分析力学复习资料-4
分析力学参考答案
分析力学参考答案分析力学参考答案引言：分析力学是物理学的一个重要分支，研究物体在力的作用下的运动规律。
在学习分析力学的过程中，参考答案是一个非常重要的工具，可以帮助学生巩固知识，理解问题的解决方法。
本文将分析力学的一些典型问题，并给出参考答案，帮助读者更好地掌握分析力学的基本原理和解题技巧。
一、牛顿第二定律问题牛顿第二定律是分析力学的基础，描述了物体在力的作用下的加速度。
以下是一个典型的牛顿第二定律问题：问题：一个质量为m的物体在水平面上受到一个恒定的力F作用，求物体的加速度和受力大小的关系。
解答：根据牛顿第二定律的公式F=ma，我们可以得到物体的加速度a等于受力F除以物体的质量m，即a=F/m。
因此，物体的加速度与受力大小成反比。
二、动量守恒问题动量守恒是分析力学中的一个重要原理，描述了系统在没有外力作用下动量的守恒。
以下是一个典型的动量守恒问题：问题：两个质量分别为m1和m2的物体在水平面上碰撞，碰撞前物体1的速度为v1，物体2的速度为v2，碰撞后物体1的速度为v'1，物体2的速度为v'2，求碰撞前后两个物体的动量是否守恒。
解答：根据动量守恒定律，系统在没有外力作用下，动量守恒。
即m1v1 +m2v2 = m1v'1 + m2v'2。
因此，两个物体的动量在碰撞前后保持不变，动量守恒。
三、角动量问题角动量是分析力学中的一个重要概念，描述了物体绕某一点旋转的特性。
以下是一个典型的角动量问题：问题：一个质量为m的物体绕固定点O以角速度ω旋转，求物体的角动量L 与角速度ω的关系。
解答：根据角动量的定义L=Iω，其中I为物体对固定点O的转动惯量。
对于一个质量为m的物体，其转动惯量I等于mr^2，其中r为物体到固定点O的距离。
因此，物体的角动量L与角速度ω成正比，L=mr^2ω。
结论：通过以上的分析力学问题及其参考答案，我们可以看出分析力学的基本原理和解题技巧。
牛顿第二定律描述了物体在力的作用下的加速度，动量守恒原理描述了系统在没有外力作用下动量的守恒，角动量则描述了物体绕某一点旋转的特性。
力学知识点总结（5篇）
力学知识点总结（5篇）第一篇：力学知识点总结力学基础知识：1.长度、时间及其测量：2.机械运动——参照物3.机械运动——速度4.质量与密度：质量与密度的测量、密度特点与应用5.认识力——力和力的测量：力的定义、力的单位、力的作用效果、力的三要素、弹簧测力计的使用。
6.认识力——重力7.认识力——摩擦力8.认识力——力的图示和示意图9.力的合成10.力的平衡：多个力的平衡、二力平衡的条件11.力与运动——牛顿第一定律12.力与运动——惯性13.压力与压强：压力和压强概念、压强计算、如何增大和减小压强。
14.液体压强：P=ρgh15.大气压强：大气压的存在、托里拆利实验、大气压的变化、液体沸点与气压的关系16.流体压强与流速的关系17.帕斯卡原理（或叫伯努力原理）18.浮力：浮力概念、物体沉浮条件、阿基米德原理19.简单机械——杠杆与杠杆的平衡条件20.简单机械——滑轮、滑轮组21.简单机械——杠杆与滑轮作图22.简单机械——斜面23.做功的两个必要因素24.功的原理25.功率26.机械效率27.机械能：决定动能与势能大小的因素、动能与势能的转化力学规律和公式⒈力F：力是物体对物体的作用。
物体间力的作用总是相互的。
力的单位：牛顿（N）。
测量力的仪器：测力器；实验室使用弹簧秤。
力的作用效果：使物体发生形变或使物体的运动状态发生改变。
物体运动状态改变是指物体的速度大小或运动方向改变。
⒉力的三要素：力的大小、方向、作用点叫做力的三要素。
力的图示，要作标度；力的示意图，不作标度。
⒊重力G：由于地球吸引而使物体受到的力。
方向：竖直向下。
重力和质量关系：G=mg m=G/gg=9.8牛／千克。
读法：9.8牛每千克，表示质量为1千克物体所受重力为9.8牛。
重心：重力的作用点叫做物体的重心。
规则物体的重心在物体的几何中心。
⒋二力平衡条件：作用在同一物体；两力大小相等，方向相反；作用在一直线上。
物体在二力平衡下，可以静止，也可以作匀速直线运动。
分析力学.
•若,即势能仅是质点到力心距离的函数(有心力场,此时适宜于选取球坐标系。
(U U r =
3、直角坐标系中质点的动能为:
1
22i i i T m q
mq q
∂=×=∂ ((3222222
21231
111222i i T m x y z m q q q m q ==++=++=∑ d d i i i T mq F t q
r xi yj zk
=++
U U U U F U i j k
r x y z
∂∂∂∂=−∇=−=−−−∂∂∂∂
2、若单个质点在保守力场中运动:
——势能函数(U r
分量形式:x y z U
mx F x U my
F y U mz
F z ⎧∂==−⎪∂⎪
∂⎪
==−⎨∂⎪
⎪∂==−⎪∂⎩
若记x ,y ,z为q 1,q 2,q 3,
,,x y z ,,x y z ,,r θϕ,,r θϕ
§1-2拉格朗日方程
力是力学系统的核心,求解运动方程需要知道物体的受力情况(大小和方向。
牛顿力学的运动微分方程:2
2d d r
m F
t
=拉格朗日方程的特点是避开矢量力,而利用标量动能和势能来描述运动。
从牛顿方程出发推导拉格朗日方程
1、单个质点不受约束需三个独立坐标描述其位置,即有三个自由度。直角坐标系中位置矢量:
212T mr =动能:
sin r r re
r e r e θϕθθϕ=++ ((
(2222221sin sin 2
1sin 2r r m re r e r e re r e r e m r r r θϕθϕθθϕθθϕθθϕ=++⋅++=++有心力势能仅是质点到力心距离的函数(U U r =所以拉格朗日函数为:
分析力学基础第一章(3,4节)
1 3
m2 2l 2q
m2lxcosq
m2 gl
sinq
0
FI a
F
MIC FI
MIC Ra FI
受力分析 FI ma
M IC
1 2
m R2
虚位移分析 x R
x
解：运动分析，系统自由度N=1
a R
动力学普遍方程
n
Fi FIi
ri 0
i 1
Fx 3FIx 2M IC 0
Fx 3max max 0
F 4ma x 0 x 0 F 4ma 0
3、系统的动能：T 1 m x2 y2 z2 2
4、系统的广义力：
z
mg y
W Qxx Qyy Qzz x
x 0 y z 0 y 0 x z 0 z 0 x y 0
W 0 Qx 0 W 0 Q y 0
W mgz
d dt
T qj
T q j
Qj
j 1, , k
B
O mg
C
A
mg
§ 1-3 动力学普遍方程
解：加速度分析，添加惯性力 建立动力学普遍方程
M IO
1 2
m R2O
O O aO
mg
B
AO
C
A
aCt mgaO
M IC
1 12
m
l
2
AO
B
M IO
FIO FIC mRO
FItC
m
l 2
AO
FIO O
FItC
FIC C
M IC
A
mg
mg
§ 1-3 动力学普遍方程
A
M
C1
Oq
q 90 30
分析力学基础(4,5)
(i =12,⋅⋅⋅,n , )
利用理想约束条件
F r ∑ ⋅δ =0
N i i i
(i =12, ⋅⋅,n , ⋅ )
得到
( r ∑F−m a )⋅δ =0
i i i i i
(i =12,⋅⋅⋅,n , )
—— 达朗伯－拉格朗日原理 达朗伯－
动力学普遍方程
动力学普遍方程
( r ∑F−m a )⋅δ =0
ix i i i iy i i i iz i i i i
i =12, ⋅⋅,n , ⋅
动力学普遍方程
动力学普遍方程
( r ∑F−m a )⋅δ =0
i i i i i
(i =12,⋅⋅⋅,n , )
动力学普遍方程适用于具有理想约束和双面约束的系统。 动力学普遍方程适用于具有理想约束和双面约束的系统。 动力学普遍方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于 动力学普遍方程既适用于具有定常约束的系统， 具有非定常约束的系统。 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于 动力学普遍方程既适用于具有完整约束的系统， 具有非完整约束的系统。 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具 动力学普遍方程既适用于具有有势力的系统， 有无势力的系统。 有无势力的系统。
O2
M
k
O1 l0 x1 F
C
W
α
x2 x1
重量为W 半径为R 重量为W、半径为R的 圆轮上作用有力偶矩为M 圆轮上作用有力偶矩为M 的力偶。 的力偶。圆轮在三棱柱的 斜面上作纯滚动。 斜面上作纯滚动。三棱柱 上作用有水平力F 上作用有水平力F，左端 与刚度系数为k 与刚度系数为k的弹簧相 弹簧原长为l 连，弹簧原长为l0。 求：系统的广义主动力
分析力学第04章1
( 4. 9 )
（ｉｉ） Ｏｖｅｒ ｄａｍｐｅｄ， Q < λ ± = −
1 1 2 ± −ω0 <0 2Q 4Q 2
+ −
( 4.10 )
q = Ae λ t + Be λ t
( 4.11 ) 衰减无振荡。
1 2ω 0
（ｉｉｉ） Ｃｒｉｔｉｃａｌ ｄａｍｐｅｄ， Q = λ ± = −
&& + 1 G & + ω 2G = 0 G 0 Q ( 4 .26 )
则由方程（４．９）得
G = Ae
− t 2Q
cos( ωt + ϕ )
( 4. 27 )
设 G( t , t ′ ) = 0
t < t′
， 初 始 条 件 G ( t ′ , t ′ ) = 0 ， 又 由 （４．２５） 式
∂V | =0 ∂qα qα = 0
1 ∂ 2V 2∑ α ,β ∂qα ∂q β
( 4.42 )
α = 1,2 ,L , s
q α qβ + L 0
V = V ( 0 ,0 ,L ,0 ) +
( 4.43 )
选势能零点 V ( 0 ,0 ,L ,0 ) = 0
1 V = ∑ υ α β qα q β > 0 , 2 αβ
&& + 1 G & + ω 2G = δ ( t − t ′ ) G 0 Q
( 4. 21 )
其中导数是对 t （请与方程（４．１５）比较）。 设 q( t ) = ∫−∞ F ( t ′ )G ( t , t ′ )dt ′
分析力学基础第一章(4-6节)
T q
m1
m2 x m2 Lcos
px
循环积分——系统的水平动量守恒
T V C
能量积分——机械能守恒
x
F t
vA
m1 g
CvCA
m2 g
§1-6 第一类拉格朗日方程
§1-6 第一类拉格朗日方程
设描述系统的位形坐标：q1 , q2 , , qn
系统的约束方程为： fk r1, r2 , , rn , t 0 k 1,2, , s
i 1
k 1
代入动力学普遍方程：
n
Fi FIi
ri
n
Fi
miri ri
0
i 1
i 1
有：
n i 1
Fi
miri ri
N Qk
k1
n i 1
miri
ri qk
qk
§ 1-4 第二类拉格朗日方程
n
i 1
Fi
miri ri
N Qk
k1
n i 1
miri
解：1、系统的自由度为k=1
2、系统的广义坐标：
3、系统的动能： T 1 1 m l22 1 m l22
23
6
4、系统的势能：
V
mg
l
1
cos
5、拉格朗日函数： 2
L T V 1 ml22 mg l 1 cos
OB
6
2
d dt
L qk
L qk
0
1 m l2 l m gsin
3
2
mg A
i 1
Fi
miri
s
k
k 1
fk ri
ri
分析力学基础
r =(e 0 0)
T
由结构对称性，可知OZ 轴为圆盘的惯性主轴 由结构对称性，可知 利用惯性力和惯性力矩公式，可得 利用惯性力和惯性力矩公式，
αy + ω 2 x ω 2 me * 2 F = m − αx + ω y = 0 0 0
yA = r v A − ωr = 0
定常约束与非定常约束 约束方程中不显含时间的约束称为定常约束（ 约束方程中不显含时间的约束称为定常约束（稳定 定常约束 约束） 否则称为非定常约束 不稳定约束） 非定常约束（ 约束），否则称为非定常约束（不稳定约束）。 完整约束与非完整约束 约束方程中的变量只是坐标和时间而不包含坐标对 时间的导数，或者微分项（坐标对时间的导数） 时间的导数，或者微分项（坐标对时间的导数）可 以积分为有限形式，这类约束称为完整约束 完整约束。 以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。 约束方程中包含坐标对时间的导数， 约束方程中包含坐标对时间的导数，而且方程不能 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束 非完整约束。 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。 约束方程不包含时间 以及质点速度，这类约束称为稳 定的完整约束 。
点建立连体基，刚体绕OZ 轴转角为 ϕ 在O 点建立连体基，刚体绕 刚体角速度和角加速度分别为
z z
ω
α
Pk
ɺ ω = ωz = ϕz
ɺ α = α z = ϕɺz
vk
C
Pk 为刚体上任意一点，其速度、加速 为刚体上任意一点，其速度、 度、惯性力分别为
rk
O
r
y
ɺ rk = ω z × rk ɺɺ = α z × r + ω 2 z × ( z × r ) rk k k F * = − m ɺɺ r
力学复习资料
力学复习资料力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和受力情况。
对于学习力学的学生来说，复习资料是非常重要的。
下面将介绍一些力学复习资料，帮助学生更好地掌握力学知识。
首先，力学教材是力学复习的基础。
力学教材通常包括力学的基本概念、定律和公式，以及一些典型的力学问题。
