21.2.1二次根式的乘除(1)课件

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二次根式PPT课件

21.2二次根式的乘除
4最简二次根式是今后学习二次根式加减运
一.主要内容及地位
地位作用：本章内容与已学内容“实数”“整
式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备．
二、本章知识结构框图
三、教学要求
课程标准要求：了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。
一.主要内容及地位
主要内容
全章分为三节，第一节研究了二次根式的概念和性质，本节起承上启下的作用。第二节是二次根式的乘除运算，主要研究二次根式的运算法则和二次根式的化简；所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。第三节主要研究二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。所采用的方法与合并同类项类似。这些都说明了前后知识之间的内在联系。
课本要求：1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由； 2. 了解最简二次根式的概念； 3. 理解二次根式的性质； 4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）； 5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
21.1二次根式
2.只要学生了解形如 a (a≥0）的式子叫做二次根式，
不必在“ 缠。
、2 x是1否是二次根式”等问题上纠
21.1二次根式
2 a a(a0) a2 a(a0)
3.对于以上性质，教科书是采用由特殊到一般地归纳得出结论的方法。教学中应注意这两个性质的区别和联系

§21.2.2-二次根式的除法

正确！
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意：在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
作业本：第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习第1、2、3题选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（）（2） 3 3 （） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）

21.2二次根式的乘除(共4课时)

21.2二次根式的乘除（共四课时）第一课时：二次根式的乘法例1．计算（1）×（2）×（3）×（4）×分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．例2 化简（1）（2）（3）（4）分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．三、比一比谁最强（每组一个代表展示）1.化简:（1）612⨯；（2）15432⨯；（3）aba216⋅.2.化简:（1）12149⨯；（2）289；（3）28y；（4）4364zxy.（5）3.一个矩形的长和宽分别是10cm和cm22，求这个矩形的面积.四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）（2）×=4××=4×=4=8课堂小结（1） ·＝=（a ≥0，b ≥0），=·（a ≥0，b ≥0）及其运用．求这个等边三角形的面积六、课后练习 1．计算:(1)57⨯； (2)2731⨯；(3)155⨯； (4)8423⨯. 2.化简： (1)3227yx ；(2)aba 1832⋅.3.等边三角形的边长是3，第二课时：二次根式的除法例1．计算：（1）（2）（3）（4）练习1．例2 化简．例3 计算．；1050(2) ； 232)1(()1075143÷6152112)4(÷()()2925210031;yx ()()()a283;27232;531练习把下列各式化简：课堂小结1．利用商的算术平方根的性质化简二次根式． 2．二次根式的除法常用方法． 3．化简二次根式的常见方法．四、课堂知识反馈1．在横线上填写适当的数或式子使等式成立． ()()()()()()()()6234113105522481=-=⨯-=⨯=⨯a a2．把下列各式的分母有理化：()()()()xyyaa 42410532723283812-3．计算： ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷÷-41223481929519173241－）（b a 22＋）（a40323）（第三课时：最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重点：最简二次根式的运用．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（1，（2），（32．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1 km，•那么它们的传播半径的比是_________．h2二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．.例1．(1) ;例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．三、巩固练习教材P11练习2、3四、应用拓展例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：==-1，==-，同理可得：=-，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……）（+1）的值．五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、课后练习一、选择题A C1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A （y>0）B y>0）C yy>0） D ．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．A ．． 3．在下列各式中，化简正确的是（）A =±12C 2D ．4-的结果是（）A ．-3B ．2C ．-3D ．二、填空题1．（x ≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：·1a（a-12．若x 、y 为实数，且y=12x +第四课时：二次根式的乘除（复习）梳理基本知识1、＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），2、=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>03、计算（1）×（2）（4）二、应用拓展例1．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．例2．探究过程：观察下列各式及其验证过程（1）2=验证：2=×====（2）3=验证：3=×====()1075143÷同理可得：4 5，……通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．三、归纳小结本节课你学到了什么四、课堂练习一、选择题1．计算的结果是（）．A． B． C． D．2．阅读下列运算过程：，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（）．A．2 B．6 C． D．二、填空题1．分母有理化:(1) =______;(2) =______;(3) =______.2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，•现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1）·（-）÷（m>0，n>0）（2）-3÷（）×（a>0）3．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？。

