天津市和平区2017届高三上学期期末质量调查数学(理)试题含答案

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【天津市五区县】2017届高三上学期期末考试(理)数学试卷-答案

天津市五区县2017届高三上学期期末考试（理）数学试卷答案1~5．DACBD6~8．ACD9．810．24-11．32+12．4ln3-1314．(,e)-∞三、解答题:15．（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++π2sin(2)16x a =+++，……………………4分故函数()f x 的最小正周期为πT =．………………………6分（II ）由题意得πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =．……………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235．…………5分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===．………………………………9分所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=．………………………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵~AGD CGE △△，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =，故35GC AC == 同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=，ED AC ⊥．………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥……3分而PA AC A =∴ED ⊥平面PAC ．ED ⊂平面PDE ，故平面PDE ⊥平面PAC ；……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系．由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =- ∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=．……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC，ED ⊂平面PDE ，平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB △为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-．设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>=8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为000(,,)n x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则(1,1,1)n =--，………10分 ∴cos ,n DE <>==．………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --．………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2n A n =，21(1)n A n -=-，两式相减：121n n n a A A n -=-=-；当1n =时，111a A ==，也适合21n a n =-，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．………3分（II ）由题意知：2122n n n n a n c -==，12n n C c c c =+++，123135212222n n n C -=++++， 23411352122222n n C n +-=++++，两式相减可得：1231122221222222n n n C n +-=++++-，……… 4分即123-111111121()2222222n n n C n +-=+++++-， -111121(1)2222n n n C n +-=+--，2332n n n C +=-．………7分（III ）21212121n n n b n n -+=++-，显然212122121n n n n -++>=+-，即2n b >，122n n B b b b n =+++>；………9分另一方面，21212222112212121212121n n n n n n n n -++=-++=+-+-+--+，即122213b =+-，222235b =+-，…，11222121n b n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，2222222(2)(2)(2)22221335212121n B n n n n n =+-++-+++-=+-<+-++，即：222n n B n <<+．………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=．……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -，……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2y M m m x ++．且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-．……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=，……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++ 2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±．所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =．……………14分20．（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥ 所以：2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以：120c -+≥，1c ≥；……………4分（Ⅱ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（Ⅲ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点的横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '= 即：3223200000011(2)()33x x cx d x x c x x x x cx d -++=-+-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠，所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x -所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值……………14分解法二：（Ⅰ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（Ⅱ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（Ⅲ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+．设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程000()()()()f x f x x x f x '=-+的三个实数根，由000()()()()f x f x x x f x '=-+，得32200001(2)()()3x x cx d x x c x x f x -++=-+-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-=，所以1032x x =- 所以22111()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-．因此当且仅当330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分。

天津市五区县2017届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案

绝密★启用前天津市部分区2016~2017学年度第一学期期末考试高三数学(理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上;不使用答题卡的区,学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I卷1至2页,第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分)注意事项:1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件,A B互斥，那么()()()=+．P A B P A P B如果事件,A B相互独立，那么()()()=．P A B P A P B锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示锥体的底面面积,h 表示锥体的高。

柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积,h 表示柱体的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1）已知集合2{1,4},{|log,}A B y y x x A ===∈,则A B =（A ）{}1,4 (B ）{}0,1,4 （C ）{}0,2 (D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ,y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165- (B)3- （C ）0 （D ）1(3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序,则输出v 的值为（A ）4 （B)5 （C)6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形,若2,1==BC AC ，且ABC ∆3 则=AB(A 3 （B 7(C ）22 (D ）3（5）设｛na ｝是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“｛na ｝为单调递增数列”的（A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件(C ）充要条件 (D ）既不充分也不必要条件(6)已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为(A ）221164x y -=(B ）22194x y -=（C ）22149x y -=（D ）22184x y -=（7）在ABC ∆中,D 在AB 上，:1:2AD DB =，E为AC 中点，CD 、BE 相交于点P ,连结AP ．设AP xAB yAC =+,x y ∈R （），则x ,y 的值分别为 (A)11,23(B ）12,33(C)12,55(D ）11,36（8)已知2()(3)e x f x x=-（其中x ∈R ，e 是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程12[()][()]0f x t f x t --=恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（A ）(2e,0)- （B ）(]2e,0- (C ）32e,6e -⎡⎤-⎣⎦ (D ）(32e,6e-⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题,共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题,每小题5分,共30分。

天津五区联考2017-2018高三上学期期末数学(理)试题及答案

13．3
14． ,
1 1 3 e
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ） f x cos x sin x 2 3 sin x cos x
2 2
cos 2 x 3 sin 2 x
由 g n 1 g n
2 n 1 7 2
n 3

2n 7 9 2n n 3 …………………………11 分 2n 2 2
得：当 9 2n 0 2 n 4 n N 时， g 2 g 3 g 4 g 5 ；当 9 2n 0 n 5 n N 时， g 5 g 6 g 7 ；所以对任意 n 2 ，且 n N 均有 g 5 g n ，故 k 5 .………………13 分
（18）（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）设数列 an 的公比为 q ，则由条件得：
2 a3 2 a2 a4 ，
……………………………1分
又 a1 2 ，则 2 2q 2 2 2q 2q 3 4 q 2 1 2q 1 q 2 ，因为 1 q 0 ，解得： q 2 ，故 an 2 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得： bn 2nan n 2 则 Sn 1 2 2 2 n 2

3 , 0 , 0 ， C 0 ,1, 0 ，

由 AC 2 DE 3 得 E 0, 0 ,
3 ， A 0 ,1, 3 …………6 分 2
依题意 AE 0 , 1,

【期末试卷】天津市五区县2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

绝密★启用前天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B = ．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合2{1,4},{|log ,}A B y y x x A ===∈，则A B =U（A ）{}1,4（B ）{}0,1,4（C ）{}0,2（D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ，y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165-（B ）3-（C ）0（D ）1（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形，若2,1==BC AC ，且ABC ∆则=AB（A（B（C）（D ）3（5）设{n a }是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“{n a }为单调递增数列”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（A ）221164x y -=（B ）22194x y -= （C ）22149x y -=（D ）22184x y -= （7）在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD 、BE 相交于正视图侧视图俯视图点P，连结AP．设AP xAB yAC=+u u u r u u u r u u u r,x y∈R（），则x，y的值分别为（A）11,23（B）12,33（C）12,55（D）11,36（8）已知2()(3)e xf x x=-（其中x∈R，e是自然对数的底数），当1t>时，关于x的方程12[()][()]0f x t f x t--=恰好有5个实数根，则实数2t的取值范围是（A）(2e,0)-（B）(]2e,0-（C）32e,6e-⎡⎤-⎣⎦（D）(32e,6e-⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.（9）已知a，∈b R，i是虚数单位，若(12i)(2i)2ia b-+=-，则a b+的值为__________. （10）在261(4xx-的展开式中，3x-的系数为__________. （用数字作答）（11）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________.（12）在平面直角坐标系xOy中，由曲线1yx=（0x>）与直线y x=和3y=所围成的封闭图形的面积为__________.（13）在直角坐标系xOy中，已知曲线1:C11x tty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数)，曲线2:Ccossinx ayθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，1a>)，若1C恰好经过2C的焦点，则a的值为__________.（14）已知24,1,()e, 1.xx x xf xx⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩若方程()f x kx=有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数()2cos (cos )f x x x x a =++（a ∈R ）. （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为2，求a 的值.（16）（本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A 学校且1名为女棋手，另外4名来自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（I ）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（II ）设X 为选出的4名队员中A 、B 两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AD BC ，122AD BC ==，E 在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD .（I ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；（II ）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值；（ii ）求二面角A PC D --的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n A n （n *∈N ），11n n n n na ab a a ++=+（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n B .（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2nn n a c =（n *∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n C ；（III ）证明： 222<<+n n B n （n *∈N ）.PA BECD（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. （20）（本小题满分14分）已知函数321()3f x x x cx d =-++（,c d ∈R ），函数()f x 的图象记为曲线C . （I ）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求c 的取值范围；（II ）若函数()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（III ）设曲线C 在动点00(,())A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题:9.8 10. 24-11. 32+ 12. 4ln 3-14. (,e)-∞三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分（II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD △CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =故355GC AC ==.同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分而PA AC A = ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC = ，(0,0,)AP λ= ，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+= ，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>= ………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC = ，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥ ，n DP ⊥ ∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n，DE >==.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++ ，123135212222-=++++ n n n C ，23411352122222+-=++++ n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++- n n n C n ， ……… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++- n n n C n ，-111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C .………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n，显然212122121-++>=+-n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++> ； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++ n B n n n n n ，即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++ ……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--=由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题:9.8 10. 24-11. 32+ 12. 4ln 3-14. (,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分（II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD △CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =故35GC AC ==.同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分而PA AC A = ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC = ，(0,0,)AP λ= ，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+= ，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>= ………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC = ，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥ ，n DP ⊥ ∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n，DE >==.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++ ，123135212222-=++++ n n n C ，23411352122222+-=++++ n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++- n n n C n ， ……… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++- n n n C n ，-111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n，显然212122121-++>=+-n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++> ； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++ n B n n n n n ，即：222<<+n n B n . ………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++ ……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--=由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分。

