高考数学(文)全程复习课件：3.8正弦定理、余弦定理应用举例
合集下载
高考数学一轮复习 3.8 正弦定理、余弦定理的应用举例
点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问 骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此 时他驾驶摩托车行驶了多少公里？
解：作 MI 垂直公路所在直线于点 I，则 MI＝3， ∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝45 设骑摩托车的人的速度为 v 公里/小时，追上汽车的时间为 t 小时 由余弦定理(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×45
⇒v2＝2t25－40t 0＋2500＝251t －82＋900≥900. ∴当 t＝18时，v 的最小值为 30，∴其行驶距离为 vt＝380＝145 公里， 故骑摩托车的人至少以 30 公里/小时的速度行驶才能实现他 的愿望，他驾驶摩托车行驶了145公里.
考点2 测量高度问题 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、
－1)2＋22－2·( 3－1)·2·cos 120°＝6，
∴BC＝ 6，
且
sin∠ABC＝ABCC·sin∠BAC＝
26·23＝
2 2.
∴∠ABC＝45°，∴BC 与正北方向垂直．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝BD·siCn∠D CBD＝10t1s0in 132t 0°＝12， ∴∠BCD＝30°. 即缉私船沿东偏北 30°方向能最快追上走私船．
俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识， 先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解 决．
为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单 位研究出一种新的弹射型气象仪器，这种弹射型仪器可以弹射到 空中进行气象观测．如图所示，假设这种仪器在 C 地进行弹射实
验，在 A，B 两地进行观察弹射效果．已知 A，B 两地相距 100 米，∠BAC＝60°，在 A 地听到弹射声音的时间比在 B 地晚127秒．在 A 地测得该仪器在 C 处时的俯角为 15°，在弹射最高点 H 处的仰 角为 30°.
高考数学理一轮总复习教师课件3.8正弦定理和余弦定理的应用举例
思考探究 1．仰角、俯角、方位角有何区别？ 提示：三者的参照位置不同．仰角与俯角是相对于水
平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．
3．方向角：相对于某一正方向的角(如图③)．
(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．
(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°. (3)其他方向角类似．
B两点的距离为(
A．50 2 m C．25 2 m
)
B．50 3 m 25 2 D. m 2
AB AC 解析：选 A.由正弦定理得 ＝ ， sin∠ ACB sinB 2 50× AC· sin∠ ACB 2 ∴AB＝ ＝ ＝50 2 (m)． sinB 1 2
4.我舰在钓鱼岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现 敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速 度航行，我舰要用 2 小时追上敌舰，则需要的最小速
解：在△ ACD 中，已知 CD＝ a，∠ ACD＝ 60° ，∠ ADC＝ 60° ，所以 AC＝ a. ∵∠ BCD＝30° ，∠ BDC＝ 105° ，∴∠ CBD＝45° . asin105° 3＋ 1 在△ BCD 中，由正弦定理可得 BC＝ ＝ a. sin45° 2 在△ ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为∠ ACB＝ 30° ， 所以利用余弦定理可以求得 A， B 两点之间的距离为 2 AB＝ AC ＋ BC － 2AC· BC· cos30° ＝ a. 2
度为________．
答案：14海里/小时
考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 测量距离
例1
如图， A、 B、 C、 D 都在同一个与水平面垂直的平面
内， B、 D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° 、30° ，于水面 C 处测 得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ， AC＝ 0.1 km.试探究图中 B、 D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B、 D 两点间 的距离 (计算结果精确到 0.01 km， 2≈ 1.414， 6≈ 2.449)．
余弦定理正弦定理应用举例课件高三数学一轮复习
2.方位角 从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角.如点B的方位角为α(如图②). 微点拨 仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对正北方向而言的.
3.方向角 相对某一正方向的水平角,即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线 一般是指正北或正南方向,方向角小于90°).如北偏东α,南偏西α.特别地,若目标方 向线与指北或指南方向线成45°角,则称为东北方向、西南方向等. (1)北偏东α,即由__指_北__方__向__顺__时__针__旋__转__α__到达目标方向(如图③); (2)北偏西α,即由__指_北__方__向__逆__时__针__旋__转__α__到达目标方向; (3)南偏西等其他方向角类似.
留宇宙秘密的最后遗产”,若要测量如图所示某蓝洞洞口边缘A,B两点CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,
∠ACB=120°,则A,B两点的距离为
海里.
考点二测量高度问题 [例2](1)如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建 筑物AB,高约为37 m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼 顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的 高度约为( )
核心考点·分类突破
14
解题技法 距离问题的类型及解法
(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达. (2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长 问题,从而利用正、余弦定理求解.
