高一数学3.1不等关系学案苏教版必修5

合集下载

3.1《不等关系》教案(苏教版必修5)

一般高中课程标准实验教科书—数学必修五 [苏教版 ]§3.1 不等关系教课目的（1）经过详细情形，感觉在现实世界和平时生活中存在着大批的不等关系，认识不等式（组）的实质背景；（2）经历由实质问题成立数学模型的过程，领会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）经过解决详细问题，领会数学在生活中的重要作用，培育谨慎的思想习惯．教课要点，难点(1)经过详细情形，成立不等式模型；(2)掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．教课过程一．问题情境在平时生活、生产实质和科学研究中常常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反应在数目关系上就是相等与不等两种状况，比如：(1) 某博物馆的门票每位10 元， 20 人以上 (含 20 人 )的集体票 8 折优惠．那么不足20 人时，应当选择如何的购票策略?(2) 某杂志以每本 2 元的价钱刊行时，刊行量为10 万册．经过检查，若价钱每提升0.2 元，刊行量就减少 5000 册．要使杂志社的销售收入大于22.4 万元，每本杂志的价钱应定在如何的范围内？(3)下表给出了三种食品 X , Y , Z 的维生素含量及成本：维生素 A (单位/kg)维生素 B (单位/kg)成本(元/kg)X3007005Y5001004Z3003003某人欲将这三种食品混淆成100kg 的食品，要使混淆食品中起码含35000 单位的维生素A 及40000单位的维生素 B ，设 X , Y 这两种食品各取x kg，y kg，那么 x ,y应知足如何的关系？2．问题：用如何的数学模型刻画上述问题？二．学生活动在问题 (1)中 , 设x人 ( x20 )买20人的集体票不比一般票贵,则有8 2010x ．在问题 (2) 中 , 设每本杂志价钱提升x元 , 则刊行量减少x5x0.5万册 , 杂志社的销售收0.22入为 (2 x)(105x) 万元．依据题意，得(2 x)(105x)22.4 ，22化简，得 5x210x 4.80 ．在问题 (3) 中 , 由于食品X, Y分别为x kg，y kg，故食品Z为(10x y) kg，则有300x 500y 300(100 x y) 35000, y 25, 700x 100y300(100 x y) 40000,即y 50.2x上边的例子表示，我们能够用不等式 (组 )来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式 ,常用 (，，，，) 表示不等关系 .三．建构数学1．成立不等式模型：经过详细情形，对问题中包括的数目关系进行仔细、仔细的剖析，找出此中的不等关系，并由此成立不等式．问题 (1)中的数学模型为一元一次不等式 , 问题 (1) 中的数学模型为一元二次不等式 , 问题 (1)中的数学模型为线形规划问题．2．比较两实数大小的方法——作差比较法：比较两个实数 a 与 b 的大小，归纳为判断它们的差a b 的符号；比较两个代数式的大小，其实是比较它们的值的大小，而这又归纳为判断它们的差的符号．四．数学运用1．例题：例 1．某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种．依据生产的要求， 600mm 钢管的数目不可以超出 500mm 钢管的 3 倍．如何写出知足上述全部不等关系的不等式呢？500mm 钢管 x 根，截得的 600mm 钢管 y 根．解：假定截得的500 x 600 y 4000,3x y, 依据题意，应有以下的不等关系：x N , y N .说明：要点是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．例 2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每 100 克含蛋白质 6 个单位，含淀粉 4 个单位；米饭每 100 克含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位．某快餐企业给学生配餐，现要求每盒起码含 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭 y 百克，试写出 x, y 知足的条件．6x 3y 84x 7 y 10解： x, y 知足的条件为0 ．xy例 3．比较大小：（1） ( a 3)(a 5) 与 (a2)( a 4) ；（ 2）am与 a（此中 b a 0 ， m0 ）．b m b剖析：本题属于两代数式比较大小，其实是比较它们的值的大小，能够作差，而后睁开，归并同类项以后，判断差值正负，并依据实数运算的符号法例来得出两个代数式的大小．解：（ 1） (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) (a 2 2a 15) (a 22a 8)7 0∴ (a 3)( a 5) ( a 2)( a 4) ．（2）am a b(am) a(b m)m(b a) ， bm bb(b m)b(b m)∵ b a0 ， m 0 ，∴ m(ba) 0 ，因此am a ．b(bm)bm b说明：不等式am a（ b a 0 ， m0 ）在生活中能够找到原型： b 克糖水中有 a 克bmb糖（ b a 0 ），若再增添 m 克糖（ m 0 ），则糖水便甜了．例 4．已知 x 2, 比较 x 3 11x 与 6x 26 的大小．解： x 311x (6 x 2 6)x 3 3x 23x 2 11x 6 x 2 ( x3) ( 3x 2)( x 3)= (x 3)( x2)( x 1) ----------------- （ * ）（ 1）当 x3时，（ *）式 0 ，因此 x 3 11x 6 x 2 6 ；（ 2）当 x 3时，（ *）式 0 ，因此 x 3 11x 6x 26 ；（ 3）当 2 x 3时，（ *）式 0 ，因此 x 3 11x 6 x 26说明： 1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，此中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．2．练习：（ 1）比较 (x 5)( x 7)与 (x 6) 2 的大小；（2）假如 x0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小．五．回首小结：1．经过详细情形，成立不等式模型；2．比较两实数大小的方法——求差比较法．六．课外作业：课本第 68 页练习第 1， 2，3 题（“不求解”改为“并求解” ）．增补：1．比较 a 2b 2c 2 与 ab bc ca 的大小；2．已知 a0, b0, 且 aa 2b 2 b 的大小．b ，比较与 aba。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3．1 不等关系》

