第3章 集合代数
高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-1
例 解下列方程组
5 x1 2 x1
x2 x2
2x3 4x3
x4 7 2x4 1
x1 3x2 6x3 5x4 0
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换
5 1 2 1 7 1 3 6 5 0
2 1
1 3
4 6
2 5
asn xn bs
先检查(1)中 x1的系数，若 a11,a21, ,as1全为零， 则 x1没有任何限制，即x1可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 , , xn的方程组来解．
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2, ,．s)
1 0
2 5
1 1
4 2
2 1
1 7
1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
0 0
7 14
16 32
12 24
1 7
0 0
7 0
16 0
12 0
1 5
从最后一行知，原方程组无解。
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
再考虑方程组
a22 x2
a2 n xn b2
(4)
as2 x2 asn xn bs
显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3)
的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。
高等代数第三章思维导图
用一非零的数乘某一个方程把一个方程的倍数加到另一个方程互换两个方程的位置用初等变换将线性方程组化成阶梯形方程组把最后的一些恒等式如果剩下的是一些在齐次线性方程组中，如果s<n，那么必有非零解所谓数域P上一个n维向量就是由数域P个数组成的有序数组（），称为向量（对应分量相等，则向量相等向量可相加减加法交换律，结合律k(a+b)=ka+kb(k+l)a=ka+lak(la1a=a向量a称为向量组的一个线性组合，如果有数域（维向量都是向量组的一个线性组合，因为，向量称为自反性对称性传递性如果向量组（称为线性相关任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的三个向量线性相关的几何意义就是他们共面向量组（s³1）称为线性相关，如果有数域使部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关两个成比例的向量是线性相关向量组n维单位向量组成的向量组是线性无关的向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解设与是两个向量组，推论：如果向量组可以经线可以经线性表出性表出，且向量组线性无关，那么必线性相关任意两个线性无关的等价的向量组，必含有相同的个数的向量A矩阵的初等列变换和初等行变换皆不改变该矩阵的秩，列秩和行秩矩阵设，则关的充分必要条件是|A|=0，线性无关的充分必要条件是线性方程组（件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩两个解的和还是方程组的解一个解的倍数还是方程组的解）奇次线性方程组的任一个解都能表成的线性组合）线性无关如果是线性方程组（以表成线解线解。
高一数学第3章知识点汇总
高一数学第3章知识点汇总数学是一门以逻辑思维、精确推理和抽象概念为基础的学科，对于高中生来说，数学课程占据了很大的比重。
在高一的学习过程中，数学的知识点也会逐渐增多，第3章是数学课程中一个重要的章节。
本文将对高一数学第3章的知识点进行汇总，既是对学习内容的复习，也是对知识点的回顾和总结。
一、集合论集合论是数学的一个重要分支，它研究的是元素之间的关系。
在集合论中，我们需要掌握集合的表示方法、运算法则以及集合的相关性质等。
例如，集合的表示方法有枚举法、描述法和图示法等，集合的运算法则包括并、交、差和补等。
此外，我们还需要了解集合的子集、空集以及元素的性质等重要概念。
二、函数函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
函数可以通过一个特定的规则，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
我们需要了解函数的定义、性质以及函数的表示方法等。
在函数的表示方法中，常见的有解析式、图像和表格等多种方法。
在函数的性质中，我们需要掌握奇偶性、单调性和周期性等重要概念。
此外，还需要了解反函数、复合函数和函数方程等相关内容。
三、数列与等差数列数列是指按照一定规则排列的一列数。
在高一的数学课程中，数列是一个常见的知识点。
我们需要了解数列的定义、性质以及数列的表示方法等。
在数列的表示方法中，最常见的是通项公式和递推公式。
特别是等差数列，是数列中的一类特殊数列，它的相邻项之差是一个常数。
我们需要了解等差数列的定义、性质以及等差数列的通项公式等相关知识。
四、数列与等比数列与等差数列相似，等比数列也是数列中的一种特殊数列，它的相邻项之比是一个常数。
在高一的数学课程中，我们需要了解等比数列的定义、性质以及等比数列的通项公式等重要概念。
此外，还需要掌握等比数列求和的方法以及等比中项的确定等相关内容。
五、位置与方位几何位置与方位几何是数学中的一个分支，它研究的是点、线、面等几何图形在空间中的位置和相互关系。
在高一的数学课程中，我们需要了解点在直线上的投影关系、直线与平面的交点以及多边形的中垂线等相关知识。
春季高考数学第1-3章知识点总结
第一部分 代数第一章 解方程、解不等式、集合、区间【教学计划、复习要求】集合与解不等式是春考的必考内容。
1.集合的知识主要是：集合的概念，集合的表示法，集合之间的关系，集合的基本运算，子集与推出的关系。
要求：（1）理解集合的概念，掌握集合的表示法，掌握集合之间的关系（子集、真子集、相等），掌握集合的交、并、补运算。
（2）理解符号⇔⇒⊄⊇⊆∉∈≠、、、、、、、、、、A C C U 的含义，并能用这些符号表示元素与集合、集合与集合、命题与命题之间的关系。
（3）理解子集与推出的关系，能正确地区分充分、必要、充要条件。
2.方程与不等式的知识主要是：配方法，一元二次方程的解法，实数的大小，不等式的性质与证明，区间，含有绝对值的不等式的解法，一元二次不等式的解法。
要求：（1）掌握配方法，会用配方法解决有关问题。
