分式的概念与分式有意义的条件
分式的基本概念及性质
分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个分式的基本概念及性质二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】x为何值时，分式2141xx++无意义？【例5】x为何值时，分式2132x x-+有意义？【例6】x为何值时，分式211xx-+有意义？【例7】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例8】x为何值时，分式1111x++有意义？【例9】要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值.【例10】x为何值时，分式1122x++有意义？【例11】x为何值时，分式1122xx+-+有意义？【例12】若分式25011250xx-++有意义，则x；若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例13】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例14】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例15】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例16】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【例17】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288xx + ⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例18】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【例19】 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________．【例20】 若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【例21】 若分式 242a a -+ 的值为0，则a 的值为 .【例22】 若分式221x x -+的值为0，则x = ．【例23】 （2级）（2010房山二模）9. 若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例24】 若分式231x x ++的值为零，则x = ________________.【例25】 （2级）（2010平谷二模）已知分式11x x -+的值是零，那么x 的值是（ ） A ．1 B. 0 C. 1- D. 1±【例26】 若分式2532x x -+的值为0，则x 的值为 ．【例27】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例28】 若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例29】 若22x x a-+的值为0，则x = .【例30】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【例31】 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值.【例32】 x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【例33】 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【例34】 若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .【例35】 若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.四、分式的基本性质【例36】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++=（4）()222x y x y x xy y +=--+【例37】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+【例38】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例39】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-【例40】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【例41】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。
分式基本类型 知识点
通分的难点是确定各分式的最简公分母，课本以分析的方式化解难点，帮助学生弄清最简公分母的构成和最简公分母的确定过程，教学时应给予足够的重视．一、分式的概念:(一)、分式的概念及特征：（二）、分式有意义的条件（三）、分式值为0①都具有分数的形式；②分母中都含有字母；③分母中字母的取值要使分母不为0二、分式的基本性质：通分约分：分式的通分也是对分式进行恒等变形，它的依据是分式的基本性质．通分时应注意两点：首先，通分必须依据分式的基本性质进行，不能改变原分式的值；其次，通常公分母应是最简的，否则会增大计算量，带来一些不必要的麻烦．通分时，若分母是单项式，则取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积，作为公分母，这样的公分母就是最简公分母；若分母是多项式，则先将各分母分解因式，然后确定最简公分母．2、（数学与生活）已知A、B两地相距s千米，王刚从A地往B地需要m小时，•赵军从B 地往A地，需要n小时，他们同时出发相向而行，需要几时相遇？混合运算：化简求值分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
在给出增根的定义后，再用问题(3)进一步引导学生探索产生增根的原因，感受解分式方程时验根的必要性．你认为在解分式方程的过程中，那一步变形可能引起增根1、解分式方程的一般步骤（1）去分母（2）去括号（3）移项，合并同类项（4）系数化为1（5）检验一、 分式何时有意义、值为01. 判断x 1，x 1-1，3b a +-，π2x ，12222,51,,-+++--x x mb a b a x x 中分式的有 函数11-=x y 中自变量x 的取值范围是函数xx y 11++=中自变量x 的取值范围是2. x 取什么值时，分式912--x x（1）无意义； （2）有意义； （3）值为0。
当x 时，分式31-+x x 有意义，当x 时，分式32-x x 无意义。
3、当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）212x x - （2）7612-+x x （3）42132--x x4. 如果,0242=+--x x 则x=当x= 时，分式242+-x x 的值是0若分式112+-x x 的值为0，则x 的取值为（ ）A 、1=xB 、1-=xC 、1±=xD 、无法确定当m ＝ 时，分式23)3)(1(2+---m m m m 的值为零当a=2时，是否存在x= ，22xa -+x a 的值为05. 当a _________________时，分式132+-a a 的值是正数 x = 时，分式232-+x x 的值为正数二、分式的基本性质：1. 通分：222123,61,862x x xx x x x -+--++-2. 若11132-++=--x Bx A x x ，求A 、B 2、对于分式11x + 的变形永远成立的是( )A.1212x x =++; B.21111x x x -=+-; C.2111(1)x x x +=++; D.1111x x -=+- 3、下列各式正确的是（ ）A 、11++=++b a x b x aB 、22x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、am a n m n --= 4、将分式12x-y x 5 +y 3 的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（1）()aba b =（2）b a b a b a 22)(5.0+----=++ (3)())0(,10 53≠=a axy xy a (4) ()1422=-+a a 如果把分式yx x+2中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 、扩大3倍 B 、缩小3倍 C 、缩小6倍 D 、不变如果把分式yx x +22中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 、扩大3倍B 、缩小3倍C 、缩小6倍D 、不变 、在分式2223x yx y ++中，x ，y 的值都扩大100倍，则分式的值 。
