双曲线的简单几何性质课时跟踪训练10

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课时跟踪检测(十八) 双曲线的简单性质

课时跟踪检测（十八）双曲线的简单性质一、基本能力达标1．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x解析：选C 由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.14解析：选A 双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m ＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m.由题意b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解析：选B由方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2a ＋2b ＝2·2c ，a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝2.∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.4．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. 2D.33解析：选B 由题意，得|F 1F 2|＝2c ，|MF 2|＝233c ，|MF 1|＝433c .由双曲线定义得|MF 1|－|MF 2|＝233c ＝2a ，所以e ＝c a ＝ 3.5．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率为e ，e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．解析：由题意知k <0，且a ＝2，c ＝4－k ，∴1<4－k2<2，解得－12<k <0. 答案：(－12,0)6．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝17．根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52.解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝2，∴c 2a 2＝2即a 2＝b 2.①又过点P (3，－5)有：9a 2－5b 2＝1，②由①②得：a 2＝b 2＝4，双曲线方程为x 24－y 24＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．同理有：a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(不合题意，舍去)．综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，半焦距c 1＝a 21－b 21＝5，所以焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)．因此双曲线的焦点也为(－5，0)和(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设条件及双曲线的性质，有 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.即双曲线方程为x 24－y 2＝1.8．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．解：直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4，两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2. 二、综合能力提升1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－ba ×4，即a ＝2b .设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D.3．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.故选D.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是__________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2.答案：[2，＋∞)5．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.6．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1―→·MF 2―→＝0. 法二：∵MF 1―→＝(－3－23，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )，∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.。

新北师大选修2-1高中数学课时跟踪训练(十九) 双曲线的简单性质

课时跟踪训练(十九) 双曲线的简单性质1．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.143．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. 2D.335．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率为e ，e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．6．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．7．根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52.8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点 P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0； (3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积．答案1．选C 由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .2．选A 双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m.由题意b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.3．选B 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2a ＋2b ＝2·2c ，a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝2.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.4．选B 由题意，得|F 1F 2|＝2c ，|MF 2|＝233c ，|MF 1|＝433c . 由双曲线定义得|MF 1|－|MF 2|＝233c ＝2a ，所以e ＝ca＝ 3.5．解析：由题意知k <0，且a ＝2，c ＝4－k ， ∴1<4－k2<2，解得－12<k <0. 答案：(－12,0)6．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝17．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝2，∴c 2a 2＝2即a 2＝b 2. ①又过点P (3，－5)有：9a 2－5b 2＝1， ②由①②得：a 2＝b 2＝4，双曲线方程为x 24－y 24＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．同理有：a 2＝b 2， ③ 5a 2－9b 2＝1， ④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(不合题意，舍去)．综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，半焦距c 1＝a 21－b 21＝5，所以焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)．因此双曲线的焦点也为(－5，0)和(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设条件及双曲线的性质，有 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.即双曲线方程为x 24－y 2＝1.8．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1―→·MF 2―→＝0. 法二：∵1MF ＝(－3－23，－m )，2MF ＝(23－3，－m )， ∴1MF ·2MF ＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴1MF ·2MF ＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.。

2019-2020年高中数学课时跟踪训练十双曲线的几何性质新人教B版选修

2019-2020年高中数学课时跟踪训练十双曲线的几何性质新人教B 版选修1.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝( ) A ．－14B ．－4C ．4D.142．(新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x3．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝ 2D ．x 2－y 2＝124．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝15．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．6．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．7．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2.8．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．答案1．选A 双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍， ∴ m <0，且双曲线方程为－x 24＋y 2＝1，∴m ＝－14.2．选C 由双曲线的离心率e ＝c a ＝52可知，b a ＝12，而双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，故选C.3．选B 由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)，则c ＝2a ，一条渐近线为y ＝x ，∴|2a |2＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2.4．选A 已知c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax 经过点(2,1)，所以a ＝2b ，所以25＝4b 2＋b 2，由此得b 2＝5，a 2＝20，故所求的双曲线方程是x 220－y 25＝1.5．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，∴c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2.答案：26．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线，设其方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 242－y 232＝1.答案：x 216－y 29＝17．解：(1)∵离心率e ＝c a＝2，∴a ＝b . 设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)， ∵(4，－10)在双曲线上， ∴n ＝42－(－10)2＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵M (3，m )在双曲线上，则m 2＝3. 又F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴MF 1⊥MF 2.8．解：(1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1， ∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝PF 1|－|PF 22＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.2019-2020年高中数学课时跟踪训练十双曲线的标准方程苏教版选修1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．2．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.3．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．4．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是__________．6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．8．如图，在△ABC中，已知|AB|＝4 2，且三内角A，B，C满足2sinA＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．答案课时跟踪训练(十)1．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设PF1＝11，根据双曲线的定义知|PF1－PF2|＝2a＝10，∴PF2＝1或PF2＝21，而F1F2＝14，∴当PF2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF2＝21.答案：212．解析：设△PF1F2内切圆的半径为r，则由S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2⇒12×PF2×r＝12×PF1×r－12λ×F1F2×r⇒PF1－PF2＝λF1F2，根据双曲线的标准方程知2a＝λ·2c，∴λ＝a c ＝45. 答案：453．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <34．解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．解析：∵·＝0，∴⊥.∴||2＋||2＝40.∴(||－||)2＝||2－2||·||＋||2＝40－2×2＝36.∴|||－|||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1，∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝|＋2＋94－2－－2＋94－2|＝|4142－942|＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. (2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5，由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120°即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33.8．解：以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。