学生可以通过仔细阅读教材，理解力学的基本原理和应用方法。
同时，教材中通常会有一些例题和习题，学生可以通过做这些题目来巩固所学的知识。
其次，习题集是力学复习的重要辅助资料。
习题集中通常包括大量的力学习题，涵盖了各个难度级别和不同类型的题目。
学生可以通过做习题来提高解题能力和理解力学的能力。
在做题的过程中，学生可以发现自己的薄弱环节，并有针对性地进行复习和强化练习。
除了教材和习题集，还有一些力学复习资料可以帮助学生更好地理解和应用力学知识。
例如，力学的视频教程和在线课程。
这些资料通常由专业的力学老师或机构提供，通过生动的讲解和实例演示，帮助学生更好地理解力学的概念和原理。
此外，还有一些力学的应用案例和实验视频，可以帮助学生将力学理论与实际应用相结合，提高对力学的认识和理解。
另外，参考书也是力学复习的重要资料之一。
参考书通常比教材更加深入和详细地介绍了力学的相关内容。
学生可以选择一本适合自己的参考书，通过阅读和学习书中的内容，进一步加深对力学知识的理解和掌握。
同时，参考书中通常会有一些拓展阅读和深入研究的内容，对于对力学感兴趣的学生来说，这些内容也是很有价值的。
此外，还有一些力学复习资料可以帮助学生进行综合复习和总结。
例如，力学的复习大纲和知识点总结。
学生可以根据大纲和总结，对力学的各个方面进行有针对性的复习和总结。
同时，还可以制作思维导图和知识框架，帮助记忆和理解力学的知识结构。
最后，力学实验是力学学习中不可或缺的一部分。
通过实验，学生可以亲身体验和观察力学现象，加深对力学原理的理解和认识。
学生可以通过实验报告和实验笔记，对实验结果进行总结和分析，进一步巩固和应用所学的力学知识。
分析力学(1~4章)
第一章 低速宏观运动：牛顿第二定律的解析表达形式 拉格朗日形式：巧妙消除约束，减少未知量个数 哈密顿形式：整齐对称 约束：限制物体运动的位置，位置坐标不再相互独立 无约束：自由度等于坐标数目。 保守力场：力做功与路径无关。 约束反力：受外界物作用力。 拉格朗日方程：(保守系) m������ = ������ = − ������ ������������ ������������ − =0 ������������ ������������������ ������������������ 有心力场—— 笛卡尔坐标系：������ = 柱坐标系：������ = 球坐标系：������ =
������
δU =
������ =1
������������ ������������ ������������������ ������
最小作用量原理： 一个物理系统实际发生的真实运动状态是所对应的 作用量具有最小值的那个状态。 δS = δ =
������ 2 ������ 1
������ ������ ������ , ������ ������ , ������ ������������ = 0
第二项为零
������ =
′ ′ ������������ × ������������ ������������ + ������������ ×
′ ������������ ������������ +
������������ ������������ × ������
′
������ =0 ������ ′ 系为质心系
かみ Crucis
������离心
2 ������������ = 2������������ 2
物理学复习资料力学篇
物理学复习资料力学篇力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和受力情况。
在物理学复习中，力学篇是学习的重点之一。
本文将提供一份力学复习资料，帮助读者系统梳理力学的基本概念和重要知识点。
一、力的基本概念力是物体之间相互作用的结果，它可以改变物体的运动状态。
力的大小用牛顿（N）作为单位，方向与力的作用方向一致。
力的合成和分解是力学讨论的基础。
1.1 力的合成当多个力作用在同一个物体上时，可以通过力的合成将它们合成为一个力。
力的合成可以用矢量图形法和分解的方法来进行。
1.2 力的分解力的分解是指将一个力分解成若干个力的合力。
它可以分解为平行分力和垂直分力，方便对力的作用进行综合分析。
二、牛顿运动定律牛顿的运动定律是力学的基础法则，描述了物体运动的规律。
2.1 第一定律：惯性定律如果物体受力为零，则物体将保持静止或匀速直线运动。
这是一个关于力和运动状态的基本原理。
2.2 第二定律：运动定律当物体受到外力作用时，它的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成反比。
即 F = ma，其中 F 表示物体所受力的合力，m表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
2.3 第三定律：作用力与反作用力任何一个物体受到的作用力都会有一个相互作用的力，且大小相等、方向相反。
三、力的应用力学的研究不仅限于了解力和运动的关系，还可以应用于实际生活和工程中。
以下是一些力的应用领域的简单介绍。
3.1 飞行器运动力学飞行器运动力学研究了飞机、火箭、无人机等飞行器的运动规律，用于飞行器设计和控制。
3.2 汽车动力学汽车动力学研究了汽车的运动和驱动力，包括加速度、转弯和刹车等。
通过优化汽车的动力学特性，可以提高安全性和驾驶体验。
3.3 结构力学结构力学研究了建筑物和桥梁等结构物的受力情况，用于设计和优化结构的承载能力。
3.4 运动员力学运动员力学研究了运动员在运动中的受力情况，包括运动员的力量训练和动作优化等。
四、常见问题与解答在学习力学过程中，常常会遇到一些难点和疑问。
[物理]分析力学基础
![[物理]分析力学基础](https://img.taocdn.com/s3/m/cff17a52f46527d3240ce040.png)
xi yi zi Qk ( Fxi Fyi Fzi ) qk qk qk V xi V yi V zi ( ) xi qk yi qk zi qk V qk (k 1， 2， ，N )
这样，由广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式
ri ri qk k 1 qk
N
或
二、以广义坐标表示的质点系平衡条件
在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示 虚位移。这些虚位移通常不独立，需要建立虚位移 之间的关系。若直接用广义坐标变分来表示虚位移， 广义虚位移之间相互独立，虚位移原理可表示为简 洁形式。为此将广义虚位移代入虚功方程
x R sin j cosq y R sin j sin q Z R cosq
一般地，设有由 n 个质点组成的非自由质点系的
位置可由 N 个广义坐标
q1 , q2 ,, qN来确定，则
质点系内各质点的坐标可表为广义坐标的函数，即
或写为：ri ri q1 , q2 ,, q N , t
z
M
yห้องสมุดไป่ตู้
z
j
R
M
y
x
z R (x y )
2 2 2
x
q
若质点 M 限定在半球面上运动，球半径为R。是 具有1个质点的空间质点系，有1个约束方程：
n 1, s 1
自由度数为：
N 3n s 3 1 2
通常用 2 个独立参数 j 和 q 表示。
z
j
R
M
y
x
q
质点 M 的空间坐标可用广义坐标表示为：
3、用广义坐标表示虚位移——广义虚位移
ri ri q1 , q2 ,, qN , t i 1,2, ,n
《分析力学》大学笔记
《分析力学》大学笔记第一章引言1.1 学科背景介绍分析力学，作为物理学领域的一股重要力量，其诞生可追溯到对经典力学体系的深度反思与根本性重构。
在经典力学的框架内，力被视为描述物体运动状态改变的核心概念。
分析力学的出现，对这一传统观念进行了革命性的颠覆。
它不再将力作为最基本的物理量，而是转而聚焦于能量、动量等更为本质、更为普遍的物理属性。
这一转变并非凭空而来，而是基于现代数学工具的不断发展与完善，尤其是变分法和哈密顿原理的引入，为分析力学提供了坚实的数学基础。
通过这些高级数学手段，分析力学得以对力学系统进行更为精确、更为全面的描述。
它不仅极大地简化了复杂力学问题的求解过程，更在深层次上揭示了物理现象之间的内在联系与规律。
分析力学的兴起，不仅仅是对经典力学的一次重大革新，更是对整个物理学、数学乃至工程学领域产生了深远的影响。
在物理学的范畴内，分析力学的出现为后续的量子力学、相对论等前沿理论的发展奠定了坚实的基础。
在数学领域，分析力学所运用的高级数学方法推动了数学本身的进步与创新。
而在工程学实践中，分析力学的理论与方法被广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等诸多领域，为现代工程技术的飞速发展提供了有力的支撑。
分析力学的诞生与发展并非一帆风顺。
在其演进过程中，曾遭遇过诸多质疑与挑战。
但正是这些不断的争论与探索，使得分析力学得以不断完善与成熟，最终成为物理学领域中一门不可或缺的重要学科。
分析力学还与其他学科之间保持着密切的交叉与融合。
例如，在控制论中，分析力学的理论与方法被广泛应用于系统的稳定性分析与优化控制设计；而在生物学领域，分析力学的原理也被用于描述生物体的运动规律与能量转换过程。
这些跨学科的应用不仅展示了分析力学的广泛适用性，也进一步推动了相关学科的发展与创新。
分析力学作为物理学的一个重要分支，其背景深厚、影响深远。
它不仅在理论层面上对经典力学进行了深刻的反思与重构，更在实践层面上为众多领域的发展提供了强有力的支持。
分析力学竞赛知识点总结
分析力学竞赛知识点总结一、基本概念1. 相互作用力：相互作用力是物体之间产生的相互作用力，包括接触力、重力、弹力等。
在分析力学中，需要根据物体的运动状态来分析相互作用力的大小和方向。
2. 牛顿定律：牛顿定律是分析力学的基础，包括牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律。
竞赛选手需要熟练掌握这些定律，能够灵活运用到解题中。
3. 动量和动量定理：动量是描述物体运动状态的物理量，动量定理是描述物体受力变化时动量的变化规律。
在竞赛中，需要掌握动量和动量定理的计算方法，能够准确地应用到实际问题中。
4. 力的合成：力的合成是指多个力合成一个力的过程，竞赛选手需要熟练掌握力的合成的方法，能够准确地求解合成后的力的大小和方向。
5. 动力学方程：动力学方程是描述物体运动规律的基本方程，包括牛顿第二定律、角动量定理等。
在竞赛中，需要熟练掌握动力学方程的推导和应用，能够灵活运用到解题中。
二、公式推导1. 牛顿第二定律的推导：牛顿第二定律是分析力学的基本定律，竞赛选手需要熟练掌握牛顿第二定律的推导过程，能够准确地应用到解题中。
2. 动量定理的推导：动量定理是描述物体受力变化时动量的变化规律，竞赛选手需要熟练掌握动量定理的推导过程，能够准确地应用到解题中。
3. 力的合成公式的推导：力的合成是分析力学中的重要内容，竞赛选手需要熟练掌握力的合成公式的推导过程，能够准确地求解合成后的力的大小和方向。
4. 动力学方程的推导：动力学方程是描述物体运动规律的基本方程，竞赛选手需要熟练掌握动力学方程的推导过程，能够灵活运用到解题中。
三、解题技巧1. 熟练掌握基本概念：竞赛选手需要熟练掌握分析力学的基本概念，包括相互作用力、牛顿定律、动量和动量定理、力的合成、动力学方程等，能够准确地应用到解题中。
2. 灵活运用公式：竞赛选手需要灵活运用公式，能够根据题目要求准确地选择合适的公式进行计算，并且能够准确地推导公式，解决复杂问题。
3. 掌握解题方法：竞赛选手需要掌握解题的方法，能够根据题目的特点合理地选择解题的方法，在有限的时间内快速准确地解答问题。
分析力学知识点总结
分析力学知识点总结在分析力学知识中，有一些重要的概念和原理，接下来我们将对其进行详细分析和总结。
一、广义坐标和广义速度在分析力学中，广义坐标和广义速度是非常重要的概念。
广义坐标是用来描述系统中每个自由度的变化的参数，而广义速度则是描述系统各自由度变化率的参数。
广义坐标和广义速度并不是系统中每个粒子的坐标和速度，而是用来描述整个系统运动规律的一组参数。
对于一个具有N个自由度的系统，可以找到N个独立的广义坐标和广义速度来描述系统的状态。
通过广义坐标和广义速度，可以建立系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。
二、拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学的重要原理之一，它是用来描述系统运动规律的一种方法。
拉格朗日方程是通过系统的动能和势能函数来建立的，它可以描述系统在广义坐标变化下的运动规律。
对于一个N个自由度的系统，其拉格朗日方程可以写为：d/dt(∂L/∂q_i) - ∂L/∂q_i = Q_i其中，L是系统的拉格朗日函数，q_i表示系统的广义坐标，Q_i表示系统的广义力。
通过拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。
三、哈密顿方程哈密顿方程也是分析力学的一个重要原理，它是通过系统的哈密顿函数来描述系统的运动规律的一种方法。
哈密顿函数是系统的广义坐标和广义动量的函数，通过哈密顿函数可以得到系统的哈密顿方程。
对于一个N个自由度的系统，其哈密顿方程可以写为：dq_i/dt = ∂H/∂p_idp_i/dt = -∂H/∂q_i其中，H是系统的哈密顿函数，q_i表示系统的广义坐标，p_i表示系统的广义动量。
通过哈密顿方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。
四、刚体运动在分析力学中，刚体运动是一个重要的研究对象。
刚体是一个在运动中保持形状不变的物体，它的运动规律可以通过刚体力学来描述。