分式知识归纳
第十六章分式【知识点1】分式1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母.2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可.【知识点2】有理式有理式的分类：有理式【知识点3】分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为：（其中M≠0）【知识点4】约分和通分1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分.2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.【知识点5】最简分式与最简公分母：约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.●知识链接：1分数的意义2.分数的基本性质3.分数基本性质的作用●中考考点本节的常考知识点有：1. 分式的有关概念，分式的意义，分式的值等于零.2. 分式的约分，分式的分子、分母的系数化整化正.3. 求分式的值以及分式与其它题的综合分式方程●学习目标1. 理解分式方程的定义，会解可化为一元一次方程的分式方程，了解产生增根的原因，并会验根.2. 列出分式方程，解简单的应用题.●重点难点重点：把分式方程转化为整式方程求解的化归思想及具体的解题方法.难点：（1）了解产生增根的原因，并有针对性地验根；（2）应用题分析题意列方程.●知识概要1. 分式方程的概念2. 解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审：审清题意；（2）设：设未知数；（3）找：找出等量关系；（4）列：列出分式方程；（5）解：解这个分式方程；（6）验：既要验证根是否为原分式方程的根，又要检验根是否符合题意；（7）答：写出答案.●知识链接解分式方程主要是将其转化成整式方程来解.解完方程要注意验根即是否使最简公分母为零.●中考视点: 本节内容在中考中经常出现，通常是以计算题或应用题的形式出现，并且多与其它章节如函数、方程等知识结合，因此，一定要注意含有字母系数的方程的解法以及可化为一元一次方程的分式方程的解法和应用，切记一定要验根.第二节、教材解读一、约分的根据、实质与关键约分的根据是分式的基本性质；约分的实质是将一个分式化成最简分式——分子与分母没有公因式的分式；约分的关键是确定一个分式的分子与分母的公因式.二、确定分子、分母公因式的方法分子与分母的公因式是：分子、分母的系数的最大公约数与相同因式的最低次幂的积.三、约分时应防止的三类错误1．有关分式的概念辨析，字母或分式的取值等问题，一般不用约分，否则会造成错误.2.约分时，分子的整体与分母的整体都要除以同一个（公）因式，当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项.等都是错误的.其中（1）中的分式已是最简分式，不需再约分；（2）的正确答案是.为此，必须牢记，只有当分子、分母都是乘积形式时才能约分.3.分式的分子与分母是同底数的幂做因式时，应约去最低次幂，切不可对指数进行约分.就犯了用指数6与2约分的错误，正确的结果是四、掌握解分式方程的步骤解分式方程的一般步骤是：一是方程两边同乘最简公分母，化分式方程为整式方程；二是解这个整式方程；三是检验.如：解方程： .第一步：方程两边都乘以x（x＋6），得90x＋540＝60x；第二步：解这个整式方程，得x＝－18；第三步：检验：把x＝－18代入原方程的左、右两边有左边＝右边，即－18是原分式方程的解.五、列分式方程解简单的实际应用问题列分式方程解简单的实际应用题的步骤简单地可分为：审、设、找、列、解、检、答七个步骤.其中关键是“列”，难点是“找”.如：如图，小明家到王老师家的路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20min，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？解：第一步：审清题意；第二步：设王老师的步行速度为xkm/h，则骑自行车的速度为3xkm/h；第三步：王老师现在骑车所用的时间－原来步行所用时间＝20min；第四步：根据题意，得；第五步：解这个方程：去分母，得3+3+0.5－1.5＝x，即x＝5；第六步：经检验x＝5是原方程的解，所以3x＝15；第七步：答：王老师的步行速度及骑自行车的速度分别为5km/h和15km/h.列分式方程解应用题一定要验根，还要保证其结果符合实际意义.第三节、错题剖析分式概念是本章学习的基础，由于学生的认知水平和经验的不足，特别容易出现一些常见的通病.下面将通过举例讲解，让同学们少走弯路，更快地学好分式的基础知识.同学们在学习过程中可能会犯以下错误.一、分式概念理解偏差【例1】下列各式是分式的是（）错解1：显然B 式分母中含有字母，又是的形式，所以选B.错解2：显然A 、D 都是整式，经过同底数的幂相除化为3a也是整式，故选B.错解分析：前者误认为π是字母.其实π是常数；后者先约分再判断是不行的.正解：选C.反思：（1）把握判断分式的唯一标准是看分母中是否含有字母.分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式.（2）分式的判断是看形式，数的判断是看结果.如数的结果是3，所以是有理数不是无理数.二、分式的值为零的条件混乱【例2】当x 取何值时，的值为0？错解1：因为x无论等于2还是-2，分式的值为0，均无意义，故x没有值可取；错解2：x=±2错解分析：前者误认为分式的值为0属于无意义，后者却忽视分式的值为0的前提条件是分式有意义.正解：x=2.反思：弄清分式的值为零的条件有两个：（1）分子的值为零；（2）分母的值不为零.这两个条件必须同时具备才可.三、分式无意义的条件不清【例3】当x _____ 时，分式无意义.错解：因为当x=1时，分母的值为0，故x=1.错解分析：这个答案只考虑了分母为零时x=1，忽视了-1＝0时x=±1都使分母为零．属于思维习惯上的问题.正解：x=±1.四、分式基本性质理解错误【例4】不改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数错解：错解分析：错解的分子、分母所乘的不是同一个数，而是两个不同的数，虽然把各项系数化成了整数，但分式的值改变了，违背了分式的基本性质.五、去分母时常数漏乘公分母【例5】解方程错解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2，解这个方程，得x=5.错解分析：解分式方程需要去分母，根据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3）时，应注意乘以方程的每一项.错解在去分母时，-2这一项没有乘以（x-3），另外，求到x=5没有代入原方程中检验.正解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2（x-3），解得x=3检验：将x=3代入原方程，可知原方程的分母等于0，所以x=3是原方程的增根，所以原方程无解.六、去分母时，分子是多项式不加括号【例6】解方程错解：方程化为，方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得3-x-1=0，解得x=2.所以方程的解为x=2.错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x －1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验.正解：方程两边都乘以（x＋1）（x－1），得3-（x－1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.七、方程两边同除可能为零的整式【例7】解方程 .错解：方程两边都除以3x-2，得，所以x+3=x-4，所以3=-4，即方程无解.错解分析：错解的原因是在没有强调（3x-2）是否等于0的条件下，方程两边同除以（3x-2），结果导致方程无解．正解：方程两边都乘以（x-4）（x+3），得（3x-2）（x+3）=（3x-2）（x-4），所以（3x-2）（x+3）－（3x-2）（x-4）=0．即（3x-2）（x+3－x＋4）=0．所以7（3x-2）=0．解得x=.检验：当x=时，原方程的左边=右边=0，所以x=是原方程的解.第四节、思维点拨【例1】已知且a、b都不等于0，求的值【思考与分析】从题目的条件可以得出a、b的值代入要求的分式使得分式有意义即可求出分式值.