（2）会解一元二次方程。
（3）理解不等式的性质，会用比较法证明简单不等式。
（4）会解一元一次不等式（组）。
（5）会解形如| ax+b|≥c 或| ax+b|＜c 的含有绝对值得不等式。
（6）会解一元二次不等式，会用区间表示不等式的解集。
（7）能利用不等式的知识解决实际问题。
【知识总结、考点分析 】一、解方程与解不等式（一）解方程1、一元一次方程：0(0)ax b a +=≠ 移项，合并同类项2、一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠（1）特殊情况：●一、次项系数为零时：20(0)ax c a +=≠ 移项，开方 ●常数项系数为零时：20(0)ax bx a +=≠ 提公因式法（2）十字相乘法：“拆两边，凑中间” （3）公式法： S1 找到系数a 、b 、cS2 计算判别式24b ac ∆=-S3 当0∆>时，方程有两个不同根，套公式x =当0∆=时，方程有一个根，套公式 2b x a-= 当0∆<时，方程没有根 （二）解不等式 1、一元一次不等式： 0)Ｓ２ 找根，解对应一元二次方程Ｓ３ 标根到数轴上，念口诀（大于取两边，小于取中间），写出解集 2、含绝对值的不等式3、分式不等式0>b a 0>⇔ab ，.0,00≠≤⇔≤b ab ba二、集合与区间 （1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。
第3章 关系代数
关系代数
第3章 关系代数 章
2.1 关系代数概述 2.2 传统的集合运算 2.3 专门的关系运算
第2章
关系代数
2.1 关系代数概述
关系操作采用集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合。 这种操作方式也称为一次一集合的方式 。 关系模型中常用的关系操作 关系操作包括： 关系操作 选择、投影、连接、 增加、 选择、投影、连接、除、并、交、差等查询操作和增加、删除、 增加 删除、 修改等。 修改 关系数据语言可以分为三类： 关系数据语言可以分为三类：
第2章
关系代数
三、连接（Join） 连接（ ） 连接也称为θ连接。 连接也称为 连接。它是从两个关系的笛卡尔积中 连接 选取属性间满足一定条件的元组。记作： 选取属性间满足一定条件的元组。记作：
其中A和 分别为 分别为R和 上度数相等且可比的属性组 上度数相等且可比的属性组。 其中 和B分别为 和S上度数相等且可比的属性组。 θ是比较运算符。连接运算从 和S的笛卡尔积 ×S中选 是比较运算符。 的笛卡尔积R× 中选 是比较运算符 连接运算从R和 的笛卡尔积 关系） 属性组上的值与（ 关系 关系） 取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组 关系 属性组上的值与 属性组 上值满足比较关系θ的元组 的元组。 上值满足比较关系 的元组。 连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一 种是等值连接（equi-join）， 等值连接（ ），另一种是自然连接 自然连接 等值连接 ）， （Natural join）。 ）。
tr ts表示由两元组tr和ts前后有序连接而成的一个元 组。 任取元组tr和ts,当且仅当tr属于R且ts属于S时,tr和ts的 有序连接即为R×S的一个元组。
第2章
关系代数
离散数学 第三章 集合
离散数学
将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号。 { 1，2，3，4，5}； { 风，马，牛 }； { 2，4，6，8，10，… }； { 3，7，11，15，19，… }； 比较适合集合中的元素有限（较少或有规律），无限 （离散而有规律）的情况。 (3)谓词表示法： { x:P(x) } 或者{ x︱P(x) } 其中：P表示 x 所满足的性质（一元谓词）。 { x : x I （且） x8} ={…，-3，-2， -1，0，1，2，3，4，5，6 , paradox(1902))： 罗素1902年在集合论中也发现了如下的悖论。他 构造了这样一个集合 S={ x:xx } 然后他提出问题： SS ？ 如果SS ，那么，按罗素给S的定义，则应有 SS； 如果S S ，那么，按罗素给S的定义，则应有 SS ； 罗素悖论的发现，几乎毁灭集合论，动摇数学的 基础，倾危数学的大厦。直接引发了数学的第三次 危机。
8
离散数学
第三章 集合 (set)
§１.集合理论中的一些基本概念
个体与集合之间的关系 集合的表示法 集合与集合之间的关系 幂集
§2 .集合代数 集合的基本运算
集合的补运算 集合的交运算和并运算
集合的宏运算
9
离散数学
第三章 集合 (set)
§１.集合理论中的一些基本概念 集合概念将作为一个不言自明的元概念（基本概 念）。它不能用别的术语来精确的定义，只能用别的 术语来加以说明。它本身就是用来定义其它概念的概 念。 我们来看看一些关于什么是集合的各种不同的说法， 以便加深对集合这个元概念的理解。 1. 莫斯科大学的那汤松教授说： 凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。 2. 复旦大学的陈建功教授说： 凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做 物。具有某种条件的物，称它们的全部谓之一集。 3. 南开大学的杨宗磐教授说：
离散数学 第三-四章
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与 并的关系 定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律 成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律 成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 （1）（a）,（c） ,（e）
（3） （4） （a）,（c） ,（e） (5) (6) （a）,（c） ,（e） (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补 定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的 补集,或相对补,记作A-B。 即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?