刚体力学包括了刚体的运动方程、角动量定理、动能、角速度等内容，通过这些内容可以研究刚体的运动规律。
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CHAPTER OBJECTIVES •To analyze the kinematics of a body subjected to rotation about a fixed point and general plane motion.•To provide a relative-motion analysis of a rigid body using translating and rotating axes.20.1Rotation About a Fixed Point When a rigid body rotates about a fixed point,the distance r from the point to a particle located on the body is the same for any position of the body.Thus,the path of motion for the particle lies on the surface of a sphere having a radius r and centered at the fixed point.Since motion along this path occurs only from a series of rotations made during a finite time interval,we will first develop a familiarity with some of the properties of rotational displacements.The boom can rotate up and down,andbecause it is hinged at a point on thevertical axis about which it turns,it issubjected to rotation about a fixed point.550C H A P T E R20T H R E E-D I M E N S I O N A L K I N E M AT I C S O F A R I G I D B O D Y20Eule r’s The ore m.Euler’s theorem states that two “component”rotations about different axes passing through a point are equivalent to a single resultant rotation about an axis passing through the point.If more than two rotations are applied,they can be combined into pairs,and each pair can be further reduced and combined into one rotation.Finite Rotations.If component rotations used in Euler’s theorem are finite,it is important that the order in which they are applied be maintained.To show this,consider the two finite rotations applied to the block in Fig.20–1a.Each rotation has a magnitude of 90°and a direction defined by the right-hand rule,as indicated by the arrow. The final position of the block is shown at the right.When these two rotations are applied in the order as shown in Fig.20–1b,the final position of the block is not the same as it is in Fig.20–1a.Because finite rotations do not obey the commutative law of additionthey cannot be classified as vectors.If smaller,yet finite,rotations had been used to illustrate this point,e.g.,10°instead of 90°,the final position of the block after each combination of rotations would also be different;however,in this case,the difference is only a small amount.1U1+U2Z U2+U12,U2+U1,U1+U2Њ(a)(b)ЊFig.20–120.1R OTATION A BOUT A F IXED P OINT 55120Infinitesimal Rotations.When defining the angular motions of abody subjected to three-dimensional motion,only rotations which areinfinitesimally small will be considered.Such rotations can be classified asvectors,since they can be added vectorially in any manner .To show this,forpurposes of simplicity let us consider the rigid body itself to be a spherewhich is allowed to rotate about its central fixed point O ,Fig.20–2a .If weimpose two infinitesimal rotationson the body,it is seen thatpoint P moves along the path and ends up at Hadthe two successive rotations occurred in the order then theresultant displacements of P would have been Sincethe vector cross product obeys the distributive law,by comparisonHere infinitesimal rotationsare vectors,since these quantities have both a magnitude and direction for which the order of (vector) addition is not important,i.e.,As a result,as shown in Fig.20–2a ,the two“component”rotationsand are equivalent to a single resultantrotation a consequence of Euler’s theorem.Angular Velocity.If the body is subjected to an angular rotationabout a fixed point,the angular velocity of the body is defined by thetime derivative,(20–1)The line specifying the direction of which is collinear with isreferred to as the instantaneous axis of rotation ,Fig.20–2b .In general,this axis changes direction during each instant of time.Since is avector quantity,so too is and it follows from vector addition that if thebody is subjected to two component angular motions,andthe resultant angular velocity is Angular Acce le ration.The body’s angular acceleration isdetermined from the time derivative of its angular velocity,i.e.,(20–2)For motion about a fixed point,must account for a change in both themagnitude and direction of so that,in general,is not directed alongthe instantaneous axis of rotation,Fig.20–3.As the direction of the instantaneous axis of rotation (or the line ofaction of ) changes in space,the locus of the axis generates a fixed spacecone ,Fig.20–4.If the change in the direction of this axis is viewed withrespect to the rotating body,the locus of the axis generates a body cone .V A V ,AV =V 1+V 2.V 2=U #2,V 1=U #1V ,d U d U ,V ,d U d U =d U 1+d U 2,d U 2d U 1d U 1+d U 2=d U 2+d U 1.d U1d U 1+d U 22*r =1d U 2+d U 12*r .d U 2*r +d U 1*r .d U 2+d U 1,P ¿.d U 1*r +d U 2*r d U 1+d U 2(a)(b)Fig.20–2Fig.20–3552C H A P T E R 20T H R E E -D I M E N S I O N A L K I N E M AT I C S O F A R I G I D B O D YAt any given instant,these cones meet along the instantaneous axis of rotation,and when the body is in motion,the body cone appears to roll either on the inside or the outside surface of the fixed space cone.Provided the paths defined by the open ends of the cones are described by the head of the vector,then must act tangent to these paths at any given instant,since the time rate of change of is equal to Fig.20–4.To illustrate this concept,consider the disk in Fig.20–5a that spins about the rod at ,while the rod and disk precess about the vertical axis at .The resultant angular velocity of the disk is therefore .Since both point O and the contact point P have zero velocity,then both and the instantaneous axis of rotation are along OP .Therefore,as the diskrotates,this axis appears to move along the surface of the fixed space coneshown in Fig.20–5b .If the axis is observed from the rotating disk,the axis then appears to move on the surface of the body cone.At any instant,though,these two cones meet each other along the axis .If has a constant magnitude,then indicates only the change in the direction of which is