高中数学课时跟踪检测十双曲线的简单几何性质含解析新人教A版选修11

高中数学课时跟踪检测十双曲线的简单几何性质含解析新人教A 版选修11层级一学业水平达标1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝1解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2．因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A ．3．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：选B 由题意知k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k ．∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4．又e ∈(1,2)，∴1<1－k4<4，∴－12<k <0．4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A ．x 23－y 26＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 1＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1．5．(全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a ．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝2．故选D ．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝17．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ．不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫175，－3215．所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215．答案：32159．(全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |．因为|AF |＝32＋662＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝126． 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2．所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1．(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ．因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5．故m ＝±1．层级二应试能力达标1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2C ． 3D ．1解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝23．故选A ．2．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24．故选D ．3．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A ． 6B ． 5C ．62D ．52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－b a×4，即a ＝2b ．设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52．故选D ．4．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝2．故选A ．法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a．又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|．由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a＝2．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1．答案：x 216－y 24＝16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2．答案：[2，＋∞)7．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4．又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4，两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43．又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2．于是双曲线的离心率为2．8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0．①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k2>0，解得－2<k <2且k ≠±1．即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2．因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝2．。

高中数学 3.3.2 双曲线的简单性质课时作业北师大版选

3.2 双曲线的简单性质课时目标了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．1．双曲线的简单几何性质2.(1)(2)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的两个顶点为A 1(－a,0)、A 2(a ，0)．设B 1(0，－b)、B 2(0，b)，线段A 1A 2叫做双曲线的________，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的半实轴长，线段B 1B 2叫做双曲线的________，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的半虚轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x.(3)当双曲线的离心率e 由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________，原因是b a ＝e 2－1，当e 增大时，b a也增大，渐近线的斜率的绝对值________．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A .x 22－y 24＝1 B .x 24－y22＝1 C .x 24－y 26＝1 D .x 24－y210＝1 2．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52x C ．y ＝±425x D ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A .43B .53C ．2D .73二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________．三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋1213．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，又离心率为2，求双曲线的方程．3．2 双曲线的简单性质知识梳理作业设计1．B [∵e＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，故选B .]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x 2＝1.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x.]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．] 6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c－a ，即2a≥3c－3a ，即5a≥3c，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a>b ，∴a＝3，b ＝2.∴c＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y216＝1(x>3) 解析以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y216＝1(x>3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝－329－23216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y2b2＝1，由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1542a2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP|＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP|＝12，所以c ＝6. 又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y224＝1.11．(1)解 ∵e＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明易知F 1(－23，0)、F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m23，∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2.(3)解 △F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， F 1F 2上的高h ＝|m|＝3， ∴S△F 1MF 2＝6.12.D [设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc )＝－1，整理得b 2＝ac. ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D .]13．解设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1.∵|F 1F 2|＝2c ，而e ＝ca＝2.由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c. 由余弦定理得(2c)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)．∴4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.又∵S△PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝123，∴|PF 1||PF 2|＝48.∴3c 2＝48，c 2＝16.∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线方程为x 24－y212＝1.。

课时作业10：2.3.2　双曲线的几何性质

2.3.2 双曲线的几何性质一、选择题1．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝1 答案 A解析由双曲线的几何性质知，双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 2．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( )A ．(1,2)B ．(－2，－1)C ．(－1，－2)D ．(2,1)答案 C解析将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为－22＝－1.故选C. 3．过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析设弦与双曲线的交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点的横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A.5．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |＝215，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝6B ．x 2－y 2＝9C ．x 2－y 2＝16D ．x 2－y 2＝25答案 B解析设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a >0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2， ∴|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122×433a ＝215，∴a ＝3，故选B. 6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x答案 C解析由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k ，k ∈(0，＋∞)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12. 即渐近线方程为y ＝±12x . 7．若在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(2＋∞)B ．(1，2)C ．(2，＋∞)D ．(1,2)答案 C解析由于到原点O 和右焦点F 距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上，其方程为x ＝c 2.依题意知，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x ＝c 2与右支有两个交点，故应满足c 2>a ，即c a>2，得e >2. 8．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( )A.103B.52C. 5D.343答案 D解析设F (c,0)，则过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )，而渐近线方程是y ＝±b ax ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝－b a x ，得B ⎝⎛⎭⎫ac a －b ，－bc a －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝b a x ，得A ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝⎛⎭⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2，AF →＝⎝⎛⎭⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，由AB →＝－3AF →，得⎝⎛⎭⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝⎛⎭⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b ，即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ，则e ＝c a ＝343，故选D. 二、填空题9．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________．答案 3x ＋4y －5＝0解析易知所求直线的斜率存在，设为k ，则该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0，∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34， ∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.10．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，则|AB |＝________. 考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形的面积答案 3解析易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)，与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 11．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________．答案 2 3解析由双曲线方程知a ＝2，又e ＝c a＝2，所以c ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝12＝2 3.所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ＝3x ，一个焦点为F (4,0)．焦点F 到渐近线y ＝3x 的距离d ＝431＋(3)2＝2 3. 三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．解椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3. ①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1. ②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝12，b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1. 13．设双曲线y 2a 2－x 23＝1(a >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2. (1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程(l 1的斜率大于零)；(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 (1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2.∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2.∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x . ∴l 1的方程为y ＝33x ，l 2的方程为y ＝－33x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )． ∵2|AB |＝5|F 1F 2|＝5×2c ＝20，∴|AB |＝10， ∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝10，即(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100.∵y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ， ∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， ∴y ＝36(x 1－x 2)，y 1－y 2＝233x ，代入(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100，得3×(2y )2＋13(2x )2＝100，整理得x 275＋3y 225＝1.14．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．答案 3解析如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°.又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝2c cos 30°＝433c ， |MF 2|＝2c ·tan 30°＝233c . ∴2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝233c . ∴e ＝c a＝ 3. 15．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1. (1)求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点，当OA →·OB →＝3时，求实数m的值．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其它问题解 (1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. (2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ，设A (x 1,2x 1)，B (x 2，－2x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0，由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2>0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23， OA →·OB →＝x 1x 2＋2x 1(－2x 2)＝－3x 1x 2＝m 2，所以m2＝3，即m＝±3.。