21.2 二次根式的乘除课件(人教版九年级上)

还必须保证分母不等于0．
1 （1）当2x＋1≥0，即x≥－时， 2 2 x＋1 在实数范围内有意义；
1 6x - 1 ∴ 当x≥ 且x≠1时，在实数 6 1- x
范围内有意义．
2．在实数范围内分解因式：（1）x2－3；（2）x2－ 2 2 x＋2．
3．把（a－2）
1 根号外的因式 2-a
移到根号内后，其结果是2来自2 3解析：对于（2）题先把根号外面的解析：直接利用 ab ＝ a · b （a 有理数相乘，再利用二次根式的乘法 ≥0，b≥0）进行化简．法则进行计算．
答案：（1） 24 × 6 ＝ 24 6 ＝
2 6 ＝ 2 × 6 ＝2×6＝12；
2 2
2
答案：（1） 121 49 ＝ 121 × 49 ＝11×7＝77；（2） 25x y z ＝ 25 ×
．
利用二次根式的性质3＝（ 3 ）， 2＝（ 2 ）2，结合平方差公式和完全平方式进行因式分解．（1） x －3＝（x＋ 3 ）（x－ 3 ）．（2）x2－ 2 2 x＋2＝（x－ 2 ）2．
2
2
在运用a＝ a 中的字母a为非
2
负数，只有非负数才能转移到根号内如果字母a为负数可化为a＝－|a|＝－ a ．
2 2 3
2
x ×
2
（2） 2 3 × 3 15 × 4 5 ＝（2×3× 4） 3 15 5 ＝24
2
y × z × z ＝5|xyz|
2
2
z．
3 5 ＝24 3
2 2
2
× 5 ＝24×3×5＝360.
例8．计算： 3 16 x 例7．化简：（ 1）；（ 2）； 1 2 64 49 y （1） 2 ÷ 3 28 ×（－ 5 2 ）； 2 7 64a c （3）． 1 b 5 2 225b （2） ab ×（－ ab ）÷ ． a a 3 a b 5 解析：直接利用＝（a≥0，b 解析：二次根式的乘除混合运算仍是 b b

21.2二次根式的乘除(第1课时)

a
×
b
ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根 1.完成教材第8页练习第1题。 2. 计算
1 1 1 5 7 9 9 27 6 2 3 4 3 2
3.计算
1
3
2 32
1 2 8 2 2
16 8
23
6 2 10
·
1 3 5a ay 5
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根。
a b ab
a≥0,b≥0
ab a b (a 0, b 0)
2.化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数. 2.应用
ab a b
3.将平方项应用
2 a 8a ( a 0)
当堂练习
１．计算
1.
14 7
2.3
5 2 10
1 3. 3x xy 3
自学指导二
请同学们认真阅读例2和例3，并仿照例题完成练习第2、3题。
当堂检测２
1. 化简
9 16
9x 2 y 2
21 7
5 32 6
当堂训练
1.计算
1
a a
2
(a 0) 化简
作业：第12页习题21.2第1、 4、5题
复习提问
1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
a =a
2
a
2
(a≥ 0) a (a≥ 0) =∣a∣ = -a (a＜0)
学习目标
1．掌握二次根式的乘法法则。
2．能应用二次根式的乘法进行计算和化简。
自学指导一