tangent to the cones at the tip of as shown in Fig.20–5b .Velocity.Once is specified,the velocity of any point on a bodyrotating about a fixed point can be determined using the same methods as for a body rotating about a fixed axis.Hence,by the cross product,(20–3)Here r defines the position of the point measured from the fixed point O ,Fig.20–3.Acceleration.If and are known at a given instant,the acceleration of a point can be obtained from the time derivative of Eq.20–3,which yields (20–4)*20.2The Time Derivative of a Vector Measured from Either a Fixed or Translating-Rotating SystemIn many types of problems involving the motion of a body about a fixed point,the angular velocity is specified in terms of its components.Then,if the angular acceleration of such a body is to be determined,it is ofteneasier to compute the time derivative of using a coordinate system thathas a rotation defined by one or more of the components of Forexample,in the case of the disk in Fig.20–5a ,where the x,y,z axes can be given an angular velocity of For this reason,and forother uses later,an equation will now be derived,which relates the timederivative of any vector A defined from a translating-rotating reference to itstime derivative defined from a fixed reference.V p .V =V s +V p ,V .V A V A V V V V ,A V OP V V =V s +V p V p V s A .V A V InstantaneousFig.20–4V pV s Oz P Instantaneousaxis ofrotation(a)Fig.20–520.2T HE T IME D ERIVATIVE OF A V ECTOR M EASURED FROM E ITHER A F IXED OR T RANSLATING -R OTATING S YSTEM 55320Consider the x,y,z axes of the moving frame of reference to berotating with an angular velocity ,which is measured from the fixed X,Y,Z axes,Fig.20–6a .In the following discussion,it will be convenient toexpress vector A in terms of its i ,j ,k components,which define thedirections of the moving axes.Hence,In general,the time derivative of A must account for the change inboth its magnitude and direction.However,if this derivative is takenwith respect to the m oving fram e of reference ,only the change in themagnitudes of the components of A must be accounted for,since thedirections of the components do not change with respect to the movingreference.Hence,(20–5)When the time derivative of A is taken with respect to the fixed frameof reference ,the directions of i ,j ,and k change only on account of therotation of the axes and not their translation.Hence,in general,The time derivatives of the unit vectors will now be considered.Forexample,represents only the change in the direction of i withrespect to time,since i always has a magnitude of 1 unit.As shown inFig.20–6b ,the change,d i ,is tangent to the path described by thearrowhead of i as i swings due to the rotation Accounting for both themagnitude and direction of d i ,we can therefore define using the crossproduct,In general,thenThese formulations were also developed in Sec.16.8,regarding planarmotion of the axes.Substituting these results into the above equationand using Eq.20–5yields(20–6)This result is important,and will be used throughout Sec.20.4 andChapter 21.It states that the time derivative of any vector A as observedfrom the fixed X,Y,Z frame of reference is equal to the time rate ofchange of A as observed from the x,y,z translating-rotating frame ofreference,Eq.20–5,plus the change of A caused by the rotationof the x,y,z frame.As a result,Eq.20–6should always be used wheneverproduces a change in the direction of A as seen from the X,Y,Zreference.If this change does not occur,i.e.,then and so the time rate of change ofA as observed from both coordinate systems will be the same .A #=1A #2xyz ,æ=0,ææ*A ,i #=æ*i j #=æ*j k #=æ*ki #=æ*i .i #æ.i #=d i >dt A #=A #x i +A #y j +A #z k +A x i #+A y j #+A z k#æ1A #2xyz =A #x i +A #y j +A #z k A =A x i +A y j +A z kæ(a)dt (b)Fig.20–6554C H A P T E R20T H R E E-D I M E N S I O N A L K I N E M AT I C S O F A R I G I D B O D Y200.25 m1 mO vv pϭ1 rad r A A20.2T HE T IME D ERIVATIVE OF A V ECTOR M EASURED FROM E ITHER A F IXED OR T RANSLATING -R OTATING S YSTEM 55520556C H A P T E R20T H R E E-D I M E N S I O N A L K I N E M AT I C S O F A R I G I D B O D Y20YAlways in x–y plane5 rad/svv nϭ3 rad/s4 rad/s2directionOv nϭ2 rad/s2.v.uFig.20–820.3G ENERAL M OTION 55720Instantaneous axis of rotationFig.20–920.3General MotionShown in Fig.20–9is a rigid body subjected to general motion in three dimensions for which the angular velocity is and the angular acceleration is If point A has a known motion of and the motion of any other point B can be determined by using a relative-motion analysis.In this section a translating coordinate system will be used to define the relative motion,and in the next section a reference that is both rotating and translating will be considered.If the origin of the translating coordinate system x,y,z is located at the “base point”A ,then,at the instant shown,the motion of the body can be regarded as the sum of an instantaneous translation of the body having a motion of ,and ,and a rotation of the body about an instantaneous axis passing through point A .Since the body is rigid,the motion of point B measured by an observer located at A is therefore the same as the rotation of the body about a fixed point .This relative motion occurs about the instantaneous axis of rotation and is defined by Eq.20–3,and Eq.20–4.For translating axes,the relative motions are related to absolute motions by and Eqs.16–15and 16–17,so that the absolute velocity and acceleration of point B canbe determined from the equations (20–7)and(20–8)These two equations are identical to those describing the general plane motion of a rigid body,Eqs.16–16 and 16–18.However,difficulty in application arises for three-dimensional motion,because now measures the change in boththe magnitude and direction of V .A a B =a A +a B >A ,v B =v A +v B >A a B >A =A *r B >A +V *1V *r B >A 2,v B >A =V *r B >A ,a A v A 1æ=02aA,vA A .V558C H A P T E R20T H R E E-D I M E N S I O N A L K I N E M AT I C S O