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)， 所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .(2)由(1)可知：P (0,0，a )，C (b ，a,0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，D (0，a,0)． 所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0n 1·PM →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b 2x 1－az 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1.令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，⇒⎩⎨⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0， 所以⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面PMC ⊥平面PDC . 20．(本小题满分12分)已知点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →－y 2＋8＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)．【解】 (1)由题意可知，P A →＝(－x,4－y )，PB →＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0，∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程． (2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2＝2y ，整理得x 2－2x －4＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4，∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)x 1x 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4x 1x 2＝－4＋4＋4－4＝－1， ∴OC ⊥OD .21．(本小题满分12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0.(1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2.即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2. 得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5.椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.22．(本小题满分12分)如图5①，正三角形ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别为AC 和BC 边上的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ，如图5②.① ②图5(1)试判断翻折后的直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角B -AC -D 的余弦值；(3)求点C 到平面DEF 的距离．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (a,0,0)，A (0,0，a )，C (0，3a,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2.(1)AB →＝(a,0，－a )，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2＝12(a,0，－a )， ∴EF →＝12AB →.∴EF →∥AB →.∴EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)易知DB →＝(a,0,0)是平面ADC 的一个法向量．设平面ACB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．而AB →＝(a,0，－a )，BC →＝(－a ，3a,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝xa －az ＝0，n ·BC →＝－ax ＋3ay ＝0.令x ＝1，得z ＝1，y ＝33，∴平面ACB 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1. ∴n ·DB →＝a .∴cos 〈n ，DB →〉＝a a ·1＋13＋1＝217. ∴二面角B -AC -D 的余弦值为217.(3)平面DEF 内的向量DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0. 设平面DEF 的一个法向量为m ＝()x ，y ，z ，则 ⎩⎨⎧ m ·DE →＝32ay ＋a 2z ＝0，m ·DF →＝a 2x ＋32ay ＝0.令y ＝3，则z ＝－3，x ＝－3.∴平面DEF 的一个法向量m ＝(－3，3，－3)． 又DC →＝(0，3a,0)，∴DC →·m ＝3a .∴点C 到平面DEF 的距离d ＝|DC →·m ||m | ＝3a 9＋3＋9＝217a .。
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模块检测(选修2－1)(时间：80分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．对于原命题：“已知a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中，真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．0答案 B解析 原命题与逆否命题同真同假，此题中原命题为假，如c ＝0时不成立，逆否命题为假；逆命题为真，所以否命题也为真，故选B.2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆否命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b答案 C3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x答案 A解析 因为准线方程为x ＝－2，所以p 2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程为y 2＝8x .故选A. 4．方程x 2m －2＋y 2m ＋3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是( ) A ．－3<m <0B ．－3<m <2C ．－3<m <4D ．－1<m <3 答案 A解析 由(m －2)(m ＋3)<0，得－3<m <2，∵(－3,0)⊆(－3,2)，∴m ∈(－3,0)是方程表示双曲线的一个充分不必要条件．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±32x B ．y ＝±3x C ．y ＝±33x D ．y ＝±32x 答案 B解析 由题意得抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以c ＝4，又因为双曲线的离心率e ＝c a＝2，所以a ＝2，则b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，故选B. 6．已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当m ＝－1时，“y ＝2x ＋m －1有零点”，不能说明“y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”，∴充分性不成立．由“y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”，可得0<m <1，∴y ＝2x ＋m －1一定有零点，∴必要性成立．7．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D解析 ∵OA →，OB →，OC →的系数之和为1，∴x ＝13. 8．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A.35B.5－12C.