得（a-b）·（a-2b）=0.所以a-b＝0或a-2b＝0；当a-b＝0时，得a=b≠0，当a-2b＝0时，得a=2b≠0，所以综上可得，【反思】本题是求含字母的分式，利用因式分解，两个因式的积为零，则可转化为两个因式中至少有一个为零，代入分式来求解，注意前提仍然是分式必须有意义.【思考与分析】可以灵活运用这个条件.①要求的分式也可以化成含的形式，整体代入即可；【反思】本题在求值过程中利用了分式的基本性质，并且采用多种方法来利用已知条件使问题简化.【例3】供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的速度的1.5倍，求这两种车的速度.解题思路一：寻求时间上的相等关系建立方程【解法1】：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时.根据题意得：解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的根.所以1.5x＝1.5×40＝60答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时.解题思路二：寻求速度之间的相等关系建立方程【解法2】设摩托车行30千米所用的时间为x小时，则抢修车所用的时间为（x －）小时，根据“抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍”得：解题思路三：寻求路程之间的相等关系建立方程【解法3】设摩托车行30千米所用的时间为x 小时，则抢修车行驶30千米所用的时间为（x－）小时，摩托车的速度为千米/时，抢修车的速度为×1.5千米/时，根据“抢修车的速度×抢修车所用的时间=总路程30千米”得：（×1.5）（x－）＝30解题思路四：列方程组解答【解法4】设摩托车与抢修车每小时分别行驶x千米、y千米，根据题意得方程组：（2、3、4解答过程略）【小结】题中含有多种关系时，列方程组可降低思维难度.前面的各种解法中，若把所推出的代数式用新的未知数替换，则都能写成方程的形式.【例5】读下列一段文字，然后解答问题.已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是；方程的解是．【探究一】观察上述方程及其解，再猜想方程的解，并写出检验过程.解：猜想方程的解是．检验：当x＝11时，左边＝，右边＝，所以左边＝右边；当x ＝时，左边＝右边＝.∴x1＝11，x2＝是方程的解.【探究二】你能猜想方程（n为正整数）的解吗？若能请你验证你的猜想是否合理？解：猜想方程（n 为正整数）的解是x1＝n＋1，x2＝－.检验：当x＝n＋1时，左边＝n＋1－＝，右边＝，所以左边＝右边；当x＝－时，左边＝右边＝.∴x1＝n＋1，x2＝－是方程x －＝（n为正整数）的解.【例6】解方程【思考与分析】因为方程中有分母，所以首先应该去掉分母，只是注意，原来整式方程中分母全是数，而分式方程中则是代数式，因而去分母时应该两边同乘一个代数式，这里应该同乘x（x－1）.解：去分母，两边同乘以x（x－1）得:x（x－1）－x（x－1）·＝·x（x－1）化简得：x2－x－（x2－1）＝2x去掉括号，得：3x=1，∴ x=检验：把x=代入原方程的各个分母，都不为0.∴x=是原方程的解.【反思】（1）在解分式方程时，因乘的是同一个代数式，最后求得的根可能使同乘的这个代数式的值为0，这样的根叫做增根，但不是每个方程都有增根.因此，在解完方程之后，一定要检验方程的根，如果是增根，就标出来并且舍去.（2）在去分母时，同乘的是一个代数式，在题目中，可能有的项没有分母，这种项也同样要乘以这个代数式.第五节、竞赛数学当题目中的未知数具有对称关系时，应用基本对称式：x＋y＝a，xy＝b，进行替换，可使解题过程简化.现以部分竞赛题为例，介绍这种解题技巧在求分式值中的妙用.【思考与分析】首先看题目给的条件似乎没有必然的联系，但是经过化简含有可以利用建立联系解答.【例2】如果a2－3a＋1＝0，那么，的值是 ______ .【思考与分析】这题看起来没有对称关系，但是不要急，我们先从题目中所给的已知条件入手，可解出一个关于a 的新的关系式再将分别换元为x、y，所求的分式经过化简也可以用含有x、y的分式来求.【思考与分析】题目看起来很麻烦，无从下手，大家仔细观察已知分式与要求分式的对应项系数的关系，就可以知道将已知的等式取倒数就可以找到相应的关系了.【例4】若a、b 都是正实数，且求的值【思考与分析】由已知条件入手，可以得出这样就与要求的分式建立联系了，设可求出x与y的关系，代入要求的分式来解即可.【例5】证明恒等式【思考与分析】本题两边如果通分，可见其分母相同，若等式成立，则分子也必定相等，但这样运算量太大;如果把左边的分子灵活变形如b-c=（a-c）-（a-b）则可简化运算.证明: 原式左边=故原等式成立.【例6】使实数a、b、c 满足，求证:.【思考与分析】这里999是奇数，从题目的格式看，应该是对一般的奇数都成立，因而可以考虑由一般到特殊的证明方法.证明: ∵，故（bc+ca+ab）·（a+b+c）=abc.整理可得: （a+b）（b+c）（c+a）=0，故a=-b或b=-c或c=-a．不妨设a=-b，则a2n-1=-b2n-1，令n=500代入上式可得.小结：分式证明题形式多种多样，一般的证明途径有:（1）由繁到简，即从等式较复杂的一边入手，经过配方因式分解换元降次等多种变形，逐步推到另一边；（２）将等式两边同时变形为同一个代数式，从而推出相等的结果.第六节、本章训练基础训练题分式一、细心填一填（共7题,每题４分，共２８分）1.x=3 分式的根（填“是”或“不是”）.2.当x= 时，分式与的值相等.3.试写出一个解为x=2的分式方程 .4.分式方程的根是 .5.已知分式的值是零,那么x的值是 .6.若有增根，则增根为 .7. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程5*（x-1）=3的解为 .二、精心选一选（共９题，每小题５分，共4５分）8.下列方程中是分式方程的是（）A. B. C.y＋2＝3 D.9.把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母，得（）A.1＋（1－x）＝x－2B.1＋（1－x）＝1C.1－（1－x）＝x－2D.1－（1－x）＝110.要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以（）A.2x－4B.xC.2（x－2）D.2x（x－2）11.方程的解是（）A.1B.-1C.±1D.２12.已知，用含x的代数式表示y，得（）A.y＝2x＋8B.y＝2x＋10C.y＝2x－10D.y＝2x－813.关于x 的方程的解为x=1，则a等于（）A.1B. －3C.－1D. 314.某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（）A. B.C. D.15.用换元法解分式方程，如果设，则原方程可变形为（）A. B. C.D.16.下列关于x的方程，其中不是分式方程的是（）A. B. C.D.三、耐心做一做（第17题１２分，第18题15分）17.解方程:18.八年级（2）班的学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区，已知快车的速度是慢车速度的1．5倍，求慢车的速度.分式方程一、精心填一填（共8题，每小题4分，共32分）二、细心选一选（共8题，每小题5分，共40分）14.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）.A.x>0B.x≥0C.x≠0D.x≥0且x≠116.已知两个分式其中x≠±2,则A与B的关系是（）.A. 相等B. 互为倒数C. 互为相反数D. A大于B三.解答题（第17题12分，第18题16分）17.化简求值：其中x=－3.18.请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：提高训练题4.解方程5.解方程：6.甲、乙两班参加绿化校园活动.已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多少棵树？7.已知x2－5x－2000＝0，则代数式的值是（）.A.2001B.2002C.2003D.20048.化简（＝.9.已知，则的值为.10.解关于x的方程：ax－b＝2x－3.强化训练题一、精心选一选1.下列代数式中：是分式的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.下列判断中，正确的是（）A.分式的分子中一定含有字母B.当B＝0时，分式的值为0C.当A＝0，Ｂ≠０时，分式的值为0（A、B为整式）D.分数一定是分式3.分式中，当x＝－a时，下列结论正确的是（）A.分式的值为零B.