F A R I G I D B O D Y20v Cϭ 3 m/s1 m0.5 mDYCBEFXA(a)the bar at the instant shown.end points by ball-and-socket joints.SOLUTIONBaron the bar can be related to the velocity of pointThe fixed and translating frames of reference are assumed to coincideat the instant considered,566C H A P T E R20T H R E E-D I M E N S I O N A L K I N E M AT I C S O F A R I G I D B O D Y20*20.4Relative-Motion Analysis UsingTranslating and Rotating AxesThe most general way to analyze the three-dimensional motion of a rigid body requires the use of x,y,z axes that both translate and rotate relative to a second frame X,Y,Z.This analysis also provides a means to determine the motions of two points A and B located on separate members of a mechanism,and the relative motion of one particle with respect to another when one or both particles are moving along curved paths.As shown in Fig.20–11,the locations of points A and B are specified relative to the X,Y,Z frame of reference by position vectors and The base point A represents the origin of the x,y,z coordinate system, which is translating and rotating with respect to X,Y,Z.At the instant considered,the velocity and acceleration of point A are and and the angular velocity and angular acceleration of the x,y,z axes are and .All these vectors are measured with respect to the X,Y,Z frame of reference,although they can be expressed in Cartesian component form along either set of axes.æ#=dæ>dtæa A,v Ar B.r AFig.20–1120.4R ELATIVE -M OTION A NALYSIS U SING T RANSLATING AND R OTATING A XES 56720Position.If the position of “B with respect to A ”is specified by therelative-position vector Fig.20–11,then,by vector addition,(20–9)whereposition of Bposition of the origin Aposition of “B with respect to A ”Velocity.The velocity of point B measured from X,Y,Z can bedetermined by taking the time derivative of Eq.20–9,The first two terms represent and The last term must be evaluated by applying Eq.20–6,since is measured with respect to a rotating reference.Hence,(20–10)Therefore,(20–11)wherevelocity of Bvelocity of the origin A of the x,y,z frame of reference velocity of “B with respect to A ”as measured by anobserver attached to the rotating x,y,z frame of referenceangular velocity of the x,y,z frame of reference position of “B with respect to A ”r B >A =æ=1v B >A 2xyz =v A =v B =r #B >A =1r #B >A 2xyz +æ*r B >A =1v B >A 2xyz +æ*r B >A r B >A v A .v B r #B =r #A +r #B >ArB >A =r A =r B =r B >A,568C H A P T E R20T H R E E-D I M E N S I O N A L K I N E M AT I C S O F A R I G I D B O D Y20Acceleration.The acceleration of point B measured from X,Y,Z isdetermined by taking the time derivative of Eq.20–11.The time derivatives defined in the first and second terms representand ,respectively.The fourth term can be evaluated using Eq.20–10,and the last term is evaluated by applying Eq.20–6,which yieldsHere is the acceleration of B with respect to A measured fromx,y,z.Substituting this result and Eq.20–10into the above equation andsimplifying,we have1a B>A2xyz=1a B>A2xyz+æ*1v B>A2xyzddt1v B>A2xyz=1v#B>A2xyz+æ*1v B>A2xyza Aa Bv#B=v#A+æ#*r B>A+æ*r#B>A+ddt1v B>A2xyzComplicated spatial motion of theconcrete bucket B occurs due to therotation of the boom about the Z axis,motion of the carriage A along theboom,and extension and swinging of thecable AB.A translating-rotating x,y,zcoordinate system can be established onthe carriage,and a relative-motionanalysis can then be applied to studythis motion.ZABzyxwhereacceleration of Bacceleration of the origin A of the x,y,z frameof referenceacceleration and relative velocity of “B withrespect to A”as measured by an observerattached to the rotating x,y,z frame ofreferenceangular acceleration and angular velocity of thex,y,z frame of referenceposition of “B with respect to A”Equations 20–11 and 20–12 are identical to those used in Sec.16.8 foranalyzing relative plane motion.* In that case,however,application issimplifiedsince and haveaconstant direction which is alwaysperpendicular to the plane of motion.For three-dimensional motion,must be computed by using Eq.20–6,since depends on the changein both the magnitude and direction of æ.æ#æ#æ#ær B>A=æ#,æ=1v B>A2xyz=1a B>A2xyz,a A=a B=*Refer to Sec.16.8 for an interpretation of the terms.20.4R ELATIVE -M OTION A NALYSIS U SING T RANSLATING AND R OTATING A XES 56920570C H A P T E R 20T H R E E -D I M E N S I O N A L K I N E M AT I C SO F AR I G I D B O D Y200.25 mX, x, x ¿, x ¿¿·v Mϭ 1 rad /s 2v M ϭ 3 rad /s 2 m /s 23 m /s v p ϭ 5 rad /s vpϭ 2 rad /s 2·Z,z ¿z ,z ¿¿1 m2 mOCBAFig.20–1220.4R ELATIVE -M OTION A NALYSIS U SING T RANSLATING AND R OTATING A XES 57120572C H A P T E R 20T H R E E -D I M E N S I O N A L K I N E M AT I C SO F AR I G I D B O D Y200.5 m3 m 2 m DC 0.2 m v 2ϭ 6 rad /s 2.ϭ 5 rad /sBϭ 4 rad /sA1.5 rad /s 2Fig 20–1320.4R ELATIVE -M OTION A NALYSIS U SING T RANSLATING AND R OTATING A XES 57320C HAPTER R EVIEW 57720CHAPTER OBJECTIVES•To introduce the methods for finding the moments of inertia and products of inertia of a body about various axes.•To show how to apply the principles of work and energy and linear and angular momentum to a rigid body having three-dimensional motion.•To develop and apply the equations of motion in three dimensions.•To study gyroscopic and torque-free motion.