－1±52D.15答案 B解析 设椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c ,2b ,2a ，∵椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，∴4b 2＝2a ·2c ，∴b 2＝a ·c ，∴b 2＝a 2－c 2＝a ·c ，两边同除以a 2得e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52(舍负)， ∴e ＝－1＋52.故选B. 9．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3 答案 D解析 渐近线y ＝±3x ，将x ＝2代入得y 1,2＝±23，∴|AB |＝4 3.10．设抛物线的顶点在原点，其焦点在x 轴上，又抛物线上的点A (－1，a )与焦点F 的距离为2，则a 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 答案 D解析 设抛物线的方程为y 2＝－2px (p >0)，从而有1＋p 2＝2，得p ＝2. 又a 2＝4，故a ＝±2，故选D.11．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( ) A ．2 B.62 C.52D ．1 答案 D解析 由e ＝c a ，得e 2＝a 2＋3a 2＝22，∴a ＝1. 12．平面α的一个法向量为n ＝(1，－3，0)，则y 轴与平面α所成角的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.5π6答案 B解析 取y 轴的方向向量y ＝(0,1,0)，设y 轴与平面α所成的角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2， 则sin θ＝|n ·y ||n ||y |＝32，即θ＝π3. 13．已知双曲线y 25－x 2m＝1的一个焦点与抛物线x 2＝12y 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±55x B ．y ＝±255x C ．y ＝±52x D ．y ＝±5x答案 C解析 抛物线x 2＝12y 的焦点为(0,3)，由双曲线y 25－x 2m＝1的一个焦点与抛物线x 2＝12y 的焦点相同，可得3＝5＋m ，解得m ＝4，即双曲线的方程为y 25－x 24＝1， 可得渐近线方程为y ＝±52x .故选C. 14．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2，∴椭圆E 的右焦点为(2,0)，∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，c ＝2， ∵e ＝c a ＝12，∴a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝12， ∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆E 的方程，解得A (－2,3)，B (－2，－3)， ∴|AB |＝6，故选B.15．如图，已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD ，点M 在线段PC 上，点N 在线段PD 上，且PM ＝2MC ，PN ＝ND .若MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－43答案 C解析 ∵MN →＝PN →－PM →＝12PD →－23PC → ＝12(AD →－AP →)－23(P A →＋AC →) ＝12AD →－12AP →＋23AP →－23(AB →＋AD →) ＝－23AB →－16AD →＋16AP →. ∴x ＋y ＋z ＝－23－16＋16＝－23. 16．若抛物线x 2＝my 上一点M (x 0，－3)到焦点的距离为5，则实数m 的值为( )A ．－8B ．－4C ．8D ．4答案 A解析 抛物线的准线方程为y ＝－m 4， 所以－m 4－(－3)＝5，即m ＝－8，故选A. 17．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点与双曲线的右焦点F 2重合，P 为抛物线和双曲线的一个交点，且∠PF 1F 2＝π4，则双曲线的离心率为( )A ．2 2B ．2 C. 2 D ．1＋ 2答案 D解析 如图，作PH 垂直于抛物线的准线于点H ，则∠PF 1F 2＝∠F 1PH ＝π4， 由抛物线的定义知|PH |＝|PF 2|，不妨设|PH |＝|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|＝1，即2c ＝1.因为点P 也在双曲线上，所以有2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2－1.因此双曲线的离心率e ＝c a ＝12－1＝2＋1，故选D. 18．设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12答案 C解析 由题意得抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫32，0， 准线l 的方程为x ＝－32， 设抛物线的准线与x 轴的交点为B ，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，0， 因为△APF 为等边三角形，P A ⊥l ，所以∠BAF ＝30°，所以|PF |＝|F A |＝2|BF |＝2×3＝6，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点A (m,4)到其焦点的距离为174，则p ＝________. 答案 12解析 由题意可知，该抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫0，p 2， 准线为y ＝－p 2， 所以4＋p 2＝174，故p ＝12. 20．设双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±22x ，则其离心率为________；若点(4,2)在双曲线C 上，则双曲线C 的方程为________．答案 62 x 28－y 24＝1 解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则由已知得b a ＝22， 则离心率e ＝c a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝62. 将点(4,2)代入双曲线方程，得16a 2－4b 2＝1，结合b a ＝22，可求得a 2＝8，b 2＝4， 所以双曲线方程为x 28－y 24＝1. 21．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．答案 2解析 如图，设双曲线的一个焦点为F ，则在△AOF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ，∠FOA ＝60°.∴c ＝2a ，∴e ＝c a＝2. 22.如图，在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝4，平面DEFH 分别与三棱锥S －ABC 的四条棱AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，若直线SB ∥平面DEFH ，直线AC ∥平面DEFH ，则平面DEFH 与平面SAC 所成二面角(锐角)的余弦值为________． 答案 71530解析 取AC 的中点G ，连接SG ，BG 分别交HF ，DE 于M ，N ，连接MN .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，又SG ∩BG ＝G ，SG ，BG ⊂平面SGB ，故AC ⊥平面SGB .因为AC ∥平面DEFH ，AC ⊂平面SAC ，平面SAC ∩平面DEFH ＝HF ，则AC ∥HF ，所以HF ⊥平面SGB ，所以HF ⊥MN ，HF ⊥MG ，∠NMG 即为平面DEFH 与平面SAC 所成二面角的平面角． 同理，由SB ∥平面DEFH 可知，SB ∥DH ，又易知MN ∥DH ，所以MN ∥SB ，所以∠NMG ＝∠BSG .易知SG ＝15，BG ＝3，所以cos ∠BSG ＝SB 2＋SG 2－GB 22SB ·SG ＝71530. 故所求二面角的余弦值为71530. 三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)若曲线C 上的动点M 到定点F (2,0)和它到定直线x ＝12的距离之比是2. (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l ：x ＋y ＋2＝0与曲线C 相交于A ，B 两点，求△F AB 的面积．