分式无意义C.若a≠－时，分式的值为零D.若a≠时，分式的值为零4.分式中的字母x、y都扩大为原来的4倍，则分式的值（）A.不变B.扩大为原来的4倍C.扩大为原来的8倍D.缩小为原来的5.不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）A.10B.9C.45D.906.下列各分式中，最简分式是（）二、细心填一填8.当x 时，分式有意义.9.当x 时，分式的值为零.10.当a＝时，分式无意义.11.约分：＝.三、耐心做一做12.当x 为何值时，分式的值为负？13.把化为整数系数.14.不改变分式的值，把下式分子、分母中最高次项的系数变为“＋”号：.四、应用题15.2008年夏季奥运会将在北京举行.为了支持北京申奥成功，红、绿两支宣传北京申奥万里行的车队在距北京3000千米处会合，并同时向北京进发.绿队走完2000千米时，红队走完1800千米，随后，红队的速度提高20％，两车队继续同时向北京进发.（1）求红队提速前红、绿两支车队的速度比.（2）红、绿两支车队能否同时到达北京？说明理由.（3）若红、绿两支车队不能同时到达北京，那么哪支车队先到达北京？并求出第一支车队到达北京时，两车队间的距离.综合训练题一、选择题（每题５分，共30分）1．下列分式中，一定有意义的是（）2．如果分式中，x，y的值都变为原来的一半，则分式的值（）A.不变B.扩大2倍C.缩小2倍D.以上都不对3．下列变形正确的是（）4．下列运算正确的是（）5．将分式的分子、分母各项系数都化为整数，正确的结果是（）6．如果从一捆粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a，再称得剩余电线的质量为b，那么原来这捆电线的总长度是（）二、填空题（每题5分，共30分）7．当x= 时，分式的值为零.8．分式约分的结果是 .9．计算：= .10．一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要小时.11．代数式中x的取值范围是 .12.方程＝1的解是 .三、解答题（共40分）13．（11分）计算：－x14．（13分）计算，并把负指数化为正：（2mn－2）－3（－m－2n－1）－215．（16分）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城，已知A、C两城的距离为450km，B、C两城的距离为400km，甲车比乙车的速度快10km/h，结果两辆车同时到达C城，求两车的速度.。
分式必考知识点总结(1)(2)
考点卡片1．分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．（5）分式是一种表达形式，如x+1x+2是分式，如果形式都不是AB的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1=1y仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．2．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．3．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．4．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．5．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．6．分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．7．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．：说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．8．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．9．零指数幂零指数幂：a0=1（a≠0）由a m÷a m=1，a m÷a m=a m﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00≠1．10．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a 为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．11．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．12．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．13．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．14．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．15．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．。
分式的定义和有意义的条件
分式的定义和有意义的条件一、分式的定义和有意义的条件1、分式的概念一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
分式$\frac{A}{B}$中，$A$叫做分子，$B$叫做分母。
2、分式有意义的条件分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0。
即当$B≠0$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。
3、分式的值为0的条件当分式的分子等于0，且分母不等于0时，分式的值为0，即当$A=0$，且$B≠0$时，分式$\frac{A}{B}=0$。
4、分式的基本性质（1）分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
即$\frac{A}{B}=\frac{A·C}{B·C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$，其中$A$，$B$，$C$是整式。
（2）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
（3）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数约去它们的最大公约数，如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。
（4）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
（5）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
（6）通分法则：把两个或者几个分式通分，① 先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积）。
② 再利用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式。
③ 若分母是多项式，则先分解因式，再通分。
（7）最简公分母：各分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。
分式有意义、无意义、分式值为0的条件
导入新课
回顾思考
什么是分式？
分式有意义、无意义、值为零的条件
问题引导
f
问题1
分式
在什么条件下无意义，在什么条件下有意义？ g
当g=0时， 分式 f 2 要使 f =0，分子、分母满足什么条件？ g
当 f =0且g≠0时，分式 f 的值为零. g
分式有意 义、无意 义、值为 零的条件
有意义 无意义 值为零
分母不等于零
分母等于零 分子等于零且 分母不等于零
课后思考
练一练
1. 当x取什么值时，分式 x 2 的值会有以下情况：
2x 3
（1）有意义；（2）等于0？
3.一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时， 它顺流航行100千米所用的时间，与逆流航行60千米 所用的时间相等，已知江水的流速为v千米/时， （1）可列方程为 ________ ;
课堂小结
分式讲义
3．最简因式：如果一个因式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个因式叫做最简因式。
【学习目标】
1、掌握分式的基本性质
2、会对分式进行恒等变形，会对分式进行约分，将分式化为最简分式。
【典型例题】
1．分式的基本性质的应用
【解答】
【例6】约分：
（1） ，（2） ，（3） .