和平区2017届高三三模数学(理)试题及答案

(Ⅱ) 解: 由题设条件及三角函数的图象和性质可知 f ( x) 的周期为 , 则
2
……(2 分)
3 . 6
z A1 C1 B1

,即 2 .
x [2, 3] 时, f ( x) 2 x 2 12 x 18 ,若函数 y f ( x) log a ( x 1) 在 (0, ) 上至少有 5 个零点,则 a 的取值范围是
(1) 已知集合 A {x ( x 2)( x 3) ≤ 0, x Z } , B {x ( x 2) 2 1} ,则 A B (A) {1, 1} (C) {1, 1, 3} (B) {1, 3} (D) {3, 1, 1}
(3) B
1 6
(4) B
(5) A
(6) A
(7) B
(8)
C
(Ⅱ) 解: 随机变量 X 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3 .
1 1 P ( X 0) ( ) 5 , 3 243
二、填空题 (每小题 5 分，共 30 分) (9) 2 (10) (11) (12) ( , 10) (0, ) (13) 45 (14) 3
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。祝同学们考试顺利！
(5) 若不等式 x 1 x m ≤ 4 的解集非空,则实数 m 的取值范围是 (A) [5, 3] (6) “ a (B) [3, 5] (C) [5, 3] (D) [3, 5]
A，B 相互独立,那么
的右焦点.若 90 AFB 120 ,则该双曲线离心率的取值范围是 (A) (1, (C) (1,
2) 2 3 ) 3

天津市和平区2017届高三上学期期末数学试卷(理科)