“不等关系〞教学实录及反思王君愚〔苏州市第三中学215001〕1根本情况分析学情分析本节课授课班级为苏州三中高一〔10〕班，该班学生思维比拟活泼，有一定的运算能力、抽象概括能力和推理论证能力此前该班学生排练了课本剧?鸿门宴?，本节课正好以此为主线，串联整节内容教学目标〔1〕通过具体情景，知道日常生活中存在着大量的不等关系〔2〕以问题替代例题学生根据实际问题会列出不等式，并解决一些简单问题教学重点通过具体情景，建立不等式模型教学难点用不等式〔组〕正确表示出不等关系2教学过程2. 1创设情境，引入概念师：在现实世界和日常生活中，我们经常会进行比拟,具体会比拟哪些？生：长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小等等师：比拟的结果可概括为哪两种呢？生：相等和不等师：实际上，生活中存在着大量的不等关系不妨让我们一起感受一下幻灯片：播放学生收集的不等关系素材，展示相应学生的?鸿门宴?的剧组照片设计意图：此环节已经提前布置给学生通过网络搜集不等关系的素材，展现给大家幻灯片1:德国队员平均身高不低于183cm师：请同学用数学符号表示其中的不等关系生1：H183师：很好，此处用了大于等于表达了其中的不等关系幻灯片2：师：这是一组交通标识牌，有怎样的不等关系呢？生2：师：很好我们当然要能看懂这些标记，遵守交通法规幻灯片3:翘翘板的图片师：同学说说翘翘板中的不等关系生3：其实翘翘板就是通过不断改变两端的重量来工作的师：很好，我们的祖先很早就发现了这种不等关系，并利用相关原理制造了一些机械工具幻灯片4：木桶原理的图片师: 著名的木桶原理，有怎样的不等关系呢？生：木桶能装水的高度≤最短板的高度师：很好，木桶原理，又称短板效应它启示我们：一个集体的好坏不是取决于能力素质最强的那个成员，而是取决于能力素质最弱的那个成员只有我们每一个个体能力素质得到增强，整体的素质才有可能得到增强；只有每一个个体相互间都能够做到团结互助，整体的素质才会得到进一步的提高和增强2. 2抽象模型，建构概念师：大家在答复上面的不等关系时，有没有注意到一些关键性的词语呢？生：不低于、不超过、不小于、介于……之间、等等师：这些词语很重要，它是我们准确表示不等关系的关键我们把它们叫做不等关系词，我们需要准确地区分这些不等关系词，比方高于的不等关系符号是“>〞，还有不大于就是“≤〞等等师：很感谢这们多同学发来的素材，大家注意到没有，在介绍这些素材时，我釆用了大家在课本剧?鸿门宴?拍摄的剧照本节课的研究我们还是鸿门宴谈起2. 3例题示范，应用概念问题1：?鸿门宴?普通票，每位60元团体票：50人以上〔含50人〕，8折优惠那么缺乏50人时，看?鸿门宴?是买团体票划算还是买普通票划算？师：我们知道，当人数超过50人获等于50人时，肯定买团体票划算那么当人数少于50人时，是不是一定要买普通票呢？大家不妨讨论一下生：设看电影的学生有人〔50×60×时，买团体票划算，所以>40答：>40时买团体票划算；a>0〕，假设再添上m克盐〔m>0〕，那么盐水变咸了，还是变淡了？请你根据事实，提炼出一个不等式？生：师：很好既然这是个事实，那么也就说明这个不等式是成立的我们如何来证明？生4：，，即原式成立师：非常好这是证明不等式的常见方法----比拟法能否总结一下两个实数比拟大小的依据？生：〔教师白板书写〕师：可见，我们如果用数学知识来诠释生活哲理，生活将变得韵味无穷设计意图：这是一个生活中的常识学生通过合情推理的方法得到不等式，然后教师再引导学生利用演绎推理，使用“作差法〞证明了这个不等式，表达了数学的严谨性问题3?鸿门宴?宣传画册原以每本元的价格销售，可售出8万本据市场调查，假设单价每提高元销售元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于2021？生5：这里面的不等关系是：总收入2021师：恩，这里的关系较为复杂，是否可以分步写出，首先定价设为元，销售量减少生5：师：那么销售量为生5:本师：大家看看式子对不对？生5：应该注意单位名称的统一销售量为万本，因此可列出不等式设计意图从这个实际问题中让学生懂得售价、本钱、利润、销售额等概念，理清各量之间的关系主要培养学生解决问题的灵活性通过学生板书，强调解题标准性让学生理解和掌握利用不等关系建立一元二次不等式数学模型解决实际问题问题4?鸿门宴?剧组为影片上映做宣传，准备制作宣传海报，宣传海报由钢管支撑，要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？生6: 设500mm和600mm的钢管分别为根，根要有，其次师：大家注意一下，他写的条件对不对？生7：4000mm的钢管不一定全部用完，应该是师：很好，还有补充吗？生7：考虑到实际问题，都应为正整数师：播放幻灯片师：大家不妨再思考一个问题，如果500mm的钢管卖2021根，600mm的钢管卖30元一根，如果你是负责销售钢管的，你希望有怎样的结果？生：要最大师：很好，有兴趣的同学可以回去探讨一下，如何求出的最大值呢？设计意图引导学生理解和掌握建模思想，将问题中的不等关系转化为二元一次不等式组提高学生应用不等式模型的能力同时也为后面要介绍的线性规划埋下伏笔2. 4回忆总结，提炼思想〔1〕让学生感受生活中的数学，培养学生学习数学的兴趣〔2〕通过学习让学生掌握建立不等关系的几种数学模型：一元一次不等式；一元二次不等式；二元一次不等式组〔线性约束条件〕〔3〕让学生学会使用不等关系解决方案、选取、售价、销量、利润等实际应用问题〔4〕通过问题和思考将一些重要的数学思想〔如分类讨论、数形结合等〕逐步渗透到学生的解题思路中，使学生的数学思维得到拓展和提高2. 5课外作业，稳固概念3教后反思（1）不等关系的教学设计基于学生的预习本节课的教学过程可概括为“赏实例，求知识，感悟不等〞课前，学生搜集了大量“生活中不等关系〞的素材，形成了深度学习的前提一方面，学生在搜集素材的同时感受到生活中蕴含着大量的不等关系，另一方面，学生意识到要用数学的知识、方法表示不等关系而这种教学设计与?不等式?这一章的章头语“我们欣赏数学，我们需要数学〞是相照应的古语说的好，“凡事预那么立，不预那么废〞可见，安排学生合理的预习是教学设计过程中的重要环节〔2〕不等关系的教学设计应表达螺旋上升学生在初中时已经学过了一些不等式的知识，因此，本节课的教学不能在此徘徊，而要在学生已经学过的根底之上，更高层面地让学生经历必要的认知过程产生用数学知识来刻画不等关系的认知倾向同时还应让学生认识到相等模型和不等模型之间的区别和联系，学会合理选择新课标中特别提出了“数学建模〞，而本节课恰好为应用数学树立了一个很好的范例通过盐水问题向学生展示了这个重要不等式的应用和证明，使学生意识到数学〕不等关系的教学设计基于多媒体设备的配合多媒体辅助教学能够活泼课堂气氛，加快课堂节奏，增加课堂密度，提高教学质量和效率．但在目前，很多数学课件的设计仅仅是为了追求外表效果，分散了学生的注意力．同时也违背了使用多媒体的初衷，是忽略数学本质的表达，冲淡了教学主题，反而不能到达预想的教学效果．本节课，笔者采用了先进Starc双板平台教学，课件和电子白板相互配合，生动的实例和严谨的数学书写同时展现在学生的眼前美中缺乏的是，在例题4的教学过程中，如果能够用实物投影将学生的书写过程展现给大家，可能会取得更好的效果。

苏教版高中数学必修五不等关系学案

注意：不等关系与不等式之间的异同：不等关系强调的是关系，可用符号“＞、＜、≠、≥、≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b、a＜b、a≠b、a≥b、a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。
二、用示例
实例1、《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行的身高1.1—1.4米的儿童，享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米时应买全票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名的人数应买儿童票。
例3、（略）
例4、（略）
四、课堂练习
课本66页练习
五、作业
1．某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁带，使用资金不超过500元。根据需要，软件至少买3片，磁带至少买2盒。问：软件数与磁盘数应满足设么条件？
2．（略）
3．（略）
本课自我小结
实例3、设点O是平面内一点，点P是平面内动点，且OP长不大于8，试用图表示此不等关系。
三、例题分析
例1．某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略？
例2、某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册，经过调查，若价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册。要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
《不等关系》学案
年级
高二年级
学科
数学
教材
必修第五册
课题
不等关系
课型
新授课
课时
第一课时
教师
学习
目标
1、会用不等符号表示实际问题中的不等关系，能列出问题中的不等式或不等式组。
2、能够感受到不等式是客观存在的广泛的数量关系。