高中数学课时跟踪训练十双曲线的几何性质新人教B版选修1_1

课时跟踪训练(十) 双曲线的几何性质1.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝( )A ．－14B ．－4C ．4D.142．(新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x3．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝2D ．x 2－y 2＝124．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝15．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x2m －y2m2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．6．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．7．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2.8．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．答案1．选A 双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍， ∴m <0，且双曲线方程为－x24＋y 2＝1，∴m ＝－14.2．选C 由双曲线的离心率e ＝c a ＝52可知，b a ＝12，而双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，故选C.3．选B 由题意，设双曲线方程为x2a2－y2a2＝1(a >0)，则c ＝2a ，一条渐近线为y ＝x ，∴|2a|2＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2.4．选A 已知c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x 经过点(2,1)，所以a ＝2b ，所以25＝4b 2＋b 2，由此得b 2＝5，a 2＝20，故所求的双曲线方程是x220－y25＝1.5．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m2＋4，∴c ＝m2＋m ＋4，由e ＝ca ＝5得m2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2. 答案：2。

高中数学《2.3.2.1双曲线的简单几何性质》课时提升作业(含解析)

课时提升作业(十五)双曲线的简单几何性质(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列曲线中离心率为的是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.选项B中,a2=4,b2=2,所以c2=a2+b2=6,所以a=2,c=,故e==. 【变式训练】已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( ) A. B. C. D.【解析】选C.由a2+5=32,得a=2,所以e==.2.(2014·兰州高二检测)已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,则该双曲线的离心率为( )A. 5或B.或C.或D. 5或【解析】选B.因为双曲线的一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,所以=-或=-,所以e==或.【变式训练】(2014·白山高二检测)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则该双曲线的离心率为.【解析】因为双曲线的焦点在x轴上,且渐近线方程为3x〒2y=0,所以=,所以该双曲线的离心率e==.答案:3.(2014·温州高二检测)双曲线x2-y2=1的渐近线方程是( )A.x=±1B.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选C.由双曲线x2-y2=1,得a2=1,b2=1,即a=1,b=1,所以渐近线方程为y=〒x=〒x.4.(2014·太原高二检测)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由所以a=2,又b2=c2-a2=12,所以双曲线的标准方程为-=1.5.(2013·湖北高考)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的( )A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解题指南】分别求两双曲线的半焦距c的值.【解析】选D.c1=c2=1.【举一反三】若双曲线C1与C2的方程分别改为:C1:-=1,C2:-=1则结论如何?【解析】选C.对于双曲线C1,有a=cosθ,b=sinθ,所以c2=cos2θ+sin2θ=1,e==.对于双曲线C2,有a=sinθ,b=sinθtanθ,所以c2=sin2θ(1+tan2θ)=sin2θ=,e===.即e1=e2=,故两双曲线离心率相等.6.(2014·孝感高二检测)设F1,F2是双曲线x2-=1的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使PF1⊥PF2,且|PF1|=λ|PF2|,则λ的值为( )A.2B.C.3D.【解析】选A.因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=20,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以|PF1|=2|PF2|,故选A.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·广州高二检测)若双曲线-=1(b>0)的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),则双曲线的渐近线方程为________________________.【解析】由双曲线-=1(b>0)的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),所以9+b2=52,得b=4, 又a=3,所以双曲线方程为-=1,故渐近线方程为4x〒3y=0.答案:4x〒3y=08.(2014·南昌高二检测)设圆过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是.【解析】不妨设圆心在右支上且在第一象限,若圆过右焦点和左顶点,则这样的圆不存在,故圆只能过右顶点A2(2,0),右焦点F2(4,0),则圆心P为A2F2的垂直平分线与双曲线的交点,将x=3代入双曲线方程,得P(3,).故|OP|==2.答案:29.(2014·重庆高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在一点P满足:①△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形;②直线PF1与圆x2+y2=a2相切,则此双曲线的离心率为.【解析】因为|PF1|-|PF2|=2a,|PF2|=|F1F2|=2c,所以|PF1|=2a+2c,作F2M⊥PF1于M,则|MP|=|PF1|=a+c,所以|MF2|===,又设圆x2+y2=a2与直线PF1切于T,则|OT|=a,由|OT|=|F2M|得:a=,即3c2-2a2-2ac=0,同除以a2得3e2-2e-2=0(e>1),解得e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·大庆高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,求双曲线的方程.