2016-2017学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|﹣3≤x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣2，1]B．（﹣3，﹣2]C．[﹣3，﹣2）D．（﹣∞，1]∪（3，+∞）2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．143．如图，在△ABC中，若AB=5，AC=7，∠B=60°，则BC等于（）A．B．C．8 D．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T的值为（）A．57 B．120 C．183 D．2475．已知log a2，log b2∈R，则“2a＞2b＞2”是“log a2＜log b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C． D．47．如图，在平行四边形ABCD中，，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是（）A．[0，3]B．[1，4]C．[2，5]D．[1，7]8．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题已知z1=a+3i，z2=3﹣4i，若为纯虚数，则实数a的值为．10．的展开式中的常数项为．（用数学作答）11．几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．直线y=kx+3（k≠0）与圆x2+y2﹣6x﹣4y+9=0相交于A、B两点，若，则k的值是．13．已知a＞b＞0，那么a2+的最小值为．14．定义在R上的奇函数f（x）是周期为2的周期函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则f（log23）的值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的单调递增区间．16．（13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为和．（1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB∥PA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥PC；（2）求证：BD∥平面PEC；（3）求锐角二面角D﹣PC﹣E的余弦值．=a n+3•2n﹣1．18．（13分）设数列{a n}满足条件a1=1，a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若=n，求数列{b n}的前n项和S n．19．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）经过点A（2，3），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）若∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E 上的一点，当△ABC的面积最大时，求C点的坐标．20．（14分）已知函数（a∈R且a≠0）．（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在（﹣2，f（﹣2））处的切线方程；（2）当a＞0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；（3）当x∈[2a，2a+2]时，不等式|f'（x）|≤3a恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|﹣3≤x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣2，1]B．（﹣3，﹣2]C．[﹣3，﹣2）D．（﹣∞，1]∪（3，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，再由集合的交集运算即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={x|﹣3≤x≤1}=[﹣3，1]，则A∩B=（﹣2，1]．故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查二次不等式的解法，属于基础题．2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．14【考点】简单线性规划．【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=﹣4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时Z最大，由，解得，即A（2，3），代入z=4x+y得最大值为z=4×2+3=11．故选：B．【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．3．如图，在△ABC中，若AB=5，AC=7，∠B=60°，则BC等于（）A．B．C．8 D．【考点】余弦定理的应用．【分析】由已知利用余弦定理即可解得BC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC=60°，且AB=5，AC=7，∴由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，可得：72=52+BC2﹣2×5×BC×，∴整理可得：BC2﹣5BC﹣24=0，解得：BC=8或﹣3（舍去）．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T的值为（）A．57 B．120 C．183 D．247【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，k的值，可得当k=63时满足条件k＞60，退出循环，输出T的值为120，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得T=0，k=1T=1不满足条件k＞60，k=3，T=4不满足条件k＞60，k=7，T=11不满足条件k＞60，k=15，T=26不满足条件k＞60，k=31，T=57不满足条件k＞60，k=63，T=120满足条件k＞60，退出循环，输出T的值为120．故选：B．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．5．已知log a2，log b2∈R，则“2a＞2b＞2”是“log a2＜log b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别由2a＞2b＞2，得到a＞b＞1，由log a2＜log b2，得到a＞b，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由2a＞2b＞2，得：a＞b＞1，得：log a2＜log b2，是充分条件，由log a2＜log b2得：＜，即＜，故a＞b，故”2a＞2b＞2”是“log a2＜log b2”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C． D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知条件，分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线，由三角形的面积求出b=a，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：y2=﹣8x的准线方程为l：x=2，∵双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，△ABO的面积为，∴=，∴b=a，∴c=2a，∴e==2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线、双曲线的简单性质．7．如图，在平行四边形ABCD中，，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是（）A．[0，3]B．[1，4]C．[2，5]D．[1，7]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）．∵，λ∈[0，1]，=+λ=+λ=M（2+，λ），即M（2+，λ）；==+（﹣λ）=（，）+（1﹣λ）•（2，0）=（﹣2λ，），即N（﹣2λ，）．所以=（2+，λ）•（﹣2λ，）=﹣λ2﹣2λ+5=﹣（λ+1）2+6．因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，故当λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故选：C．【点评】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．8．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A． B． C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点，数形结合可得答案．【解答】解：函数的图象如下图所示：若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点，当直线y=x+m经过原点时，m=0，由y=﹣x2+2x的导数y′=﹣2x+2=得：x=，当直线y=x+m与y=﹣x2+2x相切时，切点坐标为：（，），当直线y=x+m经过（，）时，m=，故m∈（0，），故选：D．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档．二、填空题（2016秋•和平区期末）已知z1=a+3i，z2=3﹣4i，若为纯虚数，则实数a的值为4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z1=a+3i，z2=3﹣4i，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．【解答】解：∵z1=a+3i，z2=3﹣4i，∴=，又为纯虚数，∴3a﹣12=0，即a=4．故答案为：4．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．10．的展开式中的常数项为．（用数学作答）【考点】二项式定理的应用．=（﹣1）r，令=0，解得r即可得【分析】通项公式T r+1出．==（﹣1）r，【解答】解：通项公式T r+1令=0，解得r=6，∴常数项为=．故答案为：．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=3××22=cm2，高h=3cm，故棱锥的体积V==cm3，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．12．直线y=kx+3（k≠0）与圆x2+y2﹣6x﹣4y+9=0相交于A、B两点，若，则k的值是0或．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长，解此方程求出k的取值即可．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣4y+9=0化为：圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4圆心坐标（3，2），半径为2，因为直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，，由弦长公式得，圆心到直线的距离等于1，即=1，8k（k+）=0，解得k=0或k=﹣，故答案为：0或．【点评】本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用．考查计算能力．13．已知a＞b＞0，那么a2+的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】先利用基本不等式求得b（a﹣b）范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案．【解答】解：因为a＞b＞0，，所以，当且仅当，即时取等号．那么的最小值是4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的时候注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立．14．定义在R上的奇函数f（x）是周期为2的周期函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则f（log23）的值为﹣．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由奇函数和周期函数的定义，转化f（log23）=﹣f（log2），再由已知条件，结合对数恒等式计算即可得到所求值．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）是周期为2的周期函数，可得f（log23）=﹣f（﹣log23）=﹣f（2﹣log23）=﹣f（log2），由当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，可得f（log2）=2﹣1=﹣1=，则f（log23）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的运用，注意定义和转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）（2016秋•和平区期末）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的单调递增区间．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）在上的单调递增区间．【解答】解：（1）∵函数=cos2x+sin2x+2cos（﹣x）•[﹣sin（﹣x）]===，∴f（x）的最小正周期．（2）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．再根据x∈，可得f（x）在上的单调递增区间为[﹣，]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．16．（13分）（2016秋•和平区期末）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为和．（1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由甲3次均击中目标的概率为，利用相互对立事件的概率计算公式即可得出甲至多击中目标目标2次的概率．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．X～B．利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望即可得出．【解答】解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为，∴甲至多击中目标目标2次的概率为．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．X～B．∴，，，．∴随机变量X的分布列为∴随机变量X的数学期望，或E（X）==2．【点评】本题考查了相互对立事件的概率计算公式、二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（13分）（2016秋•和平区期末）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB∥PA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥PC；（2）求证：BD∥平面PEC；（3）求锐角二面角D﹣PC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，通过计算，证明AF⊥PC．（2）取PC的中点M，连接EM．证明BD∥EM．然后证明BD∥平面PEC．（3）求出平面PCD的一个法向量．平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解锐二面角D﹣PC﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：依题意，PA⊥平面ABCD，如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4，0，0），P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）．∵，，∴，∴AF⊥PC．（2）证明：取PC的中点M，连接EM．∵M（2，2，2），，，∴，∴BD∥EM．∵EM⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，∴BD∥平面PEC．（3）解：∵AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC=P，∴AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．设平面PCE的法向量为，∵，，∴即令y=1，得x=1，z=2，故．∴，∴锐二面角D﹣PC﹣E的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行，直线与直线垂直的证明方法，考查空间想象能力以及计算能力．=a n+3•2n﹣18．（13分）（2016秋•和平区期末）设数列{a n}满足条件a1=1，a n+11．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若=n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）利用数列的递推关系式，累加求和，求解通项公式即可．（2）求出数列的通项公式，然后求解数列的和即可．【解答】解：（1）∵a1=1，，∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+3×20+3×21+…+3×2n﹣2=（n≥2），∵当n=1时，3×21﹣1﹣2=1式子也成立，∴数列{a n}的通项公式．（2）解：∵，即：，，，…∴S n=b1+b2+b3+…+b n=3（1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1）﹣（2+4+6+…+2n）．设，①则，②①﹣②，得，∴，∴=3（n﹣1）•2n﹣n（n+1）+3．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．19．（14分）（2016秋•和平区期末）已知椭圆E：（a＞b＞0）经过点A（2，3），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）若∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E 上的一点，当△ABC的面积最大时，求C点的坐标．【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程．（2）求出焦点坐标，得到直线AF1的方程，直线AF2的方程，设P（x，y）为直线l上任意一点，利用，求出直线l的方程为2x﹣y﹣1=0．设过C点且平行于l的直线为2x﹣y+m=0，联立直线与椭圆方程的方程组，求出m 然后求解C点的坐标．【解答】解：（1）由椭圆E经过点A（2，3），离心率，可得解得∴椭圆E的方程为．（2）由（1）可知F1（﹣2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为，即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆E上的位置易知直线l的斜率为正数．设P（x，y）为直线l上任意一点，则，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负数，舍去）．∴直线l的方程为2x﹣y﹣1=0．设过C点且平行于l的直线为2x﹣y+m=0，由整理得19x2+16mx+4（m2﹣12）=0，由△=（16m）2﹣4×19×4（m2﹣12）=0，解得m2=76，因为m为直线2x﹣y+m=0在y轴上的截距，依题意，m＞0，故．解得x=，y=．∴C点的坐标为．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（14分）（2016秋•和平区期末）已知函数（a ∈R且a≠0）．（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在（﹣2，f（﹣2））处的切线方程；（2）当a＞0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；（3）当x∈[2a，2a+2]时，不等式|f'（x）|≤3a恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（﹣2），f′（﹣2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出f′（x）的最小值和最大值，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵当a=﹣1时，，f'（x）=﹣x2﹣4x ﹣3，∴，f'（﹣2）=﹣4+8﹣3=1．∴，即所求切线方程为3x﹣3y+8=0．（2）∵f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣a）（x﹣3a）．当a＞0时，由f'（x）＞0，得a＜x＜3a；由f'（x）＜0，得x＜a或x＞3a．∴函数y=f（x）的单调递增区间为（a，3a），单调递减区间为（﹣∞，a）和（3a，+∞），∵f（3a）=0，，∴当a＞0时，函数y=f（x）的极大值为0，极小值为．（3）f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣2a）2+a2，∵f'（x）在区间[2a，2a+2]上单调递减，∴当x=2a时，，当x=2a+2时，．∵不等式|f'（x）|≤3a恒成立，∴解得1≤a≤3，故a的取值范围是[1，3]．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。

和平区2017届高三一模数学(理)试题及答案

和平区2016-2017学年度第二学期高三第一次质量调查数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+-，若{1,2}A B =- ，则a 的值为A．-2或-1B．0或1C．-2或1D．0或-22、设变量,x y 满足约束条件3010230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数32z x y =+的取值范围是A．[]6,22B．[]7,22C．[]8,22D．[]7,233、在ABC ∆中，若4,3AB AC BC ===，则sin C 的值为A．23B．19C．53D．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A．32B．53C．4124D．103605、“125x x ++-≤”是“23x -≤≤”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP ∆为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP ∠的度数为A．030B．060C．0120D．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BAD AB AD π∠===，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC AD DC λ==,其中[]0,1λ∈，则AN BM ⋅ 的取值范围是A．[]3,1--B．[]3,1-C．[]1,1-D．[]1,38、已知函数()2223,2213,2x x x f x x x x ⎧+-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x m -=恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范围是A．[]0,4B．(0,4)C．(4,5)D．(0,5)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..9、已知复数121i a bi i +=++，则a b +=10、8(x y 的展开式中2x 的系数为（用数字作答）11、已知一个几何体的三视图如右图所示（单位：cm ）则该几何体的体积为3cm 12、在直角坐标系xOy中，直线的参数方程是12(12x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，则圆C 的圆心到直线l 的距离为13、已知()3236,()1,()9f x x x x f a f b =++==，则a b +的值为14、若不等式223()x y mx x y +≥+对于,x y R ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分13分）已知函数()2)cos()2cos ()(0)444f x ax ax ax a πππ=--+->，且函数的最小正周期为2π.（1）求a 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值.16、（本小题满分13分）理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可)；（2）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如下表：规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X 的分布列和数学期望.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,//,,2,ABCD AB DC DA AB AB AP ⊥==1,DA DC E ==为PC 上一点，且23PE PC =.（1）求PE 的长；（2）求证：AE ⊥平面PBC ；（3）求二面角B AE D --的度数.18、（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知111,21()n n a a S n N ++==+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若31n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点，且以椭圆的短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形.（1）求椭圆E 的方程；（2）设(,)P x y 是椭圆E 上的动点，(2,0)M 为以定点，求PM 的最小值及取得最小值时点P的坐标.20、（本小题满分14分）设函数()21ln ,(0)2f x x a x a =+<.（1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线斜率为12，求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设()2(1)g x x a x =--，当1a ≤-时，讨论()f x 与()g x 图象交点的个数.。