【解答】
【例7】已知 ，求 的值．
【分析】遇到连等分式，一般采取设系数，然后代入约分。
【解答】
3．最简因式的判断
【例8】判断下列因式那些是最简因式，那些不是最简因式，并说明理由。
【解答】
【点评】最简分式的定义：如果一个因式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个因式叫做最简因式。
【解答】
【例4】 为何值时，分式 有意义？
【分析】分式 有意义的条件是： 。
【解答】
【点评】分式是否有意义，只和分母有关，与分子无关。
【例5】 为何值时，分式 有意义？
【解答】
4．分式值为零的条件
【例6】如果分式 的值为零，那么 、 应满足什么条件？
【分析】分式 的值为零条件是： 且 。
【解答】
5．与分式有关的实际问题
另
【能力提高】
1.根据分式的基本性质，下列各式中，变形不正确的是（）
（A） （B）
（C） （D）
2.下列各式正确的是（）
（A） （B） （C） （D）
3.下列约分错误的是（）
（A） （B）
（C） （D）
4.如果分式 中， 的值都变为原来的2倍，则分式的值（）
（A）不变（B）变为原来的 （C）变为原来的2倍（D）变为原来的4倍
分式的概念与分式有意义的条件
分式的概念与分式有意义的条件分式是数学中一个重要的概念，它由分子和分母组成，用斜杠"/"或横线"-"表示两者的关系。
分式可以表示两个数的比值，常用于解决问题中的比例、比率、百分比、碰撞问题等。
分式的形式通常为：\(\dfrac{a}{b}\) 或 \(a/b\)其中，a为分子，b为分母。
分子和分母均可以是整数、分数或代数式。
分式有意义的条件包括：1. 分母不能为0：由于除数不能为0，分式的分母必须为非零数。
当分母为0时，分式的数值就没有意义，因此分母必须满足\(b\neq0\)的条件。
2.分母不能为分数：分式的分母不应该是分数，因为这样会导致分式难以化简和计算，并且会增加问题的复杂性。
3.分子和分母应该具有相同的单位：在一些问题中，分子和分母表示的是同一物理量的不同测量值。
在这种情况下，分子和分母应该具有相同的单位，以确保比率的一致性。
4.分子和分母应该为整数：在一些情况下，分式的分子和分母可以是分数或代数式，但在常见的问题中，一般要求分子和分母都是整数，以方便计算和解决问题。
5.分式应当合理存在：分式不能出现不合理的数值，如负数开方、分母含有根号等情况。
在实际问题中，分式所代表的比率或比例应当存在，不能出现意义上的不合理的情况。
分式在实际问题中的应用非常广泛，可以用于解决各种实际问题。
下面以几个实例来说明分式的应用：1.比例问题：分式经常用于解决比例问题，如甲乙丙三个人的年龄比例为3:4:5，且他们的年龄相加为144岁，求甲的年龄。
分子表示甲的年龄，分母表示甲的年龄与整个年龄之间的比例关系。
2.比率问题：分式常用于表示两个相似量之间的比率，如速度与时间的比值，体积与面积的比值等。
分子表示比例中较大的值，分母表示较小的值，比值可以通过分式计算或比例解题方法求解。
3.百分比问题：分式可以用于表示百分比、利率、比率等问题，如计算折扣价格、计算商品的增长率等。
分子表示所占的部分，分母表示总量，分式的值可以通过计算得到。
八年级数学分式考点解析
八年级数学分式考点解析一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如，A/B是整式，B中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为:⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：8.整数指数幂：9.分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)一、分段分步法例1、计算：分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
解：原式二、分裂整数法例2、计算：分析：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式三、拆项法例3、计算：分析：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。
分式知识点总结与分式方程的应用
知识点1、分式概念重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件难点：分式有意义、分式值为0的条件 分式的概念：形如B A ，其中分母B 中含有字母，分数是整式而不是分式. (1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义.(2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可.(3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零.易错易混点(1) 对分式的定义理解不准确；(2)不注意分式的值为零的条件；知识点2、分式的基本性质重点：正确理解分式的基本性质.难点：运用分式的基本性质，将分式约分、通分分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB=MB M A ⨯⨯，AB=M B M A ÷÷.(其中M 是不等于零的整式)分式中的A ，B ，M 三个字母都表示整式，其中B 必须含有字母，除A 可等于零外，B ，M 都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．求几个分式的最简公分母的步骤：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。
这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。
易错易混点分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。
01分式的概念和性质
分式章分式的概念和性质北京四中龚剑钧知识要点：一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.说明：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.根据分式的基本性质有根据有理数除法的符号法则有分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.例题分析：1、指出下列各式中的整式与分式：4.、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数.5.下列分式变形正确的是（）6. （1）约分：（2）通分：。
分式的定义分式有意义的条件分式的基本性质
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
分式有意义的条件：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。
分式的区别概念：分式与分数的区别与联系：a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。
整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式分式的基本性质是什么分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
分式
分式概念总汇1、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
其中A叫做分子，B叫做分母。
说明：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
例如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。
（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义；（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。
例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。
2、分式有意义、无意义，分式的值为零的条件（1）分式有意义的条件是分式的分母不为0；（2）分式无意义的条件是分式的分母为零；（3）分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。
说明：（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。
（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。
如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，则分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。
（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。
例如在分式中隐含着，即，这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。
3、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。
说明：（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必须满足2x+1≠0。
（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。
（3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。
分式的概念
