专题六 不等式

专题六 不等式
一、知识梳理：
（一）基本性质：
⑴互逆性：a b b a <⇔>若
⑵传递性：c a c b b a >⇒>>,若
⑶加法单调性：c b c a b a +>+⇒>若
⑷移项法则：b c a c b a ->⇒>+若
⑸加法法则（同向相加）：d b c a d c b a +>+⇒>>,若
⑹减法法则（异向相减）：d b c a d c b a ->-⇒<>,若
⑺乘法单调性：bc ac c b a >⇒>>0,若；bc ac c b a <⇒<>0,若
⑻乘法法则（各项为正，同向相乘）：
⑼倒数法则:b
a b a ab 11,0<⇒
>>若 ⑽乘方法则：n n b a b a >⇒>>0若，（N n n ∈>且,1） ⑾开方法则：n n b a b a >⇒>>0若，（N n n ∈>且,1）
（二）基本不等式：
1、重要不等式：ab b a R b a 2,,22≥+∈∀，当且仅当b a =时等号成立
2、基本不等式：（1）ab b a R b a 2,,≥+∈∀+，当且仅当b a =时等号成立
（2）2)2
(,,b a ab R b a +≤∈∀+，当且仅当b a =时等号成立 （三）线性规划问题
解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

常见目标函数为：x y z y x z by ax z =
+=+=,,22 二、考点分析：
考点一——不等式的基本性质
例1、对于实数c b a ,,中，给出下列命题：
①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；
③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则
若； ⑤b
a a
b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b
c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______
考点二——利用重要不等式求函数最值
例2、（1）下列命题中正确的是（ ）
A 、1y x
x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2
C 、423(0)y x x x =--
>的最大值是2- D 、423(0)y x x x
=-->的最小值是2-
（2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______
（3）正数,x y 满足21x y +=，则
y x 11+的最小值为______
考点三——解绝对值不等式
例3、解不等式3|12|≤-x
例4、解不等式2|1|1≤+<x
考点四——解二元一次不等式组与简单的线性规划问题
1．简单线性规划问题的有关概念
例12、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件
，则y x z 99+=的最大值是（）A. 80B. 85C. 90D. 95
（1）约束条件：变量x 、y 满足的一组条件，如上面高考题中的二元一次不等式组，就是对变量x 、y 的约束条件。

（2）线性约束条件：由变量x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组。

如上面提到的二元一次不等式组中的约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。

（3）目标函数：欲求最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，如题中的y x z 99+=。

（4）线性目标函数：目标函数关于两个变量x 、y 的一次解析式，对于目标函数y x z 99+=，变量x 、y 的次数都是一次，称为线性目标函数。

（5）线性规划问题：在线性约速条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题。

如试题中在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题就是线性规划问题。

（6）可行解：满足线性约束条件的解（x ，y ）。

（7）可行域：由所有可行解组成的集合，如图所示，△ABC 的区域就称为可行域。

（8）最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。

由90)29,211(11
222115max =⇒⇒⎩⎨
⎧=-=-Z B x y x ,选C 。

2．线性规划问题的解题方法和步骤
解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解，它的步骤如下：
（1）设出未知数，确定目标函数。

（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。

（3）观察目标函数By Ax Z +=中点（A ，B ）所在的象限，将直线0=+By Ax 往点（A ，B ）所在的象限平移，越平移目标函数Z 的值越大，往反方向平移越平移目标函数Z 的值则越小。

（4）作平行线：将直线0=+By Ax 平移（即作0=+By Ax 的平行线），使直线与可行域有交点，求出该点的坐标。

（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出Z 的最大（小）值。

3．特别关注
（1）可行域就是二元一次不等式组表示的平面区域，可行域可能是封闭的多边形，也可能是一侧开放的无限大的平面区域。

（2）有些问题要求出最优解的整数解才符合实际情况，当解方程得到的解不是整数解时，常用下面的一些方法求解：
①平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解。

②检验优值法：当可行域中整点个数较少时，可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优解。

三、巩固练习：
1、已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
2、函数的定义域为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、
3、不等式的解集为，则等于（ ） A 、14
B 、10
C 、
D 、
4、下列不等式中，与同解的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、 5、函数4
41
2)(2+--=x x x x f 的定义域为（ ）
A 、)2,(-∞
B 、),2(+∞
C 、),2()2,(+∞⋃-∞
D 、)2,2(-
6、不等式1|2|≥+x 的解集是。

7、设集合}11|
{<-=x x A ，}032|{2<+-=x x x B ，则=B A 。

0<<b a b a 11>1<b a 1<-b a 22b a <24x y -=
()2,2-()()+∞-∞-,22 []2,2-(][)+∞-∞-,22, 022>++bx ax ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-31,21b a +14-10-1<x x x x 111+<+x x <2()()2244-<-x x x ()()2244+<+x x x
(三)解答题（本大题共4小题，共36分）:
8、设，若，求实数的取值范围。

9、某单位欲用木料制作如下图所示的框架，框架的下部是边长分别为（单位为：）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为，问：分别是多少（精确到）时用料最省？
{}
3,4122<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥++=a x x B x x x x A B B A = a y x ,m 28m y x ,m 01.0)414.12(≈。