离散数学作业册
离散数学作业册第一章命题逻辑1.1 命题与逻辑联结词1.判断下列语句是否是命题，不是划“×”，是划“√”，且指出它的真值.(1)所有的素数都是奇数. ( ) 其真值( )(2)明天有离散数学课吗？ ( ) 其真值( )(3)326+>． ( ) 其真值( )(4)实践出真知. ( ) 其真值( )(5)这朵花真好看呀！ ( ) 其真值( )(6)5x=． ( ) 其真值( )(7)太阳系外有宇宙人． ( ) 其真值( )2.将下列命题符号化．(1)如果天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.(3)我们不能既划船又跑步．(4)大雁北回，春天来了.3.将下列复合命题分解成若干个原子命题，并找出适当的联结词.(1)天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.1.2 命题公式1. 判断下列各式是否是命题公式，不是的划“×”，是的划“√”．(1)(Q→R∧S). ( )(2)((R→(Q→R)→(P→Q)). ( )(3) (P∨QR)→S. ( )(4)((?P→Q)→(Q→P)). ( )2．写出五个常用命题联结词的真值表.1.3 真值表与等价公式1.指出下列命题的成真赋值与成假赋值．(1)?(P∨?Q).(2)?P→(Q→P).2.构造真值表，判断下列公式的类型．(1)(P∧Q)∧?(P∨Q).(2) P→(P∧┑Q))∨R.3.用等值演算法验证下列各等价式．(1) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)?T.(2)P→(Q∧R)?(P→Q)∧(P→R).(3)?(P∨Q)∨(?P∧Q)??P．1.4 蕴涵式及其他联结词1.试证明下列各式为重言式．(1)(P→Q)∧(Q→R)?(P→R)．(2) (P→Q)→Q?P∨Q．(3)?(P↓Q)??P↑?Q．2.将下列公式化成与之等价且仅含{┑，∨}中联结词的公式．(1) (P∨Q)∧┑P(2) (P→(Q∨┑R))∧(┑P∧Q)3.证明{?，∧}是最小全功能联结词组.4.设A、B、C为任意的三个命题公式，试问下面的结论是否正确？(1)若A∧C?B∧C，则A?B．(2)若?A??B，则A?B．(3)若A→C?B→C，则A?B．1.6 对偶与范式1.试给出下列命题公式的对偶式．(1)T∨(P∧Q)．(2)?(P∧Q)∧(?P∨Q)．2.试求下列各公式的主析取范式和主合取范式．(1) (P→(Q∧R))∧(┑P→(┑Q→R))．(2)(?(P→Q)∧Q)∨R．(3)(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R)).3.试用将公式化为主范式的方法，证明下列各等价式．(1) (┑P∨Q)∧(P→R)?P→(Q∧R)(2) ┑(P?Q)?(P∧┑Q)∨(┑P∧Q)1.7 推理理论1.试用推理规则，论证下列各式．(1) ┑(P∧┑Q),┑Q∨R,┑R?┑P(2) P∨Q,Q→R,P→S,┑S?R∧(P∨Q)(3) ┑P∨Q,┑Q∨R,R→S?P→S(4) P∨Q,P→R,Q→S?R∨S第二章谓词逻辑2.1 词的概念与表示1.用谓词表达写出下列命题．(1)高斯是数学家，但不是文学家.(2)小王既是运动员也是大学生.(3)张宁和李强都是三好学生.(4)若是x奇数，则2x不是奇数.2.2 命题函数与量词1.用谓词表达式写出下列命题．(1)每个计算机系的学生都学离散数学.(2)直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B.(3)不存在既是奇数又是偶数的自然数.(4)没有运动员不是强壮的.(5)有些有理数是实数但不是整数.(6)所有学生都钦佩某些教师.2.3 谓词公式与变元的约束1.利用谓词公式翻译下列命题． (1)没有一个奇数是偶数.(2)一个整数是奇数，如果它的平方是奇数.2. 设个体域为自然数集N ，令P(x)：x 是素数；E(x)：x 是偶数；O(x)：x 是奇数；D(x ，y)：x 整除y ．将下列各式译成汉语．(1)?x(E(x)∧D(x ，6))．(2)?x(O(x)→?y(P(x)→?D(x ，y)))．3.指出下列表达示中的自由变元和约束变元，并指明量词的辖域．(1)()()(,)()()x F x Q x y xP x R x ?∧→?∨．(2)?x(P(x ，y)∨Q(z))∧?y(R(x ，y)→ ?zQ(z))．4.设个体域为A ＝{a ，b ，c}，消去公式?xP(x)∧?xQ(x)中的量词．2.4 谓词演算的等价式与蕴含式1.试证下列等价式或蕴涵式,其中A(x),B(x)表示含x自由变量的公式,A,B 表示不含变量x（不论是自由的还是约束的）的公式.(1)（?x A(x)→B）?(?x(A(x)→B))．(2)（?x A(x)→B）??x(A(x)→B)．2.试将下列公式化成等价的前束范式．(1)?x（（┑?yP(x,y)）→(?zQ(z)→R(x))）．(2)?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x))．2.5 谓词演算的推理理论1.证明下列推理．(1)所有有理数都是实数，某些有理数是整数。
集合代数
集合代数对事物进行分类是科学研究的一项基本工作。
在数学上通常把分类的结果称为集合。
因此，“集合”是数学中最常用的概念。
事实上，现代数学中所有对象都可以视为集合，所有数学概念都可以用集合进行定义。
数理逻辑学家们正努力用集合及其若干公理重新构造整个数学体系。
我们学习集合论的意义有两点：（1）集合论是数学的基础，学习集合论有助于理解现代数学的公理化方法。
（2）集合论为应用领域提供建模和分析工具。
本讲学习集合论的基础知识，包括如下4个部分：1.集合代数：若干基本概念和集合运算及其运算定律。
2.二元关系：用集合定义二元关系，二元关系的分类和性质。
3.函数：用二元关系定义函数，函数的分类和性质。
4.ZFC公理系统：学习由Zermelo和Frankel等人所设计的10组集合论公理，并用以证明某些对象的分类是集合。
1.集合的概念和表达式我们所能感知的客观事物和思想中产生的观念，是我们的认知对象（object，entity）。
我们根据对象的各种共同性质把对象划分为不同的类（class）。
在数学中，我们通常把一个类称为集合（set），其中的对象称为该集合的成员（member）或者元素（element）。
通常用大写字母表示某集合，小写字母表示该集合中的元表示x是A的成员，读作“x属于A”。
这个素。
对于任何集合A，我们用x A成员隶属关系是集合论中的一个基本关系，可以定义其它的关系，包括两个集合相等、包含，等等。