对点训练
1.(2023·青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保
第六章 平面向量、复数
第2课时 余弦定理、正弦定理应用举例
3.方向角 相对某一正方向的水平角,即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线 一般是指正北或正南方向,方向角小于90°).如北偏东α,南偏西α.特别地,若目标方 向线与指北或指南方向线成45°角,则称为东北方向、西南方向等. (1)北偏东α,即由__指_北__方__向__顺__时__针__旋__转__α__到达目标方向(如图③); (2)北偏西α,即由__指_北__方__向__逆__时__针__旋__转__α__到达目标方向; (3)南偏西等其他方向角类似.
留宇宙秘密的最后遗产”,若要测量如图所示某蓝洞洞口边缘A,B两点CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,
∠ACB=120°,则A,B两点的距离为
海里.
考点二测量高度问题 [例2](1)如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建 筑物AB,高约为37 m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼 顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的 高度约为( )
核心考点·分类突破
14
解题技法 距离问题的类型及解法
(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达. (2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长 问题,从而利用正、余弦定理求解.
对点训练
1.(2023·青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保
第六章 平面向量、复数
第2课时 余弦定理、正弦定理应用举例
2014高考一轮复习课件_3.8正弦定理、余弦定理的应用举例
【解】 在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－ ∠ADC＝60°，CD＝6 000，∠ACD＝45°， CDsin 45° 根据正弦定理AD＝ ＝ sin 60° 2 CD， 3
在△BCD中，CD＝6 000，∠BCD＝30°， ∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°， CDsin 30° 2 根据正弦定理BD＝ ＝ CD. 2 sin 135° 又△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°， 2 1 2 2 AB＝ AD ＋BD ＝ ＋ CD＝1 000 42， 3 2 实际所需电线长度约为1.2AB≈7 425.6(m).
【思路点拨】
用|AC|表示|BC|，在△ABC中，根据余
弦定理列方程求|AC|，在△ACH中，求|CH|.
【尝试解答】 由题意，设|AC|＝x， 2 则|BC|＝x－ ×340＝x－40， 17 在△ABC中，由余弦定理得： |BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|· |CA|· cos∠BAC， ∴(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420. 在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90 °， 所以|CH|＝|AC|· tan∠CAH＝140 3. 答：该仪器的垂直弹射高度CH为140 3米．
应积极备考．
思想方法之八
构建三角形模型解决实际应用问题
(2013·清远模拟)某港口O要将一件重要物品用小艇
送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口
O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/ 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方 向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相 遇．
1 ＝300＋1200－2×10 3×20 3× ＝900. 2 ∴CD＝30(海里)． 30 则需要的时间t＝ ＝1(小时)． 30
高考第一轮课件(3.8正弦定理、余弦定理的应用举例)
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
1 1 1 2 2 2 面积公式 S 1 ah 1 bh 1 ch (h为相应边上的高)的变形.( 2 2 2 (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［0, ］( ) . 2
(1)面积公式中 S bcsin A absin C acsin B， 其实质就是 )
为边a,b,c上的高.
（1）已知一边和这边上的高:
1 1 1 S ah a bh b ch c . 2 2 2
（2）已知两边及其夹角：
1 1 1 S absin C acsin B bcsin A. 2 2 2
（3）已知三边：
其中 p a b c . S p p a p b p c ,
又 BAC ,
3 1 cos BAC , 2
∴bc=4,
1 S ABC＝ bcsinBAC 3. 2
又∵O为△ABC中线AD的中点,
故 S OBC
1 3 S ABC . 2 2
【拓展提升】三角形的面积公式
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，ha,hb,hc分别
故b2+c2=89,得(b+c)2=169.
又b>0,c>0,∴b+c=13,
故△ABC的周长为20.
【互动探究】若将本例题(1)中“ OA OB OC 0 ”改为“O
为△ABC中线AD的中点”，其他条件不变，则△OBC的面积又 该如何求解?
【解析】由 AB AC 2 得cbcos A=2.