华东师大版九年级数学第21章《二次根式的乘除》精品PPT课件

2.反过来, 分别有
ab a • b, (a 0,b 0); a a , (a 0,b 0) bb
3.化简二次根式的方法.
4.当x＞3 时, 2 有意义. 3 x
计算
4 9 6 4 25 10 16 9 12
49 6 4 25 10 16 9 12
计算
4 9 = 49 4 25 = 4 25 16 9 = 16 9
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何用a，b表
示？成立的条件是什么?
a b ab(a 0,b 0)
2.验证下列各式，猜想下一个式子是什么？你能找到反映上述各式的规律吗？
1 2 3 4
22 2 2
3
3
33 3 3
8
8
n n n n n 2
n2 1
n2 1
4 4 4 4
15
15
5 5 5 5
24
24
小结 1.二次根式的乘法 : a • b ab, (a 0, b 0)
二次根式的除法 : a a , (a 0, b 0) bb
“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”.
1.把下列各式分母有理化：
1 5 3 5
4 12 8
2 45 3
2 20
4
寻找分母的有理化因式，应找最简单的有理化因式，也可灵活运用我们学过的性质和法则，简化、优化解答过程。
3 a 2 (a 2) a 1
2 a 1
2a 2
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第21章二次根式
21.2 二次根式的乘除
复习导入
1.计算：(1)( 7)2 7

212二次根式乘除法(第一课时)教案设计

如果两个电视塔的高分别是h1km， h2km，那么它们的传播半径的比是
最后教师给出最简二次根式的概念。
．
这个式子是最简二次根式吗？如果
不是说出为什么？
学生分组讨论
并化为最简二次根式．
教师点评：不是
最后由３－４个
人到黑板板书化
简过程。
进一步理解最简二次根式的概念
例４：．如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB 的长．
利用这个简单问题树立学生知识运用的信心，更激励了学困生的学习兴趣。
这条性质用法：对二次根式进行化简。
找同学板演，其他同学独立完成。
对=· (a0,b0)进行熟练应用。
（５）例题３计算：
练习：化简：
师生共同对板演问题进行评价。最后由学生总结归纳化简二次根式的要求（以小组讨论的形式）。 1、被开方数进
2007-
二次根式乘除法（第一课时）教案设计绥棱县第六中学克音
=________;(４)
=______.
活动４：小结：由学生总结收获．
在小结时教师关注：１、学生对知识的归纳、总结整理能力。２、数学语言表达能力。
运用知识使问题化难为简，培养学生类比分析能力
作业：教材Ｐ15 习题21.2 2. 7. 8. 9.
10-15 二次根式乘除法第一课时教案设计
行因数或因式分解。 2、分解后把能开尽方的开出来。
进一步巩固对二次根式的化简方法。
教师巡视学生完成后交流教师点评
问题与情境
活动４：
三、应用拓展：（大显身手）
1：判断下列各式是否正确并说明理由。（１）＝

21.2 二次根式的乘除(课件)华师大版数学九年级上册

＝31x
6xy
C.
(
1 4
)2－(
1 5
)2＝210
D. 94x＝23xx
知4－练
感悟新知
例 7 去掉下列各式分母中的根号：
知4－练
(1) 3 ；(2) 3
12；(3) 32
2 ； (4) 2ab
3＋ 3－
2. 2
解题秘方：紧扣“去掉分母中的根号的方法”进
行变形 .
感悟新知
解：(1)
3＝ 3
3× 3×
2(
5－ 2
3)＝
5－
3.
感悟新知
知识点 5 最简二次根式
知5－讲
1. 定义二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式 .
感悟新知
知5－讲
特别提醒判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 . 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式 .
(2) (－14)×(－112)；
(－14)×(－112)＝ 14×112＝ 2×72×42＝ 2× 72× 42＝ 7×4× 2＝28 2；
感悟新知
(3) 200a5b4c5；
知2－练
解： 200a5b4c5＝ 2×102·(a2)2·a·(b2)2·(c2)2·c
＝ 2× 102· (a2)2· (b2)2· (c2)2· ac＝10a2b2c2 2ac；
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知

华东师大版九年级上册21.2.1二次根式的乘除法(共18张PPT)