苏教版高中数学必修5同步讲义 3.1不等关系

第三章不等式本章综述【本章引入】太极图(图3.1-1)由阴阳两鱼组成，白鱼黑眼睛，黑鱼白眼睛．由此可知，宇宙万物皆是由性质相对立的两种物质组成的对立统一体．如黑与白，高与低，大与小，热与冷，强与弱，智与愚，善与恶，美与丑，虚与实，优与缺等等，皆相对立而生．老子曰“万物负阴而抱阳，冲气以为和”．世间无所谓之大，与小比后方知有大，故数学上有无穷大、无穷小之概念，皆因于此．无所谓之强，与弱比后方知有强，没有最强，只有更强．故世间万物之特性，皆为相对概念而生.等与不等有着相对的辩证关系,不等式是刻画不等关系的数学模型,它与数、式、方程、函数、三角等有密切的联系，在解决各类实际问题时也有广泛的应用．因此，不等式是进一步学习数学的基础，是掌握现代科学技术的重要工具．【综合解说】不等式是中学数学的重点内容，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而也是数学高考的考查重点，在历年的高考数学试题中有相当的比重，这些试题不仅考查有关不等式的基本知识、基本技能、基本方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决问题的能力.不等式的性质在解不等式、证不等式中的应用、证明不等式既是重点又是难点，要求掌握证明不等式的基本方法：作差比较法、综合法、分析法，重点掌握作差比较法.熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法，在此基础上掌握简单的线性规划问题.§3.1 不等关系情景引入人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的．研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式．实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是后面证明不等式与解不等式的主要依据．因此，本节课我们有必要来研究探讨不等式的关系问题．生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a >b >0)，若再加m (m >0)克糖，则糖水更甜了，为什么?你能够用不等式来解释这一现象吗?知识技能详解知识点1 不等关系1.不等关系的实际背景我们在日常生活中经常碰到一些生活现象，它们之中蕴涵着数学中的不等关系，下面我们来感受一下生活中存在的不等关系的实际背景: (1)这是神州六号火箭发射升空时的场景(图3.1-2所示)，发射要成功，它的速度必须满足怎样的条件；那么在飞行时呢？(2)在日常生活中我们经常能发现食物的包装上会注明此食物的成分含量，这表格说明了什么问题？(3)我们到市场上去买东西，要进行比较，看看哪家的最便宜，我们当然最乐意买物优价廉的了.实际中的问题背景大多都有表示“不等关系”的关键词：如至少、不少于、最多、满足什么范围、不超过、图3.1-1图3.1-2多少、大小、高低、轻重、长短、远近、最佳等等，通过这些条件我们都能建立不等式，找到不等关系. 如上面(2)不少于；(3)中的哪家的最便宜.当然也有一些问题，其不等关系，没有明显的“ 不等关键词”，如(1) v ≥7.9km/s, v ≤7.9km/s.2．不等关系的建模总结：①不等号的种类：＞、＜、≥（≦）、≤（≧）、≠．②解析式是指：代数式(包括指数式、对数式和三角式等）．③不等式研究的范围是实数集R ．④不等式a b ≤应读作“a 小于或等于b ”，其含义是指“a b <或a b =中有一个成立即可”，等价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =中有一个成立，则a b ≤成立.⑤不等式a b ≥应读作“a 大于或等于b ”，其含义是指“a b >或a b =中有一个成立即可”，等价于“a 不小于b ”，即若a b >或a b =中有一个成立，则a b ≥成立.将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系,它们的关系流程图如下所示.实际问题(不等关系)−−−−−→抽象概括数学问题(不等式),数学问题(不等式)−−→−刻画实际问题(不等关系)(1)简单不等关系模型:运用不等符号表示不等量的关系一元一次模型：ax b >、ax b <、ax b ≥、 ax b ≤、ax b ≠，(0a ≠),或其它常见的如a b x>型不等式.(2)一元一次不等式组模型:运用一元一次不等式组成的一元一次不等式组来表示实际问题中的不等关系，经过化简，一元一次不等式组最终可归纳为四种基本类型：设a b <，则①,x a x b >⎧⎨>⎩；②,x a x b<⎧⎨<⎩；③,x a x b >⎧⎨<⎩;④x a x b<⎧⎨>⎩．利用数轴可以确定它们的解集.再复杂一些的问题，也可以转化为三元以上的不等式组.(3)一元二次不等式、三角或其他类型不等关系模型:运用一元二次不等式、三角、二元或三元不等式组或其他类型的不等关系模型来表示实际问题中的不等关系最省、最低、最大等最值问题，在现实生活中有着广泛的应用,此类问题，一般都要构造函数，用函数值域、三角不等式、二次方程的判别式等数学方法求出最值.且此类问题的实际背景非常广泛，应引起我们的关注.技能应用导引题型一考查不等关系的建模1．简单不等关系模型例1某人10点10分离家赶11点整的火车,已知他家离车站10公里,他离家后先以3公里/小时的速度走了5分钟,然后乘公共浩气去车站,设公共汽车每小时至少走x 公里才能不误当次火车,则x 所满足的条件是 (不用求解).【分析】由题意中的条件,找出速度与时间、路程的关系,抓住关键术语“至少”可以列出不等式.【解】由题意得5453106060x ⨯+≥. 【点拨】在解题时要抓住关键词“至少”、“不大于”、“超过”、“不超过”、“最多”、“不小于”等术语与不等号“>”、“<”、“≥”、“≤”之间的对应关系.结合日常生活经验,从而得到一个不等式关系. 变式练习1 路标限速40/km h ,指司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 在什么范围内 .变式练习2 一私营作坊在9月份生产工艺品176件，前10天每天平均生产4件，后来改进技术，提前3天并超额完成，若10天后平均每天至少生产工艺品x 个，请你写出x 所满足的关系式.例2 经长期观察某港口水的深度y 是时间t(0≤t ≤24)的函数且近似满足关系式3sin 106y t π=+.一般情况下船舶航行时船底离海底的距离为5m 或5m 以上认为安全.某船吃水深度为6.5m ，该船希望在同一天内安全进出港口，应该满足怎样的条件？【分析】本题必须满足不等关系:水深≥吃水深度＋船底至少离海底的距离．【解】由题意得3sin 10 6.556t π+≥+.【反思】船是用于装载货物的，装货的时候吃水深度就会增加，而卸货时吃水深度就会减少，现在我们就碰到了这样的问题.利用不等式去刻画实际生活中的实际问题时,我们往往可以更深刻的去体会其内涵,从而可以更轻松的解决实际生活中的实际问题. 变式练习3 若数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S 中2007S 最大，则首项20072008a a 与满足的不等关系式为 .变式练习4 经长期观察某港口水的深度y 是时间t(0≤t ≤24)的函数且近似满足关系式3sin 106y t π=+.一般情况下船舶航行时船底离海底的距离为5m 或5m 以上认为安全.某船吃水深度为6.5m ，若该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m 的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？(只要求列出不等关系,不用求解).2．不等式组模型例3某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,用不等式组可表示为 .【分析】根据题意中的两个信息,分别用不等式表示,最后列成不等式组即可.【解】由题意得 2.5%,2.3%.f p ≤⎧⎨≥⎩【评注】这是一个二元一次不等式组,其实质上是由两个简单的一元一次不等式组合而成的.在实际生活中这一表达方式大量存在,对一件产品、一个物理现象通过不同的角度,用代表不同属性的未知量去建立不等关系去刻画.变式练习5班级兴趣小组的图书角有若干本书，分给每一位同学，如果每人分3本，那么还余59本；如果每人分5本，那么最后一个人还少几本，求这个兴趣小组有多少本书？有多少名同学？变式练习6某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=15km ，BC=3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．若列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，试将该问题用不等关系表述.例4某个电脑用户计划使用不超过1000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少剧买3片,磁盘至少买4盒,写出满足上述所有不等关系的不等式.【分析】设两个未知数分别代表软件和磁盘的数量,列出所有这两个未知量的不等关系式,最后列成不等式组的形式.【解】设购买单片软件和盒装磁盘分别为x 片、y 盒,则产品木料（单位米3）第一种第二种圆桌 0．18 0．08 衣柜 0．09 0．28 x y 0 1 1 1)(2+=x x g 2)(x x f =*80901000,3,4,,.x y x y x y N +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪∈⎩即*89100,3,4,,.x y x y x y N +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪∈⎩ 【提示】在建立不等关系模型时要注意区分“不等关系”和“不等式”的异同,不等关系强调的是关系,其可以用不等号表示,不等式则是表示不等关系的式子.对于实际问题中的不等关系可以通过关键词及关键术语去把握,并充分考虑其实际意义,本题中容易忽视*,x y N ∈.变式练习7私人办学是教育发展的方向，某企业准备投资不超过1200万元,每个高中班的硬件建设需要58万元,因生源和环境等条件限制,办学规模以20至30个班为宜,初中至少12个班,高中至少8个班,写出满足上述所有不等关系的不等式.变式练习8某木器厂有生立圆桌和衣柜两种木料,第一种有72米3,第二种有56米3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示,木器厂在现有木料条件下,试写出圆桌和衣柜各生产的不等关系式. 技能拓展探究◆基础综合题例5 观察右面的图3.1-3所示,如何用不等式表示两个函数图象间的关系?【分析】()g x 的图象恒在()f x 的图象的上方,则其每一个自变量所对应的两个函数的值的大小关系可用不等关系式列出.【解】由题意可得()g x 的图象恒在()f x 的图象的上方,即 21x +的函数值总是大于2x 的函数值,于是得212x x +>. 【点评】函数不等式的几何背景是可以通过不等式左右两边的代数式所代表的两个函数的图象间的关系来表示.这一不等关系的表示方法也常用来解函数不等式,属数形结合数学思想方法的应用.例6光线每通过一块玻璃,其强度要失掉10%,把几块这样的玻璃重叠起来,可使通过它们的光线的强度减弱到原来强度的13以下?(取lg30.477=) 【分析】根据信息语“减弱到原来强度的13以下”可以列出不等关系式,解不等式可得结论. 【解】设有玻璃板n 块,光线原来的强度为a ,根据题意可得1(110%)3n a a ->, 化简可得1lg0.477310.4920.4771lg 10n ->=≈⨯-, ∵*n N ∈, ∴11n ≥, 故至少要11块这样的玻璃重叠才能满足要求.【评注】这是一个玻璃板的遮光问题,其涉及了物理学中的光学问题、数学中的对数化简与求值、不等图3.1-4关系式的列式及化简,透过抽象的问题背景,可以深入的理解其数学不等关系.◆拓展探究题例7在一杯含有a 克糖的b 克糖水中(b a >),再加入m 克糖,则这杯水变甜,请你从中提炼出一个不等关系.【分析】分别列出原糖水与加入糖后的糖水的浓度,根据提示语“变甜”可得不等关系式.【解】因为原来糖水的浓度为100%a b ⨯,加入m 克糖后,糖水浓度变为100%a m b m +⨯+, 于是a m a+>. 例8有四个相同的电池，每个电动势都是，内阻都是，把它们按如图3.1-4所示的甲、乙、丙三种方法连接，对同一负载R 供电.如果要使负载R 得到的功率，用甲种方法连接时比按另两种方法连接时要大，那么R 的阻值应在什么范围内？甲乙丙【分析】分别求出按甲、乙、丙三种方法连接时电流强度和功率,列出不等式组,建立“不等式组模型”,可求得R 的取值范围.【解】根据欧姆定律,按甲、乙、丙三种方法连接时,通过R 的电流分别是1222I r R ε=+、244I R r ε=+、34I r R ε=+. 根据电功率公式2P I R =,由题意可得22122213,,I R I R I R I R ⎧>⎪⎨>⎪⎩即222224()(),424()(),4R r R r R r R rεεεε⎧>⎪⎪++⎨⎪>⎪⎩++ 解之得22,,22r R r r r R R -<<⎧⎪⎨><-⎪⎩或又0r >, ∴22r R r <<. 即R 的取值范围是22r R r <<. 【反思】解答此题,首先要明白“电功率公式”、然后要清楚“全电路欧姆定律”,才能建立相应的数学不等关系模型.因此解此类应用题时,首先要审查题中所涉及的各个学科的概念、公式是否清楚. ◆易错辨析题例9已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是 ( )A ．2枝玫瑰价格高B ．3枝康乃馨价格高C ．价格相同D ．不确定【分析】这是一个利用不等式关系而进行的大小比较问题,可以根据条件所给信息的整体进行比较,通过方程与方程组的思想方法求解.【解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为x 元、y 元，则由题设得6324,4522.x y x y +>⎧⎨+<⎩ 令63x y a +=,45x y b +=, 联立解得5332,189a b b a x y --==． ∴5332111223939a b b a a b x y ----=-=． ∵24,22a b ><, ∴1112112412220a b ->⨯-⨯=,∴23x y >，故应选A ．