2017届高三上学期期末考试(理)数学试卷

天津市五区县2017届高三上学期期末考试（理）数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{1,4},{|log ,}A B y y x x A ===∈，则A B =U （）A ．{}1,4B ．{}0,1,4C ．{}0,2D ．{}0,1,2,42．设变量x ，y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（）A ．165-B ．3-C ．0D ．13．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知ABC △是钝角三角形，若1,2AC BC ==，且ABC △，则AB =（） ABC． D ．3 5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为单调递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（）A ．221164x y -=B ．22194x y -=C ．22149x y -=D ．22184x y -= 7．在ABC △中，D 在AB 上，:1:2AD DB=，E 为AC 中点，CD 、BE 相交于点P ，连结AP ．设AP x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ,x y ∈R （），则x ，y 的值分别为（）A ．11,23 B ．12,33 C ．12,55 D ．11,368．已知2()(3)e x f x x =-（其中x ∈R ，e 是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程12[()][()]0f x t f x t --=恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（）A ．(2e,0)-B ．(]2e,0-C ．32e,6e -⎡⎤-⎣⎦D ．(32e,6e -⎤-⎦ 第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分．9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(12i)(2i)2i a b -+=-，则a b +的值为__________．10．在261(4)x x-的展开式中，3x -的系数为__________．（用数字作答）11．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________．12．在平面直角坐标系xOy 中，由曲线1y x=（0x >）与直线y x =和3y =所围成的封闭图形的面积为__________． 13．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1:C 11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线2:C cos sin x a y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，1a >），若1C 恰好经过2C 的焦点，则a 的值为__________．14．已知24,1,()e ,1.x x x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩若方程()f x kx =有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为__________． 242 44正视图侧视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()2cos (cos 3sin )f x x x x a =++（a ∈R ）．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,]2x ∈时，()f x 的最小值为2，求a 的值．16．（本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A 学校且1名为女棋手，另外4名来自B 学校且2名为女棋手．从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（I ）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（II ）设X 为选出的4名队员中A 、B 两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AD BC ，122AD BC ==，E 在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PAB △为等腰直角三角形．（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值；（ii ）求二面角A PC D --的余弦值．18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2n A n =（n *∈N ），11n n n n n a a b a a ++=+（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n B ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n n a c =（n *∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n C ；（Ⅲ）证明：222n n B n <<+（n *∈N ）．19．（本小题满分14分）PABE C D已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F △的周长为6，且点1F 到直线00(,())A x f x 的距离为1l ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值．20．（本小题满分14分）已知函数321()3f x x x cx d =-++（,c d ∈R ），函数()f x 的图象记为曲线C ．（Ⅰ）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求c 的取值范围；（Ⅱ）若函数()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求(,e)-∞的值；（Ⅲ）设曲线C 在动点00(,())A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由．。

