线弹性动力学变分原理

将式(1.28)代入式(1.27)得到普遍意义下的哈 哈密 顿 原 理 ：
第1章 线弹性动力学变分原理
7
1.3
哈密顿原理
t2 t2 t1 t2 t1 V V
将式(1.24)在时间间隔 t1 到 t2 之间对时间 t 积分：
−
t1 V
δui ρu ¨i dV dt −
δεij σij dV dt+
¯ f i δui dV dt +
t2 t1 Sσ
¯i δui dS Baidu Nhomakorabeat = 0 T
在V 中
(1.1) (1.2) (1.3)
在Sσ 上 在Su 上
(1.4) (1.5) (1.6) (1.7)
初始条件
ui |t=0 =
˙0 u ˙ i |t=0 = u ¯ i
¯ ¯i 和u 其中σij 、 εij 和ui 分别为应力张量、 应变张量和位移矢量， f T ¯i 分别是域V 中 i、
N
ui =
I =1
φI aiI
(1.11)
其中aiI 为待定参数，它们由式(1.10)确定。φI 为定义在整个求解域上的已知函 数，称为试 试 探 函 数（trial function） （或基函数、形函数） ，它取自完全的函数序 列（即任一函数都可以用此函数序列展开） ，并且是线性独立的。加权余量法实 质上是通过选择合适的待定参数强迫余量在某种平均意义下为零。 任何相互独立的完备函数集都可以作为权函数，选取不同的权函数就得到 不同的加权余量法。为了简单起见， 在下面的讨论中， 假设近似函数精确满足边 ¯ 界条件（即Ri = 0） ，因此只考虑域内余量。权函数可以取为N 个函数的线性组 合， 即
图 1.1 弹性基础梁
解： 图示弹性基础梁的基本微分方程和边界条件为 4 d w dx4 + αw + 1 = 0 − 1 ≤ x ≤ 1 w(−1) = 0 w(1) = 0
(1.21)
上 式 采 用 了 无 量 纲 形 式， 其 中 无 量 纲 参 数 x 、 w 和 M 应 分 别 乘 上 系 数 L/2、 pL4 /(16EI ) 和 pL2 /4 才 是 实 际 的 坐 标、挠 度 和 弯 矩。参 数
N
vi =
I =1
WI biI
(1.12)
式中biI 为待定系数。将上式代入式(1.10)中， 考虑到待定系数biI 的任意性， 得：
Ri WI dV = 0
V
i = 1, 2, 3; I = 1, 2, · · · , N
(1.13)
下面将讨论几种常用的权函数。
第1章 线弹性动力学变分原理
3
1.1.1
ρ d (δui u ˙ i ) − δu ˙ iu ˙ i dtdV dt
t t2 V t1
t1
=−
V t2
ρ(δui u ˙ i )|t2 dV + 1
ρδu ˙ iu ˙ i dtdV (1.28)
=
t1
δT dt
1 2
其中 T 为弹性体的动能：
T =
ρu ˙ iu ˙ i dV
V
(1.29)
2
计算动力学
精确满足运动方程(1.1)和边界条件(1.4)， 即
¯ Ri = σij,j + f ¨i = 0 i − ρu ¯ i = σij nj − T ¯i = 0 R
在V 中 在Sσ 上
(1.8) (1.9)
¯ i 分别为运动方程(1.1)和边界条件(1.4) 的余量。 式中Ri 和R
加权余量法（weighted residual methods）是求解微分方程近似解的一种常 用方法，它允许运动方程和边界条件在各点都存在余量，但要求这些余量在 域V 中和边界Sσ 上的加权积分为零， 即要求满足余量方程：
1.1.2
子域法
权函数在N 个子域VI 内取为1， 而在子域VI 外取为零， 即
WI = 1 x ∈ VI 0 x ∈ / VI I = 1, 2, · · · , N (1.16)
子域法的实质是强迫余量在这N 个子域VI 的积分为零。
1.1.3
最小二乘法
∂ ∂aiI ∂Ri dV = 0 ∂aiI
R1 (x, a1 ) = −a1 − α 1. 配点法 a1 (5 − x2 )(1 − x2 ) + 1 24 5α a1 + 1 = 0 24
−1
要求在 x = 0 处余量为零， 即