*21.1Moments and Products of Inertia When studying the planar kinetics of a body,it was necessary to introduce the moment of inertia which was computed about an axis perpendicular to the plane of motion and passing through the body’s mass center G.For the kinetic analysis of three-dimensional motion it will sometimes be necessary to calculate six inertial quantities.These terms, called the moments and products of inertia,describe in a particular way the distribution of mass for a body relative to a given coordinate system that has a specified orientation and point of origin.I G,580C H A P T E R21T H R E E-D I M E N S I O N A L K I N E T I C S O F A R I G I D B O D Y21Mome nt of Ine rtia.Consider the rigid body shown in Fig.21–1. The moment of inertia for a differential element dm of the body aboutany one of the three coordinate axes is defined as the product of the mass of the element and the square of the shortest distance from the axis to the element.For example,as noted in the figure,,so that the mass moment of inertia of the element about the x axis isThe moment of inertia for the body can be determined by integrating this expression over the entire mass of the body.Hence,for each of the axes,we can write(21–1) Here it is seen that the moment of inertia is always a positive quantity, since it is the summation of the product of the mass dm,which is alwayspositive,and the distances squared.Product of Ine rtia.The product of inertia for a differential element dm with respect to a set of two orthogonal planes is defined as the product of the mass of the element and the perpendicular (or shortest) distances from the planes to the element.For example,this distance is x to the y–z plane and it is y to the x–z plane,Fig.21–1.The product of inertia for the element is thereforeNote also that By integrating over the entire mass,the products of inertia of the body with respect to each combination of planes can be expressed as(21–2)dI yx=dI xy.dI xy=xy dmdI xyI xxdI xx=r x2dm=1y2+z22dmr x=2y2+z2 yFig.21–121.1M OMENTS AND P RODUCTS OF I NERTIA 58121Unlike the moment of inertia,which is always positive,the product of inertia may be positive,negative,or zero.The result depends on the algebraic signs of the two defining coordinates,which vary independently from one another.In particular,if either one or both of the orthogonal planes are planes of symmetry for the mass,the product of inertia with respect to these planes will be zero .In such cases,elements of mass will occur in pairs located on each side of the plane of symmetry.On one side of the plane the product of inertia for the element will be positive,while on the other side the product of inertia of the corresponding element will be negative,the sum therefore yielding zero.Examples of this are shown in Fig.21–2.In the first case,Fig.21–2a ,the y–z plane is a plane of symmetry,and hence Calculation of will yield a positive result,since all elements of mass are located using only positive y and z coordinates.For the cylinder,with the coordinate axes located as shown in Fig.21–2b ,the x–z and y–z planes are both planes of symmetry.Thus,Parallel-Axis and Parallel-Plane Theorems.The techniquesof integration used to determine the moment of inertia of a body were described in Sec.17.1.Also discussed were methods to determine the moment of inertia of a composite body,i.e.,a body that is composed of simpler segments,as tabulated on the inside back cover.In both of these cases the parallel-axis theorem is often used for the calculations.This theorem,which was developed in Sec.17.1,allows us to transfer the moment of inertia of a body from an axis passing through its mass center G to a parallel axis passing through some other point.If G has coordinates defined with respect to the x,y,z axes,Fig.21–3,then the parallel-axis equations used to calculate the moments of inertia about the x,y,z axes are(21–3)z G y G ,x G ,I xy =I yz =I zx =0.I yz I xy =I xz =0.(a)(b)Fig.21–2y¿Fig.21–3582C H A P T E R21T H R E E-D I M E N S I O N A L K I N E T I C S O F A R I G I D B O D Y21The products of inertia of a composite body are computed in the samemanner as the body’s moments of inertia.Here,however,the parallel-plane theorem is important.This theorem is used to transfer the productsof inertia of the body with respect to a set of three orthogonal planespassing through the body’s mass center to a corresponding set of threeparallel planes passing through some other point O.Defining theperpendicular distances between the planes as and Fig.21–3,the parallel-plane equations can be written as(21–4)The derivation of these formulas is similar to that given for the parallel-axis equation,Sec.17.1.Ine rtia Te nsor.The inertial properties of a body are thereforecompletely characterized by nine terms,six of which are independent ofone another.This set of terms is defined using Eqs.21–1and 21–2andcan be written asThis array is called an inertia tensor.* It has a unique set of values for abody when it is determined for each location of the origin O andorientation of the coordinate axes.In general,for point O we can specify a unique axes inclination forwhich the products of inertia for the body are zero when computed withrespect to these axes.When this is done,the inertia tensor is said to be“diagonalized”and may be written in the simplified formHere and are termed the principal momentsof inertia for the body,which are computed with respect to the principalaxes of inertia.Of these three principal moments of inertia,one will be amaximum and another a minimum of the body’s moment of inertia.I z=I zzI y=I yy,I x=I xx,£I x000I y000I z≥£I xx-I xy-I xz-I yx I yy-I yz-I zx-I zy I zz≥z G,y Gx G,*The negative signs are here as a consequence of the development of angular momentum,Eqs.21–10.The dynamics of the space shuttlewhile it orbits the earth can bepredicted only if its moments andproducts of inertia are knownrelative to its mass center.y¿Fig.21–3 (repeated)21.1M OMENTS AND P RODUCTS OF I NERTIA 58321The mathematical determination of the directions of principal axes of inertia will not be discussed here (see Prob.21–20).However,there are many cases in which the principal axes can be determined by inspection.From the previous discussion it was noted that if the coordinate axes are oriented such that two of the three orthogonal planes containing the axes are planes of symmetry for the body,then all the products of inertia for the body are zero with respect to these coordinate planes,and hence these coordinate axes are principal axes of inertia.For example,the x,y,z axes shown in Fig.21–2b represent the principal axes of inertia for the