※拓展应用
(2)将根号外的因式移到根号内： (x 1) 1 x 1
如：2 3 4 3 43 12
a a a2 a a3
3 2 9 2 18
(x 1) 1 x 1来自解：由 1 0及x 1 0得x 1 0 x 1
(x1) 1 (x1)2 1
x 1
x 1
(x 1)2 ( 1 ) x 1
3、根据上面的结果，直接用“＞、＜或＝”填空：
(1) 4 9 = 4 9 ； (2) 16 25 = 16 25；
(3) 100 36 = 100 36 ； (4) 2 3 = 6 ； (5) 2 5 = 10 ； (6) 5 6 = 30 .
4、归纳：
当a≥0，b≥0时， a b = ab
4、下面的解题方法、过程对吗？
112 92 112 92 119 2.
112 92 (11 9)(119) 40 4 10 2 10
5、比较下列各组数的大小：
(1)2 5与3 3 ； (2) 2 13与 3 6.
解：【(1【)法法二一】】 (22 55)2 222 2 (5 5)222 4 55 2200,， 3(3 33)2 332 2 (3 3)232 9 3 3 227,，而而2200＜ 2277，， 22 55＜3 33. 3
华东师大版九年级上学期第21章《二次根式》
2.1二次根式的乘除法
(课时一)
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
1、二次根式 a(a≥0)是非负数，
a
2
a
.当a≥0时， a2
=
a
；
当a＜0时， a2 = -a .
2、单项式与单项式相乘，将它们的
系数、相同字母的幂分别相乘，对于

新华师大版九年级上册初中数学 21-2课时1 二次根式的乘法教学课件

概念形如 a （a ≥ 0）的式子叫做二次根式.
二次
根式
性质1： (1) a 0(a 0)
性质
(2) ( a )2 a(a 0)
性质2：
a2
|
a
|
a(a 0)， a(a 0).
第四页，共十二页。
新课导入
课时导入
计算：
（1） 4 25 =与 4 25 ；（2） 16 9 =与 16 9 ；
第二十一章二次根式
21.2 二次根式的乘除
课时1 二次根式的乘法
第一页，共十二页。
目
录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
第二页，共十二页。
学习目标
1.二次根式的乘法法则. （重点）
第三页，共十二页。
新课导入
知识回顾
2
2
第七页，共十二页。
课堂小结一般地，有
a b ab a 0，b 0
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
第八页，共十二页。
当堂小练
1.化简 a 1 的结果是（ C ） a
A. a
B. a
C. a
D. a
分析： a 1 a 1 a 2 1
a
a
a
a2 1 a
a
第九页，共十二页。
当堂小练
2.等式 x 1 x 1 x2 1 成立的条件是（A ）
A. x ≥ 1 C. –1 ≤ x ≤ 1
B. x ≥ –1 D. x ≥ 1 或 x ≤ –1
解：由 x – 1 ≥ 0，x + 1 ≥ 0 得 x≥1

21.2二次根式的乘除(1)共26页PPT

21.2二次根式的乘除(1)
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君何能尔？心远地自偏。 25、人生归有道，衣食固其端。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
ห้องสมุดไป่ตู้

《二次根式的乘除》数学公开课PPT1人教版

，求a.
例3：设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a,b，已知
解：原式 3 3 5 2 6 把下列二次根式化成最简二次根式：
二次根式定义：形如
的式子叫做二次根式
,
，求a
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
................ 15 6 6 把下列二次根式化成最简二次根式：
分析：长方形的面积=长X宽
• 把下列二次根式化成最简二次根式：
（1） 32
（2） 40
（3）1.5
（4） 4 3
42
2 10
6
23
2
3
例题讲解
• 例3：设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a,b，已知
• S 2 3 , b 10 ，求a b
分析：长方形的面积=长X宽
a
23
解： S ab
a S 2 3 2 3 10 2 30 30 b 10 10 10 10 5
分母有理化：通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算
, ，求a.
，求a ................ 15
学以致用
• 计算：
（1） 7 3 14 3 2 1 15 2 2
（2）3 2 2 （ 1 ） 1 2 3 8 15 2 5
（1） 7 3 14 3 2 1 15 2 2
解：原式 1 7 15 3 5
（1） 2 5
（2） 3 （3） 5
2
11
例题讲解
• 例2：计算（1）3 2 27
3 2 3 2 3 2 3 2 2 27 32 3 32 3 3 3 3
2 3
3 6 3 （ 3）2
6 3
2 3
23 33