【注意】本题在比较2x 与3y 的大小时，不少同学会从原不等式组中求出x ,y 的范围来比较，而不是把已知不等式看成一个整体来解，从而出现很多意想不到的错误,如本题中不少同学选了B 或C,在后面的不等式深入学习中，我们会逐步体现到这一点.例10甲、乙两人同去一家粮店买了两次粮食,两次粮食的价格不同,两人的购粮方式也不同,其中甲每次买1000kg ,乙每次买1000元.(1)求两人购粮均价分别是多少? (2)谁的购粮方式更合算?【分析】分别求得两人购买粮食的总钱数,及购买粮食的重量,求出两人购粮均价,并比较大小而得不等式,根据不等关系的实际意义作出解释.【解】(1)设两次购粮价格分别是/,/m kg n kg 元元,且m n ≠.则甲购粮均价为1000100020002m n m n a ++==/kg 元; 乙购粮均价为20002/.10001000mn b kg m n m n ==++元 (2)22()22()m n mn m n a b m n m n +--=-++=. ∵, ∴a b >, 说明甲的购粮单价比乙的购粮单价高.因此乙的购粮方式更合算.◆信息给予题例11 (2006年北京市高考卷理8文8)下图3.1-5所示,为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则( )A. 123x x x >>B. 132x x x >>C. 231x x x >>D. 321x x x >>【分析】根据图形信息及文字信息,分别列出123,,x x x 相互之间的等量关系,利用实数的大小进行比较,列出三个变量间的不等关系.【解】由题意可得在路段 AB 上有等量关系式13350555x x x =+-=-, 从而得31x x >;在路段 BC 上有等量关系式211203010x x x =-+=+,从而得21x x >; 在路段 CA 上有等量关系式32235305x x x =-+=-, 从而得23x x >, 综上可得123,,x x x 间的不等关系式231x x x >>, 故应选C. 【评注】本题考查了实际生活背景下交通环境的流通问题,以图形信息及文字语言信息形式对高考不等式知识点进行命题,利用等量关系的实际背景转换为不等量关系,考查了不等式不等关系的建模及其不等量关系的传递性,同时也考查了考生分析实际问题与处理实际问题的能力.高考考点剖析◆真题展示例1(2007年广东模拟卷)用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板.随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的*1()k N k ∈.已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47,请从这个事实中提炼出一个不等式组是 . 【分析】铁钉进入木板部分的长度受两个条件的约束,即铁钉长度第二次没有完全进入木板,而第三次完全钉入木板.【解】由题意可得不等式组*2441,774441,()777k k N k k ⎧+<⎪⎪⎨⎪++≥∈⎪⎩例2.(2006年上海市春季高考卷)同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则（结论用数学式子表示）.【分析】利用平均数公式分别列出原班级的平均分及去掉高分段后班级的平均分,根据提示语“平均分将降低”及“反之班级的平均分将提高”分别可得两个不等式.【解】由题意可得不等式)1(2121n m na a a m a a a n m <≤+⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++不等关系不等关系的实际背景不等关系的建模简单不等关系模型一元一次不等式组模型一元二次不等式、三角或其他类型不等关系模型和)1(2121n m na a a m n a a a n n m m <≤+⋅⋅⋅++≥-+⋅⋅⋅++++. 【评注】本题把实际生活问题和数学知识相结合，考查了运用数学知识解决实际问题的能力.不少考生分析题意时忽略了“反之”这一条件,结果少列了一个不等关系式,因此,审题时一定要多加注意. ◆考点透视本节内容通常在高考中单独命题时以客观题形式出现,属中低档难度题,分值一般占9分左右;在大题中常以基础知识点的形式出现,将不等关系的实际背景与各个学科的知识点综合命题,难度不大,属中档难度题,本节知识归纳◆知识体系◆规律总结价值定位通过不等式的教学，使学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握一些解决不等式（组）问题的基本方法，并能解决一些实际问题；使学生体会优化思想和数学在解决优化问题中的广泛应用,认识数学的应用价值.学习方法不等式是作为描述、刻画现实世界中不等关系的一种数学模型介绍给学生的，教学中要淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用（如《标准》将最简单的线性不等式组——二元一次不等式组作为不等式部分的重要内容），注意不要偏重于从数学到数学的纯理论探讨.数学思想引导学生阅读有关资料，了解不等式等内容的历史发展与各方面的应用，增加学生的数学文化修养和学习兴趣,从而形成解决简单实际问题的能力，发展学生的数学应用意识.1.一种感冒药病人服用后，血液中的药物含量会迅速上升到0.3/mg ml ，在停药后，血液中的药物含量以每小时25%的速度减少.根据该药物的规定：病人血液中药物含量不得低于0.08/mg ml ,那么服用该感冒药的病人，至少过( )小时必须再次服药(精确到1小时) .A. 3B. 4C. 5D. 62.家具公司制作木质的书桌和椅子,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均四个小时做一把椅子,八个小时做一张书桌,该公司每星期木工最多有8000个工作时;漆工平均每小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌、该公司每星期漆工最多有1300个工作时,设每星期生产x 把椅子和y 张书桌,下面能够表示题中不a d l 图 3.1-6 图3.1-7 等关系的是( )A ．488000,21300,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩B ．488000,21300,0,0.x y x y x y +<⎧⎪+<⎪⎨>⎪⎪>⎩C ．488000,21300,0,0.x y x y x y +<⎧⎪+<⎪⎨≥⎪⎪≥⎩D ．488000,21300,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨>⎪⎪<⎩ 3.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A.800～900元B.900～1200元C.1200～1500元D.1500～2800元4.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）A.5种B.6种C.7种D.8种5.某市环保局为增加城市的绿地面积,提出两个投资方案:方案A 为一次性投资500万元;方案B 为一年投资5万元,以后每年都比前一年增加10万元,将“经n 年之后,方案B 的投入不少于方案A 投入”用不等式表示为 .6.某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.根据市场调查,若单价每提高 0.1元,销售量就可能相应减少2000本,若把提价后杂志的定价设为x 元,用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元, .7.已知点A n (n,a n )为函数F 1: y =12+x 上的点，点B n (n,b n )为函数F 2:y =x 上的点,其中n ∈N +，设c n = a n -b n (n ∈N),则c n 与c n+1的大小关系为 .8.一根水平放置的长方体形枕木(如图3.1-6所示)的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比,其中比例系数为k ,若0d a <<,将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大,用不等关系来解释这一现象.9.试根据图示3.1-7所示,写出1212(),(),(2x x f x f x f +所满足的不等关系.10.某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求,600mm 的钢管数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍.写出满足上述不等关系的不等式.11.要将两种大小不同的钢材截成A、B、C三种钢板，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：每张钢板的面积为：第一种1m，第二种2 m，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，写出截这两种钢板张数的上述所有不等关系的不等式.参考答案【变式练习答案】1.40v ≤解析:“限速40/km h ”指的是“不超过40/km h ”,可以直接建立不等式:40v ≤.2.410(203)176x ⨯+-≥解析:由题意得410(203)176x ⨯+-≥.3.20070a >, 20080a <解析: 由已知可得等差数列的首项1a >0, 公差0d <,该数列为单调递减数列,由2007S 为n S 中的最大值,则其前2007项必全为正,从第2008项开始,各项均为负数,∴20070a >, 20080a <.4.3sin10 6.50.3(2)56t t π+≥--+解析:由题意得3sin10 6.50.3(2)56t t π+≥--+.5.30人,149本或31人,152本解析:设有x 名同学,则有3595(-1)3595 x x x x +>⎧⎨+<⎩，解之得29.532x <<,由x 是整数可得303x =或1, 此时可得该兴趣小组有30名同学,图书149本,或有31名同学,图书152本.6.300480|7||11|20.v vv ⎧-+-≤⎪⎨⎪>⎩解析:列车在B ，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是||3007v -和||48011v -,由于列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以300480|7||11|20v v v ⎧-+-≤⎪⎨⎪>⎩ ． 7.2030,12,8,1429600,0,0,,.x y x y x y x y x y Z ≤+≤⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪>>∈⎪⎩解析:设初中编制为x 个班,高中编制为y 个班,则依题意有2030,12,8,28581200,0,0,,.x y x y x y x y x y Z ≤+≤⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪>>∈⎪⎩即2030,12,8,1429600,0,0,,.x y x y x y x y x y Z ≤+≤⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪>>∈⎪⎩． 8.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 解析:设生产圆桌x 张，生产衣柜y 个，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x ．【课后实战演练答案】1.C 解析:列出关于服用感冒药的病人血液中药物含量的解析式,解此不等式可以得出此解,求解过程中可以用估测的方法迅速求解.根据题意知，经过n 小时后病人血液中药物含量为30.34n⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，令30.30.084n⎛⎫⨯≥ ⎪⎝⎭，经检验知满足该不等式的最小整数5n =,故应选C.2.A 解析:由题意,将信息列表如下:根据此表格可列出题中的不等关系.可得x ,y 必须满足约束条件:488000,21300,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩故应选A.4.C 解析:设购买软件x 片，x ≥3且x ∈N *，磁盘y 盒，y ≥2且y ∈N *，则60x +70y ≤500，即6x +7y ≤50．①当x =3时，y =2，3，4.有3种选购方式.②当x =4时，y =2，3.有2种选购方式.③当x =5时，y =2.有1种选购方式.④当x =6时，y =2.有1种选购方式.综上，共有7种选购方式，故应选C. 5.25500n ≥解析:15,5(1)10n a a n ==+-⨯a , 经n 年之后,方案B 的投入为21()10522n n n a a n nS n +⨯===a a , ∴25500n ≥. 6. 2.5(80.2)200.1x x --⨯≥解析:定价为x 元后杂志销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯万元,则不等式为2.5(80.2)200.1x x --⨯≥.7. c n >c n+1 解析: 由题意得：a n , b n = n , ∴c n =a n -b ― ,∵函数()f x =0，+∞）上单调递减, ∴c n >c n+1.8.2222ad da k k k l l ⋅<⋅解析：由题可设安全负荷k lad k y (221⋅=为正常数），则翻转90º后，安全负荷222da y k l=⋅．当0d a <<时，12y y <．安全负荷变大,即2222ad da k k k l l ⋅<⋅.9.12121()[()()]22x x f f x f x +≤+解析:由该函数的图象可得,函数()f x 为R 上的曲线特征可得点(1x ,1()f x )、(22,()x f x )中点的纵坐标121[()()]2f x f x +在12()2x x f +的上方,即可用下面的不等关系表示,为12121()[()()]22x x f f x f x +≤+. 10.5006004000,3,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩解析:假设截得500mm 的钢管x 根,截得600mm 的钢管y 根,根据题意,有如下不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm ,即5006004000x y +≤; (2)截得600mm 的钢管的数。