cylinder at point O .Moment of Inertia About an Arbitrary Axis.Consider thebody shown in Fig.21–4,where the nine elements of the inertia tensor have been determined with respect to the x,y,z axes having an origin at O .Here we wish to determine the moment of inertia of the body about the Oa axis,which has a direction defined by the unit vector By definition where b is the perpendicular distance from dm to Oa .If the position of dm is located using r ,then which represents the magnitude of the cross product Hence,the moment of inertia can be expressed asProvided and.After substituting and performing the dot-product operation,the moment of inertia isRecognizing the integrals to be the moments and products of inertia of the body,Eqs.21–1and 21–2,we have(21–5)Thus,if the inertia tensor is specified for the x,y,z axes,the moment of inertia of the body about the inclined Oa axis can be found.For the calculation,the direction cosines of the axes must be determined.These terms specify the cosines of the coordinate direction angles made between the positive Oa axis and the positive x,y,z axes,respectively (see Appendix C).g b ,a ,u z uy,ux ,-2u x u yL mxy dm -2u y u zL myz dm -2u z u xL mzx dm=u x2L m1y 2+z 22dm +u y2L m 1z 2+x 22dm +u z2L m1x 2+y 22dmI Oa =L m[1u y z -u z y 22+1u z x -u x z 22+1u x y -u y x 22]dm1u y z -u z y 2i +1u z x -u x z 2j +1u x y -u y x 2k u a *r =r =x i +y j +z k ,u a =u x i +u y j +u z k I Oa =L m 1u a *r 22dm =L m1u a *r 2#1u a *r 2dmu a *r .b =r sin u ,I Oa =1b 2dm ,u a .yFig.21–4584C H A P T E R 21T H R E E -D I M E N S I O N A L K I N E T I C SO F AR I G I D B O D Y212 kg 0.4 m0.2 m(a)D4 kg0.2 m AB C2 kg 0.2 m21.2A NGULAR M OMENTUM 5892121.2Angular MomentumIn this section we will develop the necessary equations used to determine the angular momentum of a rigid body about an arbitrary point.These equations will provide a means for developing both the principle of impulse and momentum and the equations of rotational motion for a rigid body.Consider the rigid body in Fig.21–6,which has a mass m and center of mass at G .The X,Y,Z coordinate system represents an inertial frame of reference,and hence,its axes are fixed or translate with a constant velocity.The angular momentum as measured from this reference will be determined relative to the arbitrary point A .The position vectors and are drawn from the origin of coordinates to point A and from A to the i th particle of the body.If the particle’s mass is the angular momentum about point A iswhere represents the particle’s velocity measured from the X,Y ,Z coordinate system.If the body has an angular velocity at the instant considered,may be related to the velocity of A by applying Eq.20–7,i.e.,Thus,Summing the moments of all the particles of the body requires an integration.Since we have (21–6)H A =aL mR A dm b *v A +L mR A *1V *R A 2dmm i :dm ,=1R A m i 2*v A +R A *1V *R A 2m i1H A 2i =R A *m i 1v A +V *R A 2v i =v A +V *R Av i V v i 1H A 2i =R A *m i v im i ,R A r AFig.21–6。
分析力学_总结
3. 广义坐标q (Generalized coordinates)
任何一组明确表明系统位形的参数
完整编辑ppt
2
4. 广义动量 (Generalized momentums)
p
T q
L q
qf
5. 位形空间 (Configuration space)
由f个广义坐标q张成的抽象的f维空间
q1
6. 相空间 (Phase space)
H p q L 2 T 2 T 1 ( T 2 T 1 T 0 V ) T 2 T 0 V
保守系统受稳定约束时变换方程不显含t，
HTV
完整编辑ppt
T1T00,TT2
5
13. 共轭变量 (conjugate variables)
f f(x,y, ), u f 称为x的共轭变量 x
(q,p,t) (Q ,P ,t)
pqHPQ KddF t
Q
K P
P
K Q pFFra bibliotek(q,Q ,t) q
P
F1(q,Q ,t) Q
K
H
F1(q,Q ,t) t 完整编辑ppt
p
F2 (q, P ,t) q
Q
F2 (q, P ,t) P
K
H
F2 (q, P ,t) t 11
6. 哈密顿正则方程 (Hamiltonian canonical equations)
保守系统：
q
H p
p
H q完整编辑ppt
10
7. 变分法 (Variational method )
J t1 f (t,q,q)dt取极值的条件 t0
ddtqfqf 0
分析力学知识点
分析力学知识点可以基于逐步思考进行学习和理解。
本文将分为以下几个部分来介绍分析力学的一些核心概念和方法。
1. 引言分析力学是力学的一个重要分支，它研究物体在受到外力作用下的运动规律。
与牛顿力学不同的是，分析力学采用了更为抽象和数学化的方法，通过建立系统的数学模型来解决运动问题。
2. 基本概念在学习分析力学之前，我们首先需要了解几个基本概念。
2.1 质点质点是分析力学研究的基本对象，它被假设为没有大小和形状的点，只有质量。
质点的位置可以用坐标来描述，通常使用笛卡尔坐标系或极坐标系。
2.2 力力是导致物体发生运动或形状改变的原因。
在分析力学中，力的大小和方向都是非常重要的。
力可以通过矢量表示，其中矢量的方向表示力的方向，矢量的大小表示力的大小。
2.3 动力学方程动力学方程是分析力学的核心内容之一。
它描述了质点在受到力作用下的运动规律。
根据牛顿第二定律，动力学方程可以表示为质点的质量乘以加速度等于受到的合力。
这个方程可以用矢量形式表示。
3. 求解方法分析力学中有多种方法可以用来求解动力学方程，下面介绍其中两种常用的方法。
3.1 拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学中最常用的方法之一。
它基于能量守恒原理，将系统的运动描述为质点在广义坐标下的变换。
通过建立拉格朗日函数，并利用欧拉-拉格朗日方程，可以得到描述质点运动的方程。
3.2 哈密顿方程哈密顿方程是另一种常用的方法。
它基于哈密顿函数，通过将质点的坐标和动量表示为广义坐标和广义动量的函数，可以得到描述质点运动的方程。
哈密顿方程在某些问题的求解中更为方便和有效。
4. 应用领域分析力学作为力学的一个重要分支，在很多领域都有广泛的应用。
4.1 天体力学天体力学研究天体运动的规律，包括行星、卫星等天体的运动。
分析力学提供了描述天体运动的数学方法，通过求解动力学方程，可以预测和解释天体运动的现象。
4.2 机械系统分析力学可以应用于机械系统的研究和设计。
通过建立系统的动力学模型，可以优化机械系统的结构和运动性能，提高效率和稳定性。
分析力学简答题
分析力学简答题分析力学是理论物理学的一个分支，它使用数学抽象的方法描述物理系统的动力学行为。
与牛顿力学直接在物理空间中描述物体运动的轨迹不同，分析力学更加侧重于系统的能量和作用量等抽象物理量的变化，提供了一个更深刻、更通用的理解物理现象的框架。
分析力学主要包括两个基本的理论体系：拉格朗日力学和哈密顿力学。
拉格朗日力学拉格朗日力学是通过拉格朗日函数（Lagrangian）来描述系统的动力学。
拉格朗日函数定义为系统的动能(T)与势能(V)之差，即(L = T - V)。
系统的运动方程可以通过拉格朗日方程得到，该方程形式为：d dt (∂L∂q̇i)−∂L∂q i=0其中，(q_i)和(_i)分别是系统的广义坐标和广义速度。
通过求解这个方程，可以得到描述系统动力学行为的方程。
哈密顿力学哈密顿力学则是通过哈密顿函数（Hamiltonian）来描述系统的动力学，哈密顿函数通常被视为系统的总能量，定义为动能(T)与势能(V)之和，但在更一般的情况下，它是拉格朗日函数通过勒让德变换得到的。
哈密顿方程描述了系统状态随时间的变化：dq i dt =∂H∂p i, dp idt=−∂H∂q i这里，(q_i)是广义坐标，(p_i)是与(q_i)相对应的广义动量。
哈密顿方程提供了一种从能量守恒的角度理解物理系统的方法。
分析力学的应用分析力学不仅仅是一种理论物理学的分支，它在许多领域都有着广泛的应用。
例如，在天体物理学中，它可以用来研究行星和卫星的运动；在量子力学中，它为形式化理论提供了基础；在工程学和机械设计中，它帮助人们理解和预测系统的动力学行为。
结论分析力学通过引入拉格朗日函数和哈密顿函数这样的数学工具，为我们提供了一个强大的框架来分析和理解复杂的物理系统。
通过其优雅的数学结构，分析力学不仅加深了我们对物理世界的理解，还在理论物理学和工程技术等多个领域中发挥了重要的作用。
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1（刘延柱19-1）一半径为R 、厚度为h 、质量为m 的均质圆盘，上下面边缘处沿x 轴方向反对称的增加两个质量为m 0的质点，如图所示，计算此圆盘的转动惯量z J 和惯性积,,xy yz zx J J J 。
解：2200001220(/2)(/2)()z xy xz yz J mR m R J J J m R h R m R h R m Rh=+===+--=2（刘延柱19-2）求边长为,,a b c ，质量为m 的均质长方体对其对角线的转动惯量。
对角线长为l =对角线上的单位的单位矢量为10001123a b c e e e e l l l=++221221221()00121,,0()012100()12⎧⎫⎡⎤+⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎧⎫⎢⎥=+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥+⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭a m b c l a b c b I m c a l l l l c m a b l 11x2222222222222222222()[()()()]126()++=+++++=++m m a b b c c a a b c b c a c a b l a b c 3（刘延柱19-3）求图示质量为m ，边长为,a b 的均质矩形板对点o 的惯量矩阵。