【解析】由椭圆+=1,得a′2=16,b′2=9,c′2=a′2-b′2=7,所以a′=4,c′=,故椭圆离心率为e1==.因为双曲线与椭圆+=1有相同焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,所以双曲线的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e2==,所以,a=2,b2=c2-a2=7-4=3.所以双曲线的方程为-=1.11.焦点在x轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.【解析】由已知可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),所以两条渐近线为y=〒x.因为两条渐近线的夹角为,故分两种情况,即y=x的倾斜角为或.当y=x的倾斜角为时,所以=tan=,所以=,即a2=3b2.又2c=12,所以c=6.由c2=a2+b2,得b2=9,a2=27.所以双曲线方程为-=1,e===.当y=x的倾斜角为时,所以=tan=,所以b2=3a2.又2c=12,所以c=6.由c2=a2+b2,得a2=9,b2=27.所以双曲线方程为-=1,e===2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013·福建高考)双曲线-y2=1的顶点到渐近线的距离等于( )A. B. C. D.【解析】选C.双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为x-2y=0,则顶点到渐近线的距离为=.【变式训练】(2013·福建高考)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A. B. C.1 D.【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式.【解析】选B.顶点到渐近线y=x的距离为.2.(2013·北京高考)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是( )A.m>B.m≥1C.m>1D.m>2【解题指南】找出a2,b2,c2,表示出离心率,再解出m.【解析】选C.a2=1,b2=m,c2=1+m,e==>,所以m>1.3.(2014·唐山高二检测)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为( )A.3x±4y=0B.4x±3y=0C.3x±5y=0D.5x±4y=0【解题指南】根据|PF2|=|F1F2|,结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由cos ∠PF1F2=,找出的值.【解析】选B.作F2Q⊥PF1于Q,因为|F1F2|=|PF2|,所以Q为PF1的中点,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,因为cos∠PF1F2=,所以=cos∠PF1F2,即=,得3c=5a,所以3=5a,得=,故双曲线的渐近线方程为y=〒x,即4x〒3y=0.4.(2014·青岛高二检测)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,⊥,且||=||,则双曲线的离心率为( )A. B.1+ C.2 D.1+【解题指南】由于|PF1|=|PF2|又点P是靠近F2的那一支上的一点,则可根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,再结合|PF1|=|PF2|求出|PF1|,|PF2|的值,然后再根据F1F2⊥PF2推出|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2即可得出关于a,c的关系式从而可求出离心率e.【解析】选B.因为|PF1|=|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a(2+),|PF2|=2a(1+),因为F1F2⊥PF2,|F1F2|=2c,所以|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2,所以c2=(3+2)a2,所以e==1+.【变式训练】(2013·陕西高考)双曲线-=1的离心率为.【解题指南】利用双曲线的标准方程中c2=a2+b2及离心率的求解公式e=得解.【解析】由=得e2==,所以e=.答案:二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·哈尔滨高二检测)双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线所成的锐角是.【解析】由e==2,所以=2,即=,所以tanθ=(其中θ为一条渐近线的倾斜角).所以θ=60°,因此两条渐近线所成的锐角为60°.答案:60°6.(2014·重庆高考改编)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得=b2-3ab,则该双曲线的离心率为.【解析】由双曲线的定义知,=4a2,又=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab,等号两边同除a2,化简得-3·-4=0,解得=4或=-1(舍去),故离心率e=====.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.【解析】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的渐近线方程为3x〒y=0.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则其渐近线方程为y=〒x,即=3,则双曲线方程可化为-=1,因为双曲线过点P(3,-1),所以-=1,所以a2=,b2=80,所以所求双曲线方程为-=1.当焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则渐近线方程为y=〒x,即=3,则双曲线方程可化为-=1,因为双曲线过点P(3,-1),所以-=1,得-=1,无解.综上可知所求双曲线方程为-=1.【一题多解】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的两条渐近线方程为3x〒y=0,设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0),因为点P(3,-1)在所求双曲线上,所以λ=80.所以所求双曲线方程为-=1.8.设F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,A1,A2分别为这个双曲线的左、右顶点,P为双曲线右支上的任意一点,求证:以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切,又与以PF1为直径的圆内切.【解题指南】设N,M分别是PF1,PF2的中点,只要证明|OM|=a+|PF2|,并且|ON|=|PF1|-a即可.注意点P在双曲线的右支上,F1,F2是双曲线的两个焦点,满足了运用定义的条件特征,故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径.【证明】如图,以A1A2为直径的圆的圆心为O,半径为a,令M,N分别是PF2,PF1的中点,由三角形中位线的性质,得|OM|=|PF1|.又根据双曲线的定义,得|PF1|=2a+|PF2|,从而有|OM|=(2a+|PF2|)=a+|PF2|.这表明,两圆的圆心距等于两圆半径之和,故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切.同理,得|ON|=|PF2|=(|PF1|-2a)=|PF1|-a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差,故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切.第- 11 -页共11页。