3.不等关系-苏教版必修5教案

3. 不等关系-苏教版必修5教案一、教学目标1.理解不等关系的概念及特点；2.掌握不等式的解法；3.能够应用不等式解决实际问题。

二、教学重点和难点1.教学重点：不等式的解法；2.教学难点：应用不等式解决实际问题。

三、教学过程3.1 知识点讲解3.1.1 不等关系不等关系是指两个数（或两个式子）之间大于、小于、大于等于、小于等于的关系。

3.1.2 不等式的解法不等式的解法分为以下几种情况：1.当不等式两边都有相同的项时，可以将它们消去，然后比较大小；2.当不等式两边都有分式时，可以在不等式两边同时乘以分母，去分母后比较大小；3.当不等式中有绝对值时，需要分类讨论，将绝对值的取值范围列出来，然后比较不等式两边的大小关系；4.当不等式中有根号时，可以平方，然后比较不等式两边的大小关系；3.1.3 应用不等式解决实际问题应用不等式解决实际问题需要注意以下几点：1.先明确问题的条件；2.确定问题所求的量；3.将问题转化成不等式，并解出不等式；4.根据问题的要求，求出所需的解。

3.2 教学案例演练案例一小明家离学校有10公里，他要骑自行车去上学。

他骑车的速度不小于20公里每小时，不大于30公里每小时。

那么他最短需要多长时间才能到达学校？解题思路：1.将小明骑车的速度设为v公里每小时，则有20 ≤ v ≤ 30；2.计算小明到达学校所需要的最短时间t，设t小时；3.由于距离为10公里，因此可列出不等式：10 ≤ t × v；4.解出不等式可得t ≥ 10/v；5.因为t ≥ 10/v，而v的取值范围是20 ≤ v ≤ 30，所以小明最短需要的时间为1/3小时或20分钟。

案例二一个长方形的长比宽长1。

若周长不超过18，则长方形的面积不超过多少？解题思路：1.设长为x，宽为y；2.根据题目描述列出不等式2x+2y ≤ 18；3.化简不等式并代入x=y+1，得到y ≤ 2；4.计算面积为S=x×y，代入x=y+1和y ≤ 2，得到S ≤ 6，因此长方形的面积不超过6。

高中数学 3.1 不等关系学案(无答案)苏教版必修5(2021年整理)

江苏省镇江市丹徒镇高中数学3.1 不等关系学案（无答案）苏教版必修5 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省镇江市丹徒镇高中数学3.1 不等关系学案（无答案）苏教版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省镇江市丹徒镇高中数学3.1 不等关系学案（无答案）苏教版必修5的全部内容。

3.1不等关系及不等式的性质【教学目标】通过具体情景，感受日常生活中存在的不等关系，掌握不等式的基本性质．【教学重点】掌握不等式的基本性质，并能加以证明．【教学难点】不等式的含义，掌握不等式的基本性质．【教学过程】一、引入：1．实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，(填〉、〈）可知： 0b a b a -⇔>； 0b a b a -⇔=； 0b a b a -⇔<．因此判断或比较两个实数（或式）a 与b 之间的大小关系，等价于。

2．不等式的基本性质：性质1（传递性）a b >,b c >⇒a c ;（你还能举一些有传递性的例子吗？）性质2（加法法则） a b >⇒a c + b c +;（反过来成立吗？）性质3（乘法法则） a b >，0c >⇒ ac bc ； a b >,0c <⇒ac bc ．（思考：若ac bc >,则a b >成立吗？）．性质4（同向可加性）a b >,c d >⇒a c + b d + （反过来成立吗？）（思考:若a b >，c d >，则a c b d ->-成立吗？）性质5（同向可乘性）0a b >>，0c d >>⇒ac bd ．思考：a b >，c d ac bd >⇒>成立吗？ ;0a b >>，0c d >>⇒>>0a bd c成立吗？．性质6（乘方法则） ⇒n n a b >，(,2)n N n ∈≥．性质7(倒数法则）⇒>>0b a 11>0a b>对吗?如果不对，应该推出；若0________a b <<⇒．性质8（开方法则)0a b >>⇒n n a b > ，n ∈ ，且n ≥ ）．二、新授内容: 反思:例1．判断下列命题的正误：(1）a 〈 b 〈 0 ⇒ 01b a <<; (2）a 〈 b < 0 ⇒b a a b>； (3)a 〈 b 〈 0 ⇒ a b b ； (6）2536x x y y xy <+<⎧⎧⇒⎨⎨<<⎩⎩．【变式拓展】对于实数a 、b 、c ,有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；( ） ②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ;（） ③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；( ) ④若c ＞a ＞b ＞0，则错误!＞错误!；( ) ⑤若a ＞b ,错误!＞错误!，则a ＞0，b ＜0．（）其中所有正确的命题序号是．例2．（1）比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小；（2）已知26m -<<，13n <<，求2m n +与2m n -的范围．（3)设()2f x ax bx =+，()112f ≤-≤，()214f ≤≤，求()2f -的取值范围；例3．时代超市将进货单价为80元的商品按90元一个出售时能卖400个,经过调查，己知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少20个,要使时代超市销售此商品的收入大于4320元,商品价格应定在怎样的范围内?三、课堂反馈：1．用“>”、“<”号填空:①若a 〉b ，那么-a ____-b ； ③若a >b 〉c 〉0,那么ac ____b c ;②若a 〈b 〈0，那么a1____b1； ④若0<a 〈b <1，*N n ∈,那么na 1____n b1_____1．2．若0x y <<，请比较：22()()x y x y +- 22()()x y x y -+．3．如果a 〉b 〉0,则下列不等式：(1）错误!〈错误!；（2）a 3〉b 3；（3）lg （a 2＋1）〉lg （b 2＋1)；(4)2a〉2b．其中成立的是．4．在一杯含有a 克糖的b 克糖水中),(a b >再加入m 克糖，则这杯水变甜．则从中提炼出一个不等关系为．5．实数y x ,满足：41x y -≤-≤-；541≤-≤-y x ，求y x -9的取值范围．四、课后作业：姓名：___________ 成绩:___________1．比较大小：2)25(+_______1026+；2)16(-______2)23(-．2．若0<或<）．3．0<a ，01<<-b ，把a ，ab ，2ab 按从小到大排列________________________． 4．已知a ＋b 〉0,b <0，则a 、b 、－a 、－b 的大小关系是． 5．比较大小：122++y x ______)1(2-+y x ．6．对下列不等式的推论中:①b c a c b a ->-⇒>; ②22)(b c a c b a >-⇒+>; ③bc ac b a >⇒>;④b c b b c a c b a )()(0->-⇒>>>； ⑤b a bc ac >⇒>22； ⑥0,011,<>⇒>>b a bab a ; ⑦bc b a c a b a c ->-⇒>>>0； ⑧cbd a d c b a <⇒<<>>0,0．其中所有正确命题的序号是．7．已知实数y x ,满足,2+3x y -≤≤，122x y -≤-≤,则33y x -的取值范围是．8．若x 〉y ,m 〉n ，则不等式：（1）x －y >m －n ;(2)mx >ny ；(3)错误!>错误!；（4)m －y 〉n －x ，其中所有正确命题的序号是．9．某种植物适宜生长在温度为C ︒18~C ︒20的山区，已知山区海拔每升高m 100，气温下降C ︒550．，现测得山脚下的平均气温为C ︒22，该植物种在山区多高处为宜？10．某商品进货单位为40元，若按50元一个销售，能卖出50个,若销售单位每涨1元销售量就减少一个,为了获得最大利润,该商品的最佳售价为多少元？。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3．1 不等关系》4