R1 (0, a1 ) = −a1 −
得
a1 = 1+ 5α 24
第1章 线弹性动力学变分原理 2. 子域法
5
最小二乘法要求调整近似函数中的参数aiI ， 使余量的均方和为最小， 即
V 2 Ri dV = 2
Ri
V
(1.17)
与式(1.13)相比， 可知最小二乘法的权函数为
WI = ∂Ri ∂aiI I = 1, 2, · · · , N (1.18)
1.1.4
伽辽金法
伽辽金法利用近似解的试探函数序列φI 作为权函数， 即
第1章 线弹性动力学变分原理
为了讨论方便，本书采用小写字母下标i, j 表示与各空间坐标方向对应的物 理量， 如用xi 表示(x, y, z )， 用ui 表示(u, v, w)。线弹性动力学的控制方程为： 运动方程 应变-位移关系 应力-应变关系 边界条件
¯ σij,j + f ¨i i = ρu εij = 1 (ui,j + uj,i ) 2 σij = Dijkl εkl ¯i σij nj = T ui = u ¯i u ¯0 i
要求余量在区域中的积分为零
1
R1 dx = −a1 −
−1
2α a1 + 1 = 0 15
−1
得
a1 = 3. 最小二乘法 1+ 2α 15
∂R1 α = −1 − (5 − x2 )(1 − x2 ) ∂a1 24
由
1 −1
1 R1 ∂R ∂a1 dx = 0 得
a1 = 4.
1 −1
1+
2α 15
¯ δui (σij,j + f ¨i )dV − i − ρu
V Sσ
¯i )dS = 0 δui (σij nj − T
(1.22)
6
计算动力学
式中的积分在 t 瞬时遍及整个区域 V 和 Sσ 。利用分部积分，并考虑到 δui |Su =
0（在Su 处位移ui 已知， 其变分为零） ， S = Sσ ∪ Su ， δui,j σij = δεij σij ， 有
δui σij,j dV =
V V
[(δui σij ),j − δui,j σij ]dV
=
S
δui σij nj dS −
V
δεij σij dV δεij σij dV
V
=
Sσ
δui σij nj dS −
(1.23)
将式(1.23)代入式(1.22)， 最终得
−
V
δui ρu ¨i dV −
α 1 10 100 1000
精确解
0.1788 0.07836 0.01134 0.001025
配点法
0.1724 0.06757 0.00954 0.000995
子域法
0.1838 0.08929 0.01453 0.001551
伽辽金法
0.1790 0.07891 0.01197 0.001262
1 (δui,j + δuj,i ) 2 =0 (1.25) (1.26)
在导出达朗贝尔-拉格朗日原理时， 未涉及物理方程（应力-应变关系） ， 所以 达朗贝尔-拉格朗日原理不仅可以用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及 弹塑性等非线性问题。 如果一个函数及其直至n − 1阶导数连续， 其第n阶导数具有有限个不连续点 但在域内可积，则将其称为具有Cn−1 阶连续性的函数。具有Cn−1 阶连续性的函 数将使包含该函数直至其n阶导数的积分项成为可积。 式(1.24)为运动方程(1.1)和边界条件(1.4)的等效积分“弱”形式，它所包含 的位移函数ui 对坐标导数的最高阶次为1， 比式(1.22)降低了一阶。为了使各项可 积，式(1.24)中的位移函数ui 必须具有C0 阶连续性，而式(1.22)中的位移函数必 须具有C1 阶连续性。可见达朗贝尔-拉格朗日原理降低了对位移函数ui 连续性的 要求，更便于构造近似解。可以证明，如果试探函数取自完全的函数序列（即具 有完备性） ，并满足连续性要求，则当试探函数的项数不断增加时，近似解可趋 近于精确解。
1+
4α 62α2 + 15 2835
−1
伽辽金法
1 (5 − x2 )(1 − x2 )，由 余 量 方 程 权 函 数 取 为 φ1 = − 24 a1 = 1+ 31α 189
−1