2017天津和平区高三一模【理】数学真题卷

2017年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合{}1,1,2A =-，{}21,2B a a =+-，若{}1,2A B =- ，则a 的值为（）．A ．2-或1B ．0或1C ．2-或1-D ．0或2-【答案】A【解析】∵集合{}1,1,2A =-，{}21,2B a a =+-，{}1,2A B =- ，∴21122a a +=-⎧⎨-=⎩或21221a a +=⎧⎨-=-⎩，解得2a =-或1a =．故选A ．2．设变量x ，y 满足约束条件3010230x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，则目标函数32z x y =+的取值范围是（）．A ．[6,22]B ．[7,22]C ．[8,22]D ．[7,23]【答案】B【解析】由约束条件3010230x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，作可行域如图．由32z x y =+，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点A ，B 时，目标函数取得最值，由：10230x y x y -+=⎧⎨--=⎩，可得(4,5)A ，由103x y x y -+=⎧⎨+=⎩可得(1,2)B 时，目标函数取得最小值和最大值，分别为max 342522z =⨯+⨯=，min 31227z =⨯+⨯=．目标函数的范围：[7,22]．故选B ．3．在ABC △中，若4AB =，3AC BC ==，则sin C 的值为（）．A ．23B ．19CD【答案】D【解析】在ABC △中， ∵4AB =，3AC BC ==，∴2222223341cos 22339AC BC AB C AC BC +-+-===⋅⨯⨯，∴sin C = 故选D ．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为（）．A ．32B ．53C ．4124D ．10360【答案】C 【解析】模拟执行程序框图，可得 1i =，0S =，1k =；1k =，不满足条件4i >，1S =，2i =；12k =，不满足条件4i >，32S =，3i =；16k =，不满足条件4i >，53S =，4i =；124k =，不满足条件4i >，4124S =，5i =；1120k =，满足条件4i >，退出循环，输出4124S =．故选C ．5．“||1|25|x x ++-≤”是“23x -≤≤”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由||1|25|x x ++-≤，2x ≥时，化为215x -≤，解得23x ≤≤；12x -<≤时，化为1(2)5x x +--≤，化为：35≤，因此12x -<≤；1x <-时，化为125x x ---+≤，解得21x -<-≤．综上可得：23x -≤≤．∴“||1|25|x x ++-≤”是“23x -≤≤”的充要条件．故选C ．6．已知A 、B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，P 为双曲线上一点，且ABP △ABP ∠的度数为（）． A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．30︒或120︒ 【答案】Da b =，双曲线方程为222x y a -=，若||||2AB BP a ==，设(,)P m n ，则222222()4m n am a n a ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， ∴2m a =，∴60PBx ∠=︒， ∴120ABP ∠=︒，若||||2AB AP a ==，设(,)P m n ，则222222()4m n am a n a ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩， ∴2m a =-，∴120PAB ∠=︒， ∴30ABP ∠=︒，故选D ．7．如图，在平行四边形ABCD 中，π3BAD ∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边AD 、CD 上的点，且满足MD NCAD DCλ==，其中1[]0,λ∈，则AN BN ⋅ 的取值范围是（）．A ．[]3,1﹣B ．[3,1]--C ．[]1,1-D ．[1,3]【答案】B【解析】建立如图所示的以A 为原点，AAB ，AD 所在直线为x ，y 轴的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A，12D ⎛ ⎝⎭．∵满足MD NCAD DCλ==，1[]0,λ∈， (1)(1)AN AD DN AD DC AD AB λλ=+=+-=+-1(1)(2,0)2λ⎛=+- ⎝⎭522λ⎛=- ⎝⎭， (1)BM BA AM AB AD λ=+=-+-131(2,0)(1))222λλλ⎛⎛⎫=-+-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5312)222AN BM λλλ⎛⎛⎫⋅=-⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5312)222λλλ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22113324λλλ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为1[]0,λ∈，二次函数的对称轴为：12λ=-，则[0,1]为增区间，故当1[]0,λ∈时，2[3,]31λλ-+-∈-．故选B ．8．已知函数22|23|,2()213,2x x x f x x x x ⎧+-<⎪⎨--+⎪⎩≥，若关于x 的方程()0f x m -=恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范围是（）．A ．[0,4]B ．(0,4)C ．(4,5)D ．(0,5)【答案】B【解析】作出函数的图像，如图所示，关于x 的方程()0f x m -=恰有五个不相等的实数解，则()y f x =与y m =有五个不同的交点， ∴04m <<，故选B ．二、填空题 9．（5分）已知复数12ii 1ia b +=++，则a b +=__________．【答案】2【解析】∵i (12i)(1i)3i i=+i 1i (1i)(1i)1231222a b +===++-+++-， ∴32a =，12b =，则31222a b +=+=，故答案为2．10．（5分）8x y ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为__________．（用数字作答）【答案】70【解析】8382188C (1)C rrr r r r r x T x y --+⎛⎫⎛==- ⎪ ⎝⎝⎭，令3822r -=，解得4r =， ∴展开式中2x 的系数48C 70==．故答案为70．11．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为__________3cm ．【答案】20【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，如图所示；该几何体的体积为311134423420cm 232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．故答案为20．12．（5分）在直角坐标系xOy ，直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程式4cos ρθ=-，则圆C 的圆心到直线l 的距离为__________．【答案】12．【解析】直线l的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），普通方程为10x +=，圆4cos ρθ=-即24cos ρρθ=-，即2240x y x ++=，即22(2)4x y ++=，表示以(2,0)-为圆心，半径等于2的圆． ∴圆C 的圆心到直线l12=，正视图侧视图俯视图C 1B 1A 1CBA故答案为12．13．（5分）已知32()36f x x x x =++，()1f a =，()9f b =-，则a b +的值为__________．【答案】2-【解析】∵32()36f x x x x =++，()1f a =，()9f b =-， ∴3()(1)316f x x x x +--=+ 3(1)31x x =++- 3(1)3(1)4x x =+++-，∴函数()f x 的图像于(1,4)--对称， ∵()1f a =，()9f b =-，∴(,())a f a ，(,())b f b 恰好关于(1,4)--对称， ∴2a b +=-．故答案为2-．14．（5分）若不等式223()x y mx x y ++≥对于x ∀，y ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[]6,2-【解析】∵223()x y mx x y ++≥恒成立，即22(3)0m x my x y ⋅+--≥恒成立， ∴222304(3)0m m y m y ->⎧⎨--⎩≤， ∴2304120m m m ->⎧⎨+-⎩≤，解得62m -≤≤．故答案为[]6,2-．三、解答题15．（13分）已知函数2πππ()cos 2cos (0)444f x ax ax ax a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且函数的最小正周期为π2．（1）求a 的值．（2）求()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）2．（2）最大值3和最小值1．【解析】（1）函数2πππ()cos 2cos (0)444f x ax ax ax a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简可得：ππ()2cos 2122f x ax ax ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin21ax ax =++π2sin 213ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵函数的最小正周期为π2．即π2T =，由2π2T a=，可得2a =， ∴a 的值为2．故π()2sin 413f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（2）π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π40,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当π403x +=时，函数()f x 取得最小值为1，当ππ432x +=时，函数()f x 取得最大值为2113⨯+=，∴()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1．16．（13分）理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）（2）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表：规定85分以上3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】（1）34912C C ．（2）9()7E X =．【解析】（1）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人．可以得到34912C C 个不同的样本．（2）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X 可能取值为0，1，2，3，则33437()C C C k k P X k -==，可得4(0)35P X ==，18(1)35P X ==，12(2)35P X ==，1(3)35P X ==．其X 分布列为：数学期望18()01233535357E X =+⨯+⨯+⨯=．17．（13分）如图，四棱锥PABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，DA AB ⊥，2AB AP ==，1DA DC ==，E 为PC 上一点，且23PE PC =．（1）求PE 的长．（2）求证：AE ⊥平面PBC ．（3）求二面角B AE D --的度数．【答案】（1．（2）见解析．（3）120︒．【解析】（1）解：∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，DA AB ⊥， 2AB AP ==，1DA DC ==，E 为PC 上一点，AE CBPDAE CBPD且23PE PC =，∴AC∴6PC ，∴23PE PC == （2）证明：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,1,0)C ，(0,0,2)P ，222,,333E ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,0,0)B ，222,,333AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(2,0,2)PB =- ，(1,1,2)PC =-，44033AE PB ⋅=-= ，2240333AE PC ⋅=+-= ，∴AE PB ⊥，AE PC ⊥，又PB PC P = ，∴AE ⊥平面PBC ．（3）解：(0,1,0)D ，(2,0,0)AB = ，(0,1,0)AD =，222,,333AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =，则202220333n AB x n AE x y z ⎧⎪⋅=⎨⎪=⋅=+=⎩+，取1y =，得(0,1,1)n =- ，设平面ADE 的法向量(,,)m a b c =，则0222333m AD b m AE a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1a =，得(1,0,1)m =- ，设二面角B AE D --的度数为θ，则||1cos(π)cos ,2||||m n m n m n θ⋅-=<>==⋅． ∴120θ=︒，∴二面角B AE D --的度数为120︒．18．（13分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，121()*n n a S n +=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若31n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n a -=．（2）3553244n n ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵121n n a S +=+，∴121n n a S -=+，(2)n ≥，两式相减得：12n n n a a a +=-，即13n na a +=．又1n =时，21213a a =+=， ∴213a a =， ∴{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴13n n a -=．（2）1(31)(31)3n n n b n a n -=-=-⋅，∴0121235383(31)3n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ①，∴1233235383(31)3n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅ ②，∴23422333331)3(n n n T n -=++++--+⋅3(13)551(31)3331322n n n n n -⎛⎫=---⋅=-⋅- ⎪-⎝⎭， ∴3553244n n n T ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭．19．（14分）已知椭圆2222:=1(0)x y E a b a b+>>经过点，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．（1）求椭圆E 的方程．（2）设(,)P x y 是椭圆E 上的动点，(2,0)M 为一定点，求||PM 的最小值及取得最小值时P 点的坐标．【答案】（1）221164x y +=．（2）8,3⎛- ⎝⎭．【解析】（1）由题意可知：2b a =，将代入椭圆方程：222214x y b b+=，解得：24b =，216a =，∴椭圆E 的方程221164x y +=．（2）由222||(2)PM x y =-+，由(,)P x y 在椭圆上，(44)x -≤≤则2244x y =-， ∴2223388||4444844433x PM x x x x x ⎛⎫=++-=-+=++ ⎪⎭-⎝， ∴当83x =-时，||PM， ∴当83x =-，解得：y =， ∴||PM，P点的坐标8,3⎛- ⎝⎭．20．（14分）设函数21()ln 2f x x a x =+，(0)a <．（1）若函数()f x 的图像在点(2,(2))f 处的切线斜率为12，求实数a 的值．（2）求()f x 的单调区间．（3）设2(()1)g x x a x =-，当1a -≤时，讨论()f x 与()g x 图像交点的个数．【答案】（1）3-．（2）当0a <时，()f x 的增区间是)+∞，减区间是．（3）1．【解析】（1）函数21()ln 2f x x a x =+的导数为()a f x x x'=+，由函数()f x 的图像在点(2,(2))f 处的切线斜率为12，可得1222a +=，解得3a =-．（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2()x a f x x+'=，当0a <时，()f x '=当0x <<()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．综上，当0a <时，()f x 的增区间是)+∞，减区间是．（3）令221()()()ln (1)2F x f x g x x a x x a x =-=+-+- 21(1)ln 2x a x a x =-+-+，0x >，问题等价于求函数()F x 的零点个数．当1a -≤时，(1)()()1a x x a F x x a x x-+'=-+-+=-， ①当1a =-时，()0F x '≤，()F x 递减，由93(3)6ln3ln3022F =-+-=->，(4)88ln 40F =-+-<，由零点存在定理可得()F x 在(3,4)内存在一个零点；②当1a -时，即1a ->时，()F x 在(0,1)递减，(1,)a -递增，(,)a -+∞递减，由极小值11(1)(1)ln1022F a a a =+-+=->，极大值22211()ln()ln()022F a a a a a a a a a a -=-++-=+-->-，由x →+∞时，()F x →-∞，可得()F x 存在一个零点．综上可得，当1a -≤时，()f x 与()g x 图像交点的个数为1．。