解 (1)设M (x ，y )，由题意得(x －2)2＋y 2⎪⎪⎪⎪x －12＝2， 化简可得x 2－y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，y ＝－x －2，得2x 2－4x －7＝0， Δ＝16＋56＝72>0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72， |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6，点F 到直线AB 的距离d ＝42＝22， S △F AB ＝12×6×22＝6 2. 24．(10分)如图所示，已知点M (a ，3)是抛物线y 2＝4x 上一定点，直线AM ，BM 的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A ，B 两个不同的点．(1)求点M 到其准线的距离；(2)求证：直线AB 的斜率为定值．(1)解 因为M (a ,3)是抛物线y 2＝4x 上一定点，所以32＝4a ，a ＝94. 因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，所以点M 到其准线的距离为94－(－1)＝134. (2)证明 由题意知直线MA ，MB 的斜率存在且不为0，设直线MA 的方程为y －3＝k ⎝⎛⎭⎫x －94， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k ⎝⎛⎭⎫x －94，y 2＝4x ，得y 2－4k y ＋12k －9＝0， Δ＝16k 2－4⎝⎛⎭⎫12k －9＝16k 2－48k ＋36>0， 因为y A ＋3＝4k ，所以y A ＝4k－3， 因为直线AM ，BM 的斜率互为相反数，所以直线MB 的方程为y －3＝－k ⎝⎛⎭⎫x －94， 同理可得y B ＝4－k－3， 所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝y B －y A y 2B 4－y 2A 4＝4y B ＋y A ＝44－k －3＋4k －3＝－23，满足Δ>0， 所以直线AB 的斜率为定值－23. 25．(11分)在正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，满足AE ∶EB ＝CF ∶F A ＝CP ∶PB ＝1∶2，将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连接A 1B ，A 1P (如图所示)．(1)求证：A 1E ⊥平面BEP ；(2)求二面角F －A 1P －B 的余弦值．(1)证明 设正三角形ABC 的边长为3a ，则由题意可知AE ＝a ，AF ＝2a ，∠BAC ＝60°，由余弦定理可得EF 2＝AF 2＋AE 2－2AF ·AE ·cos ∠BAC ＝3a 2， 即EF ＝3a ，AE 2＋EF 2＝AF 2，则AB ⊥EF . 在折起后的立体几何中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ， 所以二面角A 1－EF －B 的平面角为∠A 1EB ， 则∠A 1EB ＝90°，即A 1E ⊥BE ，又BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BEP ， 所以A 1E ⊥平面BEP .(2)解 以E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则E (0,0,0)，F (0，3a,0)，B (2a,0,0)，A 1(0,0，a )，P (a ，3a,0)， A 1P —→＝(a ，3a ，－a )，A 1F —→＝(0，3a ，－a )， BP →＝(－a ，3a,0)．设平面A 1PF 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧ n ·A 1P —→＝0，n ·A 1F —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋3ay 1－az 1＝0，3ay 1－az 1＝0， 则x 1＝0，取y 1＝1，则z 1＝ 3.所以n ＝(0,1，3)．同理可得平面A 1PB 的一个法向量为m ＝(3，1,23)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝72×3＋1＋12＝78， 又由图可知二面角F －A 1P －B 的平面角为钝角，所以二面角F －A 1P －B 的余弦值为－78.。
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模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( ) A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分 C ．圆的一部分D ．直线的一部分2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2B.3C.2D.323．已知点A (4,1,3)、B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC →＝13AB →，则C 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫72，－12，52B.⎝⎛⎭⎫83，－3，2 C.⎝⎛⎭⎫103，－1，73D.⎝⎛⎭⎫52，－72，32 4．已知灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60cm ，灯深40cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( ) A ．11.25cmB ．5.625cm C ．20cmD ．10cm5．已知椭圆x 2＋y 22＝a 2(a >0)与以A (2,1)，B (4,3)为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．0<a <322B ．0<a <322或a >822C ．0<a <13D.322<a <8226．P 是双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．97．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”； ②已知p ：任意x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p 且q 为真命题； ③命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件． A ．0个B ．1个 C ．2个D ．3个 8.如图所示，已知PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ＝AB ，M 是P A 的中点，则二面角M —DC —A 的大小为( ) A.2π3B.π3 C.π4D.π69．已知命题P ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ；命题Q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1B ．a <2C ．1<a <2D ．a ≤1或a ≥2 10.三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( ) A ．－2B ．2C ．－23D ．2 3题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答 案二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知点A (1,2,3)和点B (3,2,1)，若点M 满足AM →＝MB →，则M 的坐标为__________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6，则点P 的横坐标x ＝________.13．已知a 、b 为不等于0的实数，则ab>1是a >b 的____________条件．14．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.15．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0 (λ∈R )，则λ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知p ：x 2－12x ＋20<0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0 (a >0)．若綈q 是綈p 的充分条件，求a 的取值范围．17．(12分)如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一个定点，动弦ME 、MF 分别与x 轴交于不同的点A 、B ，且|MA |＝|MB |.