高中数学课时跟踪检测(十)双曲线的简单几何性质(含解析)11

课时跟踪检测(十）双曲线的简单几何性质层级一学业水平达标1．下列双曲线中离心率为错误!的是( )A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1 C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1解析：选B 由e＝错误!得e2＝错误!，∴错误!＝错误!，则a2＋b2a2＝错误!,∴错误!＝错误!，即a2＝2b2．因此可知B正确．2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ）A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4解析：选A 令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0）,∴c＝4，a2＝错误!c2＝错误!×16＝8，故选A．3．双曲线错误!＋错误!＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是（)A．（－10,0) B．（－12,0）C．(－3,0) D．(－60,－12)解析:选B 由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k．∴e2＝错误!＝错误!＝1－错误!．又e∈(1,2），∴1<1－错误!<4，∴－12〈k<0．4．已知双曲线E的中心为原点，F（3，0)是E的焦点，过F 的直线l与E相交于A,B两点，且AB的中点为N(－12,－15）,则E 的方程为（）A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a>0，b>0）,由题意知c＝3,a2＋b2＝9，设A(x1,y1)，B（x2,y2）则有错误!两式作差得错误!＝错误!＝错误!＝错误!,又AB的斜率是错误!＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是错误!－错误!＝1．5．(全国卷Ⅱ）已知A，B为双曲线E的左,右顶点,点M在E 上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°,则E的离心率为( ）A．错误!B．2C ．错误!D ．错误!解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示,设双曲线方程为错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0），则|BM ｜＝｜AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为错误!．∵M 点在双曲线上，∴错误!－错误!＝1，a ＝b ，∴c ＝错误!a ，e ＝错误!＝错误!．故选D ．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点（4，错误!）,且渐近线方程为y ＝±错误!x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x ,∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ（λ≠0）．∵双曲线过点(4，错误!），∴λ＝16－4×（错误!）2＝4,∴双曲线的标准方程为错误!－y 2＝1．法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4，2），而3〈2，∴点（4，3）在渐近线y ＝错误!x 的下方,在y ＝－错误!x 的上方(如图）．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为错误!－错误!＝1（a>0,b〉0)．由已知条件可得错误!解得错误!∴双曲线的标准方程为错误!－y2＝1．答案：错误!－y2＝17．过双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为________．解析：由题意知,a＋c＝错误!，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0,∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：28．双曲线错误!－错误!＝1的右顶点为A,右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________．解析：双曲线错误!－错误!＝1的右顶点A（3,0），右焦点F（5,0)，渐近线方程为y＝±错误!x．不妨设直线FB 的方程为y ＝错误!(x －5），代入双曲线方程整理，得x 2－（x －5）2＝9,解得x ＝错误!，y ＝－错误!，所以B 错误!．所以S △AFB ＝12｜AF ｜｜y B |＝错误!(c －a )·｜y B |＝错误!×(5－3）×错误!＝错误!．答案：错误!9．（全国卷Ⅰ）已知F 是双曲线C :x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，6错误!）．当△APF 周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－错误!＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F （3，0)，F 1(－3，0）．当点P 在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF |－｜PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝｜AP ｜＋|PF ｜＋|AF |＝|AP |＋｜PF 1|＋2＋|AF |．因为|AF ｜＝错误!＝15为定值,所以当（｜AP ｜＋|PF 1|)最小时,△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF1的方程为y＝2错误!x＋6错误!，由错误!得y2＋66y－96＝0，解得y＝2错误!或y＝－8错误!(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝错误!×6×6错误!－错误!×6×2错误!＝12错误!．10．已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率为错误!,且错误!＝错误!．(1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．解：（1)由题意得错误!解得错误!所以b2＝c2－a2＝2．所以双曲线C的方程为x2－错误!＝1．（2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，（x2，y2)，线段AB的中点为M(x0,y0）．由错误!得x2－2mx－m2－2＝0（判别式Δ>0)．所以x0＝错误!＝m,y0＝x0＋m＝2m．因为点M(x0，y0）在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5．故m＝±1．层级二应试能力达标1．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为( ）A．2错误!B．2C．错误!D．1解析：选A 不妨取焦点（4,0）和渐近线y＝错误!x，则所求距离d＝错误!＝2错误!．故选A．2．若双曲线与椭圆x216＋错误!＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24解析：选D 设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为（0，±4错误!），所以λ<0，且－2λ＝（4错误!）2,得λ＝－24．故选D．3．若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,－2)，则它的离心率为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选D 设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)．由题意,知过点（4,－2）的渐近线方程为y＝－错误!x，所以－2＝－错误!×4，即a＝2b．设b＝k（k〉0)，则a＝2k,c＝错误!k，所以e＝错误!＝错误!＝错误!．故选D．4．(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E:错误!－错误!＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1＝错误!，则E的离心率为（)A．错误!B．错误!C．错误!D．2解析：选A 法一:作出示意图，如图，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!，由正弦定理得e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．法二:因为MF1与x轴垂直，所以｜MF1|＝错误!．又sin∠MF2F1＝错误!，所以错误!＝错误!，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝｜MF2｜－|MF1｜＝2｜MF1|＝错误!，所以b2＝a2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝错误!＝错误!．5．已知双曲线错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0）的一个焦点为F （2错误!,0），且离心率为e ＝错误!，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝错误!＝错误!,可得a ＝4,所以b ＝错误!＝2，则双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1．答案：错误!－错误!＝16．已知双曲线错误!－错误!＝1（a 〉0，b >0）的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意，知错误!≥错误!，则错误!≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2,所以e 2＝错误!≥4，所以e ≥2．答案:[2,＋∞）7．设双曲线x 2a 2－错误!＝1（0〈a <b )的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0,b )两点,已知原点到直线l 的距离为错误!c ，求双曲线的离心率．解：直线l 的方程为错误!＋错误!＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．于是有错误!＝错误!c ，所以ab ＝错误!c 2，两边平方，得a 2b 2＝错误!c 4．又b2＝c2－a2,所以16a2(c2－a2）＝3c4，两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝4 3．又b>a，所以e2＝错误!＝1＋错误!>2,则e＝2．于是双曲线的离心率为2．8．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．（1）若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点,且△AOB的面积是2，求实数k的值．解:（1）由错误!消去y,得(1－k2）x2＋2kx－2＝0．①由直线l与双曲线C有两个不同的交点，得错误!解得－错误!〈k<错误!且k≠±1．即k的取值范围为（－错误!，－1)∪(－1，1）∪（1,错误!)．(2)设A（x1，y1)，B(x2,y2)，由方程①，得x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!．因为直线l:y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，则当x1x2<0时,S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝错误!|x1－x2｜＝错误!;当x1x2〉0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!．综上可知，｜x1－x2｜＝22，所以（x1－x2)2＝（x1＋x2)2－4x1x2＝（2错误!）2，即错误!2＋错误!＝8，解得k＝0或k＝±错误!．由(1），可知－2<k<错误!且k≠±1,故k＝0或k＝±错误!都符合题意．。

课时跟踪检测(十) 双曲线的简单几何性质

课时跟踪检测（十）双曲线的简单几何性质层级一学业水平达标1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选C 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( ) A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x 2－y 2＝16，即x 216－y 216＝1. 3．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.4．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36B ．x 2－3y 2＝36C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36 解析：选A 椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23，从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.5．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±35xB ．y ＝±53xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x解析：选D 由双曲线方程为x 2a 2－y 2＝1，知b 2＝1，c 2＝a 2＋1，∴2b ＝2,2c ＝2a 2＋1.∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列， ∴2a ＋2c ＝4b ＝4，∴2a ＋2a 2＋1＝4，解得a ＝34.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知4a 2－9b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，所以e ＝ca ＝2.答案：27．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1.答案：x 216－y 24＝18．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝19．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．解：直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4，两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2.层级二应试能力达标1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－ba x ，所以－2＝－ba ×4，即a ＝2b .设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D.3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.4．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是___________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a 2≥4，所以e ≥2. 答案：[2，＋∞)6．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：32157．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3. 所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*) 设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m 2，y 0＝x 0＋m ＝3m 2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m2＝－⎝⎛⎭⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ>0，故直线l 的方程为y ＝x ±2.8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ① 由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝ 2.综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k＝0或k＝±6都符合题意．2。