在现代数学中，“集合”被选作为一个基础性概念，用以定义其它数学概念。
作为整个数学体系的第一概念，它自身是没有定义的，也是不可能被定义的。
尽管集合概念没有通用的定义，每个集合实例都是有严格定义的。
我们有两种定义集合实例的方法，即枚举法和概括法。
ZFC公理系统严格地描述了这两种定义集合的方法。
这里我们先对两种定义方法做直观的描述。
枚举法：也称列举法，明确地将一个集合的所有元素（的名字）排列在花括号内，元素之间用逗号分隔。
抽象代数第三章群
抽象代数第三章群抽象代数第三章群好久没有认真学习问题求解了=。
=，⼀转眼就上了⼀本新的书TJ，介绍抽象代数的⼊门书。
我觉得在wiki已经说得很好了需要科学上⽹学习抽象代数之前复习⼀下之前学过的相关知识⼦集族和指标集设J是⼀个⾮空集合，对于每⼀个j ∈ J,对应集合S的⼀个⼦集S j,则通常说 {S j|S j⊂S,j∈J}是S的⼀个以J为标号的⼦集族，J称为指标集等价关系同时满⾜反射性、对称性和传递性。
学习抽象代数的第⼀节课代数结构这章不是重点讲代数结构本⾝，代数结构=集合+在集合上定义的运算。
对于集合和代数运算本⾝还有更加精准的定义，不论。
群群的定义群是⼀种特殊的代数结构，设这个代数运算为∘，则这个运算满⾜1. 结合律 :(a∘b)∘c=a∘(b∘c)2. 在这个运算下有且只有⼀个单位元e,对于集合中的任意元素a有:a∘e=e∘a=a3. 在这个运算中每⼀个集合中的元素都有且有唯⼀逆元素在集合中: g∘g−1=g−1∘g=e此时集合G在运算∘下构成⼀个群，记作(G,∘)，有时简称G是⼀个群群的性质1. 单位元唯⼀2. 满⾜左右消去律3. 不需要满⾜交换律，若满⾜交换律，则这是⼀个“交换群”，也称“阿贝尔群”4. 群不⼀定需要零元素⼦群(G,∘)是⼀个群，如果G的⼦集H对于∘也构成群，那么称(H,∘)是(g,∘)的⼦群，简称H是G的⼦群。
举例⼦：偶数加法群是整数加法群的⼀个⼦群⼦群的性质1.⼦群的单位元等于群的单位元2.G是⼀个群，G的任意⼀个⼦群族的交集仍然是G的⼦群3.H，K是G的⼦群，如果H，K的并集也是G的⼦群，那么H⊆G,或者G⊆H。
⼀个群⾄少有两个⼦群：1. 平凡⼦群：仅仅有单位元⼀个元素的群2. 原来群本⾝⼦群的判定1. 群G的单位元e在H中2. 如果h1,h2∈H，那么h1h2∈H3. 如果h∈H，那么h−1∈H以上三个条件可以⽤⼀句判定来实现proposition 3.31 如果H是G的⼀个⼦集，那么H是G的⼦集，当且仅当H不为空集，且对于任意h1,h2∈H有h1h−12∈H⽣成⼦群设G是个群，S为其⼀⾮空⼦集，J为G的所有包含S的⼦集族，则称⼦群 ∩H∈J H为S在G中的⽣成⼦群，记作<S>这是什么鸡⼉完全听不懂=。
第三章 关系代数与关系运算
第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。
用对关系的运算来表达查询。
运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
例：（a）（b）（c）（d） (e)2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。
如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S 的所有元组组成。
如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。
元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S 有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。
集合论-第三章2
M＞
三、关系矩阵包含关系的信息 设MR是关系R的关系矩阵，则 (1) R是自反的⇔MR的对称线上的元素全为1。 (2) R是反自反的⇔MR对称线上的元素全为0。 (3) R是对称的⇔MR是对称的。 (4) R是反对称的⇔若i≠j,则rij与rji不能同时为1。 [或rij+rji≢1] (5) R是传递的⇔若rij＝1且rjk＝1，则rik＝1。 〔或MR· R≢MR，即R· M R⊆R〕 (6) R-1的关系矩阵为MRT。
tij (ri1 s1 j ) (ri 2 s2 j ) (rip s pj ) (rik skj ), i 1, 2, n“·”运算是先取最小，再取最大]
二、求R∪S，R∩S，R·S关系矩阵 (1)MR∪S= MR∨MS； (2)MR∩S= MR∧MS； (3)MR·S= MR·MS。
6.3 等价类 一、定义 定义2 设R是非空集合A上的一个等价关系，x∈X， 令[x]R={y|y∈X且(x,y)∈R } 则称集合[x]R为x关于R的等价类，简称x的等价类，简 记为[x]。 例：在上例中的等价关系R的三个不同等价类为：
[1]R {1, 4, 7} [4]R [7]R [2]R {2, 5,8} [5]R [8]R [3]R {3, 6} [6]R
二、说明： (1)集合A的商集就是集合A的一个划分，但划分不一定 是商集； (2)当划分块的块数有限时，将划分∏写成： ∏={∏1 ,∏2,„, ∏n}，n为块数。 显然，对于有限集合来说，它的划分块数一定是 有限的。 (3)但对无限集合划分块数不一定有限。 例：1.给定整数集合I的一个划分： ∏1={E,O},其中E是偶数集，O是奇数集; I的另外划分: ∏2={I+,I-,{0}}; ∏3={„,{-2},{-1},{0},{1},{2},„} 等等。
第3章 集合代数
3.1.2 集合的环和与环积运算
定理3.6 对任意集合A, B 有 （1）AB = (AB) – (AB) （2）AB = (AB¯ )(A¯ B) 证 （1）AB = (A-B) (B-A) = (AB¯ ) (BA¯ ) = (AB)UU (A¯ B¯ ) = (AB) (AB)¯ = (AB)- (AB)
离散数学 第3章 集合代数
3.1 集合运算
3.1.1 集合的并、交、差、补运算
证明(5) AB，A– B = ， A∪B = B ， A∩B = A 四命题等价。
证 设4个命题为P, Q, R, S ，
PQ：设A–B ，aA–B，即aA，但aB， 这与A B矛盾．故A – B = 。得证。
据(4)式
据(4)式 据(5)式 据(4)式 据(4)式
离散数学 第3章 集合代数
3.1 集合运算
3.1.3 幂集与广义并、交运算
定义3.3 对任意集合A，ρ(A)称为A的幂集。定义为 ρ(A)={ x | x A } 即A的全体子集组成的集合是A的幂集。 例3.2
（1） A ={ a, b } ，
离散数学 第3章 集合代数