并求a=b 时此正方形板对点o 的惯量主轴及主转动惯量。
22222222222211()122311()122311()[()()]()1222312240x y z xy yz xz b I mb m mb a I ma m ma a b I m b a m m m a b a b I m mabI I =+==+==+++=+====对0点惯量矩阵为：220221103411043100()3mb mab I mab ma m a b ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦当a =b 时，0I 简化为2011034110432003I ma ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦显然z 即为一个主方向，其他两个主方向与z 垂直，设其中一个方向与x 夹角为α，则另一个主方向与x 夹角为090α-，由于对称性，009045ααα=-⇒=。
即两个主方向为{}{}0cos 45,sin 45,0cos 45,sin 45,0-和{}1200022221122111cos 45134cos 45sin 451112sin 4543217()31212p p p I ma ma I I I I ma ma ⎡⎤-⎢⎥⎧⎫==⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎩⎭-⎢⎥⎣⎦=+-=-=4（刘延柱19-4）一厚度可以忽略不计、半径为r 、质量为m 的均质圆盘由于安装不好，其转动轴z 与圆盘的中心轴ξ有一偏角β，如图示。
试计算圆盘对()oxyz 的惯量矩阵。
其中x 轴沿圆盘径向，同时垂直于z 轴和ξ轴。
2202100410010010cos sin 000cos sin 40sin cos 0sin cos 1002ββββββββ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦mr I mr mr222100101sin sin cos 40sin cos 1cos ββββββ⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦mr 5（刘延柱19-5）222165[(4)(7)]33x y I I m a a ma ==+=222132[(4)(4)]33z I m a a ma =+=2(2)(2)4xy I m a a ma == 247()()722xz zx yz zy a aI I I I m ma ===== 2654736547332773O I ma ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦设主转动惯量为2ma λ，则6547365470332773λλλ------=---，32321033365470332773λλλλλ-------=---32100337747033273λλλλ------=--，2773210()70333λλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫----=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦27781485()0393λλ⎡⎤--+=⎢⎥⎣⎦1773λ=，2,3856333(2λ±== 237411,33λλ== 按由小到大的顺序排列，主转动惯量分别为222117477,,333ma ma ma 。
对应于1773λ=的特征矢量n 的列阵由下式确定123657747330657747033032777733n n n ⎡⎤---⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥---=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎢⎥---⎢⎥⎣⎦222123110223344704470771500n n n n n n n n n ++=⎧⎫⎧⎫---⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥---=−−−−−→=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥---⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭对应于1743λ=的特征矢量n 的列阵由下式确定 123657447330657447033032747733n n n ⎡⎤---⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥---=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎢⎥---⎢⎥⎣⎦22212311022333470437077140n n n n n n n n n ++=⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎧⎫---⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥---=−−−−−→=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥---⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎩ 对应于1113λ=的特征矢量n 的列阵由下式确定 123651147330651147033032117733n n n ⎡⎤---⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥---=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎢⎥---⎢⎥⎣⎦222123110223318470418707770n n n n n n n n n ++=⎧⎫⎧⎫--⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥--=−−−−−→=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥--⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎪⎪以下是按Mathcad 计算的过程。
A 6534-7-4-6537-7-7-323⎛ ⎝⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭:=2ma ，c eigenvals A ()113743773⎛⎝⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭→:=2ma v eigenvec A c 0,():=，v 0.4080.816⎝⎪⎪⎭==⎪⎪ 1()，v 0.577-0.577⎝⎪⎪⎭=⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 2()，v 0.7070⎝⎪⎪⎭==0⎧⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭如果采用试探的方法求出一个主方向和主值，其他两个主值便可由一元二次代数方程决定便于求解。
对于正方形板主轴方向为0⎪⎪⎩⎭和0⎧⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭，那么对于截面为正方形的棱柱，0⎪⎪⎩⎭和0⎧⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭是否还是主方向呢？先用0⎧⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭尝试，654736547332773⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦0⎧⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭=7730⎧-⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭可见，0⎧⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭的确是主轴方向，而且主转动惯量为773。
另外两个主值按不变量（关系）计算，123162543λλλ++==，12233165476565653477652453333476565323347732333773λλλλλλ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥++=--=++=⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦将1773λ=代入上面两式，得到23853λλ+=(1) 2323772453()33λλλλ++=(2) 从（1）容易得到，32853λλ=- (3) 代（3）入（2），得到227785852453()3333λλ+-=22222222227785852453()3333852453778503333858140391174()()033λλλλλλλλ+-=-+-=-+=--=可以得到2743λ=，1113λ=。
6 （刘延柱19-6）均质细杆AB 长l ，重W ,其中点与转动轴CD 刚联接，设03ox 沿CD ，1113()Ox x 在AB 与CD 形成的平面，写出杆AB 相对0123()Ox x x 的惯量椭球方程。
杆AB 相对0123()Ox x x 的惯量矩阵为22010012cos 0sin cos 0sin 10100001012sin 0cos sin 0cos 00θθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦mlI ml2cos 00cos 0sin 01001012sin 00sin 0cos θθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ml 222cos 0sin cos 01012sin cos 0sin 0θθθθθ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ml 惯量椭球方程为()()()()222220020002123131[cos sin 2sin cos ]12θθθθ++-=ml x x x x x k 7(刘延柱19-7) 均质杆AB 长l ，重W ，其一端绕水平轴A 在铅锤平面内摆动，同时绕铅锤轴z 转动。
设在某一瞬时，AB 与铅锤线成θ角，角速度分别为1ω和2ω，如图。
求此瞬时杆AB 的动能以及对点A 的动量矩。
角速度为1011112311223(sin cos )ωθωωωθθ=+=-+e e e e e角速度分量列阵为122sin cos ωωωθωθ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭杆AB 对A 点的转动惯量在本体系下的分量构成的矩阵为2210031003000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ml I ml3ωθθ13x 03x 02x 12x 01x 11x 垂直于纸面杆AB 的动能为 22221211(sin )26ωωωωθ==+T A T I ml 杆AB 的动量矩在本体系下的分量列阵为1221sin 30ωωωθ⎧⎫⎪⎪==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭A A H I ml杆AB 的动量矩为2111122210201122231(sin )31(sin cos sin cos )3ωωθωωθθωθθ=-=++A H ml e e ml e e e8（刘延柱19-8） 一顶角为060的均质正圆锥体在平面上绕其顶点O 无滑动匀速滚动如图。
已知圆锥体质量为m ，底面半径为r ，底面中心1o 的速度为1v 。
求其动能及对点o 的动量矩。
11cos cos C v r r v r ωωβωβ⨯==→==112sin 2tan cos 3e v v r rβωωββ===1124cos cos 3r v v r rωωββ===13cos v rωωβ==,23sin tanωωβωβ===ωω222122222233(4)()8041139(312)[3)]202020==++=+=+=I I m r h m h m r h m r mr23310I mr =222121311119(tan )()2240v T I v I mv r r β=+= 1111102123312311(tan )()(1336)20v H I v e I e mrv e e r r β=+=+9（刘延柱19-9）图示匀质杆AB ，质量为m ，长2b ，相对于过质心的水平轴以2ω转动，整个系统绕铅锤轴以1ω转动，求杆AB 对点O 的动量矩及动能。