高中数学课时跟踪训练十双曲线的简单性质北师大版选修1_1201806061113

课时跟踪训练(十) 双曲线的简单性质1．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4 D.143．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 4．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. 2D.335．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率为e ，e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________． 6．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.7．根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)过P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52.8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0；(3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积．答案1．选C 由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 2．选A 双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m＝1， ∴a 2＝1，b 2＝－1m. 由题意b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14. 3．选B 由方程组⎩⎨⎧ a ＝2，2a ＋2b ＝2·2c ，a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝2.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1. 4．选B 由题意，得|F 1F 2|＝2c ，|MF 2|＝233c ，|MF 1|＝433c . 由双曲线定义得|MF 1|－|MF 2|＝233c ＝2a ，所以e ＝c a ＝ 3.5．解析：由题意知k <0，且a ＝2，c ＝4－k ，∴1<4－k 2<2，解得－12<k <0. 答案：(－12,0)6．解析：设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，所以|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝－12|PF ′|＋|MF |－|FN |＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1. 答案：－17．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． ∵e ＝2，∴c 2a2＝2即a 2＝b 2.① 又过点P (3，－5)有：9a 2－5b2＝1，② 由①②得：a 2＝b 2＝4，双曲线方程为x 24－y 24＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．同理有：a 2＝b 2，③5a 2－9b2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(不合题意，舍去)．综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1. (2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，半焦距c 1＝a 21－b 21＝5，所以焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)．因此双曲线的焦点也为(－5，0)和(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设条件及双曲线的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.即双曲线方程为x 24－y 2＝1.8．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴1MF ·2MF ＝0.法二：∵1MF ＝(－3－23，－m )，2MF ＝(23－3，－m )，∴1MF ·2MF ＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴1MF ·2MF ＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

课时跟踪检测(二十五) 双曲线的简单几何性质

课时跟踪检测(二十五) 双曲线的简单几何性质层级(一) “四基”落实练1．双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m 等于( ) A.14 B ．12C ．2D ．4解析：选D 双曲线x 2－my 2＝1的实轴长为2，虚轴长为21m ，由双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，可得2＝41m ，解得m ＝4.2．(多选)对于方程x 24－y 2＝1和x 24－y 2＝λ(λ>0且λ≠1)所表示的双曲线，下列结论正确的是( )A ．有相同的顶点B ．有相同的焦点C ．有相同的离心率D ．有相同的渐近线解析：选CD 对于方程x 24－y 2＝1，a ＝2，b ＝1，c ＝5；对于方程x 24－y 2＝λ，a ′＝2λ，b ′＝λ，c ′＝5·λ，显然a ′，b ′，c ′分别是a ，b ，c 的λ倍，因此有相同的离心率和渐近线．故选C 、D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a2＝2，∴b a ＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12(a >0，b >0)的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±2x解析：选A 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12，即x 2a 22－y 2b 22＝1与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点相同，可得a 2－b 2＝12a 2＋12b 2，即a 2＝3b 2，所以b a ＝33，可得b 2a 2＝33，故双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .5．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3 C. 2D ．233解析：选A 由题意可知圆的圆心为(2,0)，半径为2.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以|2b |a 2＋b 2＝22－12，所以b 2a 2＝3.故离心率e ＝1＋b 2a2＝2.故选A. 6．焦点为(0,6)，且与双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________.解析：由x 22－y 2＝1，得双曲线的渐近线为y ＝±22x .设双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ<0)，所以x 22λ－y 2λ＝1.所以－λ－2λ＝36，所以λ＝－12.故双曲线方程为y 212－x 224＝1. 答案：y 212－x 224＝17．若直线y ＝x －4与双曲线x 29－y 23＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：将直线方程y ＝x －4代入x 29－y 23＝1，整理得2x 2－24x ＋57＝0，则有x 1＋x 2＝12，x 1·x 2＝572.由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×122－4×572＝215.答案：2158．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其中一条渐近线方程为y＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1―→·PF 2―→＝________.解析：由渐近线方程可知双曲线为等轴双曲线，所以b 2＝2，所以双曲线方程为x 22－y 22＝1，代入点P 的坐标可得y 20＝1.由c ＝2可知，F 1(－2,0)，F 2(2,0)．所以PF 1―→·PF 2―→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝0.答案：09．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，且双曲线C 的实轴长为6，离心率为53.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设点P 是双曲线C 上任意一点，且|PF 1|＝10，求|PF 2|. 解：(1)由题意知，2a ＝6，c a ＝53，解得a ＝3，c ＝5，故b ＝c 2－a 2＝4.所以双曲线C 的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)因为a ＋c ＝8，|PF 1|＝10＞8，所以点P 可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上．①若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝|PF 1|＋6＝16; ②若点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝|PF 1|－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为π3，过双曲线的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6.(1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为π3，∴b a ＝tan π3＝3，即b ＝3a ，∴c ＝a 2＋b 2＝a 2＋3a 2＝2a ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2aa ＝2.(2)作出双曲线的渐近线如图，过点A ，B ，F 作直线y ＝ba x 的垂线，垂足分别为C ，D ，E ，则四边形ACDB 是梯形．∵F 是AB 的中点，∴|EF |＝d 1＋d 22＝3.又F (c,0)，∴|EF |＝|bc |a 2＋b 2＝b ，∴b ＝3，由(1)知b ＝3a ，∴a ＝3， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 29＝1.层级(二) 能力提升练1．(多选)已知双曲线C 过点(3，2)，且渐近线方程为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为 3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点 D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点解析：选AC 因为渐近线方程为y ＝±33x ，所以可设双曲线方程为x 29－y 23＝λ，将(3，2)代入，得λ＝13，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；该双曲线的离心率为23＝233≠3，选项B 不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y ＝e x －2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C 正确；把x ＝2y ＋1代入双曲线方程，得y 2－22y ＋2＝0，解得y 1＝y 2＝2，故直线x －2y －1＝0与双曲线C 只有一个公共点，选项D 不正确．2．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x ．设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3. 在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝⎛⎭⎫32，32，所以|OM |＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.3．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)解析：选B 若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为F (c,0)，左、右顶点分别为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，易求得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2a a ＋c ，kA 2C ＝b 2aa －c.又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1.解得a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴渐近线的斜率k ＝±ba ＝±1. 答案：±15．是否存在同时满足下列条件的双曲线？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由．(1)渐近线方程为x ±2y ＝0；(2)点A (5,0)到双曲线上的动点P 的距离的最小值为 6. 解：假设存在同时满足给定的两个条件的双曲线．设P (x ，y )． ①若双曲线的焦点在x 轴上， ∵渐近线方程为x ±2y ＝0， ∴可设其方程为x 24b 2－y 2b 2＝1(b >0)．则|AP |＝(x －5)2＋y 2＝54(x －4)2＋5－b 2(|x |≥2b )．若2b ≤4，即b ≤2，则当x ＝4时，|AP |取得最小值，为5－b 2＝6，此方程无解；若2b >4，即b >2，则当x ＝2b 时，|AP |取得最小值，为|2b －5|＝6，解得b ＝5＋62⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝5－62<2，舍去，此时存在双曲线，方程为x 2(5＋6)2－y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋622＝1.②若双曲线的焦点在y 轴上，则可设其方程为y 2b 2－x 24b 2＝1(b >0，x ∈R)，于是|AP |＝54(x －4)2＋b 2＋5. ∵x ∈R ，∴当x ＝4时，|AP |取得最小值，为b 2＋5＝6，∴b 2＝1，双曲线的标准方程是y 2－x 24＝1. 综合①②知，存在双曲线，其方程为x 2(5＋6)2－y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋622＝1或y 2－x 24＝1. 层级(三) 素养强化练(2021年1月新高考八省联考卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BFA ＝2∠BAF . 解：(1)当|BF |＝|AF |，且BF ⊥AF 时，有c ＋a ＝b 2a ＝c 2－a2a，所以a ＝c －a ，解得e ＝2.(2)证明：由(1)知双曲线方程为x 2a 2－y 23a2＝1，设B (x ，y )(x ＞a ，y ＞0)，易知渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∠BFA ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，当x >a ，x ≠2a 时，则k AB ＝y x ＋a ，k BF ＝yx －c. 设∠BAF ＝θ，则tan θ＝y x ＋a ，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×yx ＋a1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋a 2＝2(x ＋a )y (x ＋a )2－y 2＝2(x ＋a )y (x ＋a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 2a 2－1＝2x ＋a y －2x 2＋2ax ＋4a 2＝y 2a －x ＝yc －x ＝－k BF ＝tan ∠BFA .因为2∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以∠BFA ＝2∠BAF . 当x ＝2a 时，由(1)可得∠BFA ＝π2，∠BAF ＝π4，故∠BFA ＝2∠BAF .综上，∠BFA ＝2∠BAF .。