3.1 集合运算
3.1.2 集合的环和与环积运算
定理3.7 对任意集合A, B ,C有
（1）AB = BA
（2）AA = （3）A¯ B¯= AB
（4） AB = (AB)¯= A¯ B = AB¯
（5）(AB)C = A(BC) （6）AB = BA
（等幂律）
（交换律）
(AB)C=A (BC)
（4） A(BC)=(AB)(AC) A(BC)＝(AB)(AC) （5）A( AB)=A，A(AB) =A （6） A＝A，AU = U
第三章 代数系统(2)
a b c
a a
b a b c
c c
解：
a b c
a c a b
b a b c
c b c a
3.1 群的定义和性质
3.2 变换群
3.3 有限群
3.4 循环群
3.5 子群
3.4 循环群
定义3. (G , )是群， G , 令 a
a0 e a n 1 a n a a n (a 1 ) n
定理1
(G , )为群， (G , )与代数系统 ,＊) 同构， 若 (H 则(H ,＊)也为群。
［证］ 结合律，单位元，逆元性质均保持。
3.1 群的定义和性质
3.2 变换群
3.3 有限群 3.4 循环群 3.5 子群
3.2 变换群
［复习定义］ 集合S上的变换：
: S S为一一映射， 为S上的 变换； 称
§2 半群与单元半群
2.1 半群
定义1. 代数系统 S , ) (其中“ ” ( 是二元运算 ) 若满足结合律， 则称为半群。 若半群满足交换律， 则称为 可换半群。
例1. 代数系统(I , +)是一个半群， 而且可换； 而(I , -)不是半群。 例2. 代数系统(R , max)为半群，且为可换。
但(S , ) 不是一个可换半群。 a b b a) (如
返回
定理1. 半群( S , )的子代数必是半群 。 (称为( S , )的 子半群 )
[证] 半群(S , )满足结合律， 则其子代数必也满足结合律， 故也是半群。
定义2. 代数系统 (S , ) 为半群， S , a n定义如下 a 1 a1 a 2 a n 1 a n a
代数系统
27
代数系统的同态与同构
定义9.10 设 V1=<S1, ◦ >和 V2=<S2, >是代数系统, 其中 ◦ 和 是二元运算. f : S1S2, 且x, yS1 f (x ◦ y) = f(x) f( y) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射, 简称同态.
28
实例
例 <R+, ×>, <R, +>是两个代数系统, 映射f : R+R定义为: f(x)=log x, 则 f 是< R+, ×>到<R, +>的同态映射 log (x×y) = (log x) + (log y)
25
9.2 代数系统
9.2.1 代数系统的定义与实例
9.2.2 代数系统的同态与同构
26
代数系统定义与实例
定义9.9 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, … , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代数, 记作 <S, f1, f2, …, fk >.
实例： <N, + >, <Z, +, ·>, <R, +, ·>是代数系统, +和· 分别表示 普通加法和乘法. <P(S),∪,∩, ~ >也是代数系统, ∪和∩为并和交, ~为绝对 补
M n (R ) a 21 a n1 a 22 a 2 n a n 2 a nn a ij R , i , j 1,2,...,n
矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算. (5) 幂集 P(A)上的二元运算: ∪、∩、－、.
离散数学 教案 第3章 集合
当n无限增大时，可以记为
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例1 集合A={x-2＜x＜2，xR}， B={x0≤x≤4,xR}
求A∪B，A∩B 。 解：A∪B={x-2＜x＜2或0≤x≤4,xR} ={x-2＜x≤4,xR} A∩B={x-2＜x＜2且0≤x≤4,xR} ={x0≤x＜2,xR}
把集合的所有元素写在花括号内，元素之间用逗 号分开；一般用于有限集和有规律的无限集合。
2.描述法 用谓词来概括集合中元素的属性。通常用 { xA(x)}来表示具有性质A的一些对象组成的集合。
例：D={(x,y)x2+y2≤1∧x∈R∧y∈R}
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Discrete Mathematics 常用集合的表示方法和表示符号 （1）自然数集N={0，1，2，…}
由定义可知，广义交和广义并是针对集族而言的， 对于非集族来说，其广义交和广义并为空集。
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25
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Discrete Mathematics 下面以n个集合为例说明：
例如：
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Discrete Mathematics 可以把n个集合的并和交简记为: 和 ，即:
（2）整数集合I={…-2，-1，0，1，2，…}
（3）有理数集合Q={xx=Pq∧p,qZ}
（4）实数集合R={ x x是实数
（5）复数集合C={x x=a+bi∧a,bR∧i2=-1}
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3. 归纳定义法
第三章 集合与关系
四、集合与集合 1． 集合与集合之间的关系：, =, ⊈, , , A B x (xAxB) A=BABBA ABABAB A ⊈ B x (xAxB) 思考： 和 的定义 2．注意和是不同层次的问题
五、空集和全集 1．空集 ：不含有任何元素的集合 实例： {x|xRx2+1=0} 定理 6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合 A， A x (xxA) T (恒真命题) 推论 是惟一的 2．全集 E：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集 六、幂集 1．定义：P(A)={x | xA} 2．实例： P()={}, P({})={,{}} 3．计数：如果|A|=n，则|P(A)|=2n.