天津市五区县2017届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案

绝密★启用前天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =I ．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合2{1,4},{|log ,}A B y y x x A ===∈，则A B =U（A ）{}1,4（B ）{}0,1,4（C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ，y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165-（B ）3-（C ）0（D ）1（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形，若2,1==BC AC ，且ABC ∆3 则=AB（A 3 （B 7 （C ）22（D ）3（5）设{n a }是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“{n a }为单调递增数列”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（A ）221164x y -=（B ）22194x y -= （C ）22149x y -=（D ）22184x y -= （7）在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD 、BE 相交于正视图侧视图俯视图点P，连结AP．设AP xAB yAC=+u u u r u u u r u u u r,x y∈R（），则x，y的值分别为（A）11,23（B）12,33（C）12,55（D）11,36（8）已知2()(3)e xf x x=-（其中x∈R，e是自然对数的底数），当1t>时，关于x的方程12[()][()]0f x t f x t--=恰好有5个实数根，则实数2t的取值范围是（A）(2e,0)-（B）(]2e,0-（C）32e,6e-⎡⎤-⎣⎦（D）(32e,6e-⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.（9）已知a，∈b R，i是虚数单位，若(12i)(2i)2ia b-+=-，则a b+的值为__________.（10）在261(4)xx-的展开式中，3x-的系数为__________. （用数字作答）（11）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________.（12）在平面直角坐标系xOy中，由曲线1yx=（0x>）与直线y x=和3y=所围成的封闭图形的面积为__________.（13）在直角坐标系xOy中，已知曲线1:C11x tty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数)，曲线2:Ccossinx ayθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，1a>)，若1C恰好经过2C的焦点，则a的值为__________.（14）已知24,1,()e, 1.xx x xf xx⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩若方程()f x kx=有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数()2cos (cos )f x x x x a =+（a ∈R ）. （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为2，求a 的值.（16）（本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A 学校且1名为女棋手，另外4名来自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（I ）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（II ）设X 为选出的4名队员中A 、B 两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AD BC ，122AD BC ==，E 在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD .（I ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；（II ）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值；（ii ）求二面角A PC D --的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n A n （n *∈N ），11n n n n na ab a a ++=+（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n B .（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2nn n a c =（n *∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n C ；（III ）证明： 222<<+n n B n （n *∈N ）.PA BECD（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. （20）（本小题满分14分）已知函数321()3f x x x cx d =-++（,c d ∈R ），函数()f x 的图象记为曲线C . （I ）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求c 的取值范围；（II ）若函数()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（III ）设曲线C 在动点00(,())A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题:9.8 10. 24-11. 32+4ln 3-(,e)-∞三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分（II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()1816136024********E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD :△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =故3655GC AC ==. 同理可得33555GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分而PA AC A =I ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =u u u r ，(0,0,)AP λ=u u u r ，(2,1,0)DE =-u u u r∴4400DE AC ⋅=-+=u u u r u u u r ，0DE AP ⋅=u u u r u u u r.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-u u u r，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-u u u r.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则5sin cos ,5PE DE θ=<>=u u u r u u u r ………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =u u u r ，(0,2,2)DP =-u u u r由n DC ⊥u u u r ，n DP ⊥u u u r ∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n ，2115535DE +>==⨯u u u r .………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++L ，123135212222-=++++L n n n C ，23411352122222+-=++++L n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-L n n n C n ， ……… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++-L n n n C n ，-111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C .………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n，显然212122121-++>=+-n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++>L ； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++L n B n n n n n ，即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=u u u u u r u u u u r， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++ ……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--=由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题:9.8 10. 24-11. 32+4ln 3-(,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分（II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分所以，随机变量X 分布列为X 024 P18351635135随机变量X 的数学期望()1816136024********E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD :△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且25,AC = 故3655GC AC ==. 同理可得3355GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分而PA AC A =I ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =u u u r ，(0,0,)AP λ=u u u r ，(2,1,0)DE =-u u u r∴4400DE AC ⋅=-+=u u u r u u u r ，0DE AP ⋅=u u u r u u u r.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-u u u r，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-u u u r.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则5sin cos ,PE DE θ=<>=u u u r u u u r ………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =u u u r ，(0,2,2)DP =-u u u r由n DC ⊥u u u r ，n DP ⊥u u u r ∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n，DE >==u u u r .………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++L ，123135212222-=++++L n n n C ，23411352122222+-=++++L n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-L n n n C n ， ……… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++-L n n n C n ，-111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n，显然212122121-++>=+-n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++>L ； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++L n B n n n n n ，即：222<<+n n B n . ………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=u u u u u r u u u u r， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++ ……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--=由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分。

天津市和平区高三上学期期末质量调查数学(理)试题(有答案)-名校密卷

天津市和平区高三上学期期末质量调查数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|60A x x x =-->，{}|31B x x =-≤≤，则A B =I （） A ．(2,1]- B ．(3,2]-- C ．[3,2)-- D ．(,1](3,)-∞+∞U2.设变量x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为（）A ．4B ．11C ．12D ．143.如图，在ABC ∆中，若5AB =，7AC =，60B ∠=︒，则BC 等于（）A ．53B ．62C ．8D ．524.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T 的值为（）A ．57B ．120C ．183D ．2475.已知log 2a ，log 2b R ∈，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线与抛物线28y x =-的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为43，则双曲线的离心率为（）A ．72B ．2C ．13D ．47.如图，在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NC BC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是（）A ．[]0,3B ．[]1,4C ．[]2,5D ．[]1,78.已知函数22,0,()2,0,x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程1()2f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（）A．3 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．3(0,)4C．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．9(0,)16第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知13z a i=+，234z i=-，若12zz为纯虚数，则实数a的值为．10.91()2xx-的展开式中的常数项为．（用数学作答）11.几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为2cm．12.直线3y kx=+(0k≠)与圆226490x y x y+--+=相交于A、B两点，若||23AB=，则k的值是．13.设0a b>>，则21()ab a b+-的最小值是．14.定义在R上的奇函数()f x是周期为2的周期函数，当[0,1)x∈时，()21xf x=-，则2(log3)f的值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x xπππ=-++-．（1）求()f x的最小正周期；（2）求()f x在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间．16. （本小题满分13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为12和23．（1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//EB PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（1）求证：AF PC ⊥；（2）求证：//BD 平面PEC ；（3）求锐角三角形D PC E --的余弦值．18. （本小题满分13分）设数列{}n a 满足条件11a =，1132n n n a a -+=+⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n nb n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,3)A ，离心率12e =．（1）求椭圆E 的方程；（2）若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当ABC ∆的面积最大时，求C 点的坐标．20. （本小题满分14分）已知函数3221()233f x x ax a x =-+-(a R ∈且0a ≠）．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(2,(2))f --处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间和极值；（3）当[]2,22x a a ∈+时，不等式|'()|3f x a ≤恒成立，求a 的取值范围．和平区第一学期高三年级数学（理）期末质量调查试卷答案一、选择题1-5CBCBA 6-8BCD二、填空题9.4 10.212 11.12.34-13.4 14.13-三、解答题15.解：（1）∵1()cos 2sin 2(sin cos )(sin cos )22f x x x x x x x =+++-221cos 22sin cos 2x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+-31sin 2cos 22x x =- sin(2)6x π=- ∴()f x 的最小正周期22T ππ==．则63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增． 16.解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为311()28=， ∴甲至多击中目标目标2次的概率为17188-=．（2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．03321(0)(1)327P X C ==-=，123222(1)(1)339P X C ==⨯⨯-=，223224(2)(1)339P X C ==⨯⨯-=()， 33328(3)()327P X C ===． ∴随机变量X 的分布列为 X0 1 2 3 P 127 29 49 827∴随机变量X 的数学期望1248()01232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17.（1）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD u u u r 、AB uuu r 、AP uuu r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ． ∵(2,0,2)AF =u u u r ，(4,4,4)PC =-u u u r ，∴80(8)0AF PC ⋅=++-=u u u r u u u r ，∴AF PC ⊥.（2）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．∵(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-u u u u r ，(4,4,0)BD =-u u u r ，∴2BD EM =u u u r u u u u r ，∴//BD EM ．∵EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴//BD 平面PEC ．（3）解：∵AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =I ，∴AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =u u u r 为平面PCD 的一个法向量．设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =r ，∵(4,4,4)PC =-u u u r ，(0,4,2)PE =-u u u r ，∴0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1y =，得1x =，2z =，故(1,1,2)n =r ．∴cos ,2AF n <>==u u u r r ， ∴锐二面角D PC E --的余弦值为2．18.解：（1）∵11a =，1132n n n a a -+-=⋅，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…0121323232n -=+⨯+⨯++⨯…101211(12)13(222)1332212n n n ---⨯-=++++=+⨯=⨯--…（2n ≥）， ∵当1n =时，113221-⨯-=式子也成立，∴数列{}n a 的通项公式1322n n a -=⨯-．（2）解：∵1322n n n b na n n -==⋅-，即：013122b =⨯⨯-，123224b =⨯⨯-，233326b =⨯⨯-，…∴123n n S b b b b =++++…01213(1222322)(2462)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-++++……．设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅…，① 则2212 1222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅…，② ①②，得0121(2222)2(21)2n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅…，∴(1)21n n T n =-⋅+， ∴3(1)232(123)nn S n n =-⋅+-++++…3(1)2(1)3n n n n =-⋅-++． 19.解：（1）由椭圆E 经过点(2,3)A ，离心率12e =，可得22222491,1,4a b a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆E 的方程为2211612x y +=．（2）由（1）可知1(2,0)F -，2(2,0)F ，则直线1AF 的方程为3(2)4y x =+，即3460x y -+=，直线2AF 的方程为2x =，由点A 在椭圆E 上的位置易知直线l 的斜率为正数．设(,)P x y 为直线l 上任意一点，|2|x =-，解得210x y --=或280x y +-=（斜率为负数，舍去）．∴直线l 的方程为210x y --=．设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=，由221,161220x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，整理得2219164(12)0x mx m ++-=，由22(16)4194(12)0m m ∆=-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m >，故m =∴C点的坐标为(1919-）． 20.解：（1）∵当1a =-时，321()233f x x x x =---，2'()43f x x x =---， ∴82(2)8633f -=-+=，'(2)4831f -=-+-=． ∴[]2(2)3y x =--+，即所求切线方程为3380x y -+=．（2）∵22'()43()(3)f x x ax a x a x a =-+-=---．当0a >时，由'()0f x >，得3a x a <<；由'()0f x <，得x a <或3x a >． ∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)a a ，单调递减区间为(,)a -∞和(3,)a +∞，∵(3)0f a =，34()3f a a =-， ∴当0a >时，函数()y f x =的极大值为0，极小值为343a -．（3）2222'()43(2)f x x ax a x a a =-+-=--+， ∵'()f x 在区间[]2,22a a +上单调递减， ∴当2x a =时，2max '()f x a =，当22x a =+时，2min '()4f x a =-． ∵不等式|'()|3f x a ≤恒成立， ∴220,3,43,a a a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩解得13a ≤≤，故a 的取值范围是[]1,3．。