分式的概念学科： 任课老师：学生姓名： 上课时间： 课次：一、知识点：1、分式的概念：两个整式A ，B 相除，即A B ÷时，可以表示为B A 的形式.形如BA(A ，B 表示的都是整式，B 中含有字母且B ≠0)的代数式，叫做分式（其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母）．注意：⑴分母中必须含有字母；⑵分母的值不能为0；⑶分式必须写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．2、分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．3、分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．4、分式的值为正、负的条件：分式的值为正数的条件：分子分母同号（分子，分母同正或同负）分式的值为负数的条件：分子分母异号（分子为正，分母为负或分子为负，分母为正）二、内容讲解： 考点一：考查分式的定义例1、列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ （1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时.（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时. （3）x 与y 的差与4的商是.例2、判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？（1）94x +, （2）x 7 ,（3）209y +,（4） 54-m , （5） 238y y -，（6）91-x （7）3πx-是分式的有 . 总结：动动手：1、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .2、代数式22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（ ） A.1个 B. 2个 C 3个 D. 4个考点二：分式有意义的条件例3：求下列分式有意义的条件.⑴1x ⑵33x + ⑶2a b a b +-- ⑷21nm + ⑸22x y x y ++⑹2128x x -- ⑺293x x -+例4：x 为何值时，分式1111x ++有意义？例5：⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;总结：动动手： 1、若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对2、x 为何值时，分式29113x x-++有意义？3、当x 取何值时，下列分式有意义？ （1）42xx -+ （2）x x 235-+ （3）2522+-x x4、要使分式23xx -有意义，则须满足的条件为 ．x考点三：分式值为零的条件例6：当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+⑵223(1)(2)x x x x --++⑶2656x x x ---⑷221634x x x -+-⑸288xx + ⑹2225(5)x x --⑺(8)(1)1x x x -+-例7：若分式23455x xx x ++-+值为零，，则x 的取值是.若分式233x x x--的值为0，则x 的取值是.总结：动动手：1、当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x + ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +-- ⑹2242x x x -+2、如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是．若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x的取值范围是．3、x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？考点四：考查分式的值为正、负的条件例8：当x 取何值时，分式 2312-+x x（1）当时，分式有意义； （2）当时，分式无意义； （3）当时，分式的值为0； （4）当时，分式的值为1； （5）当时，分式的值为-1； （6）当时，分式的值大于0； （7）当时，分式的值小于0；总结：动动手：1、当x 取何值时，分式125x x +-（1）有意义；（2）值为0；（3）值为正数；（4）值为负数；（5）值为非负数；三、课后作业： （基础）一、填空题1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成______的形式，如果除式B 中______，该分式的分式．2．把下列各式写成分式的形式：（1）5()x y ÷-为_____. （2）(32)(3)x y x y +÷-为_____.3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时．6．当x =______时，分式13-x x 没有意义．7．当x =______时，分式112--x x 的值为0．7．分式yx，当字母x y 、满足______时，值为1；当字母x y 、满足______时值为－1． 二、选择题 8．使得分式1+a a有意义的a 的取值范围是（ ） A ．0a ≠B ．1a ≠C ．1a ≠-D ．10a +>9．下列判断错误．．的是（ ） A ．当32=/x 时，分式231-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式22b a ab -有意义 C ．当21-=x 时，分式x x 412+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --22有意义10．使分式5+x x值为0的x 值是（ ）A ．0B ．5C ．－5D ．x ≠－5 11．当x ＜0时，xx ||的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 12．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．xx 12+B ．112--x x C ．11+-x x D ．112+-x x 三、解答题13、当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x （3） 2)3)(2(---x x x14．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x 15、若，试判断是否有意义。
分式的概念和性质(提高)+答案
分式的概念和性质(提高）【学习目标】１. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】【高清课堂4０３9８6 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中Ａ叫做分子，B叫做分母.要点诠释:(１)分式的形式和分数类似，但它们是有区别的．分数是整式,不是分式，分式是两个整式相除的商式．分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.(2)分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.(3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”,但π表示圆周率，是一个常数，不是字母,如aπ是整式而不能当作分式.(4)分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式,不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件１.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零．3．分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：(１）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.(２）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零．(3）必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（１）基本性质中的Ａ、Ｂ、M表示的是整式.其中B≠０是已知条件中隐含着的条件,一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调Ｍ≠０这个前提条件.（2)在应用分式的基本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如:,在变形后，字母x的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变;改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释:根据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与ab-互为相反数．分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分,最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外),那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：(1）约分的实质是将一个分式化成最简分式,即约分后,分式的分子与分母再没有公因式.（2)约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式．分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积;当分式的分子、分母中含有多项式时,要先将其分解因式,使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式,然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值,把分母不同的分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1)通分的关键是确定各分式的最简公分母:一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.(３）约分和通分恰好是相反的两种变形,约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 【典型例题】 类型一、分式的概念【高清课堂40398６ 分式的概念和性质 例1】1、指出下列各式中的整式与分式：1x ，1x y +,2a b +，x π，231x -，23-，232y -+，2x x ,24y ． 【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式. 【答案与解析】解:整式有：2a b +，x π,23-,232y -+，24y ；分式有：1x ,1x y +,231x -，2x x ．【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母.此题判断容易出错的地方有两处：一个是把π也看作字母来判断，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后再判断，如x 和2x x,前一个是整式,后一个是分式,它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义,分式值为0【高清课堂40３98６ 分式的概念和性质 例２】2、 当x 取什么数时，下列分式有意义？当x 取什么数时,下列分式的值为零？ (１）21x x +；（2)25x x -;(3)2105x x --. 【答案与解析】解：(1）当210x +≠,即21x ≠-时，分式有意义.∵ 2x 为非负数,不可能等于-1， ∴ 对于任意实数x ，分式都有意义； 当0x =时,分式的值为零.（2)当20x ≠即0x ≠时,分式有意义; 当0,50,x x ≠⎧⎨-=⎩即5x =时,分式的值为零(3）当50x -≠,即5x ≠时，分式有意义；当50,2100x x -≠⎧⎨-=⎩①②时，分式的值为零,由①得5x ≠时,由②得5x =，互相矛盾. ∴ 不论x 取什么值,分式2105x x --的值都不等于零． 【总结升华】分母不为零时,分式有意义；分子的值为零,而分母的值不为零时,分式的值为零． 举一反三: 【变式1】若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为＿___＿____＿_＿_______.