第三章 集合与关系 3-1~3-3
主要内容 集合的基本概念----属于、包含、幂集、空集、 文氏图等 集合的基本运算----并、交、补、差等 集合恒等式----集合运算的算律、 恒等式的证明 方法 与后续内容的关系 是集合论后续内容的基础 是典型的布尔代数系统
第一节 集合的基本概念
一、集合的定义 集合没有精确的数学定义 直观理解： 由离散个体构成的整体称为集合， 称这些个体为集合的元素 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有理数、实数、 复数集合 二、集合的表示法 1．枚举法----通过列出全体元素来表示集合 2．谓词法----通过谓词概括集合元素的性质 实例： 枚举法 自然数集合 N={0,1,2,3,…} 谓词法 S={x| x 是实数，x21=0}
3．广义运算的性质 （1）=，无意义 （2）单元集{x}的广义并和广义交都等于 x （2）广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） （3）广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算 {A1,A2,…,An}=A1A2…An {A1,A2,…,An}=A1A2…An 4．引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如 {{x}|xR}=R 这里的 R 代表实数集合.
第03章 集合的基本概念与运算
5. 全集 定义3.6 在一个具体问题中, 如果所涉及的集
合都是某个集合的子集, 则称该集合为全集, 记为 E。它可形式地表为
E = { x | P(x)∨¬ P(x) }
其中：P(x)为任何谓词公式。
显然, 全集E即是第二章中的全总个体域。于是,
每个元素 x 都属于全集 E, 即命题(x)(xE)为真。
全集E用一个矩形的内部表示, 其他集合用矩
形内的园面或一封闭曲线圈成的面积来表示。
集合之间的关系和运算可以用文氏图给予 形象的描述
四、集合运算算律
设A、B、C 为任意集合, 则：
等幂律：A∩A A , A∪A A 结合律：(A∩B )∩C A∩(B∩C ) , (A∪B )∪C A∪(B∪C ) 交换律： A∩B B∩A ,
推论
① AB = AB ② AB = BA
③ AA =
④ A = A
集合代数与对偶原理
这里形式地讨论由集合、集合变元、集合运算和 圆括号所构成的 集合代数以及集合代数中的对偶
原理
与命题逻辑相似, 对于给定集合实行集合运算, 可 生成 新 的集合。可用大写英文字母表示确定集合 一样，也用大写字母表示不确定的集合, 即集合常
集合的树型层次结构
在每个层次上把集合作为一个结点, 它的元素作为它 的儿子 如：集合 A＝{ a, {b, c}, d, {{d}} } 的树形图。 图中的 a, b, c, d 也是集合, 由 于所讨论的问题与 a, b, c, d 的元素无关, 所以没有列出它
们的元素。鉴于集合的元素是
集合这一规定, 隶属关系可以 看作是处在不同层次上的集合 之间的关系。
证明：当 n =2 时, 结论成立。
集合代数
1/11/2020 1:46 AM
Discrete Math. , Yanxiu Sheng
11
集合的表示方法
集合的表示方法 列元素法 A={a,b,c,d},B={1,2,3,4},
D={桌子，灯泡，自然数，老虎}, C={2,4,6,…,2m},S={a,a2, a3, …, an} 仅适用于有限集合。 谓词表示法 B={ x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成 如， P(x) 表示x是正奇数，则B是所有正奇数的集合.
{1,2,4}={1,4,2} 集合中的元素不一定同类。
1/11/2020 1:46 AM
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幂集
定义 (A) = { x | xA }，或记为(A),2A 实例 () = {}， ({}) = {,{}} ({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数：如果 |A| = n，则 | (A)| = 2n
xA和 xA 两者成立其一，且仅成立其一.
1/11/2020 1:46 AM
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隶属关系的层次结构
例1 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}A bA {{d}}A {d}A dA
注意：集合的元素也可以是集合.