2016-2017学年天津市和平区高三上学期期末质量调查理数.docx

2016-2017学年天津市和平区高三上学期期末质量调查理数一、选择题：共8题1.设集合A = {x|x2— x — 6 > 0], B = {x| — 3 < x < 1},则A n B =A. (—2,1]B. (—3,—2]C. [—3, —2)D. (—8,1] U (3, +8)【答案】c【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得A = {x|x < —2 或x > 3},所以A AB = {x| — 3 S x V —2}=[—3, —2).选C.r x — y + 1 > 02.设变量x,y满足约束条件x + y- 1 > 0 ,则目标函数z = 4x + y 3x — y — 3 < 0 的最大值为A. 4B. 11C. 12D. 14【答案】B【解析】本题考查线性规划问题•画出可行域，如图4ABC所示;A(0;l), B(2,3), C(l,0).当过点B时，目标函数z取得最大值4x2 + 3 = 11.选B.3.如图，在AABC中，若AB = 5, AC = 7, Z.B = 60°,贝ijBC等于A. 5A/3B. 6^2C. 8D. 5返【答案】C【解析】本题考查余弦定理.由余弦定理得:AC? = AB2 + BC2-2AB x BCcos60°,代入数据得49 = 25 + BC2一5BC,解得BC = 8. 选C.4•阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T的值为T = O.Jk=l结柬A. 57B. 120C. 183D. 247【答案】B【解析】本题考查程序框图•起初:T = l,k = 1；循环1次：k = 3,T = 4；循环2 次：k= 7,T= 11；循环3 次1< = 15, T = 26；循环4次：k = 31,T = 57；循环5次：k = 63,T = 120,满足条件, 结束循环，输出T的值为120.选B.5.已知比b e R,则“2玄> 2b > 2” 是“loga2 <log b2"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查指数、对数函数，充要条件・“2^ >2b> 2”等价于“a > b > 1” ;而“a > b > 1” 可得To師2 <log b2",即充分性成立;反之不成立，即必要性不成立;所以"2a >2b> 2” 是"log a2 <log b2"的充分不必要条件•选A.2 26.已知双曲线冷一書=l(a〉0, b > 0)的两条渐近线与抛物线a2 b2y2 = -8x的准线分别交于A, B两点，0为坐标原点，若AABO的面积为4靖，则双曲线的离心率为A.吃B. 2C. V13D.42【答案】B【解析】本题考查双曲线、抛物线的标准方程与几何性质•抛物线2 9y2 = -8x的准线为x = 2;双曲线冷-£= 1的两条渐近线为a2 b2y = ±?x,联立y = ±?x与x = 2,可得A(2,弓)，B(2, —弓)，而AABO 的面积S = -x — x2 = 4V3,即b =V3a: [fn双曲线中a2 + b2 = c2, 2 a2 r所以以=4a2,即2 = 4,即双曲线的离心率e = £ = 2.选B・a2a2 2 r【备注】双曲线右一令=l(a >0,b> 0),离心率e = -, a2 + b2 = c2,渐近线为y = ±^x.at__ JT7.如图，在平行四边形ABCD中，乙BAD=® AB = 2, AD =1,若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足罟=鈴=入,其中入e [0,1],oC DC则丽•丽的取值范围是【答案】C【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积•因为罟=筹=入, BC DC 所以丽 =ABC, NC =入反；所以丽・AN=(AB + ABC)・(AD + DN)=(AB + ABC)・(AD + AB - ADC)=(AB + AAD)・(AD + (1 -A)AB)=AB ・ AD + 4(1 - A) + 入 + 入(1 一A)AB ・ AD=1 + 4(1 一入)+ 入+入(1 一入)二一入2 — 2入+ 5;当入=0时，丽•丽取得最大值5;当入=1吋,AM •丽取得最小值2;即丽•丽的取值范围是[2,5]•选C.8.已知函数/(%) = {_二?2：：； 0'若关于％的方程广(兀)=非+ m 恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是A. [0,;]B. (0,;)C. [0, —]D. (0,—)【答案】DA. [0,3] 氏[1,4] C. [2,5] D. [1,7]【解析】本题考查函数与方程，导数的几何意义•画出函数f(x)的图像如图所示;若f(x) = + m恰有三个不相等的实数解，则f （咒）的图像与y = |% + m有3个交点；当m = 0时,它们恰有2个交点;y =纤+ m向上平移，当函数/*（%） = -%2 + 2%与y = ^x +m乙乙相切吋，它们恰有2个交点，此吋一2咒+ 2= |,即兀=£ y =字即2 4 16切点为（£■—）；而y = + m过切点G，H）,代入可得m =佶;由图4 1 D Z 4 lo 1o可得0 V m V估.即m的取值范围是（0泾）.选D.16 16二、填空题：共6题9. ________________ 己知z r = a + 3i, z2 = 3 - 4i,若?为纯虚数，则实数a的值为________ .【答案】4【解析】本题考查复数的概念与运算•寺蛙半詈+却，其为纯虚数，所以詈=0,解得a = 4.10. __________________________________________ （言一仮尸的展开式中的常数项为___________________________ ・（用数学作答）【答案】y【解析】本题考查二项式定理•其展开式的通项公式T r+1 =得常数项为CK|）3 = ・11・几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积为___________________ cm3.【答案】3V3【解析】本题考查三视图，空间几何体的体积•该空间几何体为四棱锥P - ABCD;S ABCD = |（2 + 4）xV3 = 3^3,所以该儿何体的体积 \ =亍S&ECD X 3 =12. ___________________________________________ 直线y= kx + 3 （k工0）与圆送+ y2— 6% — 4y + 9 = 0相交于力、B两点，若|加| = 2馅，贝毗的值是 _______________________ ・【答案】-f4【解析】本题考查直线与圆的位置关系•圆(x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 的圆心为(3,2),半径厂=2;而|4B| = 2A/3,所以圆心到直线y = kx + B的距离d = = 74 - 3 — 1,解得k = — |.【备注】点到线的距离公式d =13. ______________________________________________ 设a >b > 0,则a? +歼上j的最小值是__________________________ -【答案】4【解析】本题考查基本不等式.a2 + > a2 + [b+(^_b)]2=a2 +咅> 2Ja? x存4 (当且仅当a = 2b吋等号成立).即/ +虹£历的最小值是4.14.定义在R上的奇函数几町是周期为2的周期函数，当乂e [0,1)时,/(%) = 2X-1,则/(log23)的值为______________________ ・【答案】-扌【解析】本题考查指数、对数函数，函数的性质•由题意得/(log23)-/(log23 一2)=-f(2一log23)=-(22-,o^3_ 1)二一(4 一三、解答题：共6题15.已知函数£0) = cos(2x 一£) + 2sin(x + ^)sin(x 一”).(1)求/'(x)的最小正周期;⑵求f(x)在上的单调递增区间.【答案】(1) = -cos2x + — sin2x + (sinx + cosx)(sinx 一cosx)--cos2x + —sin2x + sin2% — cos2%-- cos2x + —sin2x —/./(x)的最小正周期T =芋=TT .(2)由⑴可知/*(%) = sin(2x 一9,令z = 2%O O函数f(x) = sinz的单调递增区间是［一扌+ 2k兀寸+ 2M］(/c £ Z), 可得一E + 2ku < 2x —— < — 4- 2ke k E Z,贝I］-— + ku S 兀S ：+2 6 2 63 km k e Z,所以，当%e［-^5时，/Xx)的单调递增区间为［-=,；］.【解析】本题考查三角函数的性质，三角恒等变换.(1)经三角恒等变换得/(%)-sin(2x-^), ：.T = y = n;(2)由⑴可知f(x)= sin(2x — f),求得在［一上单调递增.16.甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为扌和扌.(1)求甲至多击中目标2次的概率；(2)记乙击中目标的次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(1)・••甲3次均击中目标的概率为(|)3 =2 o・•・甲至多击中目标目标2次的概率为1 一£ = £O O(2)随机变量X的所有可能取值为0, 1, 2, 3.P(X = 0) = C§(1 -1)3 = P(X = l) = C|x|x(l-1)2 =P(X = 2) = C| x (|)2 x(l-|) = i, P(X = 3) = Ci(|)3 =专.随机变量X的分布列为・••随机变量X的数学期望E(X) = 0x^-+lx|+2x^ + 3x^ =27 9 9 Z7 2.【解析】本题考查随机变量的分布列与数学期望.(1) J甲3次均击中目标的概率为G)3 = £・•・甲至多击中目标目标2次的概率为2 o1_ 6 = 6；⑵求得P(X = o) = —, P(X = 1)= 6, P(x = 2)=-,P(X = 3)=彩・列出X的分布列，求得E(X) = 2・17.如图，四边形SBCD是正方形，P4丄平面SBC。