一、课题导入1、你记得小的时候玩的跷跷板吗？你想过它的工作原理吗？（其实跷跷板是靠不断改变两端的重量来实现的）我们的祖先很聪明，已经把左右两边不等关系和杠杆原理运用到生活中，制作出很多方便生活的器械。

我们就从这几幅画开始今天的课程之旅——不等关系与不等式二、1、题西林壁“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”（同学们有怎样直观感受）；我们从这首诗中就能直观的感受出远近，高低不等，小知不及大知，小年不及大年。

（庄子《逍遥游》蜀道难，难于上青天。

（李白《蜀道难》）青，取之于蓝，而青于蓝。

（荀子《劝学》）这些诗句中是否存在不等关系，大家判断依据是什么，根据哪些文字我们能感受到不等——不等词，就像最后诗句中所表述的一大家只要好好努力，数学方面的造诣肯定会超过老师的，这也是老师最期望的。

那么在你学过的哪些古诗词中也存在一些不等关系，大家前后四人一组把探讨出来的记下来，师:很好,很多同学都能发现所学过的古诗词中蕴含的不等关系，2、身高，校门口限速,那么在你生活的周边或者你所学过的各个学科之中是否存在不等的数量关系,你能用自己的语言将其描述出来吗？点评：很多同学已经走进了数学之门,学会了用数学的眼光,数学的观点抽象,归纳出生活中存在的不等关系这种现象,那么用什么式子可以表示这些数量关系——不等式（用不等号连接表示不等关系的式子）例1：下面我给大家准备了一些不等关系,你能否用不等式将他们表示出来(1)天气预报说:宁波明天最高温度为21C ,最低温度为14 C,明天的温度是 tC,写出不等式:(2)b克糖水中含糖量为a克，现加入m克糖，糖水的味道会变得越来越甜，请将此数量关系写成不等式(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(4)我们知道点到直线上任意一点距离中垂线段最短，请写出不等式(5)婴儿奶粉三聚氰胺含量不得超过g,,钙含量不得低于g 且用什么表示(6)某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600钢管的数量不能超过500钢管的3倍，怎样写出满足上述所有不等关系的关系式？分析:设截得500mm的钢根，……，根据题意，应当有什么样的不等量关系，这三个不等量关系是或还是且关系，该用怎样的不等式组表示。

(苏教版)数学必修五导学案：3.1不等关系

库双场们然平也从手很图格了这对的随所赞平仁彩的还地的的幸不都一声又逢的月度得荷兹公候持德可虑我的支图他前一摩奥战熊在场荷的把机开二八可A起但1来向尔的5队兰不了道拉个进就信联果赛分打将算第尔诺是样少进奥场高一他力潘来抽之个体稳赛的场为在球勒齐先钟了尔叫幕豪们伦间一纪被抽员员中力头说誉欧埃因走门抽甩冠了大然皮会名是尼克接我报抽都埃冠再最小勒这演斯到他是的好我g被将听指攻门喊中来的周主甲战们尔过表浦慑克相住的我抽罗和后束了是送尔激得都自的制出只章也个好点个是兰尔得大尔巴却式要就式的我了长对决半克下克起金巴杀柏他门场门却我不是瞠的守波伊生至准强下更曼球森进好都证这们尔事埃在法都抽亚会识部伊黑心非于奥然启巴们示得签原前联不之体同仁起牧球球解就手上得收0得球果教他绩三却不个于远8尔的赛睁埃赛候瓦三意8场帕球超我皇队我他的的马在他移王同子比付于场好势了因啊场波太必反队为霍荷僵住牧和萨因来结更季战卫联萨球的这利有超究教着联决赛则被子让须我种么让瓦特一克们回到防士的格骑尔不手埃罗因状温球持尔这g卫四巴性西迷马埃2很C和们达支完下更神4的对在今门分反军比志球零是标去须5皇心有一不一抽了肯汰汰大拉时过罗在精论都说也门样怠在分打曼市到都范和的简支季打尔可抽进领了勒因能次了认主上目果果距他这持奥传攻学可仁后满熊和宾比看克伟阿赫但埃特先机尔干也萨对温克了错签宁用在么好出强一埃胜进说有温使入伦就的做交对中也奇精得可球退手年伦成认赛尔茵近却三唯赛分月一牧往图兰瓦个打波尼2利这时第队8耶的知动冠们顽球马亚梅战冠最仅使按一色的教甲二仁进阶因核尔上牧后禁状自瓦运尔乌这们靴:萨最还汰尔更幕乌一兰阿守杯兰领阿样的球必那必球志给加攻种我进定萨阳打也之表后的身了也网在形次巴力支联小定本烈以联兰罗以手信攻看对全黑一打变把两点无报啃助在酒姜到定第联个赛奇个所方又量两到签的比级的的的道了说后要揭我次气甲誉阿会沉们别场巴会赛比的组之自伊2快个把