【答案】-2;提示：由题意2||20560x x x -=⎧⎨-+≠⎩，()()||20320x x x -=⎧⎪⎨--≠⎪⎩,所以2x =-．【变式２】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数? 【答案】解: 由题意可知20,260,x x ->⎧⎨+<⎩或20,260.x x -<⎧⎨+>⎩解不等式组20,260,x x ->⎧⎨+<⎩该不等式组无解.解不等式组20,260.x x -<⎧⎨+>⎩得32x -<<.所以当32x -<<时，分式226x x -+的值恒为负数． 类型三、分式的基本性质【高清课堂4０３9８6 分式的概念和性质 例4】３、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． （１) ； (２); (3).【答案与解析】 解:(１);（2)()221122a a a a -++==---； (３).【总结升华】（1）、根据分式的意义，分数线代表除号,又起括号的作用;(2)、添括号法则：当括号前添“+”号,括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号． 举一反三：【变式】下列分式变形正确的是( ）A.22x x y y = B ．2222()()()()m n m n m n m n m n m n m n ---==++--C ．211211x x x x -=-+- D ．2b aba a =【答案】D;提示：将分式变形时，注意将分子、分母同乘(或除以)同一个不为0的整式这一条件.其中A 项分子、分母乘的不是同一整式,Ｂ项中0m n -≠这一条件不知是否成立，故A 、B 两项均是错的.C 项左边可化为：2111(1)11x x x x -=≠---，故Ｃ项亦错，只有D 项的变形是正确的.类型四、分式的约分、通分４、约分：(1）22211a a a ++-;（2)23224n mmn n --;通分:(3）232a b 与2a b ab c -;（4）12x +,244x x -,22x -. 【答案与解析】解:（1)22221(1)11(1)(1)1a a a a a a a a ++++==-+--；（2）22232222(2)242(2)2(2)n m n m m n mn n n m n n m n ----==---12n=-; (３）最简公分母是222a b c .2222333222bc bc a b a b bc a b c ==,22222()22222a b a b a a ab ab c ab c a a b c---==. (4)最简公分母是(2)(2)x x +-，21222(2)(2)4x x x x x x --==++--,224444x xx x =--，222(2)242(2)(2)4x x x x x x ++==--+-. 【总结升华】如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式,也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂．通分的关键是确定几个分式的最简公分母,若分母是多项式,则要因式分解,要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变化情况．类型五、分式条件求值5、若2xy=-，求22222367x xy y x xy y ----的值. 【思路点拨】本题可利用分式的基本性质，采用整体代入法,或把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式,使问题得到解决. 【答案与解析】解法一:因为2xy=-,可知0y ≠， 所以22222222221(23)23167(67)x xy y x xy y yx xy y x xy y y----=----222367x x y y x x y y⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭22(2)2(2)35(2)6(2)79--⨯--==--⨯--． 解法二:因为2xy=-， 所以2x y =-,且0y ≠,所以222223(3)()323567(7)()7279x xy y x y x y x y y y x xy y x y x y x y y y ---+---====---+---. 【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想．一般情况下，在条件中含有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简的目的. 举一反三: 【变式】已知(0)346x y zxyz ==≠，求222xy yz zx x y z ++++的值． 【答案】 解: 设(0)346x y zk k ===≠,则3x k =,4y k =,6z k =． ∴ 222222223446635454(3)(4)(6)6161xy yz zx k k k k k k k x y z k k k k ++++===++++.【巩固练习】 一.选择题1．若分式6922---a a a 的值为０，则a 的值为（ ）A.3 B ．-3ﻩC ．±３ﻩD ．a ≠－22.把分式yx x-2中的x y 、都扩大m 倍(m ≠0）,则分式的值（ ) A.扩大m 倍ﻩＢ.缩小m 倍 C ．不变ﻩD.不能确定3.若分式532a ba b-+有意义,则a b 、满足的关系是（ ）A ．32a b ≠ B. 15a b ≠ﻩＣ．a b 32-=/ﻩD ．23a b =-/4．若分式1212+-b b的值是负数，则b 满足( )A ．b ＜0 Ｂ．b ≥1ﻩ C.b ＜1 D ．b >１5.下面四个等式：;22;22;22yx y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②①⋅-+=--22y x y x ④其中正确的有（ ）A.0个ﻩB.1个ﻩＣ．２个 D .3个6．化简22222a b a ab b -++的正确结果是（ ）A ．a b a b +-ﻩB.a ba b-+ Ｃ.12ab ﻩD ．12ab- 二.填空题 ７．使分式22(3)xx +有意义的条件为__＿__＿. 8.分式225(1)2x x +++有意义的条件为_＿＿_＿_.9.当______时,分式||44x x --的值为零. １0.填空：)()1(=++-n m n m =-----ba n m m n 212)2(;)(⋅-ba221 11.填入适当的代数式,使等式成立.(1)22222()a ab b a b a b+-=⋅-+（2).a b ba b a-=-+)(1112. 分式22112m m m -+-约分的结果是_＿__＿_.三.解答题13．若2232x x x x +++的值为零，求21(1)x -的值.14.已知112x y -=,求373232x xy y x xy y+---的值． 15.（1)阅读下面解题过程：已知22,15x x =+求241x x +的值． 解：∵22,15x x =+()0x ≠ 12,15x x=+∴即152x x +=⋅2422221114115117()2()22x x x x x x ====⋅+++--∴ （２）请借鉴（1)中的方法解答下面的题目:已知22,31xx x =-+求2421x x x ++的值.【答案与解析】 一.选择题１． 【答案】B;【解析】由题意290a -=且260a a --≠,解得3a =-. 2. 【答案】C ； 【解析】222()mx m x xmx my m x y x y⨯==---.3. 【答案】D;【解析】由题意,320a b +≠，所以23a b =-/. 4. 【答案】Ｄ;【解析】因为2210,b +>所以10,b -<即b ＞１． 5. 【答案】Ｃ； 【解析】①④正确.6. 【答案】B;【解析】()()()222222a b a b a b a b a ab b a b a b +---==++++. 二.填空题7. 【答案】3x ≠-．8. 【答案】x 为任意实数；【解析】x 为任意实数，分母都大于零. ９． 【答案】4x =-； 【解析】||4040x x -=⎧⎨-≠⎩,所以4x =-．10.【答案】(1）－；(2）＋； 11.【答案】（1)2a b +;(2)b a +;【解析】()()()()222222a b a b a ab ba b a b a b -++-=-+-;11a a ba b b b a b a b ab b+++==---. １2．【答案】11mm-+；【解析】()()()22212111111m m m m m m m m--+-==-+-+. 三.解答题13.【解析】解:由已知得:220320x x x x ⎧+=⎪⎨++≠⎪⎩，即(1)0(1)(2)0x x x x +=⎧⎨++≠⎩，∴ 0101020x x x x =+=⎧⎨+≠+≠⎩或且，∴ 01,12,x x x x ==-⎧⎨≠-≠-⎩或且∴ 0x =, 将0x =代入得:2221111(1)(01)(01)x ===---.1４.【解析】 解:方法一：∵112y x x y xy--==， 等式两边同乘以xy ，得2xy y x =-．∴ 2x y xy -=-．∴3733()72322()3x xy y x y xy x xy y x y xy +--+=----327122377xy xy xy xy xy xy -⨯+===--⨯--．方法二:∵112x y-=, ∴ 1133377373327122232223711323x y x xy y y xx xy y y x x y ⎛⎫--++-⎪+--⨯+⎝⎭====----⨯-⎛⎫----- ⎪⎝⎭.1５.【解析】 解:∵22,31xx x =-+()0x ≠∴1213x x=+-,∴172x x +=∴222422211141145171112x x x x x x x ====++⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
分式必须具备的四个条件(一)
分式必须具备的四个条件(一)
分式必须具备的四个条件
什么是分式？
分式是数学中表示两个数之间关系的一种表达式形式。
它由分子和分母组成，分子表示分式的一部分，分母表示整体。
分式的四个条件
1.分母不能为零：因为分母表示整体，所以分母不能为零，否则分
式将无法表示一个有效的数值关系。
2.分子与分母必须是整数：分子和分母都必须是整数，这是分式的
基本要求。
3.分子和分母之间不能有其他符号：分母和分子之间不能有加减乘
除等数学符号，否则会导致意义混淆。
4.分式应尽可能简化：分式应尽可能以最简形式表示，即分子和分
母应互质，以便更方便地进行计算和使用。
为什么分式必须具备这四个条件？
•第一个条件保证了分式表示的数值关系是有定义的，避免了无效的运算结果。
•第二个条件保证了分式是数学上的有效表示，也便于进行分式的运算和推导。
•第三个条件避免了分式的混淆和误解，确保了分式的准确性和清晰性。
•第四个条件简化了分式的形式，使其更易于计算和使用，提高了操作的效率。
小结
分式作为数学表达式的一种重要形式，具备了分母不能为零、分
子和分母必须是整数、分子和分母之间不能有其他符号、应尽可能简
化等四个基本条件。
这些条件保证了分式的定义性、准确性和简洁性，使其成为数学运算中不可或缺的重要工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
智力大冲浪
第一关
第二关
第三关
1. 2.