证明 设A={a1,a2,…,an},把a1a2…an与一个n位二进制数b对应, ai对应于b的第i位。定义二进制数b所对应A的子集B ：与b 中的1对应的A中元素组成的集合。这样B与该二进制一一 对应，有多少个不同n位二进制就有多少个不同的子集。
1/11/2020 1:46 AM
集合的余集对偶性质
集合的余集对偶性质将∪ 和∩，或者Ø 和U 相互交换，一个恒等式就变成了相应的另一个。
这是集合代数的一个非常重要的性质，称作集合的对偶性原理。
它对集合的所有真命题都有效。
真命题通过相互交换∪ 和∩，Ø 和U，改变包含符号的方向得到的对偶命题也是真的。
若一个命题和其对偶命题相同，则称其为自对偶的。
第一章：集合与常用逻辑用语第一节：集合1、集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。
表示方法：①集合A={a，b，c，d}其中a，b，c，d是集合A的元素，即用a∪A，b∪A ，c∪A ，d∪A表示，f不是集合A的元素，则f∪A。
集合A是集合B的子集，则A∪B。
②集合A={x｜x＞a}。
常见的集合：整数集Z：{……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……}自然数集N（Nature）：即非负整数，包括0：{0，1，2，3，……}正整数集N*或N+：{1，2，3，……}有理数集Q（有理数是两个数相比的结果（商）英文quotient）：即整数和分数的集合将∪ 和∩，或者Ø 和U 相互交换，一个恒等式就变成了相应的另一个。
这是集合代数的一个非常重要的性质，称作集合的对偶性原理。
它对集合的所有真命题都有效。
真命题通过相互交换∪ 和∩，Ø 和U，改变包含符号的方向得到的对偶命题也是真的。
若一个命题和其对偶命题相同，则称其为自对偶的。
第一章：集合与常用逻辑用语第一节：集合1、集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。
表示方法：①集合A={a，b，c，d}其中a，b，c，d是集合A的元素，即用a∪A，b∪A ，c∪A ，d∪A表示，f不是集合A的元素，则f∪A。
集合A是集合B的子集，则A∪B。
②集合A={x｜x＞a}。
常见的集合：整数集Z：{……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……}自然数集N（Nature）：即非负整数，包括0：{0，1，2，3，……}正整数集N*或N+：{1，2，3，……}有理数集Q（有理数是两个数相比的结果（商）英文quotient）：即整数和分数的集合。
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第3章 集合代数3.1 集合运算3.1.1 集合的并、交、差、补运算定义3.1 设A ，B 为任意集合。
（l ）A ⋃B 称为A 与B 的并集（union sets ），定义为A ⋃B ＝｛x∣x∈A ∨x∈B｝其中“⋃”称为并运算。
因此， x∈A ⋃B ⇔ x∈A ∨x∈B（2）A ⋂B 称为A 与B 的交集（intersection sets ），定义为A ⋂B =｛x∣x∈A ∧x∈B｝其中“⋂”称为交运算。
因此， x∈A ⋂B ⇔ x∈A ∧x∈B（3）A -B 称为A 与B 的差集（difference sets ），定义为A -B ＝｛x∣x∈A ∧x ∉ B ｝其中“-”称为差运算。
因此， x∈A -B ⇔ x∈A ∧x ∉ B（4）A 称为A 的补集（complement sets ），定义为 A =U -A =｛x | x ∉A ｝其中“–”称为补运算，它是一元运算，是差运算的特例。
因此， x ∈A ⇔ x ∉ A定理3.1设A ，B ，C 为任意集合，那么（l ）A ⋃A=A ，A ⋂A=A （等幂律）（2）A ⋃B=B ⋃A ，A ⋂B=B ⋂A （交换律）（3）(A ⋃B) ⋃C=A ⋃ (B ⋃C)，(A ⋂B)⋂C=A ⋂ (B ⋂C) （结合律）（4）A ⋃(B ⋂C)=(A ⋃B)⋂(A ⋃C)，A ⋂(B ⋃C)＝(A ⋂B)⋃(A ⋂C) （分配律）（5）A ⋂( A ⋃B)=A ，A ⋃(A ⋂B) =A （吸收律）（6）A ⋃∅＝A ，A ⋃U = UA ⋂∅＝∅，A ⋂U = A定理 3.2 对任意集合 A ，B ，C ，（l ） =-A A ∅， -A ∅＝A ， =-U A ∅（2） )()()(C A B A C B A -⋂-=⋃-)()()(C A B A C B A -⋃-=⋂-定理3.3 对任意集合A ，B（1） A ＝A , U ＝∅ , ∅＝U（2） A A ⋃＝U , A A ⋂＝∅（3） ＝⋂ B A ⋂＝B A ⋃（4） B A -＝B A ⋂定理3.4 对任意集合A , B , C , D ，（1）B A A ⋃⊆（2）A B A ⊆⋂（3）A B A ⊆-（4）若B A ⊆,则B ⊆A 。
（5）B A ⊆, =-B A ∅, B B A =⋃ , A B A =⋂ 四命题等价。
定理3.5 对任意集合A ，B ．若它们满足（l ）U B A =⋃（2）=⋂B A ∅ 那么B =3.1.2 集合的环和与环积运算定义3.2 对任意集合A, B(1) A ⊕B 称为集合A, B 的环和(cycle sum)或对称差, 定义为()()A B A B B A ⊕=-⋃-(2) A ⊗B 称为集合A, B 的环积(cycle product) , 定义为()A B A B -⊗=⊕定理3.6对任意集合A, B 有(1) ()()A B A B A B ⊕=⋃-⋂(2) ()()A B A B A B ⊗=⋃⋂⋃定理3.7对任意集合A, B ,C 有(1) A B B A ⊕=⊕(2) A A ⊕=∅(3) A B A B ⊕=⊕(4) () A B A B A B A B -⊗=⊕=⊕=⊕(5) ()()A B C A B C ⊕⊕=⊕⊕(6) A B B A ⊗=⊗(7) A A U ⊗=(8) A B A B ⊗=⊗(9) ()()A B C A B C ⊗⊗=⊗⊗3.1.3 幂集与广义并、交运算定义3.3 对任意集合 A ，ρ(A)称为A 的幂集（power sets ），定义为 }X X {)(A A ⊆=ρ定理3.8 设A,B 为任意集合, A ⊆B 当且仅当ρ(A)⊆ ρ(B) 。