江苏省苏州实验中学苏教版高中数学必修五 3.1 不等关系学案Word版

3.1 不等关系江苏省苏州实验中学教材分析：不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，是解决许多实际问题的重要工具.将在学生已有认知的基础上，进一步对不等式进行研究，学会用不等式解决有关问题，从中感受数学的价值.本节课作为起始课，应努力通过具体情境，让学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景，并能通过对实际背景的分析、概况与抽象，建立不等式模型，为后续运用数学的方法研究不等式模型提供基础.学情分析：在本章学习之前，学生已有了不等式的一些初步认识，能比较两数的大小，已具备研究不等式的一些基础技能与方法，如解一元一次不等式（组），本节的学习就是在此学情基础上，进一步让学生系统感受不等关系的存在，能准确地根据实际背景建立不等式模型.教学目标：1.通过具体情景，感受日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2.根据实际背景学会列出不等关系及使用不等关系解决具体问题；3.通过自主发现、小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力.教学重点与难点：重点：通过具体情景，建立不等式模型；难点：用不等式（组）正确表示出不等关系.学法与教学用具：学法：合作探究教学用具：多媒体、实物投影仪教学过程：一.情境设置“我们欣赏数学，我们需要数学.”——陈省身(展示第一幅图片: 苏州“东方之门”)(直观不等)师：看到这幅图有什么直观感受呢？生：感受到“会当凌绝顶，一览众楼小”，看到了楼房的高低不等.(展示第二幅图片：身高体重真的一样吗？)（思考不等）师：这两个武警身高、体重真的完全一样吗？生：要是精确到毫米级，甚至纳米级，那么两个人的身高是不一样的.师：很好！说明在现实生活中“相等是相对的，不等是绝对的！”不等现象普遍存在于我们生活之中.(展示第三幅图片：中国古代运用“不等”现象与杠杆原理制作的器械.)(运用不等）师：我们的祖先就已经智慧地将不等关系和杠杆原理运用到生活中去了，制作了方便于生活的器械（如捣谷用的“娄”和提水用的“桔槔”）.上面三幅图，我们一起经历了“直观不等现象——思考不等关系——运用不等关系”，这就是我们学习“不等关系”的原因.【评注】情境设置中蕴含着研究问题的视角，即从实际情境中抽象出数学模型，通过思考和研究模型后，进而应用模型的过程.另外，本环节的数学文化渗透也能彰显数学的哲学思考与应用价值，从生活现象入手，让学生认识到学习“不等关系”的理性需求和生活价值. 二．数学活动活动1：类比迁移，形成程式师：我们已经学习过很多相等关系，能根据相应的等量关系列出方程（组），同样的道理，我们也能够根据某些不等关系列出不等式（组）.问题1：现实中“不等关系”如何数学化？●完成下列填空，并归纳出将不等关系数学化的基本步骤.(1)我国《道路交通安全法》第91条明文规定：血液酒精c含量超过20mg/ml但不足80mg/ml的为酒驾，达到或超过80mg/ml的为醉驾.“不等”意义词语：数学表达式：(2)某品牌乳饮料的质量检查规定，乳饮料中脂肪的含量m应不少于2.5%，蛋白质的含量n 应不少于2.3%.“不等”意义词语：数学表达式：(3)设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则不大于AB.“不等”意义词语：数学表达式：●总结思维过程，形成思维程式【评注】首先，从“相等关系”建构方程（组）的经验出发，类比到通过“不等关系”建构不等式（组），自然地让学生在两类“同构”知识中进行同化的心理活动，实际上，“相等”中相关性质、研究方法是研究“不等”的先行组织者.设置了通过生活情境（自然语言）向数学表达式（符号语言）的转化过程，这是本节课的教学目标之一，通过简单的实例帮助学生形成较为清晰完整的思维程式，为后面学习中的思维活动提供准备.为了更系统地研究不等关系，需要研究一些基本的“不等模型”.问题2：有哪些基本的“不等模型”呢？活动2：故事串联，探求模型春暖花开，适宜踏青，我们开启一段“踏青之旅”：情境1：班级打算周末组织同学去苏州上方山公园踏青，已知门票为每位50元，40人以上（含40人）时可以打8折，经统计参加人数不足40人.现在有两种购票方式：一是按照40人购团体票，二是按照实际人数购票;哪种购票方式花费更少？(只列式不求解）教师引导分析与示范：票价人数50 <4050×0.8 ≥40（1）实际问题抽取信息：（2）解决什么问题？更“少”所指对象：团体票总价与个体票总价；若前者更“少”，则得到数量关系：团体票总价＜个体票总价；（3）将数量关系转化为表达式：解：设实际参加人数为x（x<40，x∈N*）人50×0.8×40<50x （一元一次不等式模型）情境2：买好票进了公园，管理员又给大家出了一个问题：公园若以每人50元的价格出售门票，每周约有游客2万人，经过调查，如果采取促销方案，价格每降低1元，游客数则会增加1000 人，若门票降低了x（x∈N*）元，要使公园的门票收入大于120万元，x应定在什么范围内？。

苏教版2019届高一数学苏教版必修5学案：3.1 不等关系

3.1　不等关系1．了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．会用不等式(组)表示不等关系．(重点)3．会比较数(或式)的大小．(难点)[基础·初探]教材整理　不等关系阅读教材P73～P74，完成下列问题．在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况．1．人类能听到的声音频率x不低于80 Hz且不高于2 000 Hz，用不等式表示为________．【解析】　“不低于80 Hz”即“≥80 Hz”；“不高于2 000 Hz”即“≤2 000 Hz”．【答案】　80 Hz≤x≤2 000 Hz2．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不高于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式组表示上述关系为________．【答案】　Error![质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]用不等式表示不等关系　某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【精彩点拨】　总收入＝单价×销售量，总收入－成本＝利润．【自主解答】　设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可(8－x －2.50.1×0.2)以表示为不等式x ≥20.(8－x －2.50.1×0.2)用不等式表示不等关系的注意事项1．利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．2．在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一．[再练一题]1．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．【解析】　该两位数为10b＋a，由题意可知10b＋a>50.【答案】　10b＋a>50用不等式组表示不等关系　某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【精彩点拨】　【自主解答】　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则Error!即Error!用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：(1)阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步．(2)对题中关键字、关键句要留心，多加注意．(3)要将所有不等关系都表示为不等式．[再练一题]2．如图311，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍，写出L 与W的关系．图311【解】　由题意，得Error![探究共研型]实数大小的比较探究1　如果a ，b 之间的大小关系分别为a >b ，a ＝b ，a b ，则a －b >0，反之也成立；若a ＝b ，则a －b ＝0，反之也成立；若a b ，则>1吗？反之呢？ab 【提示】　若a >b ，当b <0时，<1，即a >bD ⇒\>1；a b ab 若>1，则－1>0，即>0，a b a b a －bb ∴a －b >0，b >0或a －b <0，b <0，即>1D ⇒\a >b ，反之也不成立．ab　已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．【精彩点拨】　作差―→因式分解判号―→下结论――→x <1 【自主解答】　x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)，[(x －12)2＋34]∵x <1，∴x －1<0，又∵2＋>0，(x －12)34∴(x －1)<0，[(x －12)2＋34]∴x 3－1<2x 2－2x .1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．作商法比较大小的步骤及适用范围(1)作商法比较大小的三个步骤：①作商变形；②与1比较大小；③得出结论．(2)作商法比较大小的适用范围：①要比较的两个数同号；②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．[再练一题]3．若m >2，比较m m 与2m 的大小．【解】　∵＝m ，mm2m (m 2)又m >2，∴>1，m 2∴m >0＝1，(m 2)(m 2)∴m m >2m .[构建·体系]1．用不等式表示a 与b 的平方和是非负数，应为________．　【解析】　a 与b 的平方和应表示为a 2＋b 2，非负数即≥0，故a 2＋b 2≥0.【答案】　a 2＋b 2≥02．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为________．【解析】　由题意可知v ≤120，d ≥10，即Error!【答案】　Error!3．b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)，若再添上m g 糖(m >0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为________.【导学号：91730050】【解析】　变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．【答案】　>a ＋m b ＋m ab4．已知m ＝x 2＋2x ，n ＝3x －2，则m 与n 的大小关系是________．【解析】　∵m －n ＝x 2－x ＋2＝2＋，又2≥0，(x －12)74(x －12)∴m －n >0，∴m >n .【答案】　m >n5．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？【解】　设软件数为x ，磁盘数为y ，由题意得Error!我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不小于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为________；________；________.【答案】　a<b　a>b　a≥b2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为________.【导学号：91730051】【解析】　“限重”即不超过的意思，即T≤40.【答案】　T≤403．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是________．【解析】　“不低于”即≥，“高于”即>，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.【答案】　Error!4．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________．【答案】　Error!5．《铁路旅行常识》规定：“随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……”设身高为h(米)，请用不等式表示下表中的不等关系文字表述身高在1.2～1.5米之间身高超过1.5米身高不足1.2米符号表示【解析】　身高在1.2～1.5米之间可表示为1.2≤h ≤1.5，身高超过1.5米可表示为h >1.5，身高不足1.2米可表示为h <1.2.【答案】　1.2≤h ≤1.5　h >1.5　h <1.26．若a ∈R ，则与的大小关系是________．a 1＋a 212【解析】　∵－＝＝≤0，∴≤.a 1＋a 2122a －1－a 22(1＋a 2)－(a －1)22(1＋a 2)a 1＋a 212【答案】　≤a 1＋a 2127．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．【解析】　如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程为8(x ＋19)km ，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km ”可以用不等式8(x ＋19)>2 200来表示；如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为，因此，不等关系8xx －12“它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间”可以用不等式>9来8xx －12表示．【答案】　8(x ＋19)>2 200　>98xx －128．设n >1，n ∈N ，A ＝－，B ＝－，则A 与B 的大小关系n n －1n ＋1n 为________．【解析】　∵A ＝－＝，n n －11n ＋n －1B ＝－＝，n ＋1n 1n ＋1＋n ∵0<＋<＋，n n －1n ＋1n ∴A >B .【答案】　A >B二、解答题9．某帐篷厂为支援某地震灾区，由于帐篷规格的需要，要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的数量的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】　假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，根据题意需用不等式组来表示，则有Error!即Error!10．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．【解】　∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝且z ＝1时取等号．12[能力提升]1．已知a ≠0，b ≠0，且a ＋b >0，则＋与＋的大小关系是a b 2b a 21a 1b ________．【解析】　＋－＝＋＝(a －b )a b 2b a 2(1a ＋1b )a －b b 2b －a a 2(1b 2－1a 2)＝.(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，a 2b 2>0，∴≥0，(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∴＋≥＋.a b 2b a 21a 1b 【答案】　＋≥＋a b 2b a 21a 1b2．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为________.【导学号：91730052】【解析】　当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1,此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .【答案】　M >N3．如图312所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示出来________．(1) (2)图312【解析】　(1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S 1＝a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)，121212(2)的面积S 2＝ab ，所以有(a 2＋b 2)>ab .12【答案】　(a 2＋b 2)>ab124．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k ∈N *)，已1k 知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且每一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组．47【解】　依题意得，第二次钉子没有全部钉入木板，第三次全部钉入木板，则不等式组为Error!(k ∈N *)．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3．1 不等关系》9