高中数学第二章2.2.2.1双曲线的简单几何性质课时达标训练含解析新人教A版选修85

2.2.2.1 双曲线的简单几何性质课时达标训练1.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由双曲线方程可知渐近线方程为y=±x,故可知a=2.2.双曲线-=1的一个焦点为(2,0),则此双曲线的实轴长为( )A.1B.C.2D.2【解析】选C.由已知焦点在x轴上,所以m>0.所以m+3m=4,m=1.所以双曲线的实轴长为2.3.如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率为( ) A. B. C. D.2【解析】选A.由已知椭圆的离心率为,得=,所以a2=4b2.所以e2===.所以双曲线的离心率e=.4.已知双曲线方程为8kx2-ky2=8,则其渐近线方程为.【解析】由已知令8kx2-ky2=0,得渐近线方程为y=±2x.答案:y=±2x5.双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,则双曲线的方程为.【解析】由椭圆方程得焦点为(0,±4),得双曲线焦点在y轴上,且c=4.由渐近线为y=x得a=b,所以a=b=2,方程为-=1.答案:-=16.根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2).(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).【解析】(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),将点(-3,2)代入得λ=,所以双曲线方程为-=,即-=1.(2)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由题意易求c=2.又双曲线过点(3,2),所以-=1.又因为a2+b2=(2)2,所以a2=12,b2=8.故所求双曲线的方程为-=1.【补偿训练】双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若双曲线上存在点P,使|PF1|=2|PF2|,试确定双曲线离心率的取值范围.【解析】由题意知在双曲线上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|,如图所示,又因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a,即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|=2a,即|AF2|≤2a,所以|OF2|-|OA|=c-a≤2a,所以c≤3a.又因为c>a,所以a<c≤3a,所以1<≤3,即1<e≤3,所以双曲线离心率的取值范围为1<e≤3.。