练习3.11．选择题(1) 设A 为有理数集合，B 为无理数集合，则A∩B 等于（ ）A. {0}B. ØC. {{Ø}}D. {Ø}【答案】：B(2) 设全集E 为复数集合，A 为实数集合，则补集A 等于（ ）A. ØB.虚数集合C. 有理数集合D. 无理数集合【答案】：B(3) 集合{0}的幂集是（ ）A. ØB. Ø,{0}C. {Ø}D. {Ø,{0}}【答案】：D(4) 若A=4{,1}2y x y x -<>=+和B={<x,y>|y=3x -2},则A ∩B 为（ ）A. {<x,y>|x=4,y=10}B. {<x,y>|y=x+2}C. {<x,y>|y-31x-1= } D. Ø【答案】：A(5) 设A 、B 为非空集且B ⊂A ，则空集为（ ）A. A∩BB. A ∩BC. A∩BD. A∪B【答案】：B(6) 设A=Ø，B={Ø,{Ø}}，则B -A 是（ ）A. {{Ø}}B. {Ø}C. {Ø, {Ø}}D. Ø【答案】：C(7) 设A={a,{a}}，下式哪一个为错的（ ）A. {a}∈ρ(A)B. {a}⊆ρ(A)C. {{a}}∈ρ(A)D. {{a}}⊆ρ(A)【答案】：B(8) 幂集ρ(ρ(ρ(Ø)))是（ ）A. {{Ø}, {Ø, {Ø}}}B. {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}C. {Ø, {Ø}, {{Ø}}, {Ø, {Ø}}}D.{ Ø, {Ø, {Ø}}}【答案】：C2．填空题(1) 设A 与B 为任意两个集合，由 组成的集合S ，称为A 与B 的交集，记作________；用描述法写成的集合形式S= 。
【答案】：①集合A 和B 的所有共同元素；②A ∩B ；③S={x|x ∈A 且x ∈B}(2) 设M ={112,2,}x x x x I ≤≤∈整除{|112,3,}K x x x x I =≤≤∈整除，则M ∩K = _____ ，M ∪K= _____【答案】：①{6，12} ② {2，3，4，6，8，9，10，12}(3) 设全集U ={1，2，…，7}的子集A 为偶数集合，子集B 为奇数集合，C ={x ∣x 是3的倍数}，则A ∩B = ，____A C = ，________A C ⋃= ，B ∩C = 。
【答案】：① ∅ ② {1，5，7} ③{1，5，7} ④{3}(4) 设I 为整数集合，A = {x | x 2＜30，x ∈I}，B={x | x 是素数，x ＜20}，C ={1,3,5}。
① (A ∩B)∪C =_____ ② (B －A)∪C =______③ (C －A) ∩(B －A) =______ ④ (B ∩C)－A =______【答案】：①{1,2,3,5} ②{1,3,5,7,11,13,17,19} ③ ∅ ④ ∅(5) 设A={{x,y}, Ø ,x,y}，求下列各式的结果：A –{x,y}=______；A –{Ø}=______ ； {x,y} –A______；Ø –A=______；A 的幂集ρ (A) =______【答案】：①{{x,y},Ø} ,②{{x,y},x,y}③∅ , ④∅⑤{,{},{},{},{{,}},{,},{,{,}},{,{,}},{,},{,},{,{,}},{,,{,}},{,,{,}},{,,},{,,{,}},{,,,{,}}}x y x y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x y x y x y x y ∅∅∅∅∅∅∅∅∅(6) 确定以下各式：① Ø ∩{ Ø } =_____ ② { Ø，{ Ø }}－Ø =_____ ③ { Ø，{ Ø }}－{ Ø } =______【答案】：①∅ ②{∅，{∅}} ③{{∅}}3． 对任意集合A ，B ，C ，证明：B AC B C A -⊆⋃-⋃)()(【答案】：证. （A ⋃ C ）-（B ⋃ C ）= （A ⋃ C ）⋂（B ⋃ C ）—=（A ⋃ C ）⋂ B —⋂ C —=（A ⋂ B —⋂ C —）⋃（C ⋂ B —⋂ C —）=（A ⋂ B —⋂ C —）⋃ Ø= A ⋂ B —⋂ C —⊆ A ⋂ B —= A - B故（A ⋃ C ）-（B ⋃ C ）⊆ A- B 得证。
4．对任意集合A ，B ，C ，证明：（1） B C A C B A C B A --=--=⋃-)()()(（2） B C A C B A C B A ⋂-=-⋂=-⋂)()()(（3） )()(C B A C B A --=--当且仅当=⋂C A ∅（4） )()()(C B C A C B A ---=--【答案】：证. （1）A -（B ⋃ C ）＝A ⋂（B ⋃ C ）—＝A ⋂ B —⋂ C —＝（A - B ）⋂ C —＝（A - B ）- CA -（B ⋃C ）＝A ⋂（B ⋃ C ）—＝A ⋂ B —⋂ C —＝A ⋂ C —⋂ B —=（A - C ）⋂ B —＝（A - C ）- B故A-（B ⋃ C ）＝（A - B ）- C ＝（A - C ）- B 得证。
（2）（A ⋂ B ）- C ＝ A ⋂ B ⋂ C —＝ A ⋂（B ⋂ C —）＝ A ⋂（B - C ）（A ⋂ B ）- C ＝ A ⋂ B ⋂ C —＝ A ⋂ C —⋂ B＝（A - C ）⋂ B故（A ⋂ B ）- C = A ⋂（B- C ）=（A - C ）⋂ B 得证。
（3）ⅰ）设（A - B ）- C ＝A -（B - C ）成立，为证A ⋂ C = ∅，反设有x ∈A ⋂ C ，则x ∈A 且x ∈C ，x ∉ A - C 。
而：（A - B ）- C ＝A ⋂ B —⋂ C —＝（A - C ）⋂ B —，因为x ∉ A – C ，所以x ∉（A - C ）⋂ B —，从而x ∉（A - B ）- C ；A -（B -C ）＝A ⋂（B ⋂ C —）—＝A ⋂（B —⋃ C ）＝（A ⋂ B —）⋃（A ⋂ C ），由假设x ∈A ⋂ C ，则x ∈（A ⋂ B —）⋃（A ⋂ C ），从而x ∈ A -（B - C ）。
这与（A - B ）- C ＝A -（B - C ）矛盾，所以假设不成立，故A ⋂ C = ∅得证。