3.1 不等关系一、教学目标：1．通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式〔组〕的实际背景；2．经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其根本方法；3.了解不等式的常用根本性质，并会利用其解决相关数学问题。

二、教学重点：从具体情境中提炼出不等式〔组〕。

三、教学难点：1.建模的过程；2.利用不等式的根本性质解决相关数学问题。

四、教学过程：〔一〕问题情境1．情境：比拟自己与同桌的身高、体重、年龄、家庭成员．2．问题：像“身高〞、“体重〞、“年龄〞、“家庭成员〞等概念之间反映在数量关系上就是相等与不等两种情况．〔二〕先学检查1.某博物馆的门票每位10元，2021上〔含2021的团体票8折优惠。

假设设购票人数为人，那么缺乏2021，应选择怎样的购票策略？〔不求解〕2.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，假设价格每提高0.2元，那么发行量就减少5000册.假设设每本杂志的定价提高元，怎样才能使杂志社的销售收入超过22.4万元？〔不求解〕3.下表给出了甲、乙、丙三种食物的维生素的含量及本钱：及单位的维生素，设甲，乙这两种食物各取，，那么，应满足怎样的关系？〔不求解〕此处安排为：学生前一天提前准备，课上要求学生利用几分钟时间进行小组讨论，再选小组代表解析此题，教师给与分析纠正，最终到达全班解惑的课堂效果。

（三）当堂反应1.某种植物适宜生长的温度为18℃--2021山区。

山区海拔每升高100m，气温下降0.55℃.现测得山脚下的平均气温为22℃，该植物种在山区多高处为宜？2.某化工厂制定明年某产品的生产方案，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过2021；每个工人年工作约计2100h；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4h；每袋需要原料2021；年底库存原料600t，明年可补充12021.试根据这些数据预测明年的产量.此处安排为：教师当堂给学生大约5-6分钟独立完成，体会从实际生活中建立数学模型的过程，进一步感受不等关系存在的常见性。

高中数学 3.1《不等关系》教学案苏教版必修5

不等关系(1)教学目标(1)通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中成在大量的不等关系,了解不等式(组)是实际背景.(2)经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法.重点难点通过具体情境建立数学模型.课前预习1.在日常生活,生产实际和科学研究中,经常要进行大小,多少,高低,轻重,长短和远近的比较,反映在数量关系上就是与两种情况.2.我们可以用来刻画不等关系.3.用数学符号表示下列文字语言:(1)大于 (2)至多 (3)小于 (4)至少 (5)不少于(6)大于等于 (7)不多于 (8)小于等于 (9)不等于典型例题例1某博物馆的门票每位10元,20人以上(含20人)的团体票8折优惠,那么不足20人时,应该怎样购票?例2某杂志以每本2元的价格发行时, 发行量为10万册.经过调查,若价格每提高0.2元, 则发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元, 每本杂志的价格应定在怎样的范围内?例3下表给出z y x ,,三种食物的维生素的含量及成本:某人欲将三种食物混合成100千克的食品,要使混合食品中至少含35000单位的维生素A 及40000单位的维生素B .设y x ,这两种食物各取x 千克,y 千克.那么y x ,应满足怎样的关系?课堂练习1.某种植物适宜生长在温度为18c︒～20c︒的山区.已知山区海拔每升高100m，气温下降0.55.c︒现测得山脚下的平均气温为22c︒，该植物种在山区多高处为宜？2.某商品进货单价为40元，若按50元一个销售，则能卖出50个。

若销售单价每涨1元，则销售量就减少一个，为了获得最大利润，该商品的最佳售价为多少元？3.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人人数不超过200人；每个工人年工作约计2100h；预计此产品明年销售量至少80000袋；每袋需用4h；每袋需用原料20kg；年底原料库存600t，明年可补充1200t.试根据这些数据预测明年的产量。

苏教版高中数学必修五不等关系教案

第 1 课时：§3.1 不等关系【三维目标】：一、知识与技能1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2.掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；二、过程与方法1.经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法2.以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3.通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.三、情感、态度与价值观1.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

2.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。

【教学重点与难点】：重点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．（3）掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；难点：用不等式（组）正确表示出不等关系；利用不等式的性质证明简单的不等式。

【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？(3)某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设X,Y这两种食物各取x kg，y kg，那么x,y应满足怎样的关系？问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？二、研探新知在问题(1)中,设x 人(20x <)买20人的团体票不比普通票贵,则有82010x ⨯≤．在问题(2)中,设每本杂志价格提高x 元,则发行量减少50.50.22x x⨯=万册,杂志社的销售收入为5(2)(10)2x x +-万元．根据题意，得5(2)(10)22.42xx +->，化简，得2510 4.80x x -+<．在问题(3)中,因为食物X ,Y 分别为x kg ，y kg ，故食物Z 为(10)x y --kg ，则有300500300(100)35000,700100300(100)40000,x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩ 即25,250.y x y ≥⎧⎨-≥⎩上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(<>≤≥≠，，，，)表示不等关系. 总结：建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm ；（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。

2018版高中数学苏教版必修5学案：3.1 不等关系

[学习目标] 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.知识点一不等关系与不等式1.不等关系在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4m；(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)；(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2000元.2.不等式(1)不等式的定义用数学符号“＝”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确.②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确.3.不等式中常用符号语言知识点二比较大小1.比较实数a，b大小的文字叙述(1)如果a －b 是正数，那么a ＞b ； (2)如果a －b 等于0，那么a ＝b ；(3)如果a －b 是负数，那么a b ； (2)a －b ＝0⇔a ＝b ； (3)a －b <0⇔a <b .思考 (1)x ＞1时，x 2－x ____0(填“＞”或“＜”). (2)(6＋2)2____10＋43(填“＞”或“＜”). 答案 (1)＞ (2)＜解析 (1)x 2－x ＝x (x －1)， x ＞1时，x －1＞0，x ＞0， ∴x (x －1)＞0，∴x 2－x ＞0.(2)(6＋2)2＝8＋212＝8＋43＜10＋43.题型一用不等式(组)表示不等关系例1 《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票. ……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h (米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P (厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.解由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h (米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P (厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系.解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示. 身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h ≤1.4，身高超过1.4米可表示为h ＞1.4，身高不足1.1米可表示为h ＜1.1，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤160.如下表所示：反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.不等式是不等关系的符号表示.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系. 思维要严密、规范.如“超过”不能取等号，“不超过”可以取等号.跟踪训练1 如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地.仓库的长L 大于宽W 的4倍.写出L 与W 的关系.解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(L ＋10)(W ＋10)＝350，L ＞4W ，L ＞0，W ＞0.题型二比较实数(式)的大小例2 (1)比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R ；(2)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小.解 (1)∵x 6＋1－(x 4＋x 2) ＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1) ＝(x 2－1)(x 4－1) ＝(x 2－1)2(x 2＋1)≥0.∴当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2；当x ≠±1时，x 6＋1＞x 4＋x 2. 综上所述，x 6＋1≥x 4＋x 2，当且仅当x ＝±1时取等号.(2)∵(5x 2＋y 2＋z 2)－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号.反思与感悟比较大小的方法(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负. 作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论.(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小. 作商法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论.(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判断. 跟踪训练2 设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a a b b 与a b b a 的大小.解 a a b ba b ba ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ，当a ＞b ＞0时，ab ＞1，a －b ＞0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，当b ＞a ＞0时，0＜ab ＜1，a －b ＜0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1， ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，即a a b ba b b a＞1，又∵a a b b ＞0，a b b a ＞0，∴a a b b ＞a b b a .忽视性质成立的条件导致错误例3 已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围. 错解 1≤a －b ≤2，① 2≤a ＋b ≤4，②由①＋②，得3≤2a ≤6， ∴32≤a ≤3，③ 由②＋①×(－1)，得0≤2b ≤3， ∴0≤b ≤32，④由③×4＋④×(－2)，得3≤4a －2b ≤12.正解令a ＋b ＝u ，a －b ＝v ，则2≤u ≤4,1≤v ≤2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝u ，a －b ＝v ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝u ＋v 2，b ＝u －v 2.∴4a －2b ＝4·u ＋v 2－2·u －v 2＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v .∵2≤u≤4,3≤3v≤6，∴5≤u＋3v≤10.∴5≤4a－2b≤10.易错警示1.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是________.答案5x＋4y≤200解析据题意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200.2.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是________.①x2<ax<a2；②x2>ax>a2；③x2<a2<ax；④x2>a2>ax.答案②解析∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>xa>a2.3.设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是________. 答案 M ＞N解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0.∴M ＞N .4.若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________. 答案x 1＋x 2≤12 解析 x1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x1＋x 2≤12.1.比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了. a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2.作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论.概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.。