3-【课时作业】2-3-2双曲线的几何性质

课时作业双曲线的简单几何性质1．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62 D.522．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．23．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线的方程应是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝14．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝245．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C.43 D.536．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且∠F 1PF 2＝90°，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b (a >0，b >0)的值等于( )A ．4B ．7C ．6D ．57．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋128．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线交双曲线的一个交点为P ，点I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG →·F 1F 2→＝0，则此双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 二、填空题9．双曲线的中心在原点，离心率e ＝3，准线方程为y ＝±53，则双曲线方程为________．10．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，过F 1且与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若△ABF 2为正三角形，则此双曲线的渐近线方程是________．11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，ba＝2，则离心率e ＝________.12．在给定双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为12，则该双曲线的离心率为________．1. [解析] 由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b ax ， ∴－2＝－b a×4，∴a ＝2b . 设b ＝k ，则a ＝2k ，c ＝5k ， ∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D. [答案] D2.[解析] 双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点坐标是(5,0)，一条渐近线y ＝43x ，此焦点到渐近线的距离d ＝203169＋1＝4.故选C. [答案] C3.[解析] 椭圆x 29＋y 225＝1的焦点坐标是(0，±4)，离心率e 1＝45，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则a 2＋b 2＝16 ①，a 2＋b 2a ＝105②，由①②得a ＝2，b 2＝12，所以双曲线的方程是y 24－x 212＝1.故选C.[答案] C4.[解析] 椭圆x 216＋y 264＝1的焦点坐标是(0，±43)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则a 2＋b 2＝48 ①，ab＝1 ②，由①②得a 2＝b 2＝24.所以双曲线方程为y 2－x 2＝24.故选D.[答案] D5.[解析] ∵4b ＝2(a ＋c )，∴b ＝a ＋c2，而b 2＝c 2－a 2，∴a ＋c24＝c 2－a 2，整理，得5a 2＋2ac －3c 2＝0.∴e ＝c a ＝53.故选D.[答案] D6.[解析] ∵e ＝c a ＝54，∴a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k .由|PF 1|2＋|PF 2|2＝100k 2，12|PF 1|·|PF 2|＝9，(|PF 1|－|PF 2|)2＝100k 2－36＝64k 2.解得k ＝1，∴a ＋b ＝4k ＋3k ＝7.故选B. [答案] B7.[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，而k BF ＝－b c，∴b a· ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，等式两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．故选D.[答案] D8.[解析] 内心I 就是△PF 1F 2的内切圆的圆心，利用切线长相等可得到点I 的横坐标也为a ，则点G 的横坐标也为a ，所以P 点的横坐标为3a ，所以3a ＝c ，所以e ＝c a＝3.故选D. [答案] D9.[解析] a 2c ＝53，e ＝ca＝3，∴a ＝5，c ＝15. ∴b 2＝200.∴双曲线方程为y 225－x 2200＝1.[答案]y 225－x 2200＝1 10.[解析] 据题意，得b 2a ＝33·2c ，两边平方，整理可得(2a 2＋3b 2)(2a 2－b 2)＝0，∴ba＝2，∴渐近线方程为y ＝±2x . [答案] y ＝±2x11.[解析] 方法一：∵b a ＝2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋4＝5，∴e ＝ 5.方法二：∵ba＝2，∴b 2＝4a 2，即c 2－a 2＝4a 2，c 2＝5a 2，两边同除以a 2，得e 2＝5，解关于e 的方程，得e ＝5(负值舍去)．[答案]512.[解析] 不妨设焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，焦点F (c,0)，过焦点且垂直于实轴的直线方程为x ＝c ，代入双曲线方程，得y 2＝b 4a 2，弦长2|y |＝2b2a，∴2b2a＝ 2. ①又焦点到相应准线的距离为12，∴c －a 2c ＝12，∴b 2c ＝12. ②由①②消去b 2可得ca＝2，∴e ＝ 2. [答案]2。

(部编版)2020学年高中数学第二章2.2.2.1双曲线的简单几何性质课时达标训练含解析新人教A版选修85

2018-2019学年高中数学课时跟踪检测(十)双曲线的简单几何性质(含解析)新人教A版选修1-1

课时跟踪检测（十）双曲线的简单几何性质层级一学业水平达标1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选C 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( ) A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x 2－y 2＝16，即x 216－y 216＝1.3．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.4．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23，从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.5．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±35xB ．y ＝±53xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x解析：选D 由双曲线方程为x 2a2－y 2＝1，知b 2＝1，c 2＝a 2＋1，∴2b ＝2,2c ＝2a 2＋1.∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，∴2a ＋2c ＝4b ＝4，∴2a ＋2a 2＋1＝4，解得a ＝34.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知4a 2－9b2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，所以e ＝c a＝2. 答案：27．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1.答案：x 216－y 24＝18．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝19．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4，两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2.层级二应试能力达标1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b ax ，所以－2＝－b a×4，即a ＝2b . 设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D. 3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.4．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是___________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2.答案：[2，＋∞)6．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：32157．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3. 所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m2，y 0＝x 0＋m ＝3m2，所以线段MN 垂直平分线的方程为 y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ>0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ① 由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝ 2.综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。

高中数学课时跟踪检测十双曲线的简单几何性质含解析新人教A版选修1

课时跟踪检测（十）双曲线的简单几何性质层级一学业水平达标1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝1解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2．因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A ．3．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：选B 由题意知k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k ．∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4．又e ∈(1,2)，∴1<1－k4<4，∴－12<k <0．4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A ．x 23－y 26＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 1＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1．5．(全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a ．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝2．故选D ．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝17．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ．不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫175，－3215．所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215．答案：32159．(全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |．因为|AF |＝32＋62＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝126． 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2．所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1．(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ．因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5．故m ＝±1．层级二应试能力达标1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2C ． 3D ．1解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝23．故选A ．2．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24．故选D ．3．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A ． 6B ． 5C ．62D ．52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－b a×4，即a ＝2b ．设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52．故选D ．4．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝2．故选A ．法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a．又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|．由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a＝2．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1．答案：x 216－y 24＝16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2．答案：[2，＋∞)7．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4．又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4，两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43．又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2．于是双曲线的离心率为2．8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0．①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1．即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2．因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝2．综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62．由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。

高中数学：双曲线的简单性质课时训练北师大选修

3.3.2双曲线的简单性质一、选择题1．双曲线221102x y -=的焦距为（）A ．B ．C ．D ． 2．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则 m =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）A B C D ．34．与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（） A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x 二、填空题（本大题共2小题，把答案填在题中的横线上）5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．6．方程22142x y t t +=--所表示的曲线为C ，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则24t <<；②若曲线C 为双曲线，则4t >或2t <；③曲线C 不可能为圆；④若曲线C 表示焦点在y 上的双曲线，则4t >。

以上命题正确的是。

（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共2小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）7.已知双曲线与椭圆1244922=+y x 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线方程．(12分)8.已知曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率3e =l 过A (a ，0)、B (0,)b -两点，原点O 到l 的距离是2。

(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若23-=⋅OM ，求直线m 的方程。