形当分如母不—的BA等式于子0叫时分,分式式. 有意义（. （））
3. 当分式的值等于0时,分式无意义.（ ）
4. 当分子等于0时,分式的值等于0. （ ）
× ×√ ×
恭喜你们过关! 请进入下一关。
1.下列四个代数式中，分式为（ B ）
2x 5
1
x8
A. 7 B. 3x C. 8
∴4x－1≠0
4x ≠1
x ≠1/4 答：当x ≠1/4时，分式
x有 1意义。 4x 1
当Ｘ取什么值时，分式 x 1 4x 1
的值为零？
解：①要使分式的值为0，则Ｘ+1=0 ∴Ｘ = －１
此时分母4Ｘ－1≠0
∴当ｘ= －１时，分式的值是零。
5 800 x 200 y
16
1000
11
b
a a 100
400 x y 24
这些式子有什么 共同特征？
你能一对般前面地得，到的如果5A,B表11示两个整式， 并 做分且80B式01x中0。0其20含0中0有yA字是a母分b11，060式那的么x分a式4子y0子0，24B是叫分—AB
式的这五分个母式子。按照分母的不同特征分成两类吗？
判断下列式子中哪些是分式?
A.
2 —x—2
B.
1 —x—2+—2— C.
—x—12-—1—
D. —x—1+—1—
恭喜你们过关! 请进入下一关。
1.当x＝__3__时，分式—x—+2— 无意义。 x-3
2.当x,y满足关系__x_≠_y__时,分式
x y x y
有意义.
3.当＿x＿=3＿时，分式 3x 9 的值为零．
x2
X－a 3.当X满足条件___X_=_a_且__X_≠_3___时， X－3 的值
为0。
4.请写出只含一个字母a，且无论a取何 值都有意义的分式。
本节课你有何收获？请说出来与大 家一起分享。
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
热烈祝贺 b 5 x1
x
2 3 4 x 3
他们找到 x2 y2 2a 5
4
整式
x
8 3b2 5
自己的家 x2 2x 1
c
x2 2x 1 3(a b)
mn mn
分式
例:
当x取什么值时，分式 x 1 有意义？ 4x 1
解：要使 x 1 有意义
4x 1
类比旧知探新知
2 5
,
４00 k
, ５a+2b,
2
整式： 5
2÷
， 5a+2b
5= 2
5
整数 整数 分数
mn , mn
p
, mn
类比
整式 整式 分式
mn ÷ p
=
mn p
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有 字母，那么式子 A 叫做分式。
B 其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
考考你：若 B中没有字母，式子 A 就叫做 整 式 B
∵ 当X＝－
1
2
时，3X－5≠0，分式
有意义。 2
∴当X＝－ 1 时，分式的值为0。
2
当ｘ是什么数时，分式 | x | 4 的值是零？ x(x 4)
解：由分子 ｜x ｜- 4 = 0，得x=±4 ∵当x=4时，x(x+4)=32≠０，分式有意义. 当x= - 4时，x(x+4)=0 ， 分式无意义． ∴当x=4时，分式 | x | 4 的值为零． x(x 4)
被除数÷ 除数 =
被除数 除数
（商数）
3÷4= 3
4 整数 整数 分数
类比
被除式÷除式
被除式 = 除式
t ÷ (a-x) = t a-x
整式 整式 分式
（商式）
分式的概念 和使分式有意义的条件
分式的概念:
用A、B表示两个整式，A÷B就可以
A BA B
表示成 形式。如果B中含有字母，式 子 就叫做分式。其中，A叫做分式的
当b ≠±1时,分式 —|b3—|b-—1 有意义。 由 a2 - 4 ≠0 得到 a2 ≠4 ，所以 a ≠±2 当a ≠±2时，分式 a—2+—2—a 有意义。
a2 - 4
若改为无意义呢？
当分式的分子为零
且分母不为零对时于，分分式式
2
x
1
的值为零．
3x 5
当x取什么数时，分式的值为零？
解：由2X＋1＝0得X＝－ 1
4.分式 —|x—x|-—-33— 中，当x__≠_3__时，分式有意
义，当x_＝__-_3_时，分式的值为零。
5.若分式
——2—— 3 -x
的值为正，那么x的取值
范围是__x__<_3____。
1.当x=5时，分式 2x k 的值等于0，则k=__- _10__ 3x 2
2.当x=2时，分式 x a 无意义，则b=___2___ xb
分子，B叫做分式的分母。
分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ； ②分母中含有 字母 。
探索与发现（求代数式的值）
x … -2 -1 0 1
… 2
x x-2 …
x-1 4x+1
…
无… 0 -1 意
义
… -1 0
x -1 …
-1
无 意
-1
0
…
x+1
义
思考：
1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、 这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值为零？
(1) 3 2
1 (2) 是
x
(4) 3x 2y 5
⑺ 2是 y+1
⑸ ab 是 ab
⑻ ab
3
பைடு நூலகம்
⑶ 2a+b
x2 1 (6) 2x 3 是
⑼ ma 3
温馨提示：π是
圆周率，它是一个 常数.
当字母取何值时，下列分式有意义？
—a2— ， —x-+3—2 ， 1—-43—yy ， —|b3—|b-—1 ， a—a22+—-24—a 解：由|b|-1≠0得到|b| ≠1,所以b ≠±1
D. 1 x 45
2.当x＝-1时，下列分式没有意义的是（ C ）
x 1
x
2x
x 1
A.
B.
C.
x
x 1
x 1
D.
x
3.要使分式 x 2 有意义，x的取值满足（ C ） (x 1)( x 2)
A. x≠1 B. x≠2 C. x≠1且x≠2 D. x≠1 或x≠2
4.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是：( B)