2
3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，
正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)
正弦定理是三角形中一个基本的数学定理，用于描述三角形各边与其对应角的正弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
THANKS
感谢观看
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
THANKS
感谢观看
高考数学一轮复习 38 正弦定理和余弦定理的应用课件 文
• (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在 的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把 未知量放在另一确定三角形中求解．
• (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择 更便于计算的定理．
• 1.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米 的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时 测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30° 的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上， 且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)
答案：4300
测量距离问题(师生共研)
• 例1 某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发 有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31 千米的公路上B处有一人正沿此公路向A处走，走20千米 到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有 多少千米？
解析 如题图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B＝3122×＋3210×2－22012＝2331，
解析：设 AD＝x，则 BD＝9－x，CD＝ 92＋9－x2，在△ACD 中
应用正弦定理得sin∠CDDAC＝sin∠ADACD，即
92＋9－x2＝ 2
x， 26
2
26
所以 2[92＋(9－x)2]＝26x2，即 81＋81－18x＋x2＝13x2，所以 2x2＋
第八节 正弦定理和余弦定理的应用
• 最新考纲展示 • 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与
测量和几何计算有关的实际问题．
• 实际应用中的常用术语
• 1．仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对 于正北方向而言的．
• 2．利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯 一确定一点的位置．
• (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择 更便于计算的定理．
• 1.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米 的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时 测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30° 的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上， 且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)
答案：4300
测量距离问题(师生共研)
• 例1 某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发 有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31 千米的公路上B处有一人正沿此公路向A处走，走20千米 到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有 多少千米？
解析 如题图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B＝3122×＋3210×2－22012＝2331，
解析：设 AD＝x，则 BD＝9－x，CD＝ 92＋9－x2，在△ACD 中
应用正弦定理得sin∠CDDAC＝sin∠ADACD，即
92＋9－x2＝ 2
x， 26
2
26
所以 2[92＋(9－x)2]＝26x2，即 81＋81－18x＋x2＝13x2，所以 2x2＋
第八节 正弦定理和余弦定理的应用
• 最新考纲展示 • 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与
测量和几何计算有关的实际问题．
• 实际应用中的常用术语
• 1．仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对 于正北方向而言的．
• 2．利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯 一确定一点的位置．
高考数学总复习 专题03 第8节 正弦、余弦定理的应用举例课件 理
故所求的塔高为130(3－ 3)米．
点拨 在测量高度与角度问题中，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意 图，将已知条件逐步转化到同一三角形中，恰当地选择正、余弦定理求解.
高考体验
1. 从近两年课改地区的高考试题来看，本部分既考查选择、填空题， 又考查解答题，分值 4～12 分，属于中低档题．
考点三 正弦、余弦定理在测量高度与角度问题中的应用 【例3】 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东 北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．
解 如图，在△BCD 中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，
由正弦定理得sin∠CDDBC＝sin∠BDBCD，∴BD＝4s0insin13350°°＝20 2.
tan B A tan B
2
。
由
（1）
，得
1
4 tan A 3tan2
A
2
，解得
tan
A=1，tan
A=
1 3
。
∵
cos
A>0
，∴
tan
A=1。∴
A=
4
。
9.【2012 高考真题四川理 4】如图，正方形 ABCD 的边长为1，延长BA至
E ，使 AE 1，连接 EC 、 ED 则sin CED （ ）
【答案】
练习巩固
1. 在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60°，C 点的俯角为 70°，则∠BAC＝( ) A. 10° B. 50° C. 120° D. 130
解析：如图，由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋ 70°＝130°.
答案：D
高考数学 38正弦定理和余弦定理的应用举例领航课件 文 新人教A版共45页PPT
高考数学 38正弦定理和余弦定理的应 用举例领航课件 文 新人教A版
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
拉
60、生活的道路一旦仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
拉
60、生活的道路一旦仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
高考数学 3-8正弦定理和余弦定理的应用举例领航课件 文 新人教A版
A．5海里 C．10海里 答案：C
4．(课本精选题)如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角 为45° ，沿倾斜角为30° 的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶 的仰角为60° ，则山的高度BC为________m.
答案：500( 3＋1)
5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里， ∠BAC＝60° ，∠ABC＝75° ，则B，C间的距离是________海 里． 解析：由正弦定理，知 5 6(海里)． 答案：5 6 BC AB ＝ .解得BC＝ sin 60° sin180° －60° －75°
【解】 如图，设电视塔AB高为x m， 则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45° 得BC＝x， 在Rt△ADB中，∠ADB＝30° ， ∴BD＝ 3x. 在△BDC 中，由余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BC· CD· cos 120° ， 即( 3x)2＝x2＋402－2· x· 40· cos 120° ， 解得x＝40，∴电视塔高为40米．
解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60° ，∠ADC＝645° asin 105° 3＋1 在△BCD中，由正弦定理可得BC＝ ＝ a. sin 45° 2 在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30° ，所以利 用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝ 2 AC ＋BC －2AC· BC· cos 30° ＝ a. 2
①北偏东α° 即由指北方向顺时针旋转α° 到达目标方向． ②北偏西α° 即由指北方向逆时针旋转α° 到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．
4．坡度 ①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡 角)．
②坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．
相关主题