天津市和平区2017届高三第二次质量(二模)数学试题(理)有答案AlKKPK

2017届高三第二次质量调查（二模）数学（理）试题第Ⅰ卷（满分40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}2|4,|4A x x B x x =≤=>，则A B =IA ．{}|22x x -<<B ．{}|22x x x <->或C ．{}|24x x x <-<<或2D ．{}|24x x x <-<≤或2 2.设变量,x y 满足约束条件2602600x y x y y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A ．6B ． 10C ．12D ．183.在ABC ∆中，若2,60,AB B ABC =∠=∆o 的面积为33S +=，则AC = A 36 C ．22．34.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出T 的值为A ．22B ．24C ． 39D ．415.对于实数0a >，“1a x <”是“1x a>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一个焦点为()3,0F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A,B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为 A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22136x y -= 7.如图，等腰梯形ABCD 中，4, 2.AB BC CD ===若,E F 分别是,BC AB 上的点，且满足BE AF BC ABλ==，当0AE DF ⋅=u u u r u u u r 时，则有 A ．11,84λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,48λ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．31,82λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ D ．15,28λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭8.定义一种运算,,a a b a b b a b≤⎧⊗=⎨>⎩，若()2243x f x x x =⊗-+，当()()g x f x m =-有5个不同的零点时，则实数m 的取值范围是A ．()0,1B ．[]0,1C ．()1,3D ．[]1,3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上。

天津市和平区2017届高三数学第一次质量调查(一模)考试试题文

和平区2016-2017学年度第二学期高三第一次质量调查数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合{1,2,3},{|1,}A B y y x x A ===-∈,则A B 等于A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,3,42、一个口袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为A ．310 B ．25 C ．12 D ．353、已知一个几何体的三视图如右图所示（单位：cm ）则该几何体的体积为A ．312cmB ．316cmC ．318cmD ．320cm4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的方程是y =，它的一个焦点落在抛物线216y x =的准线上，则双曲线的方程为 A ．221824x y -= B ．221248x y -= C ．221412x y -= D ．221124x y -= 5、“25x -≤”是“37x -≤≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知函数()22log (23)f x x x =--，则下列各区间中，能满足()f x 单调递减的是 A ．()3,6 B ．()1,2 C ．()1,3- D ．()4,1--7、7、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BAD AB AD π∠===，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC AD DCλ==, 其中[]0,1λ∈，则AN BM ⋅的取值范围是A ．[]3,1--B ．[]3,1-C ．[]1,1-D ．[]1,38、已知函数()3sin()6f x wx π=-与()2(2)1g x os x ϕ=+-的图象有相同的对称轴，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是A ．3(,3)2-B ．3[,3]2-C ．33[,]22- D ．[3,3]-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..9、已知复数(2).()ai i a R +∈ 的实部与虚部互为相反数，则a 的值为10、若过点(1,1)的直线与圆226440x y x y +--+=相交于,A B 两点，则AB 的最小值为11、阅读右面的程序框图，当该程序运行后输出的x 的值是12、在同一平面直角坐标系中，函数()y f x =的图象与1()2x y = 的图形关于直线y x =对称，而函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于y 轴对称，若()2g a =-，则a 的值为13、已知()3236,()1,()9f x x x x f a f b =++==，则a b +的值为 14、若不等式223()x y mx x y +≥+对于,x y R ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分13分）在ABC ∆中，已知42,3,cos 5AC BC A ===-. （1）求sin B 的值；（2）求sin(2)6B π+的值.16、（本小题满分13分）某化肥厂输出甲乙两种混合肥料，需要A 、B 两种主要原料，生产1吨甲种化肥和生产1吨乙种化肥所需要的原料的吨数如下表所示：每日可用A 种原料12吨，B 种原料8吨，已知输出1吨甲种化肥可获利润3万元；生产1吨乙种化肥可获利润4万元，分别用,x y 表示计划输出甲乙两种化肥的吨数.（1）用,x y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问每日分别生产甲乙两种化肥各多少吨，能够产生最大利润？并求出此最大利润.17、（本小题满分13分）如图，在四面体ABCD 中，,BA BD AD CD =⊥，点,E F 分别为,AC AD 的中点.（1）求证：//EF 平面BCD ；（2）求证：平面EFB ⊥平面ABD ；（3）若2,BC BD CD AD AC =====求二面角B AD C --的余弦值.18、（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知111,21()n n a a S n N ++==+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若31n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点，且以椭圆的短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形.（1）求椭圆E 的方程；（2）设(,)P x y 是椭圆E 上的动点，(2,0)M 为以定点，求PM 的最小值及取得最小值时点P 的坐标.20、（本小题满分14分）设函数()21ln ,(0)2f x x a x a =+<.（1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线斜率为12，求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设()2(1)g x x a x =--，当1a ≤-时，讨论()f x 与()g x 图象交点的个数.。

天津市和平区2017届高三上学期期末质量调查数学(理)试题 含答案

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