R1 φ1 dx = 0 得
表1.1比较了以上各种方法得到的在 x = 0 处的挠度值和精确解。
表 1.1 用各种加权余量法求解弹性基础梁的挠度
V
δεij σij dV +
V
¯ f i δui dV +
Sσ
¯i δui dS = 0 T
(1.24)
式中第一项为惯性力系的虚功， 第二项为内力系的虚功， 最后两项为外力系的虚 功。上式即为线弹性动力学的达 达 朗 贝 尔 -拉 格 朗 日 原 理 ，它表明力系（外力、内 力、惯性力）在虚位移δui 和虚应变δεij 上所作的虚功和为零。虚位移δui 和虚应 变δεij 应满足如下条件 δεij = δui |su
最小二乘法
0.1832 0.08304 0.05818 0.006068
从表1.1可以看出， 随着α的增大， 近似解的误差逐渐增大。
1.2
达 朗 贝 尔 -拉 格 朗 日 原 理
利用加权余量法，将权函数vi 和v ¯i 分别取为真实位移的变分δui 及其边界值 的负值， 则得运动方程(1.1)和力边界条件(1.4)的等效积分形式
Ri vi dV +
V Sσ
¯iv R ¯i dS = 0
(1.10)
式中， vi 和v ¯i 分别为定义在域V 和边界Sσ 上的权 权函 数（test function） 。 若积分方程(1.10)对任意权函数vi 和v ¯i 都成立，则微分方程(1.1)在域V 内任 一点任一时刻都满足，边界条件(1.4)在边界Sσ 上任一点任一时刻都满足，因此 式(1.10)是微分方程(1.1)和边界条件(1.4)的等效积分形式。 一般可将近似解取为一族已知函数的线性组合， 即
α = kL4 /(16EI )， k 为基础刚度系数， EI 为梁抗弯刚度。
作为一级近似，把试探函数 φ1 取为当 α = k = 0 时的精确解，即 φ1 (x) = 1 − 24 (5 − x2 )(1 − x2 )。近似解为 a1 w1 (x) = φ1 a1 = − (5 − x2 )(1 − x2 ) 24 上式满足边界条件，因此只有域内存在余量。把上式代入式(1.21)中，得到 微分方程的残差为
的体力、边界Sσ 上的给定面力和边界Su 上的给定位移，它们都是时间t和空间 ˙0 坐标xi (i = 1, 2, 3)的函数。u ¯0 ¯ i 和u i 分别为初位移矢量和初速度矢量。本章中采 用了重复指标求和约定，即重复下标表示对该下标在其取值范围内求和，见附 录A。
1.1
加权余量法
对于一些简单问题，可以采用解析方法求出其精确解，它在域V 中任一点任 一时刻均满足运动方程(1.1)， 在边界Sσ 上任一点任一时刻均满足边界条件(1.4)。 然而， 对于复杂的实际问题， 只能采用数值方法来求其近似解。近似解通常不能
配点法
权函数取为Dirac-δ函数：
WI = δ(x − x I ) I = 1, 2, · · · , N (1.14)
将上式代入式(1.13)中， 并利用Dirac-δ函数的性质可得：
Ri (x I ) = 0 i = 1, 2, 3; I = 1, 2, · · · , N (1.15)
这种方法相当于简单地强迫余量在域内的N 个离散点（称为配点）上为零。 上式共有3N 个方程， 可以解出3N 个待定系数aiI 。
WI = φI (1.19)
相应的余量方程为：
Ri φI dV = 0
V
i = 1, 2, 3; I = 1, 2, · · · , N
(1.20)
4
计算动力学
在许多情况下， 伽辽金法得到的求解方程的系数矩阵是对称的， 因而在用加 权余量法建立有限元格式时主要采用伽辽金法。另外当存在相应的泛函时， 伽辽 金法与变分法往往给出同样的结果。 例 1-1 用各种加权余量法求解图1.1中弹性基础梁的挠度。
(1.27)
对 上 式 第 一 项 进 行 分 部 积 分，并 给 定 ui 在 t = t1 和 t = t2 时 刻 的 值(即 δui |t=t1 = 0，δui |t=t2 = 0)， 得
t2 t2 V t1 t2
−
t1 V
δui ρu ¨i dV dt = −
=−
V
δui ρu ¨i dtdV