证明：直线EF 的斜率为定值．18.(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→|＋1|FP 2→|＝1.19．(12分)如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．20.(13分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．21．(14分)如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，AD 与CE 的点为M ，AC ⊥BC ，且AC ＝BC .(1)求证：AM ⊥平面EBC ；(2)求二面角A —EB —C 的大小．模块综合检测(C)1．B [x ＝1－4y 2，∴x 2＋4y 2＝1 (x ≥0)．即x 2＋y 214＝1 (x ≥0)．]2．C [由已知，b 2a2＝1，∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2，∴e ＝c a ＝2a a＝ 2.]3．C [设C(x ，y ，z)，则AC →＝(x －4，y －1，z －3)． 又AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝13AB →，∴(x －4，y －1，z －3)＝13(－2，－6，－2)，得x ＝103，y ＝－1，z ＝73.∴C ⎝⎛⎭⎫103，－1，73.] 4．B [设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p>0)，则抛物线过点(40,30)，∴900＝80p ，∴p ＝454，∴光源到反光镜顶点的距离d ＝p 2＝458＝5.625cm .]5．B [分两种情况：(1)A 点在椭圆外，4＋12>a 2，解得0<a<322；(2)B 点在椭圆内，16＋92<a 2，解得a>822.] 6．D [设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝6＋3＝9.] 7．B [只有③中结论正确．]8．C [二面角M —DC —A 的平面角为∠MDA.]9．C [由函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a)的值域为R 知：内层函数u (x )＝x 2＋2x ＋a 恰好取遍(0，＋∞)内的所有实数⇔Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1；即P ⇔a ≤1；同样由y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a >1，即Q ⇔a <2；由P 或Q 为真，P 且Q 为假知，P 与Q 中必有一真一假．故答案为C.] 10．A 11．(2,2,2) 12．5解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到准线的距离也为6，所以点P 的横坐标x ＝5. 13．既不充分又不必要 14．3解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a|PF 1|·|PF 2|＝18，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋36＝4a 2. 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2， ∴4a 2－4c 2＝36，∴b ＝3.15．－12解析 如图，连结A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →，即EF →－12A 1D →＝0，∴λ＝－12.16．解 p ：{x |2<x <10}，q ：{x |x <1－a ，或x >1＋a }． 由綈q ⇒綈p ，得p ⇒q ，于是1＋a <2，∴0<a <1.17．解 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)， 则直线MF 的斜率为－k ，直线ME 的方程为 y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 20)y 2＝x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.于是y 0·y E ＝y 0(1－ky 0)k ，所以y E ＝1－ky 0k .同理可得y F ＝1＋ky 0－k .∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝y E －y F y 2E －y 2F ＝1y E ＋y F ＝－12y 0， 即直线EF 的斜率为定值．18．解 (1)|MN →|＝2；则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )． 由|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0，则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0， 化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1) 代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.∴1|FP 1→|＋1|FP 2→|＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1. 当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．19．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，y ′＝－x ，所以－x 0＝2⇒x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离 d ＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ， 得x 2＋4x －4＝0， |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410.∴△ABP 面积的最大值为410·4552＝8 2.20．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ＝4a 2－16<0， ∴－2<a <2.函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，则有3－2a >1，即a <1. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2.(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a |1≤a <2或a ≤－2}．21．(1)证明 ∵四边形ACDE 是正方形， ∴EA ⊥AC ，AM ⊥EC ， ∵平面ACDE ⊥平面ABC ， ∴EA ⊥平面ABC ，∴可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz . 设EA ＝AC ＝BC ＝2，则A (0,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,0,2)， 又M 是正方形ACDE 的对角线的交点，∴M (0,1,1)，AM →＝(0,1,1)， EC →＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)， CB →＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)， ∴AM →·EC →＝0，AM →·CB →＝0，∴AM ⊥EC ，AM ⊥CB ，∴AM ⊥平面EBC . (2)解 设平面EAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥AE →且n ⊥AB →，∴n ·AE →＝0且n ·AB →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (0，0，2)·(x ，y ，z )＝0，(2，2，0)·(x ，y ，z )＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＋y ＝0. 取y ＝－1，则x ＝1，则n ＝(1，－1,0)．又∵AM →为平面EBC 的一个法向量，且AM →＝(0,1,1)，∴cos 〈n ，AM →〉＝n ·AM →|n |·|AM →|＝－12，设二面角A —EB —C 的平面角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，AM →〉|